Implicitas
- 1. IUTAJS Yosneiver José Derivación de funciones implícitas Una función real de variable real es implícita cuando en su regla de correspondencia ninguna variable está despejada en términos de la otra. La derivada de una función implícita se puede determinar con respecto a la variable independiente x o con respecto a la variable dependiente y mediante el proceso denominado derivación implícita. Al derivar funciones implícitas, es común aplicar la regla de la cadena. El procedimiento para esta derivación se puede consultar en el libro de texto y en el formulario o prontuario. Su forma de derivar: Se aplica las reglas anteriores a conocida resultando la derivación de la variable dependiente y al final se despeja dicha condición. Hasta el momento las ecuaciones han sido expresadas en forma explícitas. Esto es, la ecuación ha sido expresada respecto a una variable en términos de la otra. Por ejemplo, y = 2x - 3 es una ecuación expresada respecto de y en términos de x. Pero existen ecuaciones que no están dadas explícitamente. Por ejemplo, las ecuaciones: 2x + y = 4 X y =1 x2 + y2 = 9 no están dadas en forma explícita. Tales ecuaciones están expresadas en forma implícita. Para derivar una ecuación implícita no es necesario expresarla en forma
- 2. explícita. Se puede utilizar un método conocido por derivación implícita. Es un método que consiste en derivar cada término por separado en la ecuación dada. La notación: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Y se lee "la derivada de y respecto a x". Para entender cómo hallar la derivada de y con respecto a x implícitamente, se debe observar que la derivación se efectúa respecto de x. Esto es, cuando derivamos términos que contienen sólo a x, se deriva como de costumbre, pero al derivar términos con y se aplica la regla de la cadena. Ejemplo 1: Mediante derivación implícita, obtenga la derivada con respecto a x de la función 3𝑥4 𝑦2 + 3𝑥2 = 𝑥𝑦 + 7 Derivando con respecto a x 𝐷 𝑥(3𝑥4 𝑦2) + 𝐷 𝑥(3𝑥2 )=𝐷 𝑥( 𝑥𝑦) + 𝐷 𝑥(7) Aquí se debe tener en cuenta que para derivar los términos 3𝑥4 𝑦2 y 𝑥𝑦 se debe aplicar el teorema de la derivada de un producto. Calculando las derivadas y representando por y ´ la derivada de y con respecto a x. 6𝑥4 𝑦𝑦´ + 12𝑥3 𝑦2 + 6𝑥 = 𝑥𝑦´ + 𝑦
- 3. Reordenando y como se desea obtener el valor de y´, los términos que contiene a y´ se agrupan en el primer miembro, factorizando los términos 𝑦′(6𝑥4 𝑦 − 𝑥) = 𝑦 − 12𝑥3 𝑦2 − 6𝑥 Despejando y’, se tiene la derivada de la función con respecto a x. 𝑦′ = 𝑦 − 12𝑥3 𝑦2 − 6𝑥 6𝑥4 𝑦 − 𝑥 Ejemplo 2: En los ejercicios 17 a 32 determine 𝑑𝑦 𝑑𝑥 por medio de diferenciación implícita. 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑦 cos 𝑥 = 1 𝑑 𝑑𝑥 ( 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑦 cos 𝑥) = 𝑑 𝑑𝑥 1 𝑑 𝑑𝑥 ( 𝑥) 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 ( 𝑠𝑒𝑛 𝑦) + ( 𝑑 𝑑𝑥 𝑦) ∙ cos 𝑥 + 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 (cos 𝑥) = 0 1 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 ∙ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 cos 𝑥 + 𝑦(−sen 𝑥) = 0 ( 𝑥 cos 𝑦 + cos 𝑥) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 sen 𝑥 − sen 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 sen 𝑥 − sen 𝑦 𝑥 cos 𝑦 + cos 𝑥
- 4. Ejemplo 3: 0.2 YXY 0)1*1*(2 y dx dy x dx dy y 02 y dx xdy dx dy y y dx xdy dx dy y 2 yxy dx dy )2( xy y dx dy 2