Derivative app 01 vol caja
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Este documento describe el proceso de modelado matemático para resolver un problema de optimización. Se busca determinar el tamaño de los cuadrados que deben recortarse de una pieza de cartón rectangular para fabricar una caja y que el volumen de esta sea máximo. Inicialmente se intenta resolver probando con valores enteros, pero luego se concluye que se requiere el cálculo diferencial para obtener la solución exacta. Esto conduce a desarrollar un modelo algebraico donde la función objetivo de volumen se expresa como una ecuación de cuatro variables.
Derivative app 01 vol caja
- 1. Aplicaciones de la Derivada G. Edgar Mata Ortiz 𝟏
- 2. 𝟏
- 3. Introducción En el presente material se resuelve un problema de optimización mediante máximos y mínimos relativos, siguiendo un proceso sistemático; desde la modelación, su solución, y la interpretación contextual de la respuesta del modelo.
- 4. CONTENIDO 1 2 3 4 Problema Elaborar modelo matemático Resolver modelo matemático Interpretación del modelo Reality Mathematical Model
- 5. 1. Problema Se dispone de una pieza rectangular de cartón que mide 40 cm de longitud por 30 de ancho. Con este material se va a fabricar una caja sin tapa, para ello se recortarán cuatro cuadrados de la misma medida, uno en cada esquina y se doblará la pieza resultante. Observa la figura.
- 6. 1. Problema Se dispone de una pieza rectangular de cartón que mide 40 cm de longitud por 30 de ancho. Con este material se va a fabricar una caja sin tapa, para ello se recortarán cuatro cuadrados de la misma medida, uno en cada esquina y se doblará la pieza resultante. Observa la figura. ¿Cuánto deben medir los cuadrados que se recortan para que el volumen de la caja sea el máximo posible? ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja; longitud, ancho y altura? ¿Cuánto es el volumen máximo?
- 7. 2. El proceso de modelado matemático El modelado matemático consiste en representar la realidad mediante números, variables, funciones y otros conceptos propios de esta ciencia. Para desarrollar dicho modelo es necesario hacer uso de nuestros conocimientos matemáticos previos. Realidad Abstracción Modelo Matemático 𝑦 = 𝑓(𝑥)
- 8. 2. El modelado matemático El modelado es un proceso que utiliza la matemática para representar, analizar, hacer predicciones o lograr una mejor comprensión de los fenómenos de la realidad. Definir el problema Definir variables Establecer postulados Predictivos o explicativos Estocásticos o deterministas Empíricos o basados en principios científicos De caja negra, blanca o gris Agregados o distribuidos Estáticos o dinámicos
- 9. Matemáticas 1: Aritmética y Geometría Matemáticas 3: Geometría Analítica y Funciones Abstracción Matemáticas 2: Álgebra, Ecuaciones Matemáticas 4: Cálculo Diferencial Realidad 2. El proceso de modelado matemático 𝑽 = 𝒍 × 𝒂 × 𝒉 𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟏𝟐𝒙 𝒚 = 𝒇(𝒙) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟎
- 10. 2. El proceso de modelado matemático Pieza rectangular de cartón a la que se le van a recortar las esquinas 40 cm 30 cm
- 11. 2. El proceso de modelado matemático 40 cm 30 cm Se recortarán en las esquinas cuadrados de las mismas dimensiones
- 12. 2. El proceso de modelado matemático 40 cm 30 cm Figura resultante después de recortar las esquinas
- 13. 2. El proceso de modelado matemático 40 cm 30 cm Estas dimensiones van a ser las medidas de la caja ? ?
- 14. 2. El proceso de modelado matemático 40 cm 30 cm Estas dimensiones van a ser las medidas de la caja ? ? Las dimensiones de la caja van a depender de las medidas del cuadrado que se recorte
- 15. 2. El proceso de modelado matemático 40 cm 30 cm Dimensiones de la caja ? ? ? ?
- 16. 2. El proceso de modelado matemático 40 cm 30 cm Dimensiones de la caja ? ? ? ? ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja si se recortan cuadrados de 2 cm por lado?
- 17. 2. El proceso de modelado matemático 40 cm 30 cm Dimensiones de la caja ? ? ? ? ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja si se recortan cuadrados de 2 cm por lado? 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm
- 18. 2. El proceso de modelado matemático 40 cm 30 cm Dimensiones de la caja ? ? ? ? ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja si se recortan cuadrados de 2 cm por lado? 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm
- 19. 2. El proceso de modelado matemático 40 cm 30 cm ? cm ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja si se recortan cuadrados de 2 cm por lado? 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm cm cmcm
- 20. 2. El proceso de modelado matemático 40 cm 30 cm ? cm ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja si se recortan cuadrados de 2 cm por lado? ¿Y el volumen? V = _____________ 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm cm cmcm
- 21. 2. El proceso de modelado matemático 40 cm 30 cm ? 36 cm ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja si se recortan cuadrados de 2 cm por lado? ¿Y el volumen? V = 1872 cm3 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 36 cm 26 cm26 cm
- 22. 2. El proceso de modelado matemático 40 cm 30 cm ? cm ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja si se recortan cuadrados de 3 cm por lado? ¿Y el volumen? V = _____________ 3 cm 3 cm 3 cm 3 cm cm cmcm
- 23. 2. El proceso de modelado matemático 40 cm 30 cm ? 34 cm ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja si se recortan cuadrados de 3 cm por lado? ¿Y el volumen? V = 2448 cm3 3 cm 3 cm 3 cm 3 cm 34 cm 24 cm24 cm
- 24. 2. El proceso de modelado matemático Al tomar cualquier medida de los cuadrados que se van a recortar la figura es la misma, resulta más conveniente elaborar una tabla en la que vayamos anotando lo que sucede con el volumen para diferentes medidas del cuadrado. Magnitud del recorte Longitud de la caja Ancho de la caja Altura de la caja Volumen de la caja 2 36 26 2 1872 3 34 24 3 4 32 22
- 25. 2. El proceso de modelado matemático
- 26. 2. El proceso de modelado matemático
- 27. 2. El proceso de modelado matemático Completa los dos siguientes renglones de la tabla y anota lo que sucede
- 28. 2. El proceso de modelado matemático En el recorte de 7 cm el volumen disminuyó
- 29. 2. El proceso de modelado matemático Observa qué sucede en el recorte de 6 cm Podemos concluir que el volumen máximo se obtiene cuando el cuadrado que se recorta mide 6 cm por lado.
- 30. 2. El proceso de modelado matemático Las dimensiones de la caja son: Longitud = 28 cm, Ancho = 18 cm Altura = 6 cm, Volumen = 3024 cm3
- 31. 2. El proceso de modelado matemático Las dimensiones de la caja son: Longitud = 28 cm Ancho = 18 cm Altura = 6 cm Volumen = 3024 cm3 ¿Estamos seguros de este resultado? Hemos tomado solamente valores enteros para el tamaño del cuadrado que se recorta ¿No puede ser un valor decimal?
- 32. 2. El proceso de modelado matemático Las dimensiones de la caja son: Longitud = 28 cm Ancho = 18 cm Altura = 6 cm Volumen = 3024 cm3 ¿Estamos seguros de este resultado? Hemos tomado solamente valores enteros para el tamaño del cuadrado que se recorta ¿No puede ser un valor decimal? Probar con dos valores: 6.5 y 5.5
- 33. 2. El proceso de modelado matemático
- 34. 2. El proceso de modelado matemático Volumen máximo Se obtiene un volumen mayor que en el recorte de 6 cm
- 35. 2. El proceso de modelado matemático Las dimensiones de la caja son: Longitud = 29 cm Ancho = 19 cm Altura = 5.5 cm Volumen = 3030.5 cm3 ¿Estamos seguros de este resultado? Hemos tomado solamente valores con una cifra decimal ¿No puede ser un valor con dos o tres decimales?
- 36. 2. El proceso de modelado matemático Está claro que, por este método, no podemos obtener la solución exacta. Siempre habrá la posibilidad de que existan medidas de cuadrados que mejoren el volumen. Debemos considerar otras herramientas.
- 37. 2. El proceso de modelado matemático
- 38. 2. El proceso de modelado matemático Vamos a recurrir al álgebra, para ello, debemos identificar las cantidades desconocidas y sus relaciones. Con ello, obtendremos una ecuación que contendrá las cantidades desconocidas. Cantidades desconocidas Información disponible Expresiones algebraicas
- 39. 2. El proceso de modelado matemático Observando la tabla que elaboramos al tratar de resolver el problema mediante aritmética y geometría identificamos las cantidades desconocidas y sus relaciones Cantidades desconocidas Información disponible Expresiones algebraicas Magnitud del lado del cuadrado que se recorta Incógnita x Longitud de la caja Se resta dos veces la medida del cuadrado, a la longitud de la pieza de cartón 40 – 2x
- 40. 2. El proceso de modelado matemático Cantidades desconocidas Información disponible Expresiones algebraicas Lado del cuadrado que se recorta Incógnita 𝒙 Longitud de la caja Se resta dos veces la medida del cuadrado (𝑥), a la longitud de la pieza de cartón (40) 𝟒𝟎 − 𝟐𝒙 Ancho de la caja Se resta dos veces la medida del cuadrado, al ancho de la pieza de cartón 𝟑𝟎 − 𝟐𝒙 Altura de la caja La longitud del cuadrado que se recortó (𝑥), es la altura de la caja 𝒙 Volumen de la caja Se obtiene con la fórmula: V = longitud × ancho × altura 𝑽 = 𝟒𝟎 − 𝟐𝒙 𝟑𝟎 − 𝟐𝒙 𝒙
- 41. 2. El proceso de modelado matemático Vamos a efectuar operaciones algebraicas y representaremos el volumen con la ye, que es la variable dependiente. 𝒚 = 𝟒𝟎 − 𝟐𝒙 𝟑𝟎 − 𝟐𝒙 𝒙
- 42. 2. El proceso de modelado matemático Vamos a efectuar operaciones algebraicas y representaremos el volumen con la ye, que es la variable dependiente. 𝒚 = 𝟒𝟎 − 𝟐𝒙 𝟑𝟎 − 𝟐𝒙 𝒙 Primero multiplicamos binomio por binomio y, posteriormente este resultado lo multiplicaremos por la equis que se encuentra afuera de los paréntesis. 𝟒𝟎 − 𝟐𝒙 𝟑𝟎 − 𝟐𝒙 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 − 𝟔𝟎𝒙
- 43. 2. El proceso de modelado matemático Vamos a efectuar operaciones algebraicas y representaremos el volumen con la ye, que es la variable dependiente. 𝒚 = 𝟒𝟎 − 𝟐𝒙 𝟑𝟎 − 𝟐𝒙 𝒙 Primero multiplicamos binomio por binomio y, posteriormente este resultado lo multiplicaremos por la equis que se encuentra afuera de los paréntesis. 𝟒𝟎 − 𝟐𝒙 𝟑𝟎 − 𝟐𝒙 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 − 𝟔𝟎𝒙 − 𝟖𝟎𝒙 + 𝟒𝒙 𝟐
- 44. 2. El proceso de modelado matemático Vamos a efectuar operaciones algebraicas y representaremos el volumen con la ye, que es la variable dependiente. 𝒚 = 𝟒𝟎 − 𝟐𝒙 𝟑𝟎 − 𝟐𝒙 𝒙 Primero multiplicamos binomio por binomio y, posteriormente este resultado lo multiplicaremos por la equis que se encuentra afuera de los paréntesis. 𝟒𝟎 − 𝟐𝒙 𝟑𝟎 − 𝟐𝒙 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 − 𝟔𝟎𝒙 − 𝟖𝟎𝒙 + 𝟒𝒙 𝟐 𝟒𝟎 − 𝟐𝒙 𝟑𝟎 − 𝟐𝒙 = +𝟒𝒙 𝟐 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 + 𝟏𝟐𝟎𝟎
- 45. 2. El proceso de modelado matemático Vamos a efectuar operaciones algebraicas y representaremos el volumen con la ye, que es la variable dependiente. 𝒚 = 𝟒𝟎 − 𝟐𝒙 𝟑𝟎 − 𝟐𝒙 𝒙 Primero multiplicamos binomio por binomio y, posteriormente este resultado lo multiplicaremos por la equis que se encuentra afuera de los paréntesis. +𝟒𝒙 𝟐 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 + 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝒙 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙
- 46. 2. El proceso de modelado matemático Esta es la ecuación que representa el volumen, la equis representa el tamaño de los cuadrados que se recortan de la pieza original de cartón. 𝒚 = 𝟒𝟎 − 𝟐𝒙 𝟑𝟎 − 𝟐𝒙 𝒙 Efectuando operaciones la ecuación que representa el volumen queda: 𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙
- 47. 2. El proceso de modelado matemático El álgebra nos permitió obtener una ecuación cúbica que representa el volumen pero, ¿cómo aprovechamos esa ecuación? Resolver la ecuación nos daría los puntos de intersección con el eje equis, pero no nos sirve para obtener el volumen máximo. 𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙
- 48. 2. El proceso de modelado matemático Utiliza tu calculadora, o alguna aplicación, para obtener las soluciones de la ecuación cúbica. En este ejemplo se utilizó el programa Microsoft Mathematics y se obtuvieron los resultados mostrados. 𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙
- 49. 2. El proceso de modelado matemático
- 50. 2. El proceso de modelado matemático Vamos a recurrir a la geometría analítica y la teoría de funciones para la resolución del problema. En primer lugar es conveniente trazar la gráfica de la función. El álgebra nos permitió obtener una ecuación cúbica que representa el volumen, pero no nos resuelve el problema.
- 51. 2. El proceso de modelado matemático Los valores de equis que se emplearán para la tabulación se obtienen de la redacción del problema, debemos observar que la pieza de cartón mide 40 x 30 cm, entonces debemos tomar estos valores como referencia, además sabemos que las soluciones de la ecuación son 0, 15 y 20. Vamos a tomar equis entre 0 y 25, y emplearemos Excel para trazar la gráfica. Para trazar la gráfica vamos a tabular la función obtenida: 𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙
- 52. 2. El proceso de modelado matemático Tomando el cero como valor inicial y tabulando de uno en uno así queda la gráfica. Aunque para el problema no tiene sentido emplear valores negativos, vamos a tomar desde menos uno para mejorar la visualización de la gráfica. x y 0 0 1 1064 2 1872 3 2448 4 2816 5 3000 6 3024 7 2912 8 2688 9 2376 10 2000 11 1584 12 1152 13 728 14 336 15 0 16 -256 17 -408 18 -432 19 -304 20 0 21 504 22 1232 23 2208 24 3456 25 5000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 0 5 10 15 20 25 30 𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙
- 53. 2. El proceso de modelado matemático Se observa una gráfica completa; contiene la función cúbica, están identificados los puntos de intersección con el eje equis y la solución aproximada que tenemos hasta ahora. x y -1 -1344 x y 0 0 0 0 1 1064 15 0 2 1872 20 0 3 2448 4 2816 5 3000 6 3024 x y 7 2912 5.5 3030.5 8 2688 9 2376 10 2000 11 1584 12 1152 13 728 14 336 15 0 16 -256 17 -408 18 -432 19 -304 20 0 21 504 22 1232 23 2208 24 3456 Intersecciones x Solución Aprox. P(5.5, 3030.5) x1(0, 0) x2(15, 0) x3(20, 0) -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 -5 0 5 10 15 20 25 𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙 Solución aproximada
- 54. 2. El proceso de modelado matemático Con la información disponible, empleando conocimientos de geometría analítica y teoría acerca de funciones matemáticas podríamos mejorar la solución mediante aproximaciones sucesivas hasta conseguir la precisión requerida. x y -1 -1344 x y 0 0 0 0 1 1064 15 0 2 1872 20 0 3 2448 4 2816 5 3000 6 3024 x y 7 2912 5.5 3030.5 8 2688 9 2376 10 2000 11 1584 12 1152 13 728 14 336 15 0 16 -256 17 -408 18 -432 19 -304 20 0 21 504 22 1232 23 2208 24 3456 Intersecciones x Solución Aprox. P(5.5, 3030.5) x1(0, 0) x2(15, 0) x3(20, 0) -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 -5 0 5 10 15 20 25 𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙 Solución aproximada No hemos obtenido la respuesta exacta, pero se han obtenido otros beneficios, ahora entendemos mucho mejor el comportamiento de la función que describe el problema, el modelo matemático se ha ido mejorando cada vez más.
- 55. 2. El proceso de modelado matemático Es necesario emplear una herramienta más avanzada para obtener la solución exacta. Hemos ido, poco a poco, mejorando el modelo matemático que describe el problema, a continuación vamos a resolver el problema aplicando el cálculo diferencial.
- 56. 3. Resolver el modelo matemático El procedimiento de solución, mediante el cálculo diferencial consta de 4 pasos: 1. Obtener la función que describe el problema de interés 2. Derivar la función que describe dicho problema 3. Igualar a cero la derivada 4. Resolver la ecuación obtenida
- 57. 3. Resolver el modelo matemático 1. Obtener la función que describe el problema de interés 2. Derivar la función que describe dicho problema 3. Igualar a cero la derivada 4. Resolver la ecuación obtenida El procedimiento de modelado matemático que hemos llevado a cabo nos permitió obtener la ecuación: 𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙 Aplicar las fórmulas de derivación 1 a la 5: 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏𝟐𝒙 𝟐 − 𝟐𝟖𝟎𝒙 + 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟐𝒙 𝟐 − 𝟐𝟖𝟎𝒙 + 𝟏𝟐𝟎𝟎 = 𝟎 Fórmula general: 𝒙 = −𝒃 ± 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂
- 58. 3. Resolver el modelo matemático 𝟏𝟐𝒙 𝟐 − 𝟐𝟖𝟎𝒙 + 𝟏𝟐𝟎𝟎 = 𝟎 𝒙 = −𝒃 ± 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 El cuarto paso del método depende de la ecuación que se obtenga, en este caso es una ecuación cuadrática que se resuelve mediante la fórmula general. 2 2 12 280 1200 0 ( 280) ( 280) 4(12)(1200) 2(12) x x x − + = − − − − = 2 ( 280) ( 280) 4(12)(1200) 2(12) 280 78400 57600 24 280 20800 24 280 144.22205 24 x x x x − − − − = + − = + = + = 1 2 2 1 17.675918792439 280 144.22205 2 5.6574145408933 4 280 144.22205 24 280 144.22205 24 x x x x x + = = + + = + − = =
- 59. 3. Resolver el modelo matemático 1. Obtener la función que describe el problema de interés 2. Derivar la función que describe dicho problema 3. Igualar a cero la derivada 4. Resolver la ecuación obtenida Función: 𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙 Derivada: 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏𝟐𝒙 𝟐 − 𝟐𝟖𝟎𝒙 + 𝟏𝟐𝟎𝟎 Solución: 𝒙 𝟏 = 𝟏𝟕. 𝟔𝟕𝟓𝟗𝟏𝟖𝟕𝟗𝟐𝟒𝟑𝟗 𝒙 𝟐 = 𝟓. 𝟔𝟓𝟕𝟒𝟏𝟒𝟓𝟒𝟎𝟖𝟗𝟑𝟑 Igual a cero: 𝟏𝟐𝒙 𝟐 − 𝟐𝟖𝟎𝒙 + 𝟏𝟐𝟎𝟎 = 𝟎
- 60. 3. Resolver el modelo matemático 1. Función: 𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙 2. Derivada: 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏𝟐𝒙 𝟐 − 𝟐𝟖𝟎𝒙 + 𝟏𝟐𝟎𝟎 3. Igual a cero: 𝟏𝟐𝒙 𝟐 − 𝟐𝟖𝟎𝒙 + 𝟏𝟐𝟎𝟎 = 𝟎 4. Solución: 𝒙 𝟏 = 𝟏𝟕. 𝟔𝟕𝟓𝟗𝟏𝟖𝟕𝟗𝟐𝟒𝟑𝟗 𝒙 𝟐 = 𝟓. 𝟔𝟓𝟕𝟒𝟏𝟒𝟓𝟒𝟎𝟖𝟗𝟑𝟑 Mediante la aplicación de la derivada hemos obtenido la solución exacta, incluso obtuvimos dos soluciones, ahora vamos a la cuarta etapa del proceso de solución de problemas; la interpretación del modelo y sus resultados.
- 61. 4. Interpretación del modelo A partir de conocimientos básicos de matemáticas; aritmética y geometría, fuimos profundizando en el problema empleando geometría analítica, funciones matemáticas y finalmente mediante el cálculo diferencial, se obtuvieron dos resultados. Vamos ahora a contextualizar el resultado en términos del problema real del que partimos: ¿Cuánto se debe recortar a la pieza original de cartón para obtener el volumen máximo?
- 62. 4. Interpretación del modelo De los dos valores de equis que obtuvimos en el modelo, 𝒙 𝟐 = 𝟏𝟕. 𝟔𝟕𝟓𝟗 no puede ser recortado, ya que no alcanzaría de material en el lado que mide 30 cm. Por lo tanto, el valor que nos da la respuesta correcta es 𝒙 𝟏 = 𝟓. 𝟔𝟓𝟕𝟒, además es cercano al valor aproximado que habíamos calculado; recorte = 5.5 cm Se deben recortar cuadrados que midan 𝟓. 𝟔𝟓𝟕𝟒𝟏𝟒𝟓𝟒𝟎𝟖𝟗𝟑𝟑 cm por lado, para obtener el volumen máximo.
- 63. 4. Interpretación del modelo Las medidas de la caja se pueden obtener sustituyendo en las expresiones algebraicas de la figura. Se deben recortar cuadrados que midan 5.65741454 cm por lado. Las dimensiones de la caja serán: Longitud = 28.6851709 Ancho = 18.6851709 Altura = 5.65741454 Para un volumen máximo de: 3032.3024606
- 64. 4. Interpretación del modelo Problema resuelto. El problema está resuelto, hemos contestado las preguntas que nos hacían acerca de las dimensiones de la caja. Aunque el problema está resuelto, todavía no hemos terminado. Falta determinar qué sucede con el otro valor de equis que se obtuvo al resolver la ecuación cuadrática: 𝒙 𝟐 = 𝟏𝟕. 𝟔𝟕𝟓𝟗 Para entender mejor, vamos a analizar la gráfica con esta nueva información.
- 65. 4. Interpretación del modelo x y -1 -1344 x y 0 0 0 0 1 1064 15 0 2 1872 20 0 3 2448 4 2816 5 3000 6 3024 x y 7 2912 17.67592 -439.71 8 2688 5.657415 3032.302 9 2376 10 2000 11 1584 12 1152 13 728 14 336 15 0 16 -256 17 -408 18 -432 19 -304 20 0 21 504 22 1232 23 2208 24 3456 Intersecciones x Máx y Mín Relativos x1(0, 0) x2(15, 0) x3(20, 0) Mínimo(17.67591879,-439.7098734) Máximo(5.657414541,3032.302466) -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 -5 0 5 10 15 20 25 𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙 Solución exacta En la gráfica se observa claramente la explicación del resultado 𝑥2 = 17.6759. El tema que estamos estudiando se llama ”máximos y mínimos relativos”. Dado que la ecuación presenta un punto máximo y otro mínimo, aparecen en la respuesta del modelo.
- 66. Gracias Fuentes de Información en Línea: http://licmata-math.blogspot.com/ http://proc-industriales.blogspot.com/ https://www.slideshare.net/licmata https://www.facebook.com/licemata https://twitter.com/licemata