Calculus fundamentals
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Este documento presenta el problema clásico de cálculo de la caja sin tapa. Explica cómo analizar el problema y expresarlo algebraicamente para determinar las dimensiones del cuadrado recortado que maximizan el volumen de la caja usando derivadas. Proporciona ejemplos y ejercicios para practicar resolviendo problemas similares.
Calculus fundamentals
- 1. http://licmata-math.blogspot.mx/ 2014 G. Edgar Mata Ortiz Fundamentos del Cálculo
- 2. Fundamentos del Cálculo http://licmata-math.blogspot.mx/ 2 Fundamentos del Cálculo Presentación El presente material se ha desarrollado con la finalidad de repasar los conceptos básicos del cálculo diferencial e integral a partir de sus aplicaciones. En el proceso de solución de dichos problemas se revisarán las herramientas algebraicas necesarias para su planteamiento, la obtención del resultado y su validación en términos de los datos y condiciones del problema. La forma de trabajo del curso está centrada en el alumno. Para un mejor aprendizaje es indispensable que el estudiante revise, fuera del aula, los materiales que se indican durante el desarrollo de la clase, que se involucre activamente en las actividades dentro del salón de clases y que trabaje colaborativamente con sus compañeros. El profesor solamente se encarga de guiar, orientar y dar seguimiento a las actividades realizadas por los estudiantes. Los materiales que se emplearán durante el curso se proporcionan en formato electrónico, pueden ser descargados del blog: http://licmata-math.blogspot.mx/
- 3. Fundamentos del Cálculo http://licmata-math.blogspot.mx/ 3 Contenido Presentación ............................................................................................................................................. 2 Cálculo Diferencial .................................................................................................................................... 4 El problema de la caja sin tapa.............................................................................................................. 4 Análisis del problema......................................................................................................................... 4 Resolución del problema mediante la derivada................................................................................ 6 Ejercicios relacionados con el problema............................................................................................... 8
- 4. Fundamentos del Cálculo http://licmata-math.blogspot.mx/ 4 Cálculo Diferencial El cálculo diferencial puede ser considerado como una herramienta para la resolución de problemas, en este sentido, es una herramienta diferente a la aritmética, geometría, álgebra, geometría analítica y trigonometría. Es una herramienta que nos permite entender los cambios en las funciones matemáticas. El problema de la caja sin tapa. Este es un problema clásico del cálculo diferencial. Veamos su redacción. Se dispone de una pieza rectangular de cartón que mide 40 cm de longitud por 30 cm de ancho. Se desea fabricar una caja sin tapa recortando en las esquinas cuadrados de las mismas dimensiones y doblando la pieza resultante, como se muestra en el siguiente diagrama. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de los cuadrados que se recortan para que el volumen de la caja sea el máximo posible? Análisis del problema. Para facilitar la resolución de estos problemas puede ser útil realizar algunos cálculos sencillos aplicando nuestros conocimientos de aritmética y geometría y, a partir de la información y comprensión lograda en esta etapa de análisis, plantear el problema algebraicamente y luego utilizar las herramientas del cálculo diferencial e integral. ¿Qué pasa si los cuadrados que se recortan miden 2 cm por lado? Como se observa en la figura, al doblar la pieza se obtendrían las siguientes dimensiones de la caja: Longitud = 36 Ancho = 26 Altura = ______ Después de recortar, se dobla la pieza resultante. Con estas dimensiones, ¿cuánto es el volumen de la caja? __________________________
- 5. Fundamentos del Cálculo http://licmata-math.blogspot.mx/ 5 ¿Cómo afecta al volumen si, ahora, cambiamos las dimensiones del tamaño del cuadrado que se recorta a 3 cm por lado? Completa la figura y realiza los cálculos necesarios. Longitud = ___________ Ancho = ___________ Altura = ___________ Volumen = ___________ ¿Crees que el volumen de la caja aumentará siempre que el tamaño del cuadrado que se recorta sea mayor? ____________________________________________________________________________ En lugar de probar con más valores, es preferible expresar algebraicamente esta cantidad que estamos haciendo cambiar. Vamos a llamarle “x” a la medida del lado del cuadrado que se recorta. Al llamarle “x”, ¿cómo se expresan las dimensiones de la caja en función de equis? Longitud = __________________ Ancho = __________________ Altura = __________________ Volumen = ______________________ Ahora es necesario recordar el procedimiento algebraico de multiplicación de polinomios para obtener la expresión algebraica que representa el volumen de la caja en función de x. (40 – 2x)( )(x) = ________________________________________________ ¿Qué ocurrió con el volumen de la caja? ¿Aumentó? ¿Disminuyó? _____________________________ _____________________________
- 6. Fundamentos del Cálculo http://licmata-math.blogspot.mx/ 6 Resolución del problema mediante la derivada. La función que representa el volumen se deriva: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = Formulario para el curso: http://licmata-math.blogspot.mx/p/liderazgo-y-autoridad.html La derivada se iguala a cero. ____________________________________________ La ecuación que se obtiene en este caso es de segundo grado, podemos resolverla mediante la fórmula general identificando los valores a, b y c. 𝑥 = −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 a = _________ b = _________ c = _________ Sustitución en la fórmula general. 𝑥 = −( ) ± √( )2 − 4( )( ) 2( ) Se efectúan operaciones. Se obtienen dos resultados: 𝑥1 = _____________________ 𝑥2 = _____________________ Las soluciones de la ecuación de segundo grado son los valores de equis en los que la derivada de la función es igual a cero, es decir, los puntos críticos. En estos puntos críticos se encuentran los máximos y mínimos relativos de la función. ¿Cuál es la solución correcta? ___________________________
- 7. Fundamentos del Cálculo http://licmata-math.blogspot.mx/ 7 Para conseguir una mejor comprensión del problema es útil trazar la gráfica de la función que representa el volumen de la caja tomando en el eje equis una escala de 2 en 2 hasta 20 y en el eje ye, de cero a 3000, de 300 en 300. Preguntas para análisis. ¿En qué puntos cruza la gráfica al eje x? ¿Qué significan estos valores de x = 0? ¿En qué puntos se encuentran las soluciones de la ecuación de segundo grado? ¿Qué significan estas soluciones? Una explicación detallada del procedimiento de solución se encuentra en: http://licmata-math.blogspot.mx/2012/11/problema-resuelto-de-maximos-y-minimos.html
- 8. Fundamentos del Cálculo http://licmata-math.blogspot.mx/ 8 Ejercicios. Para poder plantear y resolver el problema fue necesario recurrir a algunos conocimientos de álgebra: Multiplicación de polinomios y resolución de la ecuación de segundo grado que, naturalmente, se basan en las leyes de los signos para la suma y la multiplicación, reducción de términos semejantes, suma algebraica, principalmente. Un excelente recurso que podemos emplear para repasar estos temas se encuentra en el siguiente enlace: https://sites.google.com/site/licmataalgebra/el-algebra/operaciones-algebraicas Con la finalidad de practicar, sin necesidad de llevar cabo todo el procedimiento de análisis, resuelve los siguientes ejercicios aplicando, directamente, los conceptos de máximos y mínimos relativos. 1. Resuelve el problema de la caja tomando en cuenta que las dimensiones de la pieza rectangular son: Longitud = 30 cm, Ancho = 20 cm. En los siguientes problemas, antes de resolverlos, es necesario convertir, del sistema inglés, al sistema internacional de unidades. 2. Resuelve el problema de la caja tomando en cuenta que las dimensiones de la pieza rectangular son: Longitud = 1 yd, Ancho = 2 ft. 3. Resuelve el problema de la caja tomando en cuenta que las dimensiones de la pieza rectangular son: Longitud = 2 ft, Ancho = 15 in. Los siguientes ejercicios no requieren ningún planteamiento, solamente obtener los máximos y mínimos relativos. 4. 𝑦 = 6𝑥3 − 8𝑥2 − 7𝑥 + 2 5. 𝑦 = 3𝑥3 − 8𝑥 + 9 6. 𝑦 = −2𝑥3 + 3𝑥2 + 6 7. 𝑦 = −𝑥3 + 2𝑥2 − 7𝑥 − 3 8. 𝑦 = −16𝑥3 − 32𝑥2 + 72𝑥 + 8