![Sección 6. Diagonalización
⎛ 1 1 0⎞
⎜ ⎟
1.- (enero 2010-LE) Sea A = ⎜ 2 0 0 ⎟ .
⎜ 1 1 2⎟
⎝ ⎠
a) ¿Es diagonalizable la matriz A? En caso afirmativo, calcula las matrices P y D tales
que P −1 AP = D .
b) ¿Existe algún valor de a para el que ( 3, −6, a ) sea un vector propio de la matriz A?
a) Primero calculamos los valores propios, que corresponden a las raíces del
polinomio característico:
1− λ 1 0
p (λ ) = A − λ I = 2 −λ 0 = (2 − λ )[−λ (1 − λ ) − 2] = (2 − λ )(2 − λ )(1 + λ ) .
1 1 2−λ
Luego los valores propios son λ = 2 (doble) y λ = −1 (simple).
* Como λ = −1 es simple se tiene que dim S ( −1) = 1 .
* Ahora calculamos dim S ( 2 ) :
⎛ −1 1 0⎞
⎜ ⎟
A − 2I = ⎜ 2 − 2 0 ⎟ .
⎜1 1 0⎟
⎝ ⎠
Entonces, dim S ( 2) = n º col ( A − 2 I ) − rg ( A − 2 I ) = 3 − 2 = 1 ≠ mult ( 2) y por
tanto A no es diagonalizable.
b) ( 3, −6, a ) es un vector propio de A si:
⎛ 1 1 0 ⎞⎛ 3 ⎞ ⎛ 3⎞ −3 = 3λ ⎫
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪
⎜ 2 0 0 ⎟⎜ −6 ⎟ = λ ⎜ −6 ⎟ , es decir, 6 = −6λ ⎬ ⇒ λ = −1, a = 1.
⎜ 1 1 2 ⎟⎜ a ⎟ ⎜a⎟ − 3 + 2 a = aλ ⎪
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭
Por tanto ( 3, −6,1) es un vector propio asociado al valor propio λ = −1 .
95](https://image.slidesharecdn.com/diagonalizacionmatrices-121214030443-phpapp02/85/Diagonalizacion-matrices-1-320.jpg)
![Diagonalización
⎛1 0 3⎞
⎜ ⎟
3.- (febrero 2009-LE) Sea la matriz A = ⎜ 3 −2 a ⎟ , donde a ∈ R .
⎜3 0 1⎟
⎝ ⎠
a) Encuentra los valores de a para los cuales -2 es un valor propio de A y halla su
subespacio espectral asociado.
b) Calcula los valores de a para los cuales (1, 5, −1) es un vector propio del valor
propio 4.
c) Para a = 3 , ¿es A diagonalizable?
a) Calculamos las raíces del polinomio característico para la matriz A:
1− λ 0 3
⎧λ = −2 (doble)
A − λI = 3 −2 − λ a = (−2 − λ )[(1 − λ ) 2 − 9] = 0, ⎨
⎩λ = 4
3 0 1− λ
Por tanto, λ = −2 es valor propio de la matriz A para todo a. El subespacio
espectral S (−2) son las soluciones del sistema:
⎛3 0 3⎞⎛ x ⎞ ⎛0⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜3 0 a ⎟⎜ y ⎟ = ⎜0⎟
⎜3 0 3⎟⎜ z ⎟ ⎜0⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
* Para a = 3 , S ( −2) = {( x, y , − x ) / x, y ∈ }
* Para a ≠ 3 , S ( −2) = {( 0, y , 0 ) / y ∈ }
b) Si (1, 5, −1) es un vector propio asociado al valor propio λ = 4 se cumple que:
⎛1 0 3⎞⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Ax = λ x = ⎜ 3 −2 a ⎟ ⎜ 5 ⎟ = 4 ⎜ 5 ⎟ , sistema incompatible cualquiera que sea a.
⎜ 3 0 1 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ −1 ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
c) Si a = 3 los valores propios de A son λ = −2 (doble) y λ = 4 . dim S ( 4 ) = 1 .
⎛ 3 0 3⎞
⎜ ⎟
dim S (−2) = 3 − rango( A + 2 I ) = 3 − rango ⎜ 3 0 3 ⎟ = 2 .
⎜ 3 0 3⎟
⎝ ⎠
Por tanto, para a = 3 la matriz A diagonalizable
97](https://image.slidesharecdn.com/diagonalizacionmatrices-121214030443-phpapp02/85/Diagonalizacion-matrices-3-320.jpg)
![Diagonalización
⎛0 0 a⎞
⎜ ⎟
4.- (junio 2009-LE) Sea A = ⎜ 2 1 2 ⎟ .
⎜a 0 0⎟
⎝ ⎠
a) ¿Para qué valores de a es A diagonalizable?
b) Para a = 0 , calcula una matriz diagonal semejante a A.
a) Hallamos las raíces del polinomio característico:
−λ 0 a
A − λI = 2 1− λ 2 = λ 2 (1 − λ ) − a 2 (1 − λ ) = (1 − λ )[ λ 2 − a 2 ] =
a 0 −λ
⎧ λ = 1.
⎪
= (1 − λ )( λ + a )( λ − a ) = 0 ⇒ ⎨ λ = a .
⎪ λ = − a.
⎩
Se tiene: si a = 0 valores propios 1 y 0 (doble).
si a = 1 valores propios 1 (doble) y -1.
si a = −1 valores propios 1 (doble) y -1.
En cualquier otro caso ( a ≠ 0, a ≠ 1, a ≠ −1 ), se obtienen 3 raíces reales distintas
por tanto A es diagonalizable.
* a = 0 , la dimensión del subespacio espectral S(1) es 1. Calculamos la dimensión
del subespacio espectral S(0),
⎛0 0 0⎞
⎜ ⎟
dim S (0) = 3 − rg( A − 0 I ) = 3 − rg ⎜ 2 1 2 ⎟ = 2
⎜0 0 0⎟
⎝ ⎠
Luego coincide con la multiplicidad del valor propio, por tanto A es diagonalizable.
⎛ −1 0 1 ⎞
⎜ ⎟
* a = 1 , dim S ( −1) = 1 y dim S (1) = 3 − rg( A − I ) = 3 − rg ⎜ 2 0 2 ⎟ = 1
⎜ 1 0 −1⎟
⎝ ⎠
Por tanto, A no es diagonalizable.
98](https://image.slidesharecdn.com/diagonalizacionmatrices-121214030443-phpapp02/85/Diagonalizacion-matrices-4-320.jpg)
Diagonalizacion matrices
- 1. Sección 6. Diagonalización ⎛ 1 1 0⎞ ⎜ ⎟ 1.- (enero 2010-LE) Sea A = ⎜ 2 0 0 ⎟ . ⎜ 1 1 2⎟ ⎝ ⎠ a) ¿Es diagonalizable la matriz A? En caso afirmativo, calcula las matrices P y D tales que P −1 AP = D . b) ¿Existe algún valor de a para el que ( 3, −6, a ) sea un vector propio de la matriz A? a) Primero calculamos los valores propios, que corresponden a las raíces del polinomio característico: 1− λ 1 0 p (λ ) = A − λ I = 2 −λ 0 = (2 − λ )[−λ (1 − λ ) − 2] = (2 − λ )(2 − λ )(1 + λ ) . 1 1 2−λ Luego los valores propios son λ = 2 (doble) y λ = −1 (simple). * Como λ = −1 es simple se tiene que dim S ( −1) = 1 . * Ahora calculamos dim S ( 2 ) : ⎛ −1 1 0⎞ ⎜ ⎟ A − 2I = ⎜ 2 − 2 0 ⎟ . ⎜1 1 0⎟ ⎝ ⎠ Entonces, dim S ( 2) = n º col ( A − 2 I ) − rg ( A − 2 I ) = 3 − 2 = 1 ≠ mult ( 2) y por tanto A no es diagonalizable. b) ( 3, −6, a ) es un vector propio de A si: ⎛ 1 1 0 ⎞⎛ 3 ⎞ ⎛ 3⎞ −3 = 3λ ⎫ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ 2 0 0 ⎟⎜ −6 ⎟ = λ ⎜ −6 ⎟ , es decir, 6 = −6λ ⎬ ⇒ λ = −1, a = 1. ⎜ 1 1 2 ⎟⎜ a ⎟ ⎜a⎟ − 3 + 2 a = aλ ⎪ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭ Por tanto ( 3, −6,1) es un vector propio asociado al valor propio λ = −1 . 95
- 2. Diagonalización ⎛1 0 a ⎞ ⎜ ⎟ 2.- (junio 2010-LE) Sea la matriz A = ⎜ 3 3 −3 ⎟ . ⎜1 0 2 ⎟ ⎝ ⎠ a) Para a = 2 , ¿es diagonalizable la matriz A? En caso afirmativo, calcula la matriz diagonal D semejante a A. b) ¿Existe algún valor de a para el que 4 sea un valor propio de la matriz A? a) El polinomio característico de la matriz A cuando a = 2 es: 1− λ 0 2 p (λ ) = A − λ I = 3 3 − λ −3 = (1 − λ )(3 − λ )(2 − λ ) − 2(3 − λ ) = 1 0 2−λ = (3 − λ )((1 − λ )(2 − λ ) − 2) = (3 − λ )(λ 2 − 3λ ) = λ (3 − λ )(λ − 3) . Los valores propios de A, es decir, las raíces del polinomio característico son λ = 0 y λ = 3 (doble). Como son reales, sólo tenemos que la dimensión del subespacio espectral asociado a λ = 3 coincide con su multiplicidad. ⎛ −2 0 2 ⎞ ⎜ ⎟ dim S (3) = 3 − rg ( A − 3I ) = 3 − rg ⎜ 3 0 −3 ⎟ = 3 − 1 = 2 . ⎜ 1 0 −1 ⎟ ⎝ ⎠ Luego A es diagonalizable y una matriz diagonal semejante a A es: ⎛ 3 0 0⎞ ⎜ ⎟ D = ⎜0 3 0⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠ b) Si λ = 4 es un valor propio de la matriz A, entonces es una raíz del polinomio característico: 1− 4 0 a A − 4I = 3 3 − 4 −3 = −6 + a 1 0 2−4 Luego λ = 4 es un valor propio de la matriz A si a = 6. 96
- 3. Diagonalización ⎛1 0 3⎞ ⎜ ⎟ 3.- (febrero 2009-LE) Sea la matriz A = ⎜ 3 −2 a ⎟ , donde a ∈ R . ⎜3 0 1⎟ ⎝ ⎠ a) Encuentra los valores de a para los cuales -2 es un valor propio de A y halla su subespacio espectral asociado. b) Calcula los valores de a para los cuales (1, 5, −1) es un vector propio del valor propio 4. c) Para a = 3 , ¿es A diagonalizable? a) Calculamos las raíces del polinomio característico para la matriz A: 1− λ 0 3 ⎧λ = −2 (doble) A − λI = 3 −2 − λ a = (−2 − λ )[(1 − λ ) 2 − 9] = 0, ⎨ ⎩λ = 4 3 0 1− λ Por tanto, λ = −2 es valor propio de la matriz A para todo a. El subespacio espectral S (−2) son las soluciones del sistema: ⎛3 0 3⎞⎛ x ⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜3 0 a ⎟⎜ y ⎟ = ⎜0⎟ ⎜3 0 3⎟⎜ z ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ * Para a = 3 , S ( −2) = {( x, y , − x ) / x, y ∈ } * Para a ≠ 3 , S ( −2) = {( 0, y , 0 ) / y ∈ } b) Si (1, 5, −1) es un vector propio asociado al valor propio λ = 4 se cumple que: ⎛1 0 3⎞⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Ax = λ x = ⎜ 3 −2 a ⎟ ⎜ 5 ⎟ = 4 ⎜ 5 ⎟ , sistema incompatible cualquiera que sea a. ⎜ 3 0 1 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ c) Si a = 3 los valores propios de A son λ = −2 (doble) y λ = 4 . dim S ( 4 ) = 1 . ⎛ 3 0 3⎞ ⎜ ⎟ dim S (−2) = 3 − rango( A + 2 I ) = 3 − rango ⎜ 3 0 3 ⎟ = 2 . ⎜ 3 0 3⎟ ⎝ ⎠ Por tanto, para a = 3 la matriz A diagonalizable 97
- 4. Diagonalización ⎛0 0 a⎞ ⎜ ⎟ 4.- (junio 2009-LE) Sea A = ⎜ 2 1 2 ⎟ . ⎜a 0 0⎟ ⎝ ⎠ a) ¿Para qué valores de a es A diagonalizable? b) Para a = 0 , calcula una matriz diagonal semejante a A. a) Hallamos las raíces del polinomio característico: −λ 0 a A − λI = 2 1− λ 2 = λ 2 (1 − λ ) − a 2 (1 − λ ) = (1 − λ )[ λ 2 − a 2 ] = a 0 −λ ⎧ λ = 1. ⎪ = (1 − λ )( λ + a )( λ − a ) = 0 ⇒ ⎨ λ = a . ⎪ λ = − a. ⎩ Se tiene: si a = 0 valores propios 1 y 0 (doble). si a = 1 valores propios 1 (doble) y -1. si a = −1 valores propios 1 (doble) y -1. En cualquier otro caso ( a ≠ 0, a ≠ 1, a ≠ −1 ), se obtienen 3 raíces reales distintas por tanto A es diagonalizable. * a = 0 , la dimensión del subespacio espectral S(1) es 1. Calculamos la dimensión del subespacio espectral S(0), ⎛0 0 0⎞ ⎜ ⎟ dim S (0) = 3 − rg( A − 0 I ) = 3 − rg ⎜ 2 1 2 ⎟ = 2 ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠ Luego coincide con la multiplicidad del valor propio, por tanto A es diagonalizable. ⎛ −1 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ * a = 1 , dim S ( −1) = 1 y dim S (1) = 3 − rg( A − I ) = 3 − rg ⎜ 2 0 2 ⎟ = 1 ⎜ 1 0 −1⎟ ⎝ ⎠ Por tanto, A no es diagonalizable. 98
- 5. Diagonalización ⎛ −1 0 −1⎞ ⎜ ⎟ * a = −1 , dim S ( −1) = 1 y dim S (1) = 3 − rg( A − I ) = 3 − rg ⎜ 2 0 2 ⎟ = 2 ⎜ −1 0 −1⎟ ⎝ ⎠ Por tanto, A es diagonalizable. En resumen, A es diagonalizable para a ≠ 1 . b) Si a = 0 , por el apartado anterior, una matriz diagonal semejante a ella es: ⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ D = ⎜0 0 0⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠ -1 ⎛0 1 1 ⎞ ⎛ 0 0 0 ⎞⎛ 0 1 1 ⎞ Además D = P AP = ⎜ 1 -2 0 ⎟ −1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 2 1 2 ⎟⎜ 1 -2 0 ⎟ donde P es la matriz de ⎜ 0 0 -1⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟⎜ 0 0 -1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ paso, formada por las vectores de la base de los subespacios espectrales S(1) y S(0). ⎛ 2 −2 6 ⎞ ⎜ ⎟ 5.- (junio 2008-LE) Sea la matriz A = ⎜ 0 a 4 − a ⎟ ∈ M 3 , a ∈ . ⎜0 a −a ⎟ ⎝ ⎠ a) Calcula los valores de a para los cuales A es diagonalizable. b) Para a = 4 , ¿es A diagonalizable? En caso afirmativo, encuentra todas las matrices diagonales semejantes a A. a) Calculamos las raíces del polinomio característico: 2 − λ −2 6 A − λI = 0 a−λ 4 − a = ( 2 − λ ) ⎡( a − λ )( −a − λ ) − a ( 4 − a ) ⎤ = ( 2 − λ ) ⎡λ 2 − 4a ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 0 a −a − λ ⎧ λ=2 ⎪ ⇔ ⎨ λ = 4a = 2 a ⎪ ⎩λ = − 4a = −2 a 99
- 6. Diagonalización * Si a < 0 : λ = 2 a y λ = −2 a no son valores reales. En consequencia A no es diagonalizable. * Si a = 0 : λ = 0 (doble) y λ = 2 (simple). Luego A es diagonalizable si y sólo si dim S ( 0 ) = 2 . ⎛ 2 −2 6 ⎞ ⎜ ⎟ dim S ( 0 ) = 3 − rg ( A − 0 I ) = 3 − rg ⎜ 0 0 4 ⎟ = 3 − 2 = 1 . ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠ Por tanto A no es diagonalizable * Si a = 1 : λ = 2 (doble) y λ = −2 (simple). Luego A es diagonalizable si y sólo si dim S ( 0 ) = 2 dim S(2). ⎛ 2 − 2 −2 6 ⎞ ⎛ 0 −2 6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dim S ( 2 ) = 3 − rg ( A − 2 I ) = 3 − rg ⎜ 0 1− 2 3 ⎟ = 3 − rg ⎜ 0 −1 3 ⎟ = 3 − 1 = 2 ⎜ 0 1 −1 − 2 ⎟ ⎜ 0 1 −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Luego A es diagonalizable * Si a > 0 y a ≠ 1 : existen tres valores propios reales y distintos. Luego A es diagonalizable En resumen, A es diagonalizable si y sólo si a = 1 ó a > 0 y a ≠ 1 . b) El polinomio característico es 2−λ −2 6 A − λI = 0 4−λ 0 = ( 2 − λ )( 4 − λ )( −4 − λ ) 0 4 −4 − λ Cuyas raíces son λ = 2, λ = 4, λ = −4 reales y distintas, luego A es diagonalizable. Todas las matrices diagonales semejantes a A son: ⎛2 0 0 ⎞ ⎛2 0 0⎞ ⎛4 0 0 ⎞ ⎛4 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 4 0 ⎟ , ⎜ 0 −4 0 ⎟ , ⎜ 0 2 0 ⎟ , ⎜ 0 −4 0 ⎟ , ⎜ 0 0 −4 ⎟ ⎜ 0 0 4 ⎟ ⎜ 0 0 −4 ⎟ ⎜0 0 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −4 0 0 ⎞ ⎛ −4 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 2 0⎟ , ⎜ 0 4 0⎟ . ⎜ 0 0 4⎟ ⎜ 0 0 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 100
- 7. Diagonalización ⎛a 0 0⎞ ⎜ ⎟ 6.- (febrero 2005-LE) Sea la matriz A= A = ⎜ −1 0 2 ⎟ ∈ M 3 , a ∈ . ⎜ 0 0 a2 ⎟ ⎝ ⎠ a) Calcula los valores de a para los cuales A es diagonalizable. b) Para a = 1 , calcula una matriz diagonal semejante a A y una base de 3 formada por vectores propios de A. c) Calcula los valores de a para los cuales λ = 4 es un valor propio de A. (a − λ ) 0 0 a) pA ( λ ) = A − λ I = −1 −λ 2 = ( a − λ )( −λ ) ( a 2 − λ ) 0 0 (a 2 − λ ) Raíces del polinomio característico: λ = a, 0, a 2 * Si a ≠ 0, 1 , las raíces del polinomio característico son simples, luego A diagonalizable. * Si a = 0 , las raíces del polinomio característico son λ = 0 (triple). ⎛ 0 0 0⎞ ⎜ ⎟ dim S ( 0 ) = 3 − rg ( A − 1I ) = 3 − rg ⎜ −1 0 2 ⎟ = 3 − 1 = 2 . Luego A no diagonalizable. ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ * Si a = 1 , las raíces del polinomio característico: λ = 1 (doble) y λ = 0 (simple). ⎛ 0 0 0⎞ ⎜ ⎟ dim S ( 0 ) = 3 − rg ( A − 1I ) = 3 − rg ⎜ −1 −1 2 ⎟ = 3 − 1 = 2 . Luego A diagonalizable. ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 0 0 0 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ b) S (1) son las soluciones del sistema ⎜ −1 −1 2 ⎟⎜ y ⎟ = ⎜ 0 ⎟ , es decir, ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟⎜ z ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ S (1) = {( x, y , z ) ∈ 3 / x = − y + 2 z} = {( − y + 2 z , y , z ) : y , z ∈ } . Luego una base de S (1) es ( −1,1, 0 ) , ( 2, 0,1) ⎛ 1 0 0 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ S ( 0) son las soluciones del sistema ⎜ −1 0 1 ⎟⎜ y ⎟ = ⎜ 0 ⎟ , es decir, ⎜ 0 0 1 ⎟⎜ z ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 101
- 8. Diagonalización S ( 0 ) = {( x, y , z ) ∈ 3 / x = 0, z = 0} = {( 0, y , 0 ) : y ∈ }. Por tanto, S ( 0 ) = ( 0,1, 0 ) Base de vectores propios de A = ( −1,1, 0 ) , ( 2, 0,1) , ( 0,1, 0 ) Matriz Diagonal semejante a A: ⎛1 0 0⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎛ 0 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0⎟ ó ⎜ 0 0 0⎟ ó ⎜ 0 1 0⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ c) Opción 1. Si λ = 4 es un valor propio de A, entonces ( a − 4) 0 0 A − 4I = −1 −4 2 = ( a − 4 )( −4 ) ( a 2 − 4 ) = 0 . Luego a = 2, −2, 4 0 0 (a 2 − 4) Opción 2. Si λ = 4 es un valor propio de A, entonces 4 es raíz del polinomio característico p ( λ ) = A − λ I (calculadas en el apartado a): λ = a, 0, a 2 . Por tanto, λ = 4 es un valor propio de A si a = 2, −2, 4 . 102
- 9. Diagonalización ⎛ 2 a 1⎞ ⎜ ⎟ 7.- (junio 2005-LE) Sea la matriz A = ⎜ 0 −1 3 ⎟ ∈ M 3 , a ∈ . ⎜ 0 2 0⎟ ⎝ ⎠ a) Calcula los valores de a para los cuales λ = −3 es un valor propio de A. b) Calcula los valores de a para los cuales ( 0,1,1) es un vector propio de A. c) Calcula los valores de a para los cuales A es diagonalizable. a) Calculamos los valores propios de A; es decir, las raíces del polinomio característico: 2−λ a 1 A − λI = 0 −1 − λ 3 = ( 2 − λ )( 2 − λ )( λ + 3) 0 2 −λ Raíces del polinomio característico λ = −3 (simple) y λ = 2 (doble). Independientemente de los valores de a, λ = −3 es un valor propio de A. ⎛ 2 a 1 ⎞⎛ 0 ⎞ ⎛ a + 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b) ⎜ 0 −1 3 ⎟⎜ 1 ⎟ = ⎜ 2 ⎟ = λ ⎜ 1 ⎟ . Luego, λ = 2 y a = −1 . ⎜ 0 2 0 ⎟⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ c) Raíces del polinomio característico λ = −3 (simple) y λ = 2 (doble). dim S ( −3) = 1 ⎛0 a 1 ⎞ ⎜ ⎟ dim S ( 2 ) = 3 − rg A − 2 I = 3 − ⎜ 0 −3 3 ⎟ ⎜ 0 2 −2 ⎟ ⎝ ⎠ * Si a = −1 , dim S ( 2 ) = 2 * Si a ≠ −1 , dim S ( 2 ) = 1 Por lo tanto A es diagonalizable si a = −1 . 103
- 10. Diagonalización 8.- (enero 2004-LE) ⎛a b 3⎞ ⎜ ⎟ a) Sea la matriz A = ⎜ 0 1 a ⎟ ∈ M 3 , a , b ∈ . ⎜ 0 1 2⎟ ⎝ ⎠ i) Calcula los valores de a y b para los cuales λ = 3 es un valor propio de A. ii) Calcula los valores de a y b para los cuales ( 0,1,1) es un vector propio de A. iii) Para a = 0 , ¿es la matriz A diagonalizable? En caso afirmativo, encuentra una matriz diagonal semejante a A. iv) Para a = b = 0 , calcula todos los vectores propios asociados al valor propio λ =0. ⎛3 0 ⎞ b) Escribe, razonando la respuesta, una matriz no diagonal semejante a ⎜ ⎟. ⎝ 0 −1 ⎠ a) i) λ = 3 es un valor propio de la matriz A si y sólo si A − 3I = 0 y A − 3I = (a − 3)(2 − a) . Luego λ = 3 es un valor propio de A, para a = 3 y b ∈ y para a = 2 y b∈ . ii) (0,1,1) es un vector propio de la matriz A si y sólo ⎛ a b 3 ⎞⎛ 0 ⎞ ⎛ 0⎞ ⎧ λ=3 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ 0 1 a ⎟⎜ 1 ⎟ = λ ⎜ 1 ⎟ . Luego ⎨a=2 ⎜ 0 1 2 ⎟⎜ 1 ⎟ ⎜1⎟ ⎪ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩b = −3 iii) Para calcular los valores propios de A planteamos el polinomio característico: −λ b 3 A − λ I = 0 1− λ 0 = −λ (1 − λ )(2 − λ ) 0 1 2−λ Los valores propios son λ = 0, 1, 2 , todos simples y reales, luego A es diagonalizable. 104
- 11. Diagonalización ⎛0 0 0⎞ ⎜ ⎟ Una matriz diagonal semejante a A es: ⎜ 0 1 0 ⎟ . ⎜0 0 2⎟ ⎝ ⎠ iv) El subespacio espectral asociado al valor propio 0 es la solución del sistema de ecuaciones homogéneo cuya matriz de coeficientes es ⎛ 0 0 3⎞ ⎜ ⎟ A − 0 ⋅ I = ⎜0 1 0⎟ . ⎜ 0 1 2⎟ ⎝ ⎠ La solución es y = 0, z = 0. Luego S A (0) = {( x, 0,0), x ∈ } y una base es: (1, 0, 0 ) . Por tanto, los vectores propios asociados al valor propio 0 son los puntos de la forma ( x, 0, 0), x ∈ , menos el punto ( 0, 0, 0 ) . ⎛3 2 ⎞ b) Por ejemplo ⎜ ⎟ , ya que sus valores propios son 3 y –1, reales y simples, ⎝ 0 −1 ⎠ ⎛3 0 ⎞ luego es diagonalizable, y por tanto semejante a ⎜ ⎟. ⎝ 0 −1 ⎠ ⎛a 0 b⎞ ⎜ ⎟ 9.- (junio 2004-LE) Sea la matriz A= A = ⎜ 0 −a 0 ⎟ ∈ M 3 , a , b ∈ . ⎜0 1 a⎟ ⎝ ⎠ a) Calcula los valores de a y b para los cuales A es diagonalizable. b) Para a = 2 y b = 0 , calcula una matriz diagonal semejante a A y una base de 3 formada por vectores propios de A. a−λ 0 b a) A − λI = 0 −a − λ 0 = ( a − λ )( −a − λ )( a − λ ) . 0 1 a−λ Por tanto los valores propios de la matriz A son: λ = a (doble) y λ = − a (simple) . Casos: 105
- 12. Diagonalización * Si a = 0 , entonces el único valor propio es λ = 0 (triple). Como ⎛0 0 b⎞ ⎜ ⎟ rg ( A − 0 ⋅ I ) = rg ⎜ 0 0 0 ⎟ ≠ 0 , ⎜ 0 1 0⎟ ⎝ ⎠ se tiene que dim S A (0) = 3 − rg ( A − 0 ⋅ I ) ≠ 3 = mult (0) , luego la matriz A no es diagonalizable en este caso. * Si a ≠ 0 , los valores propios son λ = a (doble) y λ = − a (simple) . Luego A será ⎛0 0 b⎞ ⎜ ⎟ diagonalizable si dim S A (a) = 2 = mult (a ) . Como rg ( A − a ⋅ I ) = rg ⎜ 0 −2a 0 ⎟ , se ⎜ 0 1 0⎟ ⎝ ⎠ tiene que rg ( A − a ⋅ I ) = 2, si b ≠ 0, y rg ( A − a ⋅ I ) = 1, si b = 0. Luego dim S A (a ) = 1, si b ≠ 0, y dim S A (a) = 2, si b = 0. Es decir, dim S A (a) = 2 = mult (a) para todo a ≠ 0 y b = 0. Entonces A es diagonalizable si a ≠ 0 y b = 0. b) En este caso se cumple que a ≠ 0 y b = 0, entonces, por el apartado anterior, la matriz A es diagonalizable. Como los valores propios son: λ = 2 (doble) y λ = −2 (simple) , se tiene que una matriz diagonal semejante a A es ⎛2 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ D = ⎜ 0 2 0 ⎟. ⎜ 0 0 −2 ⎟ ⎝ ⎠ Para calcular una base formada por vectores propios calculamos el subespacio espectral asociado al valor propio 2, es decir, la solución del sistema de ecuaciones ⎛ 0 0 0⎞ ⎜ ⎟ homogéneo cuya matriz de coeficientes es A − 2 ⋅ I = ⎜ 0 −4 0 ⎟ . La solución es ⎜ 0 1 0⎟ ⎝ ⎠ y = 0. Luego S A (2) = {( x,0, z ), x, z ∈ } y una base es: (1, 0, 0 ) , ( 0, 0,1) . 106
- 13. Diagonalización El subespacio espectral asociado al valor propio -2 es la solución del sistema de ⎛ 4 0 0⎞ ⎜ ⎟ ecuaciones homogéneo cuya matriz de coeficientes es A + 2 ⋅ I = ⎜ 0 0 0 ⎟ . La ⎜ 0 1 4⎟ ⎝ ⎠ solución es x = 0, y = −4 z. Luego S A (−2) = {(0, −4 z, z ) : z ∈ } y una base es: ( 0, −4,1) . Por tanto, una base formada por vectores propios es: (1, 0, 0 ) , ( 0, 0,1) , ( 0, −4,1) . 107