Dominio y rango de una funcion cuadratica
- 1. Bienvenidos al curso de funciones En este video vamos a ver cómo encontrar el dominio y rango de una función cuadrática Cuando una función es una función cuadrática Recordemos que lo primeroque hay que hacer es reconocer si una funciónes cuadrática, en el caso que la función no sea cuadrática, no se debe encontrar en dominio y el rango. Comose reconoce que unafunciónescuadrática,acontinuación,escriboalgunosejemplos de funcionescuadráticas.Primeroque todorecordarle que puede ser yo f de (x),esoeslo de menos, en este caso es lo mismo. Para que una función sea cuadrática debe tener la 𝒙 𝟐 o la variable independiente al cuadrado. Si se observa, en todas las funciones dice 𝑥2 𝒚 = 𝒙 𝟐 𝒇( 𝒙) = 𝟒𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 𝒇( 𝒙) = −𝟑 + 𝟓𝒙 𝟐 𝒚 = 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟒 𝒚 = ( 𝒙 + 𝟒) 𝟐 En este ejemplo parece que no lo digiera por que dice x, pero como esta dentro de un parentisis al cuadrado, en este caso el cuadrado va para la x. Ese exponente debe ser el máximo exponentede lax,esdecirenningún lado puede decir 𝑥3, 𝑥4, 𝑛𝑖 𝑥5 ni nada por el estilo, obligatoriamente 𝑥2. No importa si está acompañada, de otro termino con la x o de una constante,esdecir de un número, lo importante es que es te 𝑥2 Para que una función sea cuadrática aclaremos también, que en ningún lado este la x en el denominador. 𝒚 = 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝟑 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝟒 Por Ejemplo, Funciones que no son cuadráticas 𝒚 = 𝟑𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 𝟑 𝒇( 𝒙) = 𝒙 𝟐 𝟑𝒙 + 𝟐 𝒚 = 𝟓𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟓𝒙 𝟐 En este ejemplo, aclaramos que nunca debe haber sumas o restas, o si las hay realizarlas y luego verificar si son cuadráticas. Por ejemplo, si hacemos la resta 5𝑥2 − 5𝑥2 = 0 Ósea que 𝑙𝑜𝑠 5𝑥2 𝑠𝑒 𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛 Y la función quedaría 𝑦 = −3𝑥
- 2. A continuación,vamosa ver como es la gráfica de una función cuadrática, ¿por qué? Porque esto lo necesitamos para aclara bien como encontramosel dominioyel rangode una función. En este ejemplo tenemos una función cuadrática Aquí tenemos la letra que esta al cuadrado, luego la letra a la uno y luego sigue un numero solo. Esos números pueden ser cualquier número, excepto el cero. Porque si la A llegaa valercero,ya sería una línea recta. Entonces la A puede valer cualquier número positivo, cualquier númeronegativo.LaBpuede serunnumero incluidoel cero,eneste casosi colocamosel cero, sigue siendo una parábola. La C también puede ser cero y sigue siendo una parábola. Entonces recordemos esta parte, La A es el númeroque estáacompañandola 𝑥2 la Bes el númeroque estaacompañandolaX,ylac es el numero que esta solo. Primerotemaque debemostenerclaroesel DOMINIO, el dominio de cualquier función cuadrática. Siempre va ser todos los reales, ¿Por qué?, porque el demonio va de izquierda a derecha. Si observamos decimos, hasta dónde va el dominio. Si lo ubicamos en el número 4, y miramos la parábola un poco mas arriba, observamosque si pasadespuésdel cuatro. Entonces si lo ubicamos en el numero 10, y al mirar la parabolo un poco mas arriba, decimos que si pasa por el numero 10. Incluso sigue mas allá. El dominio de cualquier parábola va, desde menos infinito hasta infinito. Porque la parábolasiempre se vaabrirhastainfinito,y a cerrar hasta menos infinito. El domino va con respecto al eje x. Ahora para el rango vamos hacer lo mismo, pero con el eje y. Aquí si ocurre algo, que esta recta, no la va tocar la parábola. Por más que yo baje, pues ya no va estar la parabolo ya que la parábola abre hacia arriba. Simplemente el rangoiniciaríadesde -3.1, y terminaría en infinito. Un puntomuy importante de la parábolaes el vértice, lo marco con un punto, que es el vértice, donde el vértice seria -0.29. porque es tan importante. Porque si observamos este punto divide a la parábola en dos. La parte de la derecha y la izquierda que estas dos partes son iguales. Además, este vértice va ser el punto mas bajo, si la parábola abre hacia arriba. O el punto más alto si la parábola abre hacia abajo. Ejemplo: 𝑦 = 4𝑥2 + 2𝑥 − 3 Primero que todo verificar que sea cuadrática, que este al cuadrado como máximo exponente. Aclaremos que el punto importante es el vértice de esta parabolo. Entonces vamos a ver cual es el vértice.
- 3. 𝑉 = ( −𝑏 2𝑎 , 𝑓 ( −𝑏 2𝑎 )) Acordémonos que el vértice al igual que todos los puntos tiene dos coordinas. Por ejemplo: (2,3) es un punto que se ubica en el plano cartesiano. 2 enel eje x y 3 en el eje y, todos lospuntos tienen coordenadas x y Coordenadas y. El vértice tiene coordenada x 𝑉 = ( −𝑏 2𝑎 ) y coordenada y que se encuentra asi. 𝑓 ( −𝑏 2𝑎 ) Primero aprendámonos cuanto vale la a, la b, y la c de la siguiente función. 𝑦 = 4𝑥2 + 2𝑥 − 3 La coordenada x que se encuentra con 𝑥 = −𝑏 2. 𝑎 = −2 2.4 = −2 8 = −0.25 Entonces la coordenada x del vértice es igual a -0.25 Entonces ahora remplazamos el valor de la x en la función inicial. 𝑦 = 4𝑥2 + 2𝑥 − 3 𝑦 = 4(−0.25)2 + 2(−0.25) − 3 𝑦 = 4(0.0625) − 0.5 − 3 𝑦 = 0.25 − 0.5 − 3 𝑦 = −0.25 − 3 𝑦 = −3.3 𝑉 = (−0.25,−3.3) Ya sabiendo cual es el vértice y sabiendo si abre hacia arriba o hacia abajo, podemos encontrarde una vezel dominio y el rango. Ahora esta parábola como se abre, hacia arriba o hacia abajo, acordémonos que eso se mira con respecto al valor de a. Como la a es positiva, es porque esta parábola abre hacia arriba. Entonces: Dominio:Son lasx desde laderechahaciala izquierda son todos los números Reales. Siempre en la cuadrática, el dominio son todos los reales. Rango: empiezaen -3.3yterminaeninfinito. Porque empiezadesde que iniciael vértice y sube hasta el infinito.