señales digitales

Tratamiento Digital de la Señal

Rafael Martínez Olalla
Grupo de Informática Aplicada al Procesamiento de Señal e Imagen (GIAPSI)
Universidad Politécnica de Madrid, Campus de Montegancedo, s/n, 28660 Boadilla del Monte, Madrid, Spain

e-mail: rmolalla@junipera.datsi.fi.upm.es

Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal 1/138


1. Técnicas de procesado de señal
2. Señales y sistemas
Definiciones básicas
Propiedades de los sistemas
Representación de señales en términos de impulsos
3. Transformada de Laplace
4. Introducción al análisis de Fourier
Perspectiva Histórica
Conceptos básicos
Respuesta de sistemas LTI a exponenciales complejas
Representación de señales periódicas en tiempo continuo
Generalización para señales aperiódicas
Representación de señales discretas



5. Paso del mundo continuo al discreto (Muestreo)
Ejemplos cotidianos
Teorema de muestreo
Esquema de un sistema digital
6. Transformada Z
7. DFT
8. Filtrado básico


Técnicas de Procesado de Señal


Técnicas de procesado de señal

Filtrado
Análisis
Clasificación


• Técnicas de procesado de señal
• Señales y sistemas

Filtrado (I)
• Transformada de Laplace
• Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT
• Filtrado básico

Filtros fijos
F P Bajo, F P Banda, F P Alto, F Banda
Eliminada
Aplicaciones sencillas:
Diferenciadores
Integradores
Filtros de nulo
Media móvil
Suavizado
Filtros en peine
etc.


Filtrado (II)
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Filtros adaptativos
Se pueden clasificar de diversos modos,
atendiendo a:
Su estructura (transversales, celosías)
Algoritmos de actualización de los pesos
(gradiente, mínimos cuadrados)
Dominio de filtrado (tiempo, frecuencia)
etc



Filtrado (III)
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Aplicaciones del filtrado adaptativo:
Identificación de sistemas (modelo en capas de la
tierra, modelo del tracto vocal, etc.)
Modelado inverso (deconvolución predictiva,
ecualización adaptativa -cancelación de los efectos del
canal en transmisión-)
Predicción (LPC, ADPCM, análisis espectral, detección
de señal)
Cancelación de interferencias (ECG fetal, interferencia
de red, cancelación de ruido, cancelación de eco,
antenas adaptativas, dirección de baterías de artillería)



Análisis
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Autocorrelación
Bancos de filtros
Métodos transformacionales
Fourier
Cepstrum
Wavelets
Métodos paramétricos
Modelo autorregresivo (predicción lineal)
Métodos para hallarlo: (autocorrelación, covarianza,
filtros en celosía, filtros adaptativos)



Clasificación , Codificación,

Compresión • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Codificación reversible / irreversible
Digitalización => pérdida
Codificación por forma de onda (PCM, DPCM, ADPCM)
Codificación en subbandas
Codificación LPC
Codificación mediante Wavelets
Redes neuronales
Cuantificación vectorial


Señales y Sistemas


2. Señales y sistemas

Definiciones
Señales útiles Filtro acústico

Propiedades de los Cavidad nasal

sistemas
Señal acústica
de salida
Cuerdas Cavidad Cavidad oral
vocales faríngea (modificada por los
órganos articulatorios)

Representación de
Velo
Laringe

señales en términos de
Tráquea

Generador
Pulmones

impulsos: convolución Diafragma



Definición de señal • Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Amplitud

tiempo

Señal de electrocardiograma

Señal: función de una o más variables independientes

Contiene información acerca de fenómenos físicos



Definición de señal
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Es t o e s u n a s e ñ a l de v o z



• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

11 kHz

0 kHz
0s e s t o e s u n a s e ñ a l dev o z 3s



• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Tono fundamental Formantes

Espectro de la vocal /i/ pronunciada por un hablante masculino



Definición de • Señales y sistemas

sistema • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Oído externo Oído medio Oído Interno

Ventana Cóclea
oval Resonancia en (desenrollada)
la membrana

Pabellón Altas frecuencias Bajas frecuencias
Canal auditivo
auditivo
Cadena de
huesecillos
Tímpano
Trompa de Ventana Membrana Fibras del
Eustaquio redonda basilar nervio auditivo

Sistema: proceso que produce transformación de señales




• Transformada Z
• DFT

(a) (b)
Señal de Señal de Señal de Señal de
Sistema Sistema
entrada salida entrada salida

Movimiento
Onda de Movimiento Oído de la
presión Oído externo Movimiento del tímpano medio ventana oval
acústica del tímpano

(c) (d) (e)
Señal de Señal de Señal de Señal de Señal de Señal de
Sistema Sistema Sistema
entrada salida entrada salida entrada salida

Onda de presión Onda de presión Resonancia de Células del Impulso eléctrico
en el fluido Resonancia de la membrana órgano de Corti al cerebro
en el fluido la membrana
Movimiento Conjunto
de la ventana oval Membrana
ventana oval fluido basilar
endolinfático




• Transformada Z
• DFT

Filtro acústico

Cavidad nasal

Señal acústica
de salida
Cuerdas Cavidad Cavidad oral
vocales faríngea (modificada por los
órganos articulatorios)

Velo
Laringe
Tráquea

Generador
Pulmones

Diafragma




• Transformada Z
• DFT

Periodo del pitch
|H(Ω)|

Tren de
Amplitud π
impulsos Ω

Filtro digital Señal
H(z) de voz

Ruido
aleatorio




• Transformada Z
• DFT

(a)
Filtro del
Excitación Señal de voz
tracto vocal

(b)
amplitud

amplitud

amplitud
tiempo tiempo tiempo
Pulsos glotales Respuesta al impulso del Voz
tracto vocal

(c) Formantes
Espectro de
un pulso
amplitud

amplitud

amplitud
frecuencia frecuencia frecuencia
Excitación sonora Respuesta del tracto vocal Voz



Definiciones
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Señal: Función de una o mas variables independientes (Contienen
información de fenómenos físicos)
Señales tiempo continuo x(t)
Señales tiempo discreto x[n]
Sistema: Cualquier proceso que produce transformación de señales
Tiempo continuo
Tiempo discreto


Tiempo continuo /

tiempo discreto
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

x y
Sistema x y

x(t) Sistema de tiempo continuo
Sistema
x(t) y(t)
de
x(t) y(t)
tiempo
continuo

t

(a)
Sistema de tiempo discreto
x[n] (b)
Sistema
...... 2, 1.8, 0.8, -0.7, 2.5, -0.8, 1.5, 1.5, 1.5, ....... x[n] y[n]
..... de
..... x[n] y[n]
tiempo
discreto
n n=0



Transformaciones de la • Señales y sistemas

variable independiente
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

x(t) x(t-t0) x(t+t0)

Desplazamiento temporal
t t0 t -t0 t
x[n-n0] x[n+n0]
x[n]

..... ..... ..... ..... ..... .....

n n0 n -n0 n

x(t) x(-t)

Inversión temporal
t t

x(t) x(2t) x(t/2)

Escalado
t t t


Transformaciones de la

variable independiente • Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Dada la señal x(t) de la figura, representar:
(a) x(t+1), (b) x(t-1), (c) x(-t+1), (d) x(-t-1), (e) x(2t), (f) x(t/2) y (g)
x(2t+1)

x(t)
x(t+1) x(t-1)
1
1 1

-2 -1 t 1 2 t
-1 1 t

x(2t) x(-t+1) x(-t-1)
1 1 1

-1/2 1/2 t 1 2 t -2 -1 t

x(t/2) x(2t+1)

1 1

-2 2 t -1 -1/2 t



Propiedades de simetría y

periodicidad • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

x(t)
x(t)

t
t

Señal par
Señal impar

Señal periódica
x(t)
x[n]

...... ...... ..... .....

-3T -2T -T T 2T t -2N -N N 2N n



Señales útiles –

Señal sinusoidal
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

1 sen(ωt)

0.5
cos(ωt)

0
−2π/ω −3π/2ω −π/ω −π/2ω 0 π/2ω π/ω 3π/2ω 2π/ω t

-0.5

-1

ϕ /ω
1 sen(2πt)

sen(2πt+ϕ)
0.5

0
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t

-0.5

-1


Señales útiles - • Técnicas de procesado de señal

exponencial compleja de • Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo

tiempo continuo
• Transformada Z
• DFT

Exponenciales
Eje imaginario
complejas
periódicas

αt
x(t ) = Ke
Exponenciales reales Exponenciales
decrecientes reales crecientes

Eje real
Cualquier lugar del plano α
distinto de los ejes: producto de
exponencial real por exponencial
compleja periódica (combinación
de sinusoides amortiguadas)
Plano α

x(t) Exponenciales reales x(t)

Keαt K K>0 K Keαt
K>0
α>0
α<0

t t



• Muestreo

tiempo continuo
• Transformada Z
• DFT

jω 0 t
x(t ) = e
Eje imaginario

j j2πt
e

0.5j

Eje real
0

-0.5j

tiempo
-j
0
0.5
1 0.5 1
-0.5 0
1.5 -1
2



• Muestreo

tiempo continuo
• Transformada Z
• DFT

αt ⎧ K = K e jϕ
⎪ x(t ) = Keαt = K e jϕ e(σ + jω 0 )t = K eσt e j (ω 0 t +ϕ )
x(t ) = Ke ⎨
⎪α = σ + jω 0
⎩ x(t ) = K eσt [cos(ω0t + ϕ ) + jsen(ω0t + ϕ )]

Eje
imaginario

Envolvente
exponencial
(eσ )
t

Eje real
Eje de
tiempos
Fase inicial ϕ



Señales útiles –

función sinc
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT
(a) sen(πϑ) • Filtrado básico

ϑ
sen(πϑ )
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

sinc (ϑ ) =
πϑ
(b) 1/πϑ
3

2

1
-5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 ϑ
-1

-2

-3

(c) sinc(ϑ)
1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 ϑ



Señales útiles - exponencial

compleja de tiempo discreto • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

(a)

x[n] = Kα
(d)

n ..... .....
n
..... .....

n

(b)

Exponenciales complejas Eje imaginario (e)
relacionadas con señales 1
sinusoidales Circunferencia unidad

..... ..... ..... .....

n n

Eje real
Exponenciales
reales
(c) (f)
..... .....
Plano α ..... .....
n n

Exponenciales reales: (a) a >1, (b) 0<a<1, (c) -1<a<0,
(d) a<-1, (e) a=1, (f) a=-1



Señales útiles - exponencial • Señales y sistemas
compleja de tiempo discreto • Muestreo
• Transformada Z
• DFT
Eje imaginario Eje imaginario • Filtrado básico
(a) (d)
j j

0.5j 0.5j
ejnπ/4 ejn3π/2
Eje real 0 Eje real 0 1
3 2
0 1 4 0 4
2 5 3
6 7 5 6
-0.5j 8 -0.5j 7 8

n n
-j -j

0.5 1 0.5 1
-0.5 0 -0.5 0
-1 -1
Eje imaginario
Eje imaginario (e)
(b)
j
j

0.5j
0.5j
ejn7π/4
ejnπ/2 Eje real 0
Eje real 0 1 0 1
2 3
2 3
0 4 4
6 5
5 7 6 7
-0.5j 8
-0.5j 8
n
n -j
-j

0.5 1
1 -0.5 0
0 0.5 -1
-1 -0.5
Eje imaginario
Eje imaginario (f)
(c)
j
j

0.5j
ejk2πn
0.5j
ejnπ Eje real
Eje real 0 1 0 0
2 1 2
0 3 4 3
5 6 4 5
7 8 6 7
-0.5j 8
-0.5j
n
n -j
-j

0.5 1
0.5 1 -0.5 0
-0.5 0 -1
-1



Interconexión de sistemas • Transformada de Laplace
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Serie o cascada
x y z
Sistema 1 Sistema 2

Sistema 1

Paralelo
x y

Sistema 2

x y
Sistema 1

Con realimentación
Sistema 2



Propiedades de los sistemas • Transformada de Laplace
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Memoria: (sin memoria => la salida en un instante depende de la entrada
en ese instante)
Ej. sin mem: Multiplicar la entrada por dos.
Invertibilidad: (Entradas distintas producen salidas distintas)
Ej. Aplicaciones de restauración de señal, ecualización de canal,
filtrado inverso.
Causalidad: (La salida no depende de entradas futuras)
Los sistemas “físicos son causales”

N
y[n] = ∑ x[n + k ]
1
2 N + 1 k =− N t

Ej: Filtro de media móvil no causal


Propiedades de los sistemas
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT
Estabilidad: (Entradas acotadas producen salidas acotadas)
(a) (b)
x(t)

a) Sistema estable
b) Sistema no estable
y(t)
y(t)

x(t)

Invarianza: (Un desplazamiento en la entrada produce el mismo
desplazamiento en la salida)
x1 (t ) = x(t ) → y1 (t ) x1 [n]= x[n] → y1 [n]
x 2 (t ) = x(t − t 0 ) → y 2 (t ) x 2 [n]= x[n − n0 ] → y 2 [n]
Invarianza ⇔ y 2 (t ) = y1 (t − t 0 ) Invarianza ⇔ y 2 [n] = y1 [n − n0 ]

Linealidad: (Una combinación lineal de entradas produce la misma
combinación lineal de salidas)
x1 (t ) → y1 (t )
x3 (t ) = ax1 (t ) + bx 2 (t ) → y 3 (t ) = ay1 (t ) + by 2 (t )
x 2 (t ) → y 2 (t )

Son muy importantes los sistemas lineales invariantes


Representación de señales

en términos de impulsos • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Función Impulso unidad

δ[n] ⎧1 n = 0 δ[n-1]
δ [n] = ⎨
⎩0 n ≠ 0
0 0

Función Escalón unidad

u[n] u[n-1]
⎧1 n ≥ 0
u[n] = ⎨
0
⎩0 n < 0 0



Representación de señales • Señales y sistemas

en términos de impulsos
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Caso discreto x[−3]δ[n+3]

x[−2]δ[n+2]

x[n] x[−1]δ[n+1]

0 x[0]δ[n]

x[1]δ[n-1]

x[2]δ[n-2]
δ[n]
x[3]δ[n-3]
0
∞
δ[n-1]
x[n] = ∑ x[k ]δ [n − k ]
k = −∞
0



Suma de convolución
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Si tenemos sistema lineal invariante:

(a) (b) δ[n] h[n]
Sistema
x[n] y[n]
LI de
tiempo 0 0
discreto
δ[n-n0] h[n-n0]

δ[n] h[n]
0 n0 0 n0

δ[n-n0] h[n-n0] δ[n]+δ[n-n0] h[n]+h[n-n0]

δ[n]+δ[n-n0] h[n]+h[n-n0]
0 n0 0

∞ ∞
x[n] = ∑ x[k ]δ [n − k ] y[n] = ∑ x[k ]h[n − k ]
k = −∞ k = −∞

39/92


Extensión a sistemas

continuos • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

¿Cuál es la derivada de una función escalón continua?

x(t) 1

0
Función delta de Dirac du (t )
δ (t ) =
dt

(a) uΔ(t)
(b) δΔ(t)
1 1/Δ

−Δ/2 Δ/2 t −Δ/2 Δ/2 t



Representación de una

señal con funciones delta • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

(a) (b) x(t)
x(kΔ)
δΔ(t) x(2Δ) Δx(0)δΔ(t)
x(Δ)
x(0)
1/Δ x(t) x(-Δ)
Δx(kΔ)δΔ(t- kΔ)

0 Δ -Δ 0 Δ 2Δ kΔ
t
∞
⎧1 / Δ 0≤t ≤Δ
δ Δ (t ) = ⎨ x(t ) =
ˆ ∑ x(kΔ)δ
k = −∞
Δ (t − kΔ)Δ
⎩0 resto
∞

Δδ Δ (t ) = 1
x(t ) = lim
Δ →0
∑ x(kΔ)δ
k = −∞
Δ (t − kΔ)Δ

∞
x(t ) = ∫ x(τ )δ (t − τ )dτ
−∞



Integral de • Señales y sistemas

convolución • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

(a) (b)
δ(t) h(t)
Sistema
x(t) y(t)
LI de
tiempo 0 0
continuo
δ(t-t0) h(t-t0)

δ(t) h(t)
0 t0 0 t0

δ(t-t0) h(t-t0)
δ(t)+δ(t-t0) h(t)+h(t-t0)

δ(t)+δ(t-t0) h(t)+h(t-t0)
0 t0 0

∞
x(t ) = ∫ x(τ )δ (t − τ )dτ
∞
−∞
y (t ) = ∫ x(τ )h(t − τ )dτ
−∞


Transformada de Laplace


3. Transformada de Laplace

TL: representación de
señales como combinación
lineal de exponenciales
complejas de la forma est
s = σ + jω
Concepto de región de
convergencia
Transformada de Laplace
Racional



Pierre Simón Laplace • Señales y sistemas
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT
23 de marzo de 1749 – 5 de mayo de 1827
Probabilidad de que el sol salga por el horizonte = (d+1)/(d+2)
Defensor del determinismo causal
Con 18 años viaja a París para presentarse a D’Alambert.
Tras un primer intento infructuoso decide escribir una
disertación sobre los principios de la mecánica: resultado,
D’Alambert le consiguió una plaza de profesor de
matemáticas en al escuela militar de París.
“Tratado de la mecánica celeste”. Presentación a Napoleón:
Monsieur Laplace, me cuentan que ha escrito usted este gran
libro sobre el sistema del universo, sin haber mencionado ni una
sola vez a su creador." A lo que Laplace contestó "Sire, nunca he
necesitado esa hipótesis.“
Newton 100 años antes al modelar el funcionamiento del
sistema solar mediante su ley de gravitación no fue capaz de
explicar ciertas irregularidades aparentes que se deberían
producir en la órbitas de algunos planetas. Newton aludía a la
mediación divina para que el sistema siguiese funcionando.
Comentario de Lagrange: "Pues es una bella hipótesis. Explica
muchas cosas."


mediante exponenciales • Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo

complejas • Transformada Z
• DFT

Buscamos representar señales como combinación lineal de señales
básicas que tengan 2 propiedades:
Que con ellas se pueda construir una amplia clase de señales
Que la respuesta del sistema LTI a cada señal sea lo suficientemente
simple.
est exponencial compleja en el caso continuo.
zn exponencial compleja en el caso discreto.

∞
y (t ) = ∫ x(τ )h(t − τ )dτ x(t) h(t) y (t) = x(t)*h(t)
−∞

∞ ∞
x(t ) = e y (t ) = ∫ h(τ )e s ( t −τ )
dτ = e ∫ h(τ )e − sτ dτ
st st
−∞ −∞

∞
H ( s ) = ∫ h(τ )e − sτ dτ y (t ) = e st H ( s )
−∞



Transformada de • Señales y sistemas

Laplace racional • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

X(s) = N(s) / D(s)
X(S) racional cuando
x(t) sea c.l. De exponenciales
En sistemas LTI especificados mediante ec. dif.
lin de coef. ctes.
Importancia de las raices de numerador y
denominador: diagrama de polos y ceros.



Ejemplos de transformadas • Transformada de Laplace

de Laplace racionales • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Filtro paso bajo de primer orden H(s) = H0ωc / (s+ωc)
Filtro paso bajo de segundo orden H(s) = H0 / (s2+as+b)
Filtro paso alto de primer orden H(s) = H0s / (s+ωc)
Filtro paso alto de segundo orden H(s) = H0s2 /
(s2+as+b)
Filtro paso banda H(s) = as /
(s2+bs+c)


Transformada de Fourier


4. Introducción al análisis de
Fourier
Perspectiva histórica
Fenómenos periódicos
Experimento de Fourier
Descomposición de señales
Exponenciales complejas



Perspectiva histórica • Transformada de Laplace
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT
Antecedentes • Filtrado básico

Babilonios: Uso de series trigonométricas para describir fenómenos
periódicos
1748 Euler: estudio de cuerdas vibrantes.

.......

¿Sirve esta representación para alguna señal mas?



Perspectiva histórica • Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Mecanismo de Antikythera:
Construido en Rodas 80 aC.
Cálculo astronómico
Simulación del movimiento del
sol, la luna y varios planetas.
Primera computadora.
Rueda Luna – Sol.
Relación de velocidades :
13,36842
Relación astronómica:
13,368267



Mecanismo de Antikythera • Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT



Perspectiva histórica • Transformada de Laplace
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

1753 Bernoulli: Todos los movimientos físicos de una cuerda se pueden representar por
combinación lineal de modos normales
1759 Lagrange critica el uso de series trigonométricas el el estudio de cuerdas
vibrantes.
1768 nace Fourier.
Vida Política agitada.
1798 Expedición a Egipto.
1802 – 1815 prefecto de Isère.
Estudio de fenómenos de propagación y difusión del calor.
1807 finaliza su trabajo.
Series de sinusoides armónicamente relacionadas pueden representar cualquier
serie periódica
Justificación teórica Dirichlet 1829.
Representación de señales aperiódicas como integrales ponderadas de sinusoides
que no está armónicamente relacionadas.
1807 presenta un papel que es revisado por Monge, Lacroix, Laplace y Lagrange.
1822 Teoría analítica del calor.



Perspectiva histórica • Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT
Ordenador de las mareas de Lord
Kelvin. 1876
Analizador armónico de Michelson.
Otro resultado importante de
Michelson no tan relacionado:
medición de la velocidad de la luz



Fenómenos de carácter

periódico • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Movimiento de los planetas
Clima terrestre
Fuentes alternas
Olas del océano

Signals and Systems [Oppenheim]



Experimento de Fourier: • Señales y sistemas

Temperatura a lo largo de una • Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo

anilla • Transformada Z
• DFT

0º
Temperatura

Aproximación mediante
funciones sinusoidales
90º 270º

Distribución de
temperatura

180º

0 60 120 180 240 300 360
Ángulo de la anilla


Experimento de Fourier: Temperatura a
lo largo de una anilla

[Revista Investigación y Ciencia]


Descomposición de una

onda cuadrada periódica • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

(a) (d) (g)

(b) (e) (h)

(c) (f) (i)



Sonido de una cuerda de • Señales y sistemas

guitarra • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

segundo
armónico
amplitud (dB)

.......
frecuencia
fundamental ruido de fondo

tiempo (s) frecuencia (Hz)


Sonido de una cuerda de guitarra


Vocales españolas: voz femenina


Vocales españolas: voz masculina



Exponencial compleja • Transformada de Laplace
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

x(t) = ejω0t
Según aumenta ω0,
Eje imaginario

aumenta la velocidad de j e
j2π t

oscilación 0.5j

Es periódica para Eje real

cualquier valor de ω0
0

Es autofunción respecto -0.5j
de los sistemas lineales -j
tiempo

invariantes
0
0.5
1 0.5 1
0

Va a servirnos de base
1.5 -1 -0.5
2

para la descomposición
de funciones (TF y DSF)

73/92


Respuesta de sistemas LTI a • Señales y sistemas

exponenciales complejas
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

La representación y análisis de sistemas LTI Con la suma de
convolución se basa en representar la señal como combinación
lineal de impulsos desplazados.
Buscamos una representación alternativa para señales y sistemas
LTI.
Usaremos exponenciales complejas: Series y transformadas de
Fourier.
Debido a la propiedad de superposición, la respuesta de un
sistema LTI a cualquier entrada que consista en una combinación
lineal de señales básicas, será combinación lineal de las
respuesta a esas señales básicas.
La respuesta de un sistema LTI a exponenciales complejas tiene
una forma particularmente simple.


Representación de señales • Técnicas de procesado de señal

mediante exponenciales
• Muestreo

complejas • Transformada Z
• DFT

Buscamos representar señales como combinación lineal de señales
básicas que tengan 2 propiedades:
Que con ellas se pueda construir una amplia clase de señales
Que la respuesta del sistema LTI a cada señal sea lo suficientemente
simple.
est exponencial compleja en el caso continuo.
zn exponencial compleja en el caso discreto.

∞
x(t) h(t) y (t) = x(t)*h(t) y (t ) = ∫ x(τ )h(t − τ )dτ
−∞

∞ ∞
x(t ) = e y (t ) = ∫ h(τ )e s ( t −τ )
dτ = e ∫ h(τ )e − sτ dτ
st st
−∞ −∞

∞
H ( s ) = ∫ h(τ )e − sτ dτ y (t ) = e st H ( s )
−∞




periódicas en tiempo continuo • Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

x(t) = x(t+T)
T periodo fundamental
ω0 = 2π/T frecuencia fundamental

∞

∫ x(t )e
1
∑a e
T0
jkω 0t − jkω 0t
x(t ) = k ak = dt
k = −∞ T0 0



TF en tiempo continuo • Transformada de Laplace
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

La señal a analizar es una señal de tiempo continuo

SEÑALES PERIÓDICAS (DSF) SEÑALES APERIÓDICAS (TF)
∞

∑a e
∞
X ( jω )e jωt dω
1
∫
jkω 0t
x(t ) = x(t ) =
k = −∞
k
2π −∞

∞
X ( jω ) = ∫ x(t )e − jωt dt
∫ x(t )e
1 T0
− jkω 0t
ak = dt −∞
T0 0



TF en tiempo continuo • Señales y sistemas
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT
(a) x(t) • Filtrado básico

1
.... ....

-4T -3T -2T -T -T1 0 T1 T=4T1 2T 3T 4T t

1/2 a0
(b) ak

a1

.... ....

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 k

(c) ak 1/2 a0

a-1 a1

.... a2 ....
3ω0
-5ω0 -4ω0 -2ω0 −ω0 0 ω0 2ω0=π/T1 4ω0 5ω0 ω
a3


TF en tiempo continuo
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

(a) x(t)
1
.... ....

-2T -T -T1 0 T1 T=8T1 2T t

(b) ak 1/4 a0
a1

.... -5 5 ....

-20 -15 -10 0 10 15 20 k

(c) ak 1/4 a0
a1
a2
4ω0=π/T1
.... ....
-2ω0 −ω0 0 ω0 2ω0 3ω0 ω



TF en tiempo continuo
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

(a) x(t)
1
.... ....

-T -T1 0 T1 T=16T1 t
(b) a0 a1
ak 1/8

.... ....

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 k
(c) ak a0 a1
1/8
8ω0=π/T1
.... ....
-8ω0 −ω0 0 ω0 ω

∞
X ( jω )e jωt dω
1 ∞
x(t ) = ∫ X ( jω ) = ∫ x(t )e − jωt dt
2π −∞ −∞



Análisis de Fourier en • Señales y sistemas

tiempo discreto • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

x[n] h[n] y [n]

∞
y[n] = ∑ h[k ]x[n − k ]
k = −∞

∞ ∞
x[n] = e jΩ 0 n
y[n] = ∑ h[k ]e
k = −∞
jΩ 0 ( n − k )
=e jΩ 0 n
∑ h[k ]e − jΩ0 k
k = −∞

∞
H (Ω 0 ) = ∑ h[k ]e
k = −∞
− jΩ 0 k y[n] = e jΩ0 n H (Ω 0 )



Secuencia exponencial • Señales y sistemas

compleja • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

• x[n] = kαn k,α complejos
• Caso de interés: k = 1, α = ejΩ0
• ejΩ0n = cosΩ0n + j senΩ0n
• ej(Ω0+2π)n = ej2πn ejΩ0n = ejΩ0n
• Es decir, en el caso discreto la señal de frecuencia
Ω0 es idéntica a las señales con frecuencias Ω0±2π,
Ω0±4π, etc


Secuencia exponencial • Técnicas de procesado de señal

compleja • Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Conclusión: en el caso de exponenciales complejas discretas basta
considerar un intervalo de frecuencias de 2π
Dada la periodicidad de la fórmula ej(Ω0+2π)n = ej2πnejΩ0n = ejΩ0n , la
secuencia exponencial compleja no tiene una tasa de oscilación que
se incremente con Ω0
Las señales oscilan mas y mas rápido según nos aproximamos a
valores de Ω0 próximos a π
En π se produce la máxima velocidad de oscilación
Al sobrepasar π y acercarnos a 2π, decrece la velocidad de oscilación



Condición de periodicidad • Señales y sistemas

de la secuencia • Muestreo
• Transformada Z

exponencial compleja • DFT

Para que esta señal sea periódica de
periodo N > 0:
ejΩ0(n+N) = ejΩ0n => ejΩ0n =1 => Ω0n = m2π
Es decir, Ω0/2π debe ser racional



Análisis de Fourier • Señales y sistemas

en tiempo discreto • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Desarrollo de Fourier en tiempo discreto
como representación de señales periódicas
Representación en series de Fourier de una
señal periódica en tiempo discreto -> serie
finita
Conjunto de exponenciales complejas
periódicas de periodo N:
φk[n] = ejkΩ0n = ejk(2π/N)n , k = 0, ±1, ±2,...



Análisis de Fourier en

• Transformada Z
• DFT

Sólo existen N señales distintas en el
conjunto anterior (Exponenciales complejas
que difieren en 2π son iguales)

φk[n] = φk+rN[n]
Podemos representar secuencias
periódicas como combinaciones lineales de
las secuencias φk[n] .



Análisis de Fourier en • Señales y sistemas

• Transformada Z
• DFT

SEÑALES PERIÓDICAS (DSF) SEÑALES APERIÓDICAS (TF)

1
x[n] = ∑ ak φ k [ n] =
k =< N >
∑
k =< N >
ak e jkΩ 0 n
= ∑ ak e
k =< N >
jk ( 2π / N ) n
x[n] =
2π ∫π2
X (Ω)e jΩn dΩ

∞

ak =
1
N
∑ x[n]e − jkω0n =
1
N
∑ x[n]e − jk ( 2π / N ) n X (Ω ) = ∑ x[n]e
n = −∞
− jΩn

n =< N > n =< N >



Propiedades de la • Señales y sistemas

transformada de Fourier • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Linealidad ax[n] + b y[n] <-> a X(Ω) + bX(Ω)
Desplazamiento en el tiempo x[n-n0] <-> e-jΩn0X(Ω)
Desplazamiento en frecuencia x[n]ejΩ0n <-> X(Ω−Ω0)
Convolución x[n]*y[n] <-> X(Ω) Y(Ω)
Multiplicación x[n] y[n] <-> 1/2π X(Ω)*Y(Ω)
Relación de Parseval (Potencia tiempo = 1/2π potencia en
frecuencia)



Función de transferencia • Señales y sistemas

de un sistema • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Es la transformada de Fourier de la respuesta al
impulso de dicho sistema
Tiempo: y(t) = x(t)* h(t)
Frecuencia: Y(w) = X(ω) H(ω)
Estudio de sistemas en el dominio de la
frecuencia supone una gran simplicidad respecto
al dominio del tiempo.

x(t) y(t)
h(t) H(ω)


Muestreo


5. MUESTREO

• Paso mundo continuo -> mundo discreto
(Muestreo)
• Esquema de muestreo
• Teorema de muestreo
• Aliasing.



MUESTREO
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

• Una señal continua puede ser recuperada a partir de sus
muestras si se cumplen ciertas condiciones
• Ejemplos de muestreo en la vida real:
• Música digital
• Cine
• Revista con imágenes
• El muestreo sirve de puente entre señales en tiempo continuo y
discreto
• Representar señales continuas mediante señales en tiempo
discreto facilita el procesado de la señal



Representación de una señal
• Muestreo

continua por sus muestras • Transformada Z
• DFT

Si no establecemos otras condiciones, no se puede
establecer una relación unívoca entre una señal y un
conjunto de muestras equiespaciadas
Un nº infinito de señales puede originar una serie
dada de muestras
¿No podemos representar pues una señal mediante
sus muestras?



Representación de una señal

continua por sus muestras • Muestreo
• Transformada Z
• DFT


Representación de una señal • Técnicas de procesado de señal

continua por sus muestras • Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo

(Condiciones) • Transformada Z
• DFT

Si una señal esta limitada en banda (TF = 0 fuera
de una determinada banda de frecuencias)
Y si las muestras están tomadas lo
suficientemente juntas en relación a la máxima
frecuencia de la señal
Entonces podemos asegurar que existe una
relación unívoca entre esa señal y sus muestras



Muestreo con un tren • Señales y sistemas

de impulsos • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Para muestrear una señal continua la multiplicamos por un
tren de impulsos periódico.
∞

xp(t) = x(t)p(t) p (t ) = ∑ δ (t − nT )
n = −∞
El tren de impulsos es la función de muestreo, el periodo T, el
periodo de muestreo y la frecuencia fundamental de p(t), ωs =
2π/T, la frecuencia de muestreo

1 ∞
P (ω ) = ∑ δ (ω − kω s )
T k = −∞



Esquema de muestreo

(Dominio del Tiempo) • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

x(t)

x p (t ) = x(t ) p(t )
t
x(t ) p(t)

... ...

-T 0 T 2T t
∞

∑ δ (t − kT )
xp(t)
p (t ) =
k = −∞

... ...
-T 0 T t



Esquema de muestreo • Señales y sistemas

(Dominio de la frecuencia) • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

(a) x(t) (b) X(ω)

1

t -ωm ωm ω

1
p(t) P(ω)
2π
1 2π/T
... ... ... ...

-T 0 T 2T t -ω0 0 ω0=2π/T ω

xp(t) Xp(ω)

1/T
... ... ... ...
-T 0 T t -ω0 -ωm ωm ω0 ω



Aliasing
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

(a)

(b)



Esquema de muestreo • Señales y sistemas

(Dominio de la frecuencia) • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

(a) X(ω) (b) X(ω)

-ωm ωm ω -ωm ωm ω

1 1
P(ω) P(ω)
2π 2π
2π/T 2π/T
... ... ... ...

-ω0 0 ω0=2π/T ω -ω0 0 ω0=2π/T ω

Xp(ω) Xp(ω)

1/T 1/T
... ... ... ...

-ω0 -ωm ωm ω0 ω -ω0 -ωm ωm ω0 ω


Conversión analógico -

digital
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

p(t)

... ...
Conversor
-T 0 T 2T t analógico digital

p(t)

x(t) xp(t) Conversión de x[n]
tren de impulsos
a secuencia

x(t) xp(t) x[n]

... ... ... ...
t -T 0 T t -1 0 1 2 n



Procesado digital de • Señales y sistemas

señales analógicas • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

x(t) x[n] y[n] y(t)
Procesado
A/D digital D/A

Sistema de reconstrucción ideal

x[n] Conversión de xp(t) x(t)
Filtro ideal de
secuencia a tren
reconstrucción
de impulsos

x[n] xp(t) x(t)

... ... ... ...
-1 0 1 2 n -T 0 T t t



Filtro de reconstrucción
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Xp(ω)

1/T
... ...

-ωs -ωm ωm ωs ω

xp(t) xp(t)*h(t) H(ω)
h(t) T
H(ω)
-ωc ωc ω
Xp(ω) Xp(ω)H(ω)
X(ω)

1

-ωm ωm ω



Muestreo • Señales y sistemas

(Conclusiones) • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Si x(t) es una señal limitada en banda (si no lo
es habrá que limitarla). Entonces x(t) está
unívocamente determinada por sus muestras
x(nT), n = 0, ±1, ±2, .. Si

ωs > 2ωm
La frecuencia 2 ωm es la frecuencia de
Nyquist


Transformada Discreta de Fourier


7. Transformada discreta de Fourier

Representación práctica del espectro de las señales
(DFT)
Relación DFT TF señales en tiempo discreto.
Razonamiento de la suficiencia de la representación
Análisis de Fourier a corto plazo
Funciones de ventana
Parametrización de señales



DFT • Señales y sistemas
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Objetivo: pasar del dominio del tiempo al
dominio de la frecuencia.
Medios: un sistema digital.
Restricciones: señal de entrada discreta y señal
de salida discreta.
Herramienta: análisis de Fourier



• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Candidata: Transformada de Fourier para
señales de tiempo discreto.
∞
X (Ω ) = ∑ x[n]e
n = −∞
− jΩn

x[n] = X (Ω )e jΩn dΩ
1
2π ∫
2π

¡¡¡ La variable Ω es continua!!!


• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Solución: sólo el DSF para señales de tiempo discreto
da lugar a señales de variable independiente discreta.
Implicación: implícitamente se supone que la señal es
periódica y que se dispone de un periodo de esa señal.
Resultado: obtención de valores de la transformada de
Fourier a intervalos regulares en frecuencia.

N −1 2π N −1
X [k ] = ∑ x[n]e = ∑ x[n]e − jkΩ0 n
− jk n
N

n =0 n =0

N −1 2π

x[n] = ∑ X [k ]e ∑ X [k ]e
1 jk n 1 jkΩ 0 n
N
=
N k =0 N k= N



Análisis de Fourier a • Señales y sistemas

corto plazo • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Señales estacionarias a corto plazo.
Necesidad de segmentar
Análisis de Fourier “por trozos”
Efecto de la segmentación
Utilización de funciones de ventana
Compromiso ancho del lóbulo principal versus
altura de los lóbulos secundarios.



Análisis de Fourier a • Señales y sistemas

corto plazo • Muestreo
• Transformada Z
• DFT

14

12

10

8

6

0.3
4

0.2 2

0.1 0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0

-0.1 0.3

-0.2 0.2

0.1
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0
1
-0.1

0.8
-0.2

0.6
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0.4

0.2

0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500


Funciones de ventana -
rectangular



Funciones de

ventana - bartlett
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT



Funciones de

ventana - hamming
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT



Funciones de

ventana - hanning
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT



Funciones de

ventana - blackman
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT



Funciones de ventana - • Señales y sistemas

comparación
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

1
Rectangular
Triangular
Hamming
0.8
Hanning
Backman

0.6

0.4

0.2

0
0 5 10 15 20 25 30



comparación
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT
0
Rectangular
-10 Triangular
Hamming
-20 Hanning
Backman
-30

-40

-50

-60

-70

-80

-90

-100
-300 -200 -100 0 100 200 300



comparación
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT



Parametrizador
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Banco de Amplitudes del Banco
Estimación de Energía
filtros digitales de Filtros

Amplitudes del Banco
Banco de Filtros de Filtros derivadas
Traza Transformada de la T.F.
de Voz de Fourier Coeficientes
Cepstrum Cepstrales derivados
de la T.F.

Coeficientes de P. L.

Amplitudes del Banco
Predicción
Banco de Filtros de Filtros derivadas
lineal
de Predicción Lineal

Coeficientes
Cepstrum Cepstrales derivados
de Predicción Lineal



0.8
0.6
1
Parametrizador • Señales y sistemas
• Muestreo
Parte Imaginaria
0.4
0.2
sβ • Transformada Z
0 • DFT
-0.2
-0.4
-0.6
Preénfasis y
-0.8
-1
enventanado
-1 -0.5 0 0.5 1
Parte Real
14

12

10
8

DFT 6
4

2

0
Espectro
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Hk(ω)
0.3

0.2

0.1 Banco de
0

-0.1
Filtros Mel
-0.2

Espectro Mel 1 2 3 4 5 f (kHz)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

1 Energía a la salida del filtro k-ésimo (k = 1,2,..., NB)
Log|.| E (k ) = ∑ Y (ω ) H k (ω )
0.8

0.6
ω
0.4

0.2 Log-espectro Mel
0

E ( k ) = log(E (k ) )
~
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

IDFT
0.3

0.2

0.1

0

-0.1

-0.2
Mel Cepstrum c = DCT (E )
~
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500


Transformada z



6. Transformada z
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Generalización de la transformada de Fourier para
tiempo discreto.
Exponenciales complejas discretas ->
autofunciones de los sistemas LTI
Definición de la transformada z
Concepto de región de convergencia
Relación Transformada de Fourier en tiempo
discreto / TZ


Transformada z
Análisis de sistemas de tiempo discreto
Concepto de diagramas de polos y ceros
Relación con respuesta en frecuencia
Filtrado digital

Ω=π Ω=0
f = fs/2 Hz f = 0 Hz

Ω=π
f = fs/2 Hz
Ω=0
f = 0 Hz



Transformada z • Señales y sistemas
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

x[n] h[n] y [n] = x[n]*h[n]

∞
x[n] = z n
0 y[n] = ∑ h[k ]x[n − k ]
k = −∞

∞ ∞
y[n] = ∑ h[k ]z
k = −∞
( n−k )
0 =z n
0 ∑ h[k ]z
k = −∞
−k
0

∞
H ( z0 ) = ∑ −
h[k ]z0 k
k = −∞

∞
x[n] ←⎯→ X ( z ) =
TZ
∑ x[n]z − n
n = −∞



Transformada z • Transformada de Laplace
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Propiedades de la ROC
• Anillos
• No contiene polos
• x(n) duración finita -> ROC plano z
Propiedades (traslación en el tiempo)
Análisis de sistemas LTI mediante TZ


Transformada z: relación con

la respuesta en frecuencia • Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT
Eje imaginario
z = j = ejπ/2
z = ejβ

z = -1 = ejπ
β
z = 1= ej0
Eje real

z = -j = ej3π/2


Transformada z: relación con • Señales y sistemas

la respuesta en frecuencia • Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT
Eje imaginario
Zona correspondiente
a las altas frecuencias
Zona correspondiente
a bajas frecuencias

Eje real
Ω = π radianes
(Corresponde a la
mitad de la frecuencia
de muestreo)

z = -j = ej3π/2


Transformada z: relación con • Señales y sistemas

la respuesta en frecuencia
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Vamos a “desdoblar” la circunferencia de radio 1 y a establecer la
correspondencia ángulo - frecuencia.

0 α π 2π ángulo (rad)
0 αfs/2π fs/2 fs frecuencia
Sólo tiene sentido físico
ese rango de frecuencias fs= frecuencia de muestreo
Por supuesto podemos dar todas las vueltas que queramos a la
circunferencia, pero volveremos a ver los mismos ángulos y las
mismas frecuencias



Transformada z
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Propiedad muy importante: desplazamiento en el tiempo
T Z {x[n-no]} = X(z) z-n0
Una forma de expresar un sistema discreto es mediante una
ecuación en diferencias. P ej:

y[n] = x[n] - x[n-1]
En el dominio z tendriamos:

Y(z) = X(z) - X(z)z-1
Con lo cual la función de transferencia quedaría:

Y(z) 1− z
H(z) = = 1− z −1 =
X(z) z


Ángulo de visión de la
transparencia siguiente
Diagrama
de polos y
ceros Zona de
frecuencias
Zona de bajas
frecuencias
altas
polo cero

131
131/138
Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal

Influencia de los polos y ceros
Desde esta
posición se puede
observar que el
sistema del
ejemplo
corresponde a un
filtro paso alto

132
132/138
Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal

Sistemas definidos mediante ec. en
dif. lin. de coef. ctes.
∞
X ( z) = ∑ x[n]z − n
n = −∞

∞ ∞ ∞
x[n − n0 ] ←⎯→ Tz
∑ x[n − n ]z
n = −∞
0
−n
=
n − n0 = k
∑ x[k ]z
k = −∞
− n − n0
=z − n0
∑ x[k ]z − n = z − n0 X ( z )
k = −∞

Sistema discreto L I: X(z) Y(z)=X(z)H(z)
H(z)

Ejemplo de sistema definido por ecuación en diferencias:
y[n ] = 0.5 y[n − 1] + x[n ] + x[n − 1] ⇒ y[n ] − 0.5 y[n − 1] = x[n] + x[n − 1]

Aplicando transformada z:
Y ( z) 1 − z −1 z −1
Y ( z ) − 0.5Y ( z ) z −1 = X ( z ) + X ( z ) z −1 ⇒ H ( z) = = =
X ( z) 1 − 0.5 z −1
z − 0.5
Faltaría por definir la ROC

Diagrama de polos y

ceros • Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Suponiendo por ejemplo sistema estable, la
z −1
H ( z) = ROC y el diagrama de polos y ceros serían:
z − 0.5

0.5 1


Estructuras de filtros

digitales • Introducción al análisis de Fourier
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Elementos básicos

x[n] x[n]+y[n]
Sumas

y[n]

Escalados x[n] a ax[n]

Retardos x[n] x[n-1]
z-1



Filtros FIR
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT
M
y[n] = ∑ bk x[n − k ]
k =0

x[n] b0 y[n]

z-1 y1=0
b1
x[n-1] for(i=0;i<=M;i++)

z-1 y1=y1+b[i]x[n-i];
b2
x[n-2] y[n]=y1

bM-1 for(i=M;i>0;i--)
x[n-M+1] x[n-i] = x[n-i+1];
z-1 bM
x[n-M]



Filtros IIR
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

N M M N

∑ a y[n − k ] = ∑ b x[n − k ]
k =0
k
k =0
k a0 y[n] = ∑ bk x[n − k ] − ∑ ak y[n − k ]
k =0 k =1
x[n] b0 1/a0 y[n]

z-1 b1 -a1 z-1
x[n-1]

z-1 b2 -a2 z-1
x[n-2]

bM-1 -aM-1
x[n-M+1]

z-1 bM -aM z-1
x[n-M]


Diseño de filtros digitales
• Muestreo
• Transformada Z
• DFT

Diseño de filtros IIR basado en técnicas de
diseño analógico
Prototipado paso bajo
Transformación de frecuencias
Teoría de la aproximación
Diseño de filtros FIR
Método de la ventana
Método del muestreo en frecuencia


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