Ecuaciones repaso
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Este documento presenta conceptos clave sobre ecuaciones de primer grado. Explica cómo expresar situaciones del lenguaje ordinario en lenguaje algebraico usando letras y operaciones. Define expresiones algebraicas y cómo simplificarlas mediante sumas y restas. También cubre cómo encontrar el valor numérico de una expresión, igualdades y ecuaciones, y cómo resolver ecuaciones de primer grado.
Ecuaciones repaso
- 2. Ecuaciones de primer grado Contenidos Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico Expresiones algébricas Operaciones algebraicas Simplificación de expresiones iguales Valor numérico de una expresión algebraica Suma y resta de expresiones algebraicas. Simplificación Igualdades y ecuaciones
- 3. Ecuaciones de primer grado Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico El largo de un campo de fútbol es el doble del ancho más 10 metros Esta información podría expresarse de otra forma: Llamamos x al ancho del campo. Ancho El doble será 2 · x Y el doble más 10 m: 2 · x + 10 Largo Por tanto, 2 · x + 10 expresa el largo del campo de fútbol. Las dimensiones de nuestro campo, expresadas en forma algebraica, son: x El lenguaje algebraico utiliza letras, 2x + 10 números y signos de operaciones para expresar información.
- 4. Ecuaciones de primer grado El lenguaje algebraico: algunos ejemplos Lenguaje ordinario Lenguaje algebraico Un número aumentado en 2 x + 2 (Hemos llamado x al número) Un número disminuido en 5 x–5 x Perímetro del cuadrado de lado x 4x x x x El cuadrado de un número x2 El cuadrado de un número menos el mismo número x2 – x El número natural siguiente al número n n+1 Hoy Antonio tiene 12 años; cuando pasen x años tendrá x + 12 Hoy Laura tiene 13 años; hace x años tenía: 13 – x
- 5. Ecuaciones de primer grado Expresiones algebraicas Las fórmulas que se utilizan en Geometría y en otras ciencias son expresiones que contienen sólo letras, o números y letras: b·h Área de un rectángulo: a · b Área del triángulo: 2 b h a b La distancia recorrida por un coche que circula a 100 km/h: 100 · t (t = tiempo en horas) Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación, división, radiación y potenciación. Observaciones 1. El factor 1 no se escribe. 1 · x2 · y x2 · y 2. El exponente 1 tampoco se escribe. x2 · y1 x2 y 3. El signo de multiplicación no suele ponerse. 5 · a · b · c2 5abc2
- 6. Ecuaciones de primer grado Operaciones algebraicas Las operaciones usadas en álgebra siguen las mismas reglas que las usadas en aritmética. Aritmética Álgebra 4+5=5+4 P. Conmutativa a+b=b+a 4x5=5x4 P. Conmutativa axb=bxa 2 + (4 + 5) = (2 + 4) + 5 P. Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c 2 x (4 x 5) = (2 x 4) x 5 P. Asociativa a x (b x c) = (a x b) x c
- 7. Ecuaciones de primer grado Simplificación de expresiones iguales Simplificamos expresiones sumando y restando términos iguales Aritmética Álgebra 4+4+4=3x4 a+a+a=3.a 8+8+8+8+8=5x8 n+n+n+n+n=5xn 3x6+4x6=7x6 3.c+4.c=7.c 5x4–2x4=3x4 5.d–2.d=3.d b + 3b + b = 5b
- 8. Ecuaciones de primer grado Valor numérico de una expresión algebraica Observa el cuadrado de lado x. Su área es x2. x x2 Si queremos hallar el área de un cuadrado x concreto, por ejemplo de uno que tenga 4 cm de lado, se sustituye x por 4: A = x2 = (4cm)2 = 16cm2 16 es el valor numérico de la expresión x2 cuando se sustituye x por 4. Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados, y hacer las operaciones indicadas en la expresión. Ejemplos: 1. El valor numérico de la para x = 2, es: 5 · 2 – 6 = 10 – 6 = 4 expresión algebraica 5x – 6 para x = 10, es: 5 · 10 – 6 = 50 – 6 = 44 2. El valor numérico de la expresión algebraica 5a2 + b2 para a = 4 y b = 10 es: 5 · 42 + 102 = 5 · 16 + 100 = 180
- 9. Ecuaciones de primer grado Suma y resta de expresiones algebraicas Dos segmentos miden 5x y 3x, respectivamente. x x x x x x x x 5x 3x ¿Cómo podríamos expresar su longitud total? Si ponemos un segmento a continuación del otro, se tiene: Suma: x x x x x x x x 5x + 3x = 8x 5x 3x ¿Cómo podríamos expresar la diferencias de sus longitudes? Resta: x x x x xx x 5x – 3x = 2x 2x 5x 3x Observación Para que dos expresiones puedan sumarse o No se pueden sumar restarse es necesario que sean semejantes. 2x + x2 No son semejantes Para que las expresiones algebraicas unidas por las operaciones suma y resta se puedan reducir a una expresión más sencilla, sus partes literales (letras) deben ser iguales. Se dice entonces, que son expresiones semejantes.
- 10. Ecuaciones de primer grado Igualdades y ecuaciones La balanza está equilibrada. 10 + 2 = 4 + 8 Tenemos una igualdad numérica Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas iguales unidas por el signo igual (=). Toda igualdad tiene dos miembros. El primero a la izquierda del signo igual, y 10 + 2 = 4 + 8 el segundo a la derecha. Cada una de las cantidades de un miembro conectadas a la otra por el signo más o menos se denomina término. 1er miembro 2º miembro Esta segunda balanza también está en equilibrio, aunque un peso es desconocido: le llamamos x Armamos la igualdad: x+4=8+4 Esta igualdad se llama ecuación. La letra x es la incógnita. Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas y solo es verdadera para determinados valores. La incógnita es la letra cuyo valor se desconoce.
- 11. Ecuaciones de primer grado Ecuaciones La balanza está equilibrada: el peso x de los dos platillos es el mismo. A lo que pesa el trozo de queso le podemos llamar x. Tendremos la igualdad: x + 100 = 350 Esta igualdad es una ecuación. La letra x se llama incógnita o variable, porque su valor es desconocido y puede tomar cualquier valor (que cumpla la igualdad). Para practicar Calcula por tanteo el valor de la incógnita en las igualdades: a) x + 3 = 7 b) x – 2 = 4 c) 3 · x = 21 El signo “por”, “×”, se sustituye por un x = 4, pues: y = 6, pues: x = 7, pues: punto: “·” o no 4+3=7 6–2=4 7 · 3 = 21 ponemos nada.
- 12. Ecuaciones de primer grado Solución de una ecuación ¿Cuánto pesará el trozo de queso si la balanza está equilibrada.? Platillo izquierdo: x + 100 Platillo derecho: 500 + 200 Como pesan igual, escribimos la ecuación: x + 100 = 500 + 200 La incógnita x tiene que valer 600, pues: 600 + 100 = 500 + 200 = 700 El valor x = 600 es la solución de la ecuación. La solución de una ecuación es el valor de la incógnita para el que se verifica la igualdad. Resolver una ecuación encontrar su solución. Para comprobar que una Ejemplo La solución de la ecuación solución es correcta hay que 2x – 2 = 26 es x = 14 sustituir en la ecuación y ver que se cumple la igualdad. pues 2 · 14 – 2 = 26
- 13. Ecuaciones de primer grado Ecuaciones equivalentes La solución de las dos ecuaciones siguientes es x = 3: Sustituyendo: a) 4 + 4x = 25 – 3x 4 + 4 · 3 = 16 y 25 – 3 · 3 = 16 b) 7x + 4 = 25 7 · 3 + 4 = 25, que es el 2º miembro Dos o más ecuaciones son equivalentes si tiene la misma solución. Observa como pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada: Ecuación dada: 8x = 16 Su solución es x = 2. (¿Es cierto?) Le sumamos 2 a cada miembro 2ª ecuación: 2 + 8x = 2 + 16 2 + 8x = 18 Restamos 6x a cada miembro 3ª ecuación: 2 + 8x – 6x = 2 + 16 – 6x 2 + 2x = 18 – 6x Comprueba que x = 2 es la solución de las tres ecuaciones.