Algebra(2) 5° 1 b

27 28COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to . Año Secundaria ÁLGEBRA 5to Año Secundaria
13. Hallar x en :
∞
∞
+++
=
...
3 6x
3 6x
3 6
...x10x10x10
xx
a) 3 b) 32 c) 12
3
d) 12
2 e) N.a.
14. Resolver
21x
)1x(x 243
x243x +
=




 +
a) 3 b) 32
c) 33
d) 38
e) N.a.
15. Resolver : 7x
x77
=
−
−
e indicar : x 1x
xxE −
+=
a)
7
50
b)
7
49
c) -7
d)
7
1
e). N.a.
I. OBJETIVOS ESPECIFICOS.
1. Reconoce y define expresiones algebraicas.
2. Establece que las expresiones algebraicas
constituyen las piezas fundamentales del
álgebra y de sus aplicaciones.
3. Opera con las expresiones algebraicas
manejando con soltura las reglas adecuadas.
4. Modifica expresiones algebraicas,
transformarlas para que adquieran una
fisonomía favorable al uso que queramos
hacer de ellas.
II. PROCEDIMIENTOS.
A. INICIALES .
Así como la aritmética surgió de la necesidad
que tenían los pueblos primitivos de medir el
tiempo y de contar sus posesiones, el origen
del álgebra es muy posterior puesto que
debieron transcurrir muchos siglos para que
el hombre llegara al concepto abstracto de
número que es el fundamento del álgebra. El
gran desarrollo experimentado por el Algebra
se debió sobre todo a los matemáticos, árabes
y, muy en particular, a A1 – Hwarizmi ( siglo
IX d.C), que sentó las bases del Algebra tal
como lo conocemos hoy en día.
B. DESARROLLO.
DEFINICIONES.-
El álgebra es la parte de la matemática que
tiene por objeto generalizar todas las
cuestiones que se puedan proponer sobre las
cantidades.
Con frecuencia hacemos uso de símbolos
para representar elementos arbitrarios de un
conjunto. Por ejemplo, podemos usar x para
expresar un número real aunque no
especifiquemos ningún número real en
particular.
Una letra que se utilice para representar
cualquier elemento de un conjunto dado se
llama VARIABLE.
Un símbolo que representa a un elemento
específico se llama CONSTANTE.
A menos que se especifique otra cosa, las
variables representan número reales.
EL DOMINIO DE UNA VARIABLE es el
conjunto de números reales representados por
la variable.
Para ilustrar esto, x es un número real si
y sólo si x ≥ 0; se deduce que en este caso, el
dominio de x es el conjunto de los números
reales no negativos.
Análogamente, cuando consideramos la
expresión
)2x(
1
−
se debe excluir x = 2
para evitar la división entre cero; por lo tanto
el dominio es el conjunto de todos los
números reales diferentes de 2.
A este dominio, algunos autores, también les
llaman DOMINIO DE DEFINICION;
CONJUNTO DE VALORES ADMISIBLES
O RECINTO DE VALORES
ADMISIBLES.
Empezando con cualquier colección de
variables y números reales, y aplicando
sumas, restas, multiplicaciones, divisiones o
extracción de raíces, se obtiene una
EXPRESION ALGEBRAICA. A continuación
se dan ejemplos de expresiones algebraicas :
7x3
− 2xy5
+ yz3
1y
x3xy2
−
+
x2
3
x2x
91
3
/
+−
3 2
5
2
z5y
wx
7
yz4
+






+
−
+−
en donde x, y, z, w son variables.
Si se sustituyen las variables por números
específicos en una expresión algebraica, al
número real que resulte se le llama VALOR
NUMERICO de la expresión para esos
números. Por ejemplo, el valor de la segunda
expresión anterior, cuando x = − 2 e y = 3 es
:
9
2
612
13
23322
−=
−−
=
−
−+− )())((
Al trabajar con expresiones algebraicas se
supondrá que los dominios están elegidos de
modo que las variables no representen
números que hagan que las expresiones no
tengan sentido. Se supone por tanto que los
denominadores no deben ser cero.
Ciertas expresiones algebraicas tienen
nombres especiales. Si x es una variable,
entonces un MONOMIO EN x es una
expresión de la forma axn
, en donde el
coeficiente a es un número real y n es un
entero no negativo llamado grado del
monomio.
Un polinomio en x es cualquier suma finita de
monomios en x. Otro modo de decirlo es el
siguiente :
DEFINICION.-
En la definición anterior, cada una de las
expresiones :
k
kxa de la suma, es un TÉRMINO del
polinomio. Si el coeficiente ka es cero, el
término k
kxa será omitido. El coeficiente
na de la potencia más alta de x es el
S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
EXPRESIONES
Un POLINOMIO EN x es una expresión
de la forma :
1
2
2
2n
2-n
1n
1-n
n
n axaxa...xaxaxa ++++++ −−

COEFICIENTE PRINCIPAL del polinomio y
si na ≠ 0, se dice que el polinomio tiene
GRADO “n” . Cuando todos los ia son
distintos de cero, se dice que el polinomio ES
COMPLETO aun cuando las potencias de x
no conserven cierto orden y como todas las
potencias de x disminuyen de uno en uno se
dirá que tiene ORDEN DECRECIENTE aún
cuando algún ia sea cero, y si las potencias
de x se aumentan de un término a otro se dirá
que tiene ORDEN CRECIENTE.
Por definición, dos polinomios son
IDENTICOS si y sólo si son del mismo grado
(términos semejantes), siendo los valores
numéricos iguales para cualquier valor que se
le asigne a la variable (Conjunto de valores
admisibles). Si todos los coeficientes del
polinomio son cero, se obtiene el llamado
POLINOMIO NULO que se denota por P(x ,
y) ≡ 0. Por costumbre, al polinomio nulo no
se le asigna grado.
A continuación se dan algunos ejemplos de
polinomios.
3x4
+ 5x3
+ (−7) x + 4 ( grado 4 )
x8
+ 9x2
+ (−2) x ( grado 8 )
5x2
+ 1 ( grado 2 )
7x + 2 ( grado 1 )
5 ( grado 0 )
Si algunos de los coeficientes de un
polinomio son negativos, entonces por
conveniencia usaremos signos menos entre
los términos adecuados. Por ejemplo, en lugar
de : 3x2
+ (−5) x + (−7)
escribimos : 3x2
−5x−7
Se pueden considerar también polinomios con
otras variables por ejemplo :
472
z58z3z
5
2
−+−
es un polinomio en z de grado 7.
Generalmente colocamos los términos con las
potencias de la variable en orden decreciente
y escribimos :
8z
5
2
z5z3 247
++−−
De acuerdo con la definición de grado, si “c”
es un número real diferente de cero, entonces
“c” es un polinomio de grado cero.
Tales polinomio (incluyendo al polinomio
nulo) se conocen como POLINOMIOS
CONSTANTES.
Un polinomio en x puede ser considerado
como una expresión algebraica obtenida
empleando únicamente sumas, restas y
multiplicaciones que incluyen a x. En
particular, las expresiones :
2xx3
2x
5x
x3
3
1 2
2
−+
+
−
+ ;;
no son polinomios enteros en x pues existen
divisiones entre variables, o raíces en las que
existen variables.
Los coeficientes de los polinomios se pueden
elegir de algún sistema matemático distinto
del de los números reales. Sin embargo, a
menos que se especifique otra cosa, el
término “POLINOMIO” se referirá siempre a
un polinomio con coeficientes reales.
Puesto que los polinomios, y los monomios
que constituyen los polinomios, son símbolos
que representan números reales, todas las
propiedades conocidas pueden aplicarse. Si se
llevan a cabo sumas, restas y multiplicaciones
con polinomios, se puede simplificar
entonces el resultado haciendo uso de las
propiedades de los números reales.
Ejemplo 1: Hallar la suma de los
polinomios :
x3
+ 2x2
− 5x + 7 y 4x3
− 5x2
+ 3
Resolución :
Reordenando los términos y aplicando las
propiedades de los números reales tenemos :
( x3
+ 2x2
− 5x + 7 ) + ( 4x3
− 5x2
+ 3 )
x3
+ 4x3
+ 2x2
− 5x2
– 5x + 7 + 3
( 1 + 4 ) x3
+ ( 2 − 5 ) x2
+ ( − 5 ) x + ( 7 + 3 )
5x3
+ − 3x2
− 5x + 10
Es frecuente asignar letras mayúsculas P, Q,
R, S y encerrar en paréntesis a la x, para
distinguir un polinomio de otro y señalar las
variables de la misma, así :
P (x) = 3 CONSTANTE; si es de grado cero.
Q (x) = 4x + 5 LINEAL; cuando es de primer
grado
R (x) = 2x2
+4x − 2 CUADRATICO; por ser
de segundo grado.
S (x) = x3
+ 5x2
− 7x + 1 CUBICO; siendo de
tercer grado.
Cuando el coeficiente principal es igual a la
unidad se le llama :
POLINOMIO MONICO como el polinomio
S.
Cuando los coeficiente son primos entre si se
dice que es un POLINOMIO PRIMITIVO
como Q y S observando que R no es
primitivo.
Es importante observar la siguiente propiedad
para POLINOMIOS COMPLETOS :
Número de términos = grado + 1
Aclaramos que si dos polinomios son de
distinto grado, en la suma o resta de los
mismos prevalecerá el mayor de estos grados,
así por ejemplo :
P(x)=2x3
+ 4x2
− 5x + 7 ; Q (x) = 3x2
−2x + 5
los grados de P y Q son respectivamente 3 y 2
; luego :
P(x) + Q(x) = 2x3
+ 7x2
− 7x + 12
P(x) - Q(x) = 2x3
+ x2
− 3x + 2
Cuyos grado que serán señalados con G ( de
aquí en adelante) como :
G (P + Q) = 3
G (P − Q) = 3; son iguales al grado de P que
tiene mayor grado que Q.
Sin embargo, cuando los grados de P y Q son
iguales el grado para la suma o resta será
menor o igual que el grado común, ya que
pueden eliminarse las mayores potencias de x.
También existen reglas prácticas para
encontrar los grados de otras operaciones que
se realicen con P y Q; así :
G ( PQ ) : Se SUMAN los grados
G ( P/Q ) : Se RESTAN los grados de P y Q;
siendo P de mayor grado que Q
G ( Pn
) : Se MULTIPLICA el grado de P
por n.
)(n QG : Se DIVIDE el grado de Q
entre n, siendo entero dicho
resultado.
EL VALOR NUMERICO de un polinomio P
se obtiene cuando se sustituye su variable por
un número real “a”, se denota por P(a) ; así
por ejemplo para P(x) = 2x2
+ 3x − 5
Si x = − 2, resulta :
P(−2) =2 (− 2)2
+ 3 (−2) − 5
P(−2) =2 (4) − 6 − 5
P(−2) =−3
Los valores numéricos de uso frecuente son
P(1) y P(0) que representan la SUMA DE
LOS COEFICIENTES de P y su TERMINO
CONSTANTE respectivamente .
DEFINICION.-
Se llama cero de un polinomio P al número “a”
de modo que P(a) = 0

Pudiendo haber tantos ceros de acuerdo al
grado de P y estos no son necesariamente
reales. Esta definición se utilizará en el
teorema del factor y en las funciones
polinomiales que serán tratados más
adelante :
Ejemplo 2: ¿ Los números 1; 2 y 3 son ceros
de P(x) = x3
− 6x2
+ 11x − 6 ?
Resolución :
x = 1 ; P (1) = (1)3
− 6(1)2
+ 11(1) − 6 = 0
x = 2 ; P(2) = (2)3
− 6(2)2
+ 11(2) − 6 = 0
x = 3 ; P(3) = (3)3
− 6(3)2
+ 11(3) − 6 = 0
Luego 1; 2 y 3 son efectivamente ceros del
polinomio.
Si el polinomio tiene más de una variable las
definiciones se aplicarán independientemente
para cada una de ellas. En cuanto al grado si
tomamos en cuenta alguna variable en
particular esta se llamará GRADO
RELATIVO y será el exponente de la mayor
potencia de la misma.
En cambio si se toman en cuenta todas las
variables este grado se llamará GRADO
ABSOLUTO que se obtiene de la mayor
suma de exponentes de las variables en uno
de sus términos.
Ejemplo 3 : Hallar los grados del
polinomio .
P (x, y ) = 2x5
+ 3x4
y2
− 5 y3
Resolución :
Los exponentes de las variables son :
Exponente de x: 5 4 0
Exponente de y : 0 2 3
Sumas en cada
término : 5 6 3
Luego : GR ( x ) = 5
GR ( y ) = 3
GA ( P ) = 6
Donde GR : grado relativo
GA : grado absoluto
DEFINICION .-
En la práctica bastará notar que los grados
absolutos de cada uno de los monomios de P
sean iguales.
Esta definición se utiliza principalmente el
CALCULO INTEGRAL y DIFERENCIA
para determinar si una función es homogénea.
PRACTICA DE CLASE
01. Si : P(x) = 1xx 2
++ . Hallar P[2 - P(0)]
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
02. Siendo: P(x+7)= 3x4x 2
−+ . Determinar
P(x).
a) x2
-x+7 b) x2
- 7x - 3 c) x2
+7x +3
d) x2
- 4x +7 e) N.a.
03. Si: F(x+1) = 4x - 3. Hallar F(x - 2)
a) 4x - 11 b) 4x + 1 c) 4x - 15
d) 2x + 15 e) 15x - 4
04. Siendo F( x +1) = 3x + 2. Obtener F(x)
a) 3x2
- 6x +5 b) 2x2
- 7x + 3
c) 3x2
- 5x + 6 d) 6x2
- x + 3
e) x2
- 5x + 6
05. Si : P(x+4) = 3x - 1. Determinar el valor de “K” en
: P(K) + P(K + 1) = 1
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
06. Cuando “x” varía de -0,2 a -0,2; la expresión:
P(x) =
x
1
1
1
−
a) aumenta en 1/10
b) disminuye en 1/10
c) disminuye en 5/66
d) aumenta en 5/66
e) permanece constante
07. Si: p(2) . p(4) . p(6) ... p(2n) = 145; donde :
p(x) =
1x
1x
−
+
. Calcular “n”.
a) 72 b) 145 c) 73
d) 146 e) 147
08. Si: P(x) =
3x5
2x3
−
+
. Calcular el valor de :
P (P (P (P (P (P (P (3) ) ) ) ) ) )
a) 11/12 b) 12/11 c) 3
d) 1/3 e) 1
09. De la expresión:
4x2x
1x
1x 19981999
+−=





−
+
Hallar el valor de ( )[ ] ( )1P
3P − .
a) 16 b) 64 c) 128
d) 256 e) 512
10. Si :
P(x)=
términos99...)6x()4x()2x( 999
+−+−+−
Encuentre: 9 )101(P
a) 99 b) 101 c) 97
d) 103 e) 0
11. Calcular H(3) a partir de: H(x)=F(x+1)+G(x-1)
donde: F(x-1) = 1xx 2
++ y
G(x+1) = 2x2x 2
+−
a) 4 b) 6 c) 32
d) 8 e) 35
12. Sabiendo que P(x+2) = 6x+1 y además:
P[F(x)] = 12x - 17. Calcular F(15).
a) 20 b) 17 c) 25
d) 29 e) 8
13. Si: P(x - 3)=5x - 7 y P[F(x)+2]= 10x - 17. Hallar:
F(x - 2).
a) 2x - 11 b) x - 10 c) 2x + 7
d) 3x - 11 e) 2x - 5
14. Si se cumple:
φ (f(x) - 1) = 2x + 4
φ (x) = x + 2
Halle: f(2)
a) 7 b) 5 c) 3
d) 1 e) 0
15. Si: P(x) = x ; y P[A(x) + B(x)] = 4x + 6
P[A(x) - 2B(x)] = x + 12
Evalúe : A [B(1)]
a) 0 b) 5 c) 7
d) 15 e) 20
16. Si : ( ) x
x21
x31
x
x
x
x
x
x
2xF +
+
=− . Calcular F(1).
a) 2
3 b) 4
3 c) 6
3
Un polinomio P de variable x e y se dice
homogéneo si y sólo si :
P(kx; ky) = Kn
P(x; y)
para cualquier k real no nulo y distinto de la
unidad, de grado de homogeneidad n .

d) 8
3 e) 10
3
17. Dar el valor de :








++



+



+



 102P...4P3P2P
101
1
sabiendo que :
2
2
x
1
x
x
1
xP +=





+
a) 55 b) 65 c) 77
d) 100 e) N.a.
18. Si : P(x) = bax 2
+ y
P[P(x)] = cx24x8 2
++
Hallar “a+b+c”
a) 23 b) 26 c) 29
d) 3 e) N.a.
19. Si: P(x) = ax+b, además P(P (P (x))) ≡ 4x+3
Calcular el valor de : E = P 



 −123
a) 1 b) 0 c) 2
d) -2 e) -1
20. Si:














− 5
4
x
P = x + 1. Obtener P(x).
a) 2x - 7 b) 2x + 7 e) -2x+7
d) -2x-7 e) 2x + 21
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Hallar la suma de coeficientes del siguiente
trinomio:
m2173
m
2mm9 yymxx)3m()y,x(F −−− ++−=
a) 2 b) 3 c) 5
d) 7 e) 10
02. Si:
ca
c
cb
b
ba
a
+
=
+
=
+
. Hallar el grado
absoluto de:
2c2)ba( bc2ac62a7 zyx)z,y,x(P
++
=
03. ¿Cuántas letras se deben tomar para que el grado
absoluto del monomio:
.....DCBA...),D,C,B,A(M 12060246=
sea 6006?
04. Siendo P(x, y) un polinomio donde:
9a5a7a234a2a56a2 yxyxyx3yx2)y,x(P −−−−+− −+−=
Calcular el grado absoluto mínimo que puede
tomar P(x, y)
05. Si se cumplen:
c3ba
cba3
cba3
cb3a
cb3a
c3ba
−+
++−
=
++−
+−
=
+−
−+
Siendo (a + b+ c) un número comprendido entre
180 y 318. Calcule el grado relativo a x del
polinomio:
5 cacb3 ba zyx)z,y,x(P +++ ++=
; sabiendo que esto posee un grado absoluto
mínimo
06. Si el grado de 25 QP es 44y el grado de
5 3 PQ ÷ es 3. Calcular el grado de
232 )QP( + , siendo P y Q dos polinomios de
grados desconocidos
a) 33 b) 42 c) 24
d) 12 e) 1089
07. Señalar el coeficiente del monomio S(x, y) =
ba2baa yx)ba)(S(2 +−+ , si es de
noveno grado y de octavo grado relativo a “y”
a) 50 b) 100 c) 150
d) 200 e) 250
08. Sabiendo que el grado de la expresión:
5
4
6 n53n2
3 n21n2
wz
yx










−
+
es - 5. Calcular el valor
de “n”
a) 20 b) 24 c) 30
d) 38 e) 48
09. Calcular m + n, si el polinomio:
1nm3nm22nm4nm2 yx5yx3)y,x(P ++−+++−+ +=
nm2nm2 yx7 +−+−
es de grado 10 y la diferencia entre los grados
relativos “x” e “y” es 4
a) 2 b) 4 c) 10
d) 14 e) 6
10. En el polinomio:
P(x+1) =
)3x2(128)2x()1x2( nn +−+++ ,
donde “n” es impar, la suma de coeficientes y el
término independiente suman 1, entonces el valor
de “n” es:
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 9
TAREA DOMICILIARIA
01. Calcular la suma de los coeficientes del siguiente
polinomio homogéneo:
P(x;y)=
1n5m34n5m22n3n4
ymxynx2ymnx +++
−+
a) 13 b) 15 c) 17
d) 19 e) 21
02. Si se conoce que el polinomio:
P(x,y) =
km31k23m2733k2
yx7yx2yx2 ++ +−−+
es homogéneo. Calcular: ( ) mk
mk −
+
a) 0,01 b) 10 c) 100
d) 1000 e) N.a.
03. ¿Cuántos términos posee el polinomio homogéneo:
P(x;y) = ...yxyxx 66n33nn
+++ −−
para que sea de grado 45 con respecto a “y”.
a) 16 b) 8 c) 14
d) 15 e) 17
04. Calcular “ab” en el siguiente polinomio
homogéneo:
P(x,y,z) = ( ) ( ) b2bababa
z5ba)ba(
y2x
++−
+−+
+
a) 2 b) 3 c) 4
d) 6 e) 8
05. Si el polinomio:
P(x) = 10m5nm6np
xx5x2 −+−+−
++
es completo y ordenado en forma ascendente.
Hallar el valor de “m+n+p”.
a) 35 b) 36 c) 37
d) 38 e) 39
06. Sabiendo que el polinomio:
P(x) =
2eeddccbba
exdxcxbxax +++++
++++
es completo y ordenado decrecientemente.
Calcular : edcba ++++
a) 2 b) 3 c) 5
d) 3 e) 4
07. Calcular la suma de coeficientes del polinomio
completo y ordenado:
P(x) = abcddxcxbxax dcba
++++ ;
a≠b≠c≠d
a) 24 b) 44 c) 10
d) 34 e) 14
08. El polinomio completo y ordenado:
P(x ; y)
1n42n42n41n4
yxy...yxx −−−−
++++
que también es homogéneo, se verifica que la suma
de los grados absolutos de sus términos s 240,
según esto halle Ud. su grado de homogeneidad.
a) 20 b) 15 c) 10
d) 15 e) 25

09. La suma de los grados absolutos de todos los
términos de un polinomio homogéneo y completo
de dos variables es 600. ¿Cuál es su grado
absoluto?
a) 12 b) 30 c) 24
d) 30 e) 25
10. Señale el grado del polinomio entero ordenado en
forma decreciente:
P(x) = a42a2a10
xxx −−−
++
a) 5 b) 3 c) 6
d) 4 e) 7
11. Si el polinomio ordenado decreciente y completo:
P(x) = +++ +++ 2c3b1a2
x3x2x ....
posee “2c” términos. Hallar “a + b + c”.
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
12. Calcular “abc”, si:
P(x)=
...xxxx... 2cbaa2cbc2ca
+++++ ++++−+
es completo y ordenado en forma ascendente.
a) 8 b) 10 c) 12
d) 14 e) 16
13. Dado el polinomio mónico:
P(x) = ( ) 7axxax26a 3526a
+−+−
donde a ∈ R. Hallar la suma de sus coeficientes.
a) 10 b) 13 c) 14
d) 15 e) 17
14. Calcular 4
b , si se cumple:
x10bx)xa(x10x6 22
+≡−−
a) 16 b) 2 c) 4
d) 6 e) 4 2
15. Si: a(x+b) + b(x+a) ≡ x + 26. Hallar el valor de:
E =
b
1
a
1
+
a) 1 b) 2 c) 13
d)
13
1
e)
26
1
16. Hallar “k”, si se cumple:
( ) ( )222777
yxyx)yx(Kxyyxyx +++><−−+
a) 6 b) 8 c) 7
d) 5 e) 10
17. Hallar (A+B+C) si se tienen los polinomios
idénticos:
P(x) = A(x+2) (x-2) + B(x+2) (x-1) + C(x-1)
Q(x) = 13x4 2
−
a) 1 b) 2 c) 3
d) 0 e) -2
18. Calcular: “a+b+c+d” ; si :
+−++≡+++ )1x(b)1x(a2xx8x3 3323
)2xx(d)1x(c 23
−+++
a) 2 b) 4 c) 7
d) 11 e) 23
19. Si se cumple que:
12x28x3x18)cx3()3bx( 23a1a
+−+≈−+ −
determinar: a,b y c.
Señalar: 1cba )bcacab(2+++ ++
a) 2 b) 3 c) -3
d) -2 e) 1
20. Indicar el valor de (a+b+c) si:
( ) 0c3bx3xx3ax 22
≡+++++
a) cero b) -6 c) 7
d) -13 e) 10

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