Ejemplo de un modelo de programación lineal 2
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El problema busca maximizar las ganancias de una juguetería que fabrica osos de peluche Toby y Gubi. Se deben considerar las restricciones de tiempo en los departamentos de corte, armado y calidad, así como fabricar al menos dos Toby por cada Gubi y no menos de 20 Gubis. Se formula un modelo de programación lineal con variables, parámetros, restricciones y función objetivo para encontrar la solución óptima.
Ejemplo de un modelo de programación lineal 2
- 1. Lic. Héctor Fernando Castillo Rivera
- 2. La Juguetería fabrica los osos de peluche Toby y Gubi, que pasan por los departamentos de corte, armado y calidad. El departamento de corte dispone de 600 horas maquina, semanales, el departamento de armado de 700 horas maquina y el de calidad dispone de al menos 400 horas. La unidad de ventas desea que se fabriquen al menos dos Toby por cada Gubi, pero no menos de 20 Gubis. Los osos Toby pasan 6 horas en corte 8 en armado y al menos 5 en calidad. Los osos Gubi pasan 7 horas en corte, 6 en armado y al menos 6 en calidad. El margen de contribución de los Toby es 100 quetzales y de los Gubi 80 quetzales.
- 3. 1. Hacer un modelo de programación Lineal. 2. Hacer la gráfica del modelo. 3. Encontrar el polígono solución. 4. Valuar el polígono solución. 5. Calcular la solución optima.
- 4. 1. Variables o incógnitas 2. Parámetros 3. Restricciones 4. Función Objetivo Son los valores desconocidos de la función. Son los valores conocidos Son las limitaciones del modelo. Es la función a maximizar o minimizar del modelo
- 5. 1. Las variables son: x= Toby, y=Gubi 2. Los valores conocidos ( son los números) 3. Las restricciones son las limitaciones en Tiempo: Corte 600 horas Armado 700 horas Calidad 400 horas. Dos Tobys por Gubi Al menos 20 Gubis 4. Función Objetivo ; maximar el margen de contribución
- 6. Departamento Toby=x Guby=y Disponibilidad de tiempo corte 6 7 600 costura 8 6 700 Calidad 5 6 400 Lo que el problema nos pide es lo siguiente Además debemos considerar, que deben hacerse dos Toby por Cada Gubi y no menos de 20 Gubis. Y por otra parte debe formularse el margen de utilidad.
- 7. X≥2y necesitamos al menos dos Toby por cada Gubi, siendo Toby=x y Gubi=y podemos decir que por un Gubi hay dos Toby. Si en la ecuación X≥2y sustituyo y=1, o sea un Gubi, obtenemos x= 2 o sea dos Toby. x ≥2(1) el mayor o igual significa que podrían haber dos o mas Toby, siempre que esto sucede se cumple la ecuación para cualquier valor de y, así si y=20 x=40.
- 8. 1. Variables o incógnitas Parámetros X= Toby Y= Gubi (Valores conocidos) 2. Restricciones 6x+7y≤600 I pueden tardarse 600 horas o menos 8x+6y ≤700 II pueden tardarse 700 horas o menos 5x+6y≥ 400 III pueden tardarse 400 horas o mas y ≥ 20 IV Pueden hacer 20 Gubis o mas x ≥2y V Pueden fabricar dos Toby o mas por cada Gubi 3. Función objetivo z=100x+80y Se gana 100 por Toby y 80 por Gubi.
- 9. 2. Restricciones 6x+7y≤600 I si x=0 entonces y=85.71 si y=0 entonces x=100 8x+6y ≤700 II si x=0 entonces y=116.67 si y=0 entonces x=87.5 5x+6y≥400 III si x=0 entonces y=66.66 si y=0 entonces x=80 y ≥ 20 IV x ≥2y V x ≥0 y ≥0 La solución solo es posible con números enteros o sea. en el primer cuadrante del eje de coordenadas. 3. Función objetivo z=100x+80y Se gana 100 por Toby y 80 por Gubi.
- 10. Para la ecuación x ≥2y hacemos una tabla asignando valores a la variable independiente hasta que corte las rectas de las otras restricciones. Valores de x Valores de y 4 2 10 5 30 15 40 20 50 25 60 30 70 35
- 11. 120 115 110 105 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 Armado 40 Calidad 8x+6y≤700 II 35 5x+6y≥400 III 30 A B 25 E Corte 20 Y=20 6x+7y≤600 I 15 D C 10 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
- 12. Armado Calidad 8x+6y≤700 II 5x+6y≥400 III x≥2y IV A B E Corte Y≥20 6x+7y≤600 I D C
- 13. El polígono solución contiene todas las soluciones posibles del problema, pero una de todas, es la solución optima. La solución optima debe encontrarse en uno de los vértices del polígono solución, a pesar de que a simple vista puede estimarse en cual vértice pudiera estar, es recomendable calcular todos los vértices.
- 14. Para el punto A En el punto A se corta la recta x≤2y con la recta de corte 6x+7y=600 sustituyendo IV en I tenemos que y =600/19= 31.57=31, x= 63.15=63 lo cual cumple las condiciones del problema de tener al menos dos Toby por cada Gudi. Para el Punto B Se cortan las ecuaciones I y II 6x+7y=600 8x+6y=700 Solución x=65, y=30
- 15. Punto C Se corta y=20 con la ecuación II 8x+6y=700, lo que al sustituir da como resultado x= 72.5= 72 Punto D Se corta y=20 con la ecuación III 5x+6y=400 lo que al sustituir da como resultado x = 56.66= 56 Punto E Se corta x≥2y con la ecuación III 5x+6y=400 lo que al sustituir x= 2y da como resultado Y= 25 ; X= 50
- 16. Punt o x Y z A 63 31 8780 B 65 30 8900 C 72 20 8800 D 56 20 7200 E 50 25 7000 Nota 2 :Todos los valores se tomaron sin decimales por ser variables discretas. La solución óptima es hacer 65 Tobys y 30 Gudis.