ejemplo 1 a mano de GEPPETTO CON PPT.ppt

Introducción a la Programación
Introducción a la Programación
Lineal
Lineal
Restricciones
Función
objetivo
Variables de
decisión

2
Copyright (c) 2004 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc.
Programación Lineal
Es un método matemático de resolución de problemas donde
el objetivo es optimizar (maximizar o minimizar) un resultado a
partir de seleccionar los valores de un conjunto de variables de
decisión, respetando restricciones correspondientes a
disponibilidad de recursos, especificaciones técnicas, u otras
condicionantes que limiten la libertad de elección.

3
En PL un sistema de producción
se representa mediante un modelo o matriz en el que se incluyen:
1.-función objetivo.
costos e ingresos generados por unidad de actividad aportes
Es la pregunta fundamental relacionada con la meta de aumentar
o disminuir diferentes alternativas de desicion.
2.- Variables de decisión Son las alternativas que combinar para
lograr el aumento o disminución en la optimización (el mayor
beneficio )
3.- Restricciones:
y requerimientos de insumos y productos por unidad de cada
actividad considerada (coeficientes insumo/producto).
disponibilidad de recursos, especificaciones técnicas y
empresariales a respetar.

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Variables de decisión
Son
incógnitas
Que deben
ser
determinada
s
a partir de la
solución del
modelo
Es una función
lineal de varia
variables
Max Z = c1X1 + c2X2 + … + cnXn
O
Min Z= c1X1 + c2X2 + … + cnXn
¿ Que es ? ¿Cómo ? ¿ para que ‘
Es el resultado de un intento
De expresar un objetivo de
Un negocio en términos
matemáticos

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Representación matemática de un
problema de PL
Función objetivo
Z = c1X1 + c2X2 + … + cnXn
Relaciones entre Requerimientos y Disponibilidad de Recursos
a11X1 + a12X2 + ….. + a1nXn < = b1
……………………………………… < = ..
am1X1 + am2X2 + ….. + amnXn < = bm
Xj = variables de decisión (x,y,z o x1,x2, ….xn)
cj = costos o ingresos por unidad
aij = coeficientes insumo producto
bi = disponibilidad de recursos

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¿Qué es programación lineal?
¿ Que es ? ¿Cómo ? ¿ para que ‘
Métodos que se
utiliza en la
solución de
problema de
optimización
Se plantea optimizar
El uso de ciertos
recursos que se
disponen para
Maximizar(aumentar)
ganancias, beneficios,
ingresos, eficiencia o
Minimizar (disminuir)
Costos, perjuicios,
egresos, etc.
Técnica
Matemática
que Consiste
en
procedimientos
Para resolver
Problema de
optimización
Un sistema de
Inecuaciones
Lineales,
Optimizando la
Función objetivo
o también llama
Lineal.
Defiendo la función
objetivo en maximización
como la utilidad de una
empresa.
F.O = Utilidad ($/a) =
Ventas ($/a) – Costos ($/a)

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8

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Ejemplo 1:

Cada muñeco:
• Produce un beneficio neto de 3 €.
• Requiere 2 horas de trabajo de acabado.
• Requiere 1 hora de trabajo de carpinteria.
Cada tren:
• Produce un beneficio neto de 2 €.
• Requiere 1 hora de trabajo de acabado.
• Requiere 1 hora trabajo de carpinteria.
Planteamiento del problema:
Gepetto S.L., manufactura muñecos y trenes de madera.
Cada semana Gepetto puede disponer de:
• Todo el material que necesite.
• Solamente 100 horas de acabado.
• Solamente 80 horas de carpinteria.
También:
• La demanda de trenes puede ser cualquiera (sin límite).
• La demanda de muñecos es como mucho 40.
Gepetto quiere maximizar sus beneficios.
¿Cuántos muñecos y cuántos trenes debe fabricar?

15
Planteamiento del Problema:
Gepetto quiere maximizar sus beneficios.
¿Cuántos muñecos y cuántos trenes debe fabricar?
R1
R2
R1
R2
R3

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Variables de
Decisión
x = nº de muñecos
producidos a la
semana
y = nº de trenes
producidos a la
semana
Función Objetivo. En cualquier
PPL, la decisión a tomar es
como maximizar (normalmente el
beneficio) o minimizar (el coste)
de alguna función de las
variables de decisión. Esta
función a maximizar o minimizar
se llama función objetivo.
Max z = 3x + 2y
El objetivo de Gepetto es elegir
valores de x e y para
maximizar 3x + 2y. Usaremos
la variable z para denotar el
valor de la función objetivo. La
función objetivo de Gepetto es:
Este problema es un ejemplo típico de un problema de programación lineal (PPL).
Restricciones
Son desigualdades que
limitan los posibles
valores de las variables
de decisión.
En este problema las
restricciones vienen
dadas por la
disponibilidad de horas
de acabado y carpintería
y por la demanda de
muñecos.
También suele haber
restricciones de signo o
no negatividad:
x ≥ 0
y ≥ 0

Restricción 1: no más de 100 horas de tiempo de acabado pueden ser usadas.
Restricción 2: no más de 80 horas de tiempo de carpinteria pueden ser usadas.
Restricción 3: limitación de demanda, no deben fabricarse más de 40 muñecos.
Estas tres restricciones pueden expresarse matematicamente
por las siguientes desigualdades:
Restricción 1: 2 x + y ≤ 100
Restricción 2: x + y ≤ 80
Restricción 3: x ≤ 40
Cuando x e y crecen, la función objetivo de Gepetto también crece.
Pero no puede crecer indefinidamente porque, para Gepetto, los
valores de x e y están limitados por las siguientes tres restricciones:
Restricciones
Además, tenemos las restricciones de signo: x ≥ 0 e y ≥ 0

x ≥ 0 (restricción de signo)
y ≥ 0 (restricción de signo)
Muñeco Tren
Beneficio 3 2
Acabado 2 1 ≤ 100
Carpintería 1 1 ≤ 80
Demanda ≤ 40
Formulación matemática del PPL
Max z = 3x + 2y (función objetivo)
2 x + y ≤ 100 (acabado)
x + y ≤ 80 (carpinteria)
x ≤ 40 (demanda muñecos)
Variables de Decisión x = nº de muñecos producidos a la semana
y = nº de trenes producidos a la semana

Max z = 3x + 2y (función objetivo)
Sujeto a (s.a:)
2 x + y ≤ 100 (restricción de acabado)
x + y ≤ 80 (restricción de carpinteria)
x ≤ 40 (restricción de demanda de muñecos)
Para el problema de Gepetto, combinando las restricciones de
signo x ≥ 0 e y ≥ 0 con la función objetivo y las restricciones,
tenemos el siguiente modelo de optimización:
Formulación matemática del PPL

Región factible
x = 40 e y = 20 está en la región
factible porque satisfacen todas
las restricciones de Gepetto.
Sin embargo, x = 15, y = 70 no
está en la región factible porque
este punto no satisface la
restricción de carpinteria
[15 + 70 > 80].
Restricciones de Gepetto
2x + y ≤ 100 (restricción finalizado)
x + y ≤ 80 (restricción carpintería)
x ≤ 40 (restricción demanda)
x ≥ 0 (restricción signo)
y ≥ 0 (restricción signo)
La región factible de un PPL es el conjunto de todos los puntos
que satisfacen todas las restricciones. Es la región del plano
delimitada por el sistema de desigualdades que forman las
restricciones.

Solución óptima
La mayoría de PPL tienen solamente una
solución óptima. Sin embargo, algunos PPL no
tienen solución óptima, y otros PPL tienen un
número infinito de soluciones.
Más adelante veremos que la solución del PPL de
Gepetto es x = 20 e y = 60. Esta solución da un
valor de la función objetivo de:
z = 3x + 2y = 3·20 + 2·60 = 180 €
Cuando decimos que x = 20 e y = 60 es la solución óptima,
estamos diciendo que, en ningún punto en la región factible, la
función objetivo tiene un valor (beneficio) superior a 180.
Para un problema de maximización, una solución
óptima es un punto en la región factible en el cual
la función objetivo tiene un valor máximo. Para un
problema de minimización, una solución óptima es
un punto en la región factible en el cual la función
objetivo tiene un valor mínimo.
Se puede demostrar
que la solución
óptima de un PPL
está siempre en la
frontera de la región
factible, en un
vértice (si la
solución es única) o
en un segmento
entre dos vértices
contiguos (si hay
infinitas soluciones)

Representación Gráfica de las restricciones
2x + y = 100
Cualquier PPL con sólo dos
variables puede resolverse
gráficamente.
Por ejemplo, para representar
gráficamente la primera
restricción, 2x + y ≤ 100 :
Dibujamos la recta 2x + y = 100
20
20 40 60 80
40
60
80
100
Y
X
Elegimos el semiplano que
cumple la desigualdad: el
punto (0, 0) la cumple
(2·0 + 0 ≤ 100),
así que tomamos el
semiplano que lo contiene.

Dibujar la región factible
Puesto que el PPL de Gepetto tiene dos variables, se puede resolver
gráficamente. La región factible es el conjunto de todos los puntos
que satisfacen las restricciones:
2 x + y ≤ 100 (restricción de acabado)
x + y ≤ 80 (restricción de carpintería)
x ≤ 40 (restricción de demanda)
Vamos a dibujar la región factible que satisface estas restricciones.
R1:
R2:
R3:
Restricciones de no negatividad, para trabajar en el primer
cuadrante del plano carteciano.

Y
X
20
20 40 60 80
40
60
80
100
2x + y = 100
Restricciones
2 x + y ≤ 100
x + y ≤ 80
x ≤ 40
x ≥ 0
y ≥ 0
Teniendo en
cuenta las
restricciones de
signo (x ≥ 0, y ≥ 0),
nos queda:
X Y
A 0 100
B 50 0
A (0,100)
B (50, 0)
R1:
R2:
R3:

Y
X
20
20 40 60 80
40
60
80
100
x + y = 80
Restricciones
2 x + y ≤ 100
x + y ≤ 80
x ≤ 40
x ≥ 0
y ≥ 0
R1:
R2:
R3:
X Y
C 0 80
D 80 0
C(0,80)
D(80,0)

Y
X
20
20 40 60 80
40
60
80
100
x = 40
Restricciones
2 x + y ≤ 100
x + y ≤ 80
x ≤ 40
x ≥ 0
y ≥ 0

Y
X
20
20 40 60 80
40
60
80
100
2x + y = 100
x + y = 80
x = 40
La intersección
de todos estos
semiplanos
(restricciones)
nos da la región
factible
Región
Factible

Y
X
20
20 40 60 80
40
60
80
100
2x + y = 100
x + y = 80
x = 40
Región
Factible
La región factible (al
estar limitada por
rectas) es un polígono.
En esta caso, el
polígono ABCDE.
A
B
C
D
E
Como la solución
óptima está en alguno
de los vértices (A, B,
C, D o E) de la región
factible, calculamos
esos vértices.
Vértices de la región factible
Restricciones
2 x + y ≤ 100
x + y ≤ 80
x ≤ 40
x ≥ 0
y ≥ 0

Región
Factible
E(0, 80)
(20, 60)
C(40, 20)
B(40, 0)
A(0, 0)
Vértices de la región factible
Los vértices de la región
factible son intersecciones de
dos rectas. El punto D es la
intersección de las rectas
2x + y = 100
x + y = 80
La solución del sistema x = 20,
y = 60 nos da el punto D.
20
20 40 60 80
40
60
80
100
Y
X
D
B es solución de
x = 40
y = 0
2x + y = 100
x = 40
x + y = 80
C es solución de
x = 40
2x + y = 100
E es solución de
x + y = 80
x = 0

Y
X
20
20 40 60 80
40
60
80
100
Región
Factible
(0, 80)
(20, 60)
(40, 20)
(40, 0)
(0, 0)
Max z = 3x + 2y
z = 0 z = 100
z = 180
Para hallar la
solución óptima,
dibujamos las
rectas en las
cuales los puntos
tienen el mismo
valor de z.
La figura muestra
estas lineas para
z = 0, z = 100, y z
= 180
Resolución gráfica

Región
Factible
(0, 80)
(20, 60)
(40, 20)
(40, 0)
(0, 0)
Max z = 3x + 2y
z = 0 z = 100
z = 180
La última recta de
z que interseca
(toca) la región
factible indica la
solución óptima
para el PPL. Para
el problema de
Gepetto, esto
ocurre en el
punto D (x = 20, y
= 60, z = 180).
20
20 40 60 80
40
60
80
100
Y
X
Resolución gráfica

Región
Factible
(0, 80)
(20, 60)
(40, 20)
(40, 0)
(0, 0)
Max z = 3x + 2y
También podemos encontrar la
solución óptima calculando el
valor de z en los vértices de la
región factible.
Vértice z = 3x + 2y
(0, 0) z = 3·0+2·0 = 0
(40, 0) z = 3·40+2·0 = 120
(40, 20) z = 3·40+2·20 = 160
(20, 60) z = 3·20+2·60 = 180
(0, 80) z = 3·0+2·80 = 160
20
20 40 60 80
40
60
80
100
Y
X
La solución óptima es:
x = 20 muñecos
y = 60 trenes
z = 180 € de beneficio
Resolución analítica

Hemos identificado la región factible para
el problema de Gepetto y buscado la
solución óptima, la cual era el punto en la
región factible con el mayor valor posible
de z.

Recuerda que:
• La región factible en cualquier PPL
está limitada por segmentos (es un
polígono, acotado o no).
• La región factible de cualquier PPL
tiene solamente un número finito de
vértices.
• Cualquier PPL que tenga solución
óptima tiene un vértice que es óptimo.

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