Dos Problema De Progrmacion Lineal

PROGRAMA PROLIN Prof. Jorge La Chira Para alumnos de la Promoción 2008 I. E “N. S. Perpetuo Socorro” Profesor del Área Pedro Juárez Armijos Profesor del AIP José La Chira

Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden resolver la situación siguiente: Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función lineal de varias variables sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales. Un problema de programación lineal en dos variables, tiene la siguiente formulación

La solución óptima del problema será un par de valores ( x 0, y 0 ) del conjunto factible que haga que f( x,y ) tome el valor máximo o mínimo. Función objetivo : f ( x,y ) = a x + b y que es necesario optimizar. En esa expresión x e y son las variables , mientras que a, b y c son constantes. Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales. Su número depende del problema en cuestión. El carácter de desigualdad viene impuesto por las limitaciones, disponibilidades o necesidades, que son: inferiores a ... ( menores: < o ); como mínimo de ... (mayores: > o ) . Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de los dos sentidos. Región factible : conjunto de valores de x e y que verifican todas y cada una de las restricciones. Todo punto de ese conjunto puede ser solución del problema

1.. Elegir las incógnitas 2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema 3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones 4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones. 5. Calcular las coordenadas de los vértices del polígono (región factible) de soluciones posibles. 6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cual de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema. Que se resume en: Incógnitas 2. Función Objetivo 3. Restricciones 4. grafica 5. Coordenadas 6. Soluciones

¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá el herrero para obtener el máximo beneficio? S/ 2000 S/ 1500 80 kg Acero 120 kg Aluminio 1kg Acero 2kg Acero 3kg Aluminio 2kg Aluminio PASEO MONTAÑA Un herrero con 80 kg de acero y 12 kg de aluminio quiere fabricar bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender respectivamente, a 2000 y 1500 nuevos soles para obtener el máximo beneficio. En la elaboración de la bicicleta de paseo empleara 1 kg de acero y 3kg de aluminio, y en la de montaña 2kg de cada metal. x y

Incógnitas x = numero de bicicletas de paseo y = numero de bicicletas de montaña Función Objetivo: f(x, y) = 2000x + 15000y Tipos N. bicic Kg acero Kg alum de paseo x x 3x de montaña y 2y 2y <=80 <=120 S/ 2000 S/ 1500 1kg 2kg 3kg 2kg PASEO (x) MONTAÑA (y)

S/ 2000 S/ 1500 1kg 2kg 3kg 2kg PASEO (x) MONTAÑA (y) Tipos N. bicic Kg acero Kg alum de paseo x x 3x de montaña y 2y 2y <=80 <=120

Se tabula y construye la grafica: La recta x+2y= 80, tiene como intercepto (0, 40) y (80,0) La recta 3x + 2y = 120, tiene como intercepto (0, 60) y (40,0)

Verificación de coordenadas del polígono f(x, y) = 2000x + 15000y f(0, 40) = 2000(0) + 15000(40) = 60000 f(0, 0) = 2000(0) + 15000(0) = 0 f(20, 30) = 2000(20) + 15000(30) = 85000 f(40, 0) = 2000(40) + 15000(0) = 80000 Solución Máximo beneficio 8500 soles Para obtener 8500 soles debe fabricar 20 bicicletas de paseo y 30 de montaña S/ 2000 S/ 1500 1kg 2kg 3kg 2kg PASEO (x) MONTAÑA (y)

GANANCIA DEL ARTESANO DE MANTAS Se sabe por experiencia propia que el artesano puede tejer mensualmente a lo mas 160 mantas combinadas S/ 134 S/ 20 ALPACA ALGODÓN X Y Un artesano teje mantas de alpaca y algodón mensualmente, Si la ganancia por cada manta de alpaca es de 134 soles y por cada manta de algodón 20 soles. ¿Cuántas mantas de cada tipo debe de tejer al menos para que maximice su ganancia? puede tejer desde 10 hasta 60 mantas de alpaca y un numero de 120 mantas de algodón.

Solución: GANANCIA DEL ARTESANO DE MANTAS Incógnitas-Función Objetivo Variables x= número de mantas de alpaca y= número de mantas de algodón b) Función Objetivo f(x, y) = 134x + 20y S/ 134 S/ 20 ALPACA ALGODÓN X Y

Solución: GANANCIA DEL ARTESANO DE MANTAS Restricciones c) Restricciones

Se tabula y construye la grafica: Solo se tabula la recta x+y= 160 Que contiene los puntos (0, 160) y (160,0)

Verificación de coordenadas del polígono f(x, y) = 134x + 20y f(10, 120) = 134(10) + 20(120)= 3740 f(40,12 0) = 134(40) + 20(120) = 7760 f(60, 100) = 134(60)+ 20(120) = 10 040 f(60, 0) = 134(60) + 20(0) = Solución Máximo beneficio 10 040 soles Para obtener 10 040 soles debe fabricar 60 mantas de alpaca y 100 mantas de algodón S/ 134 S/ 20 ALPACA ALGODÓN X Y

ProLin (Programación Lineal) es un programa que representa las soluciones de un sistema de inecuaciones lineales de primer grado de manera gráfica. Su campo de aplicación se encuentra en el área de matemática secundaria. Puede utilizarse de diferentes formas: Para explicar las ideas asociadas con el tema de Programación Lineal puede ser utilizado de dos formas distintas: En primer lugar como software educativo tradicional, instalado en todos los ordenadores del aula y los alumnos divididos en grupos, idealmente dos por ordenador, se puede desarrollar una clase dirigida por el profesor o bien por una ficha para cada grupo En segundo lugar como soporte a la típica clase magistral con ayuda de una pantalla de vídeo (proyector) conectada al ordenador , utilizar ésta como una sofisticada pizarra (llamada, a veces, "pizarra electrónica") Otra forma de utilizarlo es como ayuda del profesor o alumnos para el dibujo de gráficas ligadas con el tema de Programación Lineal, para insertarlas en un procesador de textos (word, ppt) CICK PARA DESCARGARLO

Para la solución de los problemas propuestos con PROLIN, debes tener 1. La función Objetivo 2. Las restricciones Las graficas y solucion lo genera el programa Recomendación

Luego de haber instalado Prolín, conocemos sus ventanas Ingreso de restricciones Varia de acuerdo al problema Ingresa función objetivo

Solución BICICLETAS DE PASEO Y DE MONTAÑA Uso de Software Prolin S/ 2000 S/ 1500 1kg 2kg 3kg 2kg PASEO (x) MONTAÑA (y)

restricciones Variaciones función objetivo Función Objetivo: f(x, y) = 2000x + 15000y

Se copia la solución a portapapeles y se pega en el archivo a usar, resulta F(0, 40) = 600000; S S F(80, 0) = 160000; S N F(20, 30) = 490000; S S F(0, 60) = 900000; N S F(40, 0) = 80000; S S Max(0, 40) = 600000 Mín(40, 0) = 80000

Solución: GANANCIA DEL ARTESANO DE MANTAS PROLIN S/ 134 S/ 20 ALPACA ALGODÓN X Y

b) Función Objetivo f(x, y) = 134x + 20y

F(10, 0) = 1340; S S S S F(10, 120) = 3740; S S S S F(10, 150) = 4340; S S N S F(60, 0) = 8040; S S S S F(60, 120) = 10440; S S S N F(60, 100) = 10040; S S S S F(0, 120) = 2400; N S S S F(40, 120) = 7760; S S S S F(0, 160) = 3200; N S N S F(160, 0) = 21440; S N S S Max(60, 100) = 10040 Mín(10, 0) = 1340

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