Programacion lineal

PROGRAMACIÓN
LINEAL
Profesor: Juan Salvador Sánchez

La programación lineal da respuesta a situaciones en
las que se exige maximizar o minimizar funciones que
se encuentran sujetas a determinadas limitaciones,
que llamaremos restricciones.
Su empleo es frecuente en aplicaciones de la
industria, la economía, la estrategia militar, etc.
DEFINICIÓN

Su empleo es frecuente en aplicaciones de la
industria, la economía, la estrategia militar, etc.

FUNCIÓN OBJETIVO
En esencia la programación lineal consiste en
optimizar (maximizar o minimizar) una función
objetivo, que es una función lineal de varias
variables:
f(x,y) = ax + by.

La función objetivo está sujeta a una
serie de restricciones, expresadas por
inecuaciones lineales:
RESTRICCIONES

1 1 1
2 2 2
n n n
a x b y c
a x b y c
a x b y c
 

 


  

Cada desigualdad del sistema de
restricciones determina un semiplano.

SOLUCIÓN FACTIBLE
El conjunto intersección, de todos los
semiplanos formados por las
restricciones, determina un recinto,
acotado o no, que recibe el nombre
de región de validez o zona de
soluciones factibles.

SOLUCIÓN ÓPTIMA
El conjunto de los vértices del recinto
se denomina conjunto de soluciones
factibles básicas y el vértice donde se
presenta la solución óptima se llama
solución máxima (o mínima según el
caso).

VALOR DEL PROGRAMA LINEAL
El valor que toma la función
objetivo en el vértice de solución
óptima se llama valor del
programa lineal.

1. Elegir las incógnitas.
2. Escribir la función objetivo en función de los datos del
problema.
3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.
4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando
gráficamente las restricciones.
5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de
soluciones factibles (si son pocos).
6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los
vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o
mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta
aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está
acotado).
PASOS PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE
PROGRAMACIÓN LINEAL

Unos grandes almacenes encargan un trabajo a un fabricante de
pantalones y chaquetas deportivas.
El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de
algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m
de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5
m de algodón y 1 m de poliéster.
El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €.
¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el
fabricante a los almacenes para que estos consigan una beneficio
máxima?
EJEMPLO

1. Elección de las incógnitas.
Sean:
X: número de pantalones
Y: número de chaquetas
2. Función Objetivo:
 , 50 40f x y x y 

Material Pantalones Chaquetas
Disponible
Algodón 1 1,5 750
Poliéster 2 1 1000
Para dar a conocer las restricciones vamos a ayudarnos de la
siguiente tabla:
3. Restricciones

Luego se tiene:
1,5 750
2 1000
x y
x y
  
  
2 3 1500
2 1000
x y
x y
  
  
Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos
restricciones más:
0
0
x
y
 
 

4. Ahora hallamos el conjunto de soluciones factibles:
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemos gráficamente la inecuación: x + 1.5y ≤ 750, para ello tomamos un punto
del plano, por ejemplo el (0,0).
• 0 + 1.5· 0 ≤ 750
• 0 ≤ 750 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la
desigualdad.
• De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000.
• 2 · 0 + 0 ≤ 1 000
La zona de intersección de las soluciones
de las inecuaciones sería la solución al
sistema de inecuaciones, que constituye el
conjunto de las soluciones factibles.
Conjunto de soluciones factibles

La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto.
Estas son las soluciones a los sistemas:
• Si x = 0 entonces 2x + 3y = 1500; luego y = 500 (0, 500)
• Si y = 0 entonces 2x + y = 1000; luego x = 500 (500, 0)
• Si x = 375; y = 250 entonces 2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)
5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones
factibles.

En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
• f(x, y) = 50x + 40y
• f(0, 500) = 50 · 0 + 40 · 500 = 20 000 €
• f(500, 0) = 50 · 500 + 40 · 0 = 25 000 €
• f(375, 250) = 50 · 375 + 40 · 250 = 28 750 € Máximo
Por lo tanto la solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250
chaquetas para obtener un beneficio de 28750 €.
6. Calculando el valor de la función objetivo

Solución múltiple
La solución no siempre es única, también podemos
encontrarnos con una solución múltiple.
Por ejemplo:
Si la función objetivo del ejercicio anterior hubiese
sido: f(x,y)= 20x + 30y
Entonces tenemos:
• f(0,500) = 20 · 0 + 30 · 500 = 15 000 € Máximo
• f(500, 0) = 20 · 500 + 30 · 0 = 10 000 €
• f(375, 250) = 20 · 375 + 30 · 250 = 15 000
€ Máximo
En este caso todos los pares, con soluciones
enteras, del segmento trazado en negro serían
máximos.
Luego f(300, 300)= 20 · 300 + 30 · 300 = 15 000 € Máximo

Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y
L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20
minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un
trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone
para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina
80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15
y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la
producción para obtener el máximo beneficio.
1

Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de
material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600
cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta,
empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque
pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo,
pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de
cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos
paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el
máximo beneficio?
2

En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con
una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y
otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra
dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de
una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una
composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del
tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades
se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades
con un coste mínimo?
3

Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para
elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g
y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas
grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes.
Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la
pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada
clase para que el beneficio sea máximo?
4

Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100
pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos
ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y
un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un
lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se
desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10
de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para
maximizar la ganancia?
5

Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los
del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no
refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al
50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el
transporte de 3 000 m3 de producto que necesita refrigeración
y 4 000 m3 de otro que no la necesita. El coste por kilómetro
de un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos
camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea
mínimo?
6

Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La
empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de
50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un
autocar grande cuesta 800 € y el de uno pequeño 600 €.
Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para
que la excursión resulte lo más económica posible para la
escuela.
7

Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La
empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de
50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un
autocar grande cuesta 800 € y el de uno pequeño 600 €.
Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para
que la excursión resulte lo más económica posible para la
escuela.
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