Programacion lineal exop
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Este documento presenta una introducción a la programación lineal, incluyendo definiciones de variables, funciones objetivo y restricciones lineales. Explica cómo representar gráficamente un problema de programación lineal y encontrar la solución óptima. También presenta dos ejemplos numéricos de problemas de programación lineal y sus respectivas soluciones.
Programacion lineal exop
- 1. República Bolivariana de VenezuelaRepública Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación UniversitariaMinisterio del Poder Popular para la Educación Universitaria Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Extensión MaracayExtensión Maracay IUPMSIUPMS Integrantes:Integrantes: Fernando MarcanoFernando Marcano CI:19.509.703CI:19.509.703 Sara ColmenaresSara Colmenares CI:16.110.094CI:16.110.094 Sección: SMSección: SM Profesor:Profesor: José Leonardo AranaJosé Leonardo Arana
- 2. Programación LinealProgramación Lineal La programación lineal es un procedimiento oLa programación lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual sealgoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado aresuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales,través de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.optimizando la función objetivo, también lineal. Consiste en optimizar (minimizar o maximizar)Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo,una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha funciónde tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones queestén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuacionesexpresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.lineales.
- 3. VariablesVariables Las variables son números realesLas variables son números reales mayores o iguales a cero.mayores o iguales a cero. En caso que se requiera que el valorEn caso que se requiera que el valor resultante de las variables sea unresultante de las variables sea un número entero, el procedimiento denúmero entero, el procedimiento de resolución se denominaresolución se denomina Programación enteraProgramación entera..
- 4. Las restricciones pueden ser de la forma:Las restricciones pueden ser de la forma: Tipo 1: Tipo 2: Tipo 3:Tipo 1: Tipo 2: Tipo 3: Donde:Donde: AA = valor conocido a ser respetado estrictamente;= valor conocido a ser respetado estrictamente; BB = valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado;= valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado; CC = valor conocido que no debe ser superado;= valor conocido que no debe ser superado; j = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total dej = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total de restricciones);restricciones); aa;; bb; y,; y, cc = coeficientes técnicos conocidos;= coeficientes técnicos conocidos; XX = Incógnitas, de 1 a N;= Incógnitas, de 1 a N; i = número de la incógnita, variable de 1 a N.i = número de la incógnita, variable de 1 a N. En general no hay restricciones en cuanto a los valores deEn general no hay restricciones en cuanto a los valores de NN yy MM.. Puede serPuede ser N = MN = M;; N > MN > M; ó,; ó, N < MN < M.. Sin embargo si las restricciones delSin embargo si las restricciones del Tipo 1Tipo 1 sonson NN, el problema, el problema puede ser determinado, y puede no tener sentido una optimización.puede ser determinado, y puede no tener sentido una optimización. Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en elLos tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el mismo problema.mismo problema. RestriccionesRestricciones
- 5. Función ObjetivoFunción Objetivo La función objetivo puede ser:La función objetivo puede ser: OO Donde:Donde: = coeficientes son relativamente= coeficientes son relativamente iguales a cero.iguales a cero.
- 6. Solución FactibleSolución Factible Solución que satisface todas lasSolución que satisface todas las restricciones.restricciones. Solución ÓptimaSolución Óptima Solución factible que entrega elSolución factible que entrega el mejor valor posible para la funciónmejor valor posible para la función objetivoobjetivo
- 7. Propiedades de lasPropiedades de las solucionessoluciones Existe solo una solución, estaExiste solo una solución, esta corresponde a un vértice de la regióncorresponde a un vértice de la región factible.factible. Si existen varias soluciones, alSi existen varias soluciones, al menos dos de ellas deben estar enmenos dos de ellas deben estar en vértices adyacentes.vértices adyacentes.
- 8. EjemplosEjemplos Max Z=6xMax Z=6x11 + 4x+ 4x22 Restricciones:Restricciones: X1 +X2 < 12X1 +X2 < 12 X1 –2 X2 <6X1 –2 X2 <6 X2 < 8X2 < 8 Condición de negatividadCondición de negatividad X1, X2 >0X1, X2 >0
- 9. Hay casos de igualdades y desigualdades lineales para elHay casos de igualdades y desigualdades lineales para el caso de dos variables dichas restricciones pueden sercaso de dos variables dichas restricciones pueden ser graficadas en el plano cartesiano donde cada ejegraficadas en el plano cartesiano donde cada eje corresponde a una variable.corresponde a una variable. X1 + x2 =12X1 + x2 =12 X1=0X1=0 x2 =12x2 =12 (0,12)(0,12) X1 – 2x2 =6X1 – 2x2 =6 X1=0X1=0 X2 =6/-2 =-3X2 =6/-2 =-3 (0,-3)(0,-3) X2=8X2=8 (0,8)(0,8) X1 + x2 = 12X1 + x2 = 12 X2=0X2=0 X1=12X1=12 (12,0)(12,0) X1 – 2x2= 6X1 – 2x2= 6 X2=0X2=0 X1=6X1=6 (6,0)(6,0)
- 10. GráficoGráfico Las restricciones forman unLas restricciones forman un polígono cuyos lados sonpolígono cuyos lados son secciones de las rectas quesecciones de las rectas que grafican las restriccionesgrafican las restricciones incluyendo los ejes del planoincluyendo los ejes del plano y cuyos vérticesy cuyos vértices corresponden a lascorresponden a las intersecciones de estas. Esteintersecciones de estas. Este polígono recibe el nombre depolígono recibe el nombre de región factible y delimita laregión factible y delimita la región del plano que contieneregión del plano que contiene las posibles soluciones quelas posibles soluciones que cumplen la totalidad de lascumplen la totalidad de las restriccionesrestricciones
- 11. Max z= 6x1 + 4x2Max z= 6x1 + 4x2 Con el pto (4,8): 6(4) + 4(8)=56Con el pto (4,8): 6(4) + 4(8)=56 Con el pto (10,2): 6(10) +4(2) =68Con el pto (10,2): 6(10) +4(2) =68 Con el pto (6,0): 6(6) + 4(0)=36Con el pto (6,0): 6(6) + 4(0)=36 Con el pto (0,0): 6(0) +4(0)=0Con el pto (0,0): 6(0) +4(0)=0 Con el pto (0,8): 6(0) +4(8)=32Con el pto (0,8): 6(0) +4(8)=32 La solución optima para la función objetivoLa solución optima para la función objetivo es 68es 68
- 12. Ejemplo nº 2:Ejemplo nº 2: Para una obra se necesita un Polimero quePara una obra se necesita un Polimero que contienen 3 propiedades: A, B y C. Lascontienen 3 propiedades: A, B y C. Las cantidades mínimas necesarias son 160cantidades mínimas necesarias son 160 und de A, 200 und de B, y 80 und de C.und de A, 200 und de B, y 80 und de C. Existen dos tipos de polimero muyExisten dos tipos de polimero muy aceptados en la industria; Pacrin cuesta 8$aceptados en la industria; Pacrin cuesta 8$ un saco, contiene 3 und A, 5 und de B yun saco, contiene 3 und A, 5 und de B y 1und de C, Povicen cuesta 6$ cada saco1und de C, Povicen cuesta 6$ cada saco contiene 2 und de cada propiedad.contiene 2 und de cada propiedad. ¿Cuántos sacos de cada marca debe¿Cuántos sacos de cada marca debe comprar para que el costo sea mínimo?comprar para que el costo sea mínimo?
- 13. x =x = Nº Sacos PacrinNº Sacos Pacrin Y=Y= Nº Sacos PovicenNº Sacos Povicen Z= 8x +6yZ= 8x +6y AA BB CC 3X3X 2y2y 5X5X 2y2y 1X1X 2y2y Restricciones:Restricciones: 3x + 2y > 1603x + 2y > 160 5x + 2y > 2005x + 2y > 200 X + 2y > 80X + 2y > 80 X>0 y>0X>0 y>0 Pcr (x)Pcr (x) Pov(y)Pov(y) Z=8X+6YZ=8X+6Y (0,100)=600; (80,0)=640;(20,100)=760 ;(40,20) =(0,100)=600; (80,0)=640;(20,100)=760 ;(40,20) =440440