Programación lineal y pert. do
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El documento aborda la programación lineal y el método PERT, detallando su aplicación en la maximización de beneficios en la producción de una empresa embotelladora. Se explora el planteamiento del problema, formulaciones, el método simplex, y se proporciona un análisis del tiempo y las actividades críticas en un proyecto usando PERT. El objetivo es mejorar la eficiencia y optimizar la producción o gestión de proyectos a través de técnicas matemáticas y gráficas.
Programación lineal y pert. do
- 1. DIRECCIÓN DE OPERACIONES. PROGRAMACIÓN LINEAL. MÉTODO PERT. JOHN LEYTON VELÁSQUEZ. (GM2, TURNO MAÑANA). UNIVERSIDADE DE VIGO. FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES Y TURISMO DE OURENSE.
- 3. PROGRAMACIÓN LINEAL. 1. Enunciado del problema. 2. Preguntas. 3. Planteamiento general del problema: a. Introducción del problema de la programación lineal. b. Forma de resolver el problema a través del método SIMPLEX. c. Representación gráfica. d. Antecedentes históricos, explicar en qué consiste la programación lineal y explicar para que sirve; explicar qué significa el método lineal/explicar en qué consiste el método SIMPLEX y para qué sirve. e. Explicar los diferentes conceptos: función a optimizar, variables del problema, restricciones, variables de holgura, explicar cómo se obtiene la tabla del SIMPLEX, identificando los diferentes vectores que lo componen. f. Explicar con todo detalle cómo se obtienen las diferentes tablas, cómo y cuando se termina el proceso. g. Da la solución óptima y explicar las soluciones no óptimas. 4. Planteamiento completo del problema: Resolución (contestar razonadamente a todas las preguntas del enunciado). 5. Conclusión: Explicar cuál es la solución óptima, en qué consiste y porqué es la solución óptima (explicar qué pasa con las variables de holgura y si pueden aparecer en la solución final).
- 4. 1. Enunciado del problema. Una empresa embotelladora de bebidas refrescantes tiene dos productos principales D1 y D2 cuya producción se realizan en dos operaciones: una de envasado y otra de embalaje de productos. La capacidad semanal de horas de trabajo de la sección de envasado es de 230, mientras la sección de embalaje dispone de 250 horas semanales. El envasado y el embalaje de 1000 litros de ambos tipos de bebidas requieren la utilización del siguiente número de horas en cada sección. D1 D2 Disponibilidad Envasado 2 1 230 Embalaje 1 2 250 La empresa tiene una provisión casi limitada de materia prima para la producción de bebidas, sin embargo se sabe que D2 tiene una demanda semanal nunca superior a los 120.000 litros. Si estimamos un margen de beneficio de 12 céntimos de euro por litro para D1 y de 22 céntimos para D2, determinar el plan de producción semanal que hace máximo el beneficio de la empresa. 2. Preguntas. 1) Hacer el planteamiento habitual del problema de programación lineal en donde se incluya la Función a Optimizar (Z) y las correspondientes restricciones. 2) Realizar el mismo planteamiento incluyendo todas las variables de holgura. 3) Plantear la Tabla inicial del SIMPLEX (1ª tabla) correspondiente al programa base inicial (0,0). 4) Explicar qué relación existe entre la Tabla del SIMPLEX y la Matriz Tecnológica. 5) Explicar cómo en las Tablas del SIMPLEX podemos saber que alcanzamos la solución óptima. 6) Resolver el problema por el Método SIMPLEX (calcular el valor de todas las incógnitas y el Beneficio esperado por la empresa). 3. Planteamiento general del problema:
- 5. a. Introducción del problema de la programación lineal. Resolver un problema de Programación Matemática (PM) es buscar el máximo (o el mínimo) de una función algebraica de variables ligadas por ecuaciones o inecuaciones algebraicas de cualquier grado llamadas restricciones. En el caso más simple, donde la función a maximizar (minimizar) y todas las restricciones son de primer grado, el problema recibe el nombre de Programación Lineal (PL). Por lo que el problema de Programación Lineal esbuscar un óptimo (máximo o mínimo) de una función lineal (función objetivo) de n variables xjrelacionadas entre sí por ecuaciones o inecuaciones lineales llamadasrestricciones. Por lo tanto, es importante observar que en un problema de Programación Lineal se debe: • Definir las variables. • Formular la función objetivo. • Formular las restricciones del problema. Matemáticamente podemos expresar el problema de Programación Lineal de la siguiente forma (Forma General): Minimizar (o maximizar): Z= C1X1+C2X2+…+CnXn a11X1+…+a1nXn≤ A1 Sujeto a: ………………………. am1X1+…+amnXn≤ Am Condiciones de no negatividad: X1, X2,…, Xn≥ 0 b. Forma de resolver el problema a través del método SIMPLEX. Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a
- 6. través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución. El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, Z, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual Z aumenta. La forma de cálculo más analizado se encuentra en el apartado f. c. Representación gráfica. La representación gráfica se puede ver en el apartado 5. d. Antecedentes históricos, explicar en qué consiste la programación lineal y explicar para que sirve; explicar qué significa el método lineal/explicar en qué consiste el método SIMPLEX y para qué sirve. La PL es una de las técnicas más importantes, dentro de la Investigación Operativa, de Optimización. El desarrollo teórico ha venido sugerido y acelerado por un gran número de aplicaciones prácticas en la economía y en la gestión de las empresas. Ya se ha explicado anteriormente en qué consistía y para que sirve este método. El método del simplex fue creado en 1947 por el matemático George Dantzig. El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables. El álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del método simplex. e. Explicar los diferentes conceptos: función a optimizar, variables del problema, restricciones, variables de holgura, explicar los diferentes vectores que lo componen.
- 7. Función a optimizar es "mejorar el rendimiento de algo." Por lo tanto, la optimización con funciones que se emplea en Matemáticas es exactamente eso: mejorar el resultado que se busca.La optimización matemática es parte del cálculo diferencial. Se trata de una serie de pasos que nos llevan a resolver planteamientos en los que se busca mejorar aspectos como un costo, una dimensión, producción, etc. Variables del problema: Son las incógnitas del problema. También son las variables de decisión del problema, es decir, X1, X2,…, Xn. Restricciones: Coeficientes de las variables, es decir, a11, a12, etc. Variables de holgura: Son las variables auxiliares (h1, h2, etc.) Existen los diferentes vectores: o Vector de rendimientos directos, son los coeficientes de las variables: C1+C2+…+Cn. o Vector de rendimientos indirectos: Z= Z1+Z2+…+Z3. o Vector de rendimientos marginales: W= W1+W2+…+W3. f. Explicar con todo detalle cómo se obtienen las diferentes tablas, cómo y cuando se termina el proceso. Para conocer la metodología que se aplica en el Método SIMPLEX, vamos a ver las siguientes fases: 1. Convertir las desigualdades en igualdades Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales. 2. Escribir la tabla inicial simplex. 3. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base: Para escoger la variable de decisión que entra en la base, primero nos fijamos en la columna pivote. Esta columna se halla en donde se encuentre el mayor rendimiento marginal positivo (si fuera minimizar, sería negativo).
- 8. Una vez hecho esto se determina el elemento pivote. Este elemento se halla del resultado menor de la división entre los coeficientes independientes de las restricciones y los coeficientes de las restricciones, siempre que estos últimos sean mayores que cero. Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir. Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes pueden salir de la base. 4. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla. Así, se constituye una nueva tabla para el nuevo programa base correspondiente a las variables h1, h2 y X2(Variables que entra) para nuestro caso. Se empieza por la fila donde sale la variable. En mi caso es la 3ª fila. Se divide la 3ª de la tabla anterior por el elementos pivote (en mi caso es 1) lo que da lugar a la nueva 3ª fila que se llamará X2. H3 0 1 0 0 1 120 Se divide entre el elemento pivote (en mi caso 1) X2 0 1 0 0 1 120 A continuación, se calcula la 1ª fila de la 2ª tabla. Se corresponde a las variables de holgura 1. Se calcula con la siguiente fórmula: 1ª Fila de la Semipivote X 3ª fila nueva tabla anterior (en mi caso 1) de la 2ª fila 2 1 1 0 0 230 2* 0 1 0 0 1 120 A continuación, hallamos la 2ª fila nueva de la 2ª tabla que
- 9. se corresponde con h2 y se calcula de la misma manera que anteriormente. Después, se calcula la 4ª fila nueva de la 2ª tabla que se corresponde con el vector de rendimientos indirectos. Así, para hallar Zjse multiplica los coeficientes de los rendimientos indirectos por los coeficientes de la 1ª columna de la matriz tecnológica. El primer Z se calcularía: 0 2 0 X 1 = 0 220 0 Y así con el resto. Por último se calcula la 5ª fila nueva de la 2ª tabla que se corresponde con el vector de rendimientos marginales Wj. Se aplica la siguiente fórmula sencilla: Wj=Cj-Zj. Por lo que el W1= 120-0= 120, etc. g. Da la solución óptima y explicar las soluciones no óptimas. La solución óptima del problema es que obtiene un beneficio máximo de 28200€/Semana. Las soluciones no óptimas se pueden ver en el apartado 5. La explicación del porqué es esta la solución se da en el apartado 6. Una vez explicado todos los puntos anteriores, podemos realizar correctamente las siguientes tablas del SIMPLEX, que en mi caso son un total de 4 tablas donde se ha seguido el método de cálculo que he explicado en estos apartados. 5. Planteamiento completo del problema: Resolución (contestar razonadamente a todas las preguntas del enunciado).
- 13. 6. Conclusión: Explicar cuál es la solución óptima, en qué consiste y porqué es la solución óptima (explicar qué pasa con las variables de holgura y si pueden aparecer en la solución final). Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solución óptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos.
- 14. MÉTODO PERT. Introducción: Concepto................................................................. 1. Construir un grafo PERT correspondiente al proyecto. ................. Gráfico de Gantt. 2. Determinar la duración del proyecto. ............................................ 3. Analizar las holguras o tiempos sobrantes. .................................. 4. Señalar las actividades críticas y el camino crítico. ...................... 5. Explicar que habría que hacer si queremos acortar la duración del proyecto en un 10% aproximadamente. Dibujar el nuevo grafo correspondiente a este caso. 6. Explicar que incidencia tendría este último sobre el coste del proyecto. 7. Indicar las limitaciones del método PERT (Ver pág. 20, 1º Parte).
- 15. Introducción: Concepto. El PERT (ProgramEvaluation and Review Technique) o Técnica de Revisión y Evaluación de Programas, es un modelo para laadministración y gestión de proyectos . PERT es básicamente un método para analizar las tareas involucradas en completar un proyecto dado, especialmente el tiempo para completar cada tarea, e identificar el tiempo mínimo necesario para completar el proyecto total. La parte más famosa de PERT son las Redes PERT o Grafos, diagramas de líneas de tiempo que se interconectan. PERT está diseñado para proyectos de gran escala, que se ejecutan de una vez, complejos y no rutinarios. 1. Construir un grafo PERT correspondiente al proyecto. En primer lugar, para realizar el correspondiente grafo hemos de mirar la siguiente tabla, junto con la siguiente información: ACTIVIDAD TIEMPO (U.T.) - La actividad A precede a la A 12 B, a la E, a la F y a la H. B 22 - La B precede a la C y esta a C 10 la D. D 2 - La D, la E y la F preceden a E 10 F 50 la G. G 100 - La G y la H preceden a la I. H 30 - La I precede a la J, y ésta a I 2 la K J 4 K 3 Por lo tanto, podemos fijarnos que las unidades de tiempo ya están estimadas, ya que recordemos que la duración de cada actividad en el método PERT es una variable aleatoria que se ajusta a la distribución β(Beta).
- 16. En segundo lugar, tenemos que calcular el tiempo early (T.E) de cada actividad (el menor tiempo necesario desde el inicio del proyecto para finalizar una determinada cantidad). Así, se obtiene su cálculo: T.E1= 0 T.E1= 0 T.E1= 0 T.E2=T.E1+DA T.E2=0+12 T.E2= 12 T.E3=T.E2+DB T.E3=12+22 T.E3= 34 T.E4=T.E3+DC T.E4=34+10 T.E4= 44 T.E5=T.E2+DE T.E5=12+10 T.E5= 22 T.E6= Max(T.E2+DF; T.E4+DD) T.E6= Max(12+50; 44+2) T.E6= 62 T.E7= Max(T.E2+DH; T.E6+DG) T.E7= Max(12+30;62+100) T.E7= 162 T.E8=T.E7+DI T.E8=162+2 T.E8= 164 T.E9=T.E8+DJ T.E9=164+4 T.E9= 168 T.E10=T.E9+DK T.E10=168+3 T.E10= 171 En tercer lugar, deberemos hallar el tiempo last (T.L) de cada actividad (el máximo tiempo en que puede finalizar una determinada actividad desde el inicio del proyecto sin que se produzca retrasos en la fecha prevista para la finalización del mismo). Por lo que su cálculo sería de la siguiente manera: T.L10=T.E10 T.L10=171 T.L10= 171 T.L9=T.L10-DK T.L9=171-3 T.L9= 168 T.L8=T.L9-DJ T.L8=168-4 T.L8= 164 T.L7=T.L8-DI T.L7=164-2 T.L7= 162 T.L6=T.L7-DG T.L6=162-100 T.L6= 62 T.L5=T.L6-DFICTICIA T.L5=62-0 T.L5= 62 T.L4=T.L5-DD T.L4=62-2 T.L4= 60 T.L3=T.L4-DC T.L3=60-10 T.L3= 50 T.E2= min(T.L3+DB; T.L5+DF;T.L6+DF ) T.E2= min(50-22; 62-10;62-50) T.E2= 12 T.L1=T.E2-DA T.L1=12-12 T.L1= 0 Una vez hallados todos estos apartados, podemos construir nuestro gráfico PERT correspondiente al proyecto de la construcción del pantano que va a abastecer de agua al pueblo. Así, obtenemos el siguiente grafo:
- 17. C 10 3 4 D 2 34 50 44 60 6 62 62 22 F 50 B G 100 5 22 62 1 2 E 10 7 8 9 10 10 0 0 A 12 12 12 H 30 162 162 I2 164 164 J4 168 168 VK 3 171 171 A continuación, se realizará el correspondiente gráfico Gantt del proyecto a realizar. Gráfico Gantt. Junto con la técnica PERT, se suele utilizar el gráfico de Gantt que es un proceso para la planificación y control de proyectos. Éste, nos permite conocer el orden de realización de las distintas actividades así como la duración prevista para el proyecto. Por lo que consiste en una representación gráfica sobre dos ejes: en el vertical se disponen las tareas del proyecto y en el horizontal se representa el tiempo. Para nuestra práctica correspondiente, nuestro gráfico de Gantt es el siguiente: 31-12 20-1 9-2 29-2 20-3 9-4 29-4 19-5 8-6 28-6 A B C D E F G H I J K En este caso, se ha puesto como ejemplo que se empezaría el día 31 de Diciembre la obra.
- 18. 2. Determinar la duración del proyecto. Puesto lo anterior en evidencia, la duración estimada del proyecto es de 171 días. 3. Analizar las holguras o tiempos sobrantes. Las holguras totales de cada actividad son importantes, ya que determinan el retraso máximo que puede producirse en su realización (de la actividad) sin que ello suponga una modificación de la duración final del proyecto. Así, las holguras representan el margen de cada actividad para su ejecución. Además de la holgura total, existe la holgura libre y holgura independiente. No obstante, en nuestra práctica nos centraremos en las holguras totales. . El cálculo de las holguras totales es el siguiente: HA= T.L2-DA-T.E1 HA= 12-12-0 HA= 0 (Actividad Crítica) HB= T.L3-DB-T.E2 HB=50-22-12 HB= 16 HC= T.L4-DC-T.E3 HC= 60-10-34 HC= 16 HD= T.L5-DD-T.E4 HD= 62-2-44 HD= 16 HE= T.L5-DE-T.E2 HE= 62-10-12 HE= 40 HF= T.L6-DF -T.E2 HF= 62-50-12 HF= 0 (Actividad Crítica) HG= T.L7-DG-T.E6 HG= 162-100-62 HG= 0 (Actividad Crítica) HH= T.L7-DH-T.E2 HH= 162-30-12 HH= 120 HI = T.L8-DI -T.E7 HI = 162-2-162 HI = 0 (Actividad Crítica) HJ= T.L9-DJ-T.E8 HJ= 168-4-162 HJ= 0 (Actividad Crítica) HK= T.L10-DK-T.E9 HK= 171-3-168 HK= 0 (Actividad Crítica) Por lo tanto, en determinadas actividades por ej. B, C y D se tienen un margen de 16 unidades de tiempo. No obstante, lo realmente interesante e inquietante son aquellas actividades que tienen margen nulo, esto lo veremos a continuación. 4. Señalar las actividades críticas y el camino crítico. Pues, aquellas actividades que tienen margen nulo son las denominadas actividades críticas. Son llamadas de esta manera debido a que determinan de manera sustancial la realización del proyecto. Por lo que cualquier variación en su duración modifica la duración final del proyecto. Las actividades críticas en nuestra práctica son: A, F, G, I, J, K.
- 19. Así, a la sucesión de actividades críticas que permiten ir del nudo inicial al nudo final se le denomina camino crítico. En nuestro caso, el camino crítico es el siguiente: 6 62 62 F 50 G 100 1 A 12 2 7 I 2 8 J 4 9 K3 10 0 0 12 12 162 162 164 164 168 168 171 171 Por lo que para cualquier modificación de la duración de la construcción del pantano, tendremos que modificar algunas de estas actividades críticas. 5. Explicar que habría que hacer si queremos acortar la duración del proyecto en un 10% aproximadamente. Dibujar el nuevo grafo correspondiente a este caso. Para este caso, la duración del proyecto en total es de 171 unidades de tiempo (u.t.); por lo que para acortar el proyecto en un 10% tendríamos que hacer la siguiente operación para saber cuántas unidades de tiempo tenemos que reducir: 171*10/100= 17,1 u.t. Entonces, como ya se ha dicho anteriormente, para modificar la duración del proyecto tendremos que cambiar la duración de algunas de las actividades críticas. En este caso, la actividad F sería reducida en 7 u.t. y la actividad G en 10 u.t. Acorto estas actividades, ya que (además de ser las que mas u.t. tienen) son las más costosas para el proyecto (es el caso de la G). El grafo correspondiente a esta modificación será el siguiente:
- 20. C 10 3 4 D2 34 50 44 53 6 55 55 B 22 F 43 G 90 5 22 62 1 2 E 10 7 8 9 10 10 0 0 12 12 145 145 147 147 151 151 154 154 A 12 H 30 I2 J4 K3 6. Explicar que incidencia tendría este último sobre el coste del proyecto. En aspectos generales, la reducción del tiempo conlleva a un aumento del coste directo y por supuesto una reducción del coste indirecto. Por otra parte, muchos proyectos nos han sido impuestos con la condición de que si nose terminan en la fecha del contrato, nos exigirán indemnizaciones y, en cambio, siadelantamos el proyecto nos concederán una prima. Si queremos tener un juicio de sipreferimos recibir una prima o una penalidad, es imprescindible tener un criterio decomparación. Según este criterio se elige la combinación de duración-coste óptima entre ungran número de combinaciones alternativas. 7. Indicar las limitaciones del método PERT. En ocasiones, no es posible asumir independencia entre las actividades del proyecto. Es muy difícil establecer el comienzo y la finalización de una actividad. Excesiva subjetividad en la estimación de las duraciones de cada actividad.