Ejercicio de aplicacion de laplace..
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Este documento aplica el Teorema de Laplace para resolver un circuito RC. (1) Deriva una ecuación diferencial que relaciona la tensión de salida y con la tensión de entrada x. (2) Usando la transformada de Laplace, encuentra y(t) dado que la tensión inicial del capacitor C es vco = 2e-1. (3) La solución es y(t) = -2te-t + e-t.
Ejercicio de aplicacion de laplace..
- 1. TEOREMA DE LAPLACE APLICADO A LA RESOLUCION DE CIRCUITOS ELECTRICOS ECUACIONES DIFERENCIALES TERCER PARCIAL AUTORES: FLÓREZ VEGA JOSÉ MIGUEL SINNING DE LA HOZ JOSÉ LUIS
- 2. En la red RC que se muestra encontraremos: (a) Encontrar una ecuación diferencial que relacione el voltaje de salida y y el voltaje en la entrada x. (b) Si el voltaje inicial en el capacitor C es 𝑣𝑐𝑜 = 2𝑒−1 , encontrar y usando la técnica de la transformada de Laplace.
- 3. Según la ley de voltaje de Kirchhoff 𝑥 = 𝑣𝑐𝑜 + 1/𝐶 0 𝑡 𝑖 𝑑𝑡 + 𝑅𝑖 = 𝑣𝑐𝑜 + 0 𝑡 𝑖 𝑑𝑡 + 𝑖 Pero 𝑦 = 𝑅𝑖 = 𝑖. por tanto 𝑥 = 𝑣𝑐𝑜 + 0 𝑡 𝑦 𝑑𝑡 + 𝑦 . Diferenciando ambos lados de esta ecuación da la ecuación diferencial ሶ𝑦 + 𝑦 = ሶ𝑥.
- 4. La transformada de Laplace de la ecuación diferencial encontrada en la parte (a) es 𝑠𝑌 𝑠 − 𝑦 0+ + 𝑌 𝑠 = 𝑠𝑋 𝑠 − 𝑥(0+) Donde 𝑋 𝑠 = ℒ 2𝑒−𝑡 = 2 𝑠+1 Y , 𝑥 0+ = lim 𝑡→0 2𝑒−𝑡 = 2 . Para encontrar 𝑦(0+), se toman límites en ambos lados de la ecuación original del voltaje : 𝑥 0+ = lim 𝑡→0 𝑥 𝑡 = 𝑙𝑖𝑚 𝑡→0 𝑣𝑐𝑜 + 0 𝑡 𝑦𝑑𝑡 + 𝑦 𝑡 = 𝑣𝑐𝑜 + 𝑦(0+)
- 5. Luego 𝑦 0+ = 𝑥 0+ − 𝑣𝑐𝑜 = 2 − 1 = 1. la transformada de 𝑦(𝑡) es entonces 𝑌 𝑠 = 2𝑠 (𝑠 + 1)2 − 1 𝑠 + 1 = − 2 𝑠 + 1 2 + 2 𝑠 + 1 − 1 𝑠 + 1 = − 2 (𝑠 + 1)2 + 1 𝑠 + 1 Finalmente: 𝑦 𝑡 = ℒ−1 − 2 (𝑠+1)2 + ℒ−1 1 𝑠+1 = −2𝑡𝑒−𝑡 + 𝑒−𝑡
- 6. CONCLUSIÓN Las transformadas de Laplace son muy útiles para no solo circuitos eléctricos, sino que estas también pueden servir para determinar la magnitud y dirección de fuerzas y principalmente: el control de procesos, como la conducción de un vehículo o complejos procesos de reacciones químicas industriales, ya que estas permiten modelar diferentes tipos de comportamientos.
- 7. Los satélites usan transformadas de Laplace para así poder realizar gran cantidad de sus procesos de manera automática