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- 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERIA ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES REGIMEN TRANSITORIO DE UN CIRCUITO R-L-C INFORME FINAL Nº7 Hennry Villanueva Panocca│Jhoel Munarriz Condori
- 2. RESOLUCIÓN DEL CUESTIONARIO 1.-Determinación de la ecuación diferencial del circuito de la experiencia Tengamos el siguiente circuito representativo de la experiencia realizada: Hacemos las ecuaciones de las mallas: 𝑅 𝑣 𝑥𝑖1 + 𝐿 𝑑𝑖1 𝑑𝑡 + 1 𝐶 ∫(𝑖1 − 𝑖2)𝑑𝑡 = 𝐸(𝑡) ……………… …(1) 𝑅𝑥𝑖2 + 1 𝐶 ∫(𝑖2 − 𝑖1)𝑑𝑡 = 0…… ………………… …. ……(2) Derivando (1) y (2): 𝑅 𝑣 𝑥 𝑑𝑖1 𝑑𝑡 + 𝐿 𝑑2 𝑖1 𝑑𝑡2 + 1 𝐶 ( 𝑖1 − 𝑖2) = 𝑑𝐸( 𝑡) 𝑑𝑡 𝑅𝑥 𝑑𝑖2 𝑑𝑡 + 1 𝐶 ( 𝑖2 − 𝑖1) = 0 Resolviendo estas dos ecuaciones diferenciales obtenemos un resultado que es que queremos al multiplicar RxI2. Pero como podemos observar en la experiencia el valor de R es de 50kΩ o 30kΩ por lo cual sólo afectaría en la amplitud la señal de salida esto simula ser un voltímetro el cual desconectándolo tendríamos la verdadera señal ya que la resistencia interna del propio osciloscopio es muy grande comparada con estas, entonces el circuito que deberías analizar en sí se reduciría a:
- 3. Nos interesa VC. Escribiendo la ecuación de malla: Rvxi + L di dt + 1 C ∫ idt = E(t) → derivando → Rv di dt + L d2 i dt2 + i C = dE(t) dt Acomodando términos tendríamos la siguiente forma, que es la ecuación diferencial del circuito analizado: 𝑑2 𝑖 𝑑𝑡2 + 𝑅 𝑣 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 + 𝑖 𝐿𝐶 = 1 𝐿𝐶 𝑑𝐸( 𝑡) 𝑑𝑡 2.-Cálculo analítico de “α”, “t” y “wo” .comparación con los hallados experimentalmente analizando sus divergencias. Con los datos que utilizamos en el laboratorio calculemos las variables pedidas. Sabiendo que R=840Ω, C=100.6nF y L= 2.6H. α = R 2L = 161.53 wo = 1 √LC = 1955.3 wd = √wo 2 − α2 = 1948.6 → T = 2π wd = 3.22ms
- 4. De los datos experimentales tenemos: T = 3.4ms α = 1 T xln ( 4.89 3 ) = 143.7 wd = 2π T = 1847.99 w0 = √wd 2 + α2 = 1853.57 Observamos entones que los datos experimentales se acercan mucho a los datos teóricos, las diferencias se deben a las mediciones y los errores de los instrumentos que se utilizaron en la experiencia realizada. Los datos recogidos experimentales se hicieron por simple inspección en el osciloscopio. 3.- ¿Qué consigue el paso 4? Con este paso se obtiene el valor de la resistencia crítica, ya que al aumentar el valor de la resistencia en serie del potenciómetro pasamos desde la oscilación subamortiguada a la sobreamortiguada siendo el amortiguamiento crítico la frontera entre estos. Es aquí donde se toma el valor de la resistencia. 4.- ¿Qué función cumple “RC” (30kΩ, 50kΩ)? De la experiencia podemos formar una tabla: Carga Periodo Decremento logarítmico Alfa R1(49.48 k Ω) y C 20.056ms 0.9 89 R2(29.93 k Ω) y C 19.956ms 1.7314 160 C 1.36ms 0.2423 356.3
- 5. La función principal de la resistencias (R1 y R2) colocadas en paralelo con la capacitancia es de facilitar la carga y la descarga de éste último y de esa manera evitar que el capacitor deje de funcionar en un determinado momento. 5.- ¿Qué diferencias observa al cambiar el valor de la resistencia RC y a qué se deben estas diferencias? Como lo describimos en la pregunta anterior los valores del decremento logarítmico aumentan, en consecuencia el valor del α también. También se observa que los valores pico de voltaje en la onda subamortiguada aumentan en valor, también el valor de la resistencia crítica aumenta un poco. Las diferencias se deben a que la resistencia hace que la impedancia en la carga disminuya, por ende la corriente aumenta y también el voltaje pero en un tiempo t muy pequeño. 6.- A partir de la solución por ecuaciones diferenciales verifique la fórmula del decremento logarítmico. Poniendo la ecuación diferencial en función de 𝑉𝑐 tendríamos. La solución homogénea de la ecuación diferencial: d2 VC dt2 + R L × dVC dt + 1 LC VC = 0 Es: Vc H = V × e−αt × cos(wdt+ θ) Donde: α = R 2L wo = 1 √LC wd = √wo 2 − α2
- 6. Como la solución es oscilatoria, entonces tiene un periodo que se calcula como: T = 2π wd Entonces definimos el decremento logarítmico como la relación entre las amplitudes máximas de dos ondas en un cierto periodo: En1 En2 = V × e−αt1 V × e−αt2 Como t2 = t1 + T Entonces: En1 En2 = e−αt1 e−α(t1+T) = eαT El decremento logarítmico es el logaritmo natural de esta expresión, es decir: Decremento logarítmico = T 7.- Solución de la red con la ayuda de transformadas de Laplace: El circuito de Laplace será:
- 7. Equivalente entre y RC: 1 Re 1 C C R q sR C Aplicando divisor de tensión: 1 ( ) . ( ) 1 L C C sLV V s Rs R sL sR C 1 2 ( 1) ( ) 1 1 ( ) ( ) C L C C VL sR V s R R s s R C L R CL LC 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) L C s V s V s R CL s 1 ( ) ( ) ( ) ( )t t C V t Ve Cos t e Sen t R C Donde: 2 2 0 8.- Expliques las variaciones sufridas al cambiar la resistencia RC y al retirarla del circuito. Al momento de aumentar el valor de RC, se obtiene que el periodo de oscilación aumente, con lo cual el decremento logarítmico tiende al disminuir. Por el contrario al retirar RC, se obtiene que el decremento logarítmico tienda a aumentar considerablemente, entonces se tiene la siguiente relación entre RC y λ: λ inversamente proporcional a RC.
- 8. 9.- Explique y dibuje las demás variables del circuito, como por ejemplo la tensión VL y la corriente del sistema. Primero la fuente que es un generador de ondas cuadradas de voltaje inferior igual a cero voltios y de voltaje máximo igual a cinco voltios. El potenciómetro que como se dijo antes hace que la curva de amorti- guiamiento se visualice o se disipe En el inductor también se dijo que encontrar su potencial directo no es muy sencillo pero pudimos simular el circuito y encontrar su potencial por medio del osciloscopio. La resistencia RC que hace que aumente la amplitud del amortiguamiento y que dicho amortiguamiento sea más pronunciado o sea que modifica la curva exponencial que sigue las puntas de las ondas Con RC muy grande:
- 9. Con RC muy pequeño: 10.- Plantee las ecuaciones de cada una de las variables: Las ecuaciones serían las siguientes:
- 10. 11.-¿Cuál es el valor del potenciómetro para una onda críticamente amortiguada para cada carga? -demuestre matemáticamente. Según las ecuaciones anteriormente expuestas podemos llegar a la conclusión de que el Rv para la onda críticamente amortiguada deberá ser igual a: Rc=29.95KΩ » Rv=7.30kΩ Rc=49.48KΩ » Rv=7.68kΩ Rc=0KΩ » Rv=8.01kΩ 12.-Observaciones, conclusiones y recomendaciones de la experiencia realizada. Cuando un circuito entra en resonancia las reactancias capacitivas e inductivas se anulan haciendo el circuito totalmente resistivo. En un circuito resonante, el circuito tiende a ser capacitivo a medida que el valor en la inductancia se reduce debido al cambio de frecuencia. La frecuencia de resonancia no es más que las oscilaciones en la fuente en la que el voltaje en el inductor y capacitor es el mismo con diferentes ángulos de fase, anulándolos mutuamente y haciendo que la corriente sea máxima a esa frecuencia. Un circuito no solo depende de la corriente suministrada sino también de la frecuencia a la que se suministre, esto puedo ayudar a mejorar el rendimiento del circuito y en casos más graves, ocasionar daños en el mismo. 13.- Mencionar 3 aplicaciones prácticas de la experiencia realizada completamente sustentada. Filtros: Los circuitos resonantes son utilizados para seleccionar bandas de frecuencias y para rechazar otras. Cuando se está en la frecuencia de resonancia la corriente por el circuito es máxima. Donde se utiliza circuitos RLC.
- 11. El efecto magnético de RLC: Pone en marcha los motores eléctricos, se usa en el reactor de tubo fluorescente para limitar la corriente circulante, produce una chispa eléctrica en un encendedor de cocinas del tipo "magic click" o está presente en los chisperos de encendido en cocinas que ya lo integran, etc. El calórico de RLC: Es llamado de efecto Joule y es el que calienta una resistencia de una plancha de ropa, un filamento de lamparilla, un fogón eléctrico, o una parrilla de interiores Factor de Potencia: Denominamos factor de potencia al cociente entre la potencia activa y la potencia aparente, que es coincidente con el coseno del ángulo entre la tensión y la corriente cuando la forma de onda es sinusoidal pura, etc. Un ejemplo claro seria la caja de la que marca la potencia que se consume, en este sentido la potencia total. Ascensores: en el abrir y cerrar de estas se aplica un amortiguado crítico.
- 12. HOJA DE DATOS