Errores y resolucion de problemas
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Este documento describe el proceso de resolución de problemas matemáticos. Explica que los estudiantes deben primero leer el problema para entenderlo, luego desarrollar una estrategia dividiendo el problema en partes, aplicar teoremas para resolver cada parte, y finalmente revisar la solución. Se basa en el método de Descartes de evidencia, análisis, síntesis y revisión.
Errores y resolucion de problemas
- 1. ERRORES Y PROCESO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. Introducción Cuando nos equivocamos cometemos errores. Por ejemplo, escribir huevo sin hache es un tipo de error. En ciencias suelen ocurrir errores de diversos tipos. Por ejemplo, en un problema se pide que se halle el tiempo que le lleva a un carro con una velocidad 20 que persigue a otro con una velocidad 15 alcanzarlo si se desplazan con MRUV. Y lo que hace el alumno es pensar que se trata del mismo carro que ha ido disminuyendo de velocidad y da como respuesta el tiempo que le lleva al carro pasar de la velocidad 20 a 15. Este es un error de traducción. Otra situación: alguien suma 1 + 2 y todo lo divide entre 3 y en vez de uno dice 2. Este es un error de cálculo. Cuando se recuerda mal una fórmula (o un teorema o una regla) cambiando un signo por otro, digamos un + donde debe ir un -. Este es un error de memoria. Otro caso ocurre cuando para hallar cierta cantidad (A+B) es necesario primero aplicar un teorema 2 para obtener un dato A y luego usando ese dato A aplicamos otro teorema 3 y obtener otro dato B. Pero, a veces sucede que el alumno aplica un teorema 1, obtiene un dato C y luego otro teorema 4 y obtiene otro dato D y no da respuesta alguna o se equivoca. Esto es un error de estrategia. Es necesario saber que para resolver un problema se usa cierto método. Un método es una vía, un camino que nos lleva a cierto lugar, a un fin determinado. Ningún problema es solo aplicación todo necesita que se use de cierto método porque lo que siempre se quiere es llegar planificadamente a una respuesta. Descartes fue un matemático. Pero como filósofo llegó a proponer también su propio método basado en la intuición y la deducción. Este consistía de 4 pasos. El primero era la evidencia, es decir, aceptar datos que sean indudables. El segundo era el análisis, o sea dividir el problema en tantas partes como sea necesario para resolverla. El tercero era la síntesis, siempre explicar la resolución de un problema partiendo desde lo simple (más conocido) para llegar a lo complejo (menos conocido). Por último, el paso de la revisión, corrige y comprueba si lo que has hecho es coherente o no. Notemos que tanto en el primer como en el último paso nosotros usamos la intuición tanto para identificar bien ciertos datos como para presentir que hemos cometido un error o que algo no anda bien con la solución de dicho problema. 2. ¿Qué hace un alumno frente a un problema de matemáticas? 1
- 2. Ante un problema propuesto el alumno lo primero que hace es leerlo. En esta fase es importante que sepa lo que el problema quiere como respuesta y lo que significa cada uno de los signos que aparecen. Si traduce bien el problema, es decir, pasa de la expresión en lenguaje ordinario de ese problema, a su formulación en lenguaje matemático habrá empezado correctamente. Notemos que para poder leer o interpretar bien un problema la intuición ha de estar fuertemente desarrollada. Entonces, este sería como el primer paso de la evidencia. Luego de traducir y saber lo que quiere el problema, tenemos que buscar la respuesta. El alumno entonces tiene que pasar por un proceso interno de preguntas como por ejemplo ¿cómo llego a ese resultado? ¿qué datos se necesitan antes? ¿qué pasa si uno este punto con este otro? ¿se parece a un teorema? ¿qué datos son necesarios y suficientes? Esto es, lo hay que elaborar es una estrategia. Esta parte es tremendamente creativa puesto que aquí se deja relucir todo el genio y curiosidad del estudiante. Una estrategia es un conjunto de acciones que se llevan a cabo para lograr un determinado fin, es tratar de dirigir todas nuestras fuerzas pero de modo razonado. Cuando hacemos una estrategia dividimos el problema en partes eso precisamente se corresponde con el paso del análisis cartesiano. Enseguida, lo que se hace es pasar del plano de las ideas y del pensamiento al plano de las acciones concretas. Luego de planificar llevamos a cabo ese plan, lo realizamos. Para ello tendremos que hacer uso de teoremas. Para saber cómo cuando y por qué usar cierto teorema se necesita no solo de la experiencia (“Caminante no hay camino solo se hace camino al andar”) sino de saber explicar desde lo simple hasta lo complejo. Toda gran idea ha provenido de algo sencillo, nada complicado, simplificado. Pues bien, estamos ante el paso de la síntesis. Los profesores deben comprender que un teorema tiene diversas instanciaciones, ejemplificaciones, representaciones que el alumno por lo mismo de su proceso cognitivo no puede aún ver. Se trata de enseñarle a usar los teoremas de geometría haciendo variar las condiciones de presentación del teorema. La idea es que ellos reconstruyan el teorema usando su intuición espacio-temporal. Finalmente, habiendo dado una respuesta se trata ahora de ver si todo lo que hemos hecho ha estado bien. Este es el paso de la revisión. La idea es volver sobre nuestros pasos anteriores para corregir, y comprobar nuestra solución. Esto es importante para que el alumno vuelva a representar ese proceso y se entrene en el arte de resolver problemas o usar estrategias. Purificamos nuestro procedimiento y llegamos a internalizarlo y memorizarlo cuando disminuimos la cantidad de errores cometidos. Si hay un error de cálculo se recomienda que se elaboren nemotecnias o modos creativos-acrósticos de memorización. En álgebra 2
- 3. lo aconsejable es enseñar a los alumnos a saber ir y venir de las fórmulas. Preguntándoles a qué es igual es primer miembro y luego a qué es igual el segundo miembro de una ecuación se logra que el alumno memorice con mayor fluidez. En términos generales, existe entre los alumnos una gran expectativa con respecto al curso de matemática. La idea es que este curso se relaciona con lo perfecto, lo bello, lo simétrico. Cuando un alumno resuelve un problema que no le está saliendo recurre a cierta estética, cierta belleza que presupone para resolver el problema. El principio en matemáticas es “Todo es bello”. Por ejemplo, se suele recurrir a triángulos notables de todo tipo, sobre todo el triángulo rectángulo isósceles de 45 y 45 y tan fuerte es el apego por esa forma ideal perfecta que a veces el alumno cuando forma un ángulo central con los radios en una circunferencia cree que dicho ángulo necesariamente es de 90 grados y por lo tanto se trata del triángulo de 45 y 45. Sin embargo, muy pocos problemas corroboran su ideal de belleza lo que termina alejando a muchos de esta ciencia. Se trata de partir de los conocimientos del alumno para aplicarlos a su realidad. Esto debería ejercitarse bastante en la parte teórica del curso tratando de juntar todo tipo de teoremas sencillos y agradables en un solo figura que le permita al alumno aplicar sus conocimientos previos. Además, hay que recalcar que no sólo existe un forma de solucionar un problema sino que existen varias: todo depende de lo lógico y coherente que pueda llegar a ser. “Todos los caminos llevan a Roma” 3