Factorizacion

M´todos de Factorizaciń de n´meros naturales∗
e o u
Geovany Sanabria Brenes

Resumen
Se abordan varios m´todos de factorizaciń prima, los cuales se justifican y clasifican.
e o
Para ello, se realiza una presentaciń didćtica y formal de algunos t´picos de Teor´ de
o a o ıa
N´meros. Adem´s se brindan los aspectos m´s relevantes de la vida de Euler y Fermat,
u a a
junto con su aporte a la factorizaciń prima.
o

Palabras claves: teor´ de n´meros, factorizaciń prima, didćtica.
ıa u o a

Contenidos
1 Introducciń y Justificaciń
o o 2

2 Un vistazo a la historia: Fermat y Euler. 3
2.1 Fermat: su vida y obra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Euler: su vida y obra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Preliminares: T´picos Elementales de la Teor´ de N´ meros.
o ıa u 5
3.1 Definiciones y resultados b´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 5
3.2 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 M´todos de Factorizaciń prima.
e o 10
4.1 M´todos de factorizaciń por factores primos. . . . . . .
e o . . . . . . . . . . . . 11
4.1.1 M´todo de ensayo y error. . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . 11
4.1.2 M´todo por reglas de divisibilidad. . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . 12
4.1.3 Desventajas de los m´todos por factores primos.
e . . . . . . . . . . . . 14
4.2 M´todos de factorizaciń por factores compuestos. . . .
e o . . . . . . . . . . . . 15
4.2.1 M´todo de factorizaciń de Fermat . . . . . . . .
e o . . . . . . . . . . . . 16
4.2.2 M´todo de Factorizaciń de Euler . . . . . . . .
e o . . . . . . . . . . . . 19

5 Algunas respuestas 24
∗
Fecha de recepciń del art´
o ıculo: Febrero, 2005. Fecha de aceptaciń: Junio, 2005.
o

1

G Sanabria

6 Los n´ meros primos menores que 200
u 25

7 Conclusiń
o 25

8 Bibliograf´
ıa 26

1 Introducciń y Justificaciń
o o
La enseãnza matem´tica secundaria dedica poco tiempo al estudio de los n´meros naturales.
n a u
Sobre este tema, en los programas de estudio de secundaria, se evidencia una enseãnza n
muy algoritmizada y sintćtica, en la cual, los estudiantes deben memorizar algor´
a ıtmos que
carecen de justificaciń te´rica, como por ejemplo: algoritmos de factorizaciń de un n´mero
o o o u
y el algoritmo para calcular el m´ximo comń divisor y el m´
a u ınimo comń m´ltiplo.
u u
Dentro de los t´picos m´s importantes en el estudio de los n´meros naturales estń los
o a u a
m´todos de factorizaciń prima, pues son utilizados, por ejemplo, en la obtenciń del m´ximo
e o o a
comń divisor y el m´
u ınimo comń m´ltiplo, en operaciones con fracciones y en la factorizaciń
u u o
de polinomios. Sin embargo, en secundaria, se suele usar un m´todo muy ineficiente, lo que
e
provoca que se trabaje con n´meros pequeõs, y en consecuencia, la mayor´ de problemas
u n ıa
sean descontextualizados.
En el presente trabajo, se brinda una presentaciń a un nivel elemental y completo de los
o
m´todos de factorizaciń, espec´
e o ıficamente el m´todo de Fermat y el m´todo de Euler. En
e e
la primera parte, se incluye una breve biograf´ de ambos, ya que son considerados los que
ıa
mayores aportes han hecho en lo que respecta al tema. En cada una se resaltan algunas de
sus contribuciones al desarrollo de la teor´ de n´meros. En la segunda parte, se brinda un
ıa u
tratamiento sencillo y didćtico de algunos t´picos de la teor´ de n´meros. Finalmente, en
a o ıa u
la tercera parte, se logra realizar una clasificaciń de algunos m´todos de factorizaciń prima,
o e o
de los cuales se brinda su algoritmo, entre ellos, los propuestos por Fermat y Euler.
Este material est´ dirigido a docentes de secundaria y se espera que encuentren en ´l algunas
a e
ideas para introducir ciertos t´picos de Teor´ de N´meros.
o ıa u

2

G Sanabria

2 Un vistazo a la historia: Fermat y Euler.
2.1 Fermat: su vida y obra
Pierre Fermat (1601-1665) es un matem´tico franc´s, nacido en Beaumont-de-Lomagne en
a e
1601. En su juventud, con su amigo el cient´ ıfico y fil´sofo Blaise Pascal, realiz´ una serie de
o o
investigaciones sobre las propiedades de los n´meros, las cuales nunca quizo publicar, incluso,
u
lleg´ a escribir a Pascal:
o

”No quiero que aparezca mi nombre en ninguno de los trabajos considerados dignos de
exposiciń p´blica”
o u

En 1631 fue nombrado concejal en el parlamento de Toulouse, su trabajo consist´ en servir
ıa
de enlace entre los ciudadanos y el gobierno y el rey.
Aunque Fermat disfrutaba de la literatura y escribi´ muchos versos, lo que realmente amaba
o
era las matem´ticas. Este matem´tico contribuy´ notablemente a la Teor´ de la Probabili-
a a o ıa
dad, al C´lculo y a la Teor´ de N´meros.
a ıa u
Fermat, en C´lculo, introduce el concepto de diferencial con base en las rectas tangentes y
a
el concepto de integral como el c´lculo num´rico de ´reas. Se ha descubierto que Newton
a e a
utiliz´ para el desarrollo del C´lculo, el m´todo de trazar tangentes de Fermat, de ah´ que
o a e ı
algunos matem´ticos consideran a Fermat el padre del C´lculo.
a a

Sin embargo, la pasiń de Fermat en matem´ticas fue indudablemente en teor´ de n´meros.
o a ıa u
Algunas de sus contribuciones en este campo son:

a) Hallar la segunda pareja de n´meros amigos. Dos n´meros naturales n y m son amigos
u u
si la suma de de los divisores de n es igual a m y la suma de de los divisores de m es
igual a n. Los pitag´ricos descubren la primer pareja: 220 y 284. Fermat, descubre la
o
segunda 17296 y 18416, adem´s halla una regla general (conocida por ibn Qurra):
a

”Si q = 3 · 2p−1 − 1, r = 3 · 2p − 1, s = 9 · 22p−1 − 1 son n´meros primos,
u
entonces n = 2pqr y m = 2ps son n´meros amigos”.
u

b) M´todo de Factorizaciń de Fermat. Este m´todo es encontrado en una carta aprox-
e o e
imadamente en 1643, dirigida probablemente a Mersenne (1588-1648), un padre fran-
ciscano, fil´sofo y matem´tico, amigo de Descartes. Este m´todo ser´ expuesto con
o a e a
detalle m´s adelante.
a

c) Teorema peque˜ o de Fermat: si a es un n´mero natural cualquiera y p un n´mero
n u u
primo que no es divisor de a, entonces p es divisor exacto de ap−1 − 1. Por ejemplo
25−1 − 1 = 15 es divisible por 5.

3

2.2 Euler: su vida y obra. G Sanabria

´
d) Ultimo Teorema de Fermat: las ecuaciones del tipo: xn + y n = z n , para el entero
n ≥ 3, no tiene soluciń, en el campo de los n´meros enteros. Fermat supuestamente
o u
escribi´ en los m´rgenes de un libro que hab´ descubierto una maravillosa demostraciń
o a ıa o
de este teorema, pero que no le cab´ en ese espacio. Falleci´ sin haber hecho p´blica
ıa o u
nunca la soluciń. El 23 de junio de 1993, Andrew Wiles, present´ una demostraciń de
o o o
este teorema, sin embargo, Nick Katz encontr´ en septiembre de ese aõ, que el trabajo
o n
de Wiles presentaba un error que invalidaba la demostraciń. Tras un aõ de esfuerzo,
o n
Wiles, el 25 de octubre de 1994, present´ en dos manuscritos - unas 130 p´ginas en
o a
total - la demostraciń de dicho teorema.
o

2.2 Euler: su vida y obra.
Leonhard Euler (1707-1783), naci´ en Basilea- Suiza y estudi´ en su Universidad con el
o o
matem´tico suizo Jean Bernoulli, obteniendo la licenciatura a los 16 aõs. Adem´s de con-
a n a
tribuir en casi todas las ramas de la matem´tica ten´ amplios conocimientos en otras disci-
a ıa
plinas como la medicina, la geograf´ y las lenguas modernas entre otras.
ıa
En 1727, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, luego,
en 1741 fue profesor de matem´ticas en la Academia de Ciencias de Berl´ y en 1766, regres´
a ın o
a San Petersburgo , donde permaneci´ hasta su muerte.
o
Las malas condiciones de trabajo y el esfuerzo realizado provoc´ la p´rdida de la visiń de
o e o
un ojo, hasta quedar totalmente ciego en 1766.
Sus principales tratados fueron ”Introductio in Analysis Infinitorum” (1748); ”Institutiones
Calculi Differentialis” (1975) e ”Institutiones Calculi Integralis” (1768-1794). En ”Introductio
in Analysis Infinitorum”(1748). Realiza el primer tratamiento anal´ ´
ıtico completo del Agebra,
la Teor´ de Ecuaciones, la Trigonometr´ y la Geometr´ Anal´
ıa ıa ıa ıtica. Adem´s, introduce la
a
notaciń f (x) para una funciń de x y el s´
o o ımbolo para representar una suma. Tambiń e
estableci´ la relaciń eπi + 1 = 0 y la generaliza dando una relaciń entre las funciones
o o o
trigonom´tricas y la exponencial por medio de eiθ = cos θ + isenθ
e

En ecuaciones diferenciales, propuso los m´todos: reducciń del orden, un factor integrante
e o
y soluciones por series de potencias. En geometr´ propone el siguiente teorema: ”En un
ıa
poliedro simple, el n´mero de caras sumado al n´mero de v´rtices es igual al n´mero de
u u e u
aristas aumentado en dos”.
Algunas de sus contribuciones a la Teor´ de N´meros son:
ıa u

a) La funciń ϕ de Euler. Esta se denota por φ (n) , e indica el n´mero de enteros positivos
o u
k
menores o iguales que n. Euler demostr´ que si
o pai representa la factorizaciń prima
i o
i=1
k 1
de n, entonces φ (n) = n 1− .
i=1 pi

4

G Sanabria

b) Teorema de Euler (Generalizaciń del Teorema pequeõ de Fermat): Si a y m son dos
o n
n´meros naturales primos relativos entonces a
u φ(m) − 1 es divisible por m

c) Teorema de Euclides-Euler (rec´ ıproco del teorema de Euclides sobre n´meros perfec-
u
tos). Un n´mero n es perfecto si la suma de sus divisores es igual a 2n, por ejemplo 6
u
es un n´mero perfecto, pues 1 + 2 + 3 + 6 = 2 · 6. El Teorema de Euclides-Euler seãla
u n
que: Si n es un n´mero perfecto y par, entonces n = 2k−1 (2k − 1), donde 2k − 1 es un
u
n´mero primo
u

d) Los n´meros amigos. Euler ofrece otras 58 parejas de n´meroso amigos.
u u

e) M´todo de factorizaciń de Euler. Aunque la cocepciń de este m´todo es atribuido a
e o o e
Frńicle de Berry (1605-1675) y a Mersenne (1588-1648), es Euler el primero en hacerlo
e
expl´
ıcito. Este m´todo ser´ expuesto con detalle m´s adelante.
e a a

3 Preliminares: T´picos Elementales de la Teor´ de N´ meros.
o ıa u
3.1 Definiciones y resultados b´sicos
a
Seguidamente se presentarń algunas definiciones y resultados elementales de la Teor´ de
a ıa
N´meros, que permitirń posteriormente la introducciń de los m´todos de factorizaciń.
u a o e o

Definiciń 1
o

Dado dos n´meros naturales n y m, se dice que m es un factor o divisor de n si existe un
u
n´mero natural k tal que: n = mk. Se dice que n es un m´ltiplo de m y de k.
u u

Ejemplo 1. El n´mero 4 es divisor de 12 pues 12 = 4 · 3, en este caso se toma k igual a 3.
u

A continuaciń se enumeran algunos resultados consecuencia de la primer definiciń.
o o

Grupo de Resultados A
n
1. Si m es factor de n entonces es factor de n
m
2. Para todo n´mero natural n, se tiene que 1 y n son divisores de n.
u

3. Si l es divisor de m y m es divisor de n entonces l es divisor n

Justificaciń de los resultados A.
o

5

a G Sanabria

n
1. Si m es un factor de n entonces existe k ∈ N tal que n = mk, por lo que = k, y en
m
consecuencia k es un factor de n, pues n = km. Este resultado seãla que si n = mk
n
entonces tanto m como k son factores de n.

2. Dado que n = n · 1, entonces por el resultado anterior, n y 1 son divisores de n.

3. Se tiene que existen dos naturales, j y k que cumplen: m = lj y n = mk entonces
n = l (kj) . Por lo tanto l es divisor de n.

Se entender´ por factorizar un n´mero n como el proceso mediante el cual se expresa n como
a u
una multiplicaciń de dos o m´s factores diferentes de 1.
o a

Ejemplo 2. Las posibles factorizaciones de 8 son: 2 · 4 y 2 · 2 · 2.

Definiciń 2.
o

Se define An como el conjunto de divisores de n.

Ejemplo 3. A6 = {1, 2, 3, 6} , A30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

A continuaciń se enumeran algunos propiedades del conjunto An .
o

Grupo de Resultados B.

1. Para todo n, An no es vac´
ıo.

2. Si n es divisor de m entonces An ⊂ Am .

3. El m´ximo elemento de An es n.
a

4. Para cualesquiera n´meros naturales n y m, se tiene que An ∩ Am es diferente del
u
conjunto vacó.
ı

Justificaciń de los resultados B.
o

1. Por el resultado A2 se tiene que 1 ∈ An . Adem´s n ∈ An
a

2. Sea k ∈ An , entonces k es divisor de n y como n es divisor de m, por el resultado A3,
se tiene que k es factor de m. Por lo tanto k ∈ Am .

3. Sea k ∈ An , entonces existe j ∈ An , tal que kj = n, por lo tanto k ≤ kj = n.

6

a G Sanabria

4. De la justificaciń del resultado B1, se tiene que 1 ∈ An y 1 ∈ Am , para cualesquiera
o
naturales n y m.

El conjunto An ∩ Am es llamado el conjunto de los divisores comunes de m y n.

Definiciń 3.
o

Se define el m´ximo com´ n divisor de los n´meros naturales m y n como el m´ximo del
a u u a
conjunto formado por los divisores comunes de m y n. Se denota por (m, n) :

(m, n) = max (An ∩ Am )

El m´ximo comń divisor esta bien definido debido que An ∩ Am es diferente de vac´ (resul-
a u ıo
tado B4) y es acotado, pues An y Am son acotados (resultado B3), por lo tanto An ∩ Am es
un conjunto infinito no vac´
ıo.

Ejemplo 4. Determine (30, 48)

Soluciń. Note que A30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} , A48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} , en-
o
tonces A30 ∩ A48 = {1, 2, 3, 6} . Por lo tanto (30, 48) = 6.

M´s adelante veremos un algoritmo que permite hallar el m´ximo comń divisor de una
a a u
manera m´s r´pida.
a a
Definiciń 4.
o

Se define el conjunto Bn como el conjunto formado por todos los m´ltiplos de n.
u

Ejemplo 5. El con junto B2 es el conjunto de los n´meros pares. Por otro lado, B3 =
u
{3, 6, 9, 12, 15, ...}

Algunas de las propiedades del conjunto Bn se muestran a continuaciń.
o

Grupo de Resultados C.

1. Para todo n, Bn es diferente del vac´
ıo

2. Si n es divisor de m entonces Bm ⊂ Bn .

3. El m´
ınimo valor de Bn es n.

7

a G Sanabria

4. Bn no posee un elemento m´ximo.
a

5. Para cualesquiera n´meros naturales n y m, se tiene que Bn ∩ Bm es diferente del
u
conjunto vacó.
ı

Justificaciń de los resultados C.
o

1. Como n es m´ltiplo de n entonces n ∈ Bn .
u

2. Sea k ∈ Bm , entonces m es divisor de k y como n es divisor de m, por el resultado A3,
se concluye que k es m´ltiplo de n.
u

3. Si k ∈ Bn , entonces existe un n´mero natural j tal que jn = k, por lo tanto, n ≤ nj = k.
u

4. Si m es el m´ximo de Bn , entonces mn ∈ Bn , pues mn es un m´ltiplo de n, as´ se llega
a u ı
a una contradicciń.
o

5. Note que nm es m´ltiplo de n y de m, por lo tanto mn ∈ Bn ∩ Bm
u

El conjunto Bn ∩ Bm suele ser llamado como el conjunto de los m´ ltiplos comunes de n
u
y m.

Definiciń 5.
o

Se define el m´ınimo com´ n m´ ltiplo de los n´meros naturales m y n como el m´
u u u ınimo valor
del conjunto formado por los m´ltiplos comunes de m y n, se denota por [m, n] . Es decir
u

[m, n] = min (Bn ∩ Bm )

Al igual que el m´ximo comń divisor, el m´
a u ınimo comń m´ltiplo esta definido debido que
u u
Bn ∩ Bm es diferente de vac´ (resultado C5) y adem´s Bn ∩ Bm ⊂ N
ıo a

Ejemplo 6. Determine el m´
ınimo comń m´ltiplo de [30, 48]
u u

Soluciń. Se tiene que B30 = {30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240...} y B48 = {48, 96, 144, 192, 240, ..}
o
por lo tanto [30, 48] = min (B30 ∩ B48 ) = 240.

8

a G Sanabria

Note que calcular un m´ınimo comń m´ltiplo utilizando la definiciń no es un algoritmo muy
u u o
eficiente, m´s adelante se brinda una manera m´s eficiente de calcularlo.
a a

Definiciń 6
o

Se dice que un n´mero natural p es primo si tiene solamente dos divisores, es decir Ap =
u
{1, p} . Si un n´mero tiene m´s de dos divisores se dice que es compuesto.
u a

Ejemplo 7. Los n´meros: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 son los primeros diez primos.
u

Uno de los resultados m´s importantes en Teor´ de N´meros es el Teorema Fundamen-
a ıa u
tal de la Aritm´tica:“Todo n´mero natural puede expresarse como una multiplicaciń de
e u o
n´meros primos”. M´s aun, si dichos factores se ordenan de manera ascendente, la forma de
u a
expresar el n´mero n es unica, o sea n puede escribirse de manera unica as´
u ´ ´ ı:

n = pα1 · pα2 · ... · pαk , donde p1 , p2 , ...y pk son primos y adem´s p1 < p2 < .. < pk .
1 2 k a (1)

La demostraciń de este teorema se puede consultar en casi cualquier libro de Teor´ de
o ıa
N´meros.
u

Ejemplo 8. 30 = 2 · 3 · 5 y 144 = 24 · 32 .

Se entender´ por factorizaciń prima de n, la expresiń de n de la forma dada en (1) . Como
a o o
consecuencia de este teorema, se obtiene un resultado que simplifica el c´lculo del m´ximo
a a
u ınimo comń m´ltiplo:
u u
β
Teorema. Sea q1 1 ·q2 2 ·...·qk k y sβ1 ·sβ2 ·...·sj j la factorizaciń prima de n y m respectivamente.
α α α
1 2 o

a) Tomemos todos los primos involucrados en la factorizaciń prima de n y m : q1 , q2 , ..., qk ,
o
s1 , s2 , ..., sj ; y reorden´monos de menor a mayor, entonces, n y m se pueden escribir de
e
la siguiente manera:

n = pα1 · pα2 · ... · pαr , donde si pi ∈ An se define αi = 0,
1 2 r /
m = pβ1 · pβ2 · ... · pβr donde si pi ∈ Am se define βi = 0.
1 2 r /

9

3.2 Ejercicios. G Sanabria

b) Utilizando la notaciń de m y n dada por la parte a, se tiene que:
o

min(α1 ,β1 ) min(α2 ,β2 ) min(αr ,βr )
(n, m) = p1 · p2 · ... · pr ,
max(α1 ,β1 ) max(α2 ,β2 )
[n, m] = p1 · p2 · ... · pmax(αr ,βr ) .
r

Ejemplo 9. Determine (28, 30) y [28, 30]

Soluciń. La factorizaciń de 28 y 30 es respectivamente 22 · 7 y 2 · 3 · 5. As´ estos n´meros
o o ı, u
se puede escribir como 28 = 22 · 30 · 50 · 71 y 30 = 21 · 31 · 51 · 70 . Por lo tanto (28, 30) =
21 · 30 · 50 · 70 = 2 y [28, 30] = 22 · 31 · 51 · 71 = 420.

En la practica, el lector puede apreciar que se puede omitir la notaciń dada en el teorema
o
anterior. A ra´ del Teorema Fundamental de la Aritm´tica surgen varios m´todos para hallar
ız e e
la factorizaciń prima de un n´mero natural, que se estudiarń en la siguiente secciń, los
o u a o
cuales permitirń de acuerdo al teorema anterior, hallar de una manera m´s ´gil el m´ximo
a a a a
u ınimo comń m´ltiplo.
u u

3.2 Ejercicios.
1. Demuestre que el (a, b) es un factor de a y de b.

2. Pruebe que los n´meros a y b son factores de [a, b] .
u

3. Determine por extensiń el conjunto An ∩ Bn .
o

4. Pruebe que si n es divisor de m entonces An ∪ Bm ⊂ Am ∪ Bn

5. Pruebe que An ∩ Bm = φ entonces m es divisor de n.

6. ¿Por qu´ no tiene sentido hablar del m´ximo comń m´ltiplo y del m´
e a u u ınimo comń
u
divisor?

4 M´todos de Factorizaciń prima.
e o
Los m´todos de factorizaciń prima son algoritmos que permiten hallar los factores primos
e o
de un n´mero. Dichos algoritmos se puede clasificar en: factorizaciń por factores primos y
u o

10

4.1 M´todos de factorizaciń por factores primos.
e o G Sanabria

por factores compuestos. Para el desarrollo de estos algoritmos es indispensable identificar
los n´meros primos, por ello, al final del presente trabajo se brinda una tabla con los n´meros
u u
primos menores que 200. Seguidamente se explican cada una de estos tipos de m´todos de
e
factorizaciń prima.
o

e o
Estos m´todos son la aplicaciń directa del teorema de factorizaciń prima, pues da un
e o o
n´mero natural n consisten en hallar de manera ascendente cada uno de los factores primos
u
de n. En forma general estos algoritmos siguen los siguientes pasos:

Paso 1. k = 1, nk = n

Paso 2. Determinar el n´mero primo m´s pequeõ que divide a nk . Este sera llamado pk .
u a n

nk
Paso 3. Se define nk+1 = .
pk

Paso 4. Si nk+1 es primo entonces finaliza el procedimiento y se obtiene que

n = p1 · p2 · ... · pk · nk+1 ,
donde p1 , p2 , ... pk y nk+1 son primos y adem´s p1 ≤ p2 ≤ ... ≤ pk ≤ nk+1 . Si no se pasa
a
al paso 5

Paso 5. Incrementar k en una unidad y pasar al paso 2.

B´sicamente, estos m´todos siguen un procedimiento de b´squedad lineal, es decir no se puede
a e u
determinar el k-´simo primo, pk , si no se han determinado todos los anteriores: p1 , p2 , ..., pk−1 ,
e
lo que provoca que estos m´todos sea muy ineficientes para n´meros grandes. A continuaciń
e u o
se presentan los dos m´todos que obedecen este procedimiento.
e

4.1.1 M´todo de ensayo y error.
e
En este m´todo, para el paso 2 se procede realizando la divisiń de nk entre 2, 3, 5, 7, 11, ...
e o
hasta obtener el primer primo divisor de nk , veamos el siguiente ejemplo.

11

e o G Sanabria

Ejemplo 1. Determine la factorizaciń prima de 1638.
o

Soluciń. Los resultados del m´todo ensayo y error se presentan en la siguiente tabla
o e

k nk Residuo de la divisiń de nk entre:
o pk
2 3 5 7

1 1638 0 2
1638
2 = 819 1 0 3
2
819
3 = 273 1 0 3
3
273
4 = 91 1 1 1 0 7
3
91
5 = 13
7

As´ en este caso se obtiene que n = 1638 = p1 · p2 · p3 · p4 · n5 = 2 · 9 · 7 · 13
ı,

4.1.2 M´todo por reglas de divisibilidad.
e
Este m´todo es una variaciń del anterior y consiste en sustituir algunas de las divisiones por
e o
reglas de divisibilidad. Para efectos de dicha presentaciń se enumeran seguidamente.
o
Dado un n´mero n, se dice que
u

1. n es divisible entre 2 si su ultimo digito es 0, 2, 4, 6 o 8
´

2. n es divisible entre 3 si la suma de sus d´
ıgitos es m´ltiplo de 3.
u

3. n es divisible entre 5 si su ultimo digito es 0 o 5
´

4. n es divisible entre 7 si el n´mero que queda suprimiendo el d´
u ıgito de de las unidades,
disminuido en el doble de las unidades es 0 o m´ltiplo de 7.
u

5. n es divisible entre 11, si la suma de los d´
ıgitos de las posiciones pares menos la suma
de los d´
ıgitos de las posiciones impares es 0 o m´ltiplo de 11.
u

Ejemplo 2. Determine la factorizaciń prima de 45 885.
o

12

e o G Sanabria

Soluciń. Los resultados del m´todo por reglas de divisibilidad se observan en la siguiente
o e
tabla.

k nk Es divisible nk entre Residuode nk entre: pk
2 3 5 7 11 13 17 19

1 45885 no si 3
45885
2 = 15 295 no no si 5
3
15295
3 = 3059 no no no si 7
5
3059
4 = 437 no no no no no 8 12 0 19
7
437
5 = 23
19

Por lo tanto se realiza 45 885 = p1 · p2 · p3 · p4 · n5 = 3 · 5 · 7 · 19 · 23.

Nota: Esta tabla como la del ejemplo anterior, es una manera de exhibir los resultados del
m´todo posterior a su aplicaciń, pues una vez aplicado el m´todo, se sabe cuantas columnas
e o e
se requieren.
Si bien este m´todo es m´s eficiente que el anterior, se puede mejorar. En efecto, la idea
e a
consiste en romper el orden de menor a mayor de los primos y verificar primero si el nk es
divisible por 5 y luego por 2, que es fćil de comprobarlo. Esto permitir´ obtener luego un
a a
nk m´s c´modo para determinar si es divisible por 3, 7, 11, 13...
a o

Hasta el momento se han presentado en los ejemplos, unas tablas que ilustran muy bien el
procedimiento de los algoritmos utilizados. Sin embargo, en secundaria se utiliza una tabla
donde se suele omitir el paso 2 de los algoritmos, las cuales tienen la ventaja de que se puede
utilizar para ir presentado los datos conforme el m´todo avanza, y no como en las anteriores,
e
en donde no se pod´ construir la tabla hasta que el algoritmo finalice. El docente puede
ıa
optar en un primer momento, por utilizar tablas similares a las expuestas en los ejemplos,
permitiendo que los alumnos se familiaricen con los algoritmos, y posteriormente, utilizar la
tradicional tabla que se expone en el siguiente ejemplo.

o

13

e o G Sanabria

Soluciń. Aplicando el algoritmo se tiene que
o

nk pk
40950 5
40950
= 8190 5
5
8190
= 1638 2
5
1638
= 819 3
2
819
= 273 3
3
273
= 91 7
3
91
= 13
7

Por lo tanto 40950 = 2 · 32 · 52 · 7 · 13.

4.1.3 Desventajas de los m´todos por factores primos.
e
Como se han mencionado anteriormente, una de las mayores desventajas de estos m´todos de
e
factorizaciń de un n´mero natural n es que utilizan un procedimiento de b´squedad lineal
o u u
para hallar los factores primos de n. Otras desventajas que tienen estos m´todos son:
e

1. Funcionan s´lo para n´meros ”pequeõs”. Para n´meros muy grandes estos algoritmos
o u n u
requieren mucho tiempo.

2. Se cuenta con pocas reglas de divisibilidad. Est´s son s´lo para los primeros primos.
a o

3. Es complicado saber si un n´mero mayor que 100 es primo. La mayor´ de personas
u ıa
conocen a lo sumo los veinte primeros n´meros. Esto provoca que si n esta compuesto
u
con primos mayores que 100, se une al algoritmo la dificultad de tener que ir determi-
nando los primos en el orden que se sigue.

14

4.2 M´todos de factorizaciń por factores compuestos.
e o G Sanabria

e o
Estos m´todos consisten en, dado un n´mero natural n, hallar dos n´meros m y k (no nece-
e u u
sariamente primos) que cumplan n = mk. De manera general, estos algoritmos siguen los
siguientes pasos para la factorizaciń de n:
o

Paso 1. Hallar dos n´meros naturales m y k que cumplan que mk = n.
u

Paso 2. Factorizar m y k utilizando algunos de los m´todos de factorizaciń.
e o

Si se continá aplicando este mismo tipo de m´todo, se puede apreciar que se sigue un pro-
u e
cedimiento de b´squeda de ´rbol, pues se va simultńeamente hallando los factores primos
u a a
de n :

Veamos el siguiente ejemplo.

o

Soluciń. Se tiene que 6400 = 64 · 100 y como 64 = 82 = 26 y 100 = 102 = 22 52 , entonces
o
6400 = 28 52 .

No siempre es tan fćil determinar para un n´mero natural n dos n´meros que multiplicados
a u u
entre s´ den como resultado n. Es fćil cuando el n´mero es divisible por 2, 3 o 5. Por lo
ı a u
tanto, en los m´todos que presentaremos en las secciones siguientes se asumir´ que el n´mero
e a u
n a factorizar es impar y no es divisible por 3 ni por 5, pues, en caso contrario, es mejor

15

e o G Sanabria

aplicar inicialmente algunos de los m´todos vistos, hasta obtener factores (un valor nk ) que
e
cumplan dicho supuesto.

4.2.1 M´todo de factorizaci´n de Fermat
e o
Sea n un n´mero natural impar, se quiere hallar dos naturales m y k que cumplan
u

n = mk

Como n es impar entonces tanto m como k son impares y suponiendo sin p´rdida de gener-
e
m−k m+k
alidad que m ≥ k entonces, y son n´meros naturales. T´mese
u o
2 2
m+k m−k
x= ∈ N, y= ∈ N
2 2
Note que x + y = m y x − y = k, por lo tanto

n = mk = (x + y) (x − y) = x2 − y 2 . (∗)
As´ nuestro problema se reduce ha hallar dos n´meros naturales x, y que cumplan n = x2 −y 2 .
ı, u

Note que de (∗) se tiene que x2 = n + y 2 , entonces x2 ≥ n y se sigue que

x≥n (1)
Por otro lado, de (∗) se deduce que x2 − n debe ser un cuadrado perfecto, que se denotar´
a
por ∆ (x) , por lo tanto

∆ (x) = x2 − n debe ser un cuadrado perfecto (2) .
En resumen a partir de (1) y (2) , el M´todo de Fermat sigue los siguientes pasos, para de-
e
terminar los factores m y k de un n´mero natural n:
u

√ √
Paso 1. Si n ∈ N tome m = k = n y ﬁnaliza el algoritmo. Sino pase al paso 2

√ √
Paso 2. Sea k el n´mero natural entre
u n y n + 1, pase al paso siguiente

16

e o G Sanabria

Paso 3. Si ∆ (k) es cuadrado perfecto tome x = k, y = ∆ (x), m = x + y, k = x − y, y
finaliza el algoritmo. Si no, pase al paso siguiente.

Paso 4. Incremente k en una unidad y pase al paso anterior.

o

√ √
Soluciń. En este caso se tiene que n = 14647 = 121. 02 por lo tanto se debe buscar un
o
n´mero x ≥ 122 que cumpla: ∆ (x) se un cuadrado perfecto. Por lo tanto se procede de
u
manera inductiva sobre k a partir de k = 122 hasta obtener que ∆ (k) sea un cuadrado
perfecto:
k ∆ (k) ∆ (k)
122 237 15, 39480432
123 482 21, 9544984
124 729 27

Por lo tanto x = 124, y = 27, y se obtiene que el n´mero n = 14647 puede ser factor-
u
izado por

14647 = (124 + 27) (124 − 27) = 151 · 97.
Como 151 y 97 son primos, entonces dicha factorizaciń es la factorizaciń prima de
o o
14647.

Ahora bien, este m´todo se puede mejorar si se halla una f´rmula recursiva para ∆ (k) . En
e o
efecto, note que

∆ (k + 1) = (k + 1)2 − n = k 2 + 2k + 1 − n = ∆ (k) + 2k + 1.
Dicha f´rmula facilita el c´lculo de ∆ (k) .
o a

El siguiente ejemplo muestra que a pesar de que el M´todo de Fermat requiere menos tiempo
e
que los anteriores, no es tan r´pido.
a

Ejemplo 6. Determine la factorizaciń prima de 31 · 19 · 101 · 107 · 5 = 31 826 615
o

17

e o G Sanabria

Soluci´n. Note que este n´mero es divisible entre 5, por lo tanto nos interesa factorizar
o u
31 826 615 √
= 6365 323. Sea n = 6365 323, se tiene que n = 2522, 959175. Por lo tanto,
5
se obtiene que

k ∆ (k) ∆ (k)
2523 206 14, 35270009
2524 5253 72, 47758274
2525 10302 101, 4987685
.
. .
. .
.
. . .
2581 296238 544, 2775028
2582 301401 549
As´ x1 = 2582, y1 = 549, m1 = x1 + y1 = 3131 y k1 = x1 − y1 = 2033, por lo tanto
ı,

6365 323 = 3131 · 2033 (1)

Ahora, factoricemos 3131, note que

3131 = 31 · 100 + 31 = 31 (100 + 1) = 31 · 101 (2)
√
Por otro lado, utilicemos el m´todo de Fermat para factorizar k = 2033, donde
e 2033 =
45.089. Se sigue que

k ∆ (k) ∆ (k)
46 83 9, 110433579
47 176 13, 26649916
48 271 16, 46207763
.
. .
. .
.
. . .
62 1811 42, 55584566
63 1936 44

As´ se obtiene que x2 = 63, y2 = 44, m2 = x2 + y2 = 107 y k2 = x2 − y2 = 19, entonces
ı,

2033 = 107 · 19 (3)

18

e o G Sanabria

Por (1) , (2) y (3) , se concluye que

31 826 615 = 5 · 6365 323 = 5 · 31 · 19 · 101 · 107.

Ejercicios

1. Utilice el M´todo de Fermat para hallar la factorizaciń prima de
e o

a) 4757 f ) 2873 k) 20 449
b) 893 g) 77 653 l) 532 627
c) 689 h) 19 109 m) 114 433
d) 6161 i) 2431 o) 79 007
e) 15 553 j) 12 827 p) 3127

2. Utilice los m´todos de factorizaciń vistos para halla la factorizaciń prima de
e o o

a) 342 d) 190 045 g) 64 989
b) 5885 e) 33 441 h) 31 976 175
c) 9776 f ) 420 042 i) 6374 680

3. A partir del m´todo de factorizaciń utilizado para factorizar 3131 (en el ejemplo 4.2.1
e o
), deduzca una factorizaciń de los siguientes tipos de n´meros escritos en base 10 :
o u

a) (ababab) d) (a0a0a0a)
b) (abcabc) e) (abc000abc)
c) (ab0ab) f ) (ab00ab00ab)

4.2.2 M´todo de Factorizaciń de Euler
e o
Suponga que el n´mero impar n a factorizar puede ser representado en dos formas distintas,
u
como la suma de dos cuadrados perfectos:

n = a2 + b2 = c2 + d2 , con a, b, c, d ∈ N
Como n es impar, entonces solo puede ser expresado como la suma de un impar y un par, por
lo tanto, supongamos sin perdida de generalidad que a y c son n´meros impares, en tanto, b
u

19

e o G Sanabria

y d son pares, y adem´s a > c, por lo tanto b < d. Debido a esto, note que a2 es de la forma
a
4m, mientras b 2 es de la forma 4m + 1, por lo tanto, n es de la forma 4m + 1.

Por otro lado, de (1) se tiene que d2 − b2 = a2 − c2 , y se sigue que

(d − b) (d + b) = (a + c) (a − c) (2)
Sea m = (a − c, d − b) , por lo tanto existen dos n´meros naturales l y k que cumplen:
u

a − c = km, d − b = lm y (k, l) = 1. (3)
Note que m es par, pues a − c y d − b son pares. Sustituyendo (3) en (2) se obtiene que

l (d + b) = k (a + c) (4)
Como (l, k) = 1 entonces l es divisor de (a + c) , y entonces existe un n´mero natural j que
u
cumple

a + c = lj (5)
Sustituyendo (5) en (4) se sigue

d + b = kj (6)
Debido a (5) , (6) y (l, k) = 1, se obtiene que j = (a + c, b + d) , y como a + c y b + d son pares
se concluye que j es par.

Dado que m y j son n´meros pares, veriﬁquemos que una factorizaci´n de n est´ dada por
u o a

2
m 2 j
+ (l)2 + (k)2 (7)
2 2
En efecto, expandiendo (7) se obtiene que

2
m 2 j (lm)2 + (km)2 + (lj)2 + (kj)2
+ (l)2 + (k)2 = ,
2 2 4

20

e o G Sanabria

aplicando (3) , (5) y (6) se deduce que (7) es equivalente a

(d − b)2 + (a − c)2 + (a + c)2 + (d + b)2 2 a2 + b2 + c2 + d2
= = n.
4 4
Lo anterior justifica el M´todo de Euler que se enuncia en las siguientes l´
e ıneas.

En resumen, para poder factorizar un n´mero impar n con el M´todo de Euler, este debe
u e
cumplir:

1. Es de la forma 4m + 1.

2. Se puede representar como la suma de dos cuadrados perfectos: n = a2 + b2 , con a
impar y b par.

3. Posee otra representaciń como la suma de dos cuadrados perfectos: n = c2 + d2 , con
o
c impar y d par.

As´ para un n que cumple con las reglas anteriores, se puede factorizar siguiendo los siguientes
ı
pasos:

Paso 1. Calcular m = (a − c, d − b)

a−c d−b
Paso 2. Hallar k = , l=
m m

a+c
Paso 3. Determinar j =
l

2
m 2 j
Paso 4. La factorizaciń de n esta dada por
o + (l)2 + (k)2 .
2 2

Ejemplo 7. Determine la factorizaciń prima de 901
o

21

e o G Sanabria

Soluciń. Dado que 901 = 302 + 12 = 152 + 262 , se tiene que
o

a= 15 m= (14, 4) = 2
b= 26 k= 7
c= 1 l= 2
d= 30 j= 8

Por lo tanto,

n = 12 + 42 22 + 72 = 17 · 53.

El principal inconveniente de este m´todo es la determinaciń de 2 representaciones del
e o
n´mero n a factorizar como la suma de dos cuadrados. Sin embargo, al igual que en el
u
M´todo de Fermat, se puede buscar por medio de una tabla, dos valores enteros de x entre 1
e
√
y n, para los cuales T (x) = n − x2 es un cuadrado perfecto. En caso de que existan dichos
valores de x, digamos x0 y x1 , se obtiene que n tiene 2 representaciones como la suma de dos
cuadrados:

2 2
n = x2 +
0 T (x0 ) = x2 +
1 T (x1 ) .

Adem´s, se puede establecer una f´rmula recursiva para T (x) :
a o

T (x + 1) = n − (x + 1)2 = T (x) − 2x − 1.

o

Soluciń. En la siguiente tabla se aprecian los valores de x y
o T (x) :

x T (x) T (x)
1 10000 100
2 9997 99, 98499887
.
. .
. .
.
. . .
76 4225 65

22

e o G Sanabria

As´ se tiene que a = 65, b = 76, c = 1 y d = 100, adem´s m = (a − c, d − b) = (64, 24) =
ı, a
a−c d−b
26 , 23 · 3 = 23 = 8, con estos valores se obtiene: k = = 8, l = =3y
m m
a+c 66
j= = = 22. Por lo tanto, la factorizaciń prima de 10001 es
o
l 3

2
m 2 j
10001 = + (l)2 + (k)2 = 42 + 112 32 + 82 = 137 · 73.
2 2

Ejemplo 9. Determine la factorizaciń prima de 6970697
o

Soluciń. Note que 6970697 = 697 + 10000 · 697 = 697 · 10001, y por el ejercicio anterior
o
se sabe que la factorizaciń prima de 10001 = 137 · 73, por lo que solo resta factorizar
o
n = 697, para el cual se tiene los siguientes valores de x y T (x) :

x T (x) T (x)
1 696 26, 38181192
2 693 26, 32489316
.
. .
. .
.
. . .
11 576 24
.
. .
. .
.
. . .
16 441 21

As´ se obtiene que
ı,

a= 21 m= (10, 8) = 2
b= 16 k= 5
c= 11 l= 4
d= 24 j= 8

Por lo tanto 697 = 1 + 42 42 + 52 = 17 · 41. Se concluye que la factorizaciń prima
o
de 6970697 es

6970697 = 17 · 41 · 73 · 137

23

G Sanabria

Con este ejemplo se finaliza esta presentaciń, esperamos que esta sea de utilidad al lector.
o

Ejercicios.
1. Utilice el M´todo de Euler para hallar la factorizaciń prima de
e o

a) 221 f ) 2813 k) 35 657
b) 1073 g) 4453 l) 33 389
c) 2501 h) 10 961 m) 4901
d) 11 461 i) 5459 o) 6409
e) 3293 j) 2929 p) 38077

2. Utilice los m´todos de factorizaciń vistos para halla la factorizaciń prima de
e o o

a) 43 018 d) 793 793
b) 190 105 e) 7280 728
c) 79 566 f ) 6630 663

5 Algunas respuestas
Ejercicios de la secciń 4.2.1
o

a) 67 · 71 f) 132 · 17 k) 112 · 132
b) 19 · 47 g) 19 · 61 · 67 l) 172 · 19 · 97
1. c) 53 · 13 h) 197 · 97 m) 101 · 11 · 103
d) 101 · 61 i) 11 · 13 · 17 o) 47 · 412
e) 103 · 151 j) 127 · 101 p) 59 · 53

a) 2 · 32 · 19 d) 5 · 191 · 199 g) 33 · 29 · 83
2. b) 5 · 11 · 107 e) 3 · 157 · 71 h) 3 · 52 · 73 · 11 · 113
c) 24 · 13 · 47 f ) 2 · 3 · 7 · 73 · 137 i) 23 · 5 · 132 · 23 · 41

a) (ab) · (10101) d) (a) · (1010101)
3. b) (abc) · (1001) e) (abc) · (1000001)
c) (ab) (1001) f ) (ab) · (100010001)

Ejercicios de la secciń 4.2.2
o

24

G Sanabria

a) 13 · 17 f ) 97 · 29 k) 181 · 197
b) 29 · 37 g) 61 · 73 l) 173 · 193
1. c) 41 · 61 h) 113 · 97 m) 132 · 29
d) 73 · 157 i) 103 · 53 o) 13 · 17 · 29
e) 37 · 89 j) 29 · 101 p) 13 · 29 · 101

a) 2 · 137 · 157 d) 7 · 11 · 132 · 61
2. b) 5 · 193 · 197 e) 13 · 56 · 137 · 73
c) 3 · 2 · 149 · 89 f ) 3 · 17 · 13 · 137 · 73

6 Los n´ meros primos menores que 200
u

2 23 59 97 137 179
3 29 61 101 139 181
5 31 67 103 149 191
7 37 71 107 151 193
11 41 73 109 157 197
13 43 79 113 163 199
17 47 83 127 167
19 53 89 131 173

7 Conclusiń
o
Este material est´ dirigido a docentes o futuros docentes de secundaria. En ´l se realizaron de
a e
manera sencilla justificaciones a diversos t´picos de la Teor´ de N´meros. Muchos de estos
o ıa u
son actualmente abordados en la enseãnza secundaria, y la forma en que fueron presentados
n
junto con la astucia del docente puede ser combinadas para favorecer la comprensiń de tales
o
t´picos en su salń de clase.
o o

Por otro lado, se realiz´ una clasificaciń de los principales m´todos de factorizaciń prima,
o o e o
introduciendo m´todos no tradicionales en la enseãnza secundaria, en especial los m´todos
e n e
de Fermat y Euler. Se hizo hincapi´ en la justificaciń y descripciń paso a paso de la apli-
e o o
caciń de cada uno de estos m´todos.
o e

En el caso especific´ de los m´todos de Fermat y Euler, se propone a los docentes adaptar sus
o e
justificaciones a la enseãnza secundaria con el fin de que los estudiantes observen m´todos
n e
m´s eficientes para la factorizaciń prima de n´meros grandes, los comprendan y los apliquen.
a o u

25

G Sanabria

Esto sin caer en el error de pretender que tengan que memorizarlos.

Se espera que esta presentaciń sea de utilidad al lector.
o

8 Bibliograf´
ıa
1. Andrews G. 1994. Number Theory. Editorial Dover Piblications, New York.

2. Jones, B. (1969). Teor´ de los N´meros. Editorial F. Trillas, S.A., Mexico.
ıa u

3. Koblitz, N. 1987. A course in Number Theory and Cryptography. Springer-Verlag,
New York.

4. Ore, O. Number Theory and its History.

5. Pettofrezzo, A; Byrkit, D. 1972. Introducciń a la Teor´ de los N´meros (Traducciń
o ıa u o
por Pomareda Rolando). Editorial Prentice/Hall International.

6. Vinogradov, I. 1977. Fundamentos de la Teor´ de N´meros. Editorial Mir, Mosc´.
ıa u u

7. Vorobiov, N. 1984. Criterios de Divisivibilidad. Lecciones populares de matem´tica.
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Editorial Mir, Mosc´.
u

Sitios web visitados:
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http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/28-2-B-E.html

26

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