Fibonacci

Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano
o Leonardo Bigollo (1170 - 1250)
 También llamado Fibonacci, fue un matemático
italiano, famoso por la invención de la sucesión
de Fibonacci, surgida como consecuencia del
estudio del crecimiento de las poblaciones de
conejos, y por su papel en la popularización del
sistema de numeración posicional en base 10 (o
decimal) en Europa.

 El apodo de Guglielmo (Guillermo), padre de
Leonardo, era Bonacci (simple o bien
intencionado). Leonardo recibió póstumamente
el apodo de Fibonacci ( por filius Bonacci, hijo de
Bonacci). Guglielmo dirigía un puesto de
comercio en Bugía (según algunas versiones era
el cónsul de Pisa), en el norte de África (hoy
Bejaia, Argelia), y de niño Leonardo viajo allí
para ayudarlo. Allí aprendió el sistema de
numeración árabe.

 Consciente de la superioridad de los numerales
árabes, Fibonacci viajó a través de los países del
Mediterráneo para estudiar con los matemáticos
árabes más destacados. En 1202, a los 32 años
de edad, publicó lo que había aprendido en el
Liber Abaci (libro del ábaco o libro de los
cálculos). Este libro mostró la importancia del
nuevo sistema de numeración aplicándolo a la
contabilidad comercial, conversión de medidas,
cálculo, intereses, cambio de moneda, y otras
aplicaciones. En estas páginas describe el cero, la
numeración de posición, la descomposición en
factores primos, los criterios de divisibilidad. El
libro fue recibido con entusiasmo en la Europa
ilustrada, y tuvo un impacto profundo en el
pensamiento matemático europeo.

 Conocido por Fibonacci, hijo de Bonaccio, no
era un erudito, pero por razón de sus continuos
viajes por Europa y el cercano oriente, fue el que
dio a conocer en occidente los métodos
matemáticos de los hindúes.

 La sucesión de Fibonacci
es una sucesión infinita de
números naturales¸donde el
primer elemento es 0, el
segundo es 1 y cada
elemento restante es la suma
de los dos anteriores. Tiene
numerosas aplicaciones en
ciencias de la computación,
matemática y teoría de
juegos.

Fórmula explícita
 La definición de la sucesión  Relación de recurrencia:
de Fibonacci es recurrente; es
decir que se necesitan
calcular varios términos
anteriores para poder calcular
un término específico. Se
puede obtener una fórmula
explícita de la sucesión de
Fibonacci (que no requiere
calcular términos anteriores):

 El polinomio
característico de esta
relación de recurrencia es
t2 − t − 1 = 0, y sus
raíces son:

 De esta manera, la
fórmula explícita de la
sucesión de Fibonacci
tiene la forma:

 Si se toman en cuenta las
condiciones iniciales,
entonces las constantes b
y d satisfacen la ecuación
anterior cuando n = 0 y n
= 1, es decir que
satisfacen el sistema de
ecuaciones:

 Al resolver este sistema
de ecuaciones se obtiene:

 Por lo tanto, cada
número de la sucesión de
Fibonacci puede ser
expresado como:

 Para simplificar aún más
es necesario considerar el
número áureo φ

 de manera que la
ecuación se reduce a:

 A pesar de que la sucesión de Fibonacci
consta únicamente de números naturales,
su fórmula explícita incluye al número
irracional φ.

Forma matricial
 Se puede representar
mediante su notación
matricial como:

 Conociendo f0 y f1 al
aplicar la fórmula
anterior n veces se
obtiene:

 Los números de Fibonacci aparecen en
numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por
ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o
de plantas, al contar el número de cadenas de
bits de longitud n que no tienen ceros
consecutivos y en una vasta cantidad de
contextos diferentes.

 Algunas de las
propiedades de esta
sucesión son las
siguientes:
1. La razón entre un
término y el
inmediatamente
anterior varía, pero
tiende al número
áureo.

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