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8.- MÉTODOS GENERALES:
ANÁLISIS MATRICIAL

3
8.1 FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
8.1.1 Concepto de flexibilidad.-
a) La ley de Hooke aplicada a una barra de longitud L y sección A
que, sometida a un esfuerzo axil de valor N, sufre un alargamiento ∆L,
establece que:
∆L = NL/(EA)
o, lo que es lo mismo,
∆L = L/(EA) N.
El coeficiente L/(EA) de proporcionalidad entre el alargamiento de
la barra ∆L y el esfuerzo axil N que lo produce se denomina “flexibilidad
bajo esfuerzos axiles” de la barra. Este coeficiente representa
físicamente el “valor del alargamiento que sufriría la barra sometida a un
esfuerzo axil unidad”.
b) Aplicando el teorema de Mohr a una ménsula de longitud L con
una sección cuyo momento de inercia es I, sometida a una fuerza P
aplicada en el extremo libre, se obtiene la flecha f de este extremo como:
f = PL3/(3EI)
f = L3/(3EI) P
El coeficiente L3/(3EI) de proporcionalidad entre la flecha f y la
carga P que la produce se denomina “flexibilidad bajo carga aplicada en
su extremo” de la ménsula. Este coeficiente puede obtenerse como el
valor de la flecha que sufriría la barra sometida a una carga en su
extremo de valor unidad.
c) Aplicando el teorema de Mohr a la ménsula anterior sometida, en
este caso, a un momento M aplicado en el extremo libre, se obtiene el
giro θ de este extremo como:
θ = ML/(EI)
θ = L/(EI) M
El coeficiente L/(EI) de proporcionalidad entre el giro θ y el
momento M que lo produce se denomina “flexibilidad bajo momento

4
aplicado en su extremo” de la barra ó ménsula. Este coeficiente
representa el giro que sufriría la sección extrema de la ménsula cuando
se encuentra sometida a un momento de valor unidad actuando en
dicho extremo.
La flexibilidad es pues un valor que caracteriza el comportamiento
deformacional de una estructura con un cierto sistema de apoyos
sometida a una carga (fuerza o momento) aplicada en una sección y
que permite conocer, por proporcionalidad, el movimiento
(desplazamiento o giro de la sección de aplicación de la carga en la
dirección de aplicación de esta. La unidad de medida de la flexibilidad
es el m/N ó rad/Nm.
El coeficiente de proporcionalidad existente entre el valor de una
carga (fuerza o momento) aplicada en una sección de una estructura
sencilla (barra) y el movimiento (en dirección de la carga) de la sección
en la que se aplica la carga, y que se deducen de las expresiones
obtenidas por aplicación de los teoremas de Mohr, son ejemplos de
valores de coeficientes de flexibilidad.
8.1.2 Matriz de flexibilidad.-
La geometría (deformada) de un sólido deformado puede
caracterizarse por los movimientos (desplazamientos o giros) de un
conjunto de puntos o secciones particulares. En una estructura plana
el movimiento de un punto del sólido (ó sección, si se trata de barras)
tiene tres componentes: dos traslaciones y un giro. Las componentes
del movimiento de un conjunto representativo de puntos de un sólido
(entre ellos, probablemente, los propios puntos de aplicación de las
cargas Pi) que caracterizan unívocamente el comportamiento
deformacional del sólido sometido a las cargas Pi, se denominan, a
efectos de análisis estructural, grados de libertad del sólido.
Así, por ejemplo:
• La proporcionalidad entre la variación de longitud y la carga
aplicada expresada en la ley de Hooke, ∆L = L/(EA) N, implica la
caracterización del comportamiento deformacional de la barra
mediante el movimiento del punto extremo en la dirección de
aplicación de la carga; este movimiento sería, pues, el grado de
libertad elegido para el análisis del problema
• La proporcionalidad entre el movimiento perpendicular a la barra
y la carga aplicada en el extremo de la ménsula expresada en f =
L3/(3EI) P, implica caracterizar el comportamiento deformacional
de la ménsula mediante el desplazamiento del punto extremo en
la dirección de aplicación de la carga; este movimiento sería el
grado de libertad elegido para el análisis del problema; una
alternativa podría ser utilizar como grado de libertad descriptivo
del problema, el giro en el extremo de la ménsula.

5
Considérese un sólido como el que se muestra en la figura 8.1
sometido a la acción de diferentes cargas (acciones) externas Pi
actuando cada una de ellas en un punto i.
Por efecto de aplicación de las cargas, un punto genérico i se
desplazaría hasta el punto i´ siendo el vector desplazamiento δi del cual
la componente en la dirección de aplicación de la carga es ∆i.
Definición.- Se denomina coeficiente de influencia o de flexibilidad fij al
desplazamiento del punto de aplicación de la carga Pi, en la dirección de
dicha carga, cuando actúa una carga unidad en el punto j en la dirección
y sentido de Pj.
Figura 8.1
Cuando actúan varias cargas, el desplazamiento ∆i del punto de
aplicación de una de ellas, justo en la dirección de la carga Pi, es suma
de los desplazamientos producidos por cada una de las cargas
actuantes.
∆1 = f11P1 + f12P2 + f13P3
∆2 = f21P1 + f22P2 + f23P3
∆3 = f31P1 + f32P2 + f33P3
El sistema anterior puede ordenarse en forma matricial
resultando
∆1 f11 f12 f13 P1
∆2 = f21 f22 f23 P2
∆3 f31 f32 f33 P3
δ2
∆2
δ1
δ3
∆1
∆3
P2
P3
P1
2
3
1
2´
1´
3´

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A la matriz constituida por los coeficientes fij se la denomina
matriz de flexibilidad del sólido.
Propiedad.- Los coeficientes de flexibilidad fij y fji son iguales.
Aplicando el teorema de Reciprocidad de Maxwell-Betti a los dos
estados de carga distintos que actúan sobre un mismo sólido, y que se
muestran en la figura 8.2 (en el estado 1 sólo actúan la carga Pi y en el
estado 2 solo la carga Pj), se obtiene:
ESTADO 1 ESTADO 2
Figura 8.2
Pi x fij Pj = Pj x fji Pi
es decir: fij = fji.
EJEMPLO.- Obtener la matriz de flexibilidad de la estructura sometida
al sistema de cargas que se muestra en la figura 8.3.
Figura 8.3
Aplicando los teoremas de Mohr, se obtiene:
M
EI
L
P
EI
L
v
8
3
3
23
11 +==∆
M
EI
L
P
EI
L
28
3 2
22 +==∆ θ
y, expresando las ecuaciones anteriores en forma matricial:
Pj
Pi
j
Pj
Pi
j
fijPj
fjiPi
i i
1
2
P
M
L/2L/2

7
v1 L3/(3EI) 3L2/(8EI) P
=
θ1 3L2/(8EI) L/(2EI) M
Por lo tanto, la matriz de flexibilidad es:
L3/(3EI) 3L2/(8EI)
3L2/(8EI) L/(2EI)
8.1.3 Concepto de rigidez.-
a) La expresión:
∆L = L/(EA) N
de la ley de Hooke puede ser escrita como
N = (EA/L) ∆L
El coeficiente EA/L de proporcionalidad entre el esfuerzo axil
aplicado y el alargamiento ∆L producido se denomina “rigidez bajo
esfuerzos axiles” de la barra y su valor es el inverso del valor de la
flexibilidad correspondiente. Este coeficiente puede obtenerse como el
valor del esfuerzo axil necesario para producir un alargamiento unidad
de la barra.
La expresión:
f = PL3/(3EI)
que proporciona la flecha f en una ménsula de longitud L sometida a
una fuerza P aplicada en el extremo libre, puede escribirse como:
P = (3EI/L3) f.
El coeficiente 3EI/L3 de proporcionalidad entre la carga P y la
flecha f se denomina “rigidez bajo fuerza vertical aplicada en su
extremo” de la barra. Este coeficiente puede obtenerse como el valor de
la fuerza necesaria para producir una flecha de valor unidad.
b) La expresión:
θ = ML/(EI)
que proporciona el giro θ en el extremo de una ménsula de longitud L
sometida a un momento M aplicado en ese extremo, puede escribirse
como:

8
M = (EI/L) θ
El coeficiente EI/L de proporcionalidad entre el momento M y el
giro θ producido se denomina “rigidez bajo momento aplicado en su
extremo” de la barra. Este coeficiente puede obtenerse como el valor del
momento que daría lugar a un giro de valor unidad de la sección.
El coeficiente de rigidez es pues un valor que caracteriza el
comportamiento resistente de una estructura con un cierto sistema de
apoyos sometida a una carga (fuerza o momento) aplicada en una
sección y que permite conocer por proporcionalidad el valor de la carga
(fuerza o momento) que se requiere aplicar en un punto para obtener un
cierto valor del movimiento de la sección de aplicación de la carga en la
dirección y sentido de ésta. La unidad de medida de la rigidez es el N/m
ó Nm/rad.
EJEMPLO 1.- Barra biempotrada con descenso de un extremo.
Sea el caso de una barra de longitud L biempotrada, uno de cuyos
extremos (B) sufre una traslación de valor λ en dirección perpendicular
a la directriz de la barra (figura 8.4).
Figura 8.4
Las reacciones que se producen en el empotramiento en B´ son
un momento M y un cortante Q que, en conjunto, den lugar en el punto
B a una flecha de valor λ y a un giro nulo.
EI
ML
EI
qL
23
23
−=λ
L
λ
A B
A
B’
Q
M

9
EI
ML
EI
qL
B −==
2
0
2
θ
de donde se obtiene: Q = (12EI/L3) λ y M = (6EI/L2) λ
EJEMPLO 2.- Barra biempotrada con traslación de un apoyo en la
dirección de la directriz.
extremos (B) sufre una traslación de valor λ en la dirección de la
directriz de la barra (figura 8.5).
Figura 8.5
El efecto del empotramiento en B´ equivale a la aplicación de un
axil en B que de lugar en este punto a un alargamiento de valor λ.
EA
NL
=λ
de donde se deduce que:
λ
L
EA
N =
EJEMPLO 3.- Barra biempotrada con un giro impuesto en uno de sus
extremos.
extremos (B) sufre un giro de valor θ, tal como se indica en la figura 8.6.
BA
B´A
L
λ
NA

10
Figura 8.6
El efecto del empotramiento en B equivale a la aplicación de un
momento en B (considerado este extremo como apoyado) que de lugar
en este punto a un giro de valor θ (figura 8.7).
Figura 8.7
El giro en la sección B en la viga de dicha figura toma el siguiente valor:
EI
ML
4
=θ
de donde se deduce que:
θ=
L
EI
M
4
apareciendo una reacción en el apoyo en B de valor
R = 3M/2L= (6EI/L2) θ
8.1.4 Rigidez de un sistema intraslacional de barras
Considérese la estructura cuya geometría y cargas se muestran
en la figura 8.8 y que está constituida por tres barras coplanarias que
se unen en la sección A.
BA
A
L
θ
B
R = 3M/(2L)
A
M/2 R
M

11
Figura 8.8
Bajo la acción de un momento actuando en el nudo A, es el giro
de este nudo en el plano de la estructura el grado de libertad elegido
para caracterizar la deformación del sistema.
La estructura es, si se desprecian los alargamientos o
acortamientos de las barras generados por los esfuerzos axiles,
intraslacional por lo que puede descomponerse en barras, tal como se
muestra en la figura 8.9. El momento que actúa sobre el nudo se
reparte en tres momentos M1, M2 y M3 (momentos “repartidos”) que
actúan sobre cada una de las barras en los extremos que coinciden con
el nudo.
Obsérvese que los momentos que actúan sobre los extremos de
las tres barras tienen el mismo signo que el momento M que actúa
sobre el nudo.
B
A
D
C
M

12
Figura 8.9
Por equilibrio del nudo A, se tiene que:
M1 + M2 + M3 = M
En la barra AB (empotrada en B y apoyada en A), el momento M1
da lugar a un giro en el nudo A de valor
θAB = M1LAB/(4EI)
siendo, por tanto, la rigidez de esta barra en A:
kAB = 4EI/LAB
En la barra AC (biapoyada), el momento M2 da lugar a un giro en
el nudo A de valor
θAC = M1LAC/(3EI)
kAC = 3EI/ LAC
En la barra AD (empotrada en B y apoyada en A), el momento M3
da lugar a un giro en el nudo A de valor
θAD = M3LAD/(4EI)
B
A
D
C
M2
M3
M1
A
A

13
kAD = 4EI/ LAD
La continuidad de la deformada (nudo rígido) obliga a que los
giros de las tres barras en A sean iguales
θA(AB) = θA(AD) = θA(AC) = θA
es decir:
M1/kAB = M2/kAC = M3/kAD = ∑Mi/∑ki = M/∑ki = M/k
El valor k (suma de las rigideces de las barras que confluyen en el
nudo A) es, por tanto, la rigidez de la estructura en el nudo A pues es el
coeficiente de proporcionalidad entre el momento M aplicado en el nudo
A y el giro de este nudo
De la expresión anterior se deduce que
Mi = M ki/∑ki = M Ri
Lo que lleva a definir al coeficiente Ri = ki/∑ki como coeficiente
de reparto pues permite obtener el momento Mi (momento repartido) a
partir del momento M aplicado en el nudo.
Al aplicar un momento M1 en el extremo A de la barra AB
(empotrada en B, apoyada en A), en el otro extremo B aparece un
momento (momento de empotramiento) de valor M1/2. Al coeficiente ½
que permite obtener este momento a partir del momento que actúa en el
extremo A se le llama coeficiente de trasmisión CAB desde B hasta A.
Así, en el caso de la barra AD el coeficiente de trasmisión CAD es,
también, ½. Al aplicar un momento M2 en el extremo A de la barra AC
(biapoyada), en el otro extremo B no aparece ningún momento. En este
caso el coeficiente de trasmisión CAC es, por tanto, igual a cero.
Tipo de barra Rigidez Coef. de trasmisión
Apoyada/empotrada 4EI/L ½
Apoyada/apoyada 3EI/L 0
EJEMPLO 1.- En la estructura de tres barras de la figura 8.9, todas las
barras tienen la misma inercia y están hechas del mismo material
siendo LAC = 3 m, LAD = 4 m y LAB = 5 m. Si en el nudo A actúa un
momento exterior M, se pide calcular los momentos en los extremos de
barra y el giro del nudo A.
Las rigideces de las barras son:
kAB = 4EI/ 5, kAD = 4EI/ 4 y kAB = 3EI/ 3

14
y los coeficientes de reparto:
14
4
3
3
4
4
5
4
5
4
=
++
=
EIEIEI
EI
RAB
14
5
3
3
4
4
5
4
4
4
=
++
=
EIEIEI
EI
RAD
14
5
3
3
4
4
5
4
3
3
=
++
=
EIEIEI
EI
RAC
con lo cual los momentos absorbidos son:
MAB = M RAB = 4M/14
MAD = M RAD = 5M/14
MAC = M RAC = 5M/14
Los momentos que aparecen en el extremo opuesto a A de cada
barra son
MB = M CAB = 0.5 MAB
MD = M CAD = 0.5 MAD
MC = M CAC = 0.0 MAC=0
EJEMPLO 2.- En la estructura de la figura 8.10, las barras tienen el
mismo momento de inercia y están realizadas del mismo material. Si en
el nudo A actúa un momento exterior M, se pide calcular los momentos
en los extremos de barra y el giro del nudo A.
Figura 8.10
kAB = 3EI/L y kAC = 4EI/2L
B
C
A
M
L
2L

15
5
3
2
43
3
=
+
=
L
EI
L
EI
L
EI
RAB
5
2
2
4
5
3
2
4
=
+
=
EIEI
EI
RAD
con lo cual los momentos absorbidos por las barras sonson:
MAB = M RAB = 3M/5
MAC = M RAC = 2M/5
barra son
MB = M CAB = 0.0 MAB=0
MC = M CAC = 0.5 MAD
8.1.5 Matriz de rigidez
Si la matriz de flexibilidad relaciona cargas actuantes con
desplazamientos en los nodos en los que las cargas actúan,
∆1 f11 f12 f13 P1
∆2 = f21 f22 f23 P2
∆3 f31 f32 f33 P3
la matriz de rigidez, que es la inversa de la matriz de flexibilidad,
relaciona desplazamientos con cargas actuantes.
P1 k11 k12 k13 ∆1
P2 = k21 k22 k23 ∆2
P3 k31 k32 k33 ∆3
¿Qué representan los términos de la matriz de rigidez.-
Considérese el caso de un sólido sometido a un sistema de
fuerzas como se indica en la figura 8.11.

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Figura 8.11
¿Qué valor, por ejemplo, debería tomar P1 para que ∆1=1, ∆2=∆3=0
(situación representada en la figura 8.12)?
Figura 8.12
Sea la primera fila del sistema de ecuaciones cuya matriz de
coeficientes es la matriz de rigidez.
P1 = k11 ∆1+k12 ∆2 + k13∆3
Si en esta ecuación se imponen las condiciones de movimientos
planteadas, se obtiene
P1 = k11 1+ k12 0 + k13 0 = k11
Es decir, kii representa la carga a aplicar en el punto i-ésimo para
conseguir un desplazamiento unidad en este punto en la dirección de la
carga aplicada en dicho punto permaneciendo el resto de los puntos sin
movimiento.
Algunas precisiones.-
• La carga a aplicar se entiende que tiene la misma dirección que
Pi.
• El desplazamiento unidad debe entenderse que es la componente
sobre la dirección de Pi.
• Que el resto de los puntos permanece sin movimiento se refiere a
la ausencia de desplazamientos en las direcciones de las cargas
aplicadas Pj (j≠i)
P2
P3
P1
2
1
3
2
3
1
P1=k11
∆1=1

17
• Si hubiera momentos los movimientos referidos son giros.
¿Qué representan los términos kij (j≠i)?
Figura 8.13
Sea la segunda fila del sistema de ecuaciones cuya matriz de
coeficientes es la matriz de rigidez.
P2 = k21 ∆1+k22 ∆2 + k23∆3
Si en esta ecuación se imponen las condiciones de movimientos
planteadas (∆1 = 1, ∆2 = ∆3 = 0), se obtiene
P2 = k21 1+ k22 0 + k23 0 = k21
Es decir, kji representa la reacción en el punto j-ésimo, en la
dirección de la carga Pj cuando todos los puntos, excepto el i-ésimo, en
los que existen cargas, no se mueven y, precisamente el i-esimo, sufre un
desplazamiento unidad en la dirección de Pi. (Nótese que, por ejemplo, al
punto 2 se le impide el movimiento según la dirección de P2 pero se
podría desplazar en dirección ortogonal).
EJEMPLO.- Obtener la matriz de rigidez de la estructura y sistema de
cargas que se muestran en la figura 8.14.
Figura 8.14
La matriz de flexibilidad es
L3/(3EI) 3L2/(8EI) L/3 3/8
=L2/(EI)
3L2/(8EI) L/(2EI) 3/8 1/(2L)
2
3
1
P1
∆1=1
P2=k21
P3=k31
1
2
P
M
L/2L/2

18
y, por tanto, la matriz de rigidez es:
1/(2L) -3/8
K = F-1 = 192EI/(5L2)
-3/8 L/3
¿Qué representa, por ejemplo, el término k11?
k11 representa la fuerza vertical a aplicar en el punto 1 para
conseguir un desplazamiento vertical unidad en este punto siendo
nulo el giro del punto 2.
Obviamente, con una fuerza aplicada en 1 no se va a conseguir
simultáneamente un desplazamiento unidad en 1 y un giro nulo en 2;
es necesaria la actuación, también, de un momento M en 2 para
obtener estos movimientos; este momento M es k12. La situación
deformacional buscada se representa en la figura 8.15.
Figura 8.15
Aplicando las expresiones obtenidas en el apartado 8.1.3 se
pueden obtener los valores de k11 y k12.
Valor de k11.-
• Flecha en 1 debida al descenso de 2 sin giro
λλ 3311
96
2
12
L
EI
L
EI
k =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
con lo cual
11
3
96
k
EI
L
=λ
1
2
k11
L/2L/2
1
λ

19
• Flecha en 1 de la ménsula 2-1
EI
Lk
EI
L
k
243
2 3
11
3
11
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
• Flecha total
11
3
11
3
11
3
192
10
2496
1 k
EI
L
k
EI
L
k
EI
L
=+=
y, por tanto,
311
10
192
L
EI
k =
Valor de k12.-
En la figura 8.16 se muestran los esfuerzos en el punto 2 en las
secciones extremas de los tramos comprendidos entre los puntos 1 y 2 y
entre el 2 y el empotramiento.
Figura 8.16
En la rebanada 2 actúa el momento M (externo), con lo que, por
equilibrio de la rebanada,
M = M1 + M2
Pero:
22111
5
48
20
192
2 L
EI
L
EIL
kM ===
( ) ( ) 23
3
222
5
24
10
192
96
2
6
2
6
L
EI
L
EI
EI
L
L
EI
L
EI
M === λ
con lo cual
M = M1 + M2 = 72/5 EI/L2
A
M2
k11 k11 k11 k11 k11
M2 M1 M1
M

20
Valor de k22.-
El valor de k22 es el del momento que da lugar a un giro de valor
unidad en el punto 2 en la barra que se muestra en la figura 8.17; k21
es la reacción en el apoyo y por ello puede obtenerse conjuntamente con
k22.
Figura 8.17
Utilizando los teoremas de Mohr se obtiene:
L
EI
k
EI
Lk
5
64
64
5
1 22
22
2 =→==θ
2
22
21
5
72
8
69
L
EI
L
k
k ==
8.2 INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS
ITERATIVOS
Supóngase, como ejemplo, la estructura cuya geometría y cargas se
muestran en la figura 8.18
Figura 8.18
Un procedimiento alternativo para su análisis (método de Cross)
se comenta a continuación detallando todos sus pasos.
12
k21
k22
L/2L/2
B
C
A L
2L
p

21
a) Se retiran las cargas y se impide el giro de los nodos
mediante algún sistema de “clavijas”, figura 8.19.
Figura 8.19
b) Se colocan de nuevo las cargas
Al haberse impedido el giro del nudo A, las dos barras CA y BA
actúan independientemente trasmitiendo al sistema de sujeción del
nudo, como cargas exteriores, los momentos de empotramiento en el
nudo A, producidos por las cargas, cambiados de signo. En el caso del
ejemplo, M´0 = 0 y M0 =pl2/12 y, por lo tanto, el momento que soporta la
clavija es
M = M0 - M´0 = 0 - pl2/12
La acción de la “clavija” (impedir el giro) es pues equivalente a la
actuación en A de un momento M igual y opuesto a la suma de los
momentos de empotramiento de las barras (figura 8.20).
Figura 8.20
B
C
A L
2L
B
C
A L
2L
p
A
C
A L
2L
p
B
M0 M0
M´0
M´0

22
Las cargas sobre las barras unidas al momento en el nudo que
impide el giro de este constituyen un estado E1.
c) Se liberan las “clavijas” permitiendo que el nudo gire
libremente.-
Esta acción equivale a aplicar sobre los nodos un momento igual
y de signo contrario al momento que la clavija ejerce sobre el nudo
(suma de los momentos de empotramiento). Este momento actuando
sobre el nudo constituye un estado E2 (figura 8.21) La suma de los
estados E1 y E2 es, evidentemente, igual al estado de cargas inicial.
Figura 8.21
d) En el estado E2 se reparte a las barras el momento exterior en
función de las rigideces de aquellas (figura 8.22).
Figura 8.22
B
C
A
M
L
2L
A
C
A L
2L
B
M2M1

23
kAB = 3EI/ L y kAC = 4EI/ (2L)
5
3
2
43
3
=
+
=
L
EI
L
EI
L
EI
RAB
5
2
2
43
2
4
=
+
=
L
EI
L
EI
L
EI
RAC
con lo cual los momentos absorbidos son:
MAB = M RAB = pL2/12 3/5 = pL2/20
MAC = M RAC = pL2/12 2/5 = pL2/30
barra son
MB = MAB CAB = 0. MAB = 0
MC = MAC CAC = 0.5 MAC = pL2/60
e) Se calculan los momentos finales en los extremos de barra en
el nudo A como suma de los obtenidos en los estados E1 y E2.
Barra AB.-
• El momento en A del estado 1 es pL2/12 y el momento del estado
2 es - pL2/20 con lo cual el momento total es:
pL2/12- pL2/20= pL2/30
• El momento en B del estado 1 es 0 y el del estado 2 (momento
trasmitido) es 0 también con lo cual el momento total es 0.
Barra AC.-
• El momento en A del estado 1 es 0 y el momento del estado 2 es -
pL2/30 con lo cual el momento total es:
0- pL2/30= -pL2/30

24
• El momento en C del estado 1 es 0 y el del estado 2 (momento
trasmitido) es pL2/60 con lo cual el momento total es pL2/60.
En la estructura del ejemplo anterior, el proceso descrito no
requiere más una operación de sujetar y soltar nodos. Sin embargo, si
la estructura tiene un mayor complejidad incluyendo barras cuyos dos
extremos sean nodos sin coacción externa (es decir, que no son apoyos
de la estructura) puede requerirse más de una operación de sujetar y
soltar nodos. Esto es así porque el momento trasmitido desde un nudo
al extremo opuesto de una estas barras es soportado por la clavija allí
colocada y, en consecuencia, es, también, objeto de reparto. La
aplicación del método descrito a este tipo de estructuras es pues un
proceso iterativo de la operación de sujetar y soltar nodos que termina
cuando se observa que los momentos trasmitidos son muy pequeños.
8.3 ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS DE
BARRAS
8.3.1 Introducción.-
Los métodos de análisis planteados por los científicos del XIX (Maxwell,
Cullman, Navier, Mohr,...) dotaron a los ingenieros estructuralistas de
herramientas cada una de las cuales tenía un campo de aplicación
restringido; esta característica provenía del hecho de que, en aras de
hacer sencillo su uso, llevaban implícitas simplificaciones que las
hacían aplicables a estructuras con condiciones particulares. Su
aplicación a estructuras complicadas requería grandes dotes de
simplificación y sentido ingenieril y, en cualquier caso, inducía una
gran complejidad y volumen en los cálculos; esta complejidad era
parcialmente paliada con toda una tecnología práctica basada en
tablas, ábacos,... que demostraba, una vez más, la capacidad de
inventiva de la Ingeniería.
La aparición de los ordenadores posibilitó el análisis de
estructuras más complejas, utilizando algoritmos de cálculo en los que
no eran necesarias las simplificaciones y que, en consecuencia, eran
aplicables a cualquier tipo de estructura. Los nuevos métodos seguían
basándose en los teoremas fundamentales del cálculo clásico a cuyas
ecuaciones daban un tratamiento numérico con técnicas del álgebra
matricial ("métodos matriciales").
Los métodos matriciales son técnicamente muy simples,
pudiéndose decir que no han aportado ideas nuevas a la panoplia de
herramientas para el análisis de estructuras. Su éxito se debe a su
adaptación a las sistemáticas de funcionamiento y de ordenación de
datos de los ordenadores. El análisis de estructuras con un método

25
matricial y utilizando un ordenador se reduce a la definición de unos
datos descriptivos de su geometría, de los materiales que la constituyen
y de las cargas a las que está sometida.
8.3.2 Hipótesis
• Son aplicables las ecuaciones generales de la mecánica de los
medios continuos:
a) Ecuaciones de equilibrio interno (tensiones y fuerzas de
volumen), en el contorno (tensiones en el contorno y fuerzas
externas) y externo (ecuaciones de la estática),
b) Ecuaciones que establecen la relación entre movimientos y
deformaciones
c) Ecuaciones que establecen la relación entre tensión y
deformación
• La aplicación de las ecuaciones anteriores se reduce a los casos
de pequeñas deformaciones
• Se considera una relación lineal entre tensión y deformación
pudiéndose, en consecuencia, aplicar el principio de
superposición entre diferentes estados de carga
• Se consideran solamente cargas actuando en los nodos del
modelo de la estructura: cargas en elementos habrán de ser
convertidas en cargas en nodos.
• Son aplicables los siguientes PRINCIPIOS Y TEOREMAS:
a) Principio de los trabajos virtuales
b) Teorema de Castigliano
c) Teorema de mínimos de la energía de deformación
d) Teorema de reciprocidad de Maxwell
8.3.3. Fases del análisis matricial (método directo o de
la rigidez)
El proceso de análisis matricial de una estructura incluye los
siguientes pasos:
1/ Numeración de nodos y barras

26
2/ Selección y numeración de grados de libertad
3/ Construcción de la matriz de rigidez de cada elemento
3.1 en ejes locales
3.2 en ejes globales (mediante transformaciones de
coordenadas)
4/ Ensamblaje de las matrices de rigidez de los elementos para dar
lugar a la matriz de rigidez completa
5/ Construcción del vector de cargas
6/ Introducción de las condiciones de contorno en la matriz de
rigidez
7/ Resolución del sistema de ecuaciones (vector de desplazamientos
en nodos de la estructura)
8/ Cálculo de esfuerzos en cada elemento a partir de los
desplazamientos de los nodos
9/ Cálculo de las reacciones en los apoyos
A continuación se desarrollan todas y cada uno de las fases del
análisis matricial de estructuras formadas por elementos lineales
(barras).
8.3.4 Numeración de nodos y barras
Considérese como ejemplo la estructura cuya geometría y cargas
se muestran en la figura 8.23.
Figura 8.23

27
Los puntos en los que confluyen las barras han de ser,
razonablemente, nodos del modelo (figura 8.24) que se utilizará en el
análisis, aunque podrían seleccionarse como nodos del modelo otros
puntos de la estructura. En dicha figura se han numerado, también, las
barras (rodeados sus números por un círculo)
De cada uno de estos nodos se obtendrán, como resultado del
análisis, algunos de sus movimientos y de estos movimientos se
obtendrán, a su vez, los esfuerzos en los elementos de la estructura.
Figura 8.24
8.3.5 Elección y numeración de grados de libertad.-
En el caso de estructuras planas, cada nodo tiene tres grados de
libertad (g.d.l.) (dos desplazamientos y un giro); aunque las condiciones
de apoyo de la estructura impiden los movimientos de los nodos 1, 2 y
3, inicialmente se eligen los tres grados de libertad de todos y cada uno
de los nodos (figura 8.25). No habiendo, en principio, criterios
especiales de numeración, en la figura se muestran los números
asignados a los 24 g.d.l. Con flechas de puntos se identifican los g.d.l.
restringidos por el sistema de apoyos.
6
8
1 2 3
4 5 6
7 8
31
5
4 7
2

28
Figura 8.25
8.3.6 Matriz de rigidez de la estructura
El proceso a seguir consiste en plantear, en primer lugar, la matriz de
rigidez de una barra (primero en ejes locales de la barra y, luego, en ejes
globales de la estructura) y después mediante un proceso sistemático
denominado “ensamblaje”, montar la matriz de rigidez de la estructura
completa.
8.3.6.1 Matriz de rigidez de una barra en ejes locales.-
Barra empotrada.-
Sea la barra de la figura 8.26 que va del nudo inicial i (en lo que
sigue, al nudo inicial de la barra le denominaremos 1) y al nudo final j
(numerado como 2 en lo que sigue). No hay que confundir esta
numeración (nudos 1 y 2) que emplearemos en ejes locales con la
numeración de nudos global que, previamente, se ha realizado en toda
la estructura.
1
2
3
10
11
12
19
20
21 22
23
24
16
17
18
7
8
94
5
6
13
14
15

29
Figura 8.26
En el caso de una estructura plana, los esfuerzos en los nodos a
los que la barra puede estar sometida (S'x1, S'y1, S'θ1, S'x2, S'y2, S'θ2) así
como los correspondientes movimientos de dichos nodos (u'1, v'1, θ '1,
u'2, v'2, θ '2) son los que se especifican en la figura 8.27.
Figura 8.27
A continuación se plantean las relaciones existentes entre los
esfuerzos y los movimientos en los nodos extremos de la barra.
a) Esfuerzos axiles.-
Si L es la longitud inicial y L´ la longitud final,
L' = L + (u'2 - u'1)
y, por equilibrio,
S'x1 + S'x2 = 0
2
1
y
x
S´x2
S´y2
S´θ2
S´θ1
S´y1
S´x1
u´1
v´1
v´2
u´2
θ´1
θ´2
j
i
y
z
xZ
Y
X

30
El alargamiento de la barra vendrá dado por
u'2 - u'1 = (S'x2 L)/(EA)
de donde
S'x2 = EA/L (u'2 - u'1) (1)
y como S'x1 = -S'x2 resulta
S'x1 = (EA/L) (u'1 - u'2) (2)
b) Momentos flectores
Utilizando las expresiones deducidas en 8.1.3 se relacionan los
movimientos en los nodos con los momentos aplicados en estos:
S'θ1 = (4EI/L)θ'1 + (2EI/L)θ'2 + (6EI/L2) (v'1-v'2) (3)
S'θ2 = (2EI/L)θ'1 + (4EI/L)θ'2 + (6EI/L2) (v'1-v'2) (4)
c) Esfuerzos cortantes
Estableciendo el equilibrio de fuerzas en dirección perpendicular
a la barra así como el equilibrio de momentos:
S'y1 = (S'θ1 + S'θ2)/L = -S'y2
de donde
S'y1 = (6EI/L2)θ´1 + (6EI/L2)θ´2 + (12EI/L3)(v'1-v'2) (5)
S'y2 =-(6EI/L2)θ´1 – (6EI/L2)θ´2 – (12EI/L3)(v'1-v'2) (6)
Las ecuaciones anteriores pueden expresarse en forma matricial
como:
S'x1 EA/L 0 0 u'1 -EA/L 0 0 u'2
S'y1 = 0 12EI/L3 6EI/L2 v'1 + 0 -12EI/L3 6EI/L2 v'2
S'θ1 0 6EI/L2 4EI/L θ'1 0 -6EI/L2 2EI/L θ '2
S'x2 -EA/L 0 0 u'1 EA/L 0 0 u'2
S'y2 = 0 -12EI/L3 -6EI/L2 v'1 + 0 12EI/L3 -6EI/L2 v'2
S'θ2
0 6EI/L2 2EI/L θ'1 0 -6EI/L2 4EI/L θ'2

31
y, llamando:
S'x1 S'x1 u'1 u'2
S´1 = S'y1 S´2 = S'y2 d´1 = v'1 d'2 = v'2
S'θ1 S'θ2 θ'1 θ'2
y, tambien:
S'1 d'1
S' = d' =
S'2 d'2
resulta que:
S'1 K'11 K'12 d'1
=
S'2 K'21 K'22 d'2
y, en forma matricial compacta:
{S'} = [K’] {d'}
La matriz [K’] es la matriz de rigidez de la barra expresada en ejes
locales de la misma.
Barra biarticulada.-
Sea la barra biarticulada de la figura 8.28. La relación entre
esfuerzos (axiles) y movimientos (en dirección del eje de la barra) es, en
este caso, (ley de Hooke):
S'x1 1 -1 u'1
= EA/L
S'x2 -1 1 u'2
y, por tanto, la matriz de rigidez, es
1 -1
EA/L
-1 1

32
Figura 8.28
8.3.6.2 Transformación de coordenadas
Para poder plantear las ecuaciones que establecen el equilibrio de un
nudo sometido a las cargas que actúan directamente sobre él y a las
acciones de las barras que en él confluyen, es necesario que todas estas
cargas estén referidas a los mismos ejes globales de la estructura.
La relación entre los ejes locales de una barra y los ejes globales
de la estructura es la correspondiente a un cambio de sistema de
referencia y se establece a través de una matriz de transformación [T].
Así, por ejemplo, los esfuerzos en extremos de barra se expresan en ejes
globales en función de su valor en ejes locales del siguiente modo:
Sx Xx Xy Xz 0 0 0 S´x
Sy Yx Yy Yz 0 0 0 S´y
Sz = Zx Zy Zz 0 0 0 S´z
Sx 0 0 0 Xx Xy Xz S´θx
Sy 0 0 0 Xx Xy Xz S´θy
Sz 0 0 0 Xx Xy Xz S´θz
donde Xn es el coseno del ángulo que el eje local n forma con el eje
global N.
La expresión matricial de la igualdad anterior es
2
Y
X
Sx2
Sy2
1 Sx1
Sy1
x
y

33
{S} = [T] {S´}
ecuación que permite obtener los esfuerzos en los extremos de barra en
función de los mismos expresados en ejes locales.
En el caso de los desplazamientos:
{d} = [T] {d´}
La matriz [T] es ortogonal es decir:
[T]-1 = [T]T
con lo cual
{S´} = [T] T {S} y {d´} = [T] T {d}
En el caso plano la matriz de transformación es
cosα -senα 0
[T] = senα cosα 0
0 0 1
Barra biarticulada.-
En la barra biarticulada de la figura 8.28, la matriz de rigidez en
ejes globales es:
Sx1 u1
K11 K12
Sy1 v1
=
Sx2 u2
K21 K22
Sy2 v2
siendo:
cos2α cosα senα
[K11] = [K22] = EA/L
cosα senα sen2α
cos2α cosα senα
[K12] = [K21] = -EA/L
cosα senα sen2α

34
8.3.6.3 Esfuerzos en cada barra a partir de los desplazamientos de
sus nodos extremos.-
a) En coordenadas locales.
Los esfuerzos en extremos de barra se relacionan con los movimientos
en nodos en coordenadas locales mediante las expresiones
{S'1} = [K'11] {d'1} + [K'12] {d'2}
{S'2} = [K'21] d'1 + [K'22] {d'2}
Pero dado que
{d´1} = [T]T {d1} y {d´2} = [T]T {d2}
resulta:
{S´1} = [K´11][T]T{d1} + [K'12] [T]T{d2}
{S'2} = [K'21][T]T{d1} + [K'22][T]T{d2}
que proporciona los esfuerzos que aparecen en los extremos de las
barras en ejes locales debido a los movimientos en los extremos de estas
expresados en ejes globales.
b) En coordenadas globales.-
Pre-multiplicando las expresiones anteriores por [T], se obtiene:
[T]{S´1}= {S1} = [T][K´11][T]T{d1} + [T][K'12][T]T{d2}
[T]{S'2} = {S2} = [T][K'21][T]T{d1} + [T][K'22][T]T{d2}
Como [Kij] = [T][K´ij][T]T se obtiene:
{S1} = [K11]{d1} + [K12]{d2}
{S2} = [K21]{d1} + [K22]{d2}
o, en expresión matricial,
S1 K11 K12 d1
=
S2 K21 K22 d2
es decir: {S} = [K]{d}

35
8.3.6.4 Ensamblaje de las matrices elementales de rigidez.-
Considérese una estructura como la que se muestra en la figura
8.29.
1
2
3
4
y24
x13
x23=y34
x24x34
y12
y13
x12 = y23
{f3}
{f2}
X
Y
{f1} {f4}
1
2
3
4
y24
x13
x23=y34
x24x34
y12
y13
x12 = y23
{f3}
{f2}
X
Y
{f1} {f4}
Figura 8.29
Supóngase que para cada una de las barras de la estructura se
han calculado [K11], [K12], [K21] y [K22] de forma que
{S1} = [K11] {d1} + [K12] {d2}
{S2} = [K21] {d1} + [K22] {d2}
siendo 1 el nodo inicial y 2 el nodo final de la barra.
Las ecuaciones que establecen el equilibrio de cada uno de los 4
nodos de la estructura son las siguientes.
Nodo 1.-
La figura 8.30 representa el nodo 1 de la estructura y las fuerzas
que sobre él actúan.

36
{S1}12
-{S1}12
-{S1}13
{f1}
{S1}13
Barra 1-3
Barra 1-2
{S1}12
-{S1}12
-{S1}13
{f1}
{S1}13
Barra 1-3
Barra 1-2
Figura 8.30
Planteando el equilibrio de estas fuerzas se obtiene
{f1} - (S1)12 - (S1)13 = {0}
con lo cual:
{f1} = {S1}12 + {S1}13 = [K11]12 {d1} + [K12]12 {d2} + [K11]13 {d1} + [K12]13 {d3}
Nodo 2.-
{f2} – {S2}12 – {S1}23 – {S1}24 = {0}
con lo cual:
{f2} = {S2}12 + {S1}23 + {S1}24 =
=[K21]12 {d1}+[K22]12 {d2}+[K11]23 {d2}+[K12]23 {d3}+[K11]24 {d2}+[K12]24 {d4}
Nodo 3.-
{f3} – {S2}13 – {S2}23 – {S1}34 = {0}
con lo cual:
{f3} = {S2}13 + {S2}23 + {S1}34 =
=[K21]13{d1}+[K22]13{d3}+[K21]23{d2}+[K22]23{d3}+[K11]34{d3}+[K12]34{d4}

37
Nodo 4.-
{f4} – {S2}24 – {S2}34 = {0}
con lo cual
{f4} = {S2}24 + {S2}34 =
=[K21]24{d2} + [K22]14{d4} + [K21]34{d3} + [K22]34{d4}
Matricialmente, las ecuaciones anteriores se pueden expresar
como:
f1 (K11)12+ (K12)12 (K12)13 0 d1
(K11)13
f2 (K21)12 (K22)12 + (K12)23 (K12)24 d2
+ (K11)23
= + (K11)24
f3 (K21)13 (K21)23 (K22)13 (K12)34 d3
+ (K22)23
+ (K11)34
f4 0 (K21)24 (K21)34 (K22)24 d4
+(K22)34
es decir
{f} = [K] {d}
siendo
{f} el vector de fuerzas actuantes en nodos
[K] la matriz de rigidez de la estructura
{d} el vector de movimientos en los grados de libertad
Observación.- Todos los vectores y matrices se encuentran referidos a los
ejes globales
Propiedades.-
a) La matriz K (matriz de rigidez global de la estructura) es
simétrica.-
Esto es así por serlo [K11] y [K22] y traspuestas una de la otra [K12]
y [K21]

38
b) La matriz K es singular.-
Dado que en el proceso de obtención de la matriz K no se han
considerado, aún, las condiciones de apoyo de la estructura, al vector
de fuerzas {f} no le corresponde un único vector de movimientos {d}. Si
{d1} fuera un vector de movimientos compatible con el vector de fuerzas
{f}, un vector {d1+dsr}, siendo {dsr} un vector de movimientos
correspondientes a un movimiento global de la estructura como sólido
rígido, es también compatible con {f} dado que este movimiento como
sólido rígido ni afecta ni es afectado por las cargas. En consecuencia, en
el sistema de ecuaciones {f} = [K] {d} a un vector de términos
independientes {f} le corresponden infinitos vectores solución {d} por lo
que la matriz del sistema [K] ha de ser singular.
Reglas para la formación de la matriz K.-
Considerando una barra genérica cuyo primer nodo es el i de la
estructura y cuyo segundo nodo es el j de la estructura,
{S1}ij = [K11]ij {di} + [K12]ij {dj}
{S2}ij = [K21]ij {di} + [K22]ij {dj}
al plantear (separadamente) el equilibrio de los nudos i y j se obtiene:
{fi} = {S1}ij + contribución de las otras barras que concurren en el nudo i
{fj} = {S2}ij + contribución de las otras barras que concurren en el nudo j
siendo las contribuciones de las otras barras los vectores {S1} para las
barras con el extremo 1 en el nodo considerado ó {S2} para las barras
con el extremo 2 en el nodo considerado. Es decir
• {fi} = [K11]ij {di} + [K12]ij {dj }+ contribución de las barras que
concurren en el nudo i
• {fj} = [K21]ij {di} + [K22]ij {dj}+ contribución de las barras que
concurren en el nudo j
Por tanto, la barra que conecta los nudos i y j aporta a la matriz
de rigidez de la estructura global las submatrices [Kij] del siguiente
modo:
Columna i Columna j
Fila i [K11]ij [K12]ij
Fila j [K21]ij [K22]ij

39
• El elemento de la diagonal principal de la fila i-ésima es la suma
de las submatrices [K11] ó [K22] de todas las barras que concurren
en el nudo i ([K11] si la barra tiene su extremo 1 en i, [K22] si la
barra tiene su extremo 2 en i).
• El elemento fuera de la diagonal en la fila i-ésima y columna j-
ésima es la submatriz [K12] de la barra que une el nudo i con el
nudo j; si un nodo k no está unido directamente por ninguna
barra con el nudo i, los elementos [Kik] y [Kki] estarían ocupados
por la matriz nula.
Ancho de banda.-
Si los nudos i y j no están directamente unidos por un elemento
estructural, el término Kij de la matriz de rigidez de la estructura estará
ocupado por la matriz (3x3) nula. Esto hace que las matrices de rigidez
de estructuras lineales sean matrices con “muchos ceros” (matrices
dispersas). Se define como “ancho de banda” el valor de la mayor
diferencia entre la numeración de los nudos de la estructura que están
directamente unidos por elementos. Así, por ejemplo, en la matriz que
se esquematiza en la figura 8.31 en la que las celdas obscuras están
ocupadas por elementos no nulos, el ancho de banda es 3 obtenido
como la diferencia 7-4 (obsérvese que el elemento K74 es no nulo).
Figura 8.31
Una numeración oportuna puede disminuir el ancho de banda de
una matriz aumentando con ello la eficiencia de los algoritmos
numéricos que se utilizarán, después, para resolver el sistema de
ecuaciones.
8.3.7 Construcción del vector de cargas.-
a) Vector de cargas por barra.-
En análisis matricial solamente se consideran cargas actuando en los
nodos de la estructura. El vector de cargas estará constituido, en este
caso, por las cargas actuantes en los nodos.

40
Si las cargas de la estructura actúan directamente sobre los
elementos (barras) una primera opción es crear nodos en los puntos de
aplicación. Este incremento del número de nodos da lugar, obviamente,
a mayor trabajo de preparación del input, a mayor tiempo de ejecución
y al aumento del "volumen" de resultados. Si las fuerzas actuantes son
de tipo repartido habría, además, que proceder a concentrarlas
introduciendo con ello fuertes imprecisiones.
El proceso más recomendable a seguir consiste en llevar las
cargas de los elementos a los nodos (figura 8.32) siempre que estas
cargas equivalentes actuando en los nodos del elemento den lugar a los
mismos movimientos en dichos nodos que el sistema original de cargas
actuante sobre el elemento. Una vez obtenidos los esfuerzos en los
elementos asociados a los movimientos de sus nodos, se habrán de
superponer los esfuerzos en el elemento producidos directamente por
las cargas actuantes (en su sitio) en el elemento.
Figura 8.32
Así, en una barra como la BC sometida a una carga distribuida q,
se terminarían las reacciones {ré
1} y {ré
2} en los empotramientos en ejes
locales. Estas reacciones, en este caso son {ré
1} = (0, Q1, M1)T y {ré
2} =
(0, Q2, M2)T siendo
Q1 = Q2 = qL/2 y M1 = -M2 = qL2/12.
Cargas térmicas.-
Las cargas térmicas actuantes sobre una estructura son generalmente
gradientes a través del espesor de los elementos. Estos gradientes
producen elongaciones de las piezas y, sobre todo, curvaturas como
M1
Q1 Q2
M2

41
resultado del diferente alargamiento de las fibras de una misma
sección.
El proceso a seguir es similar al que se ha de aplicar en el caso de
cargas actuantes sobre los elementos y consiste, esquemáticamente, en
• calcular los movimientos de los nodos del elemento libre sometido
al gradiente térmico
• calcular las fuerzas en nodo necesarias para "devolver" al
elemento a sus dimensiones originales
• construir el vector de cargas en nodos incluyendo las fuerzas
anteriores
Descenso de apoyo.-
El proceso a seguir, en este caso, es el siguiente:
• en el vector (incógnita) de desplazamientos en nodos, sustituir los
valores de los desplazamientos en los nodos que asientan
• resolver el subsistema constituido por las ecuaciones relativas a
los nodos que no tienen asiento forzado
• obtener las reacciones en todos los nodos
b) Ensamblaje del vector de cargas.-
Para cada barra, las reacciones expresadas en ejes globales se
obtendrían como
{re
i} = [T] {r´e
i}
El vector {fi} de cargas actuantes en el nudo i se obtendría
sumando los vectores –{re
i} de todas las barras que confluyen en el nudo
i. Si, además, en el nudo i actuasen directamente cargas {Pi}, el vector
de cargas {fi} se obtendrá como:
{fi} = {Pi} - ∑{re
i}
estando el sumatorio extendido a todas las barras conectadas al nudo i.
El vector f de cargas en nodos de la estructura sería, finalmente,
f1
f2
f = …
fn
8.3.8 Condiciones de contorno.-
Sea el sistema de ecuaciones

42
{f} = [K] {d}
En este sistema se conocen
• las fuerzas {fi} en los nodos donde se aplican cargas exteriores
• los movimientos {di} en aquellos nodos donde existen ligaduras.
El balance es
n nodos
3*n g.d.l. (en el plano)
r coacciones
3*n-r movimientos desconocidos
El objetivo es obtener un sistema
{f*} = [K*] {d*}
en el que se relacionen las cargas conocidas con los movimientos
incógnitas.
Sea, por ejemplo, la estructura de la figura 8.33 en la cual, el
movimiento horizontal del g.d.l. 7, entre otros, está impedido, es decir
d7 = 0.
Figura 8.33
Para reflejar esta coacción en el sistema, se eliminan la fila 7 y la
columna 7 del sistema de ecuaciones:
1
2
3
4
5
6
10
11
12
79
8

43
f1 = K11d1 + ..... + K17d7 + ..... + K1,12 d12
..............................................................
f7 = K71 d1 + ..... + K77 d7 + ..... + K7,12 d12
..............................................................
f12 = K12,1 d1 + ...+ K12,7 d7 + .....+ K12,12 d12
Con este criterio se eliminan también, las ecuaciones
correspondientes a los g.d.l. 1, 2, 3, 10, 11 y 12 resultando un sistema
de cinco ecuaciones y cinco incógnitas que son los movimientos de los
g.d.l. 4, 5, 6, 8 y 9 (únicos g.d.l. no coaccionados) resultando un
sistema cuya matriz de coeficientes (K*) ya no es singular.
f4 = K44d4 + K45d5 + K46 d6 + K48d8 + K49d9
f5 = K54d4 + K55d5 + K56 d6 + K58d8 + K59d9
f6 = K64d4 + K65d5 + K66 d6 + K68d8 + K69d9
f8 = K84d4 + K85d5 + K86 d6 + K88d8 + K89d9
f9 = K94d4 + K95d5 + K96 d6 + K98d8 + K99d9
ó, en forma matricial,
{f*}= [K*] {d*}
en el que la matriz [K*] ya no es singular y, por lo tanto, es invertible.
8.3.9 Resolución del sistema de ecuaciones
El sistema de ecuaciones anterior se resuelve por métodos algebráicos
que requieren invertir la matriz de rigidez.
{d*} = [k*] -1 {f*}
La matriz de rigidez es simétrica y dispersa; estas circunstancias
hacen especialmente aplicables técnicas numéricas específicas para la
inversión de este tipo de matrices.

44
8.3.10 Cálculo de esfuerzos en cada barra.-
A los esfuerzos en extremos de barra producidos por los
movimientos de los nodos de la barra
{S'1} = [K'11][T]T{d1
} + [K'12] [T]T{d'2}
{S'2} = [K'21][T]T{d1} + [K'22] [T]T {d'2}
habrán de superponerse, en su caso, los esfuerzos de empotramiento
debidos a las cargas que actuasen directamente sobre las barras.
{S'1} = [K'11][T]T{d1
}+ [K'12] [T]T{d'2} + {r´1
e}
{S'2} = [K'21][T]T{d1} + [K'22][T]T{d'2} + {r´2
e}
8.3.11 Cálculo de las reacciones en los apoyos.-
El vector de movimientos en todos los g.d.l. de la estructura (incluidos
los coaccionados) se construye término a término asignando el valor
obtenido a los g.d.l. que han intervenido en el cálculo y el valor 0 a los
g.d.l. coaccionados.
Multiplicando este vector por las filas de la matriz del sistema
relativas a los g.d.l. coaccionados (filas eliminadas al considerar las
condiciones de contorno) se obtienen los esfuerzos aplicados a estos
g.d.l., es decir, las reacciones. A estos reacciones habrán de sumársele
las cargas que actuasen directamente sobre los g.d.l. coaccionados.
8.3.12 Condensación
Definición.- Se denomina Condensación al proceso de reducción del
tamaño de la matriz de coeficientes del sistema {f} = [K] {d} como
resultado de la eliminación de g.d.l. Esta eliminación se desarrolla de
modo tal que la influencia del g.d.l. eliminado se tiene en cuenta a
través de las ecuaciones que describen el comportamiento
deformacional de los g.d.l. no eliminados.
En el sistema inicial {f} = [K]{d} se identifican separadamente las
submatrices que engloban los g.d.l. que se condensan (eliminan) y los
que se mantienen:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
c
p
cccp
pcpp
c
p
d
d
KK
KK
f
f
La expresión matricial anterior equivale a las ecuaciones
matriciales

45
{fp} = [Kpp]{dp} + [Kpc] {dp}
{fp} = [Kcp]{dp} + [Kcc] {dc}
De la segunda ecuación se despeja {dc }, obteniéndose
{dc} = [Kcc]-1 ({fc} -[Kcp]{dp})
Substituyendo en la primera ecuación se obtiene
{fp} = [Kpp] {dp} + [Kpc] [Kcc]-1 ({fc} -[Kcp]{dp})
con lo cual
{fp} - [Kpc] [Kcc] -1 {fc} = ([Kpp] - [Kpc] [Kcc]-1 [Kcp]){dp}
o, también,
{f*p} = [K*pp] {dp}
El vector de cargas equivalente es, pues,
{f*p}= {fp} - [Kpc] [Kcc]-1{dp}
y la matriz de rigidez equivalente es
[K*pp]= [Kpp] - [Kpc] [Kcc]-1 [Kcp]
Una vez resuelto el sistema de ecuaciones condensado (y
obtenido, en consecuencia, el vector {dp}), el vector de movimientos de
los g.d.l. condensados {dc} se obtiene (expansión) como
{dc} = [Kcc]-1 ({fc} -[Kcp]{dp})
El procedimiento de condensación es utilizado, habitualmente, en
análisis dinámico de estructuras pues el comportamiento dinámico de
estas puede reflejarse adecuadamente suponiendo concentrada su
masa en algunos nodos.
EJEMPLO.- Sea la viga de la figura 8.34 de la cual se desea conocer los
movimientos de los puntos de aplicación de las cargas despreciando las
deformaciones originadas por esfuerzo axil (caso de que los hubiera). El
tramo 3-4 tiene una sección con un momento de inercia I, el tramo 2-3
2xI y el tramo 1-2 3xI.

46
Figura 8.34
Considerando los cuatro nodos definidos en la estructura, el
sistema tiene 12 g.d.l. En dirección de la barra no hay desplazamientos
lo que permite no tener en cuenta los g.d.l. en esta dirección
reduciéndose entonces el número a 12-4 = 8 que corresponden a los
movimientos verticales y giros de los cuatro nodos (figura 8.35).
Figura 8.35
Las 3 coacciones de los apoyos (la traslación horizontal del nodo 1
ya ha sido considerada) reducen los 8 g.d.l. a 8-3 (figura 8.36).
Figura 8.36
Sin embargo la información que se pide es exclusivamente el
movimiento de los nodos 2 y 3 con lo cual el giro del nodo 4 sería una
información no necesaria.
La matriz de rigidez de una barra es (en este caso en que no se
consideran las deformaciones por axil) de orden 4
12 6L -12 6L
4L2 -6L 2L2
[K] = EI/L3 12 -6L
4L2
42
P
L L L
2P
31
42 31
1
2
3
4
5
6
7
8
42 31
3
4
5
6 8

47
y los vectores de carga y de movimientos
Sy1 u1
Sθ1 θ1
Sy2 u2
Sθ2 θ2
El proceso de ensamblaje de la matriz se esquematiza a
continuación
(k11)12 (k12)12 0 0
(k22)12 (k12)23 0
+(k11)23
(k22)23 (k12)34
+(k11)34
(k22)34
Con lo cual la matriz de rigidez ensamblada (orden 8) es,
6 3L -6 3L 0 0 0 0
2L2 -3L L2 0 0 0 0
10 -L -4 2L 0 0
[K]=6EI/L3 10L3/3 -2L 2L2/30 0
6 -L -2 L
2L2 -L L3/3
2 -L
2L2/3
Eliminando las filas y columnas correspondientes a los g.d.l.
coaccionados (1,2 y 7) resulta
P2 10 -L -4 2L 0 V2
M2 10L3/3 -2L 2L2/30 θ2
P3 = 6EI/L3 6 -L L V3
M3 2L2 L3/3 θ3
M4 2L2/3 θ4
Para obtener los movimientos verticales en los puntos 2 y 3 se
condensan los g.d.l. 4, 6 y 8 reduciéndose el sistema anterior a los
g.d.l. 3 y 5.
Reordenando el sistema:

48
M2 10L2/3 2L2/3 0 -L -2L θ2
M3 2L2 L2/3 2L -L θ3
M4 =6EI/L3 2L2/3 0 L θ4
P2 10 -4 V2
P3 6 V3
Utilizando la expresión
[K*pp] = [Kpp]-[Kpc][Kcc]–1[Kcp]
la matriz K*pp resulta
41.12 -19.06
[K*pp] =EI/L3
-19.06 15.53
y, en consecuencia, el vector de desplazamientos (incógnitas) puede
obtenerse como
V2 0.00564 0.0692 2P 0.18
=[K*pp]-1{f*p} = -L3/EI =-PL3/EI
V3 0.0692 0.1494 P 0.29
Deshaciendo la expansión se obtienen los movimientos según el
resto de g.d.l.
θ2 -0.2371
θ3 = PL2/EI 0.0493
θ4 0.4070
8.3.14 Subestructuración
Definición.- Se califica de subestructura a aquella estructura que, a su
vez, forma parte de una estructura mayor.
Definición.- Subestructuración es la técnica que habitualmente se utiliza
en el análisis de estructuras que, bien por su gran tamaño o bien por
sus características y/o disposiciones especiales no pueden ser resultas
en forma directa.
Considérese la estructura esquemática de la figura 8.37
constituida por dos partes S1 y S2 (subestructuras) que tienen en
común un conjunto Ci de nodos.

49
Figura 8.37
Ambas partes pueden ser consideradas separadamente si en los
puntos de conexión se sitúan, en cada una de ellas, unas fuerzas
equivalentes a las acciones ejercidas por la otra.
Las ecuaciones de comportamiento de ambas subestructuras son:
11 S
c
e
ccce
ecee
S
c
e
d
d
KK
KK
f
f
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
22 S
c
e
ccce
ecee
S
c
e
d
d
KK
KK
f
f
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
Ambos sistemas de ecuaciones se han reordenado para dejar
matricialmente agrupadas las ecuaciones e incógnitas relativas a los
g.d.l. de los nodos exclusivos de cada subestructura (subíndice e) y las
relativas a los g.d.l. de los nodos compartidos (subíndice c).
Las condiciones de compatibilidad entre ambos subsistemas son:
• igualdad (acción-reacción) de las fuerzas actuantes sobre ambas
subestructuras
• igualdad de los desplazamientos en los g.d.l. de los nodos
compartidos,
fC
S1 = -fC
S2
dC
S1 = -dC
S2
C1 C2
C1 C2
S1
S2

50
El subsistema que incluye las ecuaciones de comportamiento de
cada una de las subestructuras se condensa en los g.d.l.
correspondientes a los nodos exclusivos de la subestructura
obteniéndose un sistema condensado
{f*c}i = [K*cc]i {dc}i
donde
{f*c}i = {fc}i - [Kcb]i ([Kbb]i)-1 {fb}i = {fc}i - {fc
e}i
[K*cc]i= [Kcc]i - [Kcb]i ([Kbb]i)-1 [Kbc]i
El vector de cargas del sistema condensado {f*c}i está compuesto
de dos sumandos:
• {fc}i que representa el vector de cargas externas (fuerzas y
momentos) directamente aplicadas sobre los nodos de tipo c
• {fc
e}i que se interpreta del siguiente modo:
o ([Kbb]i)-1{fb}i que es el vector de movimientos de todos los
nudos de la subestructura considerando que los nudos c
están empotrados y que sobre la subestructura actúa el
vector de cargas {fb}i
o [Kcb]i ([Kbb]i)-1{fb}i vector de cargas (reacciones) que
aparecerían en los nudos de tipo c en la hipótesis anterior.
Si existiesen cargas exteriores actuando en los nudos de la
interfase, sólo se deberán tener en cuenta una vez en una cualquiera de
las subestructuras involucradas en la interfase.
En el caso del ejemplo anterior los vectores de cargas de ambos
sistemas condensados son:
{f*c}S1 = {fc}S1 - {fc
e}S1 = [Kcc*] S1{dc}S1
{f*c}S2 = {fc}S2 - {fc
e}S2 = [Kcc*] S2{dc}S2
Ensamblando convenientemente los vectores de carga y las
matrices de rigidez de ambas subestructuras se obtiene el sistema final
{f*c} = [Kcc*] {dc}
Una vez tenidas en cuenta las condiciones de apoyo de la
estructura, se resuelve el sistema obteniendo con ello los movimientos
en los g.d.l. de los nodos de conexión.

51
Utilizando las ecuaciones matriciales de la expansión en cada
subestructura se obtienen los movimientos en los nodos exclusivos de
cada subestructura.
{db}S1= -[Kbb] –1 S1[Kbc]S1 {dc}S1 + [Kbb] –1 S1{fb}S1
{db}S2= -[Kbb] –1 S2[Kbc]S2 {dc}S2 + [Kbb] –1 S2{fb}S2
La técnica de subestructuración se aplica generalmente a
aquellas estructuras que por
• su gran tamaño (número de nodos que exceden la capacidad de
cálculo,...)
• sus características especiales (desglosables en partes claramente
diferenciables,...)
• su situación en el momento del análisis (una parte en estado
avanzado de diseño y otra de la que se conocen solamente sus
características globales de rigidez,...)
así lo aconsejen.
Ha de considerarse que identificar una serie de subestructuras
como integrantes de una estructura es un proceso formalmente idéntico
a la modelización de la estructura con elementos más simples
(barras,...). Cada subestructura puede ser considerada como un
superelemento del que se obtiene su matriz de rigidez, matrices que a
posteriori son ensambladas para obtenerse la matriz de rigidez de la
estructura.
EJEMPLO.- Obténgase los desplazamientos horizontales de los nodos
de la estructura articulada de la figura 8.38.
Figura 8.38
1 2
3 4
65
P
P
P
P 4
6
3
5
3 4
21 2
4
3
5
1
S1
S2
L
L
L

52
Las cajas de la matriz de rigidez de una barra biarticulada son:
cos2α cosα senα
[K11] = [K22] = EA/L
cosα senα sen2α
cos2α cosα senα
[K12] = [K21] =-EA/L
cosα senα sen2α
con lo cual, en este caso, la matriz de rigidez de la subestructura S1 es
u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4
3 -1 -2 0 0 0 -1 1
-1 3 0 0 0 -2 1 -1
-2 0 3 1 -1 -1 0 0
0 0 1 3 -1 -1 0 -2
EA/(2L) 0 0 -1 -1 1 1 0 0
0 -2 -1 -1 1 3 0 0
-1 1 0 0 0 0 1 -1
1 -1 0 -2 0 0 -1 3
y la de la S2 es
u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4
1 1 0 0 0 0 -1 1
1 3 0 0 0 -2 -1 -1
0 0 1 -1 -1 1 0 0
0 0 -1 3 1 -1 0 -2
EA/(2L) 0 0 -1 1 3 -1 -2 0
0 -2 1 -1 -1 3 0 0
-1 -1 0 0 0 0 3 1
-1 -1 0 -2 0 0 1 3
Los vectores de desplazamientos y fuerzas en nudos en ambas
subestructuras son:
u1 u5 Px1 Px5
v1 v5 Py1 Py5
u2 u6 Px2 Px6
{d}1 = v1 {d}2 = v6 {f}1 = Py2 {f}2 = Py6
u3 u3 Px3 Px3
v3 v3 Py3 Py3
u4 u4 Px4 Px4
v4 v4 Py4 Py4
• Las componentes de los vectores de fuerzas son todas nulas
hecha excepción de Px1 y Px3 que son iguales a P. En cuanto a la

53
fuerza Px3 = P puede incluirse en el vector {f}1 o en el {f}2 pero no
en ambos.
• Los movimientos u5, v5, u6 y v6 son nulos; esta circunstancia debe
ser tenida en cuenta en el proceso de condensación.
En la subestructura S1:
u3 v3 u4 v4
1 0 -1 0 3
0 0 0 0 7
[K*cc]S1=EA/(7L) {f*c}1=P/7
-1 0 1 0 4
0 0 0 0 -7
En la subestructura S2:
u3 v3 u4 v4
3 -1 -2 0 1
-1 3 0 0 0
[K*cc]S2=EA/(2L) {f*c}2=P
-2 0 3 1 0
0 0 1 3 0
y para la estructura completa
23 -7 -16 0 10
-7 21 0 0 7
[K*cc] = EA/(14L) {f*c}1=P/7
-16 0 23 7 4
0 0 7 21 -7
Invirtiendo se obtiene:
1.69 0.56 1.31 -0.44
0.56 0.85 0.44 -0.15
[K*cc]-1 = L/(EA)
1.31 0.44 1.69 -0.56
-0.44 -0.15 -0.56 0.85
con lo cual

54
u3 4.16
v3 2.06
{dc}= = PL/EA
u4 3.84
v4 -1.95
u1 9.69
v1 2.67
{db}= = PL/EA
u2 9.31
v2 -2.33
8.3.15 Modificación de la rigidez de la estructura.-
Si como resultado del estudio de los resultados del análisis se
considerase necesario modificar las características de algún elemento
estructural o de los materiales con los que van a ser fabricados o
introducir cualquier otra modificación sobre la matriz de rigidez de la
estructura, puede simularse esta modificación sin necesidad de repetir
el proceso de resolución del sistema de ecuaciones.
El sistema de ecuaciones "modificado" sería
{f} = ([K] + [K']){d}
donde [K´] es una matriz que incluye las modificaciones a la matriz [K].
La expresión anterior puede escribirse como
{f} = [K](I + [K]-1[K']){d}
y, por tanto,
{d} = (I + [K]-1[K'])-1 [K]-1 {f}
El factor [K]-1 {f} coincide con el vector {d}0 de movimientos en la
estructura antes de la modificación (vector del que se dispone como
resultado del previo análisis)
{d} = (I + [K]-1[K'])-1 {d}0
Por lo tanto el vector de movimientos del sistema "modificado"
puede obtenerse a partir del vector {d}0 y de las matrices [K] y [K´]. Esta
última matriz es tratable de forma eficiente pues estará (si las

55
"modificaciones" no afectan a demasiados nodos) mayoritariamente
formada por ceros; así, podrá ser razonablemente ordenada agrupando
los g.d.l. afectados.

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