RESUMEN DE ALGEBRA

FORMULARIO - ALGEBRA

Conjuntos Numéricos:
Conjunto de los Naturales Conjunto de los Cardinales
» = {1, 2,3, 4, 5,...∞} » 0 = {0,1, 2,3, 4,5, 6,...∞} = {0} ∪ »
Conjunto de los Enteros Conjunto de los Racionales
» = {..., −3, −2, −1, 0,1, 2,3,...} a   1 5 −6 
» =  / a ∧ b ∈ », b ≠ 0  = ..., , , ,...
» = » ∪ {0} ∪ » = » ∪ {0} ∪ »
− + −
b   3 6 37 
Conjunto de los Irracionales Conjunto de los Reales
∗
{
» = ..., 3, 2, π , π , −3 7,... } » = » ∪ »∗
Conjunto de los Imaginarios Conjunto de los Complejos
{ 6 4
II = ..., −8, −3, −2,5i,... i = −1 } { }
» = » ∪ II= ...,1 + 3i, 2 − 6 −8,...

∪ = Unión ∩ = Inter sec ción
» ⊂ »0 ⊂ » ⊂ » ⊂ » ⊂ »
» ∩ »* = ∅
» ∪ »* = »
» ∩ II = ∅
» ∪ II = »

Propiedades que cumplen: (conjunto, operación)

( », + ) ( »0, + ) ( », + ) ( », + )
-Clausura -Clausura -Clausura -Clausura
-Conmutativa -Conmutativa -Conmutativa -Conmutativa
-Asociativa -Asociativa -Asociativa -Asociativa
-Elem. neutro -Elem. neutro -Elem. neutro aditivo
aditivo “0” aditivo “0” “0”
-Elem. Inverso -Elem. Inverso aditivo
aditivo “el opuesto” “el opuesto”

( », • ) ( »0,• ) ( », • ) ( », • )
-Clausura -Clausura -Clausura -Clausura
-Conmutativa -Conmutativa -Conmutativa -Conmutativa
-Asociativa -Asociativa -Asociativa -Asociativa
-Elemento -Elemento -Elemento Neutro -Elemento Neutro
Neutro Neutro multiplicativo “1” multiplicativo “1”
multiplicativo multiplicativo -Elemento -Elemento absorbente
“1” “1” absorbente “0” “0”
-Distributiva -Elemento -Elemento Inverso
de la absorbente “0” multiplicativo “el
multiplicación recíproco”
sobre la suma

Números Enteros:

Consecutividad Numérica, Paridad e Imparidad:

• Números consecutivos: ..., (n − 2), ( n − 1), n , ( n + 1), (n + 2),...

• Números Pares consecutivos:
...,(2n − 2), 2n ,(2n + 2),(2n + 4),(2n + 6),...
2n, representa un par con n ∈ »

• Números Impares consecutivos: ..., (2n − 3), (2n − 1), (2n + 1), (2n + 3),...
2n-1, representa un impar con n ∈ »

• Números primos: Son números naturales distinto de 1, que son divisibles
por “1” y por “si mismos”.
Ejemplo:
D (3) = {1,3} y 3 ≠ 1 entonces es primo
D (6) = {1, 2,3, 6} entonces no es primo

Obs: El cero no se define como par ni como impar y el 1 no es primo

• ¿Cómo sacar el número de divisores totales?

Ejemplo: D (72) = {1, 2,........, 36, 72} ¿Cuántos son?
72 = 9·8 = 3·3·4·2 = 3·3·2·2·2 = 32 ·23 (descomponemos en factores primos)
32 ·23 → 32 +1 ·23+1 → 2 + 1,3 + 1 → 3·4 = 12 (sumamos 1 al los exponentes y luego multiplicamos)
por lo tanto son 12 el número de divisores de 72
D (72) = {1, 2, 3, 4, 6,8, 9,12,18, 24, 36, 72} 12 divisores

• M.C.M (mínimo común múltiplo) entre números primos es siempre la
multiplicación entre ellos
• M.C.D.(máximo común divisor) entre números primos es siempre “1”

• DIVISIBILIDAD: Un número es divisible…

por condición
2 Si termina en “0” o cifra par
3 Si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3
Ej: 159 = 1+5+9 = 15 es múltiplo de 3
4 Si el número formado por sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4
Ej: 1400, 1544, 165816
5 Si termina en “0” o “5”
6 Si lo es por 2 y por 3
8 Si el número formado por sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8
Ej: 1000, 1542064
9 Si la suma de sus cifras es un múltiplo de 9
10 Si termina en “0”

Enunciados frecuentes
1
- El doble de un número: 2x - La mitad de un número: x
2
1
- El triple de un número: 3x - La tercera parte de x: x
3
1
- El cuádruplo de un número: 4x - La cuarta parte de x: x
4
1
- El quíntuplo de un número: 5x - La quinta parte de x: x
5
( x + y)
- La semisuma de dos números:
2

• Valor absoluto:

 x, si x es positivo o igual a cero
x =
− x, si x es negativo
ejemplo :
−3 = 3 ; 4 =4

Números Racionales:

Comparación de fracciones:

• Comparación de dos fracciones:

3 5
7 4
3·4 5·7
12 < 35
3 5
<
7 4

• Igualación de denominadores (2 o más fracciones)

5 11 39
, , m.c.m. entre 7,14,56 es 56 luego, al amplificar tenemos
7 14 56
40 44 39
, , respectivamente
56 56 56
44 40 39 11 5 39
⇒ > > ⇒ > >
56 56 56 14 7 56

Transformación de decimal a fracción

125 25
• Decimal finito: 0,125 = ; 2,5 =
1000 10

12 − 0 12 25 − 2 23
• Decimal periódico: 0,121212... = 0,12 = = ; 2,5 = =
99 99 9 9

• Decimal Semi-periódico:
2143 − 21 2122 254 − 25 229
0, 214343... = 0, 2143 = = ; 2,54 = =
9900 9900 90 90

Potencias y Raíces:
Propiedades Potencias Propiedades Raíces Racionalización
n m
a · a =a n+m 4
ej: 3 · 3 = 3 6 10 m 7 Caso1:
n
a m = a n ; n ≠ 0 ej: 3 67 = 6 3
an· bn = (a · b)n ej: 34· 64 =184 a b a b
n m n·k m·k 3 2 3·4 2·4 12 8 · =
an
3 4 a = a ej: 5 = 5 = 5 b b b
m
= an−m ej: 2
= 32 n 12
a 3 k
m
6
6
n m 12 6
an
 a
n 3
5 5
3
a = a k
ej: 5 = 56 = 2 5 Caso2:
=  ej: = 
bn b 73  7  n n n
a · b = ab ej: 3· 4 = 12 5 5 5
a n n−m
b an bn−m
n m 4 3 i =
(a ) = an·m ej: ( 7 ) = 712 n
a na 3
6 36 n m
b n n−m
b b
n
= ej: 3
=
1 1 b b 7 7
a−n = ej: 8−3 =
an 83
−n n −5 5 a n b = n a n ·b ej: 2 3 5 = 3 23 ·5 = 3 8·5 = 3 40 Caso3:
a b  2  9
  =   ej:   =  
b a  9  2
m
a m ·b = a m b ej: 3 40 = 3 8·5 = 3 23 ·5 = 2 3 5 a
i
b− c a b− c
=
( )
0 b+ c b− c b−c
a =1 con a ≠ 0 n m
a = n·m a ej: 3 4
5 = 12 5
2
−42 ≠ ( −4) ya que −( 4·4) ≠ ( −4)( −4) m 7 a b+ c a b+ c ( )
par
n m
a = ( ) n
a 5
ej: 2 = 7
( )
5
2 b− c
i
b+ c
=
b−c
( −9) = resultado positivo
n
impar an = a ej: 5 75 = 7
( −6) = resultado negativo

Notación Científica:
3400 = 3, 4 · 103 = 34 · 102
0, 0043 = 4,3 · 10-3 = 43 · 10-4
“En ambos casos lleva sólo un cifra antes de la coma”

Álgebra:
3x 3x
• Término algebraico: 3 x 2b ; 2a ; , etc Expresión algebraica: 3 x 2b + 2a −
y y
• Clasificación:
3x
Monomio: 3 x 2b ; 2a ; , etc
y
Polinomio: expresión algebraica con 2 o más términos algebraicos
Binomio: a + 3b , 5ab − x3 , etc.
Trinomio: a + 3b − 4 y , a 3 + 5ab − x3 , etc

Productos Notables
Cuadrado de Binomio 2
( a + b ) = a 2 + 2ab + b2
2
( a − b ) = a 2 − 2ab + b2
Cubo de binomio 3
( a + b ) = a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3
3
( a − b ) = a3 − 3a 2b + 3ab2 − b3
Binomio por binomio ( x + a )( x + b ) = x 2 + ( a + b ) x + ab
Suma por diferencia ( a + b )( a − b ) = a 2 − b2
Cuadrado de trinomio (a + b + c)
2
= a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc
Diferencia de cubos a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )
Suma de cubos a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 )

• Factorización:

o Sacar factor común: 18 x 2 y 3 − 3 x3 y 2 = 3 x 2 y 2 ( 6 y − x )

o Por agrupación:
ax + bx + ay + by
( ax + bx ) + ( ay + by )
x (a + b) + y (a + b)
( a + b )( x + y )

Ecuaciones y Sistema de Ecuaciones
• Ecuación lineal:

5 x + 3 = 12 / −3 6x + 2 = 4x + 2x + 8 − 6 7 x + 2 = 4 x + 3x + 8 − 4
5 x = 12 − 3 6x + 2 = 6x + 2 /−2 7x + 2 = 7x + 4 /−2
5x = 9 /:5 6x = 6x / − 6x 7x = 7x + 2 / − 7x
9 0=0 0≠2
x=
5 las soluciones son INFINITAS, NO EXISTE solución,
se eliminan las incógnitas se eliminan las incógnitas
y queda una igualdad y queda una desigualdad

• Ecuación fraccionaria:
3x 8 x 1 3
x+ − +4= + /· 8 (multiplicamos por el denominador común)
8 4 2 4
3x 8x 1 3
8x + 8 · − 2 8 · + 8·4 = 4 8 · + 2 8 ·
8 4 2 4
8 x + 3 x − 16 x + 32 = 4 + 6 (luego queda una ecuación lineal)
−5 x + 32 = 10 / + 5x
32 = 10 + 5 x / − 10
22 = 5 x /: 5
22
=x
5

• Ecuación Literal:
x + m ( mx + 1) = (1 + m ) − m ( 2 x − 1) cuanto vale x
x + m 2 x + m = 1 + m − 2mx + m
x + m 2 x + m = 1 + 2m − 2mx
x + m 2 x + 2mx = 1 + 2m − m
x (1 + 2m + m 2 ) = 1 + m
2
x (1 + m ) = 1 + m
1+ m
x= 2
(1 + m )
1
x=
(1 + m )

• Métodos de resolución de un sistema de ecuaciones:

Por reducción: Por igualación:
(1) 4 x − 3 y = 3 /· -5 (1) 4 x − 3 y = 3
(2) 5 x + y = 37 /· 4 (2) 5 x + y = 37
(1) −20x + 15 y = −15 despejamos en ambas ecuaciones una incógnita
(2) 20x + 4 y = 148 3 + 3y 37 − y
(1) x = ; (2) x =
4 5
19y = 133
luego igualamos:
133
y= 3 + 3 y 37 − y
19 = /·20
4 5
y = 7 luego reemplazamos 15 + 15 y = 148 − 4 y / + 4 y
5 x + 7 = 37 /-7 19 y + 15 = 148 / − 15
5x = 30 /: 5 19 y = 133 /: 19
x=6 y=7 reemplazamos en (1) o (2) ⇒ x = 6
Por sustitución: Estas ecuaciones también son “ecuaciones de rectas”, y su
(1) 4 x − 3 y = 3 representación gráfica es:

(2) 5 x + y = 37
Cuando las soluciones de un sistema de ecuaciones son
despejamos en una ecuacion x=a ,y =b
3 + 3y
(1) x = luego sustituimos en la (2)
4
 3 + 3y 
(2) 5   + y = 37 /·4
 4 
5 ( 3 + 3 y ) + 4 y = 148
15 + 15 y + 4 y = 148 Cuando las incógnitas de un sistema de ecuaciones
19 y = 133 /: 19 desaparecen, y queda una igualdad 0 = 0 ,entonces las
y=7 soluciones SON INFINITAS

reemplazamos en (2) ⇒ x = 6

Cuando las incógnitas de un sistema de ecuaciones
desaparecen, y queda una desigualdad; NO EXISTE solución

Inecuaciones Lineales
• Desarrollo de un Inecuación:
3x ≤ 4 x + 4 / − 3x
3 x − 3x ≤ 4 x − 3 x + 4
0≤ x+4 /−4
−4 ≤ x + 4 − 4
Formas de expresar la solución:
−4 ≤ x -Desigualdad
-Gráficamente
-Intervalos
x ∈ [ −4, +∞[

• Situaciones que CAMBIA el sentido de la desigualdad:
2
3 ≤ 7 / ⋅ ( -1) 3 7 −1 −3 ≥ −7 / ⋅ ( )
≤ / ⋅( ) 2 2
−3 ≥ −7 5 3 ( −3) ≤ ( −7 )
5 3
≥ 9 ≤ 49
3 7

• Intervalo abierto: ]a, b[ = ( a, b ) = { x ∈ » / a < x < b}

• Intervalo cerrado: [ a, b ] = { x ∈ » / a ≤ x ≤ b}

• Intervalo semi-cerrado o semi-abierto:

[ a, b[ = [ a, b ) = { x ∈ » / a ≤ x < b}
]a, b] = ( a, b] = { x ∈ » / a < x ≤ b}

• Intervalos indeterminados:

]a, +∞[ = ( a, +∞ ) = { x ∈ » / a < x}

[ a, +∞[ = [ a, +∞ ) = { x ∈ » / a ≤ x}

]−∞, b[ = ( −∞, b ) = { x ∈ » / x < b}

]−∞, b ] = ( −∞, b ] = { x ∈ » / x ≤ b}

]−∞, +∞[ = »

• Situaciones especiales de inecuaciones lineales:

3x − 8 < 2 x + x − 5 3 x + 11 ≤ 2 x + x − 5
3x − 8 < 3x − 5 / − 3x 3 x + 11 ≤ 3 x − 5 / − 3x
−8 < −5 11 ≤ −5

Cuando se elimina la incógnita y Cuando se elimina la incógnita y
queda una desigualdad VERDADERA, queda una desigualdad FALSA, la
las soluciones son INFINITAS solución NO EXISTE

−8 ≤ −8 es una desigualdad VERDADERA, ya que es menor o igual
Recuerda:
−8 ≥ −8 es una desigualdad VERDADERA, ya que es mayor o igual

• Desarrollo de un Sistema de Inecuaciones:

Ejemplo:
(1) 2x + 2 ≤ −4
(2) − 3 + 4 x ≤ 17
Se desarrolla cada una de las Inecuaciones

(1) 2x + 2 ≤ −4 (2) −3 − 4 x ≤ 17
2 x ≤ −4 − 2 −4 x ≤ 17 + 3
2 x ≤ −6 −4 x ≤ 20 / ⋅ ( −1)
−6 4 x ≥ −20
x≤
2 −20
x≥
x ≤ −3 4
x ≥ −5

S1 = ]−∞, −3]

S2 = [ −5, +∞[

Luego, se hace la intersección entre los conjuntos solución

S1 = ]−∞, −3] ∩ S2 = [ −5, +∞[

Solución = x ∈ [ −5, −3]

*Los números del conjunto solución cumplen ambas condiciones (1) y (2)
*Si los números cumplen la condición (1) ó la (2), se hace la entre S1 y S 2 ∪

Razón y Proporción
• La razón: Comparación de dos cantidades por medio de un cuociente
a
= k (constante) ó a : b = k (se lee a es a b)
b

• Proporción: Igualdad de dos razones
a c
= = k (constante) ó a : b = c : d (se lee a es a b como c es a d )
b d
a : b = c : d (a y d se llaman extremos, b y c medios)
Ejemplo:

Si a : b = 2 : 5
⇒ a = 2k
⇒ b = 5k

• Teorema fundamental de las Proporciones: “El producto de los extremos
es igual al producto de los medios”
a ·d =c ·b
• Propiedades:
a c
Si = entonces
b d
d c
• =
b a
b d
• =
a c
c a
• =
d b
a+b c+d a+b c+d
• = ó = (Composición de proporciones)
a c b d
a−b c−d a −b c −d
• = ó = (Descomposición de proporciones)
a c b d
a+b c+d
• = (Composición y descomposición de proporciones)
a−b c−d

• Proporción Discontinua: Cuando todos los términos de la proporción son
distintos
a c 4 12
= ;a ≠ b ≠ c ≠ d ≠ 0 ej: =
b d 5 15

*Cada uno de los términos son llamados Cuarta proporcional geométrica

• Proporción Continua: Cuando los medios son distintos y los extremos
iguales o los medios son iguales y los extremos distintos

a c a b 3 9
= = ;a ≠ b ≠ 0 ej: =
9 27
b a b d
*Cada uno de los términos que son iguales se llaman Media proporcional
geométrica y cada uno de los términos que son distintos se llaman tercera
proporcional geométrica.

a c e
• Serie de proporciones: = = = ... = k
b d f
a c e a + c + e + ...
Por composición de proporciones, tenemos: = = = ... = =k
b d f b + d + f + ...

• Proporcionalidad Directa: Sean x e y variables (nº de días, nº de obreros,
nº de páginas, etc.).Entonces x es directamente proporcional a y si:

x o sea, cuando x aumenta, y debe aumentar para mantener la constante
=k ó cuando x disminuye, y debe disminuir para mantener la constante
y
• Proporcionalidad Inversa: Sean x e y variables (nº de días, nº de obreros,
nº de páginas, etc.).Entonces x es inversamente proporcional a y si:

o sea, cuando x aumenta, y debe disminuir para mantener la constante
x⋅ y = k ó cuando x disminuye, y debe aumentar para mantener la constante

• Proporción Compuesta: En este caso, hay 3 variables o más, por lo tanto
hay que analizar la proporcionalidad.

Ejemplo: Si 4 pasteleros hacen 6 tortas en 9 horas, ¿cuánto tiempo
demorarán 12 pasteleros en fabricar 20 tortas?
La variable P es directamente proporcional a T, ya que si
P = pasteleros aumentan los pasteleros, aumenta el número de tortas.
H = horas La variable P es inversamente proporcional a H, ya que si
T = tortas el número de pasteleros es mayor, demoran menos tiempo
en fabicar las tortas.
4·9 12·H
Por lo tanto: P· H =
= k ⇒ por serie de proporciones 6 20
T 2 5
4 ·9· 20
=H
Resp: Se demoran 5 horas 3 6 ·12 3

9 ·5
=H
9
5= H

Porcentaje e Interés

a
• Porcentaje: Es un proporción directa: El a % de b es c ⇒ ·b=c
100
a
• El tanto por ciento de un número: ·b=x
100
ej: El 20% de 40 es:
20
·4 0 = 8
10 0
x
• Relación porcentual: ·b=c
100
ej: ¿Qué % es 8 de 40?:
x 2
· 4 0 =8
5 10 0

2x
=8
5
4
8 ·5
x= = 20
2
a
• Cálculo del total, conocido el porcentaje: ·x=c
100
ej: ¿De qué número 8 es el 20%?
20
· x =8
100
1
·x = 8
5
x = 40
p q r
• Porcentajes Sucesivos: El p % del q % del r % de a ⇒ · · ·a
100 100 100

• Porcentaje de Ganancia y de Pérdida:

Pc : Precio de compra Ganancia si Pv > Pc
Sea ⇒ Pv − Pc = 
Pv : Precio de venta Pérdida si Pv < Pc
Ganancia
%Ganancia = · 100%
Pc
P Pv = Pc + ganancia
Pérdida
% Pérdida = · 100%
Pc

C:capital acumulado
C = K (1 + nr ) K:capital inicial
• Interés Simple:
n: periodos
r: tasa de interés simple

C:capital acumulado

• Interés Compuesto: C = K (1 + i ) n K:capital inicial
n: periodos
i: tasa de interés compuesto

Función Variable Real
Relaciones y Funciones:

• Producto Cartesiano:
Sea M y N dos conjuntos ⇒ M × N = {( a, b ) / a ∈ M y b ∈ N , en ese orden}
Ej : M = {1, 2,3} y N = {4,5, 6} ⇒ M × N = {(1, 4);(1,5);(1, 6);(2, 4); (2,5); (2, 6);(3, 4); (3,5);(3, 6)}
Cada elemento del conjunto MxN se llama par ordenado.

Recuerda: MxN ≠ NxM

• Relación:
Si A = {6, 4,3} y B = {7,1, 2} ⇒ A × B = {(6,7);(6,1);(6, 2); (4, 7);(4,1);(4, 2);(3, 7);(3,1);(3, 2)}
”Todo subconjunto R de AxB se dice relación entre los conjunto A y B”
Ej:
Relación R: “todos los pares ordenados cuya 2º componente sea divisor de
la 1º componente”

O sea, R1 = {(6,1);(6, 2);(4,1);(4, 2)}
R1 ⊂ A × B
R1 = {(a, b) ∈ A × B / b divide a a}

Recuerda
- a es preimagen de b
- b es imagen de a
- A es conjunto de partida
- B es conjunto de llegada o codominio
- Todos los elementos de A que tienen imagen en B, forman un subconjunto
llamado Dominio

• Función: Es una relación R de A sobre B ( R : A → B ) que cumple dos
condiciones:
1.-Cada preimagen tiene una única imagen
2.-Todos los elementos del conjunto de partida son utilizados, o sea,
el conjunto de partida es el dominio.

Ej:

- Dom f = A
- Toda preimagen tiene una única imagen

-Dom f ={a} ≠ A - “a” tiene dos imágenes
NO ES FUNCION NO ES FUNCION

• Rango o Recorrido (Rec f): El conjunto de imágenes en B

Rec f = {1,2}

Obs: Toda función es relación, pero NO toda relación es función

• Clasificación de funciones:
-Función Inyectiva (1 a 1): Cada imagen en B tiene una única preimagen
en A

-Función Epiyectiva (sobreyectiva): El recorrido de la función es el
conjunto de llegada

-Función Biyectiva: Función que es inyectiva y epiyectiva a la vez

-Función Inversa: Una función f posee función inversa f-1 si y sólo si la
función es biyectiva
Ej: Sea f : » → » ; f ( x) = x + 2 esta función es inyectiva y epiyectiva => f es
biyectiva, entonces la f-1 es:
f ( x) = x + 2
y = x+2
y − 2 = x (cambio variables)
x − 2 = y −1
x − 2 = f −1 ( x )

-Función Compuesta:
Ej: Sea f ( x) = x 2 y g ( x) = x + 2 entonces la función compuesta puede ser:

( g o f ) ( x) ≠ ( f o g ) ( x)

Tipos de funciones de variable real:

• Función Lineal:
-forma general: ax + by + c = 0

-forma principal: y = mx + n m: pendiente
n: coeficiente de posición (indica el
punto donde corta al eje y)

-Análisis de la pendiente y el coeficiente de posición:
*Si m < 0 , entonces la función es decreciente:

*Si m = 0 , entonces la función es constante, f(x)= cte.:

*Si m > 0 , entonces la función es creciente:

Obs: La función lineal con dos puntos o también con un punto y una
pendiente
∆y 4 − (−1) 5
Con dos puntos: Sea (3,4) y (2,-1), entonces m = = = =5
∆x 3−2 1
Luego elijo cualquiera de los dos puntos, por ejemplo (3,4):
y = mx + n
4 = 5 · 3+ n
4 = 15 + n
⇒ y = 5 x − 11
4 − 15 = n
−11 = n
Con un punto y la pendiente:
Sea (2,-1) y pendiente 5, tomamos la forma de la función lineal: y = mx + n
Luego reemplazamos el punto y la pendiente en la función lineal:
−1 = 5 · 2 + n
−1 = 10 + n
−1 − 10 = n
−11 = n ⇒ y = 5 x − 11

• Función Cuadrática: Es de la forma: f ( x) = ax 2 + bx + c Siempre
es una parábola.
-Concavidad: El signo del coeficiente “a” indica la parabola va hacia arriba o
hacia abajo

-Vértice de la parábola: Las coordenadas del vértice son:

 −b  −b    −b 4ac − b 
2
V = , f   =  , 
 2a  2a    2a 4a 

-Intersección con el eje x y el eje de simetría:

En estos dos puntos x1 y x2 , la función f ( x) = 0
Cuando ocurre esto, se llama ecuación de 2º Grado, y
esta ecuación tiene dos soluciones x1 y x2
f ( x ) = ax 2 + bx + c
0 = ax 2 + bx + c

−b ± b 2 − 4ac −b − b 2 − 4ac −b + b 2 − 4ac
x= ⇒ x1 = ; x2 =
2a 2a 2a
A estas soluciones se les llama raices

-Discrimante: ∆ = b 2 − 4ac
*Cuando el discrimante es positivo, ∆ > 0 :

*Cuando el discrimante es cero, ∆ = 0 :

*Cuando el discrimante es negativo, ∆ < 0 :

-Tipos de soluciones de una Ecuación de 2º Grado:
a) Si ∆ = 0 , 2 soluciones reales iguales (x1 = x2 )
b) Si ∆ > 0 , 2 soluciones reales distintas (x1 y x2 ∈ », con x1 ≠ x2 )
c) Si ∆ < 0 , 2 soluciones complejas distintas (x1 y x2 ∈ », con x1 ≠ x2 )

-Propiedades de las raices:
−b
a) x1 + x2 =
a
c
b) x1 i x2 =
a
b 2 − 4ac
c) x1 − x2 = ±
a

• Función Parte Entera: Es de la forma f (x) = [ x ]

Sea f (x) = [ x ] , función parte entera, consiste en que el valor que toma la variable
independiente x es el entero menor entre los cuales esta comprendido

Ej:
[ 2, 9] = 2 ya que 2 ≤ 2, 9 < 3
 −7  −7
 2  = −4 ya que ⇒ 2 = −3,5 ⇒ −4 ≤ −3,5 < −3
 
 2  = 1 ya que 2 = 1, 4142... ⇒ 1 ≤ 1, 4142... < 2
 

• Función Valor Absoluto: f ( x) = x
x si x ≥ 0
f ( x) = x = 
− x si x < 0
Ej:
−25 = 25
64 = 64
−5, 2 = 5, 2
-Propiedades:
a) Si x ≤ a entonces − a ≤ x ≤ a; con a ≥ 0
b) Si x ≤ a entonces − a ≥ x ó x ≥ a
c) xy = x i y
d) x + y ≤ x + y (Desigualdad triangular)

Domf : » + ∪ {0}
• Función Raiz Cuadrada: Es de la forma f ( x) = x
Re cf : » + ∪ {0}

• Función Exponencial: Se define como f ( x) = a x Si a > 0 y a ≠ 1, x ∈ »
-Si a > 1 , f(x) es creciente en todo »

-Si 0 < a < 1 , f(x) es decreciente en todo »

• Función Logarítmica: Se define como f ( x ) = log a x Si x = a y . Es la
inversa de la exponencial

-Si a > 1 , f ( x) = log a x es creciente para x > 0:

-Si 0 < a < 1 , f ( x) = log a x es decreciente para x > 0:

-Logaritmos:
, n es el logaritmo de b de base a
Def: n = log a b ⇔ a n = b
con b > 0, a > 0 y a ≠ 1

Propiedades Ejemplos
log a a = 1
log a 1 = 0
log a ( b · c ) = log a b + log a c log8 2 + log 8 4 = log 8 ( 2 · 4 ) = log 8 8 = 1

b  7  1
log 3 7 − log 3 21 = log 3   = log 3   = log 3 1 − log 3 3
log a   = log a b − log a c  21  3
c = 0 −1
= −1
log a ( b n ) = n ·log a b log 5 125 = log 5 ( 25 · 5 ) = log 5 ( 53 ) = 3 ·log 5 5 = 3·1 = 3

1
1 1 1
log a n
b = ·log a b log 27 3 = log 27 ( 3 ) = log ( 27 ) = log
3 3
27
3
27 27 3 = log 27 27 =
3 3
n
log c b log 3 9 log 3 32 2·log 3 3 2
log a b = log 27 9 = = = =
log c a log 3 27 log 3 33 3·log 3 3 3

1 1 2
log 27 9 = log 33 32 = 2·log 33 3 = 2· ·log 3 3 =
log a n b = ·log a b 3 3
n
1) log a x · log a y ≠ log a x + log a y
log e x = ln x = lx
Obs: log a A log10 x = log x
2) ≠ log a A − log a B e = 2, 718281828...
log a B

-Ecuaciones Exponenciales:
-bases iguales: -bases distintas:
3x = 27 3x = 13 /log
3x = 33 log 3x = log13
x=3 x ·log 3 = log13
log13
x=
log 3

-Ecuaciones logarítmicas:
Ej: 2
2 log ( 3 x ) = log ⇒ 9 log ( 3 x ) = log 9
⇒ log 9 x 2 = log 9 ⇒ 9 x 2 = 9·1 ⇒ x 2 = 1
⇒ x 2 − 1 = 0 ⇒ ( x − 1)( x + 1) = 0
x =1 y x = −1 (-1 no se considera ya que, log a b con b > 0 y a > 0, a ≠ 1)

Probabilidades
• Elementos de la Combinatoria:

-Factorial de un número: n ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7... · n ∀n ∈ »
Ej; 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720 Obs: 0! = 1! = 1

-Permutaciones simples de “n” elementos:
Pn = n !
Ej.: ¿De cuántas formas distintas se puede ordenar las letras de la
palabra DISCO? P5 = 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120 formas distintas

-Permutación con repetición:
n! donde a, b, c,.., r son el número
Prn = de veces en que se repiten algunos
a ! · b ! · c ! ·...· r !
números

Ej.: ¿De cuántas formas distintas se puede ordenar las letras de la
palabra ORNITORRINCO?
En este caso, se repite la "O" 3 veces, "R" 3 veces,"N" 2 veces y la "I" 2 veces, entonces
12 12! 12·11·10·9· 8 ·7· 6 ·5·4· 3 ·2·1
P3,3,2,2 = = = 12·11·10·9·7·5·4·2·1 = 3326400 formas distintas
3! · 3! · 2! · 2! 3·2·1· 3 · 2·1·2·1·2·1

-Variación sin repetición:
Corresponde al número de grupos con "k" elementos
n!
Vkn = que se pueden formar con los "n" elementos que
( n − k )! tenemos, k ≤ n y además, influye el orden de
los elementos y no se puden repetir

Ej: En una carrera de autos participan 50 autos.¿De cuántas formas
distintas se puede repartir los 3 primeros lugares?
En este caso, importa el orden y es sin repetición ya que el 1º lugar no puede ser el 2º lugar
n = 50, k = 3 entonces:
n! 50! 50! 50·49·48· 47!
Vkn = = = = = 117600
( n − k )! ( 50 − 3)! 47! 47!

- Variación con repetición:
Corresponde al número de grupos con "k" elementos
V(n ,k ) = n k
k
que se pueden formar con los "n" elementos que
tenemos, k ≤ n y además, influye el orden de
los elementos y se pueden repetir

Ej:¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con los 9 primeros
números naturales?
3+5
Me = = 4 V(4,4) = 94 = 6561
9

2

-Combinación Simple:

n n! Es el número de grupos de "k" elementos
Ckn =   = de un total de "n", sin repetición
 k  k !( n − k ) !
y no importa el orden

Ej:¿Cuántos grupos de 4 alumnos se puede formar con los 25 alumnos de
un curso?
En este caso, los alumnos no se pueden repetir y no importa en que orden esten, entonces
n = 25; k = 4
2 11
 25 
25 25! 25! 25· 6 24 ·23· 22 · 21!
C = =
4 = = = 12650
 4  4!( 25 − 4 ) ! 4!·21! 4 · 3 · 2 ·1· 21!

-Combinación con repetición:

 n + k − 1 ( n + k − 1) !
C(nk ,k ) =  = Se considera la repetición
 k  k !( n − 1) ! de los elementos

Ej: En una pastelería hay 8 tipos de diferentes pasteles.¿De cuántas
formas puedo elegir 4 de ellos?
En este caso, no importa el orden en que eliga y puedo repetir los pasteles que elija, entonces
n = 8; k = 4
8  8 + 4 − 1 ( 8 + 4 − 1) ! 11! 11·10·9·8· 7!
C(4,4) =  = = = = 11·10·3 = 330
 4  4!( 8 − 1) ! 4!·7! 4·3·2·1· 7!

• Probabilidades:

-Espacio Muestral (E): Es el conjunto formado por todos los resultados
posibles del experimento aleatorio.
Ej:
El lanzamiento de una moneda puede entregar las siguientes posibilidades:
1 moneda = 2 posibilidades
2 moneda = 2·2 = 4 posibilidades
3 moneda = 2·2·2 = 8 posibilidades

n moneda = 2·2…·2 = 2n posibilidades
n veces

-Evento o Suceso: Corresponde a un subconjunto de un espacio muestral

-Probabilidad Clásica:
casos favorables de ocurrir el evento A
P( A) =
casos posibles (E)
Ej: Al lanzar 2 dados, ¿cuál es la probabilidad de que salga dos pares?
En este caso:
Casos posibles = 6 2 = 36 1 2 3 4 5 6
Casos favorables = 9 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
9 1
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
P( A) = = 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
36 4
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

-Operaciones con sucesos:
Unión: Cuando ocurre el suceso A ó B
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) sucesos mutuamente excluyentes o independientes

PROBABILIDAD TOTAL
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) sucesos NO mutuamente excluyentes

Intersección: Cuando ocurre el suceso A y B
P ( A ∩ B ) = P ( A)·P ( B ) sucesos independientes

Suceso Contrario: El suceso A se conoce como suceso contrario de A,
es decir, que el suceso A NO ocurra.

P ( A ) = 1 − P ( A)

-Propiedades de las probabilidades:

P(E) =1 (certeza absoluta), E: espacio muestral

P (∅ ) = 0 (suceso imposible), ∅: conjunto vacio

0 ≤ P ( A) ≤ 1

-Probabilidad Condicionada: La probabilidad de que ocurra B dado que ha
sucedido A
P( A ∩ B)
P ( B / A) =
P ( A)

Estadística Descriptiva
• Muestra: Subconjunto de la población que se desea observar
• Formas de organizar los datos recogidos de una muestra:

-Datos no agrupados:
Ej: Notas de alumnos en la prueba de Matemática

3,0 6,5 7,0 4,5 3,5
6,0 5,5 6,0 6,5 3,5
4,0 7,0 3,0 5,5 6,0
7,0 2,5 7,0 4,0 6,5

-Datos agrupados: ejemplo anterior, se ordenan los datos de menor a
mayor (frecuencia es el número de veces en que se repite el dato)

Notas Frecuencia
(Xi) (fi)
2,5 1
3,0 2 Xi: los distintos valores de la variable
3,5 2
4,0 2 fi: el número de veces que se repite cada valor
4,5 1
5,5 2
6,0 3
6,5 3
7,0 4

También se puede agregar la frecuencia acumulada (F), la frecuencia
relativa (h) y la frecuencia relativa acumulada (H).

Notas Frecuencias Absolutas Frecuencias Relativas
(Xi) Simple (fi) Acumulada (Fi) Simple (hi) Acumulada (Hi)
2,5 1 1 5% 5%
3,0 2 3 10% 15%
3,5 2 5 10% 25%
4,0 2 7 10% 35%
4,5 1 8 5% 40%
5,5 2 10 10% 50%
6,0 3 13 15% 65%
6,5 3 16 15% 80%
7,0 4 20 20% 100%
n = 20 Esta es la tabla de frecuencias

Donde:
Xi: los distintos valores de la variable
fi: el número de veces que se repite cada valor
Fi: la frecuencia de cada valor, sumada con las frecuencias anteriores
hi: porcentaje de la repetición de cada valor con el total de datos
Hi: porcentaje de la repetición de cada valor con el total de datos,
sumada con las anteriores
n: total de observaciones

-Tabla de Intervalos:
ej: Agrupar las siguientes estaturas usando 6 intervalos de igual
amplitud
160 168 175 183 170 164 170 184 171 168 187
161 183 175 185 186 187 164 165 175 162 188
169 163 166 172 173 167 174 176 178 179 177

Resp:
Xi fi n = 33
160-165 6
165-170 6
170-175 6
175-180 7
180-185 3
185-190 5

• Medidas de Tendencia Central:
-Media Aritmética ( X ) : Es el promedio entre los datos
n n

∑ Xi
i =1
∑( X · f )
i =1
i i
X= X=
n n
Datos no agrupados Datos en tabla de frecuencias

Ej: Calcule la media aritmética
Datos no agrupados
30 65 70 45 35
60 55 60 65 35
40 70 30 55 60
70 25 70 40 65
n

∑X
i =1
i
30 + 60 + 40 + 70 + 65 + 55 + 70 + 25 + 70 + 60 + 30 + 70 + 45 + 65 + 55 + 40 + 35 + 35 + 60 + 65
X= =
n 20
1045
= 52, 25
20

Ej: Calcule la media aritmética
Datos agrupados
Notas Frecuencia Xi·fi
(Xi) (fi)
25 1 25
30 2 60
35 2 70
40 2 80
45 1 45
55 2 110
60 3 180
65 3 195
70 4 280

n

∑( X · f )
i =1
i i
25 + 60 + 70 + 80 + 45 + 110 + 180 + 195 + 280 1045
X= = = = 52, 25
n 20 20

-Mediana ( Me ) :Es el valor central de los datos, una vez que se hayan
ordenados
Ej: Calcular la Mediana:
Xi: 5,5,3,7,2
En este caso, se debe ordenar los datos y además n = 5 impar,
entonces la mediana es el término central

Xi: 2,3,5,5,7

Ahora: Xi: 1,1,1,2,2,2,3,3,5,5,5,6,6,7,8,9 (datos ordenados y n es par)

-Moda ( Mo ) :Es el valor más frecuente, o que más se repite
Ej:
X i = 10,10,11,12,12,12,12,16 La moda es 12
2 1 4 1

Notas Frecuencia
(Xi) (fi) La moda es 7,0 (el dato con mayor frecuencia)
2,5 1
3,0 2
3,5 2
4,0 2
4,5 1
5,5 2
6,0 3
6,5 3
7,0 4

• Medidas de Dispersión:
Dan una idea del alejamiento de los datos respecto a las medidas centrales
n

-Varianza (σ 2
): ∑(X i − X )2
σ2 = i =1

n

-Desviación típica o n n
Desviación Estándar (σ ) : ∑(X
i =1
i − X) 2
∑ f ·( X
i i − X )2
σ= σ= i =1
n n

Ejemplo: Sean los datos: 6, 5, 4, 6, 6 y 3

a) Calcule la varianza:
6+5+4+6+6+3 30
En este caso, necesitamos la media aritmética ( X ) : = =5
6 6
n

2
∑(X
i =1
i − X )2
( 6 − 5)
2 2 2 2 2
+ ( 5 − 5 ) + ( 4 − 5) + ( 6 − 5) + ( 6 − 5) + ( 3 − 5 )
2
8 4
σ = = = =
n 6 6 3
4
σ2 =
3

b) Calcule la desviación estándar:
Como:
4
σ2 = /
3
4
σ=
3

Recuerda:

σ pequeña σ grande

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