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Apéndice B
Cálculo de derivadas
Versión: 9 de septiembre de 2016
B.1 Derivadas de las funciones elementales
La derivada de las funciones elementales se calcula recurriendo directamente a la definición, como en los si-
guientes ejemplos, aunque en algunos casos los límites indeterminados que aparecen pueden ser complicados de
calcular.
Ejemplo B.1
Derivada de una función constante f(x) = k
f0
(x) = lı́m
x!0
f(x + h) f(x)
h
= lı́m
h!0
k k
h
= lı́m
h!0
0
h
= lı́m
h!0
0 = 0
Ejemplo B.2
Derivada de f(x) = x2
f0
(x) = lı́m
h!0
(x + h)2
x2
h
= lı́m
h!0
x2
+ 2xh + h2
x2
h
= lı́m
h!0
2xh + h2
h
= lı́m
h!0
(2x + h) = 2x
Ejemplo B.3
Derivada de f(x) =
p
x
f0
(x) = lı́m
h!0
p
x + h
p
x
h
= lı́m
h!0
p
x + h
p
x
p
x + h +
p
x
h
p
x + h +
p
x
= lı́m
h!0
(x + h) x
h
p
x + h +
p
x
=
= lı́m
h!0
h
h
p
x + h +
p
x
= lı́m
h!0
1
p
x + h +
p
x
=
1
p
x +
p
x
=
1
2
p
x
B.2 Álgebra de derivadas
Conocidas las derivadas de las funciones elementales, un conjunto de propiedades conocidas como álgebra
de derivadas, permiten calcular la derivada de otras funciones construidas combinando aquellas mediante
operaciones aritméticas y composición de funciones.
229

B. Cálculo de derivadas 230
ÁLGEBRA DE DERIVADAS
f(x) = g(x) ± h(x) f0
(x) = g0
(x) ± h0
(x)
f(x) = g(x) · h(x) f0
(x) = g0
(x) · h(x) + g(x) · h0
(x)
f(x) =
g(x)
h(x)
f0
(x) =
g0
(x) · h(x) g(x) · h0
(x)
h(x)2
, si h(x) 6= 0.
f(x) = g(h(x)) f0
(x) = g0
(h(x)) · h0
(x) (Regla de la CADENA)
TABLA DE DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES
Funciones elementales Funciones compuestas (usando la Regla de la Cadena)
f(x) = a f0
(x) = 0
f(x) = x f0
(x) = 1
f(x) = a x f0
(x) = a f(x) = a g(x) f0
(x) = a g0
(x)
f(x) = a x + b f0
(x) = a f(x) = a g(x) + b f0
(x) = a g0
(x)
f(x) = x2
f0
(x) = 2x f(x) = g(x)2
f0
(x) = 2 g(x) g0
(x)
f(x) =
p
x f0
(x) =
1
2
p
x
f(x) =
p
g(x) f0
(x) =
1
2
p
g(x)
g0
(x)
f(x) = xn
(n 6= 0) f0
(x) = n xn 1
f(x) = g(x)n
f0
(x) = n g(x)n 1
g0
(x)
f(x) = ex
f0
(x) = ex
f(x) = eg(x)
f0
(x) = eg(x)
g0
(x)
f(x) = ax
(a > 0) f0
(x) = ax
ln(a) f(x) = ag(x)
f0
(x) = ag(x)
ln(a)g0
(x)
f(x) = ln(x) f0
(x) =
1
x
f(x) = ln(g(x)) f0
(x) =
1
g(x)
g0
(x)
f(x) = logb(x) f0
(x) =
1
x ln(b)
f(x) = logb(g(x)) f0
(x) =
1
g(x) ln(b)
g0
(x)
f(x) = sen(x) f0
(x) = cos(x) f(x) = sen(g(x)) f0
(x) = cos(g(x)) g0
(x)
f(x) = cos(x) f0
(x) = sen(x) f(x) = cos(g(x)) f0
(x) = sen(g(x))g0
(x)
f(x) = tan(x) f0
(x) =
1
cos2(x)
f(x) = tan(g(x)) f0
(x) =
1
cos2(g(x))
g0
(x)
f(x) = arc sen(x) f0
(x) =
1
p
1 x2
f(x) = arc sen(g(x)) f0
(x) =
1
p
1 g(x)2
g0
(x)
f(x) = arc cos(x) f0
(x) =
1
p
1 x2
f(x) = arc cos(g(x)) f0
(x) =
1
p
1 g(x)2
g0
(x)
f(x) = arctan(x) f0
(x) =
1
1 + x2
f(x) = arctan(g(x)) f0
(x) =
1
1 + g(x)2
g0
(x)
Matemáticas Aplicadas a la Biología - Grado en Biología R. Echevarría - Dpto. EDAN - Univ. de Sevilla

B.3 Ejemplos de cálculo de derivadas
Ejemplo B.4
Derivada de f(x) = (5x3
+ 2)4
Aplicando la fórmula de derivación de la potencia de una función, g(x)n
, se tiene
f0
(x) = 4 (5x3
+ 2)3
· (5 · 3 · x2
) = 60 (5x3
+ 2)3
x2
Ejemplo B.5
Derivada de f(x) =
p
7 x3
Aplicando la fórmula de derivación de la raíz cuadrada de una función,
p
g(x), se tiene
f0
(x) =
1
2
p
7 x3
· ( 3x2
) =
3x2
2
p
7 x3
Ejemplo B.6
Derivada de f(x) = e3x2
Hay que aplicar la derivada de la exponencial de una función, eg(x)
,
f0
(x) = e3x2
(3 · 2 · x) = 6 x e3x2
Ejemplo B.7
Derivada de f(x) =
x3
1
x2 + 2
Aplicando la fórmula de derivación de un cociente:
f0
(x) =
3x2
(x2
+ 2) (x3
1)2x
(x2 + 2)2
=
(3x4
+ 6x2
) (2x4
2x)
(x2 + 2)2
=
x4
+ 6x2
+ 2x
(x2 + 2)2
Ejemplo B.8
Derivada de f(x) = sen
✓
x + 4
x 1
◆
Hay que aplicar en primer lugar la fórmula de derivación del seno de una función, sen(g(x)), y después la de
la derivada de un cociente:
f0
(x) = cos
✓
x + 4
x 1
◆ ✓
(x 1) (x + 4)
(x 1)2
◆
=
5
(x 1)2
cos
✓
x + 4
x 1
◆
Ejemplo B.9
Derivada de f(x) = x
p
x2 3
Hay que aplicar la derivada de un producto y la derivada de la raíz cuadrada de una función:
f0
(x) =
p
x2 3 + x
1
2
p
x2 3
(2x) =
p
x2 3 +
x2
p
x2 3
(x2 3)
=
p
x2 3
✓
1 +
x2
x2 3
◆

Ejemplo B.10
Derivada de f(x) = 3
p
ln(x2 + 1)
Hay que escribir la raíz como una potencia de exponente fraccionario, f(x) = ln(x2
+ 1)
1/3
, y aplicar la
fórmula de derivación de g(x)n
y luego la del logaritmo:
f0
(x) =
1
3
ln(x2
+ 1)
2/3 1
x2 + 1
(2x) =
2x
3(x2 + 1) 3
q
ln2
(x2 + 1)
Ejemplo B.11
Derivada de f(x) =
ln x
p
x
Hay que aplicar la regla de derivación de un cociente de dos funciones:
f0
(x) =
1
x
p
x
1
2
p
x
ln x
x
=
1
p
x
1
2
p
x
ln x
x
=
2 ln x
2
p
x
x
=
2 ln x
2x
p
x
Ejemplo B.12
Derivada de f(x) = arc tg(
p
x2 + 1)
f0
(x) =
1
1 +
p
x2 + 1
2
1
2
(x2
+ 1) 1/2
2x =
1
x2 + 2
x
p
x2 + 1
Ejemplo B.13
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación y = x2
+ 3x 1 en el punto x = 2.
La ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto x = a viene dada por
y = f(a) + f0
(a)(x a)
En este caso, f(x) = x2
+ 3x 1 y su derivada es f0
(x) = 2x + 3
Sus valores en x = 2 son f(2) = 4 + 6 1 = 9 y f0
(2) = 4 + 3 = 7
Luego la ecuación de la tangente es:
y = 9 + 7(x 2)

Ejemplo B.14
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación y = ln(x2
+ 3) en el punto x = 1.
y = f(a) + f0
(a)(x a)
En este caso, f(x) = ln(x2
+ 3) y su derivada es f0
(x) =
2x
x2 + 3
Sus valores en x = 1 son f(1) = ln(1 + 3) = ln(4) y f0
(1) =
2
1 + 3
=
2
4
=
1
2
y = ln(4) +
1
2
(x 1)
Ejemplo B.15
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación y = arc tg
1
x
en el punto x = 1.
y = f(a) + f0
(a)(x a)
En este caso, f(x) = arc tg
1
x
y su derivada es
f0
(x) =
1
1 +
✓
1
x
◆2 ·
✓
1
x2
◆
=
1
✓
1 +
1
x2
◆
x2
=
1
x2 + 1
Sus valores en x = 1 son f(1) = arc tg 1 =
⇡
4
⇡ 0.7854 y f0
(1) =
1
1 + 1
=
1
2
y =
⇡
4
1
2
(x 1)
B.4 Derivada de la función inversa
Para calcular la derivada de la función inversa, se usa la regla de la cadena: Observamos que f y su inversa f 1
(caso de existir), vienen relacionadas por
f f 1
(x) = x, 8x 2 Dominio(f 1
)
Derivando en los dos miembros de esta igualdad y utilizando la Regla de la Cadena para derivar el primer
miembro se tiene
f0
f 1
(x) · f 1 0
(x) = 1, 8x 2 Dominio(f 1
)
y por lo tanto
f 1 0
(x) =
1
f0 f 1(x)
8x 2 Dominio(f 1
)

Ejemplo B.16
Calcular la derivada de la función f(x) = ln(x) utilizando la derivada de la función inversa.
Derivando en la identidad eln(x)
= x se tiene
eln(x)
·
d
dx
ln(x) = 1 ,
d
dx
ln(x) =
1
eln(x)
=
1
x
como es bien sabido.
Ejemplo B.17
Calcular la derivada de la función f(x) = arc sen(x) utilizando la derivada de la función inversa.
Derivando en la identidad sen(arc sen(x)) = x se tiene cos(arc sen(x)) ·
d
dx
arc sen(x) = 1 de donde,
despejando,
d
dx
arc sen(x) =
1
cos(arc sen(x))
=
1
p
1 sen2(arc sen(x))
=
1
p
1 x2
.
B.5 Derivada logarítmica
En ocasiones, resulta cómodo derivar el logaritmo de una función para calcular su derivada. Según la regla de
la cadena, si f es derivable en x y f(x) > 0,
d
dx
ln(f(x)) =
f0
(x)
f(x)
.
y de aquí se puede despejar f0
(x).
Ejemplo B.18
Utilizar la derivación logarítmica para calcular la derivada de la función f(x) = ax
.
Tomando logaritmos en ambos miembros se tiene
ln f(x) = ln ax
= x ln(a)
y derivando ahora:
f0
(x)
f(x)
= ln(a) ) f0
(x) = ln(a) f(x) = ln(a) ax
Ejemplo B.19
Utilizando la derivación logarítmica, deducir la fórmula de la derivada de un producto de dos
funciones.
Sea h(x) = f(x) · g(x). Tomando logaritmos se tiene ln h(x) = ln f(x) + ln g(x).
Derivando en ambos miembros:
h0
(x)
h(x)
=
f0
(x)
f(x)
+
g0
(x)
g(x)
,
de donde, depejando ahora h0
(x):
h0
(x) =
⇣f0
(x)
f(x)
+
g0
(x)
g(x)
⌘
h(x) =
⇣f0
(x)
f(x)
+
g0
(x)
g(x)
⌘
f(x)g(x) =
⇣f0
(x)
f(x)
+
g0
(x)
g(x)
⌘
f(x)g(x) = f0
(x)g(x)+f(x)g0
(x)

Ejemplo B.20
Calcular la derivada de la función f(x) = sen(x)
cos(x)
.
Tomando logaritmos en ambos miembros se tiene
ln f(x) = ln
⇣
sen(x)
cos(x)
⌘
= cos(x) ln sen(x)
y derivando ahora:
f0
(x)
f(x)
= sen(x) ln sen(x) + cos(x)
cos(x)
sen(x)
= sen(x) ln sen(x) +
cos2
(x)
sen(x)
de donde
f0
(x) =
⇣
sen(x) ln sen(x) +
cos2
(x)
sen(x)
⌘
sen(x)
cos(x)
Ejemplo B.21
Calcular la derivada de la función f(x) = x2
+ 1
2x 3
.
Tomando logaritmos en ambos miembros se tiene ln f(x) = (2x 3) ln(x2
+ 1) y derivando ahora:
f0
(x)
f(x)
= 2 ln(x2
+ 1) + (2x 3)
2x
x2 + 1
de donde
f0
(x) =
⇣
2 ln(x2
+ 1) +
2x(2x 3)
x2 + 1
⌘
f(x) =
⇣
2 ln(x2
+ 1) +
2x(2x 3)
x2 + 1
⌘
x2
+ 1
2x 3
B.6 Derivación implícita
En ocasiones la relación entre dos variables no viene expresada explícitamente, es decir, con una de ellas
“despejada”, como en y = x ln(x2
+ 1), sino que viene dada mediante una relación entre ambas (una ecuación),
como en x2
y + y3
= 1. Se dice en estos casos que y viene implícitamente definida por dicha ecuación.
Sin embargo, es posible, utilizando la Regla de la Cadena, derivar con respecto de x directamente en la ecuación.
Para ello se deriva con respecto de x en ambos miembros de la ecuación, teniendo en cuenta que y es una función
de x: y = y(x).
Por ejemplo, en la ecuación anterior x2
y + y3
= 1 se tendría
x2
y + y3
= 1 )
d
dx
x2
y + y3
=
d
dx
1 = 0
,
d
dx
x2
y +
d
dx
y3
= 2xy + x2
y0
+ 3y2
y0
= 0
Agrupando los términos que contienen y0
y despejando se tiene:
2xy + x2
y0
+ 3y2
y0
= 2xy + x2
+ 3y2
y0
= 0 , y0
=
2xy
x2 + 3y2
Es decir: en un punto (x, y) que verifique la ecuación x2
y + y3
= 1, la derivada de y con respecto de x es
y0
=
2xy
x2 + 3y2
.

Ejemplo B.22
Derivar implícitamente en el ecuación x ln(y2
+ 1) + y = 1 y despejar la derivada de y con
respecto de x.
x ln(y2
+ 1) + y = 1 )
d
dx
⇣
x ln(y2
+ 1) + y
⌘
=
d
dx
⇣
x ln(y2
+ 1)
⌘
+
d
dx
⇣
y
⌘
= 0
, ln(y2
+ 1) + x ·
d
dx
⇣
ln(y2
+ 1)
⌘
+
d
dx
y = ln(y2
+ 1) + x
⇣ 2yy0
y2 + 1
⌘
+ y0
= 0
, ln(y2
+ 1) +
⇣ 2xy
y2 + 1
+ 1
⌘
y0
= ln(y2
+ 1) +
⇣2xy + y2
+ 1
y2 + 1
⌘
y0
= 0
, y0
=
ln(y2
+ 1)
2xy + y2
+ 1
y2 + 1
=
(y2
+ 1) ln(y2
+ 1)
2xy + y2 + 1

Ejemplo B.23
Los puntos del plano que verifican la ecuación x2
y + xy2
= 3 forman una curva con varias
ramas. El punto (1, 1.3028) pertenece a una de ellas. Calcular la ecuación de la recta tangente a
la curva en dicho punto.
-7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10
-5
-2,5
2,5
5
7,5
(1,1.3028)
Calculamos, implítamente, la derivada de y con respecto de x:
x2
y + xy2
= 3 ) 2xy + x2
y0
+ y2
+ x · 2yy0
= 0 , (2xy + y2
) + (x2
+ 2xy)y0
= 0 , y0
=
(2xy + y2
)
2xy + x2
Sustituyendo ahora (x, y) = (1, 1.3028) obtendremos la derivada de y con respecto a x en dicho punto, es decir,
la pendiente de la recta tangente en dicho punto:
y0
=
(2xy + y2
)
2xy + x2 x=1,y=1.3028
=
(2 ⇥ 1.3028 + (1.3028)2
)
2 ⇥ 1.3028 + 1
⇡ 1.1934
Escribimos ahora la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 1.3028) con pendiente p = 1.1934:
y = 1.3028 1.1934(x 1) = 1.1934x + 2.4962
B.7 Ejercicios
Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
1. f(x) =
p
3 x2
2. f(x) = ln(x2
x + 1)
3. f(x) = cos
⇣x
2
⌘
sen(x)
4. f(x) =
r
1 x
x
5. f(x) = e x2
+3

6. f(x) = sen2
✓
x + 2
x + 1
◆
7. f(x) = sen(1 x) cos3
(x)
8. f(x) =
p
cos3(x2)
9. f(x) =
p
1 cos(x3)
10. f(x) = 3
p
sen2(5x)
11. f(x) = esen(x2
)
12. f(x) =
ex
1 ex
13. f(x) = e
1+x
1 x
14. f(x) = etg(x2
)
15. f(x) = e
p
1 x2
16. f(x) = 2x3
3x2
17. f(x) = 5x
x5
18. f(x) = 2x
(x2
+ x)
19. f(x) = 3
p
1 x
20. f(x) = cos 2x+1

Soluciones de los ejercicios
1. f0
(x) =
x
p
3 x2
2. f0
(x) =
2x 1
x2 x + 1
3. f0
(x) =
1
2
sen
x
2
sen x + cos
x
2
cos x
4. f0
(x) =
1
2x2
r
x
1 x
5. f0
(x) = 2x e x2
+3
6. f0
(x) =
2
(x + 1)2
sen
✓
x + 2
x + 1
◆
cos
✓
x + 2
x + 1
◆
7. f0
(x) = cos(1 x) cos3
(x) 3 sen(1 x) sen(x) cos2
(x)
8. f0
(x) =
3x cos(x2
) sen(x2
)
p
cos(x2)
9. f0
(x) =
3x2
sen(x3
)
2
p
1 cos(x3)
10. f0
(x) =
10
3
cos(5x)
3
p
sen(5x)
11. f0
(x) = 2x cos(x2
)esen(x2
)
12. f0
(x) =
ex
(1 ex)2
13. f0
(x) =
2
(1 x)2
e
1+x
1 x
14. f0
(x) = 2x
1
cos2(x2)
etg(x2
)
15. f0
(x) =
x
p
1 x2
e
p
1 x2
16. f0
(x) = ln(2) (3x2
6x) 2x3
3x2
17. f0
(x) = 5x
x4
(x ln(5) + 5)
18. f0
(x) = 2x
(x2
+ x) ln(2) + 2x + 1
19. f0
(x) =
ln(3) 3
p
1 x
2
p
1 x
20. f0
(x) = ln(2) 2x+1
sen 2x+1

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