Formulario3
- 1. Michael Barot Formulario matem´atico Grupo 220-A 8 S´ımbolos El alfabeto griego A α alfa B β beta Γ γ gamma ∆ δ delta E ε ´epsilon Z ζ dseta H η eta Θ θ,ϑ theta I ι iota K κ kappa Λ λ lambda M µ mi N ν ni Ξ ξ xi O o ´omicron Π π pi P ρ rho Σ σ sigma T τ tau Y υ ´ıpsilon Φ ϕ phi X χ chi Ψ ψ psi Ω ω omega Comparaciones = igual = desigual ≈ m´as o menos igual ∼ equivalente (o semejante) < menor que > mayor que ≤ menor o igual que ≥ mayor o igual que Operaciones + sumar − restar ·, ×, ∗ multiplicar ÷, / dividir ∧ potenciar√ radicar Σ sumar varios sumandos: n i=1 ai = a1 + a2 + . . . + an Π multiplicar varios factores: n i=1 ai = a1 · a2 · . . . · an Conjuntos de n´umeros N los n´umeros naturales Z los n´umeros enteros Q los n´umeros racionales R los n´umeros reales C los n´umeros complejos L´ogica ⇒ eso implica ⇔ es equivalente a ∨ o ∧ y
- 2. 2 Algebra Orden de evaluaci´on expresiones en par´antesis −→ potencias y ra´ıces −→ multiplicaci´on y divisi´on −→ adici´on y subtracci´on Leyes generales para n´umeros, variables y expresiones Asociatividad. a + (b + c) = (a + b) + c, a · (b · c) = (a · b) · c Conmutatividad. a + b = b + a, a · b = b · a Distributividad. a · (b + c) = a · b + a · c Binomios. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (primer binomio) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (segundo binomio) (a + b)(a − b) = a2 − b2 (tercer binomio) (a+b)n = an + n 1 an−1 b+ n 2 an−2 b2 +. . .+ n n − 1 abn−1 +bn coeficientes binomiales n k = n! k!(n−k)! donde n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n (n factorial) Ley de multiplicaci´on de signos + · + = +, + · − = −, − · + = −, − · − = + Fracciones a b + c d = ad + bc bd a b − c d = ad − bc bd a b · c d = ac bd a b ÷ c d = ad bc −a b = − a b = a −b Ecuaciones Ecuaci´on lineal. ax + b = 0. Soluci´on: x = − b a . Ecuaci´on cuadr´atica. ax2 + bx + c = 0. Discriminante D = b2 − ac • Si D > 0 entonces hay dos soluciones: x = −b ± √ D 2a • Si D = 0 hay una soluci´on: x = −b 2a • Si D < 0 no hay ninguna soluci´on. Transformaciones de equivalencia de ecuaciones y desigualdades a = b ecuaci´on dada / desigualdad dada a < b a + m = b + m Sumar cualquier expresi´on m a + m < b + m a · c = b · c Multiplicar por cualquier n´umero c = 0 a · c < b · c si c > 0 a · c > b · c si c < 0 a d = b d Dividir entre cualquier n´umero d = 0 a d < b d si d > 0 a d > b d si d < 0 1 a = 1 b Invertir si a = 0, b = 0 1 a > 1 b b = a Voltear b > a 7 C´onicas Elipse. Ecuaci´on: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a ≥ b) Distancia focal: f = 2c, c2 = a2 − b2 Focos: F1(−c, 0), F2(c, 0) Excentricidad: ε = c a satisface 0 ≤ ε < 1 xxx(ε = 0 ⇔ elipse es c´ırculo) Propiedad de distancia: |F1P| + |F2P| = 2a Semilatus rectum p = b2 a x y a b c p P F1 F2 Par´abola. Ecuaci´on: y2 = 2px xxx(p el semilatus rectum) Foco: F(p 2 , 0) Excentricidad: ε = 1 Directrix ℓ: x = −p 2 Propiedad de distancia: |FP| = |LP| x y ℓ L P p F Hip´erbola. Ecuaci´on: x2 a2 − y2 b2 = 1 (a ≥ b) Distancia focal: f = 2c, c2 = a2 + b2 Focos: F1(−c, 0), F2(c, 0) Excentricidad: ε = c a satisface ε > 1 Propiedad de distancia: |F1P|−|F2P| = ±2a Semilatus rectum p = b2 a As´ıntotas: y = ± b a x x y P p F2F1 a b c c F2 En coordenadas polares. r(α) = p 1 + ε cosα donde r(α): distancia desde el foco en direcci´on α p: semilatus rectus ε: excentricidad α x y pF r(α)
- 3. 3 Potencias Definiciones. an = a · a · . . . · a n factores , a0 = 1, a−n = 1 an , a 1 n = n √ a Leyes. am · an = am+n am · bm = (a · b)m am an = am−n am bm = a b m (am )n = am·n n √ a · b = n √ a · n √ b n a b = n √ a n √ b n m √ a = n·m √ a n √ a m = a m n = n √ am Logaritmos Definici´on. loga n = b ⇔ an = b, ln = loge, log = log10 donde e = l´ım n→∞ 1 + 1 n n = 2.71828 . . . (n´umero de Euler) Leyes. loga(u · v) = loga u + loga v loga u v = loga u − loga v loga u = logb u logb a loga(un ) = n loga u loga 1 v = − loga v Sucesiones y series Definici´on. sucesi´on: a1, a2, . . . , ak, serie: s1, s2, . . . , sn, donde sn = a1 + . . . + an = n i=1 ai Sucesi´on aritm´etica. ak = ak−1 + d (recursiva) ak = a1 + (k − 1)d (expl´ıcita) sn = n 2 (a1 + an) Sucesi´on geom´etrica. ak = q · ak−1, q = 0 (recursiva) ak = q · a1 (expl´ıcita) sn = a1 · qn −1 q−1 = a1 · 1−qn 1−q serie infinita (para |q| < 1): s = l´ım n→∞ sn = a1 · 1 1 − q Series especiales. 1 + 2 + . . . + n = n(n + 1) 2 12 +22 +. . .+n2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 13 + 23 + . . . + n3 = n2 (n + 1)2 4 6 C´alculo en el tri´angulo general. a sin α = b sin β = c sin γ (Teorema del seno) c2 = a2 + b2 − 2ab cosγ (Teorema del coseno) A B C ab c α β γ Geometr´ıa anal´ıtica Distancia y pendiente. La distancia entre dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es |P1P2| = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2. La pendiente es m = y2 − y1 x2 − x1 = tan ϕ Dos rectas g y g′ con pendientes m y m′ : g ⊥ g′ ⇔ mm′ = −1 P1 P2 x1 x2 y1 y2 x y ϕ Ecuaciones de la recta. Ecuaci´on punto-pendiente (P(x1, y1) es un punto de la recta, m es la pendiente: y − y1 = m(x − x1) Ecuaci´on est´andar (m es la pendiente, b es el valor donde la recta intersecta el eje y): y = mx + b Ecuaci´on normal (el vector n= A B es normal a la recta): Ax + By + C = 0 Ecuaci´on sim´etrica (a y b son los valores donde se intersectan los ejes): x a + y b = 1 Forma normal de Hesse (m = tan ϕ es la pendiente, h la distancia al origen): x cos α + y sin α ± h = 0 H(x, y) = Ax+By+C√ A2+B2 = 0 a b x y n h α Ecuaci´on del c´ırculo. con centro (a, b) y radio r: (x − a)2 + (y − b)2 = r2 (a, b)r
- 4. 4 Geometr´ıa Geometr´ıa sint´etica Tri´angulo rect´angulo. Pit´agoras: c2 = a2 + b2 Euclides: a2 = c · p, b2 = c · q Altura: h2 = p · q c b a h p q Teorema de Tales. La hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo es el di´ametro de la circunferencia circunscrita. Si uno de los lados de un tri´angulo es el di´ame- tro de la circunferencia circunscrita entonces el ´angulo opuesto al di´ametro es recto. Teorema del ´angulo inscrito. ε = 2α donde: c : cuerda α : ´angulo inscrito ε : ´angulo central ε α c Teoremas de cuerdas, secantes y tangentes. |PA| · |PA′ | = |PB| · |PB′ | = |PT |2 A A′ B B′ P T A A′B B′ P T Semejanza Dos tri´angulos ∆ABC y ∆A′ B′ C′ son semejan- tes si la proporci´on de lados correspondientes es la misma para los tres lados: |AB| |A′B′| = |BC| |B′C′| = |CA| |C′A′| B C A B′ C′ A′ Teorema de Tales. Si AB es paralelo a A′ B′ y S es el punto de intersecci´on de AA′ con BB′ entonces: |SA| |AA′| = |SB| |BB′| , |SA| |SA′| = |SB| |SB′| B S A B′ A′ (B) (A) 5 Trigonometr´ıa Medida de ´angulos. ´angulo cero recto llano completo grados 0◦ 90◦ 180◦ 360◦ radianes 0 π 2 π 2π Definici´on de las funciones trigonom´etricas. En el tri´angulo rect´angulo (para 0◦ ≤ α ≤ 90◦ ): sin α = cateto opuesto hipotenusa cos α = cateto adyacente hipotenusa tan α = cateto opuesto cateto adyacente α hipotenusa cateto adyacente catetoopuesto Para cualquier ´angulo α: sin α = y r , cos α = x r , tan α = y x x y α P(x, y) r Gr´aficas. −1 1 0◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦ α y y = sin α −1 1 0◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦ α y y = cos α −1 1 0◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦ α y y = tan α Simetr´ıas. sin(−α) = − sin α cos(−α) = cos α tan(−α) = − tan(α) sin(90◦ ± α) = cos α sin(180◦ ± α) = ∓ sin α sin(360 ± α) = ± sin α cos(90◦ ± α) = ∓ sin α cos(180◦ ±α) = − cos α cos(360 ± α) = cos α Identidades trigonom´etricas. sin2 α + cos2 α = 1 tan α = sin α cos α sin α + sin β = 1 2 sin α+β 2 cos α+β 2 cos α + cos β = 1 2 cos α+β 2 cos α+β 2 sin(α±β) = sin α cos β±cos α sin α cos(α±β) = cos α cos β∓sin α sin α tan(α ± β) = tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β