FÓRMULAS Y CONCEPTOS BÁSICOS PARA EL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS
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Este documento presenta los fundamentos matemáticos de exponentes, logaritmos, progresiones y ecuaciones. Explica las propiedades básicas de exponentes como las leyes de exponentes positivos, negativos y fraccionarios. También define logaritmos, progresiones aritméticas y geométricas, y cómo resolver ecuaciones lineales y cuadráticas.
![MATEMÁTICAS FINANCIERAS
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
EXPONENTES
n
El término " a " se expresa como « "a" elevado a la n-ésima potencia » , donde "a" se conoce como base y "n" es el
exponente o potencia. El exponente indica el número de veces que la base "a" se toma como factor.
Si "a" es un número real y "n" es un número entero positivo, entonces:
a n = a ∗ a ∗ a ∗ a....∗ a
144 44 2 3
"n" factores
LEYES DE LOS EXPONENTES
EXPONENTE POSITIVO: Sean "a" y "b" números reales distintos EXPONENTE CERO:
a0 = 1
de cero, y "m" y "n" números enteros positivos.
1. a m ∗ a n = a m + n 4. ( a ∗ b ) n = a n ∗ b n a −n =
1
EXPONENTE NEGATIVO:
am n an
= a m −n ⎛a⎞ an
2. 5. ⎜ ⎟ = n EXPONENTES FRACCIONARIOS:
an ⎝b⎠ b
3. (a m ) n = a m n 1. a 1 n = n a 2. a m n = (a m )1 n = n
am
LOGARITMOS
Sea "N " un número positivo y "a" un número positivo diferente de 1; entonces el logaritmos de "N " en base "a" es el expo-
nente "x" al que hay que elevar la base "a" para obtener dicho número "N ".
En la forma logarítmica: lo g a N = x En la forma exponencial: ax = N
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Sean "N " y "P " números reales positivos, "a" un número positivo diferente de 1 y "m" y "k" números reales cualesquiera:
1. log a 1 = 0 4. log a ( N ∗ P ) = log a N + log a P
2. log a a = 1 5. log a ( N P ) = log a N − log a P
log a P
3. log a ( N ) k = k log a N 6. log a
m
P =
m
PROGRESIONES
PROGRESIONES ARITMÉTICAS: Sean "a1" el primer término, "an" el término general, "d" la diferencia común y "n" el número
de términos, entonces:
Término n-ésimo de una progresión aritmética: Suma de los primeros "n" términos de una progresión aritmética:
a n = a1 + (n − 1) d Sn =
n
( a1 + a a ) ó Sn =
n
[ 2a1 + ( n − 1) d ]
2 2
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS: Sean "a1" el primer término, "an" el término general, "r" la razón común y "n" el número
de términos, entonces:
Término n-ésimo de una progresión geométrica: Suma de los primeros "n" términos de una progresión geométrica:
a n = a1 r n −1 a1 (1− r n )
Sn = si r ≠ 1 ó Sn = a1 n si r = 1
(1− r)
ECUACIONES
ECUACIÓN LINEAL (o de 1er. grado)
Raíz de una ecuación lineal de la forma: ax+b =0 → x = −b a si a ≠ 0
ECUACIÓN CUADRÁTICA (o de 2do. grado)
a x2 + b x + c = 0 − b ± b 2 − 4ac
Raíces de una ecuación cuadrática de la forma: → x=
2a
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FÓRMULAS Y CONCEPTOS BÁSICOS PARA EL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS
- 1. MATEMÁTICAS FINANCIERAS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS EXPONENTES n El término " a " se expresa como « "a" elevado a la n-ésima potencia » , donde "a" se conoce como base y "n" es el exponente o potencia. El exponente indica el número de veces que la base "a" se toma como factor. Si "a" es un número real y "n" es un número entero positivo, entonces: a n = a ∗ a ∗ a ∗ a....∗ a 144 44 2 3 "n" factores LEYES DE LOS EXPONENTES EXPONENTE POSITIVO: Sean "a" y "b" números reales distintos EXPONENTE CERO: a0 = 1 de cero, y "m" y "n" números enteros positivos. 1. a m ∗ a n = a m + n 4. ( a ∗ b ) n = a n ∗ b n a −n = 1 EXPONENTE NEGATIVO: am n an = a m −n ⎛a⎞ an 2. 5. ⎜ ⎟ = n EXPONENTES FRACCIONARIOS: an ⎝b⎠ b 3. (a m ) n = a m n 1. a 1 n = n a 2. a m n = (a m )1 n = n am LOGARITMOS Sea "N " un número positivo y "a" un número positivo diferente de 1; entonces el logaritmos de "N " en base "a" es el expo- nente "x" al que hay que elevar la base "a" para obtener dicho número "N ". En la forma logarítmica: lo g a N = x En la forma exponencial: ax = N PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Sean "N " y "P " números reales positivos, "a" un número positivo diferente de 1 y "m" y "k" números reales cualesquiera: 1. log a 1 = 0 4. log a ( N ∗ P ) = log a N + log a P 2. log a a = 1 5. log a ( N P ) = log a N − log a P log a P 3. log a ( N ) k = k log a N 6. log a m P = m PROGRESIONES PROGRESIONES ARITMÉTICAS: Sean "a1" el primer término, "an" el término general, "d" la diferencia común y "n" el número de términos, entonces: Término n-ésimo de una progresión aritmética: Suma de los primeros "n" términos de una progresión aritmética: a n = a1 + (n − 1) d Sn = n ( a1 + a a ) ó Sn = n [ 2a1 + ( n − 1) d ] 2 2 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS: Sean "a1" el primer término, "an" el término general, "r" la razón común y "n" el número de términos, entonces: Término n-ésimo de una progresión geométrica: Suma de los primeros "n" términos de una progresión geométrica: a n = a1 r n −1 a1 (1− r n ) Sn = si r ≠ 1 ó Sn = a1 n si r = 1 (1− r) ECUACIONES ECUACIÓN LINEAL (o de 1er. grado) Raíz de una ecuación lineal de la forma: ax+b =0 → x = −b a si a ≠ 0 ECUACIÓN CUADRÁTICA (o de 2do. grado) a x2 + b x + c = 0 − b ± b 2 − 4ac Raíces de una ecuación cuadrática de la forma: → x= 2a Tulio A. Mateo Duval