Foro 2 operativa
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Este documento presenta la teoría de las colas y un ejemplo de su aplicación. Explica el proceso básico de un modelo de colas y define conceptos como tasa de llegada, tasa de servicio y medidas de desempeño. Luego, analiza un caso de lavado de autos antes y después de mejorar el tiempo de servicio, mostrando cómo esto reduce la utilización del sistema, el tamaño promedio de la cola y los tiempos de espera. Finalmente, brinda una definición breve de la teoría de colas.
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- 1. Tutor: Ing. Julio Ricardo Avendaño Barrera Asignatura: INVESTIGACION OPERATIVA II Alumno: Juan Fernando Piloso Merchán Fecha: 07 julio del 2017
- 2. TEORIA DE LAS COLAS El proceso básico de un modelo de colas es el siguiente: los clientes que requieren un servicio se generan en el tiempo en una fuente de entrada la cual procura clientes (que pueden ser personas, objetos,…) a una determinada tasa que entran al sistema y se unen a la cola o línea de espera. Los miembros que esperan en la cola para ser atendidos, lo son de acuerdo con una disciplina de cola, concepto tratado a continuación. Posteriormente se lleva a cabo el servicio mediante un determinado mecanismo y, finalmente, el cliente sale del sistema de colas habiendo sido atendido.
- 3. Ejemplo planteado Un lava carro puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora.Obtengalas medidasde desempeñode acuerdoconel modeloM/M/1. - Utilizaciónpromediodel sistema. - Númerosde clientesque entranenel sistema. - Númerosde clientesformadosenfila. - Tiempotranscurridodentrodel sistema. - Tiempode esperaenlafila. Tasa de llegada ʎ = 9 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 ∗ 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 0.15 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 Tasa de servicio 𝑢 = 1 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 0.2 𝑚𝑖𝑛 Utilizaciónpromediodel sistema ρ = ʎ 𝑢 ρ = 0.15 0.20 = 0.75 ∗ 100 = 75% Númeropromediode clientesenel sistemade servicio 𝐿 = ʎ 𝑢 − ʎ = 0.15 0.20 − 0.15 = 3 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 Númeropromediode clientesenlafila de espera 𝐿 𝑞 = 𝑝 ∗ 𝐿 = 0.75 ∗ 3 = 2.25 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
- 4. El tiempopromediotranscurridodentrodel sistema 𝑊 = 1 𝑢 − ʎ = 1 0.20 − 0.15 = 20 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 El tiempopromediotranscurridoenlafila 𝑊𝑞 = 𝑝 ∗ 𝑊 = 0.75 ∗ 20 = 15 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 Probabilidadde que nohaya unidadesoclientesenel sistema ρ 𝑜 = (1 − ʎ 𝑢 )( ʎ 𝑢 ) 0 = 1 − 0.15 0.20 = 1 − 0.75 = 0.25 ∗ 100 = 25% La probabilidadde tenerunacolade más de 3 clientes. ρ 𝑜 = (1 − ʎ 𝑢 ) ( ʎ 𝑢 ) 0 = (0.25)(0.75)0 = 0.25 ρ1 = (1 − ʎ 𝑢 ) ( ʎ 𝑢 ) 1 = (0.25)(0.75)1 = 0.1875 ρ2 = (1− ʎ 𝑢 ) ( ʎ 𝑢 ) 2 = (0.25)(0.75)2 = 0.140625
- 5. ρ3 = (1− ʎ 𝑢 ) ( ʎ 𝑢 ) 3 = (0.25)(0.75)3 = 0.10546875 Analizar un casode mejora de un sistema de líneas de espera,con un antes y un después, enel que -mediante una solución técnica (mejorar los procesos y los tiempos de servicio, o agregar más servidores, o crear reglas de prioridad, etc.) - se haya mejorado las características del sistema. Indicar cuáles fueron estas características mejoradas (por ejemplo, tiempo promedio de espera, largo promedio de la cola, probabilidad de que en el sistema hayan 0,1, 2... clientes, probabilidad de espera más de un tiempo límite determinado, etc.). Justificar estas mejoras aplicando los métodos y las fórmulas del curso. Mediante unasolucióntécnicaenel sistemade lavado,el tiempode serviciode 5minutospasoa 4 minutos. Un lava carro puede atender un auto cada 4 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1. - Utilizaciónpromediodel sistema. - Númerosde clientesque entranenel sistema. - Númerosde clientesformadosenfila. - Tiempotranscurridodentrodel sistema. - Tiempode esperaenlafila. Tasa de llegada ʎ = 9 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 ∗ 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 0.15 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 Tasa de servicio
- 6. 𝑢 = 1 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 0.25 𝑚𝑖𝑛 Utilizaciónpromediodel sistema ρ = ʎ 𝑢 ρ = 0.15 0.25 = 0.60 ∗ 100 = 60% Númeropromediode clientesenel sistemade servicio 𝐿 = ʎ 𝑢 − ʎ = 0.15 0.25 − 0.15 = 1.5 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 Númeropromediode clientesenlafilade espera 𝐿 𝑞 = 𝑝 ∗ 𝐿 = 0.60 ∗ 1.5 = 0.90 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 El tiempopromediotranscurridodentrodel sistema 𝑊 = 1 𝑢 − ʎ = 1 0.25 − 0.15 = 10 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 El tiempopromediotranscurridoenlafila 𝑊𝑞 = 𝑝 ∗ 𝑊 = 0.60 ∗ 10 = 6 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 Probabilidadde que nohayaunidadeso clientesenel sistema
- 7. ρ 𝑜 = (1 − ʎ 𝑢 )( ʎ 𝑢 ) 0 = 1 − 0.15 0.25 = 1 − 0.40 = 0.40 ∗ 100 = 40% La probabilidadde tenerunacolade más de 3 clientes. ρ 𝑜 = (1 − ʎ 𝑢 ) ( ʎ 𝑢 ) 0 = (0.40)(0.60)0 = 0.25 ρ1 = (1 − ʎ 𝑢 ) ( ʎ 𝑢 ) 1 = (0.40)(0.60)1 = 0.24 ρ2 = (1− ʎ 𝑢 ) ( ʎ 𝑢 ) 2 = (0.40)(0.60)2 = 0.144 ρ3 = (1− ʎ 𝑢 ) ( ʎ 𝑢 ) 3 = (0.40)(0.60)3 = 0.0864 En conclusión: Mejorando la tasa de servicio de 5 minutos a 4 minutos, nos reservamos 15% de promedio de utilizar el sistema. El promediode clientesen el servicio pasó de 3 clientesa 1.5 clientesesdecir el 50%. De la misma manera el tiempo favorable para nuestros clientes en el ahorro de tiempo fue exitosocomo muestran los datos relacionados. La Teoríade Colas (T.C.) es una disciplina perteneciente ala InvestigaciónOperativa, encargada de proponer modelos para el manejo eficiente de las líneas de espera, sean estas personas, productos, automóviles o llamadas telefónicasentre otras. (Hillier & Lieberman, 1997) Bibliografía Hillier, Frederick S. y Lieberman, Gerald J. (1997) Introducción a la Investigación de Operaciones; sextaedición;México:Mc. Graw-Hill.