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Fuentes del campo magnético.docx

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1. Las cargas positivas que se mueven en la misma dirección crean un campo magnético atractivo, mientras que las cargas que se mueven en direcciones opuestas crean un campo magnético repulsivo. 2. Se calcula el campo magnético creado por una partícula con carga q = 12 μC que se mueve a una velocidad de 30 m/s en diferentes puntos. 3. Se calcula el campo magnético para la misma partícula en movimiento pero ahora en diferentes posiciones x, y.

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Fuentes del campo magnético Cargas puntuales móviles 1. Comparar las direcciones de las fuerzas eléctricas y magnéticas entre dos cargas positivas que se mueven a lo largo de trayectorias paralelas, a) En el mismo sentido. b) En sentidos opuestos. a) La fuerza entre dos cargas del mismo signo será de repulsión ente ellas, con la dirección en la línea de unión de las cargas. El campo creado por cada carga en un punto será una circunferencia a su alrededor y el sentido dado por la regla de la mano derecha. Aplicando la regla de los tres dedos obtenemos que la fuerza entre las cargas será atractiva. b) En el caso de ser sentidos opuestos, la fuerza eléctrica no cambia, pero el campo magnético de la que cambia de sentido irá en sentido contrario en el punto donde está la otra, de forma que la fuerza magnética cambia de sentido. 2. En el tiempo t =0, una partícula de carga q=12 μC está localizada en x = 0, y= 2 m; su velocidad en ese instante es v=30 m/s i. Determinar el campo magnético en a) El origen. b) x=0, y=1m. c) x=0, y = 3m. d) x=0; y = 4m.
a) 𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝒒∗𝒗 ⃗ ⃗ ⨂𝒓 ⃗ 𝒖 𝒓𝟐 𝒓 ⃗ = −𝟐 ∗ 𝒋 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒓 ⃗ 𝒓 = −𝟐∗𝒋 𝟐 = −𝒋 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟐𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟑𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 −𝟏 𝟎 | = −𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟑𝟎 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 𝑩 ⃗⃗ = −𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 𝑻 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ b) 𝒓 ⃗ = −𝟏 ∗ 𝒋 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒓 ⃗ 𝒓 = −𝟏∗𝒋 𝟏 = 𝒋 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟏𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟑𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 −𝟏 𝟎 | = −𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟏𝟐 ∗ 𝟑𝟎 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 𝑩 ⃗⃗ = − 𝟑. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑻 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ c) 𝒓 ⃗ = 𝟏 ∗ 𝒋 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒓 ⃗ 𝒓 = 𝟏∗𝒋 𝟏 = 𝒋 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟏𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟑𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 | = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟏𝟐 ∗ 𝟑𝟎 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 𝑩 ⃗⃗ = 𝟑. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑻 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ d) 𝒓 ⃗ = 𝟐 ∗ 𝒋 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒓 ⃗ 𝒓 = 𝟐∗𝒋 𝟐 = 𝒋 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟐𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟑𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 | = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟑𝟎 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 𝑩 ⃗⃗ = 𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 𝑻 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 3. Determinar el campo magnético para la partícula del problema 2 en a) x = 1 m, y = 3m. b) x = 2 m, y= 2 m. c) x = 2 m, y = 3 m. a) 𝒓 ⃗ = 𝒊 + 𝒋 ; 𝒓 = √𝟐; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒓 ⃗ 𝒓 = 𝒊+𝒋 √𝟐 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟑𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 √𝟐 𝟏 √𝟐 𝟎 | = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟐 ∗ 𝟑𝟎 √𝟐 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏. 𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟏 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ b) 𝒓 ⃗ = 𝟐 ∗ 𝒊 ; 𝒓 = 𝟐; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒓 ⃗ 𝒓 = 𝒊 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟐𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟑𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 | = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟐 ∗ 𝟎 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 𝑩 ⃗⃗ = 𝟎 c) 𝒓 ⃗ = 𝟐 ∗ 𝒊 + 𝒋 ; 𝒓 = √𝟓 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒓 ⃗ 𝒓 = 𝟐∗𝒊+𝒋 √𝟓 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟓 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟑𝟎 𝟎 𝟎 𝟐 √𝟓 𝟏 √𝟓 𝟎 | = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟓 ∗ 𝟑𝟎 ∗ 𝟏 √𝟓 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 𝑩 ⃗⃗ = 𝟑. 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗
4. Un protón (carga +e), que se mueve con una velocidad de v= 1 104 m/s i+2 104 m/s j está localizado en x=3m, y= 4m en un cierto instante. Determinar el campo magnético en las siguientes posiciones: a) x= 2 m, y = 2m. b) x= 6 m, y = 4 m. c) x = 3 m, y = 6 m. a) 𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝒒∗𝒗 ⃗ ⃗ ⨂𝒓 ⃗ 𝒓𝟐 𝒓 ⃗ = −𝒊 − 𝟐 ∗ 𝒋 ; 𝒓 = √𝟓 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒓 ⃗ 𝒓 = −𝒊−𝟐∗𝒋 √𝟓 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ 𝟏 𝟓 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟏𝟎𝟒 𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝟎 − 𝟏 √𝟓 − 𝟐 √𝟓 𝟎 | 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ 𝟏 𝟓 ∗ (− 𝟐∗𝟏𝟎𝟒 √𝟓 − 𝟐∗𝟏𝟎𝟒∗(−𝟏) √𝟓 ) ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ = 𝟎 b) 𝒓 ⃗ = 𝟑 ∗ 𝒊; 𝒓 = 𝟑 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒓 ⃗ 𝒓 = 𝟑∗𝒊 𝟑 = 𝒊 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ 𝟏 𝟑𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟏𝟎𝟒 𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 | 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ 𝟏 𝟑𝟐 ∗ (−𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒 ∗ (𝟏)) ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ = −𝟑. 𝟓𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟑 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ c) 𝒓 ⃗ = 𝟐 ∗ 𝒋; 𝒓 = 𝟐 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒓 ⃗ 𝒓 = 𝟐∗𝒋 𝟐 = 𝒋 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ 𝟏 𝟐𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟏𝟎𝟒 𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 | 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ 𝟏 𝟐𝟐 ∗ (𝟏𝟎𝟒 ∗ (𝟏)) ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ = 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟑 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 5. Un electrón gira alrededor de un protón en una órbita de 5,29 10-11 m. Determinar el campo magnético en el protón producido por el movimiento del electrón. 𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝒒∗𝒗 ⃗ ⃗ ⨂𝒓 ⃗ 𝒓𝟐 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝒆∗𝒗 𝒓𝟐 Para determinar la velocidad usamos que la fuerza eléctrica es la fuerza resultante. 𝒌 ∗ 𝒆𝟐 𝒓𝟐 = 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝒓 ; 𝒗 = √𝒌∗𝒆𝟐 𝒎∗𝒓 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝒆∗√𝒌∗𝒆𝟐 𝒎∗𝒓 𝒓𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝒆𝟐 𝒓𝟐 ∗ √ 𝒌 𝒎∗𝒓 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ (𝟏.𝟔∗𝟏𝟎−𝟏𝟗) 𝟐 (𝟓.𝟐𝟗∗𝟏𝟎−𝟏𝟏)𝟐 ∗ √ 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗 𝟗.𝟏𝟏∗𝟏𝟎−𝟑𝟏∗𝟓.𝟐𝟗∗𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑩 = 𝟏𝟐, 𝟓 𝑻 6. Dos cargas iguales q localizadas en (0,0,0) y (0,b,0) en el tiempo cero se mueven con velocidad v en la dirección x positiva (v<<c). Determinar la relación que existe entre las magnitudes de la fuerza magnética y electrostática en cada una de ellas. 𝑭𝒆 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 𝟒∗𝝅∗𝜺𝒐 ∗ 𝒒𝟐 𝒃𝟐 𝑭𝒎 = 𝒒 ∗ 𝒗 ∗ 𝑩 = 𝒒 ∗ 𝒗 ∗ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝒒∗𝒗 𝒃𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝒒𝟐∗𝒗𝟐 𝒃𝟐 𝑭𝒎 𝑭𝒆 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝒒𝟐∗𝒗𝟐 𝒃𝟐 𝟏 𝟒∗𝝅∗𝜺𝒐 ∗ 𝒒𝟐 𝒃𝟐 = 𝝁𝒐 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝒗𝟐 = 𝒗𝟐 𝒄𝟐
Ley de Biot y Savart 7. La ley de Biot y Savart es semejante a la ley de Coulomb porque ambas a) Son leyes inversas al cuadrado. b) Tratan con fuerzas sobre partículas cargadas. c) Tratan de cargas en exceso. d) Incluyen la permeabilidad del espacio libre. e) No son de naturaleza eléctrica. 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰∗𝒅𝒍⊗𝒓𝒖 ⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝟐 (𝒂)𝒚 (𝒃) 8. Un elemento pequeño de corriente I dl, en el que dl = 2 mm k, tiene una corriente I= 2 A y está centrado Enel origen. Hallar el campo magnético dB en los puntos siguientes: a) En el eje x en x = 3 m. b) En el eje x en x = - 6 m. c) En el eje z en z = 3 m. d) En el eje y en y = 3 m. a) 𝒓 ⃗ = 𝟑 𝒊 ; 𝒓 = 𝟑 𝒎 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒊 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰∗𝒅𝒍⊗𝒓𝒖 ⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝟐 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 𝟑𝟐 ∗ 𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟎 𝟎 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝟏 𝟎 𝟎 | = 𝟏𝟎−𝟕 𝟑𝟐 ∗ 𝟐 ∗ (𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ) ∗ 𝒋 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝟒. 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑻 ∗ 𝒋 b) 𝒓 ⃗ = −𝟔 𝒊 ; 𝒓 = 𝟔 𝒎 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = − 𝒊 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 𝟔𝟐 ∗ 𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟎 𝟎 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 −𝟏 𝟎 𝟎 | = 𝟏𝟎−𝟕 𝟔𝟐 ∗ 𝟐 ∗ (−𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ) ∗ 𝒋 𝒅𝑩 ⃗⃗ = −𝟏. 𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑻 ∗ 𝒋 c) 𝒓 ⃗ = 𝟑 𝒌 ⃗ ⃗ ; 𝒓 = 𝟑 𝒎 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒌 ⃗ ⃗ 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 𝟑𝟐 ∗ 𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟎 𝟎 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝟎 𝟎 𝟏 | = 𝟎 d) 𝒓 ⃗ = 𝟑 𝒋 ; 𝒓 = 𝟑 𝒎 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒋 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 𝟑𝟐 ∗ 𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟎 𝟎 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝟎 𝟏 𝟎 | = 𝟏𝟎−𝟕 𝟑𝟐 ∗ 𝟐 ∗ (−𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ) ∗ 𝒊 𝒅𝑩 ⃗⃗ = −𝟒. 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑻 ∗ 𝒊 9. En el caso del elemento de corriente del problema 8 hallar el valor e indicar la dirección de dB en el punto x=0, y= 3, z= 4 m. 𝒓 ⃗ = 𝟑 𝒋 + 𝟒 𝒌 ⃗ ⃗ ; 𝒓 = √𝟑𝟐 + 𝟒𝟐 = 𝟓 𝒎 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝟑 𝟓 𝒋 + 𝟒 𝟓 𝒌 ⃗ ⃗ 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 𝟓𝟐 ∗ 𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟎 𝟎 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝟎 𝟑 𝟓 𝟒 𝟓 |
𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 𝟓𝟐 ∗ 𝟐 ∗ (− 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝟑 𝟓 ∗ 𝒊) = −𝟗. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝒊 10. En el caso del elemento de corriente del problema 8, hallar el valor de dB e indicar su dirección en un diagrama para los puntos a) x=2 m, y=4 m, z= 0. b) x= 2 m, y= 0, z= 4 m. a) 𝒓 ⃗ = 𝟐 𝒊 + 𝟒 𝒋 ; 𝒓 = √𝟐𝟐 + 𝟒𝟐 = 𝟐 ∗ √𝟓 𝒎 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝟏 √𝟓 𝒊 + 𝟐 √𝟓 𝒋 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 𝟐𝟐∗𝟓 ∗ 𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟎 𝟎 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝟏 √𝟓 𝟐 √𝟓 𝟎 | 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 𝟐𝟐∗𝟓 ∗ 𝟐 ∗ (−𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝟐 √𝟓 ∗ 𝒊 + 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝟏 √𝟓 ∗ 𝒋) 𝒅𝑩 ⃗⃗ = −𝟏. 𝟕𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟏 ∗ 𝒊 + 𝟖. 𝟗𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝒋 b) 𝒓 ⃗ = 𝟐 𝒊 + 𝟒 𝒌 ⃗ ⃗ ; 𝒓 = √𝟐𝟐 + 𝟒𝟐 = 𝟐 ∗ √𝟓 𝒎 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝟏 √𝟓 𝒊 + 𝟐 √𝟓 𝒌 ⃗ ⃗ 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 𝟐𝟐∗𝟓 ∗ 𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟎 𝟎 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝟏 √𝟓 𝟎 𝟐 √𝟓 | 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 𝟐𝟐∗𝟓 ∗ 𝟐 ∗ (𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝟏 √𝟓 ∗ 𝒋) 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝟖. 𝟗𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ Espiras de corriente 11. ¿Es B uniforme en todos los puntos dentro de una espira de corriente? Razonar la respuesta. El campo dependerá de la posición dentro de la espira donde nos encontremos. 12. Una sola espira de alambre de radio 3 cm transporta una corriente de 2,5 A. ¿Cuál es la magnitud de B sobre el eje de la espira en a) El centro de la espira,
b) A 1 cm del centro, c) A 2 cm del centro, d) A 35 cm del centro? a) 𝑩𝒛 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝑰 (𝒛𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 𝑩𝒛(𝟎) = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟑𝟐∗𝟐.𝟔 (𝟎.𝟎𝟑𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝟓𝟒. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻 b) 𝑩𝒛(𝟎. 𝟎𝟏) = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟑𝟐∗𝟐.𝟔 (𝟎.𝟎𝟏𝟐+𝟎.𝟎𝟑𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝟒𝟔. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻 c) 𝑩𝒛(𝟎. 𝟎𝟐) = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟑𝟐∗𝟐.𝟔 (𝟎.𝟎𝟐𝟐+𝟎.𝟎𝟑𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝟑𝟏. 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻 d) 𝑩𝒛(𝟎. 𝟑𝟓) = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟑𝟐∗𝟐.𝟔 (𝟎.𝟑𝟓𝟐+𝟎.𝟎𝟑𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝟑𝟑. 𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 𝑻 13. Una sola espira circular de radio 10,0 cm ha de producir un campo en su centro que equilibre exactamente el campo terrestre en el ecuador, que vale 0,7 G y está dirigido hacia el norte. Hallar la corriente en el conductor y hacer un esquema que muestre la orientación de la espira y de la corriente. 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝑰 (𝒛𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 𝑰 = 𝑩∗(𝒛𝟐+𝑹𝟐) 𝟑/𝟐 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐 ∗ 𝟒∗𝝅 𝝁𝒐 En el centro, z =0. 𝑰 = 𝑩∗𝑹 𝟐∗𝝅 ∗ 𝟒∗𝝅 𝝁𝒐 = 𝟎.𝟕𝑮∗ 𝟏 𝑻 𝟏𝟎𝟒𝑮 ∗𝟎.𝟏 𝟐∗𝝅 ∗ 𝟏 𝟏𝟎−𝟕 = 𝟏𝟏. 𝟏 𝑨 14. ¿En qué punto del eje de la espira del problema 13 el campo magnético es a) El 10 % del campo en el centro, b) El 1 % del campo en el centro, c) El 0,1 % del campo en el centro?
a) 𝟎. 𝟏 ∗ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑰 𝑹 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝑰 (𝒛𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 𝟎. 𝟏 ∗ 𝟏 𝑹 = 𝑹𝟐 (𝒛𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 (𝒛𝟐 + 𝑹𝟐 ) 𝟑/𝟐 = 𝑹𝟑 𝟎.𝟏 𝒛 = 𝑹 ∗ √ 𝟏 (𝟎.𝟏) 𝟐 𝟑 − 𝟏 = 𝟎. 𝟏 ∗ √ 𝟏 (𝟎.𝟏) 𝟐 𝟑 − 𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟗𝟏 𝒎 b) 𝒛 = 𝑹 ∗ √ 𝟏 (𝟎.𝟎𝟏) 𝟐 𝟑 − 𝟏 = 𝟎. 𝟏 ∗ √ 𝟏 (𝟎.𝟎𝟏) 𝟐 𝟑 − 𝟏 = 𝟎. 𝟒𝟓𝟑 𝒎 c) 𝒛 = 𝑹 ∗ √ 𝟏 (𝟎.𝟎𝟎𝟏) 𝟐 𝟑 − 𝟏 = 𝟎. 𝟏 ∗ √ 𝟏 (𝟎.𝟎𝟎𝟏) 𝟐 𝟑 − 𝟏 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟓 𝒎 15. Una sola espira circular de radio 8,5 cm ha de producir un campo en su centro que neutralice exactamente el campo terrestre de magnitud 0,7 G dirigido 70º por debajo de la dirección horizontal norte. Determinar la intensidad de la corriente y hacer un esquema que muestre la orientación de la espira y la corriente. 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝑰 (𝒛𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 𝑰 = 𝟒∗𝝅 𝝁𝒐 ∗ 𝑩∗(𝒛𝟐+𝑹𝟐) 𝟑/𝟐 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐 En el centro de la esfera, z = 0: 𝑰 = 𝟒∗𝝅 𝝁𝒐 ∗ 𝑩∗𝑹 𝟐∗𝝅 = 𝟏 𝟏𝟎−𝟕 ∗ (𝟎.𝟕 𝑮∗ 𝟏 𝑻 𝟏𝟎𝟒𝑮 )∗𝟎.𝟎𝟖𝟓 𝟐∗𝝅 = 𝟗, 𝟒𝟕 𝑨 16. Una espira circular de radio R por la que circula una corriente I está centrada en el origen con su eje dirigido a lo largo del eje x. Su corriente es tal que produce un campo magnético en el sentido positivo del eje de las x. a) Hacer un esquema de Bx en función de x para todos los puntos del eje x. Incluir tanto valores positivos como negativos de x. Comparar este esquema con el correspondiente a Ex debido a un anillo cargado del mismo tamaño. b) Otra segunda espira idéntica por la que circula la misma corriente y en el mismo sentido está en un plano paralelo al eje yz con su centro en el punto x=d. Hacer un esquema del campo magnético Enel eje x debido a cada bobina por separado y el campo resultante debido a ambas bobinas. Demostrar a partir de este esquema que 𝒅𝑩𝒙 𝒅𝒙 es cero en el punto medio entre las bobinas. a) 𝑩𝒙 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝑰 (𝒙𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐
En el centro de la espira: 𝑩𝒐 = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑰 𝑹 𝑩𝒙 𝑩𝒐 = 𝑹 (𝒙𝟐+𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝟏 (𝟏+ 𝒙𝟐 𝑹𝟐) 𝟑/𝟐 b) 𝑬(𝒙) = 𝒌∗𝑸∗𝒙 (𝒙𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 = 𝒌∗𝑸 𝑹𝟐 ∗ 𝒙/𝑹 (𝟏+ 𝒙𝟐 𝑹𝟐) 𝟑/𝟐 𝑬(𝒙) 𝒌∗𝑸 𝑹𝟐 = 𝒙/𝑹 (𝟏+ 𝒙𝟐 𝑹𝟐) 𝟑/𝟐 c) 𝑩𝟏(𝒙) = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝑰 (𝒙𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 𝑩𝒐 = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑰 𝑹 𝑩𝟏 𝑩𝒐 = 𝟏 (𝟏+ 𝒙𝟐 𝑹𝟐) 𝟑/𝟐
𝑩𝟐(𝒙) = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝑰 ((𝒅−𝒙)𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 𝑩𝒐 = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑰 𝑹 Si hacemos d=R: 𝑩𝟐(𝒙) = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝑰 ((𝑹−𝒙)𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 𝑩𝟐(𝒙) = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑰 𝑹∗((𝟏−𝒙)𝟐+𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝑩𝒐 ((𝟏−𝒙)𝟐+𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 𝑩𝟐 𝑩𝒐 = 𝟏 ((𝟏−𝒙)𝟐+𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 = La gráfica de cada espira da un máximo en el centro de campo que crea cada bobina, dada la simetría del campo de cada espira el campo en la región entre bobinas es prácticamente constante, de forma que su derivada es nula en el punto medio entre bobinas. 17. Dos bobinas que están separadas por una distancia igual a su radio y que transportan corrientes iguales de modo que sus campos axiales se suman, se denominan bobinas de Helmholtz. Una característica de las bobinas de Helmholtz es que el campo magnético resultante entre ellas es muy uniforme. Sea R=10 cm, I=20 Ay N=300 vueltas para cada bobina. Situar una de ellas en el plano y z con su centro Enel origen y la otra en un plano paralelo en x = 10 cm. a) Calcular el campo resultante Bx en los puntos x = 5 cm, x = 7 cm, x= 9 cm y x = 11 cm. b) Utilizar los resultados obtenidos y el hecho de que Bx es simétrico alrededor del punto medio de las bobinas para representar Bx en función de x. (véase también el problema 18). a) Supongamos el centro de una bobina en x =-R/2 y la otra en x=R/2. Para la centrada en x =-R/2: 𝑩𝟏(𝒙) = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵∗𝑹𝟐∗𝑰 (( 𝑹 𝟐 +𝒙)𝟐+𝑹𝟐) 𝟑/𝟐 Para la centrada en x = R/2: 𝑩𝟐(𝒙) = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵∗𝑹𝟐∗𝑰 (( 𝑹 𝟐 −𝒙)𝟐+𝑹𝟐) 𝟑/𝟐
El campo resultante Enel eje x: 𝑩𝒙 = 𝑩𝟏(𝒙) + 𝑩𝟐(𝒙) = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵∗𝑹𝟐∗𝑰 (( 𝑹 𝟐 +𝒙) 𝟐 +𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 + 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵∗𝑹𝟐∗𝑰 (( 𝑹 𝟐 −𝒙) 𝟐 +𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 𝑩𝒙 = 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑹𝟐∗𝑰 𝟐 ∗ [ 𝟏 (( 𝑹 𝟐 +𝒙) 𝟐 +𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 + 𝟏 (( 𝑹 𝟐 −𝒙) 𝟐 +𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 ] 𝑩𝒙(𝟎. 𝟎𝟓) = 𝝁𝒐∗𝟑𝟎𝟎∗𝟎.𝟏𝟐∗𝟐𝟎 𝟐 ∗ [ 𝟏 (( 𝟎.𝟏 𝟐 +𝟎.𝟎𝟓) 𝟐 +𝟎.𝟏𝟐) 𝟑 𝟐 + 𝟏 (( 𝟎.𝟏 𝟐 −𝟎.𝟎𝟓) 𝟐 +𝟎.𝟏𝟐) 𝟑 𝟐 ] 𝑩𝒙(𝟎. 𝟎𝟓) = 𝟓. 𝟏𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝑻 ∗ 𝟏𝟎𝟒𝑮 𝟏 𝑻 = 𝟓𝟏𝟎 𝑮 𝑩𝒙(𝟎. 𝟎𝟕) = 𝝁𝒐∗𝟑𝟎𝟎∗𝟎.𝟏𝟐∗𝟐𝟎 𝟐 ∗ [ 𝟏 (( 𝟎.𝟏 𝟐 +𝟎.𝟎𝟕) 𝟐 +𝟎.𝟏𝟐) 𝟑 𝟐 + 𝟏 (( 𝟎.𝟏 𝟐 −𝟎.𝟎𝟕) 𝟐 +𝟎.𝟏𝟐) 𝟑 𝟐 ] 𝑩𝒙(𝟎. 𝟎𝟕) = 𝟒. 𝟓𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝑻 ∗ 𝟏𝟎𝟒𝑮 𝟏 𝑻 = 𝟒𝟓𝟒 𝑮 𝑩𝒙(𝟎. 𝟎𝟗) = 𝝁𝒐∗𝟑𝟎𝟎∗𝟎.𝟏𝟐∗𝟐𝟎 𝟐 ∗ [ 𝟏 (( 𝟎.𝟏 𝟐 +𝟎.𝟎𝟗) 𝟐 +𝟎.𝟏𝟐) 𝟑 𝟐 + 𝟏 (( 𝟎.𝟏 𝟐 −𝟎.𝟎𝟗) 𝟐 +𝟎.𝟏𝟐) 𝟑 𝟐 ] 𝑩𝒙(𝟎. 𝟎𝟗) = 𝟑. 𝟕𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝑻 ∗ 𝟏𝟎𝟒𝑮 𝟏 𝑻 = 𝟑𝟕𝟔 𝑮 𝑩𝒙(𝟎. 𝟏𝟏) = 𝝁𝒐∗𝟑𝟎𝟎∗𝟎.𝟏𝟐∗𝟐𝟎 𝟐 ∗ [ 𝟏 (( 𝟎.𝟏 𝟐 +𝟎.𝟏𝟏) 𝟐 +𝟎.𝟏𝟐) 𝟑 𝟐 + 𝟏 (( 𝟎.𝟏 𝟐 −𝟎.𝟏𝟏) 𝟐 +𝟎.𝟏𝟐) 𝟑 𝟐 ] 𝑩𝒙(𝟎. 𝟎𝟗) = 𝟐. 𝟗𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝑻 ∗ 𝟏𝟎𝟒𝑮 𝟏 𝑻 = 𝟐𝟗𝟒 𝑮 b)
18. Dos bobinas de Helmholtz de radio R poseen sus ejes a lo largo del eje x (véase problema 17). Una de las bobinas está en el plano yz y la otra en un plano paralelo a x = R. Demostrar que en el punto medio de las bobinas (x=1/2 R), 𝒅𝑩𝒙 𝒅𝒙 = 𝟎, 𝒅𝟐𝑩𝒙 𝒅𝒙𝟐 = 𝟎 𝒚 𝒅𝟑𝑩𝒙 𝒅𝒙𝟑 = 𝟎 . Esto demuestra que el campo magnético en puntos próximos al punto medio es aproximadamente igual al correspondiente al punto medio. Tenemos la bobina 1 con centro en el origen y la 2 con centro en x = R. 𝑩𝟏(𝒙) = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵∗𝑹𝟐∗𝑰 ((𝒙)𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 𝑩𝟐(𝒙) = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵∗𝑹𝟐∗𝑰 ((𝒙−𝑹)𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 𝑩𝒙 = 𝑩𝟏(𝒙) + 𝑩𝟐(𝒙) = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 ∗ [ 𝟏 ((𝒙)𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 + 𝟏 ((𝒙−𝑹)𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐] En x = R/2: 𝑩𝒙 = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 ∗ [ 𝟏 ( 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐) 𝟑/𝟐 + 𝟏 ( 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐) 𝟑/𝟐] Sea 𝒙𝟏 = ((𝒙)𝟐 + 𝑹𝟐 )𝟏/𝟐 y 𝒙𝟐 = (𝒙 − 𝑹)𝟐 + 𝑹𝟐 )𝟏/𝟐 . En x = R/2: 𝒙𝟏 = ( 𝟓 𝟒 ∗ 𝑹𝟐 ) 𝟏 𝟐 𝒚 𝒙𝟐 = ( 𝟓 𝟒 ∗ 𝑹𝟐 ) 𝟏 𝟐 𝒅𝑩𝒙 𝒅𝒙 = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 ∗ 𝒅 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝒙𝟏 𝟑 + 𝟏 𝒙𝟐 𝟑) = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 ∗ ( 𝒙 𝒙𝟏 𝟓 + 𝒙−𝑹 𝒙𝟐 𝟓 ) 𝑬𝒏 𝒙 = 𝑹 𝟐 : 𝒅𝑩𝒙 𝒅𝒙 (𝒙 = 𝑹 𝟐 ) = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 ∗ ( 𝟏 𝟐 ∗𝑹 ( 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐) 𝟓 𝟐 + − 𝟏 𝟐 ∗𝑹 ( 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐) 𝟓 𝟐 ) = 𝟎 𝒅𝟐𝑩𝒙 𝒅𝒙𝟐 = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 ∗ 𝒅 𝒅𝒙 ( 𝒙 𝒙𝟏 𝟓 + 𝒙−𝑹 𝒙𝟐 𝟓 ) = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 ∗ ( 𝟏 𝒙𝟏 𝟓 + 𝟏 𝒙𝟐 𝟓 − 𝟓∗𝒙𝟐 𝒙𝟏 𝟕 − 𝟓∗(𝒙−𝑹)𝟐 𝒙𝟐 𝟕 ) 𝑬𝒏 𝒙 = 𝑹 𝟐 : 𝒅𝟐𝑩𝒙 𝒅𝒙𝟐 (𝒙 = 𝑹 𝟐 ) = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 ∗ ( 𝟏 ( 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐) 𝟓 𝟐 + 𝟏 ( 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐) 𝟓 𝟐 − 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐 ( 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐) 𝟕 𝟐 − 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐 ( 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐) 𝟕 𝟐 = 𝟎 𝒅𝟑𝑩𝒙 𝒅𝒙𝟑 = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 ∗ 𝒅 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝒙𝟏 𝟓 + 𝟏 𝒙𝟐 𝟓 − 𝟓∗𝒙𝟐 𝒙𝟏 𝟕 − 𝟓∗(𝒙−𝑹)𝟐 𝒙𝟐 𝟕 ) 𝒅𝟑𝑩𝒙 𝒅𝒙𝟑 = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 ∗ ( 𝟑𝟓∗𝒙𝟑 𝒙𝟏 𝟗 − 𝟏𝟓∗𝒙 𝒙𝟏 𝟕 − 𝟏𝟓∗(𝒙−𝑹) 𝒙𝟐 𝟕 − 𝟑𝟓∗(𝒙−𝑹)𝟑 𝒙𝟐 𝟗 ) 𝑬𝒏 𝒙 = 𝑹/𝟐: 𝒅𝟑𝑩𝒙 𝒅𝒙𝟑 (𝒙 = 𝑹 𝟐 ) = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 ∗ ( 𝟑𝟓 𝟖 ∗𝑹𝟑 ( 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐) 𝟗 𝟐 − 𝟏𝟓∗𝑹 ( 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐) 𝟕 𝟐 − −𝟏𝟓∗𝑹 ( 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐) 𝟕 𝟐 − − 𝟑𝟓 𝟖 ∗𝑹𝟑 ( 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐) 𝟗 𝟐 ) = 𝟎 Segmentos de corriente rectilíneos 19. Dos cables paralelos situados en el plano del papel transportan corrientes iguales en sentidos opuestos como muestra la figura. En un punto a mitad de distancia entre los cables, el campo magnético es a) Cero. b) Hacia dentro de la página. c) Hacia fuera de la página. d) Hacia la parte alta o hacia la parte baja de la página.
e) Hacia uno de los cables. El cable de la derecha crea un campo hacia fuera del papel y el de la derecha hacia fuera, los dos de igual módulo, en total el campo resultante es hacia fuera. Respuesta c. 20. Dos cables paralelos transportan corrientes I1 e I2= 2 I1, en el mismo sentido. Las fuerzas F1 y F2 que actúan sobre los cables están relacionadas por a) F1 = F2. b) F1 = 2 F2. c) 2 F1 = F2. d) F1 = 4 F2. e) 4 F1 = F2. 𝑭 𝑳 = 𝑰 ∗ 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟏 𝒅 ∗ 𝑰𝟐 En los dos casos las fuerzas son iguales, son de acción y reacción. 21. Un alambre transporta una corriente eléctrica en sentido vertical hacia arriba. ¿Cuál es el sentido del campo magnético producido por el cable a una distancia de 2 m al norte del alambre a) Norte. b) Este. c) Oeste. d) Sur. e) Hacia arriba. En el solucionario da como correcta la respuesta c, pero la posición de los puntos cardinales y la considerada para el punto a estudiar no queda clara en el enunciado, en todo cas B viene dado por la regla de la mano derecha como indica la figura.
22. Dos cables portadores de corriente son perpendiculares entre sí. La corriente en uno de ellos fluye verticalmente hacia arriba y la corriente en el otro fluye horizontalmente hacia el este. El cable horizontal se encuentra a la distancia de un metro al sur del vertical. ¿Cuál es el sentido de la fuerza magnética neta sobre el cable horizontal? a) Norte. b) Este. c) Oeste. d) Sur. e) No se ejerce una fuerza magnética neta sobre el cable horizontal. En los puntos al oeste del cable vertical, el campo magnético debido a su corriente ejerce una fuerza hacia abajo sobre el cable horizontal y en puntos al este ejerce una fuerza hacia arriba sobre el alambre horizontal. Por lo tanto, la fuerza magnética neta es cero. Respuesta e. 23. Por un conductor rectilíneo largo circula una corriente de 10 A. Hallar el valor de B a una distancia de a) 10 cm. b) 50 cm. c) 2 m del centro del conductor. a) 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒅 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟏𝟎 𝟎.𝟏 = 𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻 b) 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒅 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟏𝟎 𝟎.𝟓 = 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻 c) 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒅 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟏𝟎 𝟐 = 𝟏𝟎−𝟔 𝑻 Los problemas 24 a 29 se refieren a la figura siguiente, que muestra dos conductores paralelos al eje x que están contenidos en el plano xy. Uno de los conductores está en y = -6 cm y el otro en y = +6 cm. La corriente que circula por cada conductor es de 20 A. 24. Si las corrientes de la figura circulan en el sentido negativo del eje de las x, hallar B en los puntos situados en el eje y en a) y = -3 cm. b) y = 0. c) y = + 3 cm. d) y = + 9 cm. a) 𝑩−𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z negativo.
𝑩+𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟗 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟗 = 𝟒𝟒. 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z positivo. 𝑩 ⃗⃗ = (−𝟏𝟑𝟑 + 𝟒𝟒. 𝟒) ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ = −𝟖𝟖. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ b) Los dos campos creados son iguales y de sentidos contrarios, B=0. c) 𝑩−𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟗 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟗 = 𝟒𝟒. 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z negativo. 𝑩+𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z positivo. 𝑩 ⃗⃗ = (𝟏𝟑𝟑 − 𝟒𝟒. 𝟒) ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ = 𝟖𝟖. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ d) 𝑩−𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟏𝟓 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟏𝟓 = 𝟐𝟔. 𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z negativo. 𝑩+𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z negativo. 𝑩 ⃗⃗ = (−𝟐𝟔. 𝟕 − 𝟏𝟑𝟑) ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ = −𝟏𝟔𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 25. Hacer una representación esquemática de Bz en función de y para los puntos situados sobre el eje y cuando ambas corrientes circulan en el sentido negativo de las x. 𝑩−𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝟎.𝟎𝟔+𝒚 𝑩+𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝟎.𝟎𝟔−𝒚 𝑩𝒛 = 𝑩+𝟔 − 𝑩−𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ ( 𝟐∗𝑰 𝟎.𝟎𝟔−𝒚 − 𝟐∗𝑰 𝟎.𝟎𝟔+𝒚 ) 26. Hallar B en los puntos situados en el eje y como en el problema 24, pero en el caso en que la corriente que circula por el conductor es y = - 6 cm circula en el sentido
negativo del eje de las x y la corriente en el otro circula en y = + 6 cm en el sentido positivo del eje de las x. a) 𝑩−𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z negativo. 𝑩+𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟗 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟗 = 𝟒𝟒. 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z negativo. 𝑩 ⃗⃗ = (−𝟏𝟑𝟑 − 𝟒𝟒. 𝟒) ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ = −𝟏𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ b) 𝑩−𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟔 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟔𝟔. 𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z negativo. 𝑩+𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟔 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟗 = 𝟔𝟔. 𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z negativo. 𝑩 ⃗⃗ = (−𝟔𝟔. 𝟕 − 𝟔𝟔. 𝟕) ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ = −𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ c) 𝑩−𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟗 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟗 = 𝟒𝟒. 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z negativo. 𝑩+𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z negativo. 𝑩 ⃗⃗ = −(𝟏𝟑𝟑 + 𝟒𝟒. 𝟒) ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ = −𝟏𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ d) 𝑩−𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟏𝟓 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟏𝟓 = 𝟐𝟔. 𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z negativo. 𝑩+𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z positivo. 𝑩 ⃗⃗ = (𝟏𝟑𝟑 − 𝟐𝟔. 𝟕) ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ = 𝟏𝟎𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 27. Hacer un esquema de Bz en función de y para los puntos situados sobre el eje y cuando las corrientes tienen sentidos opuestos a los indicados en el problema 26. 𝑩+𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝟎.𝟎𝟔−𝒚 𝑩−𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝟎.𝟎𝟔+𝒚 𝑩𝒛 = 𝑩+𝟔 − 𝑩−𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ ( 𝟐∗𝑰 𝟎.𝟎𝟔−𝒚 − 𝟐∗𝑰 𝟎.𝟎𝟔+𝒚 )
28. Hallar B en el punto situado Enel eje z a z = + 8 cm si a) Las corrientes son paralelas, como en el problema 24. b) Las corrientes son antiparalelas como en el problema 26. a) 𝒅 = √𝟎. 𝟎𝟖𝟐 + 𝟎. 𝟎𝟔𝟐 = 𝟎. 𝟏 𝒎 𝑩−𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟏 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟏 = 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑻. Sentido dibujo. 𝑩+𝟔 = 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑻. Sentido dibujo. 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟎.𝟎𝟖 √𝟎.𝟎𝟖𝟐+𝟎.𝟎𝟔𝟐 = 𝟎. 𝟖 𝑩 ⃗⃗ = 𝟐 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒋 = 𝟐 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ 𝟎. 𝟖 𝒋 = 𝟔𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒋 b) 𝑩 ⃗⃗ = −𝟐 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ 𝐜𝐨 𝐬 𝜽 𝒌 ⃗ ⃗ = 𝟐 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ √𝟏 − 𝟎. 𝟖𝟐 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 𝑩 ⃗⃗ = −𝟒𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 29. Hallar el valor de la fuerza por unidad de longitud ejercida por un conductor sobre el otro. 𝑭 𝑳 = 𝑰 ∗ 𝑩 = 𝑰 ∗ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒅 = 𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟏𝟐 = 𝟔𝟔𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑵/𝒎 Será atractiva o repulsiva dependiendo de si las corrientes tienen el mismo sentido o sentido contrario. 30. Dos cables paralelos, largos y rectilíneos, separados 8,6 cm, transportan corrientes de igual magnitud I. Se repelen entre sí con una fuerza por unidad de longitud de 3,6 nN/m. a) ¿Son las corrientes paralelas o antiparalelas? b) Determinar I. a) Si son paralelas se atraen, por tanto, son antiparalelas.
b) 𝑭 𝑳 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟐 𝒅 ; 𝑰 = 𝑭 𝑳 ∗𝒅 𝟐∗ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 = √ 𝟑.𝟔∗𝟏𝟎−𝟗∗𝟎.𝟎𝟖𝟔 𝟐∗𝟏𝟎−𝟕 = 𝟑. 𝟗𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝑨 31. La corriente Enel conductor de la figura es 8,0 A. Hallar B en el punto P debido a cada segmento del conductor y sumar para hallar el valor resultante de B. 𝑩𝒂𝒃 = 𝑩𝒆𝒇 = 𝟎 Para un trozo de alambre recto tenemos: 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰 𝒅 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 + 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐) 𝑩𝒃𝒄 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰 𝒅 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓 + 𝒔𝒆𝒏 𝟎) = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰 𝒅 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓 𝑩𝒄𝒅 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰 𝒅 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓 + 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓) = 𝟐 ∗ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰 𝒅 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟒𝟓 𝑩𝒅𝒆 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰 𝒅 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓 + 𝒔𝒆𝒏 𝟎) = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰 𝒅 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓 𝑩 = 𝑩𝒃𝒄 + 𝑩𝒄𝒅 + 𝑩𝒅𝒆 = 𝟒 ∗ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰 𝒅 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓 = 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟖 𝟎.𝟎𝟏 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟒𝟓 𝑩 = 𝟐𝟐𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻 ; entrante en el papel. 32. Un conductor de 16 cm de longitud está suspendido por cables flexibles encima de un conductor rectilíneo largo. Se establecen en los conductores corrientes iguales y opuestas de modo que el conductor de 16 cm flota a 1,5 mm por encima del conductor largo sin que en los cables de suspensión aparezca ninguna tensión. Si la masa del conductor de 16 cm es 14 g, ¿Cuál es la corriente? 𝑭𝑩 = 𝒎 ∗ 𝒈 𝑭𝑩 =∗ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟐 𝒅 ∗ 𝑳 = 𝒎 ∗ 𝒈 𝑰 = √ 𝒎∗𝒈∗𝒅 𝟐∗ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗𝑳 = √𝟏𝟒∗𝟏𝟎−𝟑∗𝟗.𝟖𝟏∗𝟏.𝟓∗𝟏𝟎−𝟑 𝟐∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟎.𝟏𝟔 = 𝟖𝟎. 𝟐 𝑨 33. Tres conductores rectilíneos largos y paralelos pasan a través de los vértices de un triángulo equilátero de lado 10 cm, según se ve en la figura, en donde los puntos indican que la corriente está dirigida hacia el lector y la cruz significa que está dirigida hacia el papel. Si cada corriente vale 15,0 A, hallar a) La fuerza por unidad de longitud ejercida sobre el conductor superior. b) El campo magnético B en dicho conductor debido a los otros dos conductores inferiores.
b) B=𝟐 ∗ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒅 ∗ 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝟎) 𝑩 = 𝟐 ∗ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒅 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎 = 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟏𝟓 𝟎.𝟏 ∗ 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝟎) = 𝟓. 𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑻 a) 𝑭 𝑳 = |𝑰 ⊗ 𝑩 ⃗⃗ | = 𝟏𝟓 ∗ 𝟓. 𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑭/𝑳 = 𝟕. 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑵/𝒎 34. Resolver el problema 33 con la corriente invertida en el vértice inferior derecho de la figura anterior. B=𝟐 ∗ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒅 ∗ 𝒄𝒐𝒔(𝟔𝟎) = 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟏𝟓 𝟎.𝟏 ∗ 𝒄𝒐𝒔(𝟔𝟎) = 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑻 En este caso, aplicando la regla de los tres dedos: La fuerza estará dirigida horizontalmente hacia la izquierda y su valor será: b) 𝑭 𝑳 = |𝑰 ⊗ 𝑩 ⃗⃗ | = 𝟏𝟓 ∗ 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑭 𝑳 = 𝟒. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑵/𝒎 35. Un conductor aislado infinitamente largo está sobre el eje x y transporta una corriente de intensidad I en la dirección x positiva. Un segundo conductor infinitivamente largo y aislado está sobre el eje y y transporta la corriente I en la dirección y positiva. ¿En qué punto del plano xy el campo magnético resultante es cero? Aplicando la regla de la mano derecha observamos que los puntos buscados han de estar en el primer y tercer cuadrante:
𝑩𝟏 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒚 𝑩𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒙 Los dos campos serán iguales en el primer y tercer cuadrante cuando x = y. Por tanto, sobre la recta y=x. 36. Un cable conductor infinitamente largo, situado a lo largo del eje z transporta una corriente de 20 A en la dirección z positiva. Un segundo cable también infinitamente largo, es paralelo al eje z en x = 10 cm. a) Determinar la intensidad de la corriente en el segundo alambre sabiendo que el campo magnético en x = 2 cm es cero. b) ¿Cuál es el campo magnético en x = 5 cm? a) El primer conductor creará un campo horizontal como el indicado en la figura: El segundo conductor deberá tener una intensidad de sentido igual al primero para poder tener un campo de sentido contrario:
𝑩𝟏 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟏 𝟎.𝟎𝟐 = 𝑩𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟐 𝟎.𝟎𝟖 𝑰𝟏 𝟎.𝟎𝟐 = 𝑰𝟐 𝟎.𝟎𝟖 𝑰𝟐 = 𝟎.𝟎𝟖∗𝑰𝟏 𝟎.𝟎𝟐 = 𝟎.𝟎𝟖∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟐 = 𝟖𝟎 𝑨 b) 𝑩 ⃗⃗ 𝟏 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟐 𝟎.𝟎𝟓 ∗ 𝒋 − 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟏 𝟎.𝟎𝟓 ∗ 𝒋 = 𝟏𝟎−𝟕∗𝟐 𝟎.𝟎𝟓 ∗ (𝟖𝟎 − 𝟐𝟎) = 𝟐. 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 ∗ 𝒋 Considerando el sentido positivo del eje y el saliente del papel. 37. Tres alambres conductores muy largos y paralelos se hacen pasar por los vértices de un cuadrado, según se muestra en la figura. Calcular el campo magnético B en el vértice no ocupado cuando a) El sentido de todas las intensidades de corriente es hacia dentro del papel. b) I1 e I3 circulan en el sentido hacia dentro e I2 hacia fuera. c) I1 e I2 hacia dentro e I3 hacia fuera. a) 𝑩 ⃗⃗ 𝟏 = − 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟏 𝑳 ∗ 𝒋 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟐 𝑳∗√𝟐 ∗ (𝒄𝒐𝒔 (𝟒𝟓) ∗ 𝒊 − 𝒄𝒐𝒔 (𝟒𝟓) ∗ 𝒋) 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟐 𝑳∗√𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔(𝟒𝟓) ∗ (𝒊 − 𝒋) = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟐 𝑳∗√𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔(𝟒𝟓) ∗ (𝒊 − 𝒋) 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰𝟐 𝑳 ∗ (𝒊 − 𝒋) 𝑩 ⃗⃗ 𝟑 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟑 𝑳 ∗ 𝒊 𝑩 ⃗⃗ = 𝑩 ⃗⃗ 𝟏 + 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 + 𝑩 ⃗⃗ 𝟑 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟏 𝑳 ∗ ((𝑰𝟐 + 𝟐 ∗ 𝑰𝟑) ∗ 𝒊 − (𝟐 ∗ 𝑰𝟏 + 𝑰𝟐) ∗ 𝒋) b)
𝑩 ⃗⃗ 𝟏 = − 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟏 𝑳 ∗ 𝒋 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰𝟐 𝑳 ∗ (−𝒊 + 𝒋) 𝑩 ⃗⃗ 𝟑 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟑 𝑳 ∗ 𝒊 𝑩 ⃗⃗ = 𝑩 ⃗⃗ 𝟏 + 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 + 𝑩 ⃗⃗ 𝟑 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟏 𝑳 ∗ ((−𝑰𝟐 + 𝟐 ∗ 𝑰𝟑) ∗ 𝒊 + (−𝟐 ∗ 𝑰𝟏 + 𝑰𝟐) ∗ 𝒋) c) 𝑩 ⃗⃗ 𝟏 = − 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟏 𝑳 ∗ 𝒋 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰𝟐 𝑳 ∗ (𝒊 − 𝒋) 𝑩 ⃗⃗ 𝟑 = − 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟑 𝑳 ∗ 𝒊 𝑩 ⃗⃗ = 𝑩 ⃗⃗ 𝟏 + 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 + 𝑩 ⃗⃗ 𝟑 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟏 𝑳 ∗ ((𝑰𝟐 + 𝟐 ∗ 𝑰𝟑) ∗ 𝒊 + (−𝟐 ∗ 𝑰𝟏 − 𝑰𝟐) ∗ 𝒋) 38. Cuatro alambres largos, rectos y paralelos transportan cada uno la corriente I. En un plano perpendicular a los alambres, éstos se encuentran en los vértices de un cuadrado de lado a. Determinar la fuerza por unidad de longitud sobre uno de los alambres si a) Todas las corrientes se encuentran en la misma dirección. b) Las corrientes que fluyen por los alambres en vértices adyacentes tienen sentidos opuestos. a) 𝑩𝟏 = 𝑩𝟑 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒂 𝑩𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒂∗√𝟐 𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒂 ∗ (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓 √𝟐 ) (𝒊 − 𝒋) = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟑∗𝑰 𝒂 ∗ (𝒊 − 𝒋) 𝑭 ⃗ ⃗ 𝑳 = |𝑰 ⊗ 𝑩 ⃗⃗ | = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟑∗𝑰𝟐 𝒂 ∗ ((𝒊 + 𝒋) 𝑭 𝑳 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟑∗𝑰𝟐 𝒂 ∗ √𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟑∗𝑰𝟐 𝒂 ∗ √𝟐 b)
𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒂 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓 √𝟐 ) (𝒊 − 𝒋) = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰 𝒂 ∗ (𝒊 − 𝒋) 𝑭 ⃗ ⃗ 𝑳 = |𝑰 ⊗ 𝑩 ⃗⃗ | = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰𝟐 𝒂 ∗ ((𝒊 + 𝒋) 𝑭 𝑳 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰𝟐 𝒂 ∗ √𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰𝟐 𝒂 ∗ √𝟐 39. Un cilindro no conductor infinitamente largo de radio R está situado a lo largo del eje z. En la mitad superior del cilindro hay cinco cables conductores largos, paralelos al mismo e igualmente espaciados. Cada cable transporta una corriente I en la dirección z positiva. Determinar el campo magnético sobre el eje z. 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝑹 𝑩 ⃗⃗ = (𝑩𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓 + 𝑩𝟑 + 𝑩𝟒 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓) ∗ 𝒊 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝑹 ∗ ( √𝟐 𝟐 + 𝟏 + √𝟐 𝟐 ) ∗ 𝒊 𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝑹 ∗ (𝟏 + √𝟐) ∗ 𝒊 Solenoides 40. Un solenoide de longitud 30 cm, radio 1,2 cm y 300 vueltas transporta una corriente de 2,6 A. Determinar el campo magnético sobre el eje del solenoide a) En el centro. b) Dentro del solenoide en un punto situado a 10 cm de un extremo. c) En un extremo. a) 𝑩𝒙 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 ∗ ( 𝒃 √𝒃𝟐+𝑹𝟐 + 𝒂 √𝒂𝟐+𝑹𝟐 ) 𝑩𝒙(𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐) = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟑𝟎𝟎 𝟎.𝟑 ∗ 𝟐. 𝟔 ∗ ( 𝟎.𝟏𝟓 √𝟎.𝟏𝟓𝟐+𝟎.𝟎𝟏𝟐𝟐 + 𝟎.𝟏𝟓 √𝟎.𝟏𝟓𝟐+𝟎.𝟎𝟏𝟐𝟐 ) 𝑩𝒙(𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐) = 𝟑. 𝟐𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 b) 𝑩𝒙(𝟏𝟎 𝒄𝒎 𝒆𝒙𝒕) = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟑𝟎𝟎 𝟎.𝟑 ∗ 𝟐. 𝟔 ∗ ( 𝟎.𝟐 √𝟎.𝟐𝟐+𝟎.𝟎𝟏𝟐𝟐 + 𝟎.𝟏 √𝟎.𝟏𝟐+𝟎.𝟎𝟏𝟐𝟐 ) 𝑩𝒙(𝟏𝟎 𝒄𝒎 𝒆𝒙𝒕) = 𝟑. 𝟐𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 c) 𝑩𝒙(𝒆𝒙𝒕) = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟑𝟎𝟎 𝟎.𝟑 ∗ 𝟐. 𝟔 ∗ ( 𝟎.𝟑 √𝟎.𝟑𝟐+𝟎.𝟎𝟏𝟐𝟐 + 𝟎 √𝟎𝟐+𝟎.𝟎𝟏𝟐𝟐 )
𝑩𝒙(𝒆𝒙𝒕) = 𝟏. 𝟔𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 41. Un solenoide de 2,7 m de longitud posee un radio de 0,85 cm y 600 vueltas. Por él circula una corriente de 2,5 A. Determinar aproximadamente el campo magnético B sobre el eje del solenoide. 𝑩𝒙 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟔𝟎𝟎 𝟐.𝟕 ∗ 𝟐. 𝟓 = 𝟔. 𝟗𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑻 42. Un solenoide posee n vueltas por unidad de longitud, un radio R y por él circula una corriente I. Su eje coincide con el eje x y uno de sus extremos se encuentra en x = - 1/2 l y el otro en x = +1/2 l, siendo l la longitud total del solenoide. Demostrar que el campo magnético B en cualquier punto del eje x bien dado por 𝑩 = 𝟏 𝟐 𝝁𝒐𝒏𝑰(𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐) En donde 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟏 = 𝒙+ 𝟏 𝟐 𝒍 [𝑹𝟐+(𝒙+ 𝟏 𝟐 𝒍) 𝟐 ] 𝟏 𝟐 Y 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟐 = 𝒙− 𝟏 𝟐 𝒍 [𝑹𝟐+(𝒙− 𝟏 𝟐 𝒍) 𝟐 ] 𝟏 𝟐 Por el alambre del solenoide circula una corriente I. El número de vueltas por unidad de longitud es N/L; por tanto, el número de vueltas en una longitud infinitesimal dx son (N/L)dx vueltas. Esto produce una corriente 𝒅𝑰 = 𝑵∗𝑰 𝑳 ∗ 𝒅𝒙′ = 𝒏 ∗ 𝑰 ∗ 𝒅𝒙′. Para encontrar el campo en el punto cuya coordenada es x fuera del solenoide podemos determinar el campo en x debido a un segmento infinitesimal del solenoide de ancho dx′ en x′, y luego integrar desde x = − l /2 a x = l/2 . El segmento puede considerarse como una bobina n dx′ que lleva una corriente I. 𝒅𝑩𝒙 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝒅𝑰 [(𝒙−𝒙′)𝟐+𝑹𝟐] 𝟑 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝒏∗𝑰 [(𝒙−𝒙′)𝟐+𝑹𝟐] 𝟑 𝟐 ∗ 𝒅𝒙′ 𝑩𝒙 = 𝝁𝒐∗𝑹𝟐∗𝒏∗𝑰 𝟐 ∗ ∫ 𝒅𝒙′ [(𝒙−𝒙′)𝟐+𝑹𝟐] 𝟑 𝟐 𝒍 𝟐 − 𝒍 𝟐 = 𝝁𝒐∗𝒏∗𝑰 𝟐 ∗ [ 𝒙+ 𝟏 𝟐 𝒍 [𝑹𝟐+(𝒙+ 𝟏 𝟐 𝒍) 𝟐 ] 𝟏 𝟐 − 𝒙− 𝟏 𝟐 𝒍 [𝑹𝟐+(𝒙− 𝟏 𝟐 𝒍) 𝟐 ] 𝟏 𝟐 ] 𝑩𝒙 = 𝝁𝒐∗𝒏∗𝑰 𝟐 ∗ (𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐) 43. En el problema 42 se obtiene una fórmula para el campo magnético a lo largo del eje de un solenoide. Para x >> l y l >R, los ángulos ϴ1 y ϴ2 de la ecuación
𝑩 = 𝟏 𝟐 𝝁𝒐𝒏𝑰(𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐) son muy pequeños, de modo que la aproximación de ángulos pequeños cos ϴ ≈ 1 -ϴ2/2 es válida. a) Dibujar un diagrama y demostrar que 𝜽𝟏 = 𝑹 𝒙+ 𝟏 𝟐 𝒍 𝒚 𝜽𝟐 = 𝑹 𝒙− 𝟏 𝟐 𝒍 b) Demostrar que el campo magnético en un punto alejado de los extremos del solenoide puede escribirse en la forma 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒 𝝅 ( 𝒒𝒎 𝒓𝟏 𝟐 − 𝒒𝒎 𝒓𝟐 𝟐 ) En donde 𝒓𝟏 = 𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒍 es la distancia al extremo próximo del solenoide, 𝒓𝟐 = 𝒙 + 𝒍 𝟐 es la distancia al extremo alejado y 𝒒𝒎 = 𝒏 𝑰 𝝅 𝑹𝟐 el momento magnético del solenoide. a) 𝒕𝒈 𝜽𝟏 = 𝑹 𝒙+ 𝟏 𝟐 ∗𝒍 ; 𝒕𝒈 𝜽𝟐 = 𝑹 𝒙− 𝟏 𝟐 ∗𝒍 Para ángulos pequeños 𝒕𝒈 𝜽 ≈ 𝜽 𝜽𝟏 ≈ 𝑹 𝒙+ 𝟏 𝟐 ∗𝒍 ; 𝜽𝟐 ≈ 𝑹 𝒙− 𝟏 𝟐 ∗𝒍 b) 𝑩𝒙 = 𝝁𝒐∗𝒏∗𝑰 𝟐 ∗ (𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐) 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 ≈ 𝟏 − 𝟏 𝟐 ∗ ( 𝑹 𝒙+ 𝟏 𝟐 ∗𝒍 ) 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 ≈ 𝟏 − 𝟏 𝟐 ∗ ( 𝑹 𝒙− 𝟏 𝟐 ∗𝒍 ) 𝟐 𝑩𝒙 = 𝝁𝒐∗𝒏∗𝑰 𝟐 ∗ (𝟏 − 𝟏 𝟐 ∗ ( 𝑹 𝒙+ 𝟏 𝟐 ∗𝒍 ) 𝟐 − 𝟏 − 𝟏 𝟐 ∗ ( 𝑹 𝒙− 𝟏 𝟐 ∗𝒍 ) 𝟐 ) 𝑩𝒙 = 𝟏 𝟒 ∗ 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 ∗ 𝑹𝟐 ∗ ( 𝟏 (𝒙− 𝟏 𝟐 ∗𝒍) 𝟐 − 𝟏 (𝒙+ 𝟏 𝟐 ∗𝒍) 𝟐) Usando: 𝒓𝟏 = 𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒍 ; 𝒓𝟐 = 𝒙 + 𝒍 𝟐 𝒒𝒎 = 𝒏 𝑰 𝝅 𝑹𝟐 𝑩𝒙 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ ( 𝒒𝒎 𝒓𝟏 𝟐 − 𝒒𝒎 𝒓𝟐 𝟐 )
44. En este problema debe deducirse la ecuación 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒 𝝅 ( 𝒒𝒎 𝒓𝟏 𝟐 − 𝒒𝒎 𝒓𝟐 𝟐 ) por otro método. Consideremos un solenoide estrechamente arrollado, largo de longitud l y radio R<<l situado a lo largo del eje x con su centro en el origen. Posee N vueltas y transporta una corriente I. Consideremos un elemento del solenoide de longitud dx. a) ¿Cuál es el momento magnético de este elemento? b) Demostrar que el campo magnético dB debido a este elemento en un punto xo sobre el eje x, lejos del elemento, viene dado por 𝒅𝑩 = 𝝁𝒐 𝟐 𝝅 𝒏 𝑰 𝑨 𝒅𝒙 𝒙′𝟑 En donde 𝑨 = 𝝅 𝑹𝟐 y x’=xo-x es la distancia desde el elemento al punto del campo. c) Integrar esta expresión desde 𝒙 = − 𝟏 𝟐 𝒍 𝒂 𝒙 = + 𝟏 𝟐 𝒍 para obtener la ecuación 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒 𝝅 ( 𝒒𝒎 𝒓𝟏 𝟐 − 𝒒𝒎 𝒓𝟐 𝟐 ). a) El momento magnético del solenoide: 𝝁 = 𝑵 ∗ 𝑰 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹𝟐 b) El campo en el eje de una espira viene dado por: 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰∗𝑹𝟐 𝟐∗(𝑹𝟐+𝒙𝟐)𝟑/𝟐 Por el alambre del solenoide circula una corriente I. El número de vueltas por unidad de longitud es N/L; por tanto, el número de vueltas en una longitud infinitesimal dx son (N/L)dx vueltas. Esto produce una corriente 𝒅𝑰 = 𝑵∗𝑰 𝑳 ∗ 𝒅𝒙 = 𝒏 ∗ 𝑰 ∗ 𝒅𝒙. Para encontrar el campo en el punto cuya coordenada es x fuera del solenoide podemos determinar el campo en x debido a un segmento infinitesimal del solenoide de ancho dx′ en x′, y luego integrar desde x = − l /2 a x = l/2 . El segmento puede considerarse como una bobina n dx′ que lleva una corriente I. 𝒅𝑩𝒙 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝒅𝑰 [(𝒙′)𝟐+𝑹𝟐] 𝟑 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑨∗𝒏∗𝑰∗𝒅𝒙 [(𝒙′)𝟐+𝑹𝟐] 𝟑 𝟐 En este caso para puntos lejos del elemento: 𝒙′ ≫ 𝑹 𝒅𝑩𝒙 ≈ 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑨∗𝒏∗𝑰∗𝒅𝒙 [(𝒙′)𝟐] 𝟑 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑨∗𝒏∗𝑰∗𝒅𝒙 [𝒙′]𝟑 c) 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑨 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 ∗ ∫ 𝒅𝒙 [𝒙′]𝟑 𝒍 𝟐 − 𝒍 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑨 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 ∗ ∫ 𝒅𝒙 [𝒙𝒐−𝒙]𝟑 𝒍 𝟐 − 𝒍 𝟐 = 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑨 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 ∗ (− 𝟏 𝟐 ∗ 𝟏 [𝒙𝒐−𝒙]𝟐) − 𝒍 𝟐 𝒍 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑨 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 ∗ ( 𝟏 [𝒙𝒐− 𝒍 𝟐 ] 𝟐 − 𝟏 [𝒙𝒐+ 𝒍 𝟐 ] 𝟐) Usando: 𝒓𝟏 = 𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒍 ; 𝒓𝟐 = 𝒙 + 𝒍 𝟐 𝒒𝒎 = 𝒏 𝑰 𝝅 𝑹𝟐
𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝒒 ∗ ( 𝟏 [𝒓𝟏]𝟐 − 𝟏 [𝒓𝟐]𝟐) Ley de Ampére 45. La ley de Ampère es válida a) Cuando hay un alto grado de simetría. b) Cuando no hay simetría. c) Cuando la corriente es constante. d) Cuando el campo magnético es constante. e) En todas estas situaciones si la corriente es continua. Respuesta e. 46. Una corteza cilíndrica de paredes delgadas, rectilínea y larga de radio R transporta una corriente I. Determinar B dentro y fuera del cilindro. Podemos aplicar la ley de Ampère a un círculo centrado en el eje del cilindro y evaluar esta expresión para r < R y r > R para encontrar B dentro y fuera del cilindro. ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪 𝒅𝒍 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝒄 Para r<R: ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪 𝒅𝒍 = 𝝁𝒐 ∗ 𝟎 ; 𝑩 = 𝟎 Para r>R: ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪 𝒅𝒍 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 ; 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 ; 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝑹 47. En la figura una corriente vale 8 A y está dirigida hacia el papel, la otra corriente vale 8 A y está dirigida hacia el lector y cada una de las curvas es una trayectoria circular. a) Hallar ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪 𝒅𝒍 para cada trayectoria indicada. b) ¿Cuál de las trayectorias, si es que la hay, puede utilizarse para hallar B en cualquier punto debido a estas corrientes? a) Para C1: ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪𝟏 𝒅𝒍 = 𝝁𝒐 ∗ 𝟖 Para C2: ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪𝟐 𝒅𝒍 = 𝝁𝒐 ∗ 𝟎
Para C3: ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪𝟑 𝒅𝒍 = −𝝁𝒐 ∗ 𝟖 b) Ninguno de los caminos se puede utilizar para encontrar B en un punto general porque allí la configuración actual no tiene simetría cilíndrica. 48. Un cable coaxial muy largo tiene un conductor interior y una corteza conductora cilíndrica exterior concéntrica con la anterior de radio R. En un extremo, el conductor y la corteza están unidos a los términos opuestos de una batería de modo que existe una corriente que circula por ambos. Admitir que el cable es rectilíneo y hallar B a) En los puntos alejados de los extremos y entre el conductor y la corteza. b) En el exterior del cable. a) Sea I la corriente en el cable y la capa exterior. Podemos aplicar Ley de Ampère a un círculo, concéntrico con el alambre interior, de radio r para encontrar B en los puntos entre el cable y la carcasa lejos de los extremos (r < R), y fuera del cable (r > R). r<R: ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪 𝒅𝒍 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 ; 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 ; 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 r>R: ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪 𝒅𝒍 = 𝝁𝒐 ∗ 𝟎 ; 𝑩 = 𝟎 49. Por un conductor de radio 0,5 cm, circula una corriente de 100 A uniformemente distribuida en toda su sección recta. Hallar B a) A 0,1 cm del centro del conductor. b) En la superficie del mismo. c) En un punto exterior al conductor a 0,2 cm de la superficie del conductor. d) Construir un gráfico de B en función de la distancia al centro del conductor. a) ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪 𝒅𝒍 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝒊𝒏𝒕 ; 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝒊𝒏𝒕 ; 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰𝒊𝒏𝒕 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝝁𝒐∗ 𝑰 𝑹𝟐∗𝒓𝟐 𝟐∗𝝅∗𝒓 𝑩(𝒓 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏) = 𝝁𝒐∗𝑰∗𝒓 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏𝟎𝟎∗𝟎.𝟎𝟎𝟏 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟎𝟓𝟐 = 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑻 b) 𝑩(𝒓 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟓) = 𝝁𝒐∗𝑰∗𝒓 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝑹 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏𝟎𝟎∗𝟎.𝟎𝟎𝟓 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟎𝟓𝟐 = 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 c) En un punto del exterior: 𝑩(𝒓 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟕) = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏𝟎𝟎 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟎𝟕 = 𝟐, 𝟖𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 d)
50. Demostrar que no es posible obtener un campo magnético uniforme en el que no existe ningún campo disperso, como se ve en la figura, debido a que viola la ley de Ampére. Comprobando aplicando la ley de Ampére a la curva rectangular indicada por las líneas a trazos. La ley de Ampére establece que la integral de línea cerrada del campo magnético alrededor de una curva cerrada es igual a la corriente que atraviesa la superficie encerrada por la curva. Si aplicamos esta ley a la curva rectangular indicada por las líneas a trazos, encontramos que la integral de línea cerrada del campo magnético es cero, lo que implica que no hay corriente que atraviesa la superficie encerrada por la curva. Sin embargo, esto contradice el hecho de que hay un campo magnético uniforme en el interior del rectángulo. Por lo tanto, no es posible obtener un campo magnético uniforme en el que no existe ningún campo disperso sin violar la ley de Ampére. 51. Un cable coaxial está formado por un conductor sólido interno cilíndrico de radio 1,00 mm y una corteza cilíndrica externa conductora de radio interno 2,00 mm y un radio externo de 3,00 mm. Por el conductor interior circula una corriente de intensidad 18 A y una corriente igual retorna por el conductor exterior. Las corrientes son uniformes en toda la sección transversal de cada conductor. Determinar el valor numérico de ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪 𝒅𝒍 para una trayectoria circular cerrada (centrada en el eje del cable y en un plano perpendicular al eje) DE RADIO R PARA a) r=1,50 mm. b) R=2,50 mm. c) R=3,50mm. a) Para la región r<1,00 mm: ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪 𝒅𝒍 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝒊𝒏𝒕 ; 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝒊𝒏𝒕 ; 𝑩 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝒊𝒏𝒕 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 𝑹𝟐 ∗ 𝒓𝟐 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 𝑩(𝒓 < 𝟎, 𝟎𝟎𝟏) = 𝝁𝒐∗𝑰∗𝒓 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟐 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏𝟖∗𝒓 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟐 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒈𝒊ó𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒄𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔: 𝑩(𝟎. 𝟎𝟎𝟏 < 𝒓 < 𝟎, 𝟎𝟎𝟐) = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓
𝑩(𝒓 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟓) = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏𝟖 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟓𝟎 = 𝟐, 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 b) En esta región: 𝑰𝒊𝒏𝒕,𝒓 = 𝑰 ∗ (𝟏 − 𝒓𝟐−𝒓𝒊𝒏𝒕 𝟐 𝒓𝒆𝒙𝒕 𝟐 −𝒓𝒊𝒏𝒕 𝟐 ) 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰𝒊𝒏𝒕 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝝁𝒐∗𝑰∗(𝟏− 𝒓𝟐−𝒓𝒊𝒏𝒕 𝟐 𝒓𝒆𝒙𝒕 𝟐 −𝒓𝒊𝒏𝒕 𝟐 ) 𝟐∗𝝅∗𝒓 𝑩 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏𝟖∗(𝟏− 𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟓𝟐−𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟐 𝟎.𝟎𝟎𝟑𝟐−𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟐 ) 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟓 = 𝟕. 𝟗𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑻 c) 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰𝒊𝒏𝒕 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝟎 52. Una corteza cilíndrica gruesa infinitamente larga de radio interior a y radio exterior b transporta una corriente I uniformemente distribuida en toda la sección transversal de la corteza. Determinar el campo magnético en a) r<a. b) a<r<b. c) r>b. a) No hay corriente interior, B=0. b) En la región de la corteza: 𝑰𝒊𝒏𝒕,𝒓 = 𝑰 ∗ (𝟏 − 𝒓𝟐−𝒓𝒊𝒏𝒕 𝟐 𝒓𝒆𝒙𝒕 𝟐 −𝒓𝒊𝒏𝒕 𝟐 ) 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰𝒊𝒏𝒕 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝝁𝒐∗𝑰∗(𝟏− 𝒓𝟐−𝒓𝒊𝒏𝒕 𝟐 𝒓𝒆𝒙𝒕 𝟐 −𝒓𝒊𝒏𝒕 𝟐 ) 𝟐∗𝝅∗𝒓 c) En la región externa: 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 53. En la figura se muestra un solenoide que transporta una corriente I con n vueltas por unidad de longitud. Aplicar la ley de Ampére a la línea rectangular indicada para deducir una expresión de B, suponiendo que éste es uniforme dentro del solenoide y nulo en el exterior. ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪 𝒅𝒍 = ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝟏 𝒅𝒍 + ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝟐 𝒅𝒍 + ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝟑 𝒅𝒍 + ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝟒 𝒅𝒍 ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝟏 𝒅𝒍 = 𝒂 ∗ 𝑩 ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝟐 𝒅𝒍 = ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝟑 𝒅𝒍 = 𝟎 ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝟒 𝒅𝒍 = 𝟎 𝒂 ∗ 𝑩 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝑪 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝒂 ∗ 𝑰 𝑩 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰
54. Un toroide con un arrollamiento compacto, de radio interior 1 cm y radio exterior 2 cm, posee 1000 vueltas de alambre y transporta una corriente de 1,5 A. a) ¿Cuánto vale el campo magnético a una distancia de 1,1 cm del centro? b) ¿Cuánto vale a 1,5 cm del centro? a) ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪 𝒅𝒍 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝒊𝒏𝒕 ; 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝒊𝒏𝒕 ; 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰𝒊𝒏𝒕 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝝁𝒐∗𝑰∗𝑁 𝟐∗𝝅∗𝒓 𝑩 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏.𝟓∗𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟏𝟏 = 𝟐𝟕, 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 b) 𝑩 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏.𝟓∗𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟏𝟓 = 𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 55. El plano xz contiene una lámina infinita de corriente en la dirección z positiva. La intensidad de corriente por unidad de longitud (a lo largo de la dirección x) es λ. La figura muestra un punto P por encima de la lámina (y>0) y dos porciones de la lámina de corriente especificada por I1 e I2. a) ¿Cuál es la dirección del campo magnético en P debido a las dos porciones de corriente indicadas? b) ¿Cuál es la dirección del campo magnético B en P debido a la lámina entera? c) ¿Cuál es la dirección de B en un punto por debajo de la lámina (y<0)? d) Aplicar la ley de Ampère a la figura rectangular mostrada en la figura (b) y demostrar que el campo magnético en cualquier punto por encima de la lámina viene dado por 𝑩 = 𝟏 𝟐 𝝁𝒐𝝀 𝒊. a) Aplicando la regla de la mano derecha obtenemos que en los campos producidos por cada franja las componentes z se anulan, el campo apuntará hacia la derecha. b) La dirección será hacia la derecha. c) La dire3cción será hacia la izquierda. d) ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪 𝒅𝒍 = 𝟐 ∗ ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ ⊥ 𝒅𝒍 + 𝟐 ∗ ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ ∥ 𝒅𝒍 = 𝟎 + 𝟐 ∗ 𝑩 ∗ 𝝎 = 𝝁𝒐 ∗ 𝝀 ∗ 𝝎 𝑩 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝝁𝒐 ∗ 𝝀 ; 𝒅𝒊𝒓𝒊𝒈𝒊𝒅𝒐 𝒉𝒂𝒄𝒊𝒂 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂. Imantación y susceptibilidad magnética. 56. Verdadero o falso:
a) El diamagnetismo es el resultado de los momentos dipolares magnéticos inducidos. b) El paramagnetismo es el resultado del alineamiento parcial de los momentos dipolares magnéticos permanentes. a) Verdadero. b) Verdadero. 57. Si la susceptibilidad magnética es positiva a) Los efectos paramagnéticos o los efectos ferromagnéticos deben ser mayores que los diamagnéticos. b) Los efectos diamagnéticos deben ser mayores que los paramagnéticos. c) Los efectos diamagnéticos deben ser mayores que los ferromagnéticos. d) Los efectos ferromagnéticos deben ser mayores que los paramagnéticos. e) Los efectos paramagnéticos deben ser mayores que los ferromagnéticos. La susceptibilidad magnética 𝝌𝒎 está definida por la ecuación 𝑴 ⃗⃗⃗ = 𝝌𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝝁𝒐 , para los materiales paramagnéticos 𝝌𝒎es un número pequeño que depende de la temperatura. Para los diamagnéticos es un número pequeño, negativo, que no depende de la temperatura. (a) será correcto. 58. Un solenoide con arrollamiento compacto de 20 cm de largo tiene 400 vueltas por las que circula una corriente de 4 A de modo que su campo axial tiene la dirección z. Despreciando los extremos, hallar B y Bap en el centro cuando a) No existe ningún núcleo en el solenoide. b) Existe un núcleo de hierro en el solenoide con una imantación M=1,2 106 A/m. a) 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟒𝟎𝟎 𝟎.𝟐 ∗ 𝟒 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟎𝟓 𝑻 b) 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 + 𝝁𝒐 ∗ 𝑴 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟎𝟓 + 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏. 𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟔 = 𝟏. 𝟓𝟐 𝑻 59. ¿Cuáles de los cuatro gases relacionados en la tabla son diamagnéticos y cuales son paramagnéticos? Diamagnéticos: Hidrógeno, dióxido de carbono y nitrógeno. Paramagnéticos: Oxígeno.
60. Si el solenoide del problema 58 tiene un núcleo de aluminio, hallar Bap, M y B en el centro, despreciando los efectos de los extremos. Sin núcleo: 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟒𝟎𝟎 𝟎.𝟐 ∗ 𝟒 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟎𝟓 𝑻 𝑪𝒐𝒏 𝒏ú𝒄𝒍𝒆𝒐: 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 + 𝝁𝒐 ∗ 𝑴 = 𝑩𝒂𝒑 + 𝝌𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟎𝟓 + 𝟐. 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟎𝟓 𝑩 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟎𝟓𝟎𝟐 𝑻 61. Repetir el problema 60 en el caso e un núcleo de tungsteno. Sin núcleo: 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟒𝟎𝟎 𝟎.𝟐 ∗ 𝟒 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟎𝟓 𝑻 𝑪𝒐𝒏 𝒏ú𝒄𝒍𝒆𝒐: 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 + 𝝁𝒐 ∗ 𝑴 = 𝑩𝒂𝒑 + 𝝌𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 𝑩 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟎𝟓 + 𝟔. 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟎𝟓 𝑩 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟎𝟓𝟎𝟔𝟖 𝑻 62. Un solenoide largo está arrollado alrededor de un núcleo de tungsteno y transporta una corriente. a) Si se extrae el núcleo mientras la corriente se mantiene constante, ¿el campo magnético dentro del solenoide crece o decrece? b) ¿En qué porcentaje? a) 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 + 𝝁𝒐 ∗ 𝑴; 𝑩 > 𝑩𝒂𝒑 ; 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒎𝒑𝒐 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒆 b) 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 + 𝝌𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 = 𝑩𝒂𝒑 ∗ (𝟏 + 𝝌𝒎) 𝑩 𝑩𝒂𝒑 = 𝟏 + 𝝌𝒎 Crece en 𝝌𝒎 = 𝟔. 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ; 𝟔. 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 % 63. Cuando una muestra de líquido se inserta en un solenoide que transporta una corriente de intensidad constante, el campo magnético dentro del solenoide disminuye en un 0,004 por ciento. ¿Cuál es la susceptibilidad magnética del líquido? Siguiendo el razonamiento del problema anterior: 𝑩 𝑩𝒂𝒑 = 𝟏 + 𝑩 𝑩𝒂𝒑 = 𝟏 + 𝝌𝒎 𝝌𝒎 = −𝟒. 𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 64. Un solenoide largo que transporta una corriente de 10 A tiene 50 vueltas/cm. ¿Cuál es el campo magnético en el interior del solenoide si a) Está vacío. b) Está lleno de aluminio. c) Está lleno de plata. a) 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ (𝟓𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎) ∗ 𝟏𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟔𝟐𝟖𝟑 𝑻 b) 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 ∗ (𝟏 + 𝝌𝒎) = 𝟎. 𝟎𝟔𝟐𝟖𝟑 ∗ (𝟏 + 𝟐. 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ) = 𝟎. 𝟎𝟔𝟐𝟖𝟑𝟏𝟒 𝑻 c) 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 ∗ (𝟏 + 𝝌𝒎) = 𝟎. 𝟎𝟔𝟐𝟖𝟑 ∗ (𝟏 − 𝟐. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ) = 𝟎. 𝟎𝟔𝟐𝟖𝟐𝟖𝟒 𝑻
65. Un ingeniero intenta llenar un solenoide con una mezcla de oxígeno y nitrógeno a la temperatura ambiente y presión de 1 atmósfera, de tal modo que Km sea exactamente igual a la unidad. Se supone que los momentos dipolares magnéticos de las moléculas del gas están todos alineados y que la susceptibilidad de un gas es proporcional a la densidad numérica de sus moléculas. ¿En qué relación deben estar las densidades numéricas de las moléculas de oxígeno y nitrógeno para que Km=1? 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 𝑲𝒎 = 𝑩 𝑩𝒂𝒑 = 𝟏 + 𝝌𝒎 𝝌𝒎 = 𝟎 ; 𝒅𝑶𝟐 ∗ 𝝌𝑶𝟐 + 𝒅𝑵𝟐 ∗ 𝝌𝑵𝟐 = 𝟎 𝒅𝑶𝟐 𝒅𝑵𝟐 = −𝝌𝑵𝟐 𝝌𝑶𝟐 = 𝟓.𝟎 𝟐𝟎𝟗𝟎 = 𝟐. 𝟑𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 66. Un cilindro de material magnético se sitúa en el interior de un largo solenoide de n vueltas por unidad de longitud por el que circula una corriente de intensidad I. La tabla nos ofrece el campo magnético B en función de n I. Utilizar estos valores para representar B en función de Bap y Km en función de n I. 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 ∗ (𝟏 + 𝝌𝒎) = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 ∗ (𝟏 + 𝝌𝒎) 𝑲𝒎 = 𝑩 𝑩𝒂𝒑 = 𝑩 𝝁𝒐∗𝒏∗𝑰
67. Una pequeña muestra magnética posee forma de disco. Tiene un radio de 1,4 cm, un espesor de 0,3 cm y una imantación uniforme en todo su volumen. El momento magnético de la muestra es 1,5 10-2 A m2 . a) ¿Cuál es su imantación? b) Si esta imantación es debida al alineamiento de N electrones, cada uno de los cuales posee un momento magnético de 1 μB, ¿Cuál es el valor de N? c) Si la imantación tiene lugar a lo largo del eje del disco, ¿Cuál es la magnitud de la corriente superficial amperiana? a) 𝑴 = 𝝁 𝑽 = 𝝁 𝝅∗𝒓𝟐∗𝒅 = 𝟏.𝟓∗𝟏𝟎−𝟐 𝝅∗𝟎.𝟎𝟏𝟒𝟐∗𝟎.𝟎𝟎𝟑 = 𝟖𝟏𝟐𝟎 𝑨/𝒎 b) 𝝁 = 𝑵 ∗ 𝝁𝑩 ; 𝑵 = 𝝁 𝝁𝑩 = 𝟏.𝟓∗𝟏𝟎−𝟐 𝟗.𝟐𝟕∗𝟏𝟎−𝟐𝟒 = 𝟏. 𝟔𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟐𝟏 c) 𝝁 = 𝑨 ∗ 𝑰 ; 𝑰 = 𝝁 𝑨 = 𝑴∗𝑽 𝑨 = 𝑴∗𝑨∗𝒅 𝑨 = 𝑴 ∗ 𝒆 = 𝟖𝟏𝟐𝟎 ∗ 𝟎. 𝟎𝟎𝟑 = 𝟐𝟒. 𝟒 𝑨 68. El momento magnético de la tierra es aproximadamente 9 1022 A m2 . a) Si la imantación del núcleo terrestre fuera 1,5 109 A/m, ¿Cuál sería su volumen? b) ¿Cuál es el radio de este núcleo supuesto esférico y centrado en la Tierra? a) 𝑴 = 𝝁 𝑽 ; 𝑽; 𝑽 = 𝝁 𝑴 = 𝟗∗𝟏𝟎𝟐𝟐 𝟏.𝟓∗𝟏𝟎𝟗 = 𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟑 𝒎𝟑 b) 𝑽 = 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹𝟑 ; 𝑹 = √ 𝟑∗𝑽 𝟒∗𝝅 𝟑 = √𝟑∗𝟔∗𝟏𝟎𝟏𝟑 𝟒∗𝝅 𝟑 = 𝟐𝟒𝟐𝟖𝟔 𝒎 Momentos magnéticos atómicos
69. El níquel tiene una densidad de 8,7 g/ cm3 y una masa molar de 58,7 g/mol. Su imantación de saturación es 𝝁𝒐𝑴𝒔 = 𝟎, 𝟔𝟏 𝑻. Calcular el momento magnético en magnetones de Bohr de un átomo de Níquel. 𝑴𝒔 = 𝒏 ∗ 𝝁 ; 𝝁 = 𝑴𝒔 𝒏 𝒏 = 𝑵𝑨∗𝝆 𝑴 𝝁 = 𝑴𝒔 𝑵𝑨∗𝝆 𝑴 = 𝝁𝒐∗𝑴𝒔 𝝁𝒐∗ 𝑵𝑨∗𝝆 𝑴 = 𝝁𝒐∗𝑴𝒔∗𝑴 𝝁𝒐∗𝑵𝑨∗𝝆 𝝁 = 𝟎.𝟔𝟏∗𝟓𝟖.𝟕∗𝟏𝟎−𝟑 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟔.𝟎𝟐∗𝟏𝟎𝟐𝟑∗𝟖.𝟕∗𝟏𝟎𝟑 = 𝟓. 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟒 𝑨 ∗ 𝒎𝟐 El magnetón de Bohr es: 𝝁𝑩 = 𝟗. 𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟒 𝑨 ∗ 𝒎𝟐 . 𝝁 = 𝟎. 𝟓𝟖𝟕 ∗ 𝝁𝑩 70. Repetir el problema 69 para el cobalto, que tiene una densidad de 8,9 g/cm3 , una masa molar de 58,9 g/mol y una imantación de saturación 𝝁𝒐𝑴𝒔 = 𝟏, 𝟕𝟗 𝑻. 𝑴𝒔 = 𝒏 ∗ 𝝁 ; 𝝁 = 𝑴𝒔 𝒏 𝒏 = 𝑵𝑨∗𝝆 𝑴 𝝁 = 𝑴𝒔 𝑵𝑨∗𝝆 𝑴 = 𝝁𝒐∗𝑴𝒔 𝝁𝒐∗ 𝑵𝑨∗𝝆 𝑴 = 𝝁𝒐∗𝑴𝒔∗𝑴 𝝁𝒐∗𝑵𝑨∗𝝆 𝝁 = 𝟏.𝟕𝟗∗𝟓𝟖.𝟗∗𝟏𝟎−𝟑 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟔.𝟎𝟐∗𝟏𝟎𝟐𝟑∗𝟖.𝟗∗𝟏𝟎𝟑 = 𝟏. 𝟓𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟑 𝑨 ∗ 𝒎𝟐 El magnetón de Bohr es: 𝝁𝑩 = 𝟗. 𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟒 𝑨 ∗ 𝒎𝟐 . 𝝁 = 𝟏. 𝟔𝟗 ∗ 𝝁𝑩 Paramagnetismo (opcional) 71. Demostrar que la ley de Curie predice que la susceptibilidad magnética de una sustancia paramagnética viene dada por 𝝌𝒎 = 𝝁 𝝁𝒐𝑴𝒔 𝟑 𝒌 𝑻 . Ley de Curie: 𝑴 = 𝟏 𝟑 ∗ 𝝁∗𝑩𝒂𝒑 𝒌∗𝑻 ∗ 𝑴𝒔 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑴𝒔 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒔𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏. Por otra parte: 𝑴 = 𝝌𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 𝝁𝒐 Igualando: 𝝌𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 𝝁𝒐 = 𝟏 𝟑 ∗ 𝝁∗𝑩𝒂𝒑 𝒌∗𝑻 ∗ 𝑴𝒔 𝝌𝒎 = 𝟏 𝟑 ∗ 𝝁∗𝝁𝒐 𝒌∗𝑻 ∗ 𝑴𝒔 72. En un modelo sencillo del paramagnetismo podemos considerar que cierta fracción f de las moléculas tienen sus momentos magnéticos alineados con el campo magnético externo y el resto de ellas están orientadas al azar, de modo que no contribuyen al campo magnético. a) Utilizar este modelo de la ley de Curie para demostrar que a una temperatura T y con un campo externo B esta fracción de moléculas alineadas es 𝒇 = 𝝁 𝑩 𝟑 𝒌𝑻 .
b) Calcular esta fracción para T=300 K, B= 1 T, admitiendo que μ es un magnetón de Bohr. a) 𝑴 = 𝒇 ∗ 𝑴𝒔 Según la ley de Curie: 𝑴 = 𝟏 𝟑 ∗ 𝝁∗𝑩𝒂𝒑 𝒌∗𝑻 ∗ 𝑴𝒔 Igualando: 𝒇 ∗ 𝑴𝒔 = 𝟏 𝟑 ∗ 𝝁∗𝑩𝒂𝒑 𝒌∗𝑻 ∗ 𝑴𝒔 𝒇 = 𝟏 𝟑 ∗ 𝝁∗𝑩 𝒌∗𝑻 ; 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 b) 𝒇 = 𝟏 𝟑 ∗ 𝝁∗𝑩 𝒌∗𝑻 = 𝟏 𝟑 ∗ 𝟗.𝟐𝟕∗𝟏𝟎−𝟐𝟒∗𝟏 𝟏.𝟑𝟖𝟏∗𝟏𝟎−𝟐𝟑∗𝟑𝟎𝟎 = 𝟕. 𝟒𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 73. Admitir que el momento magnético de un átomo de aluminio es 1 magnetón de Bohr. La densidad del aluminio es 2,7 g/cm3 y su masa molar es de 27 g/mol. a) Calcular Ms y μo Ms, para el aluminio. b) Utilizar el resultado del problema 71 para calcular 𝝌𝒎 a T=300 K. c) Explicar por qué el resultado de (b) es mayor que el valor que se muestra en la tabla: a) 𝑴𝒔 = 𝒏 ∗ 𝝁 𝒏 = 𝑵𝑨∗𝝆 𝑴 𝑴𝒔 = 𝑵𝑨∗𝝆 𝑴 ∗ 𝝁𝑩 = 𝟔.𝟎𝟐∗𝟏𝟎𝟐𝟑∗𝟐.𝟕∗𝟏𝟎𝟑 𝟎.𝟎𝟐𝟕 ∗ 𝟗. 𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟒 = 𝟓. 𝟓𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑨/𝒎 𝑩𝑺 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑴𝒔 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟓. 𝟓𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟓 = 𝟎. 𝟕𝟎𝟏 𝑻 b) 𝝌𝒎 = 𝟏 𝟑 ∗ 𝝁∗𝝁𝒐 𝒌∗𝑻 ∗ 𝑴𝒔 = 𝟏 𝟑 ∗ 𝟗.𝟐𝟕∗𝟏𝟎−𝟐𝟒∗𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕 𝟏.𝟑𝟖𝟏∗𝟏𝟎−𝟐𝟑∗𝟑𝟎𝟎 = 𝟓. 𝟐𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 c) En el cálculo se prescinde de los efectos diamagnéticos. 74. Un toroide de N vueltas, de radio medio R y radio de su sección transversal r, siendo r<<R, transporta por su arrollamiento una corriente de intesidad I (figura). Cuando se rellena el toroide con cierto material, se denomina anillo de Rowlan. Hallar Bap y B en dicho anillo. Admitir que la imantación M en todos los puntos es paralela a Bap. El campo en el toroide: 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 ; 𝒄𝒐𝒏 𝑹 − 𝒓 < 𝒂 < 𝑹 + 𝒓 El campo resultante es la suma de éste y μoM: 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 + 𝝁𝒐 ∗ 𝑴 = 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 + 𝝁𝒐 ∗ 𝑴
75. Un toroide se rellena con oxígeno líquido, cuya susceptibilidad magnética es 4 10-3 . El toroide posee 2000 vueltas y transporta una corriente de 15 A. Su radio medio es de 20 cm y el radio de su sección transversal 0,8 cm. a) ¿Cuál es la imantación? b) ¿Cuál es el campo magnético B? c) ¿Cuál es el porcentaje en que se ha incrementado el campo B producido por el oxígeno líquido? a) 𝑴 = 𝝌𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 𝝁𝒐 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 𝑴 = 𝝌𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 𝝁𝒐 = 𝝌𝒎 ∗ 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 𝝁𝒐 = 𝝌𝒎 ∗ 𝑵∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 = 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝟐𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟓 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟐 = 𝟗𝟓. 𝟓 𝑨/𝒎 b) 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 ∗ (𝟏 + 𝝌𝒎) = 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 ∗ (𝟏 + 𝝌𝒎) = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟐𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟓 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟐 ∗ (𝟏 + 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ) 𝑩 = 𝟑𝟎. 𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 c) 𝚫𝑩 𝑩 = 𝑩−𝑩𝒂𝒑 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑∗(𝟏+𝝌𝒎)−𝑩𝒂𝒑 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑∗𝝌𝒎 𝑩𝒂𝒑∗(𝟏+𝝌𝒎) = 𝝌𝒎 𝟏+𝝌𝒎 = 𝟒∗𝟏𝟎−𝟑 𝟏+𝟒∗𝟏𝟎−𝟑 = 𝟑. 𝟗𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝟎. 𝟑𝟗𝟖 % 76. Un toroide de radio medio 14 cm y área de la sección transversal de 3 cm2 está arrollado con alambre fino a razón de 60 vueltas/cm, medidas a lo largo de su circunferencia media, transportando una corriente de intensidad 4 A. El núcleo está relleno de un material paramagnético, cuya susceptibilidad es 2,9 10-4 . a) ¿Cuál es la magnitud del campo magnético dentro de la sustancia? b) ¿Cuál es la magnitud de la imantación? c) ¿Cuál sería la magnitud del campo magnético si no estuviera presente el núcleo paramagnético? a) 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 ∗ (𝟏 + 𝝌𝒎) 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 𝑩 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 ∗ (𝟏 + 𝝌𝒎) = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟔𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟐 ∗ 𝟒 ∗ (𝟏 + 𝟐. 𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 ) 𝑩 = 𝟑𝟎. 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 b) 𝑴 = 𝝌𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 𝝁𝒐 = 𝝌𝒎 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 = 𝟐. 𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 ∗ 𝟔𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟐 ∗ 𝟒 = 𝟔. 𝟗𝟔 𝑨/𝒎 c) 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟔𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟐 ∗ 𝟒 = 𝟑𝟎. 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 Ferromagnetismo 77. En el caso del hierro recocido la permeabilidad Km tiene un valor máximo de unos 5500 para 𝑩𝒂𝒑 = 𝟏, 𝟓𝟕 𝟏𝟎−𝟒 𝑻. Hallar M y B cuando Km es máximo. 𝑩 = 𝑲𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 = 𝟓𝟓𝟎𝟎 ∗ 𝟏. 𝟓𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 = 𝟎. 𝟖𝟔𝟒 𝑻 𝑴 = (𝑲𝒎 − 𝟏) ∗ 𝑩𝒂𝒑 𝝁𝒐 = (𝟓𝟓𝟎𝟎 − 𝟏) ∗ 𝟏.𝟓𝟕∗𝟏𝟎−𝟒 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕 = 𝟔. 𝟖𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑨/𝒎 78. La imantación de saturación en el caso del hierro recocido tiene lugar cuando Bap=0,201 T. Hallar la permeabilidad μ y la permeabilidad relativa Km en la saturación (ver tabla). 𝝁 = (𝟏 + 𝝌𝒎) ∗ 𝝁𝒐
𝑴 = 𝝌𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 𝝁𝒐 𝝌𝒎 = 𝑴∗𝝁𝒐 𝑩𝒂𝒑 = 𝟐.𝟏𝟔 𝟎.𝟐𝟎𝟏 = 𝟏𝟎. 𝟕𝟓 𝑲𝒎 = (𝟏 + 𝝌𝒎) = 𝟏 + 𝟏𝟎. 𝟕𝟓 = 𝟏𝟏. 𝟕𝟓 𝝁 = (𝟏 + 𝝌𝒎) ∗ 𝝁𝒐 = 𝟏𝟏. 𝟕𝟓 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 = 𝟏. 𝟒𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑵/𝑨𝟐 79. La fuerza coercitiva se define como el campo magnético aplicado necesario para anular B a lo largo de la curva de histéresis (punto c de la figura) Para un determinado imán permanente en forma de barra es Bap=5.53 10-2 T. El imán en forma de barra ha de desimantarse situándolo en el interior de un solenoide largo de 15 cm de longitud y 600 vueltas. ¿Cuál es la corriente mínima necesaria que ha de circular por el solenoide para desimantar el imán? En el solenoide: 𝑩𝒙 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 𝑰 = 𝑩𝒙 𝝁𝒐∗𝒏 = 𝑩𝒂𝒑 𝝁𝒐∗𝒏 = 𝟓.𝟓𝟑∗𝟏𝟎−𝟐 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗ 𝟔𝟎𝟎 𝟎.𝟏𝟓 = 𝟏𝟏. 𝟎 𝑨 80. Un solenoide largo tiene 50 vueltas/cm y por él circula una corriente de 2 A. Al solenoide lo atraviesa un núcleo de hierro y se mide B resultando valer 1,72 T. a) ¿Cuál es el valor de Bap (despreciando los efectos de los extremos)? b) ¿Cuál es el valor de M? c) ¿Cuál es la permeabilidad relativa Km en este caso? a) 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟓𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟐 ∗ 𝟐 = 𝟏𝟐. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 b) 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 + 𝝁𝒐 ∗ 𝑴 𝑴 = 𝑩−𝑩𝒂𝒑 𝝁𝒐 = 𝟏.𝟕𝟐−𝟏𝟐.𝟔∗𝟏𝟎−𝟑 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕 = 𝟏. 𝟑𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝑨/𝒎 c) 𝑩 = 𝑲𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 ; 𝑲𝒎 = 𝑩 𝑩𝒂𝒑 = 𝟏.𝟕𝟐 𝟏.𝟑𝟔∗𝟏𝟎𝟔 = 𝟏𝟑𝟕 81. Cuando la corriente que circula por el solenoide del problema 80 es 0,2 A, el campo magnético medido resulta valer 1,58 T. a) Despreciando los efectos de los extremos, ¿Cuánto vale Bap? b) ¿Cuánto vale M? c) ¿Cuánto vale la permeabilidad relativa? a) 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟓𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟐 ∗ 𝟎. 𝟐𝟐 = 𝟏. 𝟐𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 b) 𝑴 = 𝑩−𝑩𝒂𝒑 𝝁𝒐 = 𝟏.𝟓𝟖−𝟏𝟐.𝟔∗𝟏𝟎−𝟑 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕 = 𝟏. 𝟐𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝑨/𝒎 c) 𝑲𝒎 = 𝑩 𝑩𝒂𝒑 = 𝟏.𝟓𝟖 𝟏.𝟐𝟔∗𝟏𝟎𝟔 = 𝟏. 𝟐𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟑
82. Un solenoide largo con núcleo de hierro que posee 2000 vueltas/m transporta una corriente de 20 mA. Con esta corriente, la permeabilidad relativa del núcleo de hierro es 1200. a) ¿Cuál es el campo magnético dentro del solenoide? b) ¿Cuándo se extrae el núcleo de hierro, determinar la corriente necesaria para producir el mismo campo dentro del solenoide? a) 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 𝑩 = 𝑲𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 = 𝑲𝒎 ∗ 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎. 𝟎𝟐𝟎 𝑩 = 𝟔𝟎. 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 b) 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 𝑰 = 𝑩 𝝁𝒐∗𝒏 = 𝟔𝟎.𝟑∗𝟏𝟎−𝟑 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟑. 𝟗𝟗 𝑨 83. Dos alambres largos y rectilíneos están separados 4,0 cm e incluidos en un aislante uniforme, cuya permeabilidad relativa es 𝑲𝒎 = 𝟏𝟐𝟎. Los alambres transportan 40 A en sentidos opuestos. a) ¿Cuál es el campo magnético en el punto medio del plano de los alambres? b) ¿Cuál es la fuerza por unidad de longitud sobre los alambres? a) El campo creado por un hilo es: 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝟎∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 Los dos hilos crean en el punto medio el mismo campo magnético y en el sentido, el campo en el punto considerado es: 𝑩𝒂𝒑 = 𝟐 ∗ 𝝁𝟎∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 Teniendo en cuenta el aislante: 𝑩 = 𝑲𝒎 ∗ 𝟐 ∗ 𝝁𝟎∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 = 𝟏𝟐𝟎 ∗ 𝟐 ∗ 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟒𝟎 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟐 = 𝟗𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 b) 𝑭 𝑳 = 𝑩 ∗ 𝑰 El campo en el punto donde está un alambre creado por el otro es: 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝟎∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 ; 𝑩 = 𝑲𝒎 ∗ 𝝁𝟎∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 𝑭 𝑳 = 𝑩 ∗ 𝑰 = 𝑲𝒎 ∗ 𝝁𝟎∗𝑰𝟐 𝟐∗𝝅∗𝒂 = 𝟏𝟐𝟎 ∗ 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟒𝟎𝟐 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟒 = 𝟎. 𝟗𝟔𝟎 𝑵/𝒎 84. El toroide del problema 75 tiene su núcleo relleno de hierro. Cuando la corriente es de 10 A, el campo magnético en el toroide es 1,8 T. a) ¿Cuál es la imantación? b) Determinar los valores de Km, μ y 𝝌𝒎 correspondientes a la muestra hierro. a) 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 + 𝝁𝒐 ∗ 𝑴 𝑴 = 𝑩−𝑩𝒂𝒑 𝝁𝒐 = 𝑩− 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 𝝁𝒐 = 𝑩 𝝁𝒐 − 𝑵∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 𝑴 = 𝟏.𝟖 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕 − 𝟐𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟎 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟐 = 𝟏. 𝟒𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝑨/𝒎 b) 𝑲𝒎 = 𝑩 𝑩𝒂𝒑 = 𝑩 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑩 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 = 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟐∗𝟏.𝟖 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟐𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟎 = 𝟗𝟎. 𝟎 𝝁 = 𝑲𝒎 ∗ 𝝁𝒐 = 𝟗𝟎 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 = 𝟏. 𝟏𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑻 ∗ 𝒎/𝑨 𝑲𝒎 = 𝟏 + 𝝌𝒎 ; 𝝌𝒎 = 𝑲𝒎 − 𝟏 = 𝟖𝟗. 𝟎 85. ¿Cuál sería el resultado del problema 76 si sustituyéramos el núcleo paramagnético por hierro dulce, cuya permeabilidad relativa es 500?
𝑩 = 𝑲𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 = 𝑲𝒎 ∗ 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 𝑵 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝒏 B= 𝑲𝒎 ∗ 𝝁𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝒏∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝑲𝒎 ∗ 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 = 𝟓𝟎𝟎 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ (𝟔𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎) ∗ 𝟎. 𝟐 𝑩 = 𝟎. 𝟕𝟓𝟒 𝑻 86. Un alambre largo y rectilíneo con un radio de 1,0 mm se recubre con un material ferromagnético aislante de espesor 3,0 mm y una permeabilidad magnética relativa Km= 400. El alambre así recubierto se encuentra Enel aire. El alambre en sí mismo no es magnético y transporta una corriente de 40 A. a) Determinar el campo magnético dentro del alambre en función del radio r. b) Determinar el campo magnético dentro del material ferromagnético en función del radio r. c) Determinar el campo magnético fuera del material ferromagnético en función de r. d) ¿Cuáles serán las magnitudes y direcciones de las corrientes amperianas sobre las superficies del material ferromagnético que expliquen los campos magnéticos observados? a) Dentro del alambre en un radio r: 𝑰 𝝅∗𝒂𝟐 = 𝑰𝑪 𝝅∗𝒓𝟐 ; 𝑰𝒄 = 𝒓𝟐 𝒂𝟐 ∗ 𝑰 Aplicando la ley de Ampere: 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝒄 𝑩(𝒓) = 𝝁𝒐∗𝑰𝒄 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝝁𝒐∗ 𝒓𝟐 𝒂𝟐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂𝟐 ∗ 𝒓 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟒𝟎 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟐 ∗ 𝒓 = 𝟖. 𝟎𝟎 ∗ 𝒓 b) 𝑩 = 𝑲𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 Aplicando la ley de Ampere: 𝑩𝒂𝒑 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 ; 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 𝑩 = 𝑲𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 = 𝑲𝒎 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝟒𝟎𝟎∗𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟒𝟎 𝟐∗𝝅 ∗ 𝟏 𝒓 = 𝟑. 𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝟏 𝒓 c) 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 Aplicando la ley de Ampere: 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 ; 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 𝑩 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟒𝟎 𝟐∗𝝅 ∗ 𝟏 𝒓 = 𝟖. 𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝒓 d) Tenga en cuenta que el campo en la región ferromagnética es el que se produciría en una región no magnética por una corriente de 400*I = 1600 A. La corriente amperiana en el interior de la superficie del material ferromagnético debe ser (1600 − 40) A = 1560 A en la dirección de I. En la superficie exterior debe haber entonces una corriente amperiana de 1560 A en la dirección opuesta. Problemas generales 87. Verdadero o falso a) El campo magnético debido a un elemento de corriente es paralelo a este elemento.
b) El campo magnético debido a un elemento de corriente varía en razón inversa con el cuadrado de la distancia desde el elemento. c) El campo magnético debido a un alambre largo varía en razón inversa con el cuadrado de la distancia desde el alambre. d) La ley de Ampere es válida sólo si existe un alto grado de simetría. e) La ley de Ampere es válida sólo para corrientes continuas. a) Falso. b) Verdadero. c) Falso. d) Falso. e) Verdadero. 88. ¿Puede una partícula tener momento angular y carecer de momento magnético? Si, la relación clásica es: 𝝁 ⃗ ⃗ = 𝒒 𝟐∗𝒎 ∗ 𝑳 ⃗ ⃗ Si la densidad de carga es nula una partícula con momento angular puede no tener momento magnético. 89. ¿Puede una partícula tener momento magnético y carecer de momento angular? No, dada la relación del problema anterior entre las dos magnitudes, si el momento angular es cero, el momento magnético será cero. 90. Un anillo de alambre circular transporta una corriente I. ¿Existe momento angular asociado con el momento magnético de la espira? Si es así, ¿por qué no se observa? Si, existe un momento angular asociado con el momento magnético, su magnitud es muy pequeña. 91. Un tubo hueco transporta una corriente. Dentro del tubo, B=0. ¿por qué ocurre esto y en cambio B es intenso dentro de un solenoide? La corriente englobada en un área del interior del tubo es cero, aplicando la ley de Ampere el campo B será cero en el interior. En el solenoide la corriente rodea circularmente el eje. 92. Cuando una corriente pasa a través del cable de la figura, ¿éste tiende a agruparse o a formar un círculo? La fuerza por unidad de longitud experimentada por cada segmento del cable, debido a las corrientes en los otros segmentos del cable, será igual. Como consecuencia de las fuerzas el resultado es que el alambre tienda a formar un círculo.
93. Determinar el campo magnético en el punto P de la figura. El único segmento que contribuye es el semicircular. Para un circulo tenemos: 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒖𝒏 𝒔𝒆𝒎𝒊𝒄í𝒓𝒄𝒖𝒍𝒐: 𝑩 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹 = 𝟏 𝟒 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝑹 = 𝟏 𝟒 ∗ 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏𝟓 𝟎.𝟐 = 𝟐. 𝟑𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑻 94. Hallar el campo magnético en el punto P de la figura, que es el centro común de los dos arcos de circunferencia. El campo del semicírculo mayor estará dirigido hacia dentro del papel y el del menor hacia fuera. Considerando positiva la dirección hacia fuera: 𝑩 = 𝟏 𝟒 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝑹𝟏 − 𝟏 𝟒 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝑹𝟐 = 𝟏 𝟒 ∗ 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 ∗ ( 𝟏 𝑹𝟏 − 𝟏 𝑹𝟐 ) 𝑩 = 𝟏 𝟒 ∗ 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 ∗ ( 𝟏 𝑹𝟏 − 𝟏 𝑹𝟐 ) 95. Un conductor de longitud l se arrolla en forma de una bobina circular de N espiras y transporta una corriente de intensidad I. Demostrar que el campo magnético en el centro de la bobina viene dado por 𝑩 = 𝝁𝒐𝝅𝑵𝟐𝑰 𝒍 . Para una espira: 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹 Utilizando la longitud del alambre i el número de espiras: 𝒍 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹 ∗ 𝑵 ; 𝑹 = 𝒍 𝟐∗𝝅∗𝑵 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒂𝒔 𝑵 𝒆𝒔𝒑𝒊𝒓𝒂𝒔: 𝑩 = 𝑵 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹 = 𝑵∗𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗ 𝒍 𝟐∗𝝅∗𝑵 = 𝝅∗𝑵𝟐∗𝝁𝒐∗𝑰 𝒍 96. Un conductor muy largo que transporta una corriente I se dobla en la forma indicada en la figura. Determinar el campo magnético en el punto P.
Considerando positivo el sentido hacia fuera del papel: 𝑩 = 𝑩𝟏 + 𝑩𝟐 + 𝑩𝟑 𝑳𝒐𝒔 𝒄𝒂𝒎𝒑𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒔𝒆𝒈𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝟏 𝒚 𝟑 𝒔𝒐𝒏 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔. 𝑩𝟏 = 𝑩𝟑 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒂 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 + 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐) = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒂 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝟗𝟎 + 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓) Para el segmento 2: 𝑩𝟐 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒂 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 + 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐) = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒂 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓 + 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓) 𝑩 = 𝟐 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒂 ∗ (𝟏 + √𝟐 𝟐 ) + 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒂 ∗ 𝟐 ∗ √𝟐 𝟐 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 ∗ (𝟏 + √𝟐 ) 97. Una espira conductora de longitud l transporta una corriente I. Comparar el campo magnético en el centro de la espira para los casos en que a) Se trata de una circunferencia. b) Un cuadrado. c) Un triángulo equilátero. ¿Cuál campo es mayor? a) 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹 𝒍 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹; 𝑹 = 𝒍 𝟐∗𝝅 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗ 𝒍 𝟐∗𝝅 = 𝝅∗𝝁𝒐∗𝑰 𝒍 b) 𝑩 = 𝑩𝟏 + 𝑩𝟐 + 𝑩𝟑 + 𝑩𝟒 𝑩𝟏 = 𝑩𝟐 = 𝑩𝟑 = 𝑩𝟒 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒂 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓 + 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓) 𝑩𝟏 = 𝑩𝟐 = 𝑩𝟑 = 𝑩𝟒 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒂 ∗ √𝟐 𝒂 = 𝑳/𝟐 𝒍 = 𝟒 ∗ 𝑳 ; 𝑳 = 𝒍 𝟒 𝒂 = 𝑳 𝟐 = 𝒍 𝟖 𝑩 = 𝟒 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗ 𝒍 𝟖 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓 + 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓) = 𝟖∗𝝁𝒐∗𝑰 𝝅∗𝒍 ∗ √𝟐 c) 𝑩 = 𝑩𝟏 + 𝑩𝟐 + 𝑩𝟑
𝑩 = 𝑩𝟏 + 𝑩𝟐 + 𝑩𝟑 = 𝟑 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒂 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎 + 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎) 𝒂 = √𝟑 𝟔 ∗ 𝑳 𝒍 = 𝟑 ∗ 𝑳 ; 𝑳 = 𝒍/𝟑 𝒂 = √𝟑 𝟔 ∗ 𝒍 𝟑 = √𝟑 𝟏𝟖 ∗ 𝒍 𝑩 = 𝟑 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗ √𝟑 𝟏𝟖 ∗𝒍 ∗ √𝟑 𝑩 = 𝟐𝟕 𝟐 ∗ 𝟖∗𝝁𝒐∗𝑰 𝝅∗𝒍 Comparando los valores obtenidos el mayor valor es para el triángulo. 98. Un cable de transmisión de energía por el cual circulan 50,0 A está situado a 2,0 m por debajo de la superficie terrestre, pero se ignora su dirección y posición precisa. Explicar cómo podría localizarse utilizando una brújula. Admitir que se encuentra en el ecuador, en donde el campo magnético terrestre es 0,7 G dirigido hacia el norte. Dependiendo de la dirección del cable, el campo magnético debido a su corriente (siempre que este campo sea una fracción suficientemente grande del campo magnético de la Tierra) sumará o restará del campo terrestre y moverá la brújula. Aplicar la ley de Ampère a un círculo de radio r y concéntrico con el centro del alambre: 𝑩𝒄𝒂𝒃𝒍𝒆 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 𝑩𝒄𝒂𝒃𝒍𝒆 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕 ∗𝟓𝟎 𝟐∗𝝅∗𝟐 = 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻 𝑩𝒄𝒂𝒃𝒍𝒆 𝑩𝑻𝒊𝒆𝒓𝒓𝒂 = 𝟓∗𝟏𝟎−𝟔 𝟎.𝟕∗𝟏𝟎−𝟒 = 𝟎. 𝟎𝟕 ; 𝟕 % Si el cable corre de este a oeste, su campo magnético está en dirección norte-sur y por lo tanto suma o resta del campo terrestre, dependiendo de la dirección y ubicación de la brújula. Moviendo la brújula sobre la región uno debería poder detectar el cambio. 99. Por un conductor rectilíneo largo circula una corriente de 20 A, según se ve en la figura. Una bobina rectangular con dos de sus lados paralelos al conductor recto tiene sus lados de 5 y 10 cm estando su lado más próximo a una distancia de 2 cm del conductor. La bobina transporta una corriente de 5 A. a) Determinar la fuerza que actúa sobre cada segmento de la bobina rectangular. b) ¿Cuál es la fuerza neta sobre la bobina?
a) Considerando los cuatro lados de la bobina, el más cercano 1, el más lejano 2, el superior 3 y el inferior 4. Un campo dirigido hacia dentro del papel lo consideramos negativo y hacia fuera positivo. 𝑩𝟏 = − 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟏 𝑭𝟏 = 𝑰𝑩 ∗ 𝒍 ∗ 𝑩𝟏 ∗ 𝒊 = 𝑰𝑩 ∗ 𝒍 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟏 ∗ 𝒊 = 𝟓 ∗ 𝟎. 𝟏 ∗ 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟐𝟎 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟐 ∗ 𝒊 𝑭𝟏 = 𝟏. 𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑵 𝒎 ∗ 𝒊 𝑩𝟐 = − 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐 𝑭𝟐 = −𝑰𝑩 ∗ 𝒍 ∗ 𝑩𝟐 ∗ 𝒊 = −𝑰𝑩 ∗ 𝒍 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐 ∗ 𝒊 = − 𝟓 ∗ 𝟎. 𝟏 ∗ 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟐𝟎 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟕 ∗ 𝒊 𝑭𝟐 = −𝟐. 𝟖𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑵 𝒎 ∗ 𝒊 En el lado 3 y 4 las fuerzas son iguales y de sentido contrario. Como el campo magnético B no es constante hay que calcular la fuerza sobre un elemento diferencial dy y luego la fuerza total sobre el lado BC integrando. 𝒅𝑭 ⃗ ⃗ 𝟑 = −𝑰𝑩 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒙 ∗ 𝒅𝒙 ∗ 𝒋 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟑 = − ∫ 𝑰𝑩 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒙 ∗ 𝒅𝒙 ∗ 𝒋 𝟎.𝟎𝟕 𝟎.𝟎𝟐 = − (𝑰𝑩 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅 ∗ 𝒍𝒏 ( 𝟎.𝟎𝟕 𝟎.𝟎𝟐 )) ∗ 𝒋 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟑 = − (𝟓 ∗ 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟐𝟎 𝟐∗𝝅 ∗ 𝒍𝒏 ( 𝟎.𝟎𝟕 𝟎.𝟎𝟐 )) ∗ 𝒋 = −𝟐. 𝟓𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ 𝒋 De la misma forma para la parte 4: 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟒 = 𝟐. 𝟓𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ 𝒋 b) Las fuerzas 3 I 4 se contrarrestan. 𝑭 ⃗ ⃗ = (𝟏. 𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 − 𝟐. 𝟖𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ) ∗ 𝒊 = 𝟕. 𝟏𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑵 ∗ 𝒊 100. La espira cerrada que se muestra en la figura transporta una corriente de 8,0 A en sentido antihorario. El radio del arco exterior es de 60 cm y el del interior 40 cm. Determinar el campo magnético en el punto P. Solo contribuyen al campo magnético en el punto P los tramos circulares.
El campo producido por una espira circular es: 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹 Consideramos como 1 el circulo grande y como 2 el pequeño. Tenemos la sexta parte del anillo, considerando el campo dirigido hacia el papel como negativo i el dirigido hacia fuera como positivo: 𝑩 = 𝟏 𝟔 ∗ ( 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹𝟏 − 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹𝟐 ) = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟏𝟐 ∗ ( 𝟏 𝑹𝟏 − 𝟏 𝑹𝟐 ) 𝑩 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟖 𝟏𝟐 ∗ ( 𝟏 𝟎.𝟎𝟔 − 𝟏 𝟎.𝟎𝟒 ) = −𝟔. 𝟗𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 𝑻 101. Un circuito cerrado está formado por dos semicírculos de radios 40 y 20 cm conectados entre sí por segmentos rectilíneos, como se muestra en la figura. Una corriente fluye por este circuito en sentido horario. Determinar el campo magnético en el punto P. Considerando negativo el campo entrante en el papel y positivo el saliente: Para el semicírculo grande: 𝑩𝟏 = − 𝟏 𝟐 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹𝟏 Para el pequeño: 𝑩𝟐 = − 𝟏 𝟐 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹𝟐 𝑩 = 𝑩𝟏 + 𝑩𝟐 = − 𝟏 𝟐 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐 ∗ ( 𝟏 𝑹𝟏 + 𝟏 𝑹𝟐 ) = − 𝟏 𝟒 ∗ 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 ∗ ( 𝟏 𝟎.𝟒 + 𝟏 𝟎.𝟐 ) = − 𝟕.𝟓 𝟒 ∗ 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 Si ponemos I= 3 A obtenemos un resultado de: 𝑩 = − 𝟕. 𝟎𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻 102. Por un conductor rectilíneo muy largo circula una corriente de 20,0 A. Un electrón está a 1,0 cm del centro del conductor y se mueve comuna velocidad de 5,0 106 m/s. Hallar la fuerza sobre el electrón cuando se mueve a) Directamente alejándose del conductor. b) Paralelo al conductor en el sentido de la corriente. c) Perpendicular al conductor y tangente a una circunferencia concéntrica con el conductor. a)
𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐∗𝟐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒓 ∗ 𝒋 𝑭 ⃗ ⃗ = 𝒒 ∗ 𝒗 ⃗ ⃗ ⨂𝑩 ⃗⃗ = 𝒒 ∗ 𝒗 ∗ 𝝁𝒐∗𝟐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒓 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ ⨂𝒋 = −𝒒 ∗ 𝒗 ∗ 𝝁𝒐∗𝟐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒓 ∗ 𝒊 𝑭 ⃗ ⃗ = − − 𝟏. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ 𝟓. 𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟔 ∗ 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟐𝟎 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟏 ∗ 𝒊 = 𝟑. 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟔 ∗ 𝒊 b) 𝒗 ⃗ ⃗ = 𝒗 ∗ 𝒊 𝑭 ⃗ ⃗ = 𝒒 ∗ 𝒗 ⃗ ⃗ ⨂𝑩 ⃗⃗ = 𝒒 ∗ 𝒗 ∗ 𝝁𝒐∗𝟐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒓 ∗ 𝒊⨂𝒋 = 𝒒 ∗ 𝒗 ∗ 𝝁𝒐∗𝟐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒓 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ c) 𝒗 ⃗ ⃗ = 𝒗 ∗ 𝒋 𝑭 ⃗ ⃗ = 𝒒 ∗ 𝒗 ⃗ ⃗ ⨂𝑩 ⃗⃗ = 𝒒 ∗ 𝒗 ∗ 𝝁𝒐∗𝟐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒓 ∗ 𝒋⨂𝒋 = 𝟎 103. Una corriente I está distribuida uniformemente en toda la sección transversal de un conductor recto y largo de radio 1,40 mm. En la superficie del conductor, el campo magnético tiene la magnitud B=2,46 mT. Determinar la magnitud del campo magnético a) A 2,10 mm del eje. b) A 0,60 mm del eje. c) Determinar la intensidad I de la corriente. c) Aplicando la ley de Ampére a una circunferencia en la superficie del conductor: 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹 = 𝝁𝑶 ∗ 𝑰 𝑰 = 𝑩∗𝟐∗𝝅∗𝑹 𝝁𝑶 = 𝟐.𝟒𝟔∗𝟏𝟎−𝟑∗𝟐∗𝝅∗𝟏.𝟒𝟎∗𝟏𝟎−𝟑 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕 = 𝟏𝟕. 𝟐𝟐 𝑨 a) Estamos fuera del conductor, aplicando Ampére: 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹 = 𝝁𝑶 ∗ 𝑰 𝑩 = 𝝁𝑶∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏𝟕.𝟐𝟐 𝟐∗𝝅∗𝟐.𝟏∗𝟏𝟎−𝟑 = 𝟏. 𝟔𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 b) Estamos dentro del conductor, la corriente interior al punto es: 𝑰 𝑹𝟐 = 𝑰𝒄 𝒓𝟐 ; 𝑰𝒄 = 𝒓𝟐 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 Aplicando Ampére: 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝑶 ∗ 𝑰𝒄 = 𝝁𝑶 ∗ 𝒓𝟐 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 𝑩 = 𝝁𝑶 𝟐∗𝝅 ∗ 𝒓 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕 𝟐∗𝝅 ∗ 𝟎.𝟔∗𝟏𝟎−𝟑 (𝟏.𝟒𝟎∗𝟏𝟎−𝟑)𝟐 ∗ 𝟏𝟕. 𝟐𝟐 = 𝟏. 𝟎𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 104. Una bobina circular de 50 vueltas y radio 10,0 cm transporta una corriente de 4,0 A. En el centro de esta gran bobina existe una pequeña bobina de 20 vueltas de radio 0,5 cm que transporta una corriente de 1,0 A. Los planos de las dos bobinas son perpendiculares. Determinar el momento ejercido por la bobina grande sobre la pequeña. (Despreciar cualquier variación de B debida a que la gran bobina cubre la región ocupada por la pequeña). 𝝉 ⃗ = 𝝁 ⃗ ⃗ ⨂𝑩 ⃗⃗ Con que las dos magnitudes son perpendiculares: 𝝉 = 𝝁 ∗ 𝑩. El momento de la bobina pequeña es: 𝝁 = 𝑵 ∗ 𝑰 ∗ 𝑨 El campo creado por la bobina grande: 𝑩 = 𝑵′∗𝝁𝒐∗𝑰′ 𝟐∗𝑹 𝝉 = 𝝁 ∗ 𝑩 = 𝑵 ∗ 𝑰 ∗ 𝑨 ∗ 𝑵′∗𝝁𝒐∗𝑰′ 𝟐∗𝑹 = 𝟐𝟎 ∗ 𝟏 ∗ 𝝅 ∗ (𝟎. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 ) 𝟐 ∗ 𝟓𝟎∗𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟒 𝟐∗𝟎.𝟏 𝝉 = 𝟏. 𝟗𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑵 ∗ 𝒎
105. La figura muestra un imán en forma de barra suspendido por un delgado alambre que le proporciona un momento de restitución −𝜿 𝜽. El imán tiene 16 cm de longitud, una masa de 0,8 kg, un momento dipolar de 𝝁 = 𝟎. 𝟏𝟐 𝑨 𝒎𝟐 y está localizado en una región donde puede establecerse un campo magnético uniforme B. Cuando el campo magnético externo es 0,2 T y el imán experimenta un pequeño desplazamiento angular ∆𝜽, la barra oscila alrededor de su posición de equilibrio con un periodo de 0,500 s. Determinar la constante 𝜿 y el periodo de este péndulo de torsión cuando B=0. ∑ 𝝉 = 𝑰 ∗ 𝜶 −𝜿 ∗ 𝜽 − 𝝁 ∗ 𝑩 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝑰 ∗ 𝒅𝟐𝜽 𝒅𝒕𝟐 𝑷𝒂𝒓𝒂 á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐𝒔 𝒑𝒆𝒒𝒖𝒆ñ𝒐𝒔, 𝜽 ≈ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 −𝜿 ∗ 𝜽 − 𝝁 ∗ 𝑩 ∗ 𝜽 = 𝑰 ∗ 𝒅𝟐𝜽 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝟐𝜽 𝒅𝒕𝟐 + ( 𝜿+𝝁∗𝑩 𝑰 ) ∗ 𝜽 = 𝟎 𝝎𝟐 = 𝜿+𝝁∗𝑩 𝑰 Para una barra en rotación alrededor de su centro: 𝑰 = 𝟏 𝟏𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝑳𝟐 𝝎𝟐 = 𝜿+𝝁∗𝑩 𝟏 𝟏𝟐 ∗𝒎∗𝑳𝟐 𝜿 = 𝟏 𝟏𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝑳𝟐 ∗ 𝝎𝟐 − 𝝁 ∗ 𝑩 = 𝟏 𝟏𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝑳𝟐 ∗ 𝟒∗𝝅𝟐 𝑻𝟐 − 𝝁 ∗ 𝑩 𝜿 = 𝝅𝟐∗𝒎∗𝑳𝟐 𝟑∗𝑻𝟐 − 𝝁 ∗ 𝑩 𝜿 = 𝝅𝟐∗𝟎.𝟖∗𝟎.𝟏𝟔𝟐 𝟑∗𝟎.𝟓𝟐 − 𝟎. 𝟏𝟐 ∗ 𝟎. 𝟐 = 𝟎. 𝟐𝟒𝟔 𝑵 ∗ 𝒎/𝒓𝒂𝒅 Considerando: 𝝎𝟐 = 𝜿+𝝁∗𝑩 𝑰 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝑩 = 𝟎 𝝎𝟐 = 𝟒∗𝝅𝟐 𝑻𝟐 = 𝜿 𝑰 𝑻 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √ 𝑰 𝜿 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √𝒎∗𝑳𝟐 𝟏𝟐∗𝜿 = 𝝅 ∗ 𝑳 ∗ √ 𝒎 𝟑∗𝜿 = 𝝅 ∗ 𝟎. 𝟏𝟔 ∗ √ 𝟎.𝟖 𝟑∗𝟎.𝟐𝟒𝟔 𝑻 = 𝟎. 𝟓𝟐𝟑 𝒔 106. Una barra imantada larga u estrecha que tiene su momento magnético μ paralelo a su eje más largo está suspendida por el centro de la guja de una brújula sin rozamiento. Situada en un campo magnético B, la aguja se alinea con el campo. Si se desplaza un pequeño ángulo ϴ, demostrar que la aguja oscilará alrededor de su
posición de equilibrio con la frecuencia 𝒇 = ( 𝟏 𝟐 𝝅 ) √ 𝝁 𝑩 𝑰 , en donde I es el momento de inercia alrededor del punto de suspensión. −𝝁 ∗ 𝑩 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝑰 ∗ 𝒅𝟐𝜽 𝒅𝒕𝟐 Para ángulos pequeños: −𝝁 ∗ 𝑩 ∗ 𝜽 = 𝑰 ∗ 𝒅𝟐𝜽 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝟐𝜽 𝒅𝒕𝟐 = 𝝁∗𝑩 𝑰 ∗ 𝜽 𝝎𝟐 = 𝝁∗𝑩 𝑰 𝝎 = √ 𝝁∗𝑩 𝑰 𝒇 = 𝟏 𝑻 = 𝟏 𝟐∗𝝅 ∗ √ 𝝁∗𝑩 𝑰 107. Un pequeño imán en forma de barra de masa 0,1 kg y momento magnético μ= 0,04 A m2 está localizado en el centro de una espira de 0,2 m de diámetro. Por la espira fluye una corriente de 5,0 A. En equilibrio, la barra está alineada con el campo magnético debido a la espira. Se da un desplazamiento a la barra a lo largo del eje de la espira y se deja en libertad. Demostrar que, si el desplazamiento es pequeño, la barra magnética ejecuta un movimiento armónico simple; y determinar el período de este movimiento. 𝑬𝒑 = −𝝁 ∗ 𝑩 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑵∗𝑹𝟐∗𝑰 (𝒙𝟐+𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 𝑬𝒑 = −𝝁 ∗ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑵∗𝑹𝟐∗𝑰 (𝒙𝟐+𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 𝑭𝒙 = − 𝒅𝑼 𝒅𝒙 = − 𝝁∗𝝁𝒐∗𝑵∗𝑹𝟐∗𝑰 𝟐 ∗ 𝒅 𝒅𝒙 ( 𝟏 (𝒙𝟐+𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 ) 𝑭𝒙 = − 𝟑 𝟐 ∗ 𝝁 ∗ 𝝁𝒐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 ∗ ( 𝟏 (𝒙𝟐+𝑹𝟐) 𝟓 𝟐 ) ∗ 𝒙 𝑭𝒙 = − 𝟑 𝟐 ∗ 𝝁∗𝝁𝒐∗𝑵∗𝑹𝟐∗𝑰 𝑹𝟓 ∗ ( 𝟏 (𝟏+ 𝒙𝟐 𝑹𝟐) 𝟓 𝟐 ) ∗ 𝒙 ( 𝟏 (𝟏+ 𝒙𝟐 𝑹𝟐) 𝟓 𝟐 ) = 𝟏 − 𝟓 𝟐 ∗ 𝒙𝟐 𝑹𝟐 + ⋯ 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒙 ≪ 𝑹: 𝟏 (𝟏+ 𝒙𝟐 𝑹𝟐) 𝟓 𝟐 ≈ 𝟏 𝑭𝒙 = − 𝟑 𝟐 ∗ 𝝁∗𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝑹𝟑 ∗ 𝒙 Ecuación que corresponde a un movimiento armónico. 𝑭𝒙 = 𝒎 ∗ 𝒂 − 𝟑 𝟐 ∗ 𝝁∗𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝑹𝟑 ∗ 𝒙 = 𝒎 ∗ 𝒅𝟐𝒙 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝟐𝒙 𝒅𝒕𝟐 = 𝟑 𝟐 ∗ 𝝁∗𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝑹𝟑∗𝒎 ∗ 𝒙 𝝎𝟐 = 𝟑 𝟐 ∗ 𝝁∗𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝑹𝟑∗𝒎
𝑻 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √ 𝟐∗𝑹𝟑∗𝒎 𝟑∗𝝁∗𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝑻 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √ 𝟐∗𝟎.𝟏𝟑∗𝟎.𝟏 𝟑∗𝟎.𝟎𝟒∗𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏∗𝟓 = 𝟏𝟎𝟐 𝒔 108. Supongamos que la aguja del problema 106 es una barra de hierro uniformemente imantada de 8 cm de longitud y un área transversal de 3 mm2 . Consideremos que el momento dipolar magnético de cada átomo de hierro es 2,2 μB y que todos ellos poseen alineados sus momentos dipolares. Calcular la frecuencia de las pequeñas oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio cuando el campo magnético es 0,5 G. −𝝁 ∗ 𝑩 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝑰 ∗ 𝒅𝟐𝜽 𝒅𝒕𝟐 Para ángulos pequeños: −𝝁 ∗ 𝑩 ∗ 𝜽 = 𝑰 ∗ 𝒅𝟐𝜽 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝟐𝜽 𝒅𝒕𝟐 = 𝝁∗𝑩 𝑰 ∗ 𝜽 𝝎𝟐 = 𝝁∗𝑩 𝑰 𝒇 = 𝟏 𝟐∗𝝅 ∗ √ 𝝁∗𝑩 𝑰 𝝁 = 𝟐, 𝟐 ∗ 𝝁𝑩 ∗ 𝑵 𝑰 = 𝟏 𝟏𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝑳𝟐 = 𝟏 𝟏𝟐 ∗ 𝝆 ∗ 𝑽 ∗ 𝑳𝟐 𝑵 𝑵𝑨 = 𝒎 𝑴 = 𝝆∗𝑽 𝑴 ; 𝑵 = 𝑵𝑨 ∗ 𝝆∗𝑽 𝑴 𝒇 = 𝟏 𝟐∗𝝅 ∗ √ 𝟐,𝟐∗𝝁𝑩∗𝑵 ∗𝑩 𝑰 = 𝟏 𝟐∗𝝅 ∗ √ 𝟐,𝟐∗𝝁𝑩∗𝑵𝑨∗ 𝝆∗𝑽 𝑴 ∗𝑩 𝟏 𝟏𝟐 ∗𝝆∗𝑽∗𝑳𝟐 𝒇 = 𝟏 𝟐∗𝝅 ∗ √ 𝟐𝟔.𝟒∗𝝁𝑩∗𝑵𝑨∗𝑩 𝑳𝟐∗𝑴 = 𝟏 𝝅∗𝑳 ∗ √ 𝟔.𝟔∗𝝁𝑩∗𝑵𝑨∗𝑩 𝑴 𝒇 = 𝟏 𝝅∗𝟎.𝟎𝟖 ∗ √ 𝟔.𝟔∗𝟗.𝟐𝟕∗𝟏𝟎−𝟐𝟒∗𝟔.𝟎𝟐∗𝟏𝟎𝟐𝟑∗𝟎.𝟓∗𝟏𝟎−𝟒 𝟓𝟓.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟑 = 𝟎. 𝟕𝟐𝟑 𝑯𝒛 109. La aguja de una brújula magnética posee una longitud de 3 cm, un radio de 0,85 mm y una densidad de 7,96 103 kg/m3 . Puede girar libremente en un plano horizontal, donde el componente horizontal del campo magnético terrestre es 0,6 G. Cuando se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio, la aguja efectúa un movimiento armónico simple alrededor de su punto medio comuna frecuencia de 1,4 Hz. a) ¿Cuál es el momento dipolar magnético de la aguja? b) ¿Cuál es la imantación M? c) ¿Cuál es la corriente amperiana en la superficie de la aguja? a) 𝝎𝟐 = 𝝁∗𝑩 𝑰 𝟒 ∗ 𝝅𝟐 ∗ 𝒇 = 𝝁∗𝑩 𝑰 𝝁 = 𝟒∗𝝅𝟐∗𝒇∗𝑰 𝑩 = 𝟒∗𝝅𝟐∗𝒇∗ 𝟏 𝟏𝟐 ∗𝒎∗𝑳𝟐 𝑩 = 𝝅𝟐∗𝒇∗𝝆∗𝑽∗𝑳𝟐 𝟑∗𝑩 𝝁 = 𝝅𝟐∗𝒇∗𝝆∗𝝅∗𝒓𝟐∗𝑳∗𝑳𝟐 𝟑∗𝑩 = 𝝅𝟑∗𝒇∗𝝆∗𝒓𝟐∗𝑳𝟑 𝟑∗𝑩 𝝁 = 𝝅𝟑∗𝟏.𝟒∗𝟕.𝟗𝟔∗𝟏𝟎𝟑∗(𝟎.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟑)𝟐∗𝟎.𝟎𝟑𝟑 𝟑∗𝟎.𝟔∗𝟏𝟎−𝟒 = 𝟓. 𝟐𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝑨 ∗ 𝒎𝟐
b) 𝑴 = 𝝁 𝑽 = 𝝅𝟑∗𝒇∗𝝆∗𝒓𝟐∗𝑳𝟑 𝟑∗𝑩 𝝅∗𝒓𝟐∗𝑳 = 𝝅𝟐∗𝒇∗𝝆∗𝑳𝟐 𝟑∗𝑩 = 𝝅𝟐∗𝟏.𝟒∗𝟕.𝟗𝟔∗𝟏𝟎𝟑∗(𝟎.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟑) 𝟐 ∗𝟎.𝟎𝟑𝟐 𝟑∗𝟎.𝟔∗𝟏𝟎−𝟒 𝑴 = 𝟕. 𝟕𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑨/𝒎 c) 𝑰𝑨𝒎𝒑 = 𝑴 ∗ 𝑳 = 𝝅𝟐∗𝒇∗𝝆∗𝑳𝟐 𝟑∗𝑩 ∗ 𝑳 = 𝝅𝟐∗𝒇∗𝝆∗𝑳𝟑 𝟑∗𝑩 = 𝟕. 𝟕𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟓 ∗ 𝟎. 𝟎𝟑 = 𝟐. 𝟑𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝑨 110. Una barra de hierro de longitud 1,4 m tiene un diámetro de 2 cm y una imantación uniforme 1,72 106 A/m en la dirección de su eje longitudinal. La barra, estacionaria en el espacio, se desimanta súbitamente de modo que desaparece su imantación. ¿Cuál es la velocidad angular de rotación de la barra si el momento angular se conserva? (suponer que la ecuación 𝝁 = 𝒒 𝟐 𝒎 𝑳 se cumple, siendo m la masa de un electrón y q =- e). 𝑳 = 𝑰 ∗ 𝝎 ; 𝝎 = 𝑳 𝑰 𝝁 = 𝒒 𝟐∗ 𝒎 𝑳 ; 𝑳 = 𝝁∗𝟐∗𝒎 𝒒 = 𝑴∗𝑽∗𝟐∗𝒎𝒆 𝒆 = 𝑴∗𝝅∗𝒓𝟐∗𝑳∗𝟐∗𝒎𝒆 𝒆 𝝎 = 𝑳 𝑰 = 𝑴∗𝝅∗𝒓𝟐∗𝑳∗𝟐∗𝒎𝒆 𝒆 𝟏 𝟐 ∗𝝆∗𝑽∗𝒓𝟐 = 𝑴∗𝝅∗𝒓𝟐∗𝑳∗𝟐∗𝒎𝒆 𝒆 𝟏 𝟐 ∗𝝆∗𝝅∗𝒓𝟐∗𝑳∗𝒓𝟐 𝝎 = 𝟒∗𝑴∗𝒎𝒆 𝒆∗𝝆∗𝒓𝟐 = 𝟒∗𝟏.𝟕𝟐∗𝟏𝟎𝟔∗𝟗.𝟏𝟏∗𝟏𝟎−𝟑𝟏 𝟏.𝟔∗𝟏𝟎−𝟗∗𝟕.𝟗𝟔∗𝟏𝟎𝟑∗𝟎.𝟎𝟏𝟐 = 𝟒. 𝟗𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝒓𝒂𝒅/𝒔 111. El momento dipolar magnético de un átomo de hierro vale 2,219 μB. a) Si todos los átomos de una barra de hierro de longitud 20 cm y área transversal 2 cm2 tienen alineados sus momentos dipolares, ¿Cuál es el momento dipolar de la barra? b) ¿Qué momento debe aplicarse para mantener la barra en posición perpendicular a un campo magnético de 0,25 T? a) 𝑵 𝑵𝑨 = 𝒎 𝑴 = 𝝆∗𝑽 𝑴 ; 𝑵 = 𝑵𝑨 ∗ 𝝆∗𝑽 𝑴 𝝁 = 𝟐. 𝟐𝟏𝟗 ∗ 𝑵 ∗ 𝝁𝑩 = 𝟐. 𝟐𝟏𝟗 ∗ 𝑵𝑨 ∗ 𝝆∗𝑽 𝑴 ∗ 𝝁𝑩 = 𝟐. 𝟐𝟏𝟗 ∗ 𝑵𝑨 ∗ 𝝆∗𝒍∗𝑨 𝑴 ∗ 𝝁𝑩 𝝁 = 𝟐. 𝟐𝟏𝟗 ∗ 𝑵𝑨 ∗ 𝝆∗𝒍∗𝑨 𝑴 ∗ 𝝁𝑩 𝝁 = 𝟐. 𝟐𝟏𝟗 ∗ 𝟔. 𝟎𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟐𝟑 ∗ 𝟕.𝟗𝟔∗𝟏𝟎𝟑∗𝟎.𝟐∗𝟐∗𝟏𝟎−𝟒 𝟓𝟓.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝟗. 𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟒 = 𝟕𝟎. 𝟔 𝑨 ∗ 𝒎𝟐 b) 𝝉 = 𝝁 ∗ 𝑩 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝝁 ∗ 𝑩 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝟗𝟎 = 𝝁 ∗ 𝑩 𝝉 = 𝟕𝟎. 𝟔 ∗ 𝟎. 𝟐𝟓 = 𝟏𝟕. 𝟕 𝑵 ∗ 𝒎 112. Puede construirse un amperímetro relativamente barato, denominado galvanómetro de tangentes, utilizando el campo terrestre. Una bobina circular plana de N espiras y radio R está orientada de modo que el campo Bc que se produce en el centro de la bobina está dirigido hacia el este o el oeste. Se coloca en el centro de la misma una brújula. Cuando no circula corriente por la bobina, la brújula señala hacia le norte. Cuando existe una corriente I, la brújula señala en la dirección del campo magnético resultante B formando un ángulo ϴ con el norte. Demostrar que la corriente I está relacionada con ϴ y con el componente horizontal del campo terrestre por 𝑰 = 𝟐 𝑹 𝑩𝒕 𝝁𝒐 𝑵 𝒕𝒈 𝜽
𝒕𝒈 𝜽 = 𝑩𝒃𝒐𝒃𝒊𝒏𝒂 𝑩𝒕 𝑩𝒃𝒐𝒃𝒊𝒏𝒂 = 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝟐∗𝑹 𝒕𝒈 𝜽 = 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝟐∗𝑹 𝑩𝒕 𝑰 = 𝟐∗𝑹∗𝑩𝒕 𝝁𝒐∗𝑵 ∗ 𝒕𝒈 𝜽 113. Un conductor recto infinitamente largo se dobla en la forma indicada en la figura. La porción circular tiene un radio de 10 cm con su centro a la distancia r de la parte recta. Determinar r de modo que el campo magnético en el centro de la porción circular sea cero. Considerando positivo el sentido hacia fuera del papel y negativo el entrante: 𝑩𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒐 = − 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹 𝑩𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒎𝒑𝒐 𝒔𝒆𝒂 𝒏𝒖𝒍𝒐 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒐: 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 𝒓 = 𝑹 𝝅 = 𝟎.𝟏 𝝅 = 𝟑. 𝟏𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝒎 114. a) Determinar el campo magnético en el punto P generado por la corriente de intensidad I que circula por el conductor mostrado en la figura. b) Utilizar el resultado de (a) para determinar el campo magnético en el centro de un polígono de N lados. Demostrar que cuando N es muy grande, el resultado se aproxima al del campo magnético en el centro de un círculo.
a) Únicamente contribuye el tramo horizontal. 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝑹 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 + 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐) 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝑹 ∗ 𝟐 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝑹 ∗ 𝒂 √𝒂𝟐+𝑹𝟐 b) 𝜽 = 𝝅 𝑵 𝑩 = 𝑵 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝑹 ∗ 𝟐 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝑵∗𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝑹 ∗ 𝒔𝒆𝒏 ( 𝝅 𝑵 ) 𝑺𝒊 𝑵 → ∞ ; 𝜽 → 𝝅 𝑵 𝑩 = 𝑵∗𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝑹 ∗ ( 𝝅 𝑵 ) = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹 115. La corriente que circula por un conductor cilíndrico largo R= 10 cm varía con la distancia al eje del mismo según la relación 𝑰(𝒓) = (𝟓𝟎 𝑨 𝒎 ) 𝒓. Determinar el campo magnético en a) r = 5 cm. b) En r = 10 cm. c) r= 20 cm. a) 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 𝑩(𝟎. 𝟎𝟓) = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝝁𝒐∗𝟓𝟎∗𝟎.𝟎𝟓 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟓 = 𝟏𝟎−𝟓 𝑻 b) 𝑩(𝟎. 𝟏) = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝝁𝒐∗𝟓𝟎∗𝟎.𝟏 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟏 = 𝟏𝟎−𝟓 𝑻 c) 𝑩(𝟎. 𝟐) = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝝁𝒐∗𝟓𝟎∗𝟎.𝟏 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟐 = 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻 116. La figura muestra un alambre infinitamente largo, portador de una corriente I1=10 A y una espira cuadrada que transporta una corriente I2= 5 A. La longitud de los lados de la espira es de 20 cm y el lado paralelo más próximo al alambre dista de éste 10 cm. a) Determinar el momento que actúa sobre la espira respecto a un eje que pasa por el lado superior de ésta. b) Determinar la fuerza neta sobre la espira. a) Si consideramos ul tramo de espira del eje y, en un tramo dy tenemos un campo dB:
En el tramo simétrico: Las fuerzas producidas en cada caso son: Solo la componente del campo magnético perpendicular al hilo contribuye a la fuerza, o sea, la componente vertical, en el tramo de la derecha produce una fuerza hacia fuera del papel, según el eje x seria negativa. En el tramo de la izquierda se producirá una fuerza igual, pero hacia dentro del papel, según el eje x positivo, las dos son iguales i de sentidos contrarios, globalmente por tanto la fuerza total se anula. El mismo razonamiento no sirve para el tramo simétrico de éste, la fuerza global de ambos es nula, solo contribuyen los tramos según el eje x. Para el tramo de la derecha: 𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐∗𝑰𝒉𝒊𝒍𝒐 𝟐∗𝝅∗√𝟎.𝟏𝟐+𝟎.𝟏𝟐 ∗ (−𝒋 − 𝒌 ⃗ ⃗ ) 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟏 = 𝑰𝒆𝒔 ∗ 𝒍𝟏⨂𝑩 ⃗⃗ = 𝑰 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝒍 𝟎 𝟎 𝟎 −𝑩 −𝑩 | = 𝑰𝒆𝒔 ∗ 𝒍 ∗ 𝑩 ∗ (−𝒋 + 𝒌 ⃗ ⃗ ) 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟏 = 𝟓 ∗ 𝟎. 𝟐 ∗ 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏𝟎 𝟐∗𝝅∗√𝟎.𝟏𝟐+𝟎.𝟏𝟐 ∗ (𝒋 − 𝒌 ⃗ ⃗ ) = 𝟏. 𝟒𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑵 ∗ (𝒋 − 𝒌 ⃗ ⃗ ) Para el tramo de la izquierda: 𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐∗𝑰𝒉𝒊𝒍𝒐 𝟐∗𝝅∗√𝟎.𝟏𝟐+𝟎.𝟏𝟐 ∗ (−𝒋 + 𝒌 ⃗ ⃗ )
𝑭 ⃗ ⃗ 𝟐 = 𝑰𝒆𝒔 ∗ 𝒍𝟐⨂𝑩 ⃗⃗ = 𝑰 ∗ |− 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝒍 𝟎 𝟎 𝟎 −𝑩 𝑩 | = 𝑰𝒆𝒔 ∗ 𝒍 ∗ 𝑩 ∗ (𝒋 + 𝒌 ⃗ ⃗ ) 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟐 = 𝟓 ∗ 𝟎. 𝟐 ∗ 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏𝟎 𝟐∗𝝅∗√𝟎.𝟏𝟐+𝟎.𝟏𝟐 ∗ (−𝒋 + 𝒌 ⃗ ⃗ ) = 𝟏. 𝟒𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑵 ∗ (𝒋 + 𝒌 ⃗ ⃗ ) La fuerza resultante: 𝑭 ⃗ ⃗ = 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟏 + 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟐 = 𝟐 ∗ 𝟏. 𝟒𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ 𝒋 𝝉 = 𝒅 ⃗⃗ ⨂𝑭 ⃗ ⃗ = 𝟎. 𝟏 ∗ 𝟐 ∗ 𝟏. 𝟒𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 = 𝟐. 𝟖𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑵 ∗ 𝒎 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ b) Encontrado en a. 117. En el modelo de Bohr del átomo de hidró9geno, un electrón en su estado fundamental gira alrededor de un protón con un radio de 5,29 10-11 m. En un sistema de referencia en el cual este electrón se encuentra en reposo, el protón gira alrededor del electrón con el mismo radio y la misma velocidad angular que posee el electrón en el sistema de referencia del protón en reposo. En consecuencia, en el sistema en reposo del electrón, el campo magnético debido al movimiento del protón tiene la misma magnitud que el calculado en el problema 5. El electrón posee un momento magnético intrínseco de magnitud μB. Determinar la diferencia energética entre las dos posibles orientaciones del momento magnético intrínseco del electrón, paralela o antiparalela al campo magnético, debido al movimiento aparente del protón. (esta diferencia energética se observa espectroscópicamente y se conoce como desdoblamiento de estructura fina). 𝑬𝒑 = −𝝁𝑩 ∗ 𝑩 Usando el resultado del problema 5: 𝑩 = 𝟏𝟐, 𝟓 𝑻 La diferencia de energía respecto a la inicial: 𝑼𝒑 = −𝝁𝑩 ∗ 𝑩 = −𝟗. 𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟒 ∗ 𝟏𝟐. 𝟓 = −𝟏. 𝟏𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟐 𝑱 La diferencia de energía entre los dos casos será el doble de este valor: ∆𝑬 = 𝟐 ∗ 𝟏. 𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟐 = 𝟐. 𝟑𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟐 𝑱 118. El protón posee también un momento magnético intrínseco cuya magnitud es 1,52 10-3 μB. La orientación del momento magnético del protón está cuantizada; solo puede ser paralela o antiparalela al campo magnético en la posición del protón. Utilizando el resultado del problema 117, determinar la diferencia de energía del átomo de hidrógeno en el modelo de Bohr para las dos posibles orientaciones del momento magnético del protón. Despreciar el campo magnético sobre el protón debido al momento magnético intrínseco del electrón. (Esta diferencia se denomina desdoblamiento de estructura hiperfina). 𝑬𝒑 = −𝟏. 𝟓𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝝁𝑩 ∗ 𝑩 = −𝟏. 𝟓𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝟗. 𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟒 ∗ 𝟏𝟐. 𝟓 𝑬𝒑 = −𝟏. 𝟕𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟓 𝑱 La diferencia de energía entre los dos casos será el doble de este valor: ∆𝑬 = 𝟐 ∗ 𝟏. 𝟕𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟓 = 𝟑. 𝟓𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟓 𝑱 119. En el cálculo del desdoblamiento de la estructura hiperfina del problema 118 se ha despreciado el campo magnético en la posición del protón debido al momento magnético intrínseco del electrón. Calcular el campo magnético debido al momento magnético intrínseco del electrón a una distancia de 5,29 10-11 m y comparar su magnitud en la posición del protón con el debido al movimiento orbital del electrón.
(Sugerencia: Suponer que el espín del electrón es perpendicular al plano de su órbita y demostrar que la magnitud del campo magnético a una mayor distancia de un dipolo magnético sobre una línea perpendicular al dipolo viene dada por 𝑩 = ( 𝝁𝒐 𝟒𝝅 ) 𝝁/𝒓𝟑 . Usando para el momento magnético del electrón el valor del magnetón de Bohr: 𝑩 = ( 𝝁𝒐 𝟒𝝅 ) 𝝁 𝒓𝟑 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟗.𝟐𝟕∗𝟏𝟎−𝟐𝟒 (𝟓.𝟐𝟗∗𝟏𝟎−𝟏𝟏)𝟑 = 𝟔. 𝟐𝟔 𝑻 Para el movimiento orbital del electrón: 𝑩 = ( 𝝁𝒐 𝟒𝝅 ) 𝝁 𝒓𝟑 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟏.𝟓𝟐∗𝟏𝟎−𝟑∗𝟗.𝟐𝟕∗𝟏𝟎−𝟐𝟒 (𝟓.𝟐𝟗∗𝟏𝟎−𝟏𝟏)𝟑 = 𝟗. 𝟓𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 120. Un disco de radio R lleva una carga fija de densidad σ y gira con una velocidad angular ω. a) Consideremos un anillo circular de radio r y anchura dr con carga dq, demostrar que la corriente producida por este anillo es 𝒅𝑰 = ( 𝝎 𝟐𝝅 ) 𝒅𝒒 = 𝝎𝝈𝒓𝒅𝒓. b) Utilizar este resultado de la parte (a) para demostrar que el campo magnético Enel centro del disco es 𝑩 = 𝟏 𝟐 𝝁𝒐𝝈𝝎𝑹. c) Utilizar el resultado de la parte (a) para hallar el campo magnético en un punto situado en el eje del disco a una distancia x del centro. a) 𝒅𝒒 = 𝝈 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 𝒅𝑰 = 𝒅𝒒 𝒅𝒕 = 𝝈∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝒅𝒓 𝟐∗𝝅 𝝎 = 𝝎 ∗ 𝝈 ∗ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 b) 𝒅𝑩𝒙 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝒓𝟐∗𝒅𝑰 (𝒙𝟐+𝒓𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝒓𝟐 (𝒙𝟐+𝒓𝟐) 𝟑 𝟐 ∗ 𝝎 ∗ 𝝈 ∗ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝝎∗𝝈∗𝒓𝟑 (𝒙𝟐+𝒓𝟐) 𝟑 𝟐 ∗ 𝒅𝒓 𝑩𝒙 = 𝝁𝒐∗𝝎∗𝝈 𝟐 ∗ ∫ 𝒓𝟑 (𝒙𝟐+𝒓𝟐) 𝟑 𝟐 ∗ 𝒅𝒓 𝑹 𝟎 = 𝝁𝒐∗𝝎∗𝝈 𝟐 ∗ ( 𝑹𝟐+𝟐∗𝒙𝟐 √𝑹𝟐+𝒙𝟐 − 𝟐 ∗ 𝒙) c) 𝑩𝒙(𝟎) = 𝝁𝒐∗𝝎∗𝝈 𝟐 ∗ ( 𝑹𝟐 √𝑹𝟐 ) = 𝝁𝒐∗𝝎∗𝝈∗𝑹 𝟐 121. Un conductor rectilíneo muy largo posee una sección transversal circular de radio R y por él circula una intensidad de corriente I. En el interior del conductor se ha practicado un orificio cilíndrico de radio a, cuyo eje es paralelo al eje del conductor y se encuentra a una distancia b de éste (figura). Hacemos coincidir el eje del conductor con el eje z, y el eje del orificio cumple la condición x = b. Calcular el campo magnético B en los puntos a) Sobe el eje x en x = 2 R. b) Sobre el eje y en y = 2 R.
(Indicación: Considerar una distribución de corriente uniforme a lo largo del cilindro de radio R, y que circula una corriente en sentido opuesto por el orificio). a) Para las intensidades tenemos: En el conductor: 𝑰𝑹 𝝅∗𝑹𝟐 = 𝑰 𝝅∗(𝑹𝟐−𝒂𝟐) ; 𝑰𝑹 = 𝑰∗𝑹𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) En el orificio: 𝑰𝒐𝒓 𝝅∗𝒂𝟐 = 𝑰 𝝅∗(𝑹𝟐−𝒂𝟐) ; 𝑰𝒐𝒓 = 𝑰∗𝒂𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) 𝑺𝒆 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒓 𝒒𝒖𝒆 ∶ 𝑰𝑹 − 𝑰𝒐𝒓 = 𝑰 Aplicando la ley de Ampère, 1 es el campo del conductor de radio R y 2 el del agujero: 𝑩𝟏 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝟐 ∗ 𝑹 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝑹 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰∗𝑹𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) 𝑩𝟏 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅∗𝑹 ∗ 𝑰∗𝑹𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) 𝑩 ⃗⃗ 𝟏 = − 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅∗𝑹 ∗ 𝑰∗𝑹𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ 𝒋 𝑩𝟐 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ (𝟐 ∗ 𝑹 − 𝒃) = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝒐𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰∗𝒂𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) 𝑩𝟐 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅∗(𝟐∗𝑹−𝒃) ∗ 𝑰∗𝒂𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅∗(𝟐∗𝑹−𝒃) ∗ 𝑰∗𝒂𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ 𝒋 𝑩 ⃗⃗ = ( 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅∗(𝟐∗𝑹−𝒃) ∗ 𝑰∗𝒂𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) − 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅∗𝑹 ∗ 𝑰∗𝑹𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ) ∗ 𝒋 𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗(𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ ( 𝒂𝟐 (𝟐∗𝑹−𝒃) − 𝑹 𝟐 ) ∗ 𝒋 b)
𝑩𝟏 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝟐 ∗ 𝑹 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝑹 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰∗𝑹𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) 𝑩 ⃗⃗ 𝟏 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅∗𝑹 ∗ 𝑰∗𝑹𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ 𝒊 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰∗𝑹 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ 𝒊 𝑩𝟐 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √𝟒 ∗ 𝑹𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝒐𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰∗𝒂𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) 𝑩𝟐 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅∗√𝟒∗𝑹𝟐+𝒃𝟐 ∗ 𝑰∗𝒂𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) 𝒄𝒐𝒔 𝜶 = 𝟐∗𝑹 √𝟒∗𝑹𝟐+𝒃𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜶 = 𝒃 √𝟒∗𝑹𝟐+𝒃𝟐 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅∗√𝟒∗𝑹𝟐+𝒃𝟐 ∗ 𝑰∗𝒂𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ (− 𝟐∗𝑹 √𝟒∗𝑹𝟐+𝒃𝟐 ∗ 𝒊 − 𝒃 √𝟒∗𝑹𝟐+𝒃𝟐 ∗ 𝒋) 𝑩 ⃗⃗ = ( 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑰∗𝑹 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) − 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅∗(𝟒∗𝑹𝟐+𝒃𝟐) ∗ 𝑰∗𝒂𝟐∗𝟐∗𝑹 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ 𝒊 − 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅∗(𝟒∗𝑹𝟐+𝒃𝟐) ∗ 𝑰∗𝒂𝟐∗𝒃 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ 𝒋 𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐∗𝑰 𝝅∗(𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ (− 𝒂𝟐∗𝑹 𝟒∗𝑹𝟐+𝒃𝟐 + 𝑹 𝟒 ∗ 𝒊 − 𝒂𝟐∗𝒃 𝟐∗(𝟒∗𝑹𝟐+𝒃𝟐) ∗ 𝒋 122. Demostrar para el cilindro sobre el que se ha practicado un orificio del problema 121, que el campo magnético en el interior del orificio es uniforme y calcular su módulo y dirección. En el conductor: 𝑰𝒓 𝝅∗𝑹𝟐 = 𝑰 𝝅∗(𝑹𝟐−𝒂𝟐) ; 𝑰𝒓 = 𝑰∗𝒓𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) En el orificio: 𝑰𝒓′ 𝝅∗𝒂𝟐 = 𝑰 𝝅∗(𝑹𝟐−𝒂𝟐) ; 𝑰𝒓′ = 𝑰∗𝒓′𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) Aplicando lay de Ampere a una circunferencia por el interior del orificio de radio r:
𝑩𝟏 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰∗𝒓𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) 𝑩𝟏 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅∗𝒓 ∗ 𝑰∗𝒓𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) 𝑩 ⃗⃗ 𝟏 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑰 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ (𝒌 ⃗ ⃗ ⨂ 𝒓 ⃗ ) Aplicando la ley de Ampére a una circunferencia de radio r’: 𝑩𝟐 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓′ = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝒓′ = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰∗𝒓′𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) 𝑩𝟐 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑰∗𝒓′ (𝑹𝟐−𝒂𝟐) En el punto del dibujo: 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 = − 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑰 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ ⨂𝒓 ⃗ ′ Usando: 𝒓 ⃗ = 𝒓 ⃗ − 𝒃 ⃗ ⃗ 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 = − 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑰 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ ⨂(𝒓 ⃗ − 𝒃 ⃗ ⃗ ) = − 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑰 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ (𝒌 ⃗ ⃗ ⨂𝒓 ⃗ − 𝒌 ⃗ ⃗ ⨂𝒃 ⃗ ⃗ ) 𝑩 ⃗⃗ = 𝑩 ⃗⃗ 𝟏 + 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑰 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ ⨂𝒃 ⃗ ⃗ 123. Una espira cuadrada de lado l está en el plano y z con su centro en el origen. Transporta una corriente I. Determinar el campo magnético B en cualquier punto sobre el eje x y demostrar que para x mucho mayor que l, 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒 𝝅 𝟐 𝝁 𝒙𝟑 En donde 𝝁 = 𝑰 ∗ 𝒍𝟐 es el momento magnético de la espira.
De la simetria del sistema es evidente que los campos debido a cada segmento de longitud l son iguales en magnitud. Podemos expresar el campo magnético en (x,0,0) debido a un lado (segmento) del cuadrado: 𝑩𝟏 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰 𝑹 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 + 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐) Los dos ángulos son iguales y 𝑹 = √𝒅𝟐 + 𝒍𝟐 𝟒 En el punto (x,0,0): 𝑩𝟏 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰 √𝒅𝟐+ 𝒍𝟐 𝟒 ∗ (𝟐 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏) = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑰 √𝒅𝟐+ 𝒍𝟐 𝟒 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏) 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 = 𝒍/𝟐 𝒅 = 𝒍/𝟐 √𝒙𝟐+ 𝒍𝟐 𝟐 𝑩𝟏 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑰 √𝒙𝟐+ 𝒍𝟐 𝟒 ∗ 𝒍/𝟐 √𝒙𝟐+ 𝒍𝟐 𝟐 𝑩𝟏𝒙 = 𝑩𝟏 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝑩𝟏𝒙 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑰 √𝒙𝟐+ 𝒍𝟐 𝟒 ∗ 𝒍 𝟐 √𝒙𝟐+ 𝒍𝟐 𝟐 ∗ 𝒍 𝟐 √𝒙𝟐+ 𝒍𝟐 𝟒 == 𝝁𝒐 𝟖∗𝝅 ∗ 𝑰∗𝒍𝟐 (𝒙𝟐+ 𝒍𝟐 𝟒 )∗√𝒙𝟐+ 𝒍𝟐 𝟐 𝑩 ⃗⃗ = 𝟒 ∗ 𝑩𝟏𝒙 ∗ 𝒊 === 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑰∗𝒍𝟐 (𝒙𝟐+ 𝒍𝟐 𝟒 )∗√𝒙𝟐+ 𝒍𝟐 𝟐 ∗ 𝒊 𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅∗𝒙𝟐 ∗ 𝑰∗𝒍𝟐 (𝟏+ 𝒍𝟐 𝟒∗𝒙𝟐)∗√𝒙𝟐∗(𝟏+ 𝒍𝟐 𝟐∗𝒙𝟐) ∗ 𝒊 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅∗𝒙𝟑 ∗ 𝑰∗𝒍𝟐 (𝟏+ 𝒍𝟐 𝟒∗𝒙𝟐)∗√(𝟏+ 𝒍𝟐 𝟐∗𝒙𝟐) ∗ 𝒊 En el caso x >>l: 𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐∗𝑰∗𝒍𝟐 𝟐∗𝝅∗𝒙𝟑 ∗ 𝒊 = 𝝁𝒐∗𝝁 𝟐∗𝝅∗𝒙𝟑 ∗ 𝒊 124. Una espira circular recorrida por una corriente I se encuentra en el plano y z con su eje a lo largo del eje x. a) Evaluar la integral de línea ∮ 𝑩 ⃗⃗ 𝒅𝒍 a lo largo del eje de la espira desde x = -l1 a x=+l1. b) Demostrar que cuando 𝒍𝟏 → ∞, la integral de línea se aproxima a 𝝁𝒐𝑰. Este resultado puede relacionarse con la ley de Ampère cerrando la curva de integración comuna semicircunferencia de radio l para la cual B =0 para valores muy grandes de l. a)
∮ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝑰 (𝒙𝟐+𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 ∗ 𝒅𝒙 𝒍𝟏 −𝒍𝟏 = ∮ 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑹𝟐∗𝑰 (𝒙𝟐+𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 ∗ 𝒅𝒙 𝒍𝟏 −𝒍𝟏 = 𝝁𝒐∗𝑹𝟐∗𝑰 𝟐 ∗ ∮ 𝟏 (𝒙𝟐+𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 ∗ 𝒅𝒙 𝒍𝟏 −𝒍𝟏 Podemos hacer la integral con el cambio: 𝒙 = 𝑹 ∗ 𝒕𝒈(𝒖); 𝒅𝒙 = 𝒂 𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒖) ∗ 𝒅𝒖 𝝁𝒐∗𝑹𝟐∗𝑰 𝟐 ∗ ∮ 𝟏 (𝑹𝟐+𝑹𝟐∗𝒕𝒈𝟐𝒖) 𝟑 𝟐 ∗ 𝑹 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒖 𝒅𝒖 𝒍𝟏 −𝒍𝟏 = 𝝁𝒐∗𝑹𝟐∗𝑰 𝟐 ∗ ∮ 𝟏 𝑹∗(𝟏+𝒕𝒈𝟐𝒖) 𝟑 𝟐 ∗ 𝑹 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒖 𝒅𝒖 𝒍𝟏 −𝒍𝟏 𝝁𝒐∗𝑹𝟐∗𝑰 𝟐 ∗ ∮ 𝟏 𝑹𝟑∗( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒖 ) 𝟑 𝟐 ∗ 𝑹 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒖 𝒅𝒖 𝒍𝟏 −𝒍𝟏 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐 ∗ ∮ 𝒄𝒐𝒔 𝒖 ∗ 𝒅𝒖 𝒍𝟏 −𝒍𝟏 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐 ∗ |𝒔𝒊𝒏 𝒖|−𝒍𝟏 𝒍𝟏 Mirando el cambio hecho: 𝒙 𝑹 = 𝒕𝒈 𝒖 ∶ 𝒂𝒓 𝒕𝒈 ( 𝒙 𝑹 ) = 𝒖 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 𝟐 ∗ |𝐬𝐢 𝐧 (𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 ( 𝒙 𝑹 ))| −𝒍𝟏 𝒍𝟏 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 𝟐 ∗ | | 𝒙 𝑹 √𝟏 + 𝒙𝟐 𝑹𝟐 | | −𝒍𝟏 𝒍𝟏 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 𝟐 ∗ | 𝒙 √𝑹𝟐 + 𝒙𝟐 | −𝒍𝟏 𝒍𝟏 ∮ 𝑩 ⃗⃗ 𝒅𝒍 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐 ∗ ( 𝟐∗𝒍𝟏 √𝑹𝟐+𝒍𝟏 𝟐 ) b) 𝒍𝟏 → ∞ 𝟐∗𝒍𝟏 √𝑹𝟐+𝒍𝟏 𝟐 → 𝟐 ∮ 𝑩 ⃗⃗ 𝒅𝒍 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰
125. La corriente en un conductor largo cilíndrico de radio R viene dada por 𝑰(𝒓) = 𝑰𝒐(𝟏 − 𝒆 𝒓 𝒂). Deducir las expresiones correspondientes al campo magnético debido a esta corriente para r<R y r >R. Para r<R: La intensidad interior a un círculo de radio r<R: 𝑰 = ∫ 𝑰𝟎 ∗ (𝟏 − 𝒆 𝒓 𝒂) ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 𝒓 𝟎 = 𝑰𝟎 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ ∫ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 𝒓 𝟎 − 𝒓 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂 ∗ 𝒅𝒓) ∫ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 𝒓 𝟎 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒓𝟐 ∫ 𝒓 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂 ∗ 𝒅𝒓 𝒓 𝟎 = | 𝒖 = 𝒓 𝒅𝒖 = 𝒅𝒓 𝒅𝒗 = 𝒆 𝒓 𝒂 ∗ 𝒅𝒓 𝒗 = 𝒂 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂 | = |𝒓 ∗ 𝒂 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂| 𝟎 𝒓 − ∫ 𝒂 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂 ∗ 𝒅𝒓 𝒓 𝟎 = ∫ 𝒓 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂 ∗ 𝒅𝒓 𝒓 𝟎 = 𝒓 ∗ 𝒂 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂 − |𝒂𝟐 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂| 𝟎 𝒓 = 𝒓 ∗ 𝒂 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂 − (𝒂𝟐 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂 − 𝒂𝟐 ) 𝑰 = 𝑰𝟎 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ ( 𝟏 𝟐 ∗ 𝒓𝟐 − 𝒓 ∗ 𝒂 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂 + 𝒂𝟐 ∗ (𝒆 𝒓 𝒂 − 𝟏)) Aplicando la ley Ampère: 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝟎 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ ( 𝟏 𝟐 ∗ 𝒓𝟐 − 𝒓 ∗ 𝒂 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂 + 𝒂𝟐 ∗ (𝒆 𝒓 𝒂 − 𝟏)) 𝑩 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝟎 ∗ ( 𝟏 𝟐 ∗ 𝒓 − 𝒂 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂 + 𝒂𝟐 𝒓 ∗ (𝒆 𝒓 𝒂 − 𝟏)) Para r>R: 𝑰 = 𝑰𝒐 ∗ (𝟏 − 𝒆 𝑹 𝒂) 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝟎 ∗ (𝟏 − 𝒆 𝑹 𝒂) 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰𝟎 𝟐∗𝝅∗𝒓 ∗ (𝟏 − 𝒆 𝑹 𝒂) 126. En el ejemplo de un alambre largo y recto de radio a que transporta una corriente I uniformemente distribuida en toda el área transversal del conductor, el campo magnético dentro y fuera del alambre es: 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟐𝝅𝑹𝟐 𝑰 𝒓; 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟐𝝅 ∗ 𝑰 𝒓 . Consideremos un filamento de corriente a una distancia r del centro del alambre. Demostrar que este filamento experimenta una fuerza dirigida hacia el centro del alambre y que, por tanto, la distribución de corriente no puede ser totalmente uniforme Este efecto llamado efecto de pinzamiento (pinch-effect) depende de la magnitud de la corriente, pero generalmente puede despreciarse. Consideremos un alambre de cobre de diámetro 2,0 cm que transporta una corriente nominalmente uniforme de 400 A. Calcular la fuerza por unidad de longitud ejercida sobre una región anular de corriente, de 0,1 mm de espesor, en la periferia del alambre. Suponer que la corriente es transportada por los electrones de conducción. ¿Qué distancia hacia el centro del alambre tendría que desplazarse esta región de corriente anular para que la fuerza electrostática entre los electrones y los iones positivos fijos en la periferia equilibren justamente la fuerza magnética? Para entender el efecto de pinzamiento, primero necesitamos entender que el campo magnético generado por un alambre que lleva corriente ejerce una fuerza sobre los portadores de carga en el alambre. Esta fuerza es perpendicular tanto a la dirección de la corriente como al campo magnético. La ley de Ampère nos dice que el campo magnético alrededor de un alambre que lleva corriente es proporcional a la corriente y disminuye con la distancia
desde el alambre. Por lo tanto, un filamento de corriente más cerca del centro del alambre experimentará un campo magnético más débil que un filamento más alejado del centro. La fuerza magnética en un portador de carga se describe por la ecuación F = qvB sinθ, donde F es la fuerza, q es la carga, v es la velocidad, B es el campo magnético y θ es el ángulo entre v y B. En nuestro caso, θ es 90 grados, por lo que sinθ = 1. Por lo tanto, los portadores de carga más alejados del centro del alambre experimentarán una mayor fuerza magnética que los más cercanos al centro. Esta diferencia en la fuerza causa una migración de los portadores de carga hacia el centro del alambre, resultando en una distribución de corriente no uniforme. Este es el efecto de pinzamiento. Es importante tener en cuenta que este efecto generalmente se puede despreciar en la mayoría de las aplicaciones prácticas porque requiere corrientes muy altas para ser significativo. Sin embargo, puede ser importante en ciertas aplicaciones de alta potencia o alta frecuencia. Para calcular la fuerza por unidad de longitud ejercida sobre una región anular de corriente, podemos usar la fórmula de la fuerza magnética en un conductor rectilíneo: 𝑭 = 𝑰 ∗ 𝑳 ∗ 𝑩 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 Donde:  I es la corriente en amperios (A)  L es la longitud del conductor en metros (m)  B es el campo magnético en teslas (T)  θ es el ángulo entre la corriente y el campo magnético En este caso, como estamos considerando una región anular de corriente en la periferia del alambre, el ángulo entre la corriente y el campo magnético es de 90 grados, por lo que sin(θ)=1. El campo magnético B creado por una corriente I que fluye a través de un alambre largo y recto se puede calcular usando la ley de Ampère: 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 Donde r es la distancia desde el centro del alambre hasta el punto donde se mide el campo magnético La fuerza por unidad de longitud (F/L) sería entonces: 𝑭 𝑳 = 𝑰 ∗ 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰𝟐 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟒𝟎𝟎𝟐 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟏 = 𝟑, 𝟐𝑵/𝒎
La fuerza electrostática entre los electrones y los iones positivos en la periferia del alambre se puede calcular usando la ley de Coulomb: 𝑭 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 𝒓𝟐 Donde:  k es la constante de Coulomb.  q1 y q2 son las cargas de los electrones y los iones, respectivamente  r es la distancia entre las cargas En este caso, q1=q2=e, donde e es la carga del electrón (1.6×10−19 C). La distancia r es la que estamos tratando de calcular. La fuerza electrostática debe equilibrar la fuerza magnética, por lo que podemos igualar las dos ecuaciones y resolver para r: 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 𝒓𝟐 = 𝝁𝒐∗𝑰𝟐 𝟐∗𝝅∗𝒓 𝒓 = √ 𝒌∗𝒆𝟐∗𝟐∗𝝅 𝝁𝒐∗𝑰𝟐 = √ 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗(𝟏.𝟔∗𝟏𝟎−𝟏𝟗)𝟐∗𝟐∗𝝅 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟒𝟎𝟎𝟐 = 𝟖, 𝟒𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟒 𝒎 ¿?

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Fuentes del campo magnético.docx

  • 1. Fuentes del campo magnético Cargas puntuales móviles 1. Comparar las direcciones de las fuerzas eléctricas y magnéticas entre dos cargas positivas que se mueven a lo largo de trayectorias paralelas, a) En el mismo sentido. b) En sentidos opuestos. a) La fuerza entre dos cargas del mismo signo será de repulsión ente ellas, con la dirección en la línea de unión de las cargas. El campo creado por cada carga en un punto será una circunferencia a su alrededor y el sentido dado por la regla de la mano derecha. Aplicando la regla de los tres dedos obtenemos que la fuerza entre las cargas será atractiva. b) En el caso de ser sentidos opuestos, la fuerza eléctrica no cambia, pero el campo magnético de la que cambia de sentido irá en sentido contrario en el punto donde está la otra, de forma que la fuerza magnética cambia de sentido. 2. En el tiempo t =0, una partícula de carga q=12 μC está localizada en x = 0, y= 2 m; su velocidad en ese instante es v=30 m/s i. Determinar el campo magnético en a) El origen. b) x=0, y=1m. c) x=0, y = 3m. d) x=0; y = 4m.
  • 2. a) 𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝒒∗𝒗 ⃗ ⃗ ⨂𝒓 ⃗ 𝒖 𝒓𝟐 𝒓 ⃗ = −𝟐 ∗ 𝒋 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒓 ⃗ 𝒓 = −𝟐∗𝒋 𝟐 = −𝒋 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟐𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟑𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 −𝟏 𝟎 | = −𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟑𝟎 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 𝑩 ⃗⃗ = −𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 𝑻 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ b) 𝒓 ⃗ = −𝟏 ∗ 𝒋 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒓 ⃗ 𝒓 = −𝟏∗𝒋 𝟏 = 𝒋 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟏𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟑𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 −𝟏 𝟎 | = −𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟏𝟐 ∗ 𝟑𝟎 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 𝑩 ⃗⃗ = − 𝟑. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑻 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ c) 𝒓 ⃗ = 𝟏 ∗ 𝒋 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒓 ⃗ 𝒓 = 𝟏∗𝒋 𝟏 = 𝒋 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟏𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟑𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 | = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟏𝟐 ∗ 𝟑𝟎 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 𝑩 ⃗⃗ = 𝟑. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑻 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ d) 𝒓 ⃗ = 𝟐 ∗ 𝒋 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒓 ⃗ 𝒓 = 𝟐∗𝒋 𝟐 = 𝒋 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟐𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟑𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 | = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟑𝟎 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 𝑩 ⃗⃗ = 𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 𝑻 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 3. Determinar el campo magnético para la partícula del problema 2 en a) x = 1 m, y = 3m. b) x = 2 m, y= 2 m. c) x = 2 m, y = 3 m. a) 𝒓 ⃗ = 𝒊 + 𝒋 ; 𝒓 = √𝟐; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒓 ⃗ 𝒓 = 𝒊+𝒋 √𝟐 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟑𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 √𝟐 𝟏 √𝟐 𝟎 | = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟐 ∗ 𝟑𝟎 √𝟐 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏. 𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟏 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ b) 𝒓 ⃗ = 𝟐 ∗ 𝒊 ; 𝒓 = 𝟐; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒓 ⃗ 𝒓 = 𝒊 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟐𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟑𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 | = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟐 ∗ 𝟎 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 𝑩 ⃗⃗ = 𝟎 c) 𝒓 ⃗ = 𝟐 ∗ 𝒊 + 𝒋 ; 𝒓 = √𝟓 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒓 ⃗ 𝒓 = 𝟐∗𝒊+𝒋 √𝟓 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟓 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟑𝟎 𝟎 𝟎 𝟐 √𝟓 𝟏 √𝟓 𝟎 | = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝟓 ∗ 𝟑𝟎 ∗ 𝟏 √𝟓 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 𝑩 ⃗⃗ = 𝟑. 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗
  • 3. 4. Un protón (carga +e), que se mueve con una velocidad de v= 1 104 m/s i+2 104 m/s j está localizado en x=3m, y= 4m en un cierto instante. Determinar el campo magnético en las siguientes posiciones: a) x= 2 m, y = 2m. b) x= 6 m, y = 4 m. c) x = 3 m, y = 6 m. a) 𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝒒∗𝒗 ⃗ ⃗ ⨂𝒓 ⃗ 𝒓𝟐 𝒓 ⃗ = −𝒊 − 𝟐 ∗ 𝒋 ; 𝒓 = √𝟓 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒓 ⃗ 𝒓 = −𝒊−𝟐∗𝒋 √𝟓 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ 𝟏 𝟓 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟏𝟎𝟒 𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝟎 − 𝟏 √𝟓 − 𝟐 √𝟓 𝟎 | 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ 𝟏 𝟓 ∗ (− 𝟐∗𝟏𝟎𝟒 √𝟓 − 𝟐∗𝟏𝟎𝟒∗(−𝟏) √𝟓 ) ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ = 𝟎 b) 𝒓 ⃗ = 𝟑 ∗ 𝒊; 𝒓 = 𝟑 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒓 ⃗ 𝒓 = 𝟑∗𝒊 𝟑 = 𝒊 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ 𝟏 𝟑𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟏𝟎𝟒 𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 | 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ 𝟏 𝟑𝟐 ∗ (−𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒 ∗ (𝟏)) ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ = −𝟑. 𝟓𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟑 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ c) 𝒓 ⃗ = 𝟐 ∗ 𝒋; 𝒓 = 𝟐 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒓 ⃗ 𝒓 = 𝟐∗𝒋 𝟐 = 𝒋 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ 𝟏 𝟐𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟏𝟎𝟒 𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 | 𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ 𝟏 𝟐𝟐 ∗ (𝟏𝟎𝟒 ∗ (𝟏)) ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ = 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟑 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 5. Un electrón gira alrededor de un protón en una órbita de 5,29 10-11 m. Determinar el campo magnético en el protón producido por el movimiento del electrón. 𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝒒∗𝒗 ⃗ ⃗ ⨂𝒓 ⃗ 𝒓𝟐 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝒆∗𝒗 𝒓𝟐 Para determinar la velocidad usamos que la fuerza eléctrica es la fuerza resultante. 𝒌 ∗ 𝒆𝟐 𝒓𝟐 = 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝒓 ; 𝒗 = √𝒌∗𝒆𝟐 𝒎∗𝒓 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝒆∗√𝒌∗𝒆𝟐 𝒎∗𝒓 𝒓𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝒆𝟐 𝒓𝟐 ∗ √ 𝒌 𝒎∗𝒓 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ (𝟏.𝟔∗𝟏𝟎−𝟏𝟗) 𝟐 (𝟓.𝟐𝟗∗𝟏𝟎−𝟏𝟏)𝟐 ∗ √ 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗 𝟗.𝟏𝟏∗𝟏𝟎−𝟑𝟏∗𝟓.𝟐𝟗∗𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑩 = 𝟏𝟐, 𝟓 𝑻 6. Dos cargas iguales q localizadas en (0,0,0) y (0,b,0) en el tiempo cero se mueven con velocidad v en la dirección x positiva (v<<c). Determinar la relación que existe entre las magnitudes de la fuerza magnética y electrostática en cada una de ellas. 𝑭𝒆 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 𝟒∗𝝅∗𝜺𝒐 ∗ 𝒒𝟐 𝒃𝟐 𝑭𝒎 = 𝒒 ∗ 𝒗 ∗ 𝑩 = 𝒒 ∗ 𝒗 ∗ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝒒∗𝒗 𝒃𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝒒𝟐∗𝒗𝟐 𝒃𝟐 𝑭𝒎 𝑭𝒆 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝒒𝟐∗𝒗𝟐 𝒃𝟐 𝟏 𝟒∗𝝅∗𝜺𝒐 ∗ 𝒒𝟐 𝒃𝟐 = 𝝁𝒐 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝒗𝟐 = 𝒗𝟐 𝒄𝟐
  • 4. Ley de Biot y Savart 7. La ley de Biot y Savart es semejante a la ley de Coulomb porque ambas a) Son leyes inversas al cuadrado. b) Tratan con fuerzas sobre partículas cargadas. c) Tratan de cargas en exceso. d) Incluyen la permeabilidad del espacio libre. e) No son de naturaleza eléctrica. 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰∗𝒅𝒍⊗𝒓𝒖 ⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝟐 (𝒂)𝒚 (𝒃) 8. Un elemento pequeño de corriente I dl, en el que dl = 2 mm k, tiene una corriente I= 2 A y está centrado Enel origen. Hallar el campo magnético dB en los puntos siguientes: a) En el eje x en x = 3 m. b) En el eje x en x = - 6 m. c) En el eje z en z = 3 m. d) En el eje y en y = 3 m. a) 𝒓 ⃗ = 𝟑 𝒊 ; 𝒓 = 𝟑 𝒎 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒊 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰∗𝒅𝒍⊗𝒓𝒖 ⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝟐 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 𝟑𝟐 ∗ 𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟎 𝟎 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝟏 𝟎 𝟎 | = 𝟏𝟎−𝟕 𝟑𝟐 ∗ 𝟐 ∗ (𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ) ∗ 𝒋 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝟒. 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑻 ∗ 𝒋 b) 𝒓 ⃗ = −𝟔 𝒊 ; 𝒓 = 𝟔 𝒎 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = − 𝒊 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 𝟔𝟐 ∗ 𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟎 𝟎 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 −𝟏 𝟎 𝟎 | = 𝟏𝟎−𝟕 𝟔𝟐 ∗ 𝟐 ∗ (−𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ) ∗ 𝒋 𝒅𝑩 ⃗⃗ = −𝟏. 𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑻 ∗ 𝒋 c) 𝒓 ⃗ = 𝟑 𝒌 ⃗ ⃗ ; 𝒓 = 𝟑 𝒎 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒌 ⃗ ⃗ 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 𝟑𝟐 ∗ 𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟎 𝟎 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝟎 𝟎 𝟏 | = 𝟎 d) 𝒓 ⃗ = 𝟑 𝒋 ; 𝒓 = 𝟑 𝒎 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝒋 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 𝟑𝟐 ∗ 𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟎 𝟎 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝟎 𝟏 𝟎 | = 𝟏𝟎−𝟕 𝟑𝟐 ∗ 𝟐 ∗ (−𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ) ∗ 𝒊 𝒅𝑩 ⃗⃗ = −𝟒. 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑻 ∗ 𝒊 9. En el caso del elemento de corriente del problema 8 hallar el valor e indicar la dirección de dB en el punto x=0, y= 3, z= 4 m. 𝒓 ⃗ = 𝟑 𝒋 + 𝟒 𝒌 ⃗ ⃗ ; 𝒓 = √𝟑𝟐 + 𝟒𝟐 = 𝟓 𝒎 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝟑 𝟓 𝒋 + 𝟒 𝟓 𝒌 ⃗ ⃗ 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 𝟓𝟐 ∗ 𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟎 𝟎 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝟎 𝟑 𝟓 𝟒 𝟓 |
  • 5. 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 𝟓𝟐 ∗ 𝟐 ∗ (− 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝟑 𝟓 ∗ 𝒊) = −𝟗. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝒊 10. En el caso del elemento de corriente del problema 8, hallar el valor de dB e indicar su dirección en un diagrama para los puntos a) x=2 m, y=4 m, z= 0. b) x= 2 m, y= 0, z= 4 m. a) 𝒓 ⃗ = 𝟐 𝒊 + 𝟒 𝒋 ; 𝒓 = √𝟐𝟐 + 𝟒𝟐 = 𝟐 ∗ √𝟓 𝒎 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝟏 √𝟓 𝒊 + 𝟐 √𝟓 𝒋 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 𝟐𝟐∗𝟓 ∗ 𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟎 𝟎 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝟏 √𝟓 𝟐 √𝟓 𝟎 | 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 𝟐𝟐∗𝟓 ∗ 𝟐 ∗ (−𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝟐 √𝟓 ∗ 𝒊 + 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝟏 √𝟓 ∗ 𝒋) 𝒅𝑩 ⃗⃗ = −𝟏. 𝟕𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟏 ∗ 𝒊 + 𝟖. 𝟗𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝒋 b) 𝒓 ⃗ = 𝟐 𝒊 + 𝟒 𝒌 ⃗ ⃗ ; 𝒓 = √𝟐𝟐 + 𝟒𝟐 = 𝟐 ∗ √𝟓 𝒎 ; 𝒓 ⃗ 𝒖 = 𝟏 √𝟓 𝒊 + 𝟐 √𝟓 𝒌 ⃗ ⃗ 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 𝟐𝟐∗𝟓 ∗ 𝟐 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝟎 𝟎 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝟏 √𝟓 𝟎 𝟐 √𝟓 | 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝟏𝟎−𝟕 𝟐𝟐∗𝟓 ∗ 𝟐 ∗ (𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝟏 √𝟓 ∗ 𝒋) 𝒅𝑩 ⃗⃗ = 𝟖. 𝟗𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ Espiras de corriente 11. ¿Es B uniforme en todos los puntos dentro de una espira de corriente? Razonar la respuesta. El campo dependerá de la posición dentro de la espira donde nos encontremos. 12. Una sola espira de alambre de radio 3 cm transporta una corriente de 2,5 A. ¿Cuál es la magnitud de B sobre el eje de la espira en a) El centro de la espira,
  • 6. b) A 1 cm del centro, c) A 2 cm del centro, d) A 35 cm del centro? a) 𝑩𝒛 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝑰 (𝒛𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 𝑩𝒛(𝟎) = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟑𝟐∗𝟐.𝟔 (𝟎.𝟎𝟑𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝟓𝟒. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻 b) 𝑩𝒛(𝟎. 𝟎𝟏) = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟑𝟐∗𝟐.𝟔 (𝟎.𝟎𝟏𝟐+𝟎.𝟎𝟑𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝟒𝟔. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻 c) 𝑩𝒛(𝟎. 𝟎𝟐) = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟑𝟐∗𝟐.𝟔 (𝟎.𝟎𝟐𝟐+𝟎.𝟎𝟑𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝟑𝟏. 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻 d) 𝑩𝒛(𝟎. 𝟑𝟓) = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟑𝟐∗𝟐.𝟔 (𝟎.𝟑𝟓𝟐+𝟎.𝟎𝟑𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝟑𝟑. 𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 𝑻 13. Una sola espira circular de radio 10,0 cm ha de producir un campo en su centro que equilibre exactamente el campo terrestre en el ecuador, que vale 0,7 G y está dirigido hacia el norte. Hallar la corriente en el conductor y hacer un esquema que muestre la orientación de la espira y de la corriente. 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝑰 (𝒛𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 𝑰 = 𝑩∗(𝒛𝟐+𝑹𝟐) 𝟑/𝟐 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐 ∗ 𝟒∗𝝅 𝝁𝒐 En el centro, z =0. 𝑰 = 𝑩∗𝑹 𝟐∗𝝅 ∗ 𝟒∗𝝅 𝝁𝒐 = 𝟎.𝟕𝑮∗ 𝟏 𝑻 𝟏𝟎𝟒𝑮 ∗𝟎.𝟏 𝟐∗𝝅 ∗ 𝟏 𝟏𝟎−𝟕 = 𝟏𝟏. 𝟏 𝑨 14. ¿En qué punto del eje de la espira del problema 13 el campo magnético es a) El 10 % del campo en el centro, b) El 1 % del campo en el centro, c) El 0,1 % del campo en el centro?
  • 7. a) 𝟎. 𝟏 ∗ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑰 𝑹 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝑰 (𝒛𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 𝟎. 𝟏 ∗ 𝟏 𝑹 = 𝑹𝟐 (𝒛𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 (𝒛𝟐 + 𝑹𝟐 ) 𝟑/𝟐 = 𝑹𝟑 𝟎.𝟏 𝒛 = 𝑹 ∗ √ 𝟏 (𝟎.𝟏) 𝟐 𝟑 − 𝟏 = 𝟎. 𝟏 ∗ √ 𝟏 (𝟎.𝟏) 𝟐 𝟑 − 𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟗𝟏 𝒎 b) 𝒛 = 𝑹 ∗ √ 𝟏 (𝟎.𝟎𝟏) 𝟐 𝟑 − 𝟏 = 𝟎. 𝟏 ∗ √ 𝟏 (𝟎.𝟎𝟏) 𝟐 𝟑 − 𝟏 = 𝟎. 𝟒𝟓𝟑 𝒎 c) 𝒛 = 𝑹 ∗ √ 𝟏 (𝟎.𝟎𝟎𝟏) 𝟐 𝟑 − 𝟏 = 𝟎. 𝟏 ∗ √ 𝟏 (𝟎.𝟎𝟎𝟏) 𝟐 𝟑 − 𝟏 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟓 𝒎 15. Una sola espira circular de radio 8,5 cm ha de producir un campo en su centro que neutralice exactamente el campo terrestre de magnitud 0,7 G dirigido 70º por debajo de la dirección horizontal norte. Determinar la intensidad de la corriente y hacer un esquema que muestre la orientación de la espira y la corriente. 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝑰 (𝒛𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 𝑰 = 𝟒∗𝝅 𝝁𝒐 ∗ 𝑩∗(𝒛𝟐+𝑹𝟐) 𝟑/𝟐 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐 En el centro de la esfera, z = 0: 𝑰 = 𝟒∗𝝅 𝝁𝒐 ∗ 𝑩∗𝑹 𝟐∗𝝅 = 𝟏 𝟏𝟎−𝟕 ∗ (𝟎.𝟕 𝑮∗ 𝟏 𝑻 𝟏𝟎𝟒𝑮 )∗𝟎.𝟎𝟖𝟓 𝟐∗𝝅 = 𝟗, 𝟒𝟕 𝑨 16. Una espira circular de radio R por la que circula una corriente I está centrada en el origen con su eje dirigido a lo largo del eje x. Su corriente es tal que produce un campo magnético en el sentido positivo del eje de las x. a) Hacer un esquema de Bx en función de x para todos los puntos del eje x. Incluir tanto valores positivos como negativos de x. Comparar este esquema con el correspondiente a Ex debido a un anillo cargado del mismo tamaño. b) Otra segunda espira idéntica por la que circula la misma corriente y en el mismo sentido está en un plano paralelo al eje yz con su centro en el punto x=d. Hacer un esquema del campo magnético Enel eje x debido a cada bobina por separado y el campo resultante debido a ambas bobinas. Demostrar a partir de este esquema que 𝒅𝑩𝒙 𝒅𝒙 es cero en el punto medio entre las bobinas. a) 𝑩𝒙 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝑰 (𝒙𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐
  • 8. En el centro de la espira: 𝑩𝒐 = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑰 𝑹 𝑩𝒙 𝑩𝒐 = 𝑹 (𝒙𝟐+𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝟏 (𝟏+ 𝒙𝟐 𝑹𝟐) 𝟑/𝟐 b) 𝑬(𝒙) = 𝒌∗𝑸∗𝒙 (𝒙𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 = 𝒌∗𝑸 𝑹𝟐 ∗ 𝒙/𝑹 (𝟏+ 𝒙𝟐 𝑹𝟐) 𝟑/𝟐 𝑬(𝒙) 𝒌∗𝑸 𝑹𝟐 = 𝒙/𝑹 (𝟏+ 𝒙𝟐 𝑹𝟐) 𝟑/𝟐 c) 𝑩𝟏(𝒙) = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝑰 (𝒙𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 𝑩𝒐 = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑰 𝑹 𝑩𝟏 𝑩𝒐 = 𝟏 (𝟏+ 𝒙𝟐 𝑹𝟐) 𝟑/𝟐
  • 9. 𝑩𝟐(𝒙) = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝑰 ((𝒅−𝒙)𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 𝑩𝒐 = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑰 𝑹 Si hacemos d=R: 𝑩𝟐(𝒙) = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝑰 ((𝑹−𝒙)𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 𝑩𝟐(𝒙) = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑰 𝑹∗((𝟏−𝒙)𝟐+𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝑩𝒐 ((𝟏−𝒙)𝟐+𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 𝑩𝟐 𝑩𝒐 = 𝟏 ((𝟏−𝒙)𝟐+𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 = La gráfica de cada espira da un máximo en el centro de campo que crea cada bobina, dada la simetría del campo de cada espira el campo en la región entre bobinas es prácticamente constante, de forma que su derivada es nula en el punto medio entre bobinas. 17. Dos bobinas que están separadas por una distancia igual a su radio y que transportan corrientes iguales de modo que sus campos axiales se suman, se denominan bobinas de Helmholtz. Una característica de las bobinas de Helmholtz es que el campo magnético resultante entre ellas es muy uniforme. Sea R=10 cm, I=20 Ay N=300 vueltas para cada bobina. Situar una de ellas en el plano y z con su centro Enel origen y la otra en un plano paralelo en x = 10 cm. a) Calcular el campo resultante Bx en los puntos x = 5 cm, x = 7 cm, x= 9 cm y x = 11 cm. b) Utilizar los resultados obtenidos y el hecho de que Bx es simétrico alrededor del punto medio de las bobinas para representar Bx en función de x. (véase también el problema 18). a) Supongamos el centro de una bobina en x =-R/2 y la otra en x=R/2. Para la centrada en x =-R/2: 𝑩𝟏(𝒙) = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵∗𝑹𝟐∗𝑰 (( 𝑹 𝟐 +𝒙)𝟐+𝑹𝟐) 𝟑/𝟐 Para la centrada en x = R/2: 𝑩𝟐(𝒙) = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵∗𝑹𝟐∗𝑰 (( 𝑹 𝟐 −𝒙)𝟐+𝑹𝟐) 𝟑/𝟐
  • 10. El campo resultante Enel eje x: 𝑩𝒙 = 𝑩𝟏(𝒙) + 𝑩𝟐(𝒙) = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵∗𝑹𝟐∗𝑰 (( 𝑹 𝟐 +𝒙) 𝟐 +𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 + 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵∗𝑹𝟐∗𝑰 (( 𝑹 𝟐 −𝒙) 𝟐 +𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 𝑩𝒙 = 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑹𝟐∗𝑰 𝟐 ∗ [ 𝟏 (( 𝑹 𝟐 +𝒙) 𝟐 +𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 + 𝟏 (( 𝑹 𝟐 −𝒙) 𝟐 +𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 ] 𝑩𝒙(𝟎. 𝟎𝟓) = 𝝁𝒐∗𝟑𝟎𝟎∗𝟎.𝟏𝟐∗𝟐𝟎 𝟐 ∗ [ 𝟏 (( 𝟎.𝟏 𝟐 +𝟎.𝟎𝟓) 𝟐 +𝟎.𝟏𝟐) 𝟑 𝟐 + 𝟏 (( 𝟎.𝟏 𝟐 −𝟎.𝟎𝟓) 𝟐 +𝟎.𝟏𝟐) 𝟑 𝟐 ] 𝑩𝒙(𝟎. 𝟎𝟓) = 𝟓. 𝟏𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝑻 ∗ 𝟏𝟎𝟒𝑮 𝟏 𝑻 = 𝟓𝟏𝟎 𝑮 𝑩𝒙(𝟎. 𝟎𝟕) = 𝝁𝒐∗𝟑𝟎𝟎∗𝟎.𝟏𝟐∗𝟐𝟎 𝟐 ∗ [ 𝟏 (( 𝟎.𝟏 𝟐 +𝟎.𝟎𝟕) 𝟐 +𝟎.𝟏𝟐) 𝟑 𝟐 + 𝟏 (( 𝟎.𝟏 𝟐 −𝟎.𝟎𝟕) 𝟐 +𝟎.𝟏𝟐) 𝟑 𝟐 ] 𝑩𝒙(𝟎. 𝟎𝟕) = 𝟒. 𝟓𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝑻 ∗ 𝟏𝟎𝟒𝑮 𝟏 𝑻 = 𝟒𝟓𝟒 𝑮 𝑩𝒙(𝟎. 𝟎𝟗) = 𝝁𝒐∗𝟑𝟎𝟎∗𝟎.𝟏𝟐∗𝟐𝟎 𝟐 ∗ [ 𝟏 (( 𝟎.𝟏 𝟐 +𝟎.𝟎𝟗) 𝟐 +𝟎.𝟏𝟐) 𝟑 𝟐 + 𝟏 (( 𝟎.𝟏 𝟐 −𝟎.𝟎𝟗) 𝟐 +𝟎.𝟏𝟐) 𝟑 𝟐 ] 𝑩𝒙(𝟎. 𝟎𝟗) = 𝟑. 𝟕𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝑻 ∗ 𝟏𝟎𝟒𝑮 𝟏 𝑻 = 𝟑𝟕𝟔 𝑮 𝑩𝒙(𝟎. 𝟏𝟏) = 𝝁𝒐∗𝟑𝟎𝟎∗𝟎.𝟏𝟐∗𝟐𝟎 𝟐 ∗ [ 𝟏 (( 𝟎.𝟏 𝟐 +𝟎.𝟏𝟏) 𝟐 +𝟎.𝟏𝟐) 𝟑 𝟐 + 𝟏 (( 𝟎.𝟏 𝟐 −𝟎.𝟏𝟏) 𝟐 +𝟎.𝟏𝟐) 𝟑 𝟐 ] 𝑩𝒙(𝟎. 𝟎𝟗) = 𝟐. 𝟗𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝑻 ∗ 𝟏𝟎𝟒𝑮 𝟏 𝑻 = 𝟐𝟗𝟒 𝑮 b)
  • 11. 18. Dos bobinas de Helmholtz de radio R poseen sus ejes a lo largo del eje x (véase problema 17). Una de las bobinas está en el plano yz y la otra en un plano paralelo a x = R. Demostrar que en el punto medio de las bobinas (x=1/2 R), 𝒅𝑩𝒙 𝒅𝒙 = 𝟎, 𝒅𝟐𝑩𝒙 𝒅𝒙𝟐 = 𝟎 𝒚 𝒅𝟑𝑩𝒙 𝒅𝒙𝟑 = 𝟎 . Esto demuestra que el campo magnético en puntos próximos al punto medio es aproximadamente igual al correspondiente al punto medio. Tenemos la bobina 1 con centro en el origen y la 2 con centro en x = R. 𝑩𝟏(𝒙) = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵∗𝑹𝟐∗𝑰 ((𝒙)𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 𝑩𝟐(𝒙) = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵∗𝑹𝟐∗𝑰 ((𝒙−𝑹)𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 𝑩𝒙 = 𝑩𝟏(𝒙) + 𝑩𝟐(𝒙) = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 ∗ [ 𝟏 ((𝒙)𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 + 𝟏 ((𝒙−𝑹)𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐] En x = R/2: 𝑩𝒙 = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 ∗ [ 𝟏 ( 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐) 𝟑/𝟐 + 𝟏 ( 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐) 𝟑/𝟐] Sea 𝒙𝟏 = ((𝒙)𝟐 + 𝑹𝟐 )𝟏/𝟐 y 𝒙𝟐 = (𝒙 − 𝑹)𝟐 + 𝑹𝟐 )𝟏/𝟐 . En x = R/2: 𝒙𝟏 = ( 𝟓 𝟒 ∗ 𝑹𝟐 ) 𝟏 𝟐 𝒚 𝒙𝟐 = ( 𝟓 𝟒 ∗ 𝑹𝟐 ) 𝟏 𝟐 𝒅𝑩𝒙 𝒅𝒙 = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 ∗ 𝒅 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝒙𝟏 𝟑 + 𝟏 𝒙𝟐 𝟑) = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 ∗ ( 𝒙 𝒙𝟏 𝟓 + 𝒙−𝑹 𝒙𝟐 𝟓 ) 𝑬𝒏 𝒙 = 𝑹 𝟐 : 𝒅𝑩𝒙 𝒅𝒙 (𝒙 = 𝑹 𝟐 ) = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 ∗ ( 𝟏 𝟐 ∗𝑹 ( 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐) 𝟓 𝟐 + − 𝟏 𝟐 ∗𝑹 ( 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐) 𝟓 𝟐 ) = 𝟎 𝒅𝟐𝑩𝒙 𝒅𝒙𝟐 = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 ∗ 𝒅 𝒅𝒙 ( 𝒙 𝒙𝟏 𝟓 + 𝒙−𝑹 𝒙𝟐 𝟓 ) = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 ∗ ( 𝟏 𝒙𝟏 𝟓 + 𝟏 𝒙𝟐 𝟓 − 𝟓∗𝒙𝟐 𝒙𝟏 𝟕 − 𝟓∗(𝒙−𝑹)𝟐 𝒙𝟐 𝟕 ) 𝑬𝒏 𝒙 = 𝑹 𝟐 : 𝒅𝟐𝑩𝒙 𝒅𝒙𝟐 (𝒙 = 𝑹 𝟐 ) = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 ∗ ( 𝟏 ( 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐) 𝟓 𝟐 + 𝟏 ( 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐) 𝟓 𝟐 − 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐 ( 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐) 𝟕 𝟐 − 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐 ( 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐) 𝟕 𝟐 = 𝟎 𝒅𝟑𝑩𝒙 𝒅𝒙𝟑 = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 ∗ 𝒅 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝒙𝟏 𝟓 + 𝟏 𝒙𝟐 𝟓 − 𝟓∗𝒙𝟐 𝒙𝟏 𝟕 − 𝟓∗(𝒙−𝑹)𝟐 𝒙𝟐 𝟕 ) 𝒅𝟑𝑩𝒙 𝒅𝒙𝟑 = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 ∗ ( 𝟑𝟓∗𝒙𝟑 𝒙𝟏 𝟗 − 𝟏𝟓∗𝒙 𝒙𝟏 𝟕 − 𝟏𝟓∗(𝒙−𝑹) 𝒙𝟐 𝟕 − 𝟑𝟓∗(𝒙−𝑹)𝟑 𝒙𝟐 𝟗 ) 𝑬𝒏 𝒙 = 𝑹/𝟐: 𝒅𝟑𝑩𝒙 𝒅𝒙𝟑 (𝒙 = 𝑹 𝟐 ) = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 ∗ ( 𝟑𝟓 𝟖 ∗𝑹𝟑 ( 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐) 𝟗 𝟐 − 𝟏𝟓∗𝑹 ( 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐) 𝟕 𝟐 − −𝟏𝟓∗𝑹 ( 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐) 𝟕 𝟐 − − 𝟑𝟓 𝟖 ∗𝑹𝟑 ( 𝟓 𝟒 ∗𝑹𝟐) 𝟗 𝟐 ) = 𝟎 Segmentos de corriente rectilíneos 19. Dos cables paralelos situados en el plano del papel transportan corrientes iguales en sentidos opuestos como muestra la figura. En un punto a mitad de distancia entre los cables, el campo magnético es a) Cero. b) Hacia dentro de la página. c) Hacia fuera de la página. d) Hacia la parte alta o hacia la parte baja de la página.
  • 12. e) Hacia uno de los cables. El cable de la derecha crea un campo hacia fuera del papel y el de la derecha hacia fuera, los dos de igual módulo, en total el campo resultante es hacia fuera. Respuesta c. 20. Dos cables paralelos transportan corrientes I1 e I2= 2 I1, en el mismo sentido. Las fuerzas F1 y F2 que actúan sobre los cables están relacionadas por a) F1 = F2. b) F1 = 2 F2. c) 2 F1 = F2. d) F1 = 4 F2. e) 4 F1 = F2. 𝑭 𝑳 = 𝑰 ∗ 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟏 𝒅 ∗ 𝑰𝟐 En los dos casos las fuerzas son iguales, son de acción y reacción. 21. Un alambre transporta una corriente eléctrica en sentido vertical hacia arriba. ¿Cuál es el sentido del campo magnético producido por el cable a una distancia de 2 m al norte del alambre a) Norte. b) Este. c) Oeste. d) Sur. e) Hacia arriba. En el solucionario da como correcta la respuesta c, pero la posición de los puntos cardinales y la considerada para el punto a estudiar no queda clara en el enunciado, en todo cas B viene dado por la regla de la mano derecha como indica la figura.
  • 13. 22. Dos cables portadores de corriente son perpendiculares entre sí. La corriente en uno de ellos fluye verticalmente hacia arriba y la corriente en el otro fluye horizontalmente hacia el este. El cable horizontal se encuentra a la distancia de un metro al sur del vertical. ¿Cuál es el sentido de la fuerza magnética neta sobre el cable horizontal? a) Norte. b) Este. c) Oeste. d) Sur. e) No se ejerce una fuerza magnética neta sobre el cable horizontal. En los puntos al oeste del cable vertical, el campo magnético debido a su corriente ejerce una fuerza hacia abajo sobre el cable horizontal y en puntos al este ejerce una fuerza hacia arriba sobre el alambre horizontal. Por lo tanto, la fuerza magnética neta es cero. Respuesta e. 23. Por un conductor rectilíneo largo circula una corriente de 10 A. Hallar el valor de B a una distancia de a) 10 cm. b) 50 cm. c) 2 m del centro del conductor. a) 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒅 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟏𝟎 𝟎.𝟏 = 𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻 b) 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒅 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟏𝟎 𝟎.𝟓 = 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻 c) 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒅 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟏𝟎 𝟐 = 𝟏𝟎−𝟔 𝑻 Los problemas 24 a 29 se refieren a la figura siguiente, que muestra dos conductores paralelos al eje x que están contenidos en el plano xy. Uno de los conductores está en y = -6 cm y el otro en y = +6 cm. La corriente que circula por cada conductor es de 20 A. 24. Si las corrientes de la figura circulan en el sentido negativo del eje de las x, hallar B en los puntos situados en el eje y en a) y = -3 cm. b) y = 0. c) y = + 3 cm. d) y = + 9 cm. a) 𝑩−𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z negativo.
  • 14. 𝑩+𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟗 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟗 = 𝟒𝟒. 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z positivo. 𝑩 ⃗⃗ = (−𝟏𝟑𝟑 + 𝟒𝟒. 𝟒) ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ = −𝟖𝟖. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ b) Los dos campos creados son iguales y de sentidos contrarios, B=0. c) 𝑩−𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟗 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟗 = 𝟒𝟒. 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z negativo. 𝑩+𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z positivo. 𝑩 ⃗⃗ = (𝟏𝟑𝟑 − 𝟒𝟒. 𝟒) ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ = 𝟖𝟖. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ d) 𝑩−𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟏𝟓 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟏𝟓 = 𝟐𝟔. 𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z negativo. 𝑩+𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z negativo. 𝑩 ⃗⃗ = (−𝟐𝟔. 𝟕 − 𝟏𝟑𝟑) ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ = −𝟏𝟔𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 25. Hacer una representación esquemática de Bz en función de y para los puntos situados sobre el eje y cuando ambas corrientes circulan en el sentido negativo de las x. 𝑩−𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝟎.𝟎𝟔+𝒚 𝑩+𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝟎.𝟎𝟔−𝒚 𝑩𝒛 = 𝑩+𝟔 − 𝑩−𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ ( 𝟐∗𝑰 𝟎.𝟎𝟔−𝒚 − 𝟐∗𝑰 𝟎.𝟎𝟔+𝒚 ) 26. Hallar B en los puntos situados en el eje y como en el problema 24, pero en el caso en que la corriente que circula por el conductor es y = - 6 cm circula en el sentido
  • 15. negativo del eje de las x y la corriente en el otro circula en y = + 6 cm en el sentido positivo del eje de las x. a) 𝑩−𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z negativo. 𝑩+𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟗 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟗 = 𝟒𝟒. 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z negativo. 𝑩 ⃗⃗ = (−𝟏𝟑𝟑 − 𝟒𝟒. 𝟒) ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ = −𝟏𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ b) 𝑩−𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟔 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟔𝟔. 𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z negativo. 𝑩+𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟔 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟗 = 𝟔𝟔. 𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z negativo. 𝑩 ⃗⃗ = (−𝟔𝟔. 𝟕 − 𝟔𝟔. 𝟕) ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ = −𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ c) 𝑩−𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟗 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟗 = 𝟒𝟒. 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z negativo. 𝑩+𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z negativo. 𝑩 ⃗⃗ = −(𝟏𝟑𝟑 + 𝟒𝟒. 𝟒) ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ = −𝟏𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ d) 𝑩−𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟏𝟓 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟏𝟓 = 𝟐𝟔. 𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z negativo. 𝑩+𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟑 = 𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻. Sentido z positivo. 𝑩 ⃗⃗ = (𝟏𝟑𝟑 − 𝟐𝟔. 𝟕) ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ = 𝟏𝟎𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 27. Hacer un esquema de Bz en función de y para los puntos situados sobre el eje y cuando las corrientes tienen sentidos opuestos a los indicados en el problema 26. 𝑩+𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝟎.𝟎𝟔−𝒚 𝑩−𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝟎.𝟎𝟔+𝒚 𝑩𝒛 = 𝑩+𝟔 − 𝑩−𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ ( 𝟐∗𝑰 𝟎.𝟎𝟔−𝒚 − 𝟐∗𝑰 𝟎.𝟎𝟔+𝒚 )
  • 16. 28. Hallar B en el punto situado Enel eje z a z = + 8 cm si a) Las corrientes son paralelas, como en el problema 24. b) Las corrientes son antiparalelas como en el problema 26. a) 𝒅 = √𝟎. 𝟎𝟖𝟐 + 𝟎. 𝟎𝟔𝟐 = 𝟎. 𝟏 𝒎 𝑩−𝟔 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟏 = 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟏 = 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑻. Sentido dibujo. 𝑩+𝟔 = 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑻. Sentido dibujo. 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟎.𝟎𝟖 √𝟎.𝟎𝟖𝟐+𝟎.𝟎𝟔𝟐 = 𝟎. 𝟖 𝑩 ⃗⃗ = 𝟐 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒋 = 𝟐 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ 𝟎. 𝟖 𝒋 = 𝟔𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒋 b) 𝑩 ⃗⃗ = −𝟐 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ 𝐜𝐨 𝐬 𝜽 𝒌 ⃗ ⃗ = 𝟐 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ √𝟏 − 𝟎. 𝟖𝟐 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 𝑩 ⃗⃗ = −𝟒𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ 29. Hallar el valor de la fuerza por unidad de longitud ejercida por un conductor sobre el otro. 𝑭 𝑳 = 𝑰 ∗ 𝑩 = 𝑰 ∗ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒅 = 𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟐𝟎 𝟎.𝟏𝟐 = 𝟔𝟔𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑵/𝒎 Será atractiva o repulsiva dependiendo de si las corrientes tienen el mismo sentido o sentido contrario. 30. Dos cables paralelos, largos y rectilíneos, separados 8,6 cm, transportan corrientes de igual magnitud I. Se repelen entre sí con una fuerza por unidad de longitud de 3,6 nN/m. a) ¿Son las corrientes paralelas o antiparalelas? b) Determinar I. a) Si son paralelas se atraen, por tanto, son antiparalelas.
  • 17. b) 𝑭 𝑳 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟐 𝒅 ; 𝑰 = 𝑭 𝑳 ∗𝒅 𝟐∗ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 = √ 𝟑.𝟔∗𝟏𝟎−𝟗∗𝟎.𝟎𝟖𝟔 𝟐∗𝟏𝟎−𝟕 = 𝟑. 𝟗𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝑨 31. La corriente Enel conductor de la figura es 8,0 A. Hallar B en el punto P debido a cada segmento del conductor y sumar para hallar el valor resultante de B. 𝑩𝒂𝒃 = 𝑩𝒆𝒇 = 𝟎 Para un trozo de alambre recto tenemos: 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰 𝒅 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 + 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐) 𝑩𝒃𝒄 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰 𝒅 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓 + 𝒔𝒆𝒏 𝟎) = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰 𝒅 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓 𝑩𝒄𝒅 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰 𝒅 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓 + 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓) = 𝟐 ∗ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰 𝒅 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟒𝟓 𝑩𝒅𝒆 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰 𝒅 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓 + 𝒔𝒆𝒏 𝟎) = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰 𝒅 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓 𝑩 = 𝑩𝒃𝒄 + 𝑩𝒄𝒅 + 𝑩𝒅𝒆 = 𝟒 ∗ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰 𝒅 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓 = 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟖 𝟎.𝟎𝟏 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟒𝟓 𝑩 = 𝟐𝟐𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻 ; entrante en el papel. 32. Un conductor de 16 cm de longitud está suspendido por cables flexibles encima de un conductor rectilíneo largo. Se establecen en los conductores corrientes iguales y opuestas de modo que el conductor de 16 cm flota a 1,5 mm por encima del conductor largo sin que en los cables de suspensión aparezca ninguna tensión. Si la masa del conductor de 16 cm es 14 g, ¿Cuál es la corriente? 𝑭𝑩 = 𝒎 ∗ 𝒈 𝑭𝑩 =∗ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟐 𝒅 ∗ 𝑳 = 𝒎 ∗ 𝒈 𝑰 = √ 𝒎∗𝒈∗𝒅 𝟐∗ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗𝑳 = √𝟏𝟒∗𝟏𝟎−𝟑∗𝟗.𝟖𝟏∗𝟏.𝟓∗𝟏𝟎−𝟑 𝟐∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟎.𝟏𝟔 = 𝟖𝟎. 𝟐 𝑨 33. Tres conductores rectilíneos largos y paralelos pasan a través de los vértices de un triángulo equilátero de lado 10 cm, según se ve en la figura, en donde los puntos indican que la corriente está dirigida hacia el lector y la cruz significa que está dirigida hacia el papel. Si cada corriente vale 15,0 A, hallar a) La fuerza por unidad de longitud ejercida sobre el conductor superior. b) El campo magnético B en dicho conductor debido a los otros dos conductores inferiores.
  • 18. b) B=𝟐 ∗ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒅 ∗ 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝟎) 𝑩 = 𝟐 ∗ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒅 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎 = 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟏𝟓 𝟎.𝟏 ∗ 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝟎) = 𝟓. 𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑻 a) 𝑭 𝑳 = |𝑰 ⊗ 𝑩 ⃗⃗ | = 𝟏𝟓 ∗ 𝟓. 𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑭/𝑳 = 𝟕. 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑵/𝒎 34. Resolver el problema 33 con la corriente invertida en el vértice inferior derecho de la figura anterior. B=𝟐 ∗ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒅 ∗ 𝒄𝒐𝒔(𝟔𝟎) = 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐∗𝟏𝟓 𝟎.𝟏 ∗ 𝒄𝒐𝒔(𝟔𝟎) = 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑻 En este caso, aplicando la regla de los tres dedos: La fuerza estará dirigida horizontalmente hacia la izquierda y su valor será: b) 𝑭 𝑳 = |𝑰 ⊗ 𝑩 ⃗⃗ | = 𝟏𝟓 ∗ 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑭 𝑳 = 𝟒. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑵/𝒎 35. Un conductor aislado infinitamente largo está sobre el eje x y transporta una corriente de intensidad I en la dirección x positiva. Un segundo conductor infinitivamente largo y aislado está sobre el eje y y transporta la corriente I en la dirección y positiva. ¿En qué punto del plano xy el campo magnético resultante es cero? Aplicando la regla de la mano derecha observamos que los puntos buscados han de estar en el primer y tercer cuadrante:
  • 19. 𝑩𝟏 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒚 𝑩𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒙 Los dos campos serán iguales en el primer y tercer cuadrante cuando x = y. Por tanto, sobre la recta y=x. 36. Un cable conductor infinitamente largo, situado a lo largo del eje z transporta una corriente de 20 A en la dirección z positiva. Un segundo cable también infinitamente largo, es paralelo al eje z en x = 10 cm. a) Determinar la intensidad de la corriente en el segundo alambre sabiendo que el campo magnético en x = 2 cm es cero. b) ¿Cuál es el campo magnético en x = 5 cm? a) El primer conductor creará un campo horizontal como el indicado en la figura: El segundo conductor deberá tener una intensidad de sentido igual al primero para poder tener un campo de sentido contrario:
  • 20. 𝑩𝟏 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟏 𝟎.𝟎𝟐 = 𝑩𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟐 𝟎.𝟎𝟖 𝑰𝟏 𝟎.𝟎𝟐 = 𝑰𝟐 𝟎.𝟎𝟖 𝑰𝟐 = 𝟎.𝟎𝟖∗𝑰𝟏 𝟎.𝟎𝟐 = 𝟎.𝟎𝟖∗𝟐𝟎 𝟎.𝟎𝟐 = 𝟖𝟎 𝑨 b) 𝑩 ⃗⃗ 𝟏 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟐 𝟎.𝟎𝟓 ∗ 𝒋 − 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟏 𝟎.𝟎𝟓 ∗ 𝒋 = 𝟏𝟎−𝟕∗𝟐 𝟎.𝟎𝟓 ∗ (𝟖𝟎 − 𝟐𝟎) = 𝟐. 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 ∗ 𝒋 Considerando el sentido positivo del eje y el saliente del papel. 37. Tres alambres conductores muy largos y paralelos se hacen pasar por los vértices de un cuadrado, según se muestra en la figura. Calcular el campo magnético B en el vértice no ocupado cuando a) El sentido de todas las intensidades de corriente es hacia dentro del papel. b) I1 e I3 circulan en el sentido hacia dentro e I2 hacia fuera. c) I1 e I2 hacia dentro e I3 hacia fuera. a) 𝑩 ⃗⃗ 𝟏 = − 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟏 𝑳 ∗ 𝒋 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟐 𝑳∗√𝟐 ∗ (𝒄𝒐𝒔 (𝟒𝟓) ∗ 𝒊 − 𝒄𝒐𝒔 (𝟒𝟓) ∗ 𝒋) 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟐 𝑳∗√𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔(𝟒𝟓) ∗ (𝒊 − 𝒋) = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟐 𝑳∗√𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔(𝟒𝟓) ∗ (𝒊 − 𝒋) 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰𝟐 𝑳 ∗ (𝒊 − 𝒋) 𝑩 ⃗⃗ 𝟑 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟑 𝑳 ∗ 𝒊 𝑩 ⃗⃗ = 𝑩 ⃗⃗ 𝟏 + 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 + 𝑩 ⃗⃗ 𝟑 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟏 𝑳 ∗ ((𝑰𝟐 + 𝟐 ∗ 𝑰𝟑) ∗ 𝒊 − (𝟐 ∗ 𝑰𝟏 + 𝑰𝟐) ∗ 𝒋) b)
  • 21. 𝑩 ⃗⃗ 𝟏 = − 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟏 𝑳 ∗ 𝒋 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰𝟐 𝑳 ∗ (−𝒊 + 𝒋) 𝑩 ⃗⃗ 𝟑 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟑 𝑳 ∗ 𝒊 𝑩 ⃗⃗ = 𝑩 ⃗⃗ 𝟏 + 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 + 𝑩 ⃗⃗ 𝟑 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟏 𝑳 ∗ ((−𝑰𝟐 + 𝟐 ∗ 𝑰𝟑) ∗ 𝒊 + (−𝟐 ∗ 𝑰𝟏 + 𝑰𝟐) ∗ 𝒋) c) 𝑩 ⃗⃗ 𝟏 = − 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟏 𝑳 ∗ 𝒋 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰𝟐 𝑳 ∗ (𝒊 − 𝒋) 𝑩 ⃗⃗ 𝟑 = − 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰𝟑 𝑳 ∗ 𝒊 𝑩 ⃗⃗ = 𝑩 ⃗⃗ 𝟏 + 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 + 𝑩 ⃗⃗ 𝟑 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟏 𝑳 ∗ ((𝑰𝟐 + 𝟐 ∗ 𝑰𝟑) ∗ 𝒊 + (−𝟐 ∗ 𝑰𝟏 − 𝑰𝟐) ∗ 𝒋) 38. Cuatro alambres largos, rectos y paralelos transportan cada uno la corriente I. En un plano perpendicular a los alambres, éstos se encuentran en los vértices de un cuadrado de lado a. Determinar la fuerza por unidad de longitud sobre uno de los alambres si a) Todas las corrientes se encuentran en la misma dirección. b) Las corrientes que fluyen por los alambres en vértices adyacentes tienen sentidos opuestos. a) 𝑩𝟏 = 𝑩𝟑 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒂 𝑩𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒂∗√𝟐 𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒂 ∗ (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓 √𝟐 ) (𝒊 − 𝒋) = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟑∗𝑰 𝒂 ∗ (𝒊 − 𝒋) 𝑭 ⃗ ⃗ 𝑳 = |𝑰 ⊗ 𝑩 ⃗⃗ | = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟑∗𝑰𝟐 𝒂 ∗ ((𝒊 + 𝒋) 𝑭 𝑳 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟑∗𝑰𝟐 𝒂 ∗ √𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟑∗𝑰𝟐 𝒂 ∗ √𝟐 b)
  • 22. 𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝒂 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓 √𝟐 ) (𝒊 − 𝒋) = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰 𝒂 ∗ (𝒊 − 𝒋) 𝑭 ⃗ ⃗ 𝑳 = |𝑰 ⊗ 𝑩 ⃗⃗ | = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰𝟐 𝒂 ∗ ((𝒊 + 𝒋) 𝑭 𝑳 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰𝟐 𝒂 ∗ √𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰𝟐 𝒂 ∗ √𝟐 39. Un cilindro no conductor infinitamente largo de radio R está situado a lo largo del eje z. En la mitad superior del cilindro hay cinco cables conductores largos, paralelos al mismo e igualmente espaciados. Cada cable transporta una corriente I en la dirección z positiva. Determinar el campo magnético sobre el eje z. 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝑹 𝑩 ⃗⃗ = (𝑩𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓 + 𝑩𝟑 + 𝑩𝟒 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓) ∗ 𝒊 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝑹 ∗ ( √𝟐 𝟐 + 𝟏 + √𝟐 𝟐 ) ∗ 𝒊 𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝑰 𝑹 ∗ (𝟏 + √𝟐) ∗ 𝒊 Solenoides 40. Un solenoide de longitud 30 cm, radio 1,2 cm y 300 vueltas transporta una corriente de 2,6 A. Determinar el campo magnético sobre el eje del solenoide a) En el centro. b) Dentro del solenoide en un punto situado a 10 cm de un extremo. c) En un extremo. a) 𝑩𝒙 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 ∗ ( 𝒃 √𝒃𝟐+𝑹𝟐 + 𝒂 √𝒂𝟐+𝑹𝟐 ) 𝑩𝒙(𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐) = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟑𝟎𝟎 𝟎.𝟑 ∗ 𝟐. 𝟔 ∗ ( 𝟎.𝟏𝟓 √𝟎.𝟏𝟓𝟐+𝟎.𝟎𝟏𝟐𝟐 + 𝟎.𝟏𝟓 √𝟎.𝟏𝟓𝟐+𝟎.𝟎𝟏𝟐𝟐 ) 𝑩𝒙(𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐) = 𝟑. 𝟐𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 b) 𝑩𝒙(𝟏𝟎 𝒄𝒎 𝒆𝒙𝒕) = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟑𝟎𝟎 𝟎.𝟑 ∗ 𝟐. 𝟔 ∗ ( 𝟎.𝟐 √𝟎.𝟐𝟐+𝟎.𝟎𝟏𝟐𝟐 + 𝟎.𝟏 √𝟎.𝟏𝟐+𝟎.𝟎𝟏𝟐𝟐 ) 𝑩𝒙(𝟏𝟎 𝒄𝒎 𝒆𝒙𝒕) = 𝟑. 𝟐𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 c) 𝑩𝒙(𝒆𝒙𝒕) = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟑𝟎𝟎 𝟎.𝟑 ∗ 𝟐. 𝟔 ∗ ( 𝟎.𝟑 √𝟎.𝟑𝟐+𝟎.𝟎𝟏𝟐𝟐 + 𝟎 √𝟎𝟐+𝟎.𝟎𝟏𝟐𝟐 )
  • 23. 𝑩𝒙(𝒆𝒙𝒕) = 𝟏. 𝟔𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 41. Un solenoide de 2,7 m de longitud posee un radio de 0,85 cm y 600 vueltas. Por él circula una corriente de 2,5 A. Determinar aproximadamente el campo magnético B sobre el eje del solenoide. 𝑩𝒙 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟔𝟎𝟎 𝟐.𝟕 ∗ 𝟐. 𝟓 = 𝟔. 𝟗𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑻 42. Un solenoide posee n vueltas por unidad de longitud, un radio R y por él circula una corriente I. Su eje coincide con el eje x y uno de sus extremos se encuentra en x = - 1/2 l y el otro en x = +1/2 l, siendo l la longitud total del solenoide. Demostrar que el campo magnético B en cualquier punto del eje x bien dado por 𝑩 = 𝟏 𝟐 𝝁𝒐𝒏𝑰(𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐) En donde 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟏 = 𝒙+ 𝟏 𝟐 𝒍 [𝑹𝟐+(𝒙+ 𝟏 𝟐 𝒍) 𝟐 ] 𝟏 𝟐 Y 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟐 = 𝒙− 𝟏 𝟐 𝒍 [𝑹𝟐+(𝒙− 𝟏 𝟐 𝒍) 𝟐 ] 𝟏 𝟐 Por el alambre del solenoide circula una corriente I. El número de vueltas por unidad de longitud es N/L; por tanto, el número de vueltas en una longitud infinitesimal dx son (N/L)dx vueltas. Esto produce una corriente 𝒅𝑰 = 𝑵∗𝑰 𝑳 ∗ 𝒅𝒙′ = 𝒏 ∗ 𝑰 ∗ 𝒅𝒙′. Para encontrar el campo en el punto cuya coordenada es x fuera del solenoide podemos determinar el campo en x debido a un segmento infinitesimal del solenoide de ancho dx′ en x′, y luego integrar desde x = − l /2 a x = l/2 . El segmento puede considerarse como una bobina n dx′ que lleva una corriente I. 𝒅𝑩𝒙 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝒅𝑰 [(𝒙−𝒙′)𝟐+𝑹𝟐] 𝟑 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝒏∗𝑰 [(𝒙−𝒙′)𝟐+𝑹𝟐] 𝟑 𝟐 ∗ 𝒅𝒙′ 𝑩𝒙 = 𝝁𝒐∗𝑹𝟐∗𝒏∗𝑰 𝟐 ∗ ∫ 𝒅𝒙′ [(𝒙−𝒙′)𝟐+𝑹𝟐] 𝟑 𝟐 𝒍 𝟐 − 𝒍 𝟐 = 𝝁𝒐∗𝒏∗𝑰 𝟐 ∗ [ 𝒙+ 𝟏 𝟐 𝒍 [𝑹𝟐+(𝒙+ 𝟏 𝟐 𝒍) 𝟐 ] 𝟏 𝟐 − 𝒙− 𝟏 𝟐 𝒍 [𝑹𝟐+(𝒙− 𝟏 𝟐 𝒍) 𝟐 ] 𝟏 𝟐 ] 𝑩𝒙 = 𝝁𝒐∗𝒏∗𝑰 𝟐 ∗ (𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐) 43. En el problema 42 se obtiene una fórmula para el campo magnético a lo largo del eje de un solenoide. Para x >> l y l >R, los ángulos ϴ1 y ϴ2 de la ecuación
  • 24. 𝑩 = 𝟏 𝟐 𝝁𝒐𝒏𝑰(𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐) son muy pequeños, de modo que la aproximación de ángulos pequeños cos ϴ ≈ 1 -ϴ2/2 es válida. a) Dibujar un diagrama y demostrar que 𝜽𝟏 = 𝑹 𝒙+ 𝟏 𝟐 𝒍 𝒚 𝜽𝟐 = 𝑹 𝒙− 𝟏 𝟐 𝒍 b) Demostrar que el campo magnético en un punto alejado de los extremos del solenoide puede escribirse en la forma 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒 𝝅 ( 𝒒𝒎 𝒓𝟏 𝟐 − 𝒒𝒎 𝒓𝟐 𝟐 ) En donde 𝒓𝟏 = 𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒍 es la distancia al extremo próximo del solenoide, 𝒓𝟐 = 𝒙 + 𝒍 𝟐 es la distancia al extremo alejado y 𝒒𝒎 = 𝒏 𝑰 𝝅 𝑹𝟐 el momento magnético del solenoide. a) 𝒕𝒈 𝜽𝟏 = 𝑹 𝒙+ 𝟏 𝟐 ∗𝒍 ; 𝒕𝒈 𝜽𝟐 = 𝑹 𝒙− 𝟏 𝟐 ∗𝒍 Para ángulos pequeños 𝒕𝒈 𝜽 ≈ 𝜽 𝜽𝟏 ≈ 𝑹 𝒙+ 𝟏 𝟐 ∗𝒍 ; 𝜽𝟐 ≈ 𝑹 𝒙− 𝟏 𝟐 ∗𝒍 b) 𝑩𝒙 = 𝝁𝒐∗𝒏∗𝑰 𝟐 ∗ (𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐) 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 ≈ 𝟏 − 𝟏 𝟐 ∗ ( 𝑹 𝒙+ 𝟏 𝟐 ∗𝒍 ) 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 ≈ 𝟏 − 𝟏 𝟐 ∗ ( 𝑹 𝒙− 𝟏 𝟐 ∗𝒍 ) 𝟐 𝑩𝒙 = 𝝁𝒐∗𝒏∗𝑰 𝟐 ∗ (𝟏 − 𝟏 𝟐 ∗ ( 𝑹 𝒙+ 𝟏 𝟐 ∗𝒍 ) 𝟐 − 𝟏 − 𝟏 𝟐 ∗ ( 𝑹 𝒙− 𝟏 𝟐 ∗𝒍 ) 𝟐 ) 𝑩𝒙 = 𝟏 𝟒 ∗ 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 ∗ 𝑹𝟐 ∗ ( 𝟏 (𝒙− 𝟏 𝟐 ∗𝒍) 𝟐 − 𝟏 (𝒙+ 𝟏 𝟐 ∗𝒍) 𝟐) Usando: 𝒓𝟏 = 𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒍 ; 𝒓𝟐 = 𝒙 + 𝒍 𝟐 𝒒𝒎 = 𝒏 𝑰 𝝅 𝑹𝟐 𝑩𝒙 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ ( 𝒒𝒎 𝒓𝟏 𝟐 − 𝒒𝒎 𝒓𝟐 𝟐 )
  • 25. 44. En este problema debe deducirse la ecuación 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒 𝝅 ( 𝒒𝒎 𝒓𝟏 𝟐 − 𝒒𝒎 𝒓𝟐 𝟐 ) por otro método. Consideremos un solenoide estrechamente arrollado, largo de longitud l y radio R<<l situado a lo largo del eje x con su centro en el origen. Posee N vueltas y transporta una corriente I. Consideremos un elemento del solenoide de longitud dx. a) ¿Cuál es el momento magnético de este elemento? b) Demostrar que el campo magnético dB debido a este elemento en un punto xo sobre el eje x, lejos del elemento, viene dado por 𝒅𝑩 = 𝝁𝒐 𝟐 𝝅 𝒏 𝑰 𝑨 𝒅𝒙 𝒙′𝟑 En donde 𝑨 = 𝝅 𝑹𝟐 y x’=xo-x es la distancia desde el elemento al punto del campo. c) Integrar esta expresión desde 𝒙 = − 𝟏 𝟐 𝒍 𝒂 𝒙 = + 𝟏 𝟐 𝒍 para obtener la ecuación 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒 𝝅 ( 𝒒𝒎 𝒓𝟏 𝟐 − 𝒒𝒎 𝒓𝟐 𝟐 ). a) El momento magnético del solenoide: 𝝁 = 𝑵 ∗ 𝑰 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹𝟐 b) El campo en el eje de una espira viene dado por: 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰∗𝑹𝟐 𝟐∗(𝑹𝟐+𝒙𝟐)𝟑/𝟐 Por el alambre del solenoide circula una corriente I. El número de vueltas por unidad de longitud es N/L; por tanto, el número de vueltas en una longitud infinitesimal dx son (N/L)dx vueltas. Esto produce una corriente 𝒅𝑰 = 𝑵∗𝑰 𝑳 ∗ 𝒅𝒙 = 𝒏 ∗ 𝑰 ∗ 𝒅𝒙. Para encontrar el campo en el punto cuya coordenada es x fuera del solenoide podemos determinar el campo en x debido a un segmento infinitesimal del solenoide de ancho dx′ en x′, y luego integrar desde x = − l /2 a x = l/2 . El segmento puede considerarse como una bobina n dx′ que lleva una corriente I. 𝒅𝑩𝒙 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝒅𝑰 [(𝒙′)𝟐+𝑹𝟐] 𝟑 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑨∗𝒏∗𝑰∗𝒅𝒙 [(𝒙′)𝟐+𝑹𝟐] 𝟑 𝟐 En este caso para puntos lejos del elemento: 𝒙′ ≫ 𝑹 𝒅𝑩𝒙 ≈ 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑨∗𝒏∗𝑰∗𝒅𝒙 [(𝒙′)𝟐] 𝟑 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑨∗𝒏∗𝑰∗𝒅𝒙 [𝒙′]𝟑 c) 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑨 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 ∗ ∫ 𝒅𝒙 [𝒙′]𝟑 𝒍 𝟐 − 𝒍 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑨 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 ∗ ∫ 𝒅𝒙 [𝒙𝒐−𝒙]𝟑 𝒍 𝟐 − 𝒍 𝟐 = 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑨 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 ∗ (− 𝟏 𝟐 ∗ 𝟏 [𝒙𝒐−𝒙]𝟐) − 𝒍 𝟐 𝒍 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑨 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 ∗ ( 𝟏 [𝒙𝒐− 𝒍 𝟐 ] 𝟐 − 𝟏 [𝒙𝒐+ 𝒍 𝟐 ] 𝟐) Usando: 𝒓𝟏 = 𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒍 ; 𝒓𝟐 = 𝒙 + 𝒍 𝟐 𝒒𝒎 = 𝒏 𝑰 𝝅 𝑹𝟐
  • 26. 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝒒 ∗ ( 𝟏 [𝒓𝟏]𝟐 − 𝟏 [𝒓𝟐]𝟐) Ley de Ampére 45. La ley de Ampère es válida a) Cuando hay un alto grado de simetría. b) Cuando no hay simetría. c) Cuando la corriente es constante. d) Cuando el campo magnético es constante. e) En todas estas situaciones si la corriente es continua. Respuesta e. 46. Una corteza cilíndrica de paredes delgadas, rectilínea y larga de radio R transporta una corriente I. Determinar B dentro y fuera del cilindro. Podemos aplicar la ley de Ampère a un círculo centrado en el eje del cilindro y evaluar esta expresión para r < R y r > R para encontrar B dentro y fuera del cilindro. ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪 𝒅𝒍 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝒄 Para r<R: ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪 𝒅𝒍 = 𝝁𝒐 ∗ 𝟎 ; 𝑩 = 𝟎 Para r>R: ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪 𝒅𝒍 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 ; 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 ; 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝑹 47. En la figura una corriente vale 8 A y está dirigida hacia el papel, la otra corriente vale 8 A y está dirigida hacia el lector y cada una de las curvas es una trayectoria circular. a) Hallar ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪 𝒅𝒍 para cada trayectoria indicada. b) ¿Cuál de las trayectorias, si es que la hay, puede utilizarse para hallar B en cualquier punto debido a estas corrientes? a) Para C1: ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪𝟏 𝒅𝒍 = 𝝁𝒐 ∗ 𝟖 Para C2: ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪𝟐 𝒅𝒍 = 𝝁𝒐 ∗ 𝟎
  • 27. Para C3: ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪𝟑 𝒅𝒍 = −𝝁𝒐 ∗ 𝟖 b) Ninguno de los caminos se puede utilizar para encontrar B en un punto general porque allí la configuración actual no tiene simetría cilíndrica. 48. Un cable coaxial muy largo tiene un conductor interior y una corteza conductora cilíndrica exterior concéntrica con la anterior de radio R. En un extremo, el conductor y la corteza están unidos a los términos opuestos de una batería de modo que existe una corriente que circula por ambos. Admitir que el cable es rectilíneo y hallar B a) En los puntos alejados de los extremos y entre el conductor y la corteza. b) En el exterior del cable. a) Sea I la corriente en el cable y la capa exterior. Podemos aplicar Ley de Ampère a un círculo, concéntrico con el alambre interior, de radio r para encontrar B en los puntos entre el cable y la carcasa lejos de los extremos (r < R), y fuera del cable (r > R). r<R: ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪 𝒅𝒍 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 ; 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 ; 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 r>R: ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪 𝒅𝒍 = 𝝁𝒐 ∗ 𝟎 ; 𝑩 = 𝟎 49. Por un conductor de radio 0,5 cm, circula una corriente de 100 A uniformemente distribuida en toda su sección recta. Hallar B a) A 0,1 cm del centro del conductor. b) En la superficie del mismo. c) En un punto exterior al conductor a 0,2 cm de la superficie del conductor. d) Construir un gráfico de B en función de la distancia al centro del conductor. a) ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪 𝒅𝒍 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝒊𝒏𝒕 ; 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝒊𝒏𝒕 ; 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰𝒊𝒏𝒕 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝝁𝒐∗ 𝑰 𝑹𝟐∗𝒓𝟐 𝟐∗𝝅∗𝒓 𝑩(𝒓 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏) = 𝝁𝒐∗𝑰∗𝒓 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏𝟎𝟎∗𝟎.𝟎𝟎𝟏 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟎𝟓𝟐 = 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑻 b) 𝑩(𝒓 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟓) = 𝝁𝒐∗𝑰∗𝒓 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝑹 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏𝟎𝟎∗𝟎.𝟎𝟎𝟓 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟎𝟓𝟐 = 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 c) En un punto del exterior: 𝑩(𝒓 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟕) = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏𝟎𝟎 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟎𝟕 = 𝟐, 𝟖𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 d)
  • 28. 50. Demostrar que no es posible obtener un campo magnético uniforme en el que no existe ningún campo disperso, como se ve en la figura, debido a que viola la ley de Ampére. Comprobando aplicando la ley de Ampére a la curva rectangular indicada por las líneas a trazos. La ley de Ampére establece que la integral de línea cerrada del campo magnético alrededor de una curva cerrada es igual a la corriente que atraviesa la superficie encerrada por la curva. Si aplicamos esta ley a la curva rectangular indicada por las líneas a trazos, encontramos que la integral de línea cerrada del campo magnético es cero, lo que implica que no hay corriente que atraviesa la superficie encerrada por la curva. Sin embargo, esto contradice el hecho de que hay un campo magnético uniforme en el interior del rectángulo. Por lo tanto, no es posible obtener un campo magnético uniforme en el que no existe ningún campo disperso sin violar la ley de Ampére. 51. Un cable coaxial está formado por un conductor sólido interno cilíndrico de radio 1,00 mm y una corteza cilíndrica externa conductora de radio interno 2,00 mm y un radio externo de 3,00 mm. Por el conductor interior circula una corriente de intensidad 18 A y una corriente igual retorna por el conductor exterior. Las corrientes son uniformes en toda la sección transversal de cada conductor. Determinar el valor numérico de ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪 𝒅𝒍 para una trayectoria circular cerrada (centrada en el eje del cable y en un plano perpendicular al eje) DE RADIO R PARA a) r=1,50 mm. b) R=2,50 mm. c) R=3,50mm. a) Para la región r<1,00 mm: ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪 𝒅𝒍 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝒊𝒏𝒕 ; 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝒊𝒏𝒕 ; 𝑩 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝒊𝒏𝒕 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 𝑹𝟐 ∗ 𝒓𝟐 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 𝑩(𝒓 < 𝟎, 𝟎𝟎𝟏) = 𝝁𝒐∗𝑰∗𝒓 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟐 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏𝟖∗𝒓 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟐 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒈𝒊ó𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒄𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔: 𝑩(𝟎. 𝟎𝟎𝟏 < 𝒓 < 𝟎, 𝟎𝟎𝟐) = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓
  • 29. 𝑩(𝒓 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟓) = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏𝟖 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟓𝟎 = 𝟐, 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 b) En esta región: 𝑰𝒊𝒏𝒕,𝒓 = 𝑰 ∗ (𝟏 − 𝒓𝟐−𝒓𝒊𝒏𝒕 𝟐 𝒓𝒆𝒙𝒕 𝟐 −𝒓𝒊𝒏𝒕 𝟐 ) 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰𝒊𝒏𝒕 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝝁𝒐∗𝑰∗(𝟏− 𝒓𝟐−𝒓𝒊𝒏𝒕 𝟐 𝒓𝒆𝒙𝒕 𝟐 −𝒓𝒊𝒏𝒕 𝟐 ) 𝟐∗𝝅∗𝒓 𝑩 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏𝟖∗(𝟏− 𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟓𝟐−𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟐 𝟎.𝟎𝟎𝟑𝟐−𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟐 ) 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟓 = 𝟕. 𝟗𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑻 c) 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰𝒊𝒏𝒕 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝟎 52. Una corteza cilíndrica gruesa infinitamente larga de radio interior a y radio exterior b transporta una corriente I uniformemente distribuida en toda la sección transversal de la corteza. Determinar el campo magnético en a) r<a. b) a<r<b. c) r>b. a) No hay corriente interior, B=0. b) En la región de la corteza: 𝑰𝒊𝒏𝒕,𝒓 = 𝑰 ∗ (𝟏 − 𝒓𝟐−𝒓𝒊𝒏𝒕 𝟐 𝒓𝒆𝒙𝒕 𝟐 −𝒓𝒊𝒏𝒕 𝟐 ) 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰𝒊𝒏𝒕 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝝁𝒐∗𝑰∗(𝟏− 𝒓𝟐−𝒓𝒊𝒏𝒕 𝟐 𝒓𝒆𝒙𝒕 𝟐 −𝒓𝒊𝒏𝒕 𝟐 ) 𝟐∗𝝅∗𝒓 c) En la región externa: 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 53. En la figura se muestra un solenoide que transporta una corriente I con n vueltas por unidad de longitud. Aplicar la ley de Ampére a la línea rectangular indicada para deducir una expresión de B, suponiendo que éste es uniforme dentro del solenoide y nulo en el exterior. ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪 𝒅𝒍 = ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝟏 𝒅𝒍 + ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝟐 𝒅𝒍 + ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝟑 𝒅𝒍 + ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝟒 𝒅𝒍 ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝟏 𝒅𝒍 = 𝒂 ∗ 𝑩 ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝟐 𝒅𝒍 = ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝟑 𝒅𝒍 = 𝟎 ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝟒 𝒅𝒍 = 𝟎 𝒂 ∗ 𝑩 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝑪 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝒂 ∗ 𝑰 𝑩 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰
  • 30. 54. Un toroide con un arrollamiento compacto, de radio interior 1 cm y radio exterior 2 cm, posee 1000 vueltas de alambre y transporta una corriente de 1,5 A. a) ¿Cuánto vale el campo magnético a una distancia de 1,1 cm del centro? b) ¿Cuánto vale a 1,5 cm del centro? a) ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪 𝒅𝒍 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝒊𝒏𝒕 ; 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝒊𝒏𝒕 ; 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰𝒊𝒏𝒕 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝝁𝒐∗𝑰∗𝑁 𝟐∗𝝅∗𝒓 𝑩 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏.𝟓∗𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟏𝟏 = 𝟐𝟕, 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 b) 𝑩 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏.𝟓∗𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟏𝟓 = 𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 55. El plano xz contiene una lámina infinita de corriente en la dirección z positiva. La intensidad de corriente por unidad de longitud (a lo largo de la dirección x) es λ. La figura muestra un punto P por encima de la lámina (y>0) y dos porciones de la lámina de corriente especificada por I1 e I2. a) ¿Cuál es la dirección del campo magnético en P debido a las dos porciones de corriente indicadas? b) ¿Cuál es la dirección del campo magnético B en P debido a la lámina entera? c) ¿Cuál es la dirección de B en un punto por debajo de la lámina (y<0)? d) Aplicar la ley de Ampère a la figura rectangular mostrada en la figura (b) y demostrar que el campo magnético en cualquier punto por encima de la lámina viene dado por 𝑩 = 𝟏 𝟐 𝝁𝒐𝝀 𝒊. a) Aplicando la regla de la mano derecha obtenemos que en los campos producidos por cada franja las componentes z se anulan, el campo apuntará hacia la derecha. b) La dirección será hacia la derecha. c) La dire3cción será hacia la izquierda. d) ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ 𝑪 𝒅𝒍 = 𝟐 ∗ ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ ⊥ 𝒅𝒍 + 𝟐 ∗ ∮ 𝑩 ⃗⃗ ∗ ∥ 𝒅𝒍 = 𝟎 + 𝟐 ∗ 𝑩 ∗ 𝝎 = 𝝁𝒐 ∗ 𝝀 ∗ 𝝎 𝑩 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝝁𝒐 ∗ 𝝀 ; 𝒅𝒊𝒓𝒊𝒈𝒊𝒅𝒐 𝒉𝒂𝒄𝒊𝒂 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂. Imantación y susceptibilidad magnética. 56. Verdadero o falso:
  • 31. a) El diamagnetismo es el resultado de los momentos dipolares magnéticos inducidos. b) El paramagnetismo es el resultado del alineamiento parcial de los momentos dipolares magnéticos permanentes. a) Verdadero. b) Verdadero. 57. Si la susceptibilidad magnética es positiva a) Los efectos paramagnéticos o los efectos ferromagnéticos deben ser mayores que los diamagnéticos. b) Los efectos diamagnéticos deben ser mayores que los paramagnéticos. c) Los efectos diamagnéticos deben ser mayores que los ferromagnéticos. d) Los efectos ferromagnéticos deben ser mayores que los paramagnéticos. e) Los efectos paramagnéticos deben ser mayores que los ferromagnéticos. La susceptibilidad magnética 𝝌𝒎 está definida por la ecuación 𝑴 ⃗⃗⃗ = 𝝌𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝝁𝒐 , para los materiales paramagnéticos 𝝌𝒎es un número pequeño que depende de la temperatura. Para los diamagnéticos es un número pequeño, negativo, que no depende de la temperatura. (a) será correcto. 58. Un solenoide con arrollamiento compacto de 20 cm de largo tiene 400 vueltas por las que circula una corriente de 4 A de modo que su campo axial tiene la dirección z. Despreciando los extremos, hallar B y Bap en el centro cuando a) No existe ningún núcleo en el solenoide. b) Existe un núcleo de hierro en el solenoide con una imantación M=1,2 106 A/m. a) 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟒𝟎𝟎 𝟎.𝟐 ∗ 𝟒 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟎𝟓 𝑻 b) 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 + 𝝁𝒐 ∗ 𝑴 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟎𝟓 + 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟏. 𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟔 = 𝟏. 𝟓𝟐 𝑻 59. ¿Cuáles de los cuatro gases relacionados en la tabla son diamagnéticos y cuales son paramagnéticos? Diamagnéticos: Hidrógeno, dióxido de carbono y nitrógeno. Paramagnéticos: Oxígeno.
  • 32. 60. Si el solenoide del problema 58 tiene un núcleo de aluminio, hallar Bap, M y B en el centro, despreciando los efectos de los extremos. Sin núcleo: 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟒𝟎𝟎 𝟎.𝟐 ∗ 𝟒 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟎𝟓 𝑻 𝑪𝒐𝒏 𝒏ú𝒄𝒍𝒆𝒐: 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 + 𝝁𝒐 ∗ 𝑴 = 𝑩𝒂𝒑 + 𝝌𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟎𝟓 + 𝟐. 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟎𝟓 𝑩 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟎𝟓𝟎𝟐 𝑻 61. Repetir el problema 60 en el caso e un núcleo de tungsteno. Sin núcleo: 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟒𝟎𝟎 𝟎.𝟐 ∗ 𝟒 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟎𝟓 𝑻 𝑪𝒐𝒏 𝒏ú𝒄𝒍𝒆𝒐: 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 + 𝝁𝒐 ∗ 𝑴 = 𝑩𝒂𝒑 + 𝝌𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 𝑩 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟎𝟓 + 𝟔. 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟎𝟓 𝑩 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟎𝟓𝟎𝟔𝟖 𝑻 62. Un solenoide largo está arrollado alrededor de un núcleo de tungsteno y transporta una corriente. a) Si se extrae el núcleo mientras la corriente se mantiene constante, ¿el campo magnético dentro del solenoide crece o decrece? b) ¿En qué porcentaje? a) 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 + 𝝁𝒐 ∗ 𝑴; 𝑩 > 𝑩𝒂𝒑 ; 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒎𝒑𝒐 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒆 b) 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 + 𝝌𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 = 𝑩𝒂𝒑 ∗ (𝟏 + 𝝌𝒎) 𝑩 𝑩𝒂𝒑 = 𝟏 + 𝝌𝒎 Crece en 𝝌𝒎 = 𝟔. 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ; 𝟔. 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 % 63. Cuando una muestra de líquido se inserta en un solenoide que transporta una corriente de intensidad constante, el campo magnético dentro del solenoide disminuye en un 0,004 por ciento. ¿Cuál es la susceptibilidad magnética del líquido? Siguiendo el razonamiento del problema anterior: 𝑩 𝑩𝒂𝒑 = 𝟏 + 𝑩 𝑩𝒂𝒑 = 𝟏 + 𝝌𝒎 𝝌𝒎 = −𝟒. 𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 64. Un solenoide largo que transporta una corriente de 10 A tiene 50 vueltas/cm. ¿Cuál es el campo magnético en el interior del solenoide si a) Está vacío. b) Está lleno de aluminio. c) Está lleno de plata. a) 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ (𝟓𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎) ∗ 𝟏𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟔𝟐𝟖𝟑 𝑻 b) 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 ∗ (𝟏 + 𝝌𝒎) = 𝟎. 𝟎𝟔𝟐𝟖𝟑 ∗ (𝟏 + 𝟐. 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ) = 𝟎. 𝟎𝟔𝟐𝟖𝟑𝟏𝟒 𝑻 c) 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 ∗ (𝟏 + 𝝌𝒎) = 𝟎. 𝟎𝟔𝟐𝟖𝟑 ∗ (𝟏 − 𝟐. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ) = 𝟎. 𝟎𝟔𝟐𝟖𝟐𝟖𝟒 𝑻
  • 33. 65. Un ingeniero intenta llenar un solenoide con una mezcla de oxígeno y nitrógeno a la temperatura ambiente y presión de 1 atmósfera, de tal modo que Km sea exactamente igual a la unidad. Se supone que los momentos dipolares magnéticos de las moléculas del gas están todos alineados y que la susceptibilidad de un gas es proporcional a la densidad numérica de sus moléculas. ¿En qué relación deben estar las densidades numéricas de las moléculas de oxígeno y nitrógeno para que Km=1? 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 𝑲𝒎 = 𝑩 𝑩𝒂𝒑 = 𝟏 + 𝝌𝒎 𝝌𝒎 = 𝟎 ; 𝒅𝑶𝟐 ∗ 𝝌𝑶𝟐 + 𝒅𝑵𝟐 ∗ 𝝌𝑵𝟐 = 𝟎 𝒅𝑶𝟐 𝒅𝑵𝟐 = −𝝌𝑵𝟐 𝝌𝑶𝟐 = 𝟓.𝟎 𝟐𝟎𝟗𝟎 = 𝟐. 𝟑𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 66. Un cilindro de material magnético se sitúa en el interior de un largo solenoide de n vueltas por unidad de longitud por el que circula una corriente de intensidad I. La tabla nos ofrece el campo magnético B en función de n I. Utilizar estos valores para representar B en función de Bap y Km en función de n I. 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 ∗ (𝟏 + 𝝌𝒎) = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 ∗ (𝟏 + 𝝌𝒎) 𝑲𝒎 = 𝑩 𝑩𝒂𝒑 = 𝑩 𝝁𝒐∗𝒏∗𝑰
  • 34. 67. Una pequeña muestra magnética posee forma de disco. Tiene un radio de 1,4 cm, un espesor de 0,3 cm y una imantación uniforme en todo su volumen. El momento magnético de la muestra es 1,5 10-2 A m2 . a) ¿Cuál es su imantación? b) Si esta imantación es debida al alineamiento de N electrones, cada uno de los cuales posee un momento magnético de 1 μB, ¿Cuál es el valor de N? c) Si la imantación tiene lugar a lo largo del eje del disco, ¿Cuál es la magnitud de la corriente superficial amperiana? a) 𝑴 = 𝝁 𝑽 = 𝝁 𝝅∗𝒓𝟐∗𝒅 = 𝟏.𝟓∗𝟏𝟎−𝟐 𝝅∗𝟎.𝟎𝟏𝟒𝟐∗𝟎.𝟎𝟎𝟑 = 𝟖𝟏𝟐𝟎 𝑨/𝒎 b) 𝝁 = 𝑵 ∗ 𝝁𝑩 ; 𝑵 = 𝝁 𝝁𝑩 = 𝟏.𝟓∗𝟏𝟎−𝟐 𝟗.𝟐𝟕∗𝟏𝟎−𝟐𝟒 = 𝟏. 𝟔𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟐𝟏 c) 𝝁 = 𝑨 ∗ 𝑰 ; 𝑰 = 𝝁 𝑨 = 𝑴∗𝑽 𝑨 = 𝑴∗𝑨∗𝒅 𝑨 = 𝑴 ∗ 𝒆 = 𝟖𝟏𝟐𝟎 ∗ 𝟎. 𝟎𝟎𝟑 = 𝟐𝟒. 𝟒 𝑨 68. El momento magnético de la tierra es aproximadamente 9 1022 A m2 . a) Si la imantación del núcleo terrestre fuera 1,5 109 A/m, ¿Cuál sería su volumen? b) ¿Cuál es el radio de este núcleo supuesto esférico y centrado en la Tierra? a) 𝑴 = 𝝁 𝑽 ; 𝑽; 𝑽 = 𝝁 𝑴 = 𝟗∗𝟏𝟎𝟐𝟐 𝟏.𝟓∗𝟏𝟎𝟗 = 𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟑 𝒎𝟑 b) 𝑽 = 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹𝟑 ; 𝑹 = √ 𝟑∗𝑽 𝟒∗𝝅 𝟑 = √𝟑∗𝟔∗𝟏𝟎𝟏𝟑 𝟒∗𝝅 𝟑 = 𝟐𝟒𝟐𝟖𝟔 𝒎 Momentos magnéticos atómicos
  • 35. 69. El níquel tiene una densidad de 8,7 g/ cm3 y una masa molar de 58,7 g/mol. Su imantación de saturación es 𝝁𝒐𝑴𝒔 = 𝟎, 𝟔𝟏 𝑻. Calcular el momento magnético en magnetones de Bohr de un átomo de Níquel. 𝑴𝒔 = 𝒏 ∗ 𝝁 ; 𝝁 = 𝑴𝒔 𝒏 𝒏 = 𝑵𝑨∗𝝆 𝑴 𝝁 = 𝑴𝒔 𝑵𝑨∗𝝆 𝑴 = 𝝁𝒐∗𝑴𝒔 𝝁𝒐∗ 𝑵𝑨∗𝝆 𝑴 = 𝝁𝒐∗𝑴𝒔∗𝑴 𝝁𝒐∗𝑵𝑨∗𝝆 𝝁 = 𝟎.𝟔𝟏∗𝟓𝟖.𝟕∗𝟏𝟎−𝟑 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟔.𝟎𝟐∗𝟏𝟎𝟐𝟑∗𝟖.𝟕∗𝟏𝟎𝟑 = 𝟓. 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟒 𝑨 ∗ 𝒎𝟐 El magnetón de Bohr es: 𝝁𝑩 = 𝟗. 𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟒 𝑨 ∗ 𝒎𝟐 . 𝝁 = 𝟎. 𝟓𝟖𝟕 ∗ 𝝁𝑩 70. Repetir el problema 69 para el cobalto, que tiene una densidad de 8,9 g/cm3 , una masa molar de 58,9 g/mol y una imantación de saturación 𝝁𝒐𝑴𝒔 = 𝟏, 𝟕𝟗 𝑻. 𝑴𝒔 = 𝒏 ∗ 𝝁 ; 𝝁 = 𝑴𝒔 𝒏 𝒏 = 𝑵𝑨∗𝝆 𝑴 𝝁 = 𝑴𝒔 𝑵𝑨∗𝝆 𝑴 = 𝝁𝒐∗𝑴𝒔 𝝁𝒐∗ 𝑵𝑨∗𝝆 𝑴 = 𝝁𝒐∗𝑴𝒔∗𝑴 𝝁𝒐∗𝑵𝑨∗𝝆 𝝁 = 𝟏.𝟕𝟗∗𝟓𝟖.𝟗∗𝟏𝟎−𝟑 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟔.𝟎𝟐∗𝟏𝟎𝟐𝟑∗𝟖.𝟗∗𝟏𝟎𝟑 = 𝟏. 𝟓𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟑 𝑨 ∗ 𝒎𝟐 El magnetón de Bohr es: 𝝁𝑩 = 𝟗. 𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟒 𝑨 ∗ 𝒎𝟐 . 𝝁 = 𝟏. 𝟔𝟗 ∗ 𝝁𝑩 Paramagnetismo (opcional) 71. Demostrar que la ley de Curie predice que la susceptibilidad magnética de una sustancia paramagnética viene dada por 𝝌𝒎 = 𝝁 𝝁𝒐𝑴𝒔 𝟑 𝒌 𝑻 . Ley de Curie: 𝑴 = 𝟏 𝟑 ∗ 𝝁∗𝑩𝒂𝒑 𝒌∗𝑻 ∗ 𝑴𝒔 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑴𝒔 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒔𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏. Por otra parte: 𝑴 = 𝝌𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 𝝁𝒐 Igualando: 𝝌𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 𝝁𝒐 = 𝟏 𝟑 ∗ 𝝁∗𝑩𝒂𝒑 𝒌∗𝑻 ∗ 𝑴𝒔 𝝌𝒎 = 𝟏 𝟑 ∗ 𝝁∗𝝁𝒐 𝒌∗𝑻 ∗ 𝑴𝒔 72. En un modelo sencillo del paramagnetismo podemos considerar que cierta fracción f de las moléculas tienen sus momentos magnéticos alineados con el campo magnético externo y el resto de ellas están orientadas al azar, de modo que no contribuyen al campo magnético. a) Utilizar este modelo de la ley de Curie para demostrar que a una temperatura T y con un campo externo B esta fracción de moléculas alineadas es 𝒇 = 𝝁 𝑩 𝟑 𝒌𝑻 .
  • 36. b) Calcular esta fracción para T=300 K, B= 1 T, admitiendo que μ es un magnetón de Bohr. a) 𝑴 = 𝒇 ∗ 𝑴𝒔 Según la ley de Curie: 𝑴 = 𝟏 𝟑 ∗ 𝝁∗𝑩𝒂𝒑 𝒌∗𝑻 ∗ 𝑴𝒔 Igualando: 𝒇 ∗ 𝑴𝒔 = 𝟏 𝟑 ∗ 𝝁∗𝑩𝒂𝒑 𝒌∗𝑻 ∗ 𝑴𝒔 𝒇 = 𝟏 𝟑 ∗ 𝝁∗𝑩 𝒌∗𝑻 ; 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 b) 𝒇 = 𝟏 𝟑 ∗ 𝝁∗𝑩 𝒌∗𝑻 = 𝟏 𝟑 ∗ 𝟗.𝟐𝟕∗𝟏𝟎−𝟐𝟒∗𝟏 𝟏.𝟑𝟖𝟏∗𝟏𝟎−𝟐𝟑∗𝟑𝟎𝟎 = 𝟕. 𝟒𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 73. Admitir que el momento magnético de un átomo de aluminio es 1 magnetón de Bohr. La densidad del aluminio es 2,7 g/cm3 y su masa molar es de 27 g/mol. a) Calcular Ms y μo Ms, para el aluminio. b) Utilizar el resultado del problema 71 para calcular 𝝌𝒎 a T=300 K. c) Explicar por qué el resultado de (b) es mayor que el valor que se muestra en la tabla: a) 𝑴𝒔 = 𝒏 ∗ 𝝁 𝒏 = 𝑵𝑨∗𝝆 𝑴 𝑴𝒔 = 𝑵𝑨∗𝝆 𝑴 ∗ 𝝁𝑩 = 𝟔.𝟎𝟐∗𝟏𝟎𝟐𝟑∗𝟐.𝟕∗𝟏𝟎𝟑 𝟎.𝟎𝟐𝟕 ∗ 𝟗. 𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟒 = 𝟓. 𝟓𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑨/𝒎 𝑩𝑺 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑴𝒔 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟓. 𝟓𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟓 = 𝟎. 𝟕𝟎𝟏 𝑻 b) 𝝌𝒎 = 𝟏 𝟑 ∗ 𝝁∗𝝁𝒐 𝒌∗𝑻 ∗ 𝑴𝒔 = 𝟏 𝟑 ∗ 𝟗.𝟐𝟕∗𝟏𝟎−𝟐𝟒∗𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕 𝟏.𝟑𝟖𝟏∗𝟏𝟎−𝟐𝟑∗𝟑𝟎𝟎 = 𝟓. 𝟐𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 c) En el cálculo se prescinde de los efectos diamagnéticos. 74. Un toroide de N vueltas, de radio medio R y radio de su sección transversal r, siendo r<<R, transporta por su arrollamiento una corriente de intesidad I (figura). Cuando se rellena el toroide con cierto material, se denomina anillo de Rowlan. Hallar Bap y B en dicho anillo. Admitir que la imantación M en todos los puntos es paralela a Bap. El campo en el toroide: 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 ; 𝒄𝒐𝒏 𝑹 − 𝒓 < 𝒂 < 𝑹 + 𝒓 El campo resultante es la suma de éste y μoM: 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 + 𝝁𝒐 ∗ 𝑴 = 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 + 𝝁𝒐 ∗ 𝑴
  • 37. 75. Un toroide se rellena con oxígeno líquido, cuya susceptibilidad magnética es 4 10-3 . El toroide posee 2000 vueltas y transporta una corriente de 15 A. Su radio medio es de 20 cm y el radio de su sección transversal 0,8 cm. a) ¿Cuál es la imantación? b) ¿Cuál es el campo magnético B? c) ¿Cuál es el porcentaje en que se ha incrementado el campo B producido por el oxígeno líquido? a) 𝑴 = 𝝌𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 𝝁𝒐 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 𝑴 = 𝝌𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 𝝁𝒐 = 𝝌𝒎 ∗ 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 𝝁𝒐 = 𝝌𝒎 ∗ 𝑵∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 = 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝟐𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟓 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟐 = 𝟗𝟓. 𝟓 𝑨/𝒎 b) 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 ∗ (𝟏 + 𝝌𝒎) = 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 ∗ (𝟏 + 𝝌𝒎) = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟐𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟓 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟐 ∗ (𝟏 + 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ) 𝑩 = 𝟑𝟎. 𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 c) 𝚫𝑩 𝑩 = 𝑩−𝑩𝒂𝒑 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑∗(𝟏+𝝌𝒎)−𝑩𝒂𝒑 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑∗𝝌𝒎 𝑩𝒂𝒑∗(𝟏+𝝌𝒎) = 𝝌𝒎 𝟏+𝝌𝒎 = 𝟒∗𝟏𝟎−𝟑 𝟏+𝟒∗𝟏𝟎−𝟑 = 𝟑. 𝟗𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝟎. 𝟑𝟗𝟖 % 76. Un toroide de radio medio 14 cm y área de la sección transversal de 3 cm2 está arrollado con alambre fino a razón de 60 vueltas/cm, medidas a lo largo de su circunferencia media, transportando una corriente de intensidad 4 A. El núcleo está relleno de un material paramagnético, cuya susceptibilidad es 2,9 10-4 . a) ¿Cuál es la magnitud del campo magnético dentro de la sustancia? b) ¿Cuál es la magnitud de la imantación? c) ¿Cuál sería la magnitud del campo magnético si no estuviera presente el núcleo paramagnético? a) 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 ∗ (𝟏 + 𝝌𝒎) 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 𝑩 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 ∗ (𝟏 + 𝝌𝒎) = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟔𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟐 ∗ 𝟒 ∗ (𝟏 + 𝟐. 𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 ) 𝑩 = 𝟑𝟎. 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 b) 𝑴 = 𝝌𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 𝝁𝒐 = 𝝌𝒎 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 = 𝟐. 𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 ∗ 𝟔𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟐 ∗ 𝟒 = 𝟔. 𝟗𝟔 𝑨/𝒎 c) 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟔𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟐 ∗ 𝟒 = 𝟑𝟎. 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 Ferromagnetismo 77. En el caso del hierro recocido la permeabilidad Km tiene un valor máximo de unos 5500 para 𝑩𝒂𝒑 = 𝟏, 𝟓𝟕 𝟏𝟎−𝟒 𝑻. Hallar M y B cuando Km es máximo. 𝑩 = 𝑲𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 = 𝟓𝟓𝟎𝟎 ∗ 𝟏. 𝟓𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 = 𝟎. 𝟖𝟔𝟒 𝑻 𝑴 = (𝑲𝒎 − 𝟏) ∗ 𝑩𝒂𝒑 𝝁𝒐 = (𝟓𝟓𝟎𝟎 − 𝟏) ∗ 𝟏.𝟓𝟕∗𝟏𝟎−𝟒 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕 = 𝟔. 𝟖𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑨/𝒎 78. La imantación de saturación en el caso del hierro recocido tiene lugar cuando Bap=0,201 T. Hallar la permeabilidad μ y la permeabilidad relativa Km en la saturación (ver tabla). 𝝁 = (𝟏 + 𝝌𝒎) ∗ 𝝁𝒐
  • 38. 𝑴 = 𝝌𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 𝝁𝒐 𝝌𝒎 = 𝑴∗𝝁𝒐 𝑩𝒂𝒑 = 𝟐.𝟏𝟔 𝟎.𝟐𝟎𝟏 = 𝟏𝟎. 𝟕𝟓 𝑲𝒎 = (𝟏 + 𝝌𝒎) = 𝟏 + 𝟏𝟎. 𝟕𝟓 = 𝟏𝟏. 𝟕𝟓 𝝁 = (𝟏 + 𝝌𝒎) ∗ 𝝁𝒐 = 𝟏𝟏. 𝟕𝟓 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 = 𝟏. 𝟒𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑵/𝑨𝟐 79. La fuerza coercitiva se define como el campo magnético aplicado necesario para anular B a lo largo de la curva de histéresis (punto c de la figura) Para un determinado imán permanente en forma de barra es Bap=5.53 10-2 T. El imán en forma de barra ha de desimantarse situándolo en el interior de un solenoide largo de 15 cm de longitud y 600 vueltas. ¿Cuál es la corriente mínima necesaria que ha de circular por el solenoide para desimantar el imán? En el solenoide: 𝑩𝒙 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 𝑰 = 𝑩𝒙 𝝁𝒐∗𝒏 = 𝑩𝒂𝒑 𝝁𝒐∗𝒏 = 𝟓.𝟓𝟑∗𝟏𝟎−𝟐 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗ 𝟔𝟎𝟎 𝟎.𝟏𝟓 = 𝟏𝟏. 𝟎 𝑨 80. Un solenoide largo tiene 50 vueltas/cm y por él circula una corriente de 2 A. Al solenoide lo atraviesa un núcleo de hierro y se mide B resultando valer 1,72 T. a) ¿Cuál es el valor de Bap (despreciando los efectos de los extremos)? b) ¿Cuál es el valor de M? c) ¿Cuál es la permeabilidad relativa Km en este caso? a) 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟓𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟐 ∗ 𝟐 = 𝟏𝟐. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 b) 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 + 𝝁𝒐 ∗ 𝑴 𝑴 = 𝑩−𝑩𝒂𝒑 𝝁𝒐 = 𝟏.𝟕𝟐−𝟏𝟐.𝟔∗𝟏𝟎−𝟑 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕 = 𝟏. 𝟑𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝑨/𝒎 c) 𝑩 = 𝑲𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 ; 𝑲𝒎 = 𝑩 𝑩𝒂𝒑 = 𝟏.𝟕𝟐 𝟏.𝟑𝟔∗𝟏𝟎𝟔 = 𝟏𝟑𝟕 81. Cuando la corriente que circula por el solenoide del problema 80 es 0,2 A, el campo magnético medido resulta valer 1,58 T. a) Despreciando los efectos de los extremos, ¿Cuánto vale Bap? b) ¿Cuánto vale M? c) ¿Cuánto vale la permeabilidad relativa? a) 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟓𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟐 ∗ 𝟎. 𝟐𝟐 = 𝟏. 𝟐𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 b) 𝑴 = 𝑩−𝑩𝒂𝒑 𝝁𝒐 = 𝟏.𝟓𝟖−𝟏𝟐.𝟔∗𝟏𝟎−𝟑 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕 = 𝟏. 𝟐𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝑨/𝒎 c) 𝑲𝒎 = 𝑩 𝑩𝒂𝒑 = 𝟏.𝟓𝟖 𝟏.𝟐𝟔∗𝟏𝟎𝟔 = 𝟏. 𝟐𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟑
  • 39. 82. Un solenoide largo con núcleo de hierro que posee 2000 vueltas/m transporta una corriente de 20 mA. Con esta corriente, la permeabilidad relativa del núcleo de hierro es 1200. a) ¿Cuál es el campo magnético dentro del solenoide? b) ¿Cuándo se extrae el núcleo de hierro, determinar la corriente necesaria para producir el mismo campo dentro del solenoide? a) 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 𝑩 = 𝑲𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 = 𝑲𝒎 ∗ 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟐𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎. 𝟎𝟐𝟎 𝑩 = 𝟔𝟎. 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 b) 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 𝑰 = 𝑩 𝝁𝒐∗𝒏 = 𝟔𝟎.𝟑∗𝟏𝟎−𝟑 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟑. 𝟗𝟗 𝑨 83. Dos alambres largos y rectilíneos están separados 4,0 cm e incluidos en un aislante uniforme, cuya permeabilidad relativa es 𝑲𝒎 = 𝟏𝟐𝟎. Los alambres transportan 40 A en sentidos opuestos. a) ¿Cuál es el campo magnético en el punto medio del plano de los alambres? b) ¿Cuál es la fuerza por unidad de longitud sobre los alambres? a) El campo creado por un hilo es: 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝟎∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 Los dos hilos crean en el punto medio el mismo campo magnético y en el sentido, el campo en el punto considerado es: 𝑩𝒂𝒑 = 𝟐 ∗ 𝝁𝟎∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 Teniendo en cuenta el aislante: 𝑩 = 𝑲𝒎 ∗ 𝟐 ∗ 𝝁𝟎∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 = 𝟏𝟐𝟎 ∗ 𝟐 ∗ 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟒𝟎 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟐 = 𝟗𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 b) 𝑭 𝑳 = 𝑩 ∗ 𝑰 El campo en el punto donde está un alambre creado por el otro es: 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝟎∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 ; 𝑩 = 𝑲𝒎 ∗ 𝝁𝟎∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 𝑭 𝑳 = 𝑩 ∗ 𝑰 = 𝑲𝒎 ∗ 𝝁𝟎∗𝑰𝟐 𝟐∗𝝅∗𝒂 = 𝟏𝟐𝟎 ∗ 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟒𝟎𝟐 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟒 = 𝟎. 𝟗𝟔𝟎 𝑵/𝒎 84. El toroide del problema 75 tiene su núcleo relleno de hierro. Cuando la corriente es de 10 A, el campo magnético en el toroide es 1,8 T. a) ¿Cuál es la imantación? b) Determinar los valores de Km, μ y 𝝌𝒎 correspondientes a la muestra hierro. a) 𝑩 = 𝑩𝒂𝒑 + 𝝁𝒐 ∗ 𝑴 𝑴 = 𝑩−𝑩𝒂𝒑 𝝁𝒐 = 𝑩− 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 𝝁𝒐 = 𝑩 𝝁𝒐 − 𝑵∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 𝑴 = 𝟏.𝟖 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕 − 𝟐𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟎 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟐 = 𝟏. 𝟒𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝑨/𝒎 b) 𝑲𝒎 = 𝑩 𝑩𝒂𝒑 = 𝑩 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑩 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 = 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟐∗𝟏.𝟖 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟐𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟎 = 𝟗𝟎. 𝟎 𝝁 = 𝑲𝒎 ∗ 𝝁𝒐 = 𝟗𝟎 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 = 𝟏. 𝟏𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑻 ∗ 𝒎/𝑨 𝑲𝒎 = 𝟏 + 𝝌𝒎 ; 𝝌𝒎 = 𝑲𝒎 − 𝟏 = 𝟖𝟗. 𝟎 85. ¿Cuál sería el resultado del problema 76 si sustituyéramos el núcleo paramagnético por hierro dulce, cuya permeabilidad relativa es 500?
  • 40. 𝑩 = 𝑲𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 = 𝑲𝒎 ∗ 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 𝑵 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝒏 B= 𝑲𝒎 ∗ 𝝁𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝒏∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝑲𝒎 ∗ 𝝁𝒐 ∗ 𝒏 ∗ 𝑰 = 𝟓𝟎𝟎 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 ∗ (𝟔𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎) ∗ 𝟎. 𝟐 𝑩 = 𝟎. 𝟕𝟓𝟒 𝑻 86. Un alambre largo y rectilíneo con un radio de 1,0 mm se recubre con un material ferromagnético aislante de espesor 3,0 mm y una permeabilidad magnética relativa Km= 400. El alambre así recubierto se encuentra Enel aire. El alambre en sí mismo no es magnético y transporta una corriente de 40 A. a) Determinar el campo magnético dentro del alambre en función del radio r. b) Determinar el campo magnético dentro del material ferromagnético en función del radio r. c) Determinar el campo magnético fuera del material ferromagnético en función de r. d) ¿Cuáles serán las magnitudes y direcciones de las corrientes amperianas sobre las superficies del material ferromagnético que expliquen los campos magnéticos observados? a) Dentro del alambre en un radio r: 𝑰 𝝅∗𝒂𝟐 = 𝑰𝑪 𝝅∗𝒓𝟐 ; 𝑰𝒄 = 𝒓𝟐 𝒂𝟐 ∗ 𝑰 Aplicando la ley de Ampere: 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝒄 𝑩(𝒓) = 𝝁𝒐∗𝑰𝒄 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝝁𝒐∗ 𝒓𝟐 𝒂𝟐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂𝟐 ∗ 𝒓 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟒𝟎 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟐 ∗ 𝒓 = 𝟖. 𝟎𝟎 ∗ 𝒓 b) 𝑩 = 𝑲𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 Aplicando la ley de Ampere: 𝑩𝒂𝒑 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 ; 𝑩𝒂𝒑 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 𝑩 = 𝑲𝒎 ∗ 𝑩𝒂𝒑 = 𝑲𝒎 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝟒𝟎𝟎∗𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟒𝟎 𝟐∗𝝅 ∗ 𝟏 𝒓 = 𝟑. 𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝟏 𝒓 c) 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 Aplicando la ley de Ampere: 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 ; 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 𝑩 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟒𝟎 𝟐∗𝝅 ∗ 𝟏 𝒓 = 𝟖. 𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏 𝒓 d) Tenga en cuenta que el campo en la región ferromagnética es el que se produciría en una región no magnética por una corriente de 400*I = 1600 A. La corriente amperiana en el interior de la superficie del material ferromagnético debe ser (1600 − 40) A = 1560 A en la dirección de I. En la superficie exterior debe haber entonces una corriente amperiana de 1560 A en la dirección opuesta. Problemas generales 87. Verdadero o falso a) El campo magnético debido a un elemento de corriente es paralelo a este elemento.
  • 41. b) El campo magnético debido a un elemento de corriente varía en razón inversa con el cuadrado de la distancia desde el elemento. c) El campo magnético debido a un alambre largo varía en razón inversa con el cuadrado de la distancia desde el alambre. d) La ley de Ampere es válida sólo si existe un alto grado de simetría. e) La ley de Ampere es válida sólo para corrientes continuas. a) Falso. b) Verdadero. c) Falso. d) Falso. e) Verdadero. 88. ¿Puede una partícula tener momento angular y carecer de momento magnético? Si, la relación clásica es: 𝝁 ⃗ ⃗ = 𝒒 𝟐∗𝒎 ∗ 𝑳 ⃗ ⃗ Si la densidad de carga es nula una partícula con momento angular puede no tener momento magnético. 89. ¿Puede una partícula tener momento magnético y carecer de momento angular? No, dada la relación del problema anterior entre las dos magnitudes, si el momento angular es cero, el momento magnético será cero. 90. Un anillo de alambre circular transporta una corriente I. ¿Existe momento angular asociado con el momento magnético de la espira? Si es así, ¿por qué no se observa? Si, existe un momento angular asociado con el momento magnético, su magnitud es muy pequeña. 91. Un tubo hueco transporta una corriente. Dentro del tubo, B=0. ¿por qué ocurre esto y en cambio B es intenso dentro de un solenoide? La corriente englobada en un área del interior del tubo es cero, aplicando la ley de Ampere el campo B será cero en el interior. En el solenoide la corriente rodea circularmente el eje. 92. Cuando una corriente pasa a través del cable de la figura, ¿éste tiende a agruparse o a formar un círculo? La fuerza por unidad de longitud experimentada por cada segmento del cable, debido a las corrientes en los otros segmentos del cable, será igual. Como consecuencia de las fuerzas el resultado es que el alambre tienda a formar un círculo.
  • 42. 93. Determinar el campo magnético en el punto P de la figura. El único segmento que contribuye es el semicircular. Para un circulo tenemos: 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒖𝒏 𝒔𝒆𝒎𝒊𝒄í𝒓𝒄𝒖𝒍𝒐: 𝑩 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹 = 𝟏 𝟒 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝑹 = 𝟏 𝟒 ∗ 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏𝟓 𝟎.𝟐 = 𝟐. 𝟑𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑻 94. Hallar el campo magnético en el punto P de la figura, que es el centro común de los dos arcos de circunferencia. El campo del semicírculo mayor estará dirigido hacia dentro del papel y el del menor hacia fuera. Considerando positiva la dirección hacia fuera: 𝑩 = 𝟏 𝟒 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝑹𝟏 − 𝟏 𝟒 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝑹𝟐 = 𝟏 𝟒 ∗ 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 ∗ ( 𝟏 𝑹𝟏 − 𝟏 𝑹𝟐 ) 𝑩 = 𝟏 𝟒 ∗ 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 ∗ ( 𝟏 𝑹𝟏 − 𝟏 𝑹𝟐 ) 95. Un conductor de longitud l se arrolla en forma de una bobina circular de N espiras y transporta una corriente de intensidad I. Demostrar que el campo magnético en el centro de la bobina viene dado por 𝑩 = 𝝁𝒐𝝅𝑵𝟐𝑰 𝒍 . Para una espira: 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹 Utilizando la longitud del alambre i el número de espiras: 𝒍 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹 ∗ 𝑵 ; 𝑹 = 𝒍 𝟐∗𝝅∗𝑵 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒂𝒔 𝑵 𝒆𝒔𝒑𝒊𝒓𝒂𝒔: 𝑩 = 𝑵 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹 = 𝑵∗𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗ 𝒍 𝟐∗𝝅∗𝑵 = 𝝅∗𝑵𝟐∗𝝁𝒐∗𝑰 𝒍 96. Un conductor muy largo que transporta una corriente I se dobla en la forma indicada en la figura. Determinar el campo magnético en el punto P.
  • 43. Considerando positivo el sentido hacia fuera del papel: 𝑩 = 𝑩𝟏 + 𝑩𝟐 + 𝑩𝟑 𝑳𝒐𝒔 𝒄𝒂𝒎𝒑𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒔𝒆𝒈𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝟏 𝒚 𝟑 𝒔𝒐𝒏 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔. 𝑩𝟏 = 𝑩𝟑 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒂 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 + 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐) = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒂 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝟗𝟎 + 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓) Para el segmento 2: 𝑩𝟐 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒂 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 + 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐) = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒂 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓 + 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓) 𝑩 = 𝟐 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒂 ∗ (𝟏 + √𝟐 𝟐 ) + 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒂 ∗ 𝟐 ∗ √𝟐 𝟐 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒂 ∗ (𝟏 + √𝟐 ) 97. Una espira conductora de longitud l transporta una corriente I. Comparar el campo magnético en el centro de la espira para los casos en que a) Se trata de una circunferencia. b) Un cuadrado. c) Un triángulo equilátero. ¿Cuál campo es mayor? a) 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹 𝒍 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹; 𝑹 = 𝒍 𝟐∗𝝅 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗ 𝒍 𝟐∗𝝅 = 𝝅∗𝝁𝒐∗𝑰 𝒍 b) 𝑩 = 𝑩𝟏 + 𝑩𝟐 + 𝑩𝟑 + 𝑩𝟒 𝑩𝟏 = 𝑩𝟐 = 𝑩𝟑 = 𝑩𝟒 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒂 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓 + 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓) 𝑩𝟏 = 𝑩𝟐 = 𝑩𝟑 = 𝑩𝟒 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒂 ∗ √𝟐 𝒂 = 𝑳/𝟐 𝒍 = 𝟒 ∗ 𝑳 ; 𝑳 = 𝒍 𝟒 𝒂 = 𝑳 𝟐 = 𝒍 𝟖 𝑩 = 𝟒 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗ 𝒍 𝟖 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓 + 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓) = 𝟖∗𝝁𝒐∗𝑰 𝝅∗𝒍 ∗ √𝟐 c) 𝑩 = 𝑩𝟏 + 𝑩𝟐 + 𝑩𝟑
  • 44. 𝑩 = 𝑩𝟏 + 𝑩𝟐 + 𝑩𝟑 = 𝟑 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒂 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎 + 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎) 𝒂 = √𝟑 𝟔 ∗ 𝑳 𝒍 = 𝟑 ∗ 𝑳 ; 𝑳 = 𝒍/𝟑 𝒂 = √𝟑 𝟔 ∗ 𝒍 𝟑 = √𝟑 𝟏𝟖 ∗ 𝒍 𝑩 = 𝟑 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗ √𝟑 𝟏𝟖 ∗𝒍 ∗ √𝟑 𝑩 = 𝟐𝟕 𝟐 ∗ 𝟖∗𝝁𝒐∗𝑰 𝝅∗𝒍 Comparando los valores obtenidos el mayor valor es para el triángulo. 98. Un cable de transmisión de energía por el cual circulan 50,0 A está situado a 2,0 m por debajo de la superficie terrestre, pero se ignora su dirección y posición precisa. Explicar cómo podría localizarse utilizando una brújula. Admitir que se encuentra en el ecuador, en donde el campo magnético terrestre es 0,7 G dirigido hacia el norte. Dependiendo de la dirección del cable, el campo magnético debido a su corriente (siempre que este campo sea una fracción suficientemente grande del campo magnético de la Tierra) sumará o restará del campo terrestre y moverá la brújula. Aplicar la ley de Ampère a un círculo de radio r y concéntrico con el centro del alambre: 𝑩𝒄𝒂𝒃𝒍𝒆 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 𝑩𝒄𝒂𝒃𝒍𝒆 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕 ∗𝟓𝟎 𝟐∗𝝅∗𝟐 = 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻 𝑩𝒄𝒂𝒃𝒍𝒆 𝑩𝑻𝒊𝒆𝒓𝒓𝒂 = 𝟓∗𝟏𝟎−𝟔 𝟎.𝟕∗𝟏𝟎−𝟒 = 𝟎. 𝟎𝟕 ; 𝟕 % Si el cable corre de este a oeste, su campo magnético está en dirección norte-sur y por lo tanto suma o resta del campo terrestre, dependiendo de la dirección y ubicación de la brújula. Moviendo la brújula sobre la región uno debería poder detectar el cambio. 99. Por un conductor rectilíneo largo circula una corriente de 20 A, según se ve en la figura. Una bobina rectangular con dos de sus lados paralelos al conductor recto tiene sus lados de 5 y 10 cm estando su lado más próximo a una distancia de 2 cm del conductor. La bobina transporta una corriente de 5 A. a) Determinar la fuerza que actúa sobre cada segmento de la bobina rectangular. b) ¿Cuál es la fuerza neta sobre la bobina?
  • 45. a) Considerando los cuatro lados de la bobina, el más cercano 1, el más lejano 2, el superior 3 y el inferior 4. Un campo dirigido hacia dentro del papel lo consideramos negativo y hacia fuera positivo. 𝑩𝟏 = − 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟏 𝑭𝟏 = 𝑰𝑩 ∗ 𝒍 ∗ 𝑩𝟏 ∗ 𝒊 = 𝑰𝑩 ∗ 𝒍 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟏 ∗ 𝒊 = 𝟓 ∗ 𝟎. 𝟏 ∗ 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟐𝟎 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟐 ∗ 𝒊 𝑭𝟏 = 𝟏. 𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑵 𝒎 ∗ 𝒊 𝑩𝟐 = − 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐 𝑭𝟐 = −𝑰𝑩 ∗ 𝒍 ∗ 𝑩𝟐 ∗ 𝒊 = −𝑰𝑩 ∗ 𝒍 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐 ∗ 𝒊 = − 𝟓 ∗ 𝟎. 𝟏 ∗ 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟐𝟎 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟕 ∗ 𝒊 𝑭𝟐 = −𝟐. 𝟖𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑵 𝒎 ∗ 𝒊 En el lado 3 y 4 las fuerzas son iguales y de sentido contrario. Como el campo magnético B no es constante hay que calcular la fuerza sobre un elemento diferencial dy y luego la fuerza total sobre el lado BC integrando. 𝒅𝑭 ⃗ ⃗ 𝟑 = −𝑰𝑩 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒙 ∗ 𝒅𝒙 ∗ 𝒋 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟑 = − ∫ 𝑰𝑩 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒙 ∗ 𝒅𝒙 ∗ 𝒋 𝟎.𝟎𝟕 𝟎.𝟎𝟐 = − (𝑰𝑩 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅 ∗ 𝒍𝒏 ( 𝟎.𝟎𝟕 𝟎.𝟎𝟐 )) ∗ 𝒋 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟑 = − (𝟓 ∗ 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟐𝟎 𝟐∗𝝅 ∗ 𝒍𝒏 ( 𝟎.𝟎𝟕 𝟎.𝟎𝟐 )) ∗ 𝒋 = −𝟐. 𝟓𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ 𝒋 De la misma forma para la parte 4: 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟒 = 𝟐. 𝟓𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ 𝒋 b) Las fuerzas 3 I 4 se contrarrestan. 𝑭 ⃗ ⃗ = (𝟏. 𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 − 𝟐. 𝟖𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ) ∗ 𝒊 = 𝟕. 𝟏𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑵 ∗ 𝒊 100. La espira cerrada que se muestra en la figura transporta una corriente de 8,0 A en sentido antihorario. El radio del arco exterior es de 60 cm y el del interior 40 cm. Determinar el campo magnético en el punto P. Solo contribuyen al campo magnético en el punto P los tramos circulares.
  • 46. El campo producido por una espira circular es: 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹 Consideramos como 1 el circulo grande y como 2 el pequeño. Tenemos la sexta parte del anillo, considerando el campo dirigido hacia el papel como negativo i el dirigido hacia fuera como positivo: 𝑩 = 𝟏 𝟔 ∗ ( 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹𝟏 − 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹𝟐 ) = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟏𝟐 ∗ ( 𝟏 𝑹𝟏 − 𝟏 𝑹𝟐 ) 𝑩 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟖 𝟏𝟐 ∗ ( 𝟏 𝟎.𝟎𝟔 − 𝟏 𝟎.𝟎𝟒 ) = −𝟔. 𝟗𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 𝑻 101. Un circuito cerrado está formado por dos semicírculos de radios 40 y 20 cm conectados entre sí por segmentos rectilíneos, como se muestra en la figura. Una corriente fluye por este circuito en sentido horario. Determinar el campo magnético en el punto P. Considerando negativo el campo entrante en el papel y positivo el saliente: Para el semicírculo grande: 𝑩𝟏 = − 𝟏 𝟐 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹𝟏 Para el pequeño: 𝑩𝟐 = − 𝟏 𝟐 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹𝟐 𝑩 = 𝑩𝟏 + 𝑩𝟐 = − 𝟏 𝟐 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐 ∗ ( 𝟏 𝑹𝟏 + 𝟏 𝑹𝟐 ) = − 𝟏 𝟒 ∗ 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 ∗ ( 𝟏 𝟎.𝟒 + 𝟏 𝟎.𝟐 ) = − 𝟕.𝟓 𝟒 ∗ 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 Si ponemos I= 3 A obtenemos un resultado de: 𝑩 = − 𝟕. 𝟎𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻 102. Por un conductor rectilíneo muy largo circula una corriente de 20,0 A. Un electrón está a 1,0 cm del centro del conductor y se mueve comuna velocidad de 5,0 106 m/s. Hallar la fuerza sobre el electrón cuando se mueve a) Directamente alejándose del conductor. b) Paralelo al conductor en el sentido de la corriente. c) Perpendicular al conductor y tangente a una circunferencia concéntrica con el conductor. a)
  • 47. 𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐∗𝟐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒓 ∗ 𝒋 𝑭 ⃗ ⃗ = 𝒒 ∗ 𝒗 ⃗ ⃗ ⨂𝑩 ⃗⃗ = 𝒒 ∗ 𝒗 ∗ 𝝁𝒐∗𝟐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒓 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ ⨂𝒋 = −𝒒 ∗ 𝒗 ∗ 𝝁𝒐∗𝟐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒓 ∗ 𝒊 𝑭 ⃗ ⃗ = − − 𝟏. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ 𝟓. 𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟔 ∗ 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟐𝟎 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟏 ∗ 𝒊 = 𝟑. 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟔 ∗ 𝒊 b) 𝒗 ⃗ ⃗ = 𝒗 ∗ 𝒊 𝑭 ⃗ ⃗ = 𝒒 ∗ 𝒗 ⃗ ⃗ ⨂𝑩 ⃗⃗ = 𝒒 ∗ 𝒗 ∗ 𝝁𝒐∗𝟐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒓 ∗ 𝒊⨂𝒋 = 𝒒 ∗ 𝒗 ∗ 𝝁𝒐∗𝟐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒓 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ c) 𝒗 ⃗ ⃗ = 𝒗 ∗ 𝒋 𝑭 ⃗ ⃗ = 𝒒 ∗ 𝒗 ⃗ ⃗ ⨂𝑩 ⃗⃗ = 𝒒 ∗ 𝒗 ∗ 𝝁𝒐∗𝟐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝒓 ∗ 𝒋⨂𝒋 = 𝟎 103. Una corriente I está distribuida uniformemente en toda la sección transversal de un conductor recto y largo de radio 1,40 mm. En la superficie del conductor, el campo magnético tiene la magnitud B=2,46 mT. Determinar la magnitud del campo magnético a) A 2,10 mm del eje. b) A 0,60 mm del eje. c) Determinar la intensidad I de la corriente. c) Aplicando la ley de Ampére a una circunferencia en la superficie del conductor: 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹 = 𝝁𝑶 ∗ 𝑰 𝑰 = 𝑩∗𝟐∗𝝅∗𝑹 𝝁𝑶 = 𝟐.𝟒𝟔∗𝟏𝟎−𝟑∗𝟐∗𝝅∗𝟏.𝟒𝟎∗𝟏𝟎−𝟑 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕 = 𝟏𝟕. 𝟐𝟐 𝑨 a) Estamos fuera del conductor, aplicando Ampére: 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹 = 𝝁𝑶 ∗ 𝑰 𝑩 = 𝝁𝑶∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏𝟕.𝟐𝟐 𝟐∗𝝅∗𝟐.𝟏∗𝟏𝟎−𝟑 = 𝟏. 𝟔𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 b) Estamos dentro del conductor, la corriente interior al punto es: 𝑰 𝑹𝟐 = 𝑰𝒄 𝒓𝟐 ; 𝑰𝒄 = 𝒓𝟐 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 Aplicando Ampére: 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝑶 ∗ 𝑰𝒄 = 𝝁𝑶 ∗ 𝒓𝟐 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 𝑩 = 𝝁𝑶 𝟐∗𝝅 ∗ 𝒓 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕 𝟐∗𝝅 ∗ 𝟎.𝟔∗𝟏𝟎−𝟑 (𝟏.𝟒𝟎∗𝟏𝟎−𝟑)𝟐 ∗ 𝟏𝟕. 𝟐𝟐 = 𝟏. 𝟎𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 104. Una bobina circular de 50 vueltas y radio 10,0 cm transporta una corriente de 4,0 A. En el centro de esta gran bobina existe una pequeña bobina de 20 vueltas de radio 0,5 cm que transporta una corriente de 1,0 A. Los planos de las dos bobinas son perpendiculares. Determinar el momento ejercido por la bobina grande sobre la pequeña. (Despreciar cualquier variación de B debida a que la gran bobina cubre la región ocupada por la pequeña). 𝝉 ⃗ = 𝝁 ⃗ ⃗ ⨂𝑩 ⃗⃗ Con que las dos magnitudes son perpendiculares: 𝝉 = 𝝁 ∗ 𝑩. El momento de la bobina pequeña es: 𝝁 = 𝑵 ∗ 𝑰 ∗ 𝑨 El campo creado por la bobina grande: 𝑩 = 𝑵′∗𝝁𝒐∗𝑰′ 𝟐∗𝑹 𝝉 = 𝝁 ∗ 𝑩 = 𝑵 ∗ 𝑰 ∗ 𝑨 ∗ 𝑵′∗𝝁𝒐∗𝑰′ 𝟐∗𝑹 = 𝟐𝟎 ∗ 𝟏 ∗ 𝝅 ∗ (𝟎. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 ) 𝟐 ∗ 𝟓𝟎∗𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟒 𝟐∗𝟎.𝟏 𝝉 = 𝟏. 𝟗𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑵 ∗ 𝒎
  • 48. 105. La figura muestra un imán en forma de barra suspendido por un delgado alambre que le proporciona un momento de restitución −𝜿 𝜽. El imán tiene 16 cm de longitud, una masa de 0,8 kg, un momento dipolar de 𝝁 = 𝟎. 𝟏𝟐 𝑨 𝒎𝟐 y está localizado en una región donde puede establecerse un campo magnético uniforme B. Cuando el campo magnético externo es 0,2 T y el imán experimenta un pequeño desplazamiento angular ∆𝜽, la barra oscila alrededor de su posición de equilibrio con un periodo de 0,500 s. Determinar la constante 𝜿 y el periodo de este péndulo de torsión cuando B=0. ∑ 𝝉 = 𝑰 ∗ 𝜶 −𝜿 ∗ 𝜽 − 𝝁 ∗ 𝑩 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝑰 ∗ 𝒅𝟐𝜽 𝒅𝒕𝟐 𝑷𝒂𝒓𝒂 á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐𝒔 𝒑𝒆𝒒𝒖𝒆ñ𝒐𝒔, 𝜽 ≈ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 −𝜿 ∗ 𝜽 − 𝝁 ∗ 𝑩 ∗ 𝜽 = 𝑰 ∗ 𝒅𝟐𝜽 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝟐𝜽 𝒅𝒕𝟐 + ( 𝜿+𝝁∗𝑩 𝑰 ) ∗ 𝜽 = 𝟎 𝝎𝟐 = 𝜿+𝝁∗𝑩 𝑰 Para una barra en rotación alrededor de su centro: 𝑰 = 𝟏 𝟏𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝑳𝟐 𝝎𝟐 = 𝜿+𝝁∗𝑩 𝟏 𝟏𝟐 ∗𝒎∗𝑳𝟐 𝜿 = 𝟏 𝟏𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝑳𝟐 ∗ 𝝎𝟐 − 𝝁 ∗ 𝑩 = 𝟏 𝟏𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝑳𝟐 ∗ 𝟒∗𝝅𝟐 𝑻𝟐 − 𝝁 ∗ 𝑩 𝜿 = 𝝅𝟐∗𝒎∗𝑳𝟐 𝟑∗𝑻𝟐 − 𝝁 ∗ 𝑩 𝜿 = 𝝅𝟐∗𝟎.𝟖∗𝟎.𝟏𝟔𝟐 𝟑∗𝟎.𝟓𝟐 − 𝟎. 𝟏𝟐 ∗ 𝟎. 𝟐 = 𝟎. 𝟐𝟒𝟔 𝑵 ∗ 𝒎/𝒓𝒂𝒅 Considerando: 𝝎𝟐 = 𝜿+𝝁∗𝑩 𝑰 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝑩 = 𝟎 𝝎𝟐 = 𝟒∗𝝅𝟐 𝑻𝟐 = 𝜿 𝑰 𝑻 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √ 𝑰 𝜿 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √𝒎∗𝑳𝟐 𝟏𝟐∗𝜿 = 𝝅 ∗ 𝑳 ∗ √ 𝒎 𝟑∗𝜿 = 𝝅 ∗ 𝟎. 𝟏𝟔 ∗ √ 𝟎.𝟖 𝟑∗𝟎.𝟐𝟒𝟔 𝑻 = 𝟎. 𝟓𝟐𝟑 𝒔 106. Una barra imantada larga u estrecha que tiene su momento magnético μ paralelo a su eje más largo está suspendida por el centro de la guja de una brújula sin rozamiento. Situada en un campo magnético B, la aguja se alinea con el campo. Si se desplaza un pequeño ángulo ϴ, demostrar que la aguja oscilará alrededor de su
  • 49. posición de equilibrio con la frecuencia 𝒇 = ( 𝟏 𝟐 𝝅 ) √ 𝝁 𝑩 𝑰 , en donde I es el momento de inercia alrededor del punto de suspensión. −𝝁 ∗ 𝑩 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝑰 ∗ 𝒅𝟐𝜽 𝒅𝒕𝟐 Para ángulos pequeños: −𝝁 ∗ 𝑩 ∗ 𝜽 = 𝑰 ∗ 𝒅𝟐𝜽 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝟐𝜽 𝒅𝒕𝟐 = 𝝁∗𝑩 𝑰 ∗ 𝜽 𝝎𝟐 = 𝝁∗𝑩 𝑰 𝝎 = √ 𝝁∗𝑩 𝑰 𝒇 = 𝟏 𝑻 = 𝟏 𝟐∗𝝅 ∗ √ 𝝁∗𝑩 𝑰 107. Un pequeño imán en forma de barra de masa 0,1 kg y momento magnético μ= 0,04 A m2 está localizado en el centro de una espira de 0,2 m de diámetro. Por la espira fluye una corriente de 5,0 A. En equilibrio, la barra está alineada con el campo magnético debido a la espira. Se da un desplazamiento a la barra a lo largo del eje de la espira y se deja en libertad. Demostrar que, si el desplazamiento es pequeño, la barra magnética ejecuta un movimiento armónico simple; y determinar el período de este movimiento. 𝑬𝒑 = −𝝁 ∗ 𝑩 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑵∗𝑹𝟐∗𝑰 (𝒙𝟐+𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 𝑬𝒑 = −𝝁 ∗ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑵∗𝑹𝟐∗𝑰 (𝒙𝟐+𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 𝑭𝒙 = − 𝒅𝑼 𝒅𝒙 = − 𝝁∗𝝁𝒐∗𝑵∗𝑹𝟐∗𝑰 𝟐 ∗ 𝒅 𝒅𝒙 ( 𝟏 (𝒙𝟐+𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 ) 𝑭𝒙 = − 𝟑 𝟐 ∗ 𝝁 ∗ 𝝁𝒐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑰 ∗ ( 𝟏 (𝒙𝟐+𝑹𝟐) 𝟓 𝟐 ) ∗ 𝒙 𝑭𝒙 = − 𝟑 𝟐 ∗ 𝝁∗𝝁𝒐∗𝑵∗𝑹𝟐∗𝑰 𝑹𝟓 ∗ ( 𝟏 (𝟏+ 𝒙𝟐 𝑹𝟐) 𝟓 𝟐 ) ∗ 𝒙 ( 𝟏 (𝟏+ 𝒙𝟐 𝑹𝟐) 𝟓 𝟐 ) = 𝟏 − 𝟓 𝟐 ∗ 𝒙𝟐 𝑹𝟐 + ⋯ 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒙 ≪ 𝑹: 𝟏 (𝟏+ 𝒙𝟐 𝑹𝟐) 𝟓 𝟐 ≈ 𝟏 𝑭𝒙 = − 𝟑 𝟐 ∗ 𝝁∗𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝑹𝟑 ∗ 𝒙 Ecuación que corresponde a un movimiento armónico. 𝑭𝒙 = 𝒎 ∗ 𝒂 − 𝟑 𝟐 ∗ 𝝁∗𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝑹𝟑 ∗ 𝒙 = 𝒎 ∗ 𝒅𝟐𝒙 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝟐𝒙 𝒅𝒕𝟐 = 𝟑 𝟐 ∗ 𝝁∗𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝑹𝟑∗𝒎 ∗ 𝒙 𝝎𝟐 = 𝟑 𝟐 ∗ 𝝁∗𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝑹𝟑∗𝒎
  • 50. 𝑻 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √ 𝟐∗𝑹𝟑∗𝒎 𝟑∗𝝁∗𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝑻 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √ 𝟐∗𝟎.𝟏𝟑∗𝟎.𝟏 𝟑∗𝟎.𝟎𝟒∗𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏∗𝟓 = 𝟏𝟎𝟐 𝒔 108. Supongamos que la aguja del problema 106 es una barra de hierro uniformemente imantada de 8 cm de longitud y un área transversal de 3 mm2 . Consideremos que el momento dipolar magnético de cada átomo de hierro es 2,2 μB y que todos ellos poseen alineados sus momentos dipolares. Calcular la frecuencia de las pequeñas oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio cuando el campo magnético es 0,5 G. −𝝁 ∗ 𝑩 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝑰 ∗ 𝒅𝟐𝜽 𝒅𝒕𝟐 Para ángulos pequeños: −𝝁 ∗ 𝑩 ∗ 𝜽 = 𝑰 ∗ 𝒅𝟐𝜽 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝟐𝜽 𝒅𝒕𝟐 = 𝝁∗𝑩 𝑰 ∗ 𝜽 𝝎𝟐 = 𝝁∗𝑩 𝑰 𝒇 = 𝟏 𝟐∗𝝅 ∗ √ 𝝁∗𝑩 𝑰 𝝁 = 𝟐, 𝟐 ∗ 𝝁𝑩 ∗ 𝑵 𝑰 = 𝟏 𝟏𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝑳𝟐 = 𝟏 𝟏𝟐 ∗ 𝝆 ∗ 𝑽 ∗ 𝑳𝟐 𝑵 𝑵𝑨 = 𝒎 𝑴 = 𝝆∗𝑽 𝑴 ; 𝑵 = 𝑵𝑨 ∗ 𝝆∗𝑽 𝑴 𝒇 = 𝟏 𝟐∗𝝅 ∗ √ 𝟐,𝟐∗𝝁𝑩∗𝑵 ∗𝑩 𝑰 = 𝟏 𝟐∗𝝅 ∗ √ 𝟐,𝟐∗𝝁𝑩∗𝑵𝑨∗ 𝝆∗𝑽 𝑴 ∗𝑩 𝟏 𝟏𝟐 ∗𝝆∗𝑽∗𝑳𝟐 𝒇 = 𝟏 𝟐∗𝝅 ∗ √ 𝟐𝟔.𝟒∗𝝁𝑩∗𝑵𝑨∗𝑩 𝑳𝟐∗𝑴 = 𝟏 𝝅∗𝑳 ∗ √ 𝟔.𝟔∗𝝁𝑩∗𝑵𝑨∗𝑩 𝑴 𝒇 = 𝟏 𝝅∗𝟎.𝟎𝟖 ∗ √ 𝟔.𝟔∗𝟗.𝟐𝟕∗𝟏𝟎−𝟐𝟒∗𝟔.𝟎𝟐∗𝟏𝟎𝟐𝟑∗𝟎.𝟓∗𝟏𝟎−𝟒 𝟓𝟓.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟑 = 𝟎. 𝟕𝟐𝟑 𝑯𝒛 109. La aguja de una brújula magnética posee una longitud de 3 cm, un radio de 0,85 mm y una densidad de 7,96 103 kg/m3 . Puede girar libremente en un plano horizontal, donde el componente horizontal del campo magnético terrestre es 0,6 G. Cuando se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio, la aguja efectúa un movimiento armónico simple alrededor de su punto medio comuna frecuencia de 1,4 Hz. a) ¿Cuál es el momento dipolar magnético de la aguja? b) ¿Cuál es la imantación M? c) ¿Cuál es la corriente amperiana en la superficie de la aguja? a) 𝝎𝟐 = 𝝁∗𝑩 𝑰 𝟒 ∗ 𝝅𝟐 ∗ 𝒇 = 𝝁∗𝑩 𝑰 𝝁 = 𝟒∗𝝅𝟐∗𝒇∗𝑰 𝑩 = 𝟒∗𝝅𝟐∗𝒇∗ 𝟏 𝟏𝟐 ∗𝒎∗𝑳𝟐 𝑩 = 𝝅𝟐∗𝒇∗𝝆∗𝑽∗𝑳𝟐 𝟑∗𝑩 𝝁 = 𝝅𝟐∗𝒇∗𝝆∗𝝅∗𝒓𝟐∗𝑳∗𝑳𝟐 𝟑∗𝑩 = 𝝅𝟑∗𝒇∗𝝆∗𝒓𝟐∗𝑳𝟑 𝟑∗𝑩 𝝁 = 𝝅𝟑∗𝟏.𝟒∗𝟕.𝟗𝟔∗𝟏𝟎𝟑∗(𝟎.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟑)𝟐∗𝟎.𝟎𝟑𝟑 𝟑∗𝟎.𝟔∗𝟏𝟎−𝟒 = 𝟓. 𝟐𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝑨 ∗ 𝒎𝟐
  • 51. b) 𝑴 = 𝝁 𝑽 = 𝝅𝟑∗𝒇∗𝝆∗𝒓𝟐∗𝑳𝟑 𝟑∗𝑩 𝝅∗𝒓𝟐∗𝑳 = 𝝅𝟐∗𝒇∗𝝆∗𝑳𝟐 𝟑∗𝑩 = 𝝅𝟐∗𝟏.𝟒∗𝟕.𝟗𝟔∗𝟏𝟎𝟑∗(𝟎.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟑) 𝟐 ∗𝟎.𝟎𝟑𝟐 𝟑∗𝟎.𝟔∗𝟏𝟎−𝟒 𝑴 = 𝟕. 𝟕𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑨/𝒎 c) 𝑰𝑨𝒎𝒑 = 𝑴 ∗ 𝑳 = 𝝅𝟐∗𝒇∗𝝆∗𝑳𝟐 𝟑∗𝑩 ∗ 𝑳 = 𝝅𝟐∗𝒇∗𝝆∗𝑳𝟑 𝟑∗𝑩 = 𝟕. 𝟕𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟓 ∗ 𝟎. 𝟎𝟑 = 𝟐. 𝟑𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝑨 110. Una barra de hierro de longitud 1,4 m tiene un diámetro de 2 cm y una imantación uniforme 1,72 106 A/m en la dirección de su eje longitudinal. La barra, estacionaria en el espacio, se desimanta súbitamente de modo que desaparece su imantación. ¿Cuál es la velocidad angular de rotación de la barra si el momento angular se conserva? (suponer que la ecuación 𝝁 = 𝒒 𝟐 𝒎 𝑳 se cumple, siendo m la masa de un electrón y q =- e). 𝑳 = 𝑰 ∗ 𝝎 ; 𝝎 = 𝑳 𝑰 𝝁 = 𝒒 𝟐∗ 𝒎 𝑳 ; 𝑳 = 𝝁∗𝟐∗𝒎 𝒒 = 𝑴∗𝑽∗𝟐∗𝒎𝒆 𝒆 = 𝑴∗𝝅∗𝒓𝟐∗𝑳∗𝟐∗𝒎𝒆 𝒆 𝝎 = 𝑳 𝑰 = 𝑴∗𝝅∗𝒓𝟐∗𝑳∗𝟐∗𝒎𝒆 𝒆 𝟏 𝟐 ∗𝝆∗𝑽∗𝒓𝟐 = 𝑴∗𝝅∗𝒓𝟐∗𝑳∗𝟐∗𝒎𝒆 𝒆 𝟏 𝟐 ∗𝝆∗𝝅∗𝒓𝟐∗𝑳∗𝒓𝟐 𝝎 = 𝟒∗𝑴∗𝒎𝒆 𝒆∗𝝆∗𝒓𝟐 = 𝟒∗𝟏.𝟕𝟐∗𝟏𝟎𝟔∗𝟗.𝟏𝟏∗𝟏𝟎−𝟑𝟏 𝟏.𝟔∗𝟏𝟎−𝟗∗𝟕.𝟗𝟔∗𝟏𝟎𝟑∗𝟎.𝟎𝟏𝟐 = 𝟒. 𝟗𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝒓𝒂𝒅/𝒔 111. El momento dipolar magnético de un átomo de hierro vale 2,219 μB. a) Si todos los átomos de una barra de hierro de longitud 20 cm y área transversal 2 cm2 tienen alineados sus momentos dipolares, ¿Cuál es el momento dipolar de la barra? b) ¿Qué momento debe aplicarse para mantener la barra en posición perpendicular a un campo magnético de 0,25 T? a) 𝑵 𝑵𝑨 = 𝒎 𝑴 = 𝝆∗𝑽 𝑴 ; 𝑵 = 𝑵𝑨 ∗ 𝝆∗𝑽 𝑴 𝝁 = 𝟐. 𝟐𝟏𝟗 ∗ 𝑵 ∗ 𝝁𝑩 = 𝟐. 𝟐𝟏𝟗 ∗ 𝑵𝑨 ∗ 𝝆∗𝑽 𝑴 ∗ 𝝁𝑩 = 𝟐. 𝟐𝟏𝟗 ∗ 𝑵𝑨 ∗ 𝝆∗𝒍∗𝑨 𝑴 ∗ 𝝁𝑩 𝝁 = 𝟐. 𝟐𝟏𝟗 ∗ 𝑵𝑨 ∗ 𝝆∗𝒍∗𝑨 𝑴 ∗ 𝝁𝑩 𝝁 = 𝟐. 𝟐𝟏𝟗 ∗ 𝟔. 𝟎𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟐𝟑 ∗ 𝟕.𝟗𝟔∗𝟏𝟎𝟑∗𝟎.𝟐∗𝟐∗𝟏𝟎−𝟒 𝟓𝟓.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝟗. 𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟒 = 𝟕𝟎. 𝟔 𝑨 ∗ 𝒎𝟐 b) 𝝉 = 𝝁 ∗ 𝑩 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝝁 ∗ 𝑩 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝟗𝟎 = 𝝁 ∗ 𝑩 𝝉 = 𝟕𝟎. 𝟔 ∗ 𝟎. 𝟐𝟓 = 𝟏𝟕. 𝟕 𝑵 ∗ 𝒎 112. Puede construirse un amperímetro relativamente barato, denominado galvanómetro de tangentes, utilizando el campo terrestre. Una bobina circular plana de N espiras y radio R está orientada de modo que el campo Bc que se produce en el centro de la bobina está dirigido hacia el este o el oeste. Se coloca en el centro de la misma una brújula. Cuando no circula corriente por la bobina, la brújula señala hacia le norte. Cuando existe una corriente I, la brújula señala en la dirección del campo magnético resultante B formando un ángulo ϴ con el norte. Demostrar que la corriente I está relacionada con ϴ y con el componente horizontal del campo terrestre por 𝑰 = 𝟐 𝑹 𝑩𝒕 𝝁𝒐 𝑵 𝒕𝒈 𝜽
  • 52. 𝒕𝒈 𝜽 = 𝑩𝒃𝒐𝒃𝒊𝒏𝒂 𝑩𝒕 𝑩𝒃𝒐𝒃𝒊𝒏𝒂 = 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝟐∗𝑹 𝒕𝒈 𝜽 = 𝝁𝒐∗𝑵∗𝑰 𝟐∗𝑹 𝑩𝒕 𝑰 = 𝟐∗𝑹∗𝑩𝒕 𝝁𝒐∗𝑵 ∗ 𝒕𝒈 𝜽 113. Un conductor recto infinitamente largo se dobla en la forma indicada en la figura. La porción circular tiene un radio de 10 cm con su centro a la distancia r de la parte recta. Determinar r de modo que el campo magnético en el centro de la porción circular sea cero. Considerando positivo el sentido hacia fuera del papel y negativo el entrante: 𝑩𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒐 = − 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹 𝑩𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒎𝒑𝒐 𝒔𝒆𝒂 𝒏𝒖𝒍𝒐 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒐: 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 𝒓 = 𝑹 𝝅 = 𝟎.𝟏 𝝅 = 𝟑. 𝟏𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝒎 114. a) Determinar el campo magnético en el punto P generado por la corriente de intensidad I que circula por el conductor mostrado en la figura. b) Utilizar el resultado de (a) para determinar el campo magnético en el centro de un polígono de N lados. Demostrar que cuando N es muy grande, el resultado se aproxima al del campo magnético en el centro de un círculo.
  • 53. a) Únicamente contribuye el tramo horizontal. 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝑹 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 + 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐) 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝑹 ∗ 𝟐 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝑹 ∗ 𝒂 √𝒂𝟐+𝑹𝟐 b) 𝜽 = 𝝅 𝑵 𝑩 = 𝑵 ∗ 𝝁𝒐∗𝑰 𝟒∗𝝅∗𝑹 ∗ 𝟐 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝑵∗𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝑹 ∗ 𝒔𝒆𝒏 ( 𝝅 𝑵 ) 𝑺𝒊 𝑵 → ∞ ; 𝜽 → 𝝅 𝑵 𝑩 = 𝑵∗𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝑹 ∗ ( 𝝅 𝑵 ) = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝑹 115. La corriente que circula por un conductor cilíndrico largo R= 10 cm varía con la distancia al eje del mismo según la relación 𝑰(𝒓) = (𝟓𝟎 𝑨 𝒎 ) 𝒓. Determinar el campo magnético en a) r = 5 cm. b) En r = 10 cm. c) r= 20 cm. a) 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 𝑩(𝟎. 𝟎𝟓) = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝝁𝒐∗𝟓𝟎∗𝟎.𝟎𝟓 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟓 = 𝟏𝟎−𝟓 𝑻 b) 𝑩(𝟎. 𝟏) = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝝁𝒐∗𝟓𝟎∗𝟎.𝟏 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟏 = 𝟏𝟎−𝟓 𝑻 c) 𝑩(𝟎. 𝟐) = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝝁𝒐∗𝟓𝟎∗𝟎.𝟏 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟐 = 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑻 116. La figura muestra un alambre infinitamente largo, portador de una corriente I1=10 A y una espira cuadrada que transporta una corriente I2= 5 A. La longitud de los lados de la espira es de 20 cm y el lado paralelo más próximo al alambre dista de éste 10 cm. a) Determinar el momento que actúa sobre la espira respecto a un eje que pasa por el lado superior de ésta. b) Determinar la fuerza neta sobre la espira. a) Si consideramos ul tramo de espira del eje y, en un tramo dy tenemos un campo dB:
  • 54. En el tramo simétrico: Las fuerzas producidas en cada caso son: Solo la componente del campo magnético perpendicular al hilo contribuye a la fuerza, o sea, la componente vertical, en el tramo de la derecha produce una fuerza hacia fuera del papel, según el eje x seria negativa. En el tramo de la izquierda se producirá una fuerza igual, pero hacia dentro del papel, según el eje x positivo, las dos son iguales i de sentidos contrarios, globalmente por tanto la fuerza total se anula. El mismo razonamiento no sirve para el tramo simétrico de éste, la fuerza global de ambos es nula, solo contribuyen los tramos según el eje x. Para el tramo de la derecha: 𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐∗𝑰𝒉𝒊𝒍𝒐 𝟐∗𝝅∗√𝟎.𝟏𝟐+𝟎.𝟏𝟐 ∗ (−𝒋 − 𝒌 ⃗ ⃗ ) 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟏 = 𝑰𝒆𝒔 ∗ 𝒍𝟏⨂𝑩 ⃗⃗ = 𝑰 ∗ | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝒍 𝟎 𝟎 𝟎 −𝑩 −𝑩 | = 𝑰𝒆𝒔 ∗ 𝒍 ∗ 𝑩 ∗ (−𝒋 + 𝒌 ⃗ ⃗ ) 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟏 = 𝟓 ∗ 𝟎. 𝟐 ∗ 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏𝟎 𝟐∗𝝅∗√𝟎.𝟏𝟐+𝟎.𝟏𝟐 ∗ (𝒋 − 𝒌 ⃗ ⃗ ) = 𝟏. 𝟒𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑵 ∗ (𝒋 − 𝒌 ⃗ ⃗ ) Para el tramo de la izquierda: 𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐∗𝑰𝒉𝒊𝒍𝒐 𝟐∗𝝅∗√𝟎.𝟏𝟐+𝟎.𝟏𝟐 ∗ (−𝒋 + 𝒌 ⃗ ⃗ )
  • 55. 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟐 = 𝑰𝒆𝒔 ∗ 𝒍𝟐⨂𝑩 ⃗⃗ = 𝑰 ∗ |− 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗ ⃗ 𝒍 𝟎 𝟎 𝟎 −𝑩 𝑩 | = 𝑰𝒆𝒔 ∗ 𝒍 ∗ 𝑩 ∗ (𝒋 + 𝒌 ⃗ ⃗ ) 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟐 = 𝟓 ∗ 𝟎. 𝟐 ∗ 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟏𝟎 𝟐∗𝝅∗√𝟎.𝟏𝟐+𝟎.𝟏𝟐 ∗ (−𝒋 + 𝒌 ⃗ ⃗ ) = 𝟏. 𝟒𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑵 ∗ (𝒋 + 𝒌 ⃗ ⃗ ) La fuerza resultante: 𝑭 ⃗ ⃗ = 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟏 + 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟐 = 𝟐 ∗ 𝟏. 𝟒𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ 𝒋 𝝉 = 𝒅 ⃗⃗ ⨂𝑭 ⃗ ⃗ = 𝟎. 𝟏 ∗ 𝟐 ∗ 𝟏. 𝟒𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 = 𝟐. 𝟖𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑵 ∗ 𝒎 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ b) Encontrado en a. 117. En el modelo de Bohr del átomo de hidró9geno, un electrón en su estado fundamental gira alrededor de un protón con un radio de 5,29 10-11 m. En un sistema de referencia en el cual este electrón se encuentra en reposo, el protón gira alrededor del electrón con el mismo radio y la misma velocidad angular que posee el electrón en el sistema de referencia del protón en reposo. En consecuencia, en el sistema en reposo del electrón, el campo magnético debido al movimiento del protón tiene la misma magnitud que el calculado en el problema 5. El electrón posee un momento magnético intrínseco de magnitud μB. Determinar la diferencia energética entre las dos posibles orientaciones del momento magnético intrínseco del electrón, paralela o antiparalela al campo magnético, debido al movimiento aparente del protón. (esta diferencia energética se observa espectroscópicamente y se conoce como desdoblamiento de estructura fina). 𝑬𝒑 = −𝝁𝑩 ∗ 𝑩 Usando el resultado del problema 5: 𝑩 = 𝟏𝟐, 𝟓 𝑻 La diferencia de energía respecto a la inicial: 𝑼𝒑 = −𝝁𝑩 ∗ 𝑩 = −𝟗. 𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟒 ∗ 𝟏𝟐. 𝟓 = −𝟏. 𝟏𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟐 𝑱 La diferencia de energía entre los dos casos será el doble de este valor: ∆𝑬 = 𝟐 ∗ 𝟏. 𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟐 = 𝟐. 𝟑𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟐 𝑱 118. El protón posee también un momento magnético intrínseco cuya magnitud es 1,52 10-3 μB. La orientación del momento magnético del protón está cuantizada; solo puede ser paralela o antiparalela al campo magnético en la posición del protón. Utilizando el resultado del problema 117, determinar la diferencia de energía del átomo de hidrógeno en el modelo de Bohr para las dos posibles orientaciones del momento magnético del protón. Despreciar el campo magnético sobre el protón debido al momento magnético intrínseco del electrón. (Esta diferencia se denomina desdoblamiento de estructura hiperfina). 𝑬𝒑 = −𝟏. 𝟓𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝝁𝑩 ∗ 𝑩 = −𝟏. 𝟓𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝟗. 𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟒 ∗ 𝟏𝟐. 𝟓 𝑬𝒑 = −𝟏. 𝟕𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟓 𝑱 La diferencia de energía entre los dos casos será el doble de este valor: ∆𝑬 = 𝟐 ∗ 𝟏. 𝟕𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟓 = 𝟑. 𝟓𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟓 𝑱 119. En el cálculo del desdoblamiento de la estructura hiperfina del problema 118 se ha despreciado el campo magnético en la posición del protón debido al momento magnético intrínseco del electrón. Calcular el campo magnético debido al momento magnético intrínseco del electrón a una distancia de 5,29 10-11 m y comparar su magnitud en la posición del protón con el debido al movimiento orbital del electrón.
  • 56. (Sugerencia: Suponer que el espín del electrón es perpendicular al plano de su órbita y demostrar que la magnitud del campo magnético a una mayor distancia de un dipolo magnético sobre una línea perpendicular al dipolo viene dada por 𝑩 = ( 𝝁𝒐 𝟒𝝅 ) 𝝁/𝒓𝟑 . Usando para el momento magnético del electrón el valor del magnetón de Bohr: 𝑩 = ( 𝝁𝒐 𝟒𝝅 ) 𝝁 𝒓𝟑 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟗.𝟐𝟕∗𝟏𝟎−𝟐𝟒 (𝟓.𝟐𝟗∗𝟏𝟎−𝟏𝟏)𝟑 = 𝟔. 𝟐𝟔 𝑻 Para el movimiento orbital del electrón: 𝑩 = ( 𝝁𝒐 𝟒𝝅 ) 𝝁 𝒓𝟑 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟏.𝟓𝟐∗𝟏𝟎−𝟑∗𝟗.𝟐𝟕∗𝟏𝟎−𝟐𝟒 (𝟓.𝟐𝟗∗𝟏𝟎−𝟏𝟏)𝟑 = 𝟗. 𝟓𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑻 120. Un disco de radio R lleva una carga fija de densidad σ y gira con una velocidad angular ω. a) Consideremos un anillo circular de radio r y anchura dr con carga dq, demostrar que la corriente producida por este anillo es 𝒅𝑰 = ( 𝝎 𝟐𝝅 ) 𝒅𝒒 = 𝝎𝝈𝒓𝒅𝒓. b) Utilizar este resultado de la parte (a) para demostrar que el campo magnético Enel centro del disco es 𝑩 = 𝟏 𝟐 𝝁𝒐𝝈𝝎𝑹. c) Utilizar el resultado de la parte (a) para hallar el campo magnético en un punto situado en el eje del disco a una distancia x del centro. a) 𝒅𝒒 = 𝝈 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 𝒅𝑰 = 𝒅𝒒 𝒅𝒕 = 𝝈∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝒅𝒓 𝟐∗𝝅 𝝎 = 𝝎 ∗ 𝝈 ∗ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 b) 𝒅𝑩𝒙 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝒓𝟐∗𝒅𝑰 (𝒙𝟐+𝒓𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝒓𝟐 (𝒙𝟐+𝒓𝟐) 𝟑 𝟐 ∗ 𝝎 ∗ 𝝈 ∗ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 = 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝝎∗𝝈∗𝒓𝟑 (𝒙𝟐+𝒓𝟐) 𝟑 𝟐 ∗ 𝒅𝒓 𝑩𝒙 = 𝝁𝒐∗𝝎∗𝝈 𝟐 ∗ ∫ 𝒓𝟑 (𝒙𝟐+𝒓𝟐) 𝟑 𝟐 ∗ 𝒅𝒓 𝑹 𝟎 = 𝝁𝒐∗𝝎∗𝝈 𝟐 ∗ ( 𝑹𝟐+𝟐∗𝒙𝟐 √𝑹𝟐+𝒙𝟐 − 𝟐 ∗ 𝒙) c) 𝑩𝒙(𝟎) = 𝝁𝒐∗𝝎∗𝝈 𝟐 ∗ ( 𝑹𝟐 √𝑹𝟐 ) = 𝝁𝒐∗𝝎∗𝝈∗𝑹 𝟐 121. Un conductor rectilíneo muy largo posee una sección transversal circular de radio R y por él circula una intensidad de corriente I. En el interior del conductor se ha practicado un orificio cilíndrico de radio a, cuyo eje es paralelo al eje del conductor y se encuentra a una distancia b de éste (figura). Hacemos coincidir el eje del conductor con el eje z, y el eje del orificio cumple la condición x = b. Calcular el campo magnético B en los puntos a) Sobe el eje x en x = 2 R. b) Sobre el eje y en y = 2 R.
  • 57. (Indicación: Considerar una distribución de corriente uniforme a lo largo del cilindro de radio R, y que circula una corriente en sentido opuesto por el orificio). a) Para las intensidades tenemos: En el conductor: 𝑰𝑹 𝝅∗𝑹𝟐 = 𝑰 𝝅∗(𝑹𝟐−𝒂𝟐) ; 𝑰𝑹 = 𝑰∗𝑹𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) En el orificio: 𝑰𝒐𝒓 𝝅∗𝒂𝟐 = 𝑰 𝝅∗(𝑹𝟐−𝒂𝟐) ; 𝑰𝒐𝒓 = 𝑰∗𝒂𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) 𝑺𝒆 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒓 𝒒𝒖𝒆 ∶ 𝑰𝑹 − 𝑰𝒐𝒓 = 𝑰 Aplicando la ley de Ampère, 1 es el campo del conductor de radio R y 2 el del agujero: 𝑩𝟏 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝟐 ∗ 𝑹 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝑹 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰∗𝑹𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) 𝑩𝟏 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅∗𝑹 ∗ 𝑰∗𝑹𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) 𝑩 ⃗⃗ 𝟏 = − 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅∗𝑹 ∗ 𝑰∗𝑹𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ 𝒋 𝑩𝟐 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ (𝟐 ∗ 𝑹 − 𝒃) = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝒐𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰∗𝒂𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) 𝑩𝟐 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅∗(𝟐∗𝑹−𝒃) ∗ 𝑰∗𝒂𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅∗(𝟐∗𝑹−𝒃) ∗ 𝑰∗𝒂𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ 𝒋 𝑩 ⃗⃗ = ( 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅∗(𝟐∗𝑹−𝒃) ∗ 𝑰∗𝒂𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) − 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅∗𝑹 ∗ 𝑰∗𝑹𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ) ∗ 𝒋 𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗(𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ ( 𝒂𝟐 (𝟐∗𝑹−𝒃) − 𝑹 𝟐 ) ∗ 𝒋 b)
  • 58. 𝑩𝟏 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝟐 ∗ 𝑹 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝑹 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰∗𝑹𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) 𝑩 ⃗⃗ 𝟏 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅∗𝑹 ∗ 𝑰∗𝑹𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ 𝒊 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰∗𝑹 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ 𝒊 𝑩𝟐 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √𝟒 ∗ 𝑹𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝒐𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰∗𝒂𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) 𝑩𝟐 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅∗√𝟒∗𝑹𝟐+𝒃𝟐 ∗ 𝑰∗𝒂𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) 𝒄𝒐𝒔 𝜶 = 𝟐∗𝑹 √𝟒∗𝑹𝟐+𝒃𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜶 = 𝒃 √𝟒∗𝑹𝟐+𝒃𝟐 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅∗√𝟒∗𝑹𝟐+𝒃𝟐 ∗ 𝑰∗𝒂𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ (− 𝟐∗𝑹 √𝟒∗𝑹𝟐+𝒃𝟐 ∗ 𝒊 − 𝒃 √𝟒∗𝑹𝟐+𝒃𝟐 ∗ 𝒋) 𝑩 ⃗⃗ = ( 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑰∗𝑹 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) − 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅∗(𝟒∗𝑹𝟐+𝒃𝟐) ∗ 𝑰∗𝒂𝟐∗𝟐∗𝑹 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ 𝒊 − 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅∗(𝟒∗𝑹𝟐+𝒃𝟐) ∗ 𝑰∗𝒂𝟐∗𝒃 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ 𝒋 𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐∗𝑰 𝝅∗(𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ (− 𝒂𝟐∗𝑹 𝟒∗𝑹𝟐+𝒃𝟐 + 𝑹 𝟒 ∗ 𝒊 − 𝒂𝟐∗𝒃 𝟐∗(𝟒∗𝑹𝟐+𝒃𝟐) ∗ 𝒋 122. Demostrar para el cilindro sobre el que se ha practicado un orificio del problema 121, que el campo magnético en el interior del orificio es uniforme y calcular su módulo y dirección. En el conductor: 𝑰𝒓 𝝅∗𝑹𝟐 = 𝑰 𝝅∗(𝑹𝟐−𝒂𝟐) ; 𝑰𝒓 = 𝑰∗𝒓𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) En el orificio: 𝑰𝒓′ 𝝅∗𝒂𝟐 = 𝑰 𝝅∗(𝑹𝟐−𝒂𝟐) ; 𝑰𝒓′ = 𝑰∗𝒓′𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) Aplicando lay de Ampere a una circunferencia por el interior del orificio de radio r:
  • 59. 𝑩𝟏 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰∗𝒓𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) 𝑩𝟏 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅∗𝒓 ∗ 𝑰∗𝒓𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) 𝑩 ⃗⃗ 𝟏 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑰 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ (𝒌 ⃗ ⃗ ⨂ 𝒓 ⃗ ) Aplicando la ley de Ampére a una circunferencia de radio r’: 𝑩𝟐 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓′ = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝒓′ = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰∗𝒓′𝟐 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) 𝑩𝟐 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑰∗𝒓′ (𝑹𝟐−𝒂𝟐) En el punto del dibujo: 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 = − 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑰 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ ⨂𝒓 ⃗ ′ Usando: 𝒓 ⃗ = 𝒓 ⃗ − 𝒃 ⃗ ⃗ 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 = − 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑰 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ ⨂(𝒓 ⃗ − 𝒃 ⃗ ⃗ ) = − 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑰 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ (𝒌 ⃗ ⃗ ⨂𝒓 ⃗ − 𝒌 ⃗ ⃗ ⨂𝒃 ⃗ ⃗ ) 𝑩 ⃗⃗ = 𝑩 ⃗⃗ 𝟏 + 𝑩 ⃗⃗ 𝟐 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑰 (𝑹𝟐−𝒂𝟐) ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ ⨂𝒃 ⃗ ⃗ 123. Una espira cuadrada de lado l está en el plano y z con su centro en el origen. Transporta una corriente I. Determinar el campo magnético B en cualquier punto sobre el eje x y demostrar que para x mucho mayor que l, 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟒 𝝅 𝟐 𝝁 𝒙𝟑 En donde 𝝁 = 𝑰 ∗ 𝒍𝟐 es el momento magnético de la espira.
  • 60. De la simetria del sistema es evidente que los campos debido a cada segmento de longitud l son iguales en magnitud. Podemos expresar el campo magnético en (x,0,0) debido a un lado (segmento) del cuadrado: 𝑩𝟏 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰 𝑹 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 + 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐) Los dos ángulos son iguales y 𝑹 = √𝒅𝟐 + 𝒍𝟐 𝟒 En el punto (x,0,0): 𝑩𝟏 = 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝑰 √𝒅𝟐+ 𝒍𝟐 𝟒 ∗ (𝟐 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏) = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑰 √𝒅𝟐+ 𝒍𝟐 𝟒 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏) 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 = 𝒍/𝟐 𝒅 = 𝒍/𝟐 √𝒙𝟐+ 𝒍𝟐 𝟐 𝑩𝟏 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑰 √𝒙𝟐+ 𝒍𝟐 𝟒 ∗ 𝒍/𝟐 √𝒙𝟐+ 𝒍𝟐 𝟐 𝑩𝟏𝒙 = 𝑩𝟏 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝑩𝟏𝒙 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑰 √𝒙𝟐+ 𝒍𝟐 𝟒 ∗ 𝒍 𝟐 √𝒙𝟐+ 𝒍𝟐 𝟐 ∗ 𝒍 𝟐 √𝒙𝟐+ 𝒍𝟐 𝟒 == 𝝁𝒐 𝟖∗𝝅 ∗ 𝑰∗𝒍𝟐 (𝒙𝟐+ 𝒍𝟐 𝟒 )∗√𝒙𝟐+ 𝒍𝟐 𝟐 𝑩 ⃗⃗ = 𝟒 ∗ 𝑩𝟏𝒙 ∗ 𝒊 === 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅 ∗ 𝑰∗𝒍𝟐 (𝒙𝟐+ 𝒍𝟐 𝟒 )∗√𝒙𝟐+ 𝒍𝟐 𝟐 ∗ 𝒊 𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅∗𝒙𝟐 ∗ 𝑰∗𝒍𝟐 (𝟏+ 𝒍𝟐 𝟒∗𝒙𝟐)∗√𝒙𝟐∗(𝟏+ 𝒍𝟐 𝟐∗𝒙𝟐) ∗ 𝒊 = 𝝁𝒐 𝟐∗𝝅∗𝒙𝟑 ∗ 𝑰∗𝒍𝟐 (𝟏+ 𝒍𝟐 𝟒∗𝒙𝟐)∗√(𝟏+ 𝒍𝟐 𝟐∗𝒙𝟐) ∗ 𝒊 En el caso x >>l: 𝑩 ⃗⃗ = 𝝁𝒐∗𝑰∗𝒍𝟐 𝟐∗𝝅∗𝒙𝟑 ∗ 𝒊 = 𝝁𝒐∗𝝁 𝟐∗𝝅∗𝒙𝟑 ∗ 𝒊 124. Una espira circular recorrida por una corriente I se encuentra en el plano y z con su eje a lo largo del eje x. a) Evaluar la integral de línea ∮ 𝑩 ⃗⃗ 𝒅𝒍 a lo largo del eje de la espira desde x = -l1 a x=+l1. b) Demostrar que cuando 𝒍𝟏 → ∞, la integral de línea se aproxima a 𝝁𝒐𝑰. Este resultado puede relacionarse con la ley de Ampère cerrando la curva de integración comuna semicircunferencia de radio l para la cual B =0 para valores muy grandes de l. a)
  • 61. ∮ 𝝁𝒐 𝟒∗𝝅 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝑰 (𝒙𝟐+𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 ∗ 𝒅𝒙 𝒍𝟏 −𝒍𝟏 = ∮ 𝝁𝒐 𝟐 ∗ 𝑹𝟐∗𝑰 (𝒙𝟐+𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 ∗ 𝒅𝒙 𝒍𝟏 −𝒍𝟏 = 𝝁𝒐∗𝑹𝟐∗𝑰 𝟐 ∗ ∮ 𝟏 (𝒙𝟐+𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 ∗ 𝒅𝒙 𝒍𝟏 −𝒍𝟏 Podemos hacer la integral con el cambio: 𝒙 = 𝑹 ∗ 𝒕𝒈(𝒖); 𝒅𝒙 = 𝒂 𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒖) ∗ 𝒅𝒖 𝝁𝒐∗𝑹𝟐∗𝑰 𝟐 ∗ ∮ 𝟏 (𝑹𝟐+𝑹𝟐∗𝒕𝒈𝟐𝒖) 𝟑 𝟐 ∗ 𝑹 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒖 𝒅𝒖 𝒍𝟏 −𝒍𝟏 = 𝝁𝒐∗𝑹𝟐∗𝑰 𝟐 ∗ ∮ 𝟏 𝑹∗(𝟏+𝒕𝒈𝟐𝒖) 𝟑 𝟐 ∗ 𝑹 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒖 𝒅𝒖 𝒍𝟏 −𝒍𝟏 𝝁𝒐∗𝑹𝟐∗𝑰 𝟐 ∗ ∮ 𝟏 𝑹𝟑∗( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒖 ) 𝟑 𝟐 ∗ 𝑹 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒖 𝒅𝒖 𝒍𝟏 −𝒍𝟏 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐 ∗ ∮ 𝒄𝒐𝒔 𝒖 ∗ 𝒅𝒖 𝒍𝟏 −𝒍𝟏 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐 ∗ |𝒔𝒊𝒏 𝒖|−𝒍𝟏 𝒍𝟏 Mirando el cambio hecho: 𝒙 𝑹 = 𝒕𝒈 𝒖 ∶ 𝒂𝒓 𝒕𝒈 ( 𝒙 𝑹 ) = 𝒖 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 𝟐 ∗ |𝐬𝐢 𝐧 (𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 ( 𝒙 𝑹 ))| −𝒍𝟏 𝒍𝟏 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 𝟐 ∗ | | 𝒙 𝑹 √𝟏 + 𝒙𝟐 𝑹𝟐 | | −𝒍𝟏 𝒍𝟏 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰 𝟐 ∗ | 𝒙 √𝑹𝟐 + 𝒙𝟐 | −𝒍𝟏 𝒍𝟏 ∮ 𝑩 ⃗⃗ 𝒅𝒍 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐 ∗ ( 𝟐∗𝒍𝟏 √𝑹𝟐+𝒍𝟏 𝟐 ) b) 𝒍𝟏 → ∞ 𝟐∗𝒍𝟏 √𝑹𝟐+𝒍𝟏 𝟐 → 𝟐 ∮ 𝑩 ⃗⃗ 𝒅𝒍 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰
  • 62. 125. La corriente en un conductor largo cilíndrico de radio R viene dada por 𝑰(𝒓) = 𝑰𝒐(𝟏 − 𝒆 𝒓 𝒂). Deducir las expresiones correspondientes al campo magnético debido a esta corriente para r<R y r >R. Para r<R: La intensidad interior a un círculo de radio r<R: 𝑰 = ∫ 𝑰𝟎 ∗ (𝟏 − 𝒆 𝒓 𝒂) ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 𝒓 𝟎 = 𝑰𝟎 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ ∫ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 𝒓 𝟎 − 𝒓 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂 ∗ 𝒅𝒓) ∫ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 𝒓 𝟎 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒓𝟐 ∫ 𝒓 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂 ∗ 𝒅𝒓 𝒓 𝟎 = | 𝒖 = 𝒓 𝒅𝒖 = 𝒅𝒓 𝒅𝒗 = 𝒆 𝒓 𝒂 ∗ 𝒅𝒓 𝒗 = 𝒂 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂 | = |𝒓 ∗ 𝒂 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂| 𝟎 𝒓 − ∫ 𝒂 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂 ∗ 𝒅𝒓 𝒓 𝟎 = ∫ 𝒓 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂 ∗ 𝒅𝒓 𝒓 𝟎 = 𝒓 ∗ 𝒂 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂 − |𝒂𝟐 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂| 𝟎 𝒓 = 𝒓 ∗ 𝒂 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂 − (𝒂𝟐 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂 − 𝒂𝟐 ) 𝑰 = 𝑰𝟎 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ ( 𝟏 𝟐 ∗ 𝒓𝟐 − 𝒓 ∗ 𝒂 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂 + 𝒂𝟐 ∗ (𝒆 𝒓 𝒂 − 𝟏)) Aplicando la ley Ampère: 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝟎 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ ( 𝟏 𝟐 ∗ 𝒓𝟐 − 𝒓 ∗ 𝒂 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂 + 𝒂𝟐 ∗ (𝒆 𝒓 𝒂 − 𝟏)) 𝑩 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝟎 ∗ ( 𝟏 𝟐 ∗ 𝒓 − 𝒂 ∗ 𝒆 𝒓 𝒂 + 𝒂𝟐 𝒓 ∗ (𝒆 𝒓 𝒂 − 𝟏)) Para r>R: 𝑰 = 𝑰𝒐 ∗ (𝟏 − 𝒆 𝑹 𝒂) 𝑩 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝝁𝒐 ∗ 𝑰𝟎 ∗ (𝟏 − 𝒆 𝑹 𝒂) 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰𝟎 𝟐∗𝝅∗𝒓 ∗ (𝟏 − 𝒆 𝑹 𝒂) 126. En el ejemplo de un alambre largo y recto de radio a que transporta una corriente I uniformemente distribuida en toda el área transversal del conductor, el campo magnético dentro y fuera del alambre es: 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟐𝝅𝑹𝟐 𝑰 𝒓; 𝑩 = 𝝁𝒐 𝟐𝝅 ∗ 𝑰 𝒓 . Consideremos un filamento de corriente a una distancia r del centro del alambre. Demostrar que este filamento experimenta una fuerza dirigida hacia el centro del alambre y que, por tanto, la distribución de corriente no puede ser totalmente uniforme Este efecto llamado efecto de pinzamiento (pinch-effect) depende de la magnitud de la corriente, pero generalmente puede despreciarse. Consideremos un alambre de cobre de diámetro 2,0 cm que transporta una corriente nominalmente uniforme de 400 A. Calcular la fuerza por unidad de longitud ejercida sobre una región anular de corriente, de 0,1 mm de espesor, en la periferia del alambre. Suponer que la corriente es transportada por los electrones de conducción. ¿Qué distancia hacia el centro del alambre tendría que desplazarse esta región de corriente anular para que la fuerza electrostática entre los electrones y los iones positivos fijos en la periferia equilibren justamente la fuerza magnética? Para entender el efecto de pinzamiento, primero necesitamos entender que el campo magnético generado por un alambre que lleva corriente ejerce una fuerza sobre los portadores de carga en el alambre. Esta fuerza es perpendicular tanto a la dirección de la corriente como al campo magnético. La ley de Ampère nos dice que el campo magnético alrededor de un alambre que lleva corriente es proporcional a la corriente y disminuye con la distancia
  • 63. desde el alambre. Por lo tanto, un filamento de corriente más cerca del centro del alambre experimentará un campo magnético más débil que un filamento más alejado del centro. La fuerza magnética en un portador de carga se describe por la ecuación F = qvB sinθ, donde F es la fuerza, q es la carga, v es la velocidad, B es el campo magnético y θ es el ángulo entre v y B. En nuestro caso, θ es 90 grados, por lo que sinθ = 1. Por lo tanto, los portadores de carga más alejados del centro del alambre experimentarán una mayor fuerza magnética que los más cercanos al centro. Esta diferencia en la fuerza causa una migración de los portadores de carga hacia el centro del alambre, resultando en una distribución de corriente no uniforme. Este es el efecto de pinzamiento. Es importante tener en cuenta que este efecto generalmente se puede despreciar en la mayoría de las aplicaciones prácticas porque requiere corrientes muy altas para ser significativo. Sin embargo, puede ser importante en ciertas aplicaciones de alta potencia o alta frecuencia. Para calcular la fuerza por unidad de longitud ejercida sobre una región anular de corriente, podemos usar la fórmula de la fuerza magnética en un conductor rectilíneo: 𝑭 = 𝑰 ∗ 𝑳 ∗ 𝑩 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 Donde:  I es la corriente en amperios (A)  L es la longitud del conductor en metros (m)  B es el campo magnético en teslas (T)  θ es el ángulo entre la corriente y el campo magnético En este caso, como estamos considerando una región anular de corriente en la periferia del alambre, el ángulo entre la corriente y el campo magnético es de 90 grados, por lo que sin(θ)=1. El campo magnético B creado por una corriente I que fluye a través de un alambre largo y recto se puede calcular usando la ley de Ampère: 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰 𝟐∗𝝅∗𝒓 Donde r es la distancia desde el centro del alambre hasta el punto donde se mide el campo magnético La fuerza por unidad de longitud (F/L) sería entonces: 𝑭 𝑳 = 𝑰 ∗ 𝑩 = 𝝁𝒐∗𝑰𝟐 𝟐∗𝝅∗𝒓 = 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟒𝟎𝟎𝟐 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟏 = 𝟑, 𝟐𝑵/𝒎
  • 64. La fuerza electrostática entre los electrones y los iones positivos en la periferia del alambre se puede calcular usando la ley de Coulomb: 𝑭 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 𝒓𝟐 Donde:  k es la constante de Coulomb.  q1 y q2 son las cargas de los electrones y los iones, respectivamente  r es la distancia entre las cargas En este caso, q1=q2=e, donde e es la carga del electrón (1.6×10−19 C). La distancia r es la que estamos tratando de calcular. La fuerza electrostática debe equilibrar la fuerza magnética, por lo que podemos igualar las dos ecuaciones y resolver para r: 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 𝒓𝟐 = 𝝁𝒐∗𝑰𝟐 𝟐∗𝝅∗𝒓 𝒓 = √ 𝒌∗𝒆𝟐∗𝟐∗𝝅 𝝁𝒐∗𝑰𝟐 = √ 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗(𝟏.𝟔∗𝟏𝟎−𝟏𝟗)𝟐∗𝟐∗𝝅 𝟒∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟕∗𝟒𝟎𝟎𝟐 = 𝟖, 𝟒𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟒 𝒎 ¿?