Ejercicios de antena loop circular
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1) El documento presenta ejercicios sobre antenas tipo loop. Incluye cálculos para determinar el ángulo donde la intensidad máxima de radiación cae a la mitad, el diseño de una antena loop para que su intensidad de campo sea nula en dos ángulos específicos, y el cálculo de la potencia radiada, resistencia de radiación y directividad máxima para diferentes configuraciones de la antena. 2) También incluye la demostración de que el campo eléctrico en la zona lejana de una antena loop
![Directividad máxima
𝐷0 = 0.677 (
𝜋𝜆
𝜆
)
𝑫 𝟎 = 𝟎. 𝟔𝟕𝟕𝝅
3) Determinar la potencia radiada en función de: 𝐼0, por una antena Loop circular de 𝑁 =
1, si su radio es de:
a) 𝑎 =
𝜆
10𝜋
b) 𝑎 =
𝜆
2
𝒂 =
𝝀
𝟏𝟎𝝅
Para determinar la Potencia Radiada cuando el radio es
𝟏
𝟏𝟎𝝅
de la longitud de onda
se tiene la siguiente formula:
𝑃𝑟𝑎𝑑 = 𝜂𝜋
𝐶𝜆
4
|𝐼0|2
12
[𝑤]
𝑃𝑟𝑎𝑑 ≈ 10𝜋2
(𝑘𝑎)4|𝐼0|2
𝐶𝜆 = 𝑘𝑎
𝐶𝜆 =
2𝜋
𝜆
∗
𝜆
10𝜋
𝐶𝜆 =
1
5
𝑃𝑟𝑎𝑑 ≈ 10𝜋2
(
1
5
)
4
|𝐼0|2
𝑷 𝒓𝒂𝒅 ≈ 𝟎. 𝟏𝟓𝟕𝟗 |𝑰 𝟎| 𝟐
[𝒘]
𝒂 =
𝝀
𝟐
Para determinar la Potencia Radiada cuando el radio es la mitad de la longitud de
onda se tiene la siguiente formula
𝑃𝑟𝑎𝑑 = 𝜂𝜋
𝐶𝜆
2
|𝐼0|2
4
[𝑤]
𝑃𝑟𝑎𝑑 ≈ 30𝜋2
(𝑘𝑎)2|𝐼0|2
𝐶𝜆 = 𝑘𝑎
𝐶𝜆 =
2𝜋
𝜆
∗
𝜆
2
𝐶𝜆 = 𝜋
𝑃𝑟𝑎𝑑 = 30𝜋2
𝜋|𝐼0|2
𝑃𝑟𝑎𝑑 = 30𝜋3|𝐼0|2
𝑷 𝒓𝒂𝒅 = 𝟗𝟑𝟎. 𝟏𝟖𝟖|𝑰 𝟎| 𝟐
[𝒘]](https://image.slidesharecdn.com/ejerciciosdeantenaloopcircular-200422141103/85/Ejercicios-de-antena-loop-circular-3-320.jpg)
![4) Para una antena Loop circular de radio: 𝑎 = 𝜆/2.
Determinar:
a) La potencia de radiación si la corriente de alimentación es de 𝐼0 = 2𝐴
b) La directividad máxima
c) La resistencia de radiación
d) La apertura máxima
Potencia de radiación
𝑃𝑟𝑎𝑑 ≈ 30𝜋2
(𝑘𝑎)2|𝐼0|2
𝐶𝜆 = 𝑘𝑎
𝐶𝜆 =
2𝜋
𝜆
∗
𝜆
2
𝐶𝜆 = 𝜋
𝑃𝑟𝑎𝑑 = 30𝜋3|2|2
𝑷 𝒓𝒂𝒅 = 𝟏𝟐𝟎𝝅 𝟑
[𝒘]
Directividad máxima
𝐷 𝑚𝑎𝑥 = 4𝜋 ∗
𝑈 𝑚𝑎𝑥
𝑃𝑟𝑎𝑑
𝑈 𝑚𝑎𝑥 = 16.07(𝑘𝑎)2|𝐼0|2
𝑈 𝑚𝑎𝑥 = 16.07(𝜋)2|2|2
𝑈 𝑚𝑎𝑥 = 634.418 [𝑤/𝑠𝑟]
𝐷 𝑚𝑎𝑥 = 4𝜋 ∗
634.418
120𝜋3
𝑫 𝒎𝒂𝒙 = 𝟐. 𝟏𝟒
Resistencia de radiación
𝑃𝑟𝑎𝑑 =
𝟏
𝟐
|𝐼0|2
∗ 𝑅 𝑟 = 30𝜋2
(𝑘𝑎)2|𝐼0|2
𝑅 𝑟 = 60𝜋2
(𝑘𝑎)2
𝑅 𝑟 = 60𝜋2
(𝜋)2
𝑹 𝒓 = 𝟔𝟎𝝅 𝟒
[𝛀]
Apertura máxima
(𝐴 𝑒𝑓) 𝑚𝑎𝑥
=
𝜆2
4𝜋
𝐷 𝑚𝑎𝑥
(𝐴 𝑒𝑓) 𝑚𝑎𝑥
=
𝜆2
4𝜋
∗ 2.14
(𝑨 𝒆𝒇) 𝒎𝒂𝒙
= 𝟏. 𝟐𝟔𝟖𝟐𝝀 𝟐
[𝒎 𝟐
]](https://image.slidesharecdn.com/ejerciciosdeantenaloopcircular-200422141103/85/Ejercicios-de-antena-loop-circular-4-320.jpg)
![5) Considérese una antena Loop circular de radio a en el plano 𝑥𝑦 y centrada sobre el
origen. Asúmase que la corriente en la Loop circular esta dad por: 𝐼 𝜙(𝜙) = 𝐼0 cos(𝜙).
a) Demostrar que el campo eléctrico en la zona lejana de Loop circular está dada por:
𝐸 𝜃 = 𝑗
𝑍 𝑜 𝑘𝑎
2
𝐼0
𝑒−𝑗𝑘𝑟
𝑟
𝐽1
(𝑘𝑎 sin 𝜃)
𝑘𝑎 sin 𝜃
cos 𝜃 sin 𝜙
𝐸 𝜙 = 𝑗
𝑍 𝑜 𝑘𝑎
2
𝐼0
𝑒−𝑗𝑘𝑟
𝑟
𝐽1(𝑘𝑎 sin 𝜃) cos 𝜙
Donde:
𝐽1(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
𝐽1(𝑥)
Distribución de la corriente
𝐼𝑒
̅(𝑥′
, 𝑦′
, 𝑧′) = 𝐼 𝑥(𝑥′
, 𝑦′
, 𝑧′)𝑎 𝑥⃗⃗⃗⃗ + 𝐼 𝑦(𝑥′
, 𝑦′
, 𝑧′)𝑎 𝑦⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝑧(𝑥′
, 𝑦′
, 𝑧′)𝑎 𝑧⃗⃗⃗⃗
Transformamos a coordenadas esféricas
𝐼𝑒
̅(𝑟, 𝜃, 𝜙) = [𝐼 𝑝 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠(𝜙 − 𝜙′) + 𝐼 𝜙 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛(𝜙 − 𝜙′) + 𝐼𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃]𝑎 𝑟
+ [𝐼 𝑝 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠(𝜙 − 𝜙′) + 𝐼 𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛(𝜙 − 𝜙′) + 𝐼𝑧 𝑠𝑒𝑛𝜃]𝑎 𝜃
+ [−𝐼 𝑝 𝑠𝑒𝑛(𝜙 − 𝜙′) + 𝐼 𝜙 𝑐𝑜𝑠(𝜙 − 𝜙′)]𝑎 𝜙
Se considera solo la componente 𝐼∅ = 𝐼 𝑜cos(𝜙).
𝐼𝑒
̅(𝑟, 𝜃, 𝜙) = [𝐼 𝜙 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛(𝜙 − 𝜙′)𝑎 𝑟 + 𝐼 𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛(𝜙 − 𝜙′)𝑎 𝜃 + 𝐼 𝜙 𝑐𝑜𝑠(𝜙 − 𝜙′)𝑎 𝜙]
Para el caso de esta antena se puede considerar que 𝐼(𝜙) = 𝐼 𝑜cos(𝜙).
Vector el potencial magnético:
𝐴̅( 𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜇
4𝜋
∫ 𝐼𝑒
̅(𝑥′
, 𝑦′
, 𝑧′)
𝑒−𝑗𝑘𝑅
𝑅
𝑑𝑙′
En coordenadas esféricas
𝐴(𝑟, 𝜃, 𝜙) = 𝐴 𝑟 𝑎 𝑟 + 𝐴 𝜃 𝑎 𝜃 + 𝐴 𝜙 𝑎 𝜙
𝐴 𝑟 =
𝜇𝐼0 𝑎
2
𝑒−𝑗𝑘𝑟
𝑟
{
𝐽1(𝑘𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃))
𝑘𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
}](https://image.slidesharecdn.com/ejerciciosdeantenaloopcircular-200422141103/85/Ejercicios-de-antena-loop-circular-5-320.jpg)
Ejercicios de antena loop circular
- 1. UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA Jairo L. Otáñez M. jairolenin10@gmail.com EJERCICIOS ANTENAS TIPO LOOP 1) Teniendo como referencias los patrones de radiación indicados en la siguiente figura determinar el ángulo donde la intensidad máxima de radiación cae la mitad 𝜃3𝑑𝐵, si el radio de la antena loop circular es de : a) 𝑎 = 0.1𝜆 𝜃3𝑑𝐵 = 50°
- 2. b) 𝑎 = 0.2𝜆 2) Diseñar una antena Loop circular, de tal manera que su intensidad del campo radiado sea nulo solamente para 𝜃 = 0° y 𝜃 = 90°. Determinar a) Radio b) Resistencia de Radiación c) Directividad máxima Radio 𝑎 = 𝜆 2 Resistencia de radiación 𝐶 = 2𝜋𝑎 𝑅 𝑟 = 60𝜋2 ( 𝐶 𝜆 ) 𝑅 𝑟 = 60𝜋2 ( 2𝜋 ∗ 𝜆 2 𝜆 ) 𝑹 𝒓 = 𝟔𝟎𝝅 𝟑
- 3. Directividad máxima 𝐷0 = 0.677 ( 𝜋𝜆 𝜆 ) 𝑫 𝟎 = 𝟎. 𝟔𝟕𝟕𝝅 3) Determinar la potencia radiada en función de: 𝐼0, por una antena Loop circular de 𝑁 = 1, si su radio es de: a) 𝑎 = 𝜆 10𝜋 b) 𝑎 = 𝜆 2 𝒂 = 𝝀 𝟏𝟎𝝅 Para determinar la Potencia Radiada cuando el radio es 𝟏 𝟏𝟎𝝅 de la longitud de onda se tiene la siguiente formula: 𝑃𝑟𝑎𝑑 = 𝜂𝜋 𝐶𝜆 4 |𝐼0|2 12 [𝑤] 𝑃𝑟𝑎𝑑 ≈ 10𝜋2 (𝑘𝑎)4|𝐼0|2 𝐶𝜆 = 𝑘𝑎 𝐶𝜆 = 2𝜋 𝜆 ∗ 𝜆 10𝜋 𝐶𝜆 = 1 5 𝑃𝑟𝑎𝑑 ≈ 10𝜋2 ( 1 5 ) 4 |𝐼0|2 𝑷 𝒓𝒂𝒅 ≈ 𝟎. 𝟏𝟓𝟕𝟗 |𝑰 𝟎| 𝟐 [𝒘] 𝒂 = 𝝀 𝟐 Para determinar la Potencia Radiada cuando el radio es la mitad de la longitud de onda se tiene la siguiente formula 𝑃𝑟𝑎𝑑 = 𝜂𝜋 𝐶𝜆 2 |𝐼0|2 4 [𝑤] 𝑃𝑟𝑎𝑑 ≈ 30𝜋2 (𝑘𝑎)2|𝐼0|2 𝐶𝜆 = 𝑘𝑎 𝐶𝜆 = 2𝜋 𝜆 ∗ 𝜆 2 𝐶𝜆 = 𝜋 𝑃𝑟𝑎𝑑 = 30𝜋2 𝜋|𝐼0|2 𝑃𝑟𝑎𝑑 = 30𝜋3|𝐼0|2 𝑷 𝒓𝒂𝒅 = 𝟗𝟑𝟎. 𝟏𝟖𝟖|𝑰 𝟎| 𝟐 [𝒘]
- 4. 4) Para una antena Loop circular de radio: 𝑎 = 𝜆/2. Determinar: a) La potencia de radiación si la corriente de alimentación es de 𝐼0 = 2𝐴 b) La directividad máxima c) La resistencia de radiación d) La apertura máxima Potencia de radiación 𝑃𝑟𝑎𝑑 ≈ 30𝜋2 (𝑘𝑎)2|𝐼0|2 𝐶𝜆 = 𝑘𝑎 𝐶𝜆 = 2𝜋 𝜆 ∗ 𝜆 2 𝐶𝜆 = 𝜋 𝑃𝑟𝑎𝑑 = 30𝜋3|2|2 𝑷 𝒓𝒂𝒅 = 𝟏𝟐𝟎𝝅 𝟑 [𝒘] Directividad máxima 𝐷 𝑚𝑎𝑥 = 4𝜋 ∗ 𝑈 𝑚𝑎𝑥 𝑃𝑟𝑎𝑑 𝑈 𝑚𝑎𝑥 = 16.07(𝑘𝑎)2|𝐼0|2 𝑈 𝑚𝑎𝑥 = 16.07(𝜋)2|2|2 𝑈 𝑚𝑎𝑥 = 634.418 [𝑤/𝑠𝑟] 𝐷 𝑚𝑎𝑥 = 4𝜋 ∗ 634.418 120𝜋3 𝑫 𝒎𝒂𝒙 = 𝟐. 𝟏𝟒 Resistencia de radiación 𝑃𝑟𝑎𝑑 = 𝟏 𝟐 |𝐼0|2 ∗ 𝑅 𝑟 = 30𝜋2 (𝑘𝑎)2|𝐼0|2 𝑅 𝑟 = 60𝜋2 (𝑘𝑎)2 𝑅 𝑟 = 60𝜋2 (𝜋)2 𝑹 𝒓 = 𝟔𝟎𝝅 𝟒 [𝛀] Apertura máxima (𝐴 𝑒𝑓) 𝑚𝑎𝑥 = 𝜆2 4𝜋 𝐷 𝑚𝑎𝑥 (𝐴 𝑒𝑓) 𝑚𝑎𝑥 = 𝜆2 4𝜋 ∗ 2.14 (𝑨 𝒆𝒇) 𝒎𝒂𝒙 = 𝟏. 𝟐𝟔𝟖𝟐𝝀 𝟐 [𝒎 𝟐 ]
- 5. 5) Considérese una antena Loop circular de radio a en el plano 𝑥𝑦 y centrada sobre el origen. Asúmase que la corriente en la Loop circular esta dad por: 𝐼 𝜙(𝜙) = 𝐼0 cos(𝜙). a) Demostrar que el campo eléctrico en la zona lejana de Loop circular está dada por: 𝐸 𝜃 = 𝑗 𝑍 𝑜 𝑘𝑎 2 𝐼0 𝑒−𝑗𝑘𝑟 𝑟 𝐽1 (𝑘𝑎 sin 𝜃) 𝑘𝑎 sin 𝜃 cos 𝜃 sin 𝜙 𝐸 𝜙 = 𝑗 𝑍 𝑜 𝑘𝑎 2 𝐼0 𝑒−𝑗𝑘𝑟 𝑟 𝐽1(𝑘𝑎 sin 𝜃) cos 𝜙 Donde: 𝐽1(𝑥) = 𝑑 𝑑𝑥 𝐽1(𝑥) Distribución de la corriente 𝐼𝑒 ̅(𝑥′ , 𝑦′ , 𝑧′) = 𝐼 𝑥(𝑥′ , 𝑦′ , 𝑧′)𝑎 𝑥⃗⃗⃗⃗ + 𝐼 𝑦(𝑥′ , 𝑦′ , 𝑧′)𝑎 𝑦⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝑧(𝑥′ , 𝑦′ , 𝑧′)𝑎 𝑧⃗⃗⃗⃗ Transformamos a coordenadas esféricas 𝐼𝑒 ̅(𝑟, 𝜃, 𝜙) = [𝐼 𝑝 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠(𝜙 − 𝜙′) + 𝐼 𝜙 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛(𝜙 − 𝜙′) + 𝐼𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃]𝑎 𝑟 + [𝐼 𝑝 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠(𝜙 − 𝜙′) + 𝐼 𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛(𝜙 − 𝜙′) + 𝐼𝑧 𝑠𝑒𝑛𝜃]𝑎 𝜃 + [−𝐼 𝑝 𝑠𝑒𝑛(𝜙 − 𝜙′) + 𝐼 𝜙 𝑐𝑜𝑠(𝜙 − 𝜙′)]𝑎 𝜙 Se considera solo la componente 𝐼∅ = 𝐼 𝑜cos(𝜙). 𝐼𝑒 ̅(𝑟, 𝜃, 𝜙) = [𝐼 𝜙 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛(𝜙 − 𝜙′)𝑎 𝑟 + 𝐼 𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛(𝜙 − 𝜙′)𝑎 𝜃 + 𝐼 𝜙 𝑐𝑜𝑠(𝜙 − 𝜙′)𝑎 𝜙] Para el caso de esta antena se puede considerar que 𝐼(𝜙) = 𝐼 𝑜cos(𝜙). Vector el potencial magnético: 𝐴̅( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜇 4𝜋 ∫ 𝐼𝑒 ̅(𝑥′ , 𝑦′ , 𝑧′) 𝑒−𝑗𝑘𝑅 𝑅 𝑑𝑙′ En coordenadas esféricas 𝐴(𝑟, 𝜃, 𝜙) = 𝐴 𝑟 𝑎 𝑟 + 𝐴 𝜃 𝑎 𝜃 + 𝐴 𝜙 𝑎 𝜙 𝐴 𝑟 = 𝜇𝐼0 𝑎 2 𝑒−𝑗𝑘𝑟 𝑟 { 𝐽1(𝑘𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃)) 𝑘𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) }
- 6. 𝐴 𝜃 = 𝜇𝐼0 𝑎 2 𝑒−𝑗𝑘𝑟 𝑟 𝐽1(𝑘𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃)) 𝑘𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑠𝑖𝑛(𝜙)cos(𝜃) 𝐴 𝜙 = 𝜇𝐼0 𝑎 2 𝑒−𝑗𝑘𝑟 𝑟 𝐽1(𝑘𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃))cos(𝜙) Campo Eléctrico 𝐸 = 1 𝑢 ∇xA Realizando las operación con los vectores potenciales obtenemos las componentes radiados del campo eléctrico en la región lejana: 𝑘𝑟 >> 1 𝐸 𝜃 = 𝑗 𝑍 𝑜 𝑘𝑎 2 𝐼0 𝑒−𝑗𝑘𝑟 𝑟 𝐽1 (𝑘𝑎 sin 𝜃) 𝑘𝑎 sin 𝜃 cos 𝜃 sin 𝜙 𝐸 𝜙 = 𝑗 𝑍 𝑜 𝑘𝑎 2 𝐼0 𝑒−𝑗𝑘𝑟 𝑟 𝐽1(𝑘𝑎 sin 𝜃) cos 𝜙 b) Calcular la intensidad de radiación: 𝑈(𝜃, 𝜙) en la dirección: 𝜃 = 0 y 𝜙 = 𝜋 2 en función de 𝑘𝑎 Remplazando en (θ, ϕ) obtenemos 𝐸 𝜑 = 0 𝐸 𝜃 = 𝑍 𝑜 𝑘𝑎𝐼 𝑜 𝑒−𝑗𝑘𝑟 4𝑟 Densidad de potencia 𝑊𝑎𝑣 = |𝐸⃗ | 2 2𝜂 = |𝜂 𝑘𝑎𝐼 𝑜 𝑒−𝑗𝑘𝑟 4𝑟 | 2 2𝜂 = |𝜂𝑘𝑎𝐼 𝑜 𝑒−𝑗𝑘𝑟 | 2 2𝜂42 𝑟2 |𝑒−𝑗𝑘𝑟 | = 1 𝑊𝑎𝑣 = 𝜂(𝑘𝑎)2|𝐼 𝑜|2 32𝑟2 Intensidad de radiación 𝑈 = 𝑟2 𝑊𝑎𝑣 𝑈 = 𝑟2 𝜂(𝑘𝑎)2|𝐼 𝑜|2 32𝑟2 𝑼 = 𝜼(𝒌𝒂) 𝟐|𝑰 𝒐| 𝟐 𝟑𝟐