Funcion compuesta agenda
- 1. Titulo FUNCIÓN COMPUESTA Área MATEMÁTICAS ( CÁLCULO) Grado UNDÉCIMO Autor AMZOLICREYTH GALARCIO ARBOLEDA Duración 300 MINUTOS Tema FUNCIÓN COMPUESTA En esta sección se aprenderá a solucionar una función compuesta Solucionar una función compuesta Analizo las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas de funciones polinómicas y racionales y de sus derivadas Actividad 1: Esquema conceptual
- 2. Actividad 2:Definición Definición formal: Dadas dos función f y g, tales que f: X → Y y g: Y → Z, donde es necesario que la imagen de f esté contenida en el dominio de g, se define la función compuesta de f y g : g(f(x)) ( tened mucho cuidado ya que para leerlo o nombrarlo se hace al revés de como se escribe ) como (g∘ f)(x)=g(f(x)), para todo x perteneciente a X. Lo podemos representar como: Hay que señalar que la función compuesta definida de esta forma está bien definida ya que cumple las dos condiciones necesarias: la de existencia y la de unicidad. -Condición de existencia: Para todo valor de x del dominio de f podemos halla (x,f(x)), y para cualquier elemento y=f(x) del dominio de g podemos halla (y,g(y))=(f(x),g(f(x))). Por lo tanto, podemos decir que g(f(x) cumple la condición de existencia. Veamos ahora que pasa con la condición de unicidad. -Condición de unicidad: Como tanto f como g son funciones que están bien definidas, para cada valor de x existe un único valor f(x) (ya que en caso contrario no sería una función), y para cada f(x) también existe un único valor de g(f(x)). 4. Dadas las funciones: 345)( 2 xxxf , 128)( 3 xxxg Calcula xgf , o sea la función compuesta g de f de x.
- 3. Con lo cual queda demostrado que la función compuesta está bien definida. Por ejemplo, sea f(x)=3x-1 y g(x)=1/x, entonces g(f(x))=1/(3x-1). PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN COMPUESTA 1. La función compuesta cumple la propiedad asociativa: h∘ (g∘ f)= (h∘ g)∘ f 2. La función compuesta no es conmutativa: (g∘ f) ≠ (f∘ g) 3. Tiene elemento neutro que es la función identidad I(x)=x: (I∘ g)= (g∘ I)=g 4. La composición de una función con su inversa nos da la función identidad, es decir, existe elemento simétrico, el cual es la función inversa: 5. Si realizamos la función inversa de una composición de funciones obtenemos la composición de sus inversas permutando el orden de la composición: 6. Si f es derivable en x y g es a su vez derivable en f(x), entonteces existe la derivada de la función compuesta y se calcula utilizando la conocida regla de la cadena: (g∘ f)´(x)=g´(f(x))f´(x) Actividad 3:Ejemplos Dadas las siguientes funciones f(x)=2x+9 y g(x)=1- 3/x, realizar las siguientes composiciones indicadas: a) Hallar (g∘ f). b) Hallar (f∘ g). ¿Qué podemos decir en relación al apartado anterior? c) Sabiendo que la inversa de f es (x-9)/2, comprobar que se cumple la propiedad número 4. a) En primer lugar nos están pidiendo la composición de f y g (recordad que se tenía que leer al revés) (g∘ f)(x)=g(f(x))=g(2x+9)=1-3/(2x+9) Como podéis observar, en primer lugar sustituimos el valor de f(x), y a continuación, hemos sustituido el valor de x en la función g por el valor de f(x). b) Siguiendo el mismo procedimiento calculamos ahora g compuesto con f: (f∘ g)(x)=f(g(x))=f(1-3/x)=2(1-3/x)+9=2-6/x+9=11-6/x Como podemos ver, es distinta a la calculada en el apartado a, como era de esperar, ya que no son conmutativas. c) Calculamos ahora la composición de f con su inversa:
- 5. Si quieres ver más ejercicios pueden consultar en http://www.vitutor.com/fun/2/co_e.html Observa el siguiente video https://www.youtube.com/watch?v=2Nj5oegrRDs http://matematica.laguia2000.com/general/funcion-compuesta