Funciones

FUNCIONES

CONCEPTO
2.1

Es una relación que cumple con las siquientes condiciones:

1. Todos elementos del conjunto de partida, tienen imágenes en
el conjunto de llegada.
2. Cada elemento del conjunto de partida tiene una sola imagen en el
conjunto de llegada.
3. Para que haya función tiene que haber “relación”. La relación se
hace entre dos Conjuntos. Los conjuntos constan de elementos.

CONJUNTO
2.2
Un conjunto es una lista o reunión de objetos bien definidos.

El conjunto de dos elementos relacionados entre si se llama
Par. Recordemos que “Par” es la unión de dos cosas. Ej.: Cuaderno
y Lapicero. Cada uno de los elementos del par se llama componente.
Al conjunto de dos componentes que guardan un orden determinado,
se llama par ordenado.

La relación al igual que la analogía, tiene cosas que unen y
cosas que separan. Cada uno de los elementos del par se llama
componente. Esta relación también se llama binaria.

Las matemáticas emplean signos especiales para algunas
relaciones. Así:
a > b (a es mayor que b)
a b (a es diferente de b)

3

a || b (a es paralela de b)
A B (A es subconjunto de B)

Al conjunto A de los elementos 26, 18, 30, 12 se le llama
conjunto de partida, también se le dice Dominio de Relación que se
escribe ( Dom.R ). Al conjunto B se le llama conjunto de llegada o
Rango que se escribe ( Rgo.R) y está formado por los elementos 13,
9, 15, 6.

2.3 DIAGRAMAS

El término diagrama significa: gráfico, esquema o dibujo que
explica una cosa; es también un algoritmo porque muestra los pasos
o procedimientos secuenciales, es decir, que van uno, después de
otro en forma “ordenada” para realizar un objetivo específico.

Clases de Diagramas

1.- Diagrama Sagital: los une un aspa o saeta. Ej. :

A “ mitad de “ B
26 13
18 9
30 15
12 6

2.- Diagrama Tabular: B

9
Componentes:

13
A B
26 13
A
18 9 26 18

13
3.- Diagrama de Flujo: es la representación gráfica de un algoritmo.
El orden de los pasos viene dado por el sentido de las líneas de flujo,
sentido que se indica mediante flechas

Los símbolos más frecuentes utilizados en la elaboración de
un Diagrama de Flujo son:

Se utiliza para iniciar o Se utiliza para leer datos Se utiliza en la toma
finalizar un diagrama o información de decisiones

INICIO LEER DECISION
FIN
Conector: se usa para Se utiliza para escribir Se utiliza para indicar las
indicar la continuidad del información órdenes a seguir
diagrama

ESCRIBIR PROCESO

a) Ejemplo de Diagramas de Flujo:
Dibuja un diagrama de flujo que permita determinar la suma
de los números naturales del 0 al 80. Prueba el diagrama de flujo con
los 4 primeros números. Llama a la suma S.

5

Solución: El diagrama de flujo de la fig. 2.3.1 permite realizar la
operación. Inicialmente la suma se inicializa a cero (S = 0) y el
contador i se hace también igual a cero (i = 0).

Inicio

La suma se S=0
inicializa a cero

El contador i=1
se inicializa a 1

Se calcula S=S+i
la suma

El contador se i=i+1
incrementa en 1

NO
¿i > 80?

SI
Infracción Escribe: “la suma
es igual a S”

FIN

Fig. 2.3.1 Diagrama de flujo para determinar la suma de los números
naturales de 0 a 80.
Veamos como se realiza la suma para los primeros 3 números (0,1,2):

Paso 1: S = 0 (La suma se inicializa a 0).

Paso 2: i = 0 (El contador se pone a 0).

Paso 3: S = 0 + 1 = 1. Al valor anterior de S, cero, se le suma i.
S toma ahora el valor 1 (S = 1).

Paso 4: i = 1 + 1 = 2. Al valor anterior de i, cero, se le suma 1.
i toma ahora el valor 2 (i = 1)

Paso 5: Se compara i con 80. En este caso, 2 < 80 y hay
que volver al paso 3 del Diagrama de flujo.

Paso 3: S = 1 + 2 = 3. Al valor anterior de S, uno, se le suma i= 2.
S es ahora igual a 3.

Paso 4: i = 2 + 1 = 3. Al valor anterior de i, uno, se le suma 1, i
toma ahora el valor 3.

Paso 5: Se compara i con 80, Como 2 < 80, se vuelve al paso 3.

Paso 3: S = 3 + 3 = 6. A la suma anterior, S = 3, se le suma 3
para obtener 6 (S = 6).

Paso 4: i = 3 + 1 = 4. i toma el valor de 4.

Como puedes ver, se han sumado los números 0, 1, 2 y 3.
El resultado de la suma de esos 4 números es 6. El proceso continúa
hasta agotar todos los números.

a c
b) Considera las fracciones y
b d

Dos fracciones son equivalentes si sus productos cruzados
son iguales.

7

Entre dos fracciones de igual denominador, es mayor aquella
a c
que tiene mayor numerador. Es decir, si b = d y a > c, > .
b d

a c
Si y tienen distintos denominadores:
b d

a c
a) > si se cumple que a.d > b.c
b d

a c
b) < si se cumple que a . d < b . c
b d

En base a lo anterior, elabora un diagrama de flujo que
aplique los criterios de equivalencia y considera los dos casos
anteriores en cuanto a desigualdades de fracciones.

La fig. 2.3.2 muestra la solución.
Inicio

a c
Lee y
b d

a c
SI NO Imprime: <
¿Es b = d? ¿Es a > c? b d

NO SI
P1 = a . d a c A
Imprime: >
P2 = b . c
b d

A
SI
Escribe: las fracciones
¿Es P1 = P2?
son equivalentes

NO A

SI Imprime:
a
<
c
¿Es P1> P2?
b d

NO
A
a c
Imprime: <
b d

A
FIN

Fig. 2.3.2 Diagrama de flujo que determina si dos fracciones son equivalentes y
Establece la desigualdad de dos fracciones

9

En este diagrama de flujo se ha introducido un nuevo símbolo:

que corresponde también a un símbolo de lectura o escritura.

2.4 RELACION

Es la propiedad que permite comparar los elementos del
conjunto de partida con el conjunto de llegada; para ello se utiliza los
símbolos de relación o expresiones como: =; >; < etc. En los
diagramas anteriores la relación se llama: “mitad de” ; luego la mitad
de 26 es 13; 26 está en el conjunto de partida y 13 en el conjunto
de llegada; en el diagrama sagital; y en el tabular los elementos que
están en el conjunto de partida se colocan en el eje o recta horizontal,
abcisa que también se llama “Variable independiente” y 13 que es la
mitad se coloca en el eje de ordenadas, y se llama variable
dependiente.

Otro ejemplo de diagrama tabular es una lista o tabla de
valores. En el ejemplo gráfico anterior se dijo “mitad de” que
representamos así:

Esta es una expresión
X Y matemática. Así podemos
comprobar que una relación
26 13 se puede expresar de
18 9 diferentes maneras.
30 15
12 6

Con lenguaje coloquial por ejemplo: Caracas “es capital de”
Venezuela, con listas de valores, con diagrama sagital y tabular, con
expresiones matemáticas como “ 2x = y”. Con pares ordenados etc.

PAR ORDENADO
2.5
Es el conjunto de dos elementos relacionados entre sí.

Cada uno de los elementos del par ordenado se llama
componente ej. :

Tomamos el diagrama sagital anterior que consta de los
siguientes elementos:

A = {26, 18, 30, 12} = Conjunto de partida
B = {13, 9, 15, 6} = Conjunto de llegada

se formaron pares así:
{ (26, 13), (18, 9), (30, 15), (12, 6) }

En el 1er par ordenado, la 1a componente es 26; la 2da
componente es 13.

La relación o ley de Correspondencia es una regla que nos
permite asociar elementos de un conjunto con los elementos de otro

11

conjunto; en el ejemplo anterior la ley de Correspondencia es “mitad
de”.

2.6 FUNCION

Es una relación que cumple con las siguientes condiciones:
a) Todos los elementos del conjunto de partida tienen imágenes en
el conjunto de llegada.
b) Cada elemento del conjunto de partida tiene una sola imagen en
el conjunto de llegada. Ej.: La relación siguiente es una función
porque cada primer componente aparece una sola vez
g = { (5 , 1), (3 , 4), (1 , 7) }

Para indicar el dominio de una función se utiliza la expresión
general Dg, mientras que el rango o imagen se representa por Rg ó
If. En la función anterior indicamos así:
Dg = { 5, 3, 1 } y el Rg = { 1, 4, 7 }

NOTACIONES EMPLEADAS PARA REPRESENTAR UNA
2.7 FUNCIÓN

F: A B

A B

se lee: “función de A en B” otro tipo es:

y = f (x)

se lee: “y es una función de x”. Esto significa las operaciones que
han de efectuarse sobre un elemento cualquiera x. Así, si la
expresión de la función

y = f (x) es;
y = f (x) = X2

se está estableciendo que todos los elementos del conjunto de partida
deben ser elevados al cuadrado para obtener las imágenes
correspondientes en el conjunto de llegada.

De la misma forma la función:
y= f (x) = x + 3

nos dice que cada elemento del conjunto de partidas debe sumársele
3 para determinar las imágenes correspondientes en el conjunto de
llegada.

A la expresión X, hay que darle un valor de dos. Entonces la
indicamos así:

y= f (2) = 2 + 3 = 5

Asimismo le vamos a dar otros valores a X, y los colocamos dentro
del paréntesis que está después de f.

Así:
X=-4 ; y = f (-4) = -4 + 3 = -1
X=0 ; y = f (x) = 0 + 3 = 3

Esta función representada en diagrama sagital se indica así:

A B
A es el conjunto
2 5 partida B el conjunto

13

-4 -1 de llegada
0 3

y = X+3
Para representarla en pares ordenados se expresa así:
y = { (2, 5), (- 4, - 1), (0, 3) }

Dados los diagramas sagitales:

A B
1 1
2 4
3 9
4 16
(a)

A B
2 1
2
4 1
3
3 1
4
5 1
5
(b)

A B
anciano joven
delgado gordo
morir nacer
frío caliente

(c)
A B
1
2 1
3
4
d)

Determinar la ley de correspondencia que se aplica en cada
caso.

2.8 LEY DE CORRESPONDENCIA

Es una regla que nos permite asociar elementos de un
conjunto con los elementos de otro conjunto.

En la figura anterior la ley de correspondencia para el
diagrama (a) es: X2; esto quiere decir que; f (x) = X2. Entonces,
su ley de correspondencia es: y = f (x) = X2.

Para el diagrama “b” los elementos del conjunto imagen o sea
B, se forman tomando solo una parte de cada elemento;
1 1
fraccionado; así: una parte de cuatro equivale a; y así
x 4
sucesivamente. Expresamos la ley, así:

1
y = f (x) = etc.
x

15

Para el diagrama “c” la ley de correspondencia es : y = “el
antónimo de “.

Para el diagrama “ d ” la ley de correspondencia es:
y = f (x) = X°

Recordemos que X elevado a cero es igual a “1” en todos
los sistemas.

Este diagrama nos permite demostrar que cuando todos los
elementos del conjunto de partida tienen una sola imagen; este tipo
de relación se llama “Relación Constante”. Ejemplo:

A B
5 .6
1 .4
3 .2

El rango es: {4} ya que solo este elemento entra en
relación; es lo mismo decir imagen o decir rango.

2.9 CLASES DE FUNCIONES

- Biyectiva

- Inyectiva

- Sobreyectiva

- De Valor Absoluto

- Función Afín
a) Función Biyectiva

A B
12 6
Ley de Correspondencia
18 9
26 13
x
30 15 Y = f(x) =
2

Esta función es Biyectiva porque cumple con las siguientes
condiciones:

1. Cada elemento del conjunto de llegada es imagen de algún
elemento del conjunto de partida.

2. Cada elemento del conjunto de llegada es imagen de un solo
elemento del conjunto de partida.

a) Función Inyectiva

A B
a1 b1
a2 b2
a3 b3
b4

17

Es la que algunos elementos del conjunto de llegada no son
imagen de ningún elemento del conjunto de partida. Pero de acuerdo
con las condiciones para la función biyectiva, esta función es también
biyectiva.

b) Función Sobreyectiva

A B
18 F
27 S
26 D
1

Cada elemento del conjunto de llegada es imagen de uno o
varios elementos del conjunto de partida.

c) Función de Valor Absoluto

A B
3
-3 3
1
-1 1 Y=|x|

La función de valor absoluto se define como: y = | x|.
Ejemplo. Asignando valores enteros a x investigamos si la función
es biyectiva.

Solución: Tenemos los valores de x a, 3, -3, 1, -1. Podemos
escribir:

X= 3; |x|=x
|3|=3

X=1; |1|=1

X = -3 ; | -3 | = 3

X = -1 ; | -1 | = 1

En el diagrama anterior se puede ver que los elementos 3
y -3 tienen la misma imagen. Esto indica que la función: Y = | x |
no es biyectiva ya que no cumple con la segunda condición de la
definición dada para una función biyectiva.

Pero observamos que los números que están en el conjunto
de partida con signo menos pasan al conjunto de llagada “ positivos ”
porque “ el valor absoluto de un número es siempre positivo ”.

c) Función Afín

Es aquella cuya representación gráfica es un conjunto de
puntos en línea recta.

La función afín tiene la forma general: y = mx + b . A “ m”,
se la llama la pendiente y a “ b ” , el punto de corte con el eje (y).

19

Para dibujar la gráfica de una función afín, basta con localizar
como mínimo dos puntos de la misma en el plano cartesiano.
Ejemplo:

a) Dibujar la gráfica correspondiente a la función: y = 2x – 3
Damos los valores a X E Q para obtener de y.

X Y Puntos en el
plano cartesiano

0 2 . 0 - 3 = -3 P (0, -3)
1 2 . 1 - 3 = -1 P (1, -1)
3 2.3 - 3 = 3 P (3, 3)
2 2.2 - 3 = 1 P (2, 1)

y

3 __ . (3, 3)
2 __

1 __ . (2, 1)
0
-3 -2 -1
-1 __
1
. (1, -1) 3
2 x

-2 __

.
-3 __ (0, -3)

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