Funciones
- 1. Funciones
- 2. Definición • una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).
- 3. Tipos de funciones • Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso. A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?: 1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda. La regla es entonces "elevar al cuadrado": 1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 x --------> x2. Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número". Usualmente se emplean dos notaciones: x --------> x2 o f(x) = x2 . Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9. Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc. Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.
- 4. Ejemplo • Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos • Conjunto X Conjunto Y Ángela 55 Pedro 88 Manuel 62 Adrián 88 Roberto 90 • Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.
- 5. Funciones: • Función Constante Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma: F(x)=a donde a pertenece a los números reales y es una constante.
- 6. Función lineal Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas
- 7. Función Cuadrática Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. El vértice de una parábola se determina por la fórmula:
- 8. Función Logarítmica Una función se llama logarítmica cuando es de la forma y = log a x donde la base a es un número real y positivo pero distinto de 1, puesto que el resultado sería 0. Entonces se dan dos casos: Base mayor que la unidad (a > 1)
- 9. función exponencial La función exponencial ex puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias.
- 10. • VARIABLES DEPENDIENTES Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x. VARIABLES INDEPENDIENTES Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x.
- 11. Codominio • La manera habitual de denotar una función f es: – f: A → B – a → f(a), • donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; e B es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como: – f: Z → N – k → k2, o sencillamente f(k) = k2; – g: V → A – p Inicial de→ p; • si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.