Funciones

Clasificación de funcionesFuncionesProf. Mónica AballayProf. Nieto Alejandro

Funciones algebraicasLas funciones algebraicas pueden ser:Funciones explícitas Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. f(x) = 5x − 2Funciones implícitas Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones. 5x − y − 2 = 0

Funciones polinómicasSon las funciones que vienen definidas por un polinomio.f(x) = a0 + a1 x + a2 x² + a2 x³ +··· + anxnSu dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.Funciones constantesFunciones de 1º gradoFunción afín.Función lineal.Función identidad.Funciones cuadráticasFunciones cúbicasEtc.

Funciones constantesfunción constante: y = k Su gráfica es una recta horizantaly = 3 y = -5

Funciones de 1º gradoFunción afínes del tipo:y = mx + nm es la pendiente de la recta.n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.Ejemplo:y = 2x - 1 X y = 2x-1 0 -11 1

Funciones de 1º grado Función linealLa función lineal es del tipo: y = mx Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.Se llama también función de proporcionalidad directa.Ejemplo: y = 2xX y = 2x0 01 22 43 64 8

Funciones de 1º grado Función identidadEs la del tipo: y = xSu gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Funciones de 2º grado Funciones cuadráticasf(x) = ax² + bx +c Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2cuya gráfica es:

Pasos para representar gráficamente a una función cuadrática Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.1. Vérticex v = − (−4) / 2 = 2 y v = 2² − 4· 2 + 3 = −1 V(2, −1)2. Puntos de corte con el eje OXx² − 4x + 3 = 0 X1 (3, 0) X2 (1, 0)3. Punto de corte con el eje OY (Ordenada al origen)(0, 3)

Funciones de 2º grado La función cúbica Es la de forma a: y = ax3 + bx2 + cx + dEjemplo: y = 2x3 + 3x2 – 12x.Generamos una tabla de valores, graficamos y verificamos el dominio y el recorrido.X –4 –3 –2 –1 0 1 2 3Y –32 9 20 13 0 –7 4 45

Funciones Cuartas Sea la forma polinómica de cuarto grado: y = x4 + ax3 + bx2 + cx + dSu gráfica responde a la siguiente forma

Funciones potenciales de exponente naturalLa siguiente figura muestra la gráfica de varias funciones potenciales de exponente natural

Funciones racionales El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:Por ejemplo: Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:

Una función racional está definida en todo IR excepto en los puntos donde el denominador se anula. En su dominio de definición, las funciones racionales son continuas e indefinidamente derivables.

Funciones de a trozos o por partes Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.Funciones de a trozos o por partes especiales:Funciones en valor absoluto.Función parte entera de x.Función mantisa.Función signoEjemplo:

Funciones de a trozos o por partes Funciones en valor absolutoLas funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4 Representamos la función resultante.EjemploX-3=0 x=3

Función valor absoluto x, si x ≥ 0IxI = x, si x ≤ 0

Funciones de a trozos o por partes Función parte entera de xLa función parte entera de x hace corresponder a cada número real el número entero inmediatamente inferior.

Funciones de a trozos o por partes Función mantisaFunción que hace corresponder a cada número el mismo número menos su parte entera.f(x) = x - E (x)X 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2 f(x) = x - E(x) 0 0.5 0.9 0 0.5 0.9 0

Funciones de a trozos o por partes Función signoFunción signof(x) = sgn(x)

Funciones trascendentes La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.Son del los tipos: Función exponencialFunciones logarítmicasFunciones trigonométricas

Función exponencialLa función exponencial es del tipo:Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia axse llama función exponencial de base a y exponente x.Ejemplo: x y = 2x-3 1/8 -2 1/4 -1 1/2 0 1 1 2 2 4 3 8

Función exponencialMás ejemplos:

Función LogarítmicasSe llama función logarítmica a la función real de variable real : paraLa función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencialen base a.Ejemplo: x Log a X1/8 -3 1/4 -2 ½ -1 1 0 2 1 4 2 8 3

Función LogarítmicasMás ejemplos:x Log1/2 X1/8 3 ¼ 2 1/2 1 1 0 2 −1 4 −2 8 −3

Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí

Funciones TrigonométricasFunción Seno: a sena 0 0 45 0,71 90 1 135 0,71 180 0 225 - 0,71 270 -1 315 - 0,71 360 0

Funciones TrigonométricasFunción Coseno:a cosa 0 1 45 0,71 90 0 135 -0,71 180 -1 225 0,71 270 0 315 0,71 360 1

Funciones TrigonométricasFunción Tangente:a tga 0 0 45 1 90 //// 135 - 1 180 0 225 1 270 //// 315 - 1 360 0

Funciones TrigonométricasFunción Cotangente:a Cotga 0 //// 45 - 1 90 0 135 1 180 //// 225 - 1 270 0 315 //// 360 - 1

Funciones TrigonométricasFunción Secantea seca 0 1 45 1,41 90 //// 135 -1,41 180 -1 225 1,41 270 //// 315 1,41 360 1

Funciones TrigonométricasFunción Cosecante:a Coseca 0 //// 45 1,41 90 1 135 1,41 180 //// 225 - 1,41 270 -1 315 - 1,41 360 ////

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