Funciones booleanas
- 1. Funciones booleanas Hasta ahora hemos visto en qué operaciones se basa el Algebra de Boole y algunas de sus propiedades. Para aprender a trabajar con este nuevo tipo de expresiones booleanas es necesario practicar, por eso se recomienda que se hagan los ejercicios propuestos. Utilizando expresiones booleanas, vamos a definir Funciones booleanas, que son exactamente iguales a las funciones matemáticas a las que estamos habituados pero con la particularidad de que las variables son booleanas y que los valores devueltos por la función también son booleanos, es decir, una función booleana sólo puede tomar los valores ’0’ o ’1’. Para ello hay que tener en mente que trabajaremos con variables booleanas y que por tanto usaremos las operaciones + y . del Algebra de Boole, y que como ya sabemos, nada tienen que ver con las operaciones suma y producto a las que estamos habituados. Por ejemplo, sea la siguiente función booleana de una variable: _ F(a) = a El valor devuelto por la función es el negado de la variable. Como la variable a es booleana, sólo puede tomar los valores ’0’ y ’1’. Los valores que la función F toma son: F (0)=1 F (1)= 0 Vamos a definir una función un poco más compleja, usando dos variables booleanas, a y b: _ F (a, b) = (a + b). b ¿Cuánto vale F (0,0)? , sólo hay que sustituir en la función los valores de a y b por ’0’, obteniéndose: F (0,0) = (0+0).1 = 0.1 = 0
- 2. Fijándonos en esta función tan sencilla, podemos darnos cuenta de varias cosas: 1. Puesto que las variables de entrada a y b, sólo pueden tomar los valores ’0’ y ’1’, hay 4 casos distintos: a) a=0, b=0 b) a=0, b=1 c) a=1, b=0 d) a=1, b=1 y en esos casos F (0,0) = 0 F (0,1) = 0 F (1,0) = 1 Y F (1,1) = 1 Como se puede observar si tenemos una variable obtendremos un solo valor de la función, si tenemos dos variables podemos hacer cuatro combinaciones de las mismas y obtendremos cuatro posible resultados para la función. O sea que si tenemos n variables podemos tener 2n posibles combinaciones y obtendremos la misma cantidad de resultados. Funciones booleanas y tablas de verdad Existen dos maneras de representar una función booleana. Una ya la conocemos, y es utilizando expresiones booleanas, y hemos visto cómo podemos obtener todos los valores de esta función. Existe otra manera de especificar una función booleana y es utilizando las tablas de verdad. En ellas lo que estamos representando es el valor que debe tomar la función cuando las variables de entrada toman todos los valores posibles. Así por ejemplo yo puedo definir una función G de la siguiente manera: a b G 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
- 3. ¿Cuánto vale G si a=0 y b=1? Miramos la tabla y vemos que G vale 1. Esta forma de definir funciones booleanas es muy sencilla. El número de filas de la tabla de verdad depende del número de variables que usemos y es igual al número de combinaciones, o sea n = 2 número de filas = 22 = 4 ¿Cuántas filas tendría la tabla de la verdad de una función con 3 variables? ¿Cuántas la de una con 4 variables? Obtención de una expresión de una función partiendo de una tabla de verdad Cuando trabajamos con circuitos Combinacionales, es muy normal que tengamos una tabla de verdad a partir de la cual tengamos que hallar su expresión booleana. En principio hallaremos la función en su forma canónica, en la cual en todos sus términos aparecen todas las variable las cuales se podran ir simplificando mediante la aplicación de los axiomas y teoremas del algebra de Boole o el teorema de Karnaugh, el cual se explicara posteriormente. Existen dos formas canónicas una primera forma integrada por sumas de productos a los cuales llamaremos Miniterminos, y que por ser una forma canónica, en todos sus términos se encuentran todas sus variables. Un ejemplo de una función de 3 variables, expresada en la primera forma canónica es el siguiente: _ _ _ _ F = a. b. c + a. b. c + a. b. c Podemos observar que está constituida por la suma de tres términos y en cada uno de los términos están todas las variables.
- 4. Para obtener esta forma partiendo de la tabla de la verdad nos fijaremos solo en aquellas combinaciones de variables donde la función resulte en un “1” lógico. Y para cada fila aplicamos la siguiente regla, Si la variable tiene un valor de “0”, escribiremos la variable negada, si tiene un valor de “1” escribiremos la variable sin negar. Para visualizar mejor esta operación hagamos un ejemplo: Dada la siguiente tabla de la verdad de una función de tres variables hallemos la forma canónica expresada en sus Miniterminos. a b c f 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Se puede observar que existen 5 Miniterminos los cuales son aquellos resultados donde la función vale “1”. De acuerdo con lo indicado con anterioridad _ _ _ _ _ _ _ _ _ f = a. b. c + a. b. c + a. b. c + a. b. c + a. b. c La segunda forma canónica está integrada por un producto de sumas, a las cuales llamaremos Maxiterminos y en todos sus términos aparecen todas las variables, negadas o no. Por ejemplo:
- 5. _ _ _ _ _ _ _ f = ( a + b + c ). ( a + b + c ). ( a + b+ c ) Para obtener esta segunda forma partiendo de la tabla de la verdad nos fijaremos solo en aquellas combinaciones de variables donde la función resulte en un “0” lógico. Y para cada fila aplicamos la siguiente regla, Si la variable tiene un valor de “0”, escribiremos la variable sin negar, si tiene un valor de “1” escribiremos la variable negada. Para visualizar mejor esta operación hagamos un ejemplo: Dada la siguiente tabla de la verdad de una función de tres variables hallemos la forma canónica expresada en sus Maxiterminos. a b c f 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Se puede observar que existen 3 Maxiterminos los cuales son aquellos resultados donde la función vale “0”. De acuerdo con lo indicado con anterioridad _ _ _ _ _ _ f = ( a + b + c ) . ( a + b + c) . ( a + b + c )
- 6. Si queremos dibujar el circuito lógico de la función debemos utilizar para el caso de los Miniterminos compuertas NOT, compuertas AND y al final una compuerta OR. Si queremos dibujar el circuito lógico de la función debemos utilizar para el caso de los Maxiterminos compuertas NOT, compuertas OR y al final una compuerta AND.