Funciones de Producción (Microeconomía UNAB)

Universidad Nacional Andrés Bello
Facultad de Economía y Negocios
Microeconomía Avanzada
Prof: C. Belmar
Funciones de Producción
Ayudante: Mauricio Vargas
15 de septiembre de 2013
1. Funciones de producción
La producción de un bien se realiza con factores productivos y conocimientos tecnológicos. La función de
producción representa la combinación de factores y conocimientos para producir el bien. Incluye un concepto
de optimalidad y eficiencia en el sentido que representa la máxima cantidad del bien que se puede producir
con una determinada combinación de factores. Está definida para un determinado tiempo y para un nivel del
“estado de las artes”.
Generalizando los diversos factores que intervienen en la producción del bien en capital (K) y trabajo (L), una
función de producción se puede expresar matemáticamente como
Q = f (K, L)
en donde Q representa el nivel de producto y f la función, el conocimiento técnico-productivo.
Si el estado de las artes mejora (cambio tecnológico), con la misma dotación de factores es posible producir un
mayor nivel de producto.
En el plano K, L, para cada nivel de producto, la función define una línea, convexa al orígen, que se denomina
isocuanta o isoproducto.
Una isocuanta se define como la curva que representa las diferentes combinaciones de capital y trabajo
(factores) para producir un determinado nivel de producto.
L
K
Q1
Q2
Q3
El gráfico representa el mapa de isocuantas de una determinada función de producción.
En condición de rentabilidad económica, la pendiente de la isocuanta debe ser negativa por cuanto, existiendo
sólo 2 factores, la única forma de mantener el nivel de producto es disminuyendo uno de los factores, es
aumentando el otro. Una pendiente positiva de una isocuanta no respetaría la definición pues, con una
pendiente positiva, la función no estaria definiendo el “máximo nivel de producto”.
1

Diferenciando la función de producción se obtiene
dQ =
∂Q
∂K
dK +
∂Q
∂L
dL
en una isocuanta dQ = 0 luego, la pendiente de una isocuanta en un punto cualquiera será:
dK
dL
= −
∂Q/∂L
∂Q/∂K
o también
dK
dL
= −
PMд(L)
PMд(K)
Se denomina tasa marginal de sustitución técnica a la pendiente con signo positivo
TMSTK,L =
PMд(L)
PMд(K)
La pendiente de la isocuanta define la valoración marginal del capital con respecto al trabajo que tiene una
firma en producción. Representa cuantas unidades de capital esta dispuesta a intercambiar por una unidad de
trabajo para producir una misma cantidad del bien.
En competencia perfecta, si la valoración marginal del capital con respecto al trabajo que tiene la firma, es
mayor que la existente en el mercado (determinada por el mercado) entonces, la firma cambiará la razon de uso
de sus factores contratando más capital, y disminuyendo trabajo, hasta que ambas valoraciones sean iguales.
Dado que, en general, no se observa especialización en la utilización de factores por parte de las firmas, ello
sugiere isocuantas convexas al origen.
En el plano K, L, para cada nivel de capital, la función define una línea de producto total del factor trabajo.
Q
K
A
B
0
El grafico presenta la curva de producto total para distintos niveles de utilización del capital (para el factor
trabajo es análogo).
Si se define Q/L como el producto medio del trabajo y ∂Q/∂L como el producto marginal del trabajo, para un
punto cualquiera Z, la pendiente 0Z representa el producto medio y la tangente a la curva en Z representa el
producto marginal.
En este sentido la curva de producto total presenta tres zonas bien diferenciadas:
1. De 0 a A: El producto medio es creciente y el producto marginal es mayor que el producto medio.
2

2. De A a B: El producto medio y el producto marginal son decrecientes, pero el producto marginal es
menor que el producto medio.
3. De B en adelante: El producto marginal es negativo y el producto medio es decreciente.
La zona 0A se llama de retornos crecietes al factor y la zona AB, de retornos decrecientes al factor.
1.1. Conceptos relacionados
Se llama isoclina a la línea que une los puntos de las isocuantas que presentan igual inclinación (igual tasa
marginal de sustitución técnica)
L
K
Existirá una isoclina para cada pendiente.
Se llama senda de expansión a la isoclina correspondiente a la razón de precios de los factores determinada por
el mercado. Si definimos w como el precio del trabajo y r como el precio del capital, la isoclina correspondiente
a la pendiente de las isocuantas es la senda de expansión. Matemáticamente esto es
∂Q/∂L
∂Q/∂K
=
w
r
L
K
w
r
Una firma competitiva que esta aumentando su producción se moverá contratando factores a lo largo de la
línea de expansión.
Se llama curva de escala a la recta que une puntos de igual razón de uso de factores.
3

L
K
L
K
A lo largo de una curva de escala las pendientes de las isocuantas no son necesariamente iguales.
En el plano K, L en que no sólo aumenta K sino que también aumenta L en la misma proporción que K, las
curvas de escala pueden ser de tres tipos:
L
K
A
B
C
1. A → Retornos constantes a escala: Lo que implica que ante un cambio proporcional en el uso de todos
los factores, el producto aumenta en la misma proporción.
2. B → Retornos decrecientes a escala: El producto aumenta en una proporción menos al aumento de todos
los factores.
3. C → Retornos crecientes a escala: El producto aumenta en una proporción mayor al aumento de todos
los factores.
Relacionado con el concepto de retorno a escala se encuentra el concepto de homogeneidad.
Una función de producción es homogénea de grado n si amplicando todos los factores productivos por un
mismo valor, el producto se incrementa en dicho valor elevado a n.
Si Q = f (K, L) es homogénea de grado n, entonces f (λK, λL) = λn
Q para cualquier λ positivo.
Relacionando con los retornos a escala:
1. Si n = 1 se trata de una función con retornos constantes a escala.
2. Si n < 1 existen retornos decrecientes a escala.
3. Si n > 1 existen retornos crecientes a escala.
Es preciso señalar que las funciones homogéneas son caso especial dentro de las funciones. Una función puede
no ser homogénea pero presentar retornos de escala constantes, crecientes o decrecientes.
4

1.2. Ecuación de Euler
En adelante asumiremos que la función de producción es una función de producción Cobb-Douglas:
Q = A ⋅ (Kα
Lβ
)
en donde A representa una constante positiva y α y β dan cuenta de las proporciones de uso de los factores
(esto se retomará más adelante). También se asumirá que α + β = 1, lo que da lugar a una función homogénea
de grado 1.
Tengamos presente que para esta función se producción se tiene lo siguiente cuando L = 1:
Q = f (K, 1) = A ⋅ Kα
por lo que cuando el factor L (o el factor K) tienen valor 1 se puede expresar la función de producción como
f (K) o f (L) respectivamente.
Tomando λ = 1/L
f (
K
L
, 1) =
Q
Ln
Ln
f (
K
L
) = Q
El producto marginal del capital será
∂Q
∂K
= Ln
⋅ f ′
(
K
L
) ⋅
1
L
= Ln−1
⋅ f ′
(
K
L
)
El producto marginal del trabajo será
∂Q
∂L
= nLn−1
⋅ f (
K
L
) − Ln
⋅ f (
K
L
) ⋅
K
L2
= nLn−1
⋅ f (
K
L
) −
K
L
⋅ Ln−1
⋅ f (
K
L
)
Multiplicando los productos marginales por la cantidad de factores se tiene:
∂Q
∂K
⋅ K +
∂Q
∂L
⋅ L =
K
L
⋅ Ln
⋅ f (
K
L
) + nLn
⋅ f (
K
L
) −
K
L
⋅ Ln
⋅ f (
K
L
)
= nLn
⋅ f (
K
L
)
= nQ
Esta se conoce como ecuación general de Euler, que para una función homogénea de grado 1 se convierte en
∂Q
∂K
⋅ K +
∂Q
∂L
⋅ L = Q
y este resultado se conoce como ecuación de Euler.
Haciendo la razón de productos marginales se obtiene:
∂Q/∂L
∂Q/∂K
=
n ⋅ f (K
L
)
f ′ (K
L
)
−
K
L
5

Siendo f y f ′
funciones de K/L (por ser f homogénea), entonces la tasa marginal de sustitución técnica
depende sólo de la razón de uso de los factores. Esta condición implica que a lo largo de la curva de escala
(igual razón de uso) las rectas tangentes a las isocuantas son iguales. Es decir la curva de escala y la senda de
expansión coinciden.
Además, en el caso de una función homogénea de grado 1
Q
K
= f ′
(
K
L
)
∂Q
∂L
= f (
K
L
) −
K
L
⋅ f ′
(
K
L
)
Ambos productos marginales dependen sólo de la razon de uso de las factores. Esto quiere decir que a lo largo
de una curva de escala los productos marginales son constantes.
2. Elasticidad de producción
La elasticidad parcial de producción mide el cambio porcentual en la cantidad producida ante un cambio
porcentual en uno de los factores manteniendo el resto constante. Matemáticamente corresponde a:
εQ,K =
∆Q/Q
∆K/K
=
∆Q
∆K
⋅
K
Q
=
∂Q
∂K
⋅
K
Q
=
PMд(K)
PMe(K)
εQ,L =
∆Q/Q
∆L/L
=
∆Q
∆L
⋅
L
Q
=
∂Q
∂L
⋅
L
Q
=
PMд(L)
PMe(L)
La elasticidad total de producción indica el cambio porcentual en la cantidad producida ante un cambio
porcentual igual en todos los factores. Matemáticamente corresponde a:
ET =
∆Q/Q
m
con m = ∆K/K = ∆L/L.
2.1. Relaciones entre elasticidad total y elasticidades parciales de producción
Diferenciando totalmente la función de producción:
dQ =
∂Q
∂K
dK +
∂Q
∂L
dL
dividiendo por Q y completando las elasticidades:
dQ
Q
=
∂Q
∂K
⋅
K
Q
dK
K
+
∂Q
∂L
⋅
L
Q
dL
L
dQ/Q
m
=
∂Q
∂K
⋅
K
Q
+
∂Q
∂L
⋅
L
Q
εT = εQ,K + εQ,L
La elasticidad total es la suma de las elasticidades parciales. Esta es otra forma de presentar la ecuación de
Euler. Multiplicando la ecuación anterior por Q se tiene,
ET Q =
∂Q
∂K
⋅ K +
∂Q
∂K
⋅ L = nQ
Si la función de producción es homogénea de grado n, la elasticidad total representa el grado de homogeneidad.
6

1. Si ET = 1 se tienen retornos constantes a escala.
2. Si ET > 1 se tienen retornos crecientes a escala.
3. Si ET < 1 se tienen retornos decrecientes a escala.
3. Relación entre isocuantas, producto total, medio y marginal para una fun-
ción homogénea de grado 1
La ecuación de Euler establece:
Q =
∂Q
∂K
⋅ K +
∂Q
∂L
⋅ L
dividiendo por L
Q
L
=
∂Q
∂K
⋅
K
L
+
∂Q
∂L
PMe(L) = PMд(K) ⋅
K
L
+ PMд(L)
Se tienen tres casos:
1. Si PMд(K) > 0 entonces PMe(L) > PMд(L)
2. Si PMд(K) = 0 entonces PMe(L) = PMд(L)
3. Si PMд(K) < 0 entonces PMe(L) < PMд(L)
Además:
Q = L ⋅
Q
L
Q = L ⋅ PMe(L)
derivando con respecto a L
∂Q
∂L
= PMe(L) + L ⋅
∂PMe(L)
∂L
es decir,
PMд(L) = PMe(L) + L ⋅
∂PMe(L)
∂L
Nuevamente se tienen tres casos:
1. Si PMe(L) es creciente: PMд(L) > PMe(L) y ∂PMд(L)/∂L > 0
2. Si PMe(L) es decreciente: PMд(L) < PMe(L) y ∂PMд(L)/∂L < 0
3. Si PMe(L) es máxima: PMд(L) = PMe(L) y ∂PMд(L)/∂L = 0
7

Estas conclusiones se pueden representar en graficos para relacionar isocuantas con curvas de producto total,
medio y marginal.
8

PMe , PMд
K
PMд(K)
PMe(K)
Q
K
L
K
A
B
L0
0
9

En la zona 0A, el producto medio del trabajo es creciente y el producto marginal del trabajo es mayor que el
producto medio. Ello implica que el producto marginal del capital es negativo y en consecuencia la pendiente
de la isocuanta es positiva.
En la zona AB el producto medio del trabajo es decreciente y el producto marginal del trabajo es menor que el
producto medio. El producto marginal del capital es positivo y la pendiente de la isocuanta es negativa.
La tabla siguiente resume las posibilidades:
PMe(L) PMд(L) PMe(K) PMд(K) Pendiente isocuanta
Área 0A > 0 > PMe(L) decreciente < 0 > 0
creciente > PMд(K) < PMд(K)
Punto A máximo = PMe(L) > PMe(K) = 0 = 0
Área AB > 0 < PMe(L) > 0 < PMe(K) < 0
decreciente decreciente decreciente decreciente
Punto B > PMд(L) = 0 máximo = PMe(K) = ∞
Área BC decreciente < 0 > 0 > PMe(K) > 0
> PMд(L) < PMe(L) creciente
Usando la característica de una función homogénea de grado 1 de que tanto los productos marginales como
los producto medios dependen sólo de la razon de uso, el cuadro se puede representar en un gráfico de doble
entrada.
PMe(L) , PMд(L)
K
PMe(K) , PMд(K)
L
I II III
PMe(L) PMe(K)
PMд(L)PMд(K)
En la zona I el producto marginal del capital es negativo y en consecuencia ninguna firma en competencia
estará maximizando en esa zona, pues lo que el capital marginal está aportando es negativo y si dicho factor
tiene un precio positivo en el mercado, ninguna firma estará dispuesta a pagar por esa unidad marginal del
capital que solo traería perjuicios.
Lo mismo sucede con el trabajo en la zona III.
En consecuencia la única zona de producción compatible con una firma en competencia perfecta es la zona II
en donde ambos productos marginales son positivos pero decrecientes. Es decir, una firma en competencia
perfecta trabaja sólo en la zona de rendimientos decrecientes al factor. Sin embargo, para un monopolio que
tiene un factor fijo, puede ser compatible trabajar en la zona de rendimientos crecientes de un factor.
Estas conclusiones derivadas de la zona II han sido comprobadas empíricamente y se conocen como la “ley de
los rendimientos decrecientes” o “ley de las proporciones variables”. Sin embargo esto último se cumple en
muchos casos empíricos pero no es una generalidad, los rendimientos dependen de la tecnología. Recordemos
10

que la tecnología o función de producción (son conceptos equivalentes) dependen del estado de las artes, es
decir, ante una mejora en el conocimiento o ante los avances científicos habrá una mejora en los procesos
productivos por lo que un aumento del uso de un factor no necesariamente se vuelve más ineficiente en la
medida que agregamos sucesivas unidades de dicho factor a la producción.
3.1. Relación entre productos marginales
En la zona II se puede observar que al aumentar la razon de uso de L/K (o aumentar) L, el producto marginal
del trabajo disminuye mientras que el producto marginal del capital aumenta, aun cuando puede no haber
variado la contratación del factor capital.
Utilizando la ecuación de Euler para una función homogénea de grado 1 se tiene:
Q =
∂Q
∂K
⋅ K +
∂Q
∂L
⋅ L
Derivando con respecto a L
∂Q
∂L
=
∂
∂L
(
∂
∂K
f (K, L)) ⋅ K +
∂
∂L
(
∂
∂L
f (K, L)) ⋅ L +
∂
∂L
f (K, L)
∂
∂L
f (K, L) =
∂
∂L
(
∂
∂K
f (K, L)) ⋅ K +
∂
∂L
(
∂
∂L
f (K, L)) ⋅ L +
∂
∂L
f (K, L)
∂
∂L
(
∂
∂L
f (K, L)) = −
K
L
⋅
∂
∂L
(
∂
∂K
f (K, L))
Derivando con respecto a K
∂Q
∂K
=
∂
∂K
(
∂
∂K
f (K, L)) ⋅ K +
∂
∂K
f (K, L) +
∂
∂K
(
∂
∂L
f (K, L)) ⋅ L
∂
∂K
f (K, L) =
∂
∂K
(
∂
∂K
f (K, L)) ⋅ K +
∂
∂K
f (K, L) +
∂
∂K
(
∂
∂L
f (K, L)) ⋅ L
∂
∂K
(
∂
∂K
f (K, L)) = −
L
K
⋅
∂
∂L
(
∂
∂K
f (K, L))
Ojo con la notación. Las segundas derivadas operan de derecha a izquierda. Es decir,
∂
∂L
(
∂
∂K
f (K, L))
signfica que primero se deriva f con respecto a K y luego dicho resultado se deriva con respecto a L.
PMд(K)
L
∂
∂L PMд(K0)
PMд(L)
K
∂
∂K PMд(L0)
L0 L1 K0 K1
11

La segunda derivada
∂
∂L
(
∂
∂L
f (K, L))
es la pendiente (negativa) de la curva de producto marginal del trabajo, en consecuencia
∂
∂L
(
∂
∂K
f (K, L)) ,
que es el cambio en la productividad marginal del capital ante un aumento del factor trabajo, debe ser positivo.
Esto quiere decir que ante un aumento del factor trabajo, el producto marginal del capital aumenta.
4. Elasticidad de sustitución
Se define como un cambio porcentual en la razón de uso de factores ante un cambio porcentual es la razón de
productos marginales de dichos factores. Matemáticamente
σK,L =
∂(K/L)
∂(PMд(L)/PMд(K))
⋅
PMд(L)/PMд(K)
K/L
y esto nos lleva a las siguientes formas equivalentes para expresar la elasticidad de sustitución:
σK,L =
∂(K/L)
∂TMSTK,L
⋅
TMSTK,L
(K/L)
=
∆(K/L)
∆TMSTK,L
⋅
TMSTK,L
(K/L)
=
∆(K/L)
(K/L)
⋅
TMSTK,L
∆TMSTK,L
=
∆ %(K/L)
∆ %TMSTK,L
Definida de esta última forma la elasticidad de sustitución tiene valor no negativo.
La elasticidad de sustitución está relacionada con la curvatura de la isocuanta. Un mismo cambio porcentual
en la razón de productividades marginales inducirá a un mayor cambio en la razón de uso mientras menos
curvada sea la isocuanta.
L
K
L
K
En el gráfico se presenta un mismo cambio porcentual en la razón de productos marginales, para dos isocuantas
de diferente curvatura. En el gráfico del lado izquierdo se trata de un cambio mayor en la razón de uso de
12

factores que en el gráfico del lado derecho. Esto implica que la elasticidad de sustitución de la función de
producción graficada en el lado izquierdo es mayor que la graficada en el lado derecho.
Los casos extremos son:
1. Tecnología de sustitución perfecta: La isocuanta corresponde a líneas rectas y la elasticidad de sustitución
es σK,L = ∞.
2. Tecnología de proporciones fijas: La isocuanta corresponde a ángulos rectos y la elasticidad de sustitución
es σK,L = 0.
Dado que una firma en competencia iguala a la tasa marginal de sustitución técnica (razón de productos
marginales) a la razón de precios de los factores que determina el mercado,
∂ f (K, L)/∂L
∂ f (K, L)/∂K
=
PMд(L)
PMд(K)
=
w
r
entonces la elasticidad de sustitución representará cambios en la relación de ingresos de los factores
Relación de ingreso de los factores =
wL
rK
Si σK,L = 1, la razón se mantiene constante pues un aumento de w/r provoca una disminución de L/K en la
misma proporción.
Si σK,L = 0, la razón aumenta cuando hay un aumento de w/r por lo que no hay sustitución y en consecuencia
L/K no cambia.
Si σK,L = ∞, la razón tiende a 0 debido a que se sustituye enteramente el capital ante un aumento en el precio
relativo de este.
5. Función Cobb-Douglas
Se define como
f (K, L) = A ⋅ (Kα
Lβ
)
donde A es una constante positiva y α, β ∈ (0, 1).
Características:
1. Homogénea de grado α + β
f (λK, λL) = A ⋅ [(λK)α
(λL)β
] = λα+β
[A ⋅ (Kα
Lβ
)] = λα+β
f (K, L)
2. Productos marginales positivos y decrecientes
∂
∂K
f (K, L) = Aα ⋅ Kα−1
Lβ
> 0
∂2
∂K2
f (K, L) = Aα(α − 1) ⋅ Kα−2
Lβ
< 0
∂
∂L
f (K, L) = Aβ ⋅ Kα
Lβ−1
> 0
∂2
∂L2
f (K, L) = Aβ(β − 1) ⋅ Kα
Lβ−2
< 0
13

3. Productos medios positivos y decrecientes
Q
K
= A ⋅ (Kα−1
Lβ
) > 0
∂Q/K
∂K
= A(α − 1) ⋅ (Kα−2
Lβ
) < 0
Q
L
= A ⋅ (Kα
Lβ−1
) > 0
∂Q/K
∂L
= A(β − 1) ⋅ (Kα
Lβ−2
) < 0
4. Dadas las características de los productos medios y marginales, la función Cobb-Douglas con α, β ∈ (0, 1)
existe sólo en la zona II.
5. La elasticidad de sustitución es igual a 1.
Una forma de obtener la elasticidad de sustitución es a partir de la TMSTK,L. Se obtiene de la siguiente
forma:
TMSTK,L =
PMд(L)
PMд(K)
=
AβLβ−1
Kα
AαLβKα−1
=
βK
αL
⇒
K
L
=
α
β
TMSTK,L /
∂
∂TMSTK,L
∂K
L
∂TMSTK,L
=
α
β
/
TMSTK,L
K
L
σK,L =
α
β
TMSTK,L
K
L
σK,L =
α
β
β
α
K
L
K
L
σK,L = 1
6. Los coeficientes α y β corresponden a las participaciones porcentuales del capital y trabajo en el producto
total.
Sean SK y SL las participaciones porcentuales del capital y trabajo en el producto total respectivamente.
SK =
K ⋅ VPMд(K)
Qr
=
K ⋅ (PMд(K) ⋅ P)
Qr
=
K ⋅ (
∂ f (K,L)
∂K ⋅ r)
Qr
=
K
Q
⋅
∂ f (K, L)
∂K
VPMд(K) es el valor del producto marginal del capital que en competencia perfecta es lo que está
dispuesto a pagar la firma por dicho factor.
Ahora reemplazamos el valor de la productividad marginal:
SK =
K
Q
⋅ Aα ⋅ (Kα−1
Lβ
) =
K
Q
⋅
α
K
⋅ A(Kα
Lβ
) =
K
Q
⋅
α
K
⋅ f (K, L) =
K
Q
⋅
α
K
⋅ Q = α
14

Análogamente,
SL =
L ⋅ VPMд(L)
Qw
=
L ⋅ (PMд(L) ⋅ P)
Qw
=
L ⋅ (
∂ f (K,L)
∂L ⋅ w)
Qw
=
L
Q
⋅
∂ f (K, L)
∂L
SL =
L
Q
⋅ Aα ⋅ (Kα
Lβ−1
) =
L
Q
⋅
β
L
⋅ A(Kα
Lβ
) =
L
Q
⋅
β
L
⋅ f (K, L) =
L
Q
⋅
β
L
⋅ Q = β
ambas participaciones son constantes.
6. Función Leontief
Corresponde a la tecnología de proporciones fijas. Se define como
f (K, L) = m´ın{
K
α
,
L
β
}
en donde α es el número de unidades de capital requeridas para producir una unidad de producto y β es el
número de unidades de trabajo requeridas para producir una unidad de producto.
α y β no necesariamente son constantes a medida que aumenta la escala de producción. El caso de 1 chofer / 1
camión, puede variar a 9 choferes / 10 camiones si se requiere que en un 10% del tiempo un camión permanezca
en mantención.
15

L
K
L0
K0
PMд(K)
K
K0
1
α
A
PMe(K)
K
K0
1
α
El producto marginal del capital entre los puntos L0 y A para K0 unidades de capital será constante e igual a
1/α, pues por cada α unidades de capital se aumenta la producción en una unidad.
Desde el punto A en adelante la productividad marginal del capital se hace cero para las K0 unidades de trabajo.
El producto medio del trabajo es constante hasta la contratación de K0 unidades y en adelante empieza a
disminuir.
La razón de estos comportamientos es que para unidades de capital menores que K0 existe un exceso de
unidades de trabajo y la productividad marginal de este es nula. Para unidades de capital mayores que K0 existe
un exceso de unidades de trabajo para las L0 unidades de trabajo y en consecuencia la productividad marginal
del trabajo es nula.
16

7. Función de elasticidad de sustitución constante (CES)
Se define como
f (K, L) = A(αKρ
+ (1 − α)Lρ
)v/ρ
donde A es una constante positiva y α ∈ (0, 1) y ρ < 1.
Características:
1. Homogénea de grado v
f (λK, λL) = A(α(λK)ρ
+ (1 − α)(λL)ρ
)v/ρ
= A(αλρ
Kρ
+ (1 − α)λρ
Lρ
)v/ρ
= A(λρ
[αKρ
+ (1 − α)Lρ
])v/ρ
= A(λρ
)v/ρ
(αKρ
+ (1 − α)Lρ
)v/ρ
= λv
⋅ A(αKρ
+ (1 − α)Lρ
)v/ρ
= λv
f (K, L)
2. Productos marginales positivos
∂
∂K
f (K, L) =
Av
ρ
⋅ (αKα
+ (1 − α)Lβ
)(v/ρ)−1
⋅ (αρKρ−1
)
=
Av
ρ
⋅
(αKα
+ (1 − α)Lβ
)v/ρ
(αKα + (1 − α)Lβ)
⋅ (αρKρ−1
)
=
v(αρKρ−1
)
ρ
⋅
A(αKα
+ (1 − α)Lβ
)v/ρ
(αKα + (1 − α)Lβ)
=
v(αKρ−1
)
(αKα + (1 − α)Lβ)
⋅ f (K, L)
=
v(αKρ−1
)
(αKα + (1 − α)Lβ)
⋅ Q
= Kρ−1
⋅ Q1−(ρ/v)
(Aρ/v
⋅ vα) > 0
∂
∂L
f (K, L) =
Av
ρ
⋅ (αKα
+ (1 − α)Lβ
)(v/ρ)−1
⋅ (βρLρ−1
)
=
Av
ρ
⋅
(αKα
+ (1 − α)Lβ
)v/ρ
(αKα + (1 − α)Lβ)
⋅ (βρLρ−1
)
=
v(βρLρ−1
)
ρ
⋅
A(αKα
+ (1 − α)Lβ
)v/ρ
(αKα + (1 − α)Lβ)
=
v(αLρ−1
)
(αKα + (1 − α)Lβ)
⋅ f (K, L)
=
v(αLρ−1
)
(αKα + (1 − α)Lβ)
⋅ Q
= Lρ−1
⋅ Q1−(ρ/v)
(Aρ/v
⋅ v[1 − α]) > 0
17

El hecho de que el producto marginal sea creciente o decreciente dependerá del valor del parámetro v, si
este es menor a 1 entonces el producto marginal es decreciente. Se tiene lo siguiente:
∂2
∂K2
f (K, L) = (ρ − 1)Kρ−2
⋅ Q1−(ρ/v)
(Aρ/v
⋅ vα)
∂2
∂L2
f (K, L) = (ρ − 1)Lρ−1
⋅ Q1−(ρ/v)
(Aρ/v
⋅ v[1 − α])
3. Elasticidad de sustitución igual a 1/(1 − ρ)
TMSTK,L =
α
1 − α
⋅ (
K
L
)
ρ−1
1 − α
α
⋅ TMSTK,L = (
K
L
)
ρ−1
⇒
K
L
= (
1 − α
α
⋅ TMSTK,L)
1
ρ−1
/
∂
∂TMSTK,L
∂ ( L
K
)
∂TMSTK,L
=
1
ρ − 1
⋅ (
1 − α
α
⋅ TMSTK,L)
1
ρ−1
−1
⋅
1 − α
α
∂ ( L
K
)
∂TMSTK,L
=
1
ρ − 1
⋅ TMST
1
ρ−1
−1
K,L ⋅ (
1 − α
α
)
1
ρ−1
/
TMSTK,L
K
L
∂ ( L
K
)
∂TMSTK,L
⋅
TMSTK,L
L
K
=
1
ρ − 1
⋅
TMST
1
ρ−1
K,L
L
K
⋅ (
1 − α
α
)
1
ρ−1
σK,L =
1
ρ − 1
⋅
[ α
1−α ⋅ (K
L
)
ρ−1
]
1
ρ−1
L
K
⋅ (
1 − α
α
)
1
ρ−1
σK,L =
1
ρ − 1
⋅
L
K ⋅ (1−α
α
)
1
ρ−1
L
K ⋅ (1−α
α
)
1
ρ−1
σK,L =
1
ρ − 1
Si ρ → 1 entonces σK,L → ∞ lo cual corresponde al caso en que existe perfecta sustitución entre factores
(las isocuantas corresponden a líneas rectas).
Si ρ → 0 entonces σK,L → 1 lo cual corresponde al caso en que existe posibilidad de sustitución entre
factores (las isocuantas corresponden a las curvas tradicionales tipo Cobb-Douglas).
Si ρ → −∞ entonces σK,L → 0 lo cual corresponde al caso en que no existe sustitución entre factores (las
isocuantas corresponden a ángulos rectos tipo Leontief).
4. Si ρ → 0 a partir de la CES se obtiene una función Cobb-Douglas.
l´ım
ρ→0
exp[ln(αKρ
+ (1 − α)Lρ
)1/ρ
]
18

podemos aplicar L’Hopital sobre el exponente, entonces
l´ım
ρ→0
ln(αKρ
+ (1 − α)Lρ
)1/ρ
ρ
= l´ım
ρ→0
αKρ
ln(K) + (1 − α)Lρ
ln(L)
αKρ + (1 − α)Lρ
= l´ım
ρ→0
αKρ
ln(K) + (1 − α)Lρ
ln(L)
= α ln(K) + (1 − α)ln(L)
= ln(Kα
L1−α
)
entonces aplicando la función exponencial sobre el resultado se obtiene f (K, L) = Kα
L1−α
.
5. Si ρ → 1 a partir de la CES se obtiene una función de sustitutos perfectos (tecnología lineal).
f (K, L) = (αK1
+ (1 − α)L1
)1/1
= αK + (1 − α)L
6. Si ρ → −∞ a partir de la CES se obtiene una función de proporciones fijas (tecnología Leontief).
l´ım
ρ→−∞
exp[ln(αKρ
+ (1 − α)Lρ
)1/ρ
]
podemos aplicar L’Hopital sobre el exponente, entonces
l´ım
ρ→−∞
ln(αKρ
+ (1 − α)Lρ
)1/ρ
ρ
= l´ım
ρ→−∞
αKρ
ln(K) + (1 − α)Lρ
ln(L)
αKρ + (1 − α)Lρ
Sea K < L y dividiendo el numerador y el denominador por Kρ
llegamos a
l´ım
ρ→−∞
α ln(K) + (1 − α)(L/K)ρ
ln(L)
α + (1 − α)(L/K)ρ
= ln(K)
luego, si reemplazamos en f tenemos que
f (K, L) = exp[ln(K)] = K = m´ın{K, L}
8. Relación entre funciones de producción y el problema económico
El problema económico de asignar o utilizar recursos escasos de la mejor forma posible tiene dos enfoques:
Minimización de costos y maximización de beneficios.
8.1. Función de costos
El costo total de una firma en competencia está determinado por la ausencia o presencia de costos fijos, la
cantidad de factores empleados y el precio de estos. Sin embargo, la cantidad de factores usados va a estar
determinada por el nivel de producción y condiciones de optimalidad en la contratación de factores por parte
de la firma. En consecuencia, es posible expresar el costo total de producción en función de otras variables
diferentes de las cantidades de factores usados.
19

Matemáticamente se tienen las siguientes ecuaciones:
Q = f (K, L) función de producción
C(Q) = rK + wL función de costo
r =
∂
∂K
f (K, L) ⋅ P = VPMд(K) condición de maximización en la contratación de capital
w =
∂
∂L
f (K, L) ⋅ P = VPMд(L) condición de maximización en la contratación de trabajo
Este sistema presenta 4 ecuaciones con 7 incógnitas: (Q, C(Q), K, L, r, w, P) de las cuales P corresponde
al precio de venta de lo que se elabora. En consecuencia, es posible eliminar 3 incógnitas y dejar el sistema
reducido a una ecuación con 4 variables. Si tomamos las variables (CT, Q, w, r) (w y r son parámetros dados y
no se eligen) se estará en presencia de lo que se denomina función de costo total indirecta para diferenciarla
de la función de costo total (directa) ya indicada.
La función de costo indirecta
CI(Q) = C(Q, w, r)
proviene de resolver el siguiente problema:
m´ın
K,L
C(Q) = rK + wL
s.a f (K, L) = Q
es decir, proviene del problema de encontrar el mínimo costo asociado a un nivel de producción fijo.
Veamos un ejemplo: Sea Q = 4K1/4
L3/4
la función de producción (nótese que es homogénea de grado 1). Las
ecuaciones de maximización en la contratación de factores serán
w =
3
4
K1/4
L−1/4
r =
1
4
K−3/4
L3/4
dividiendo estas ecuaciones se elimina P
w
r
= 3
K
L
reordenando queda:
wL = 3rK
reemplazando en la función de costo directo:
C(Q) = rK + 3rK = 4rK
de donde K =
C(Q)
4r del mismo modo:
L =
3
4
⋅
C(Q)
w
Reemplazando los valores de K y L en la función de producción se tiene:
Q = 4
[C(Q)]1/4
41/4r1/4
⋅
33/4
43/4
⋅
[C(Q)]3/4
w3/4
= 33/4 C(Q)
r1/4w3/4
despejando la función de costo total (indirecto)
CI(Q) =
1
33/4
Qr1/4
w3/4
Las ventajas de esta expresión del costo son:
20

1. Puede ser estimada econométricamente pues las variables que se explicitan son las observadas en la
firma y en consecuencia a través de esta función de costo puede obtenerse la función de producción no
observada, que la genera.
2. Se puede obtener fácilmente el costo marginal derivando directamente con respecto al nivel de producto.
3. Derivando con respecto a los precios de los factores se obtienen directamente las demandas condicionadas
por factores.
8.2. Función de beneficios
Los beneficios de la firma dependen de los precios de los insumos que utiliza y del precio de venta de lo que
produce. Se define:
π(Q) = pQ − rK − wL
Luego, nos interesa maximizar el valor de esta función y el problema de maximización de beneficios de la firma
corresponde a:
m´ax
Q,K,L
π(Q) = pQ − rK − wL
s.a f (K, L) ≥ Q
Sin embargo, debemos ser cuidadosos a la momento de resolver este problema. Una condición que puede
parecer inocente es que primero la función de beneficios debe tener un valor máximo. Por obvio que parezca
veamos porqué se explicita esta condición:
Digamos que la función de producción presenta retornos crecientes a escala y que además es homogénea de
grado mayor a 1. Supongamos que (K, L) y Q = f (K, L) corresponden a una combinación de insumos y un
nivel de producción respectivamente que maximizan beneficios a precio p y costos unitarios del factor r y w
respectivamente.
Si la función es homogénea de grado mayor a 1:
f (λK, λL) = λk
f (K, L), λ > 1
f (λK, λL) > λ f (K, L)
p ⋅ f (λK, λL) > p ⋅ λ f (K, L)
f (λK, λL) − r(λK) − w(λL) > λ f (K, L) − r(λK) − w(λL)
f (λK, λL) − r(λK) − w(λL) > λ (f (K, L) − rK − wL)
f (λK, λL) − r(λK) − w(λL) > f (K, L) − rK − wL
Esto nos dice que si aumenta el nivel de producción, entonces aumentan los beneficios de forma que siempre
será conveniente producir más independientemente de la escala de producción. Se contradice el supuesto de
que (K, L) y Q = f (K, L) maximizan beneficios. En este caso la escala de producción tiende a infinito.
En el caso de retornos constantes a escala para problema de maximización de beneficios, de forma análoga con
lo anterior tenemos que
f (λK, λL) = λ f (K, L)
entonces cualquier nivel de producción maximiza beneficios y el nivel de beneficios para cualquier escala
(positiva) de producción es el mismo. En situación de largo plazo, siendo el máximo beneficio igual a cero, se
tendrá que cualquier nivel de producción incluyendo la inacción genera beneficio igual a cero. Para retornos
constantes la escala de producción se indetermina porque el productor será indiferente a producir más o
menos.
21

En el caso de retornos decrecientes efectivamente existen (K, L) y Q = f (K, L) que maximizan beneficios a
precio p y costos unitarios del factor r y w respectivamente.
22

Funciones de Producción (Microeconomía UNAB)

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (20)

Destacado (7)

Similar a Funciones de Producción (Microeconomía UNAB) (20)

Más de Mauricio Vargas 帕夏 (12)

Último (20)

Funciones de Producción (Microeconomía UNAB)