Funciones exponenciales 4º 1º
- 2. DEFINICIÓN Se denomina función exponencial a toda aquella función que tenga la forma: Exponente Coeficiente de la función Base de la función
- 3. Condiciones El coeficiente (k) debe ser un número real NO nulo. La base (a) debe ser un número real positivo distinto de 1.
- 4. Si la base es: a >1 es creciente: a <1 es decreciente:
- 5. Representación sin grafico La ecuación general completa es: y= k.ax +b Dominio: todos los reales Asíntota horizontal y=b k>0 imagen (b, ) K<0 imagen (- ,b) Si k> 0 a>1 crece 0<a<1 decrece Si k<0 a>1 crece 0<a<1 decrece
- 7. Representación grafica • El conjunto imagen de todas las funciones exponenciales es: (0 ; ). • Como han podido observar en el grafico, la curva que representa a la función crece de manera muy rápida. A este crecimiento se lo denomina “crecimiento exponencial”.
- 8. Asíntota
- 9. Hay dos funciones de “gran presencia” que corresponden a las bases: F(x) = 10x F(x) = ℮x
- 10. Donde K: Coeficiente: •Positivo •Negativo •Nunca nulo En este caso se generan grandes diferencias: Conjunto Imagen: a.(0;∞) b.(-∞;0) Ordenada al origen: a.(0;2) b.(0;-2) ¿Crece o Decrece? a. Crece b. Decrece Conclusiones: ▪ Si el coeficiente es positivo, la función crece. Mientras que si el coeficiente es negativo, la función decrece. ▪ Las curvas de las funciones que tienen igual base y coeficientes opuestos son simétricas respecto al eje de las abscisas (eje x).
- 11. Variaciones g f • Ambas curvas se cortan en el punto (0,1). • No cortan el eje de las abscisas. • El conjunto imagen es (0; ). Conclusiones: • Si la base A es mayor a 1, la función es creciente. • Si la base A es menor a 1, la función es decreciente. LAS BASES AL SER INVERSAS O RECÍPROCAS, SON SIMÉTRICAS CON RESPECTO AL EJE DE LAS COORDENADAS (EJE Y).
- 12. Variaciones Las funciones y = ax + b son de tipo exponencial. Su grafica se obtiene trasladando la grafica de y = ax en b unidades hacia arriba si b es positivo, y en b unidades hacia abajo si es negativo. Las funciones y = ax + b son también de tipo exponencial. Su grafica se obtiene trasladando la grafica de y = ax en b unidades hacia la izquierda si b es positivo, y b unidades hacia la derecha si es negativo.
- 13. Ejemplo
- 14. Explicación práctica Hallar la fórmula de una función Podemos encontrar la fórmula de una función exponencial conociendo dos puntos de la curva: A: (-1;(2/3)) B: (4;162) Reemplazamos en la formula general de la función exponencial: y = k . ax 2/3 = k. a-1 162 = k. a-4 Despejamos “k” (2/3) : a-1 = k 162 : (a4) = k
- 15. Explicación práctica Igualamos ambas expresiones: (2/3) . a4 = 162 . (a-1) Pasaje de término, operamos y despejamos “a” y encontramos “k”: (a4): a-1 = 162 : (2/3) a4-(-1) = 162 : (2/3) a5 = 162: (2/3) a5 = 243 a = 5 √243 a=3 K= 2 Entonces la función es: f(x) = 2 . 3x
- 16. Aplicaciones de las funciones exponenciales Alcohol y conducción de vehículos Se puede calcular el riesgo de tener un accidente automovilístico mediante la función: R = 6ekx X = Concentración de alcohol en sangre K = Constante R = Riesgo (en porcentaje)
- 17. Aplicación La mitosis o división celular Este proceso obedece a la ley de crecimiento inhibido Una fórmula que proporciona el número (N) de células en el cultivo después de transcurrir un tiempo (t) (en las primeras etapas del crecimiento) es: N(t)= N0ekt Donde k es una constante positiva. Donde N0 es el número inicial de células.
- 18. Aplicación Eficiencia de un artefacto El proceso de declinación de la eficiencia de un aparato o instrumento puede ser representado por funciones exponenciales decrecientes.
- 19. Aplicación Cicatrización de heridas A0= área original de la herida A= área de la herida luego de “nº” de días A= A0e -0.35n
- 20. Aplicación La presión atmosférica de un globo o aeroplano puede representarse en una función decreciente. P = P0 . e-mgh/kT P = presión atmosférica a una altura h H = altura P0 = presión atmosférica a nivel del mar m = masa de las moléculas de aire k = constante de Boltzmann T = temperatura G = gravedad
- 21. Ejercicios
- 22. Bibliografía y Links •Matemática 1 - Serie Polimodal. Ed. Santillana •http://docencia.udea.edu.co/ingeni eria/calculo/pdf/1_3_3.pdf (Aplicaciones) •http://goo.gl/nlu1z (Aplicaciones) •Apuntes de la carpeta Vitutor. Funciones exponenciales
- 23. Integrantes Altobelli, Leandro. Cancinos, José. González, Gloria. Hnilitza, Fernanda. 4º 1º Economía - 2013