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Este documento presenta 29 problemas de probabilidad que incluyen conceptos como probabilidad marginal, conjunta y condicional, así como el teorema de Bayes. Los problemas involucran escenarios como seleccionar estudiantes al azar, lanzar dados, extraer bolas de urnas y más, calculando probabilidades de diferentes eventos posibles.
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- 1. PROBABILIDAD, PROBABILIDAD MARGINAL, CONJUNTA Y CONDICIONADA TEOREMA DE BAYES Profesor: Mg. R. Bladimiro Ticona Méndez 1. Tania dispone de 3 pares de zapatos negros y 2 pares de zapatos blancos, 5 pantalones blancos y 4 pantalones negros, 3 camisas negras y 4 blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que se vista de un solo color? 2. Una Clase está formada por 6 niñas y 10 niños. Si se escogen al azar un comité de tres, hallar la probabilidad de: a. Seleccionar tres niños b. Seleccionar exactamente 2 niños c. Seleccionar por lo menos un niño d. Seleccionar exactamente una niña. 3. En un grupo de 50 estudiantes, 40 estudian Matemáticas, 32 estudian Física, y cada alumno estudia por lo menos uno de estos temas. a. Utilice un diagrama de Venn para encontrar el número de estudiantes estudiar ambos temas. b. Si se selecciona al azar un estudiante de este grupo, encuentre la probabilidad de que él o ella: i. estudia Matemáticas, pero no física ii. estudia Física, dado que él o ella estudian Matemáticas. 4. En un grupo de 40 niños, 23 tienen el pelo oscuro, 18 tienen ojos marrones, y 26 tienen el pelo oscuro, marrones o ambos. Uno de los muchachos se selecciona al azar. Determinar la probabilidad de que tenga: a. pelo oscuro y ojos marrones. b. ni el pelo oscuro, ni los ojos marrones. c. cabello oscuro, pero no los ojos marrones. d. ojos marrones ya que tiene el pelo oscuro. 5. De 120 estudiantes de un centro de idiomas, 60 estudian francés, 50 estudian español y 20 estudian francés y español. Si se escoge un estudiante al azar. Hallar la probabilidad de que el estudiante: a. Estudie francés pero o español b. No estudie ni francés ni español c. Estudie un solo idioma 6. En un grupo de 50 personas hay 4 que tienen sangre con factor RH negativo (RH-). Hallar la probabilidad de que al escoger 5 personas al azar y de una sola vez dos de ellas tengan el factor indicado. 7. 50 estudiantes fueron de caminata, 23 fueron quemados por el sol, 22 fueron mordidos por las hormigas, y 5 eran tanto quemados por el sol y mordidos por las hormigas. Determinar la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar: a. escapara de ser mordido. b. era mordido o quemado por el sol. c. era ni mordido ni quemado por el sol. d. fue mordido, ya que él o ella fue quemado por el sol e. fue quemado por el sol, ya que él o ella no fue mordido. 8. Se encuestaron 400 familias. Se encontró que el 90% tenía un televisor y un 60% dispone de ordenador. Cada familia tenía por lo menos uno de estos elementos. Si se selecciona aleatoriamente una de estas familias, encontrar la probabilidad que tiene un aparato de TV dado que tiene un ordenador. 9. En una ciudad se publican tres periódicos. 20% de la población lee A, 16% lee B, el 14% lee C, 8% lee A y B 5% lee A y C, 4% lee B y C, y 2% lee los 3 diarios. Una persona que se ha seleccionado al azar. Use un diagrama de Venn para ayudar determinar la probabilidad de que la persona que lee: a. ninguno de los documentos b. al menos uno de los periódicos
- 2. c. exactamente uno de los periódicos d. bien A o B e. A, dado que la persona lee al menos un periódico f. C, dado que la persona lee bien A o B o ambos. 10. Una urna contiene 2 rojas y 3 bolas azules y urna B contiene 4 rojas y 1 canica azul. Peter selecciona una urna a lanzar una moneda al aire, y toma una canica de esa urna. a. Determine la probabilidad de que sea roja. b. Dado que la canica es de color rojo, ¿cuál es la probabilidad de que se trataba de la B? 11. La probabilidad de que la madre de Greta vaya de compras es 2/5. Cuando Greta va de compras con su madre, ella consigue un helado en 70% de veces. Cuando Greta no va de compras con su madre, ella consigue un helado 30% del tiempo. Determinar la probabilidad de que: a. La madre de una Greta le compra un helado al hacer compras. b. Greta fue de compras con su madre, ya que su madre le compra un helado. 12. Doscientas personas están distribuidas de acuerdo a su sexo y lugar de procedencia de la siguiente manera: 130 son hombres, 110 son de la capital, y 30 son mujeres y de provincias. Si se eligen dos personas al azar calcular la probabilidad de que: a. Ambos sean hombres y de provincias b. Al menos uno de los dos escogidos sea mujer. 13. ¿Si se lanzan dos dados a la vez, cual es la probabilidad que la suma de sus lados sea .5, 12, 8, 2, 9, etc.? 14. Un comerciante tienen 12 unidades de cierto artículo de los cuales 4 tienen algún tipo de defecto. Un cliente pide para comprar 3 de tales artículos pero que no tengan defectos. Si el comerciante escoge al, azar y de una sola vez 4 de tales artículos, ¿Cuál es la probabilidad de que con las 4 unidades escogidas satisfaga el pedido del cliente? 15. Una moneda sin cargar es lanzada tres veces, construya el árbol de probabilidades y responda las siguientes preguntas: • ¿Cuál es la probabilidad de obtener sello, cara y sello en ese orden? • ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos dos caras en tres lanzamientos? 16. El supervisor de producción de una fábrica de alimentos, toma 3 bolsas de avena de la máquina envasadora y pesa su contenido. De registros pasados, sabe que la máquina los llena en exceso en el 10% de su tiempo operativo y esta es una ocurrencia al azar e independiente un suceso de otro. ¿Cuál es la probabilidad que en una muestra de tres bolsas solo 1 este demasiado llena? ¿Cuál es la probabilidad que en una muestra de tres bolsas por lo menos 1 este demasiado llena? 17. Se sabe que el 25% de personas, que realizan el examen de manejo para tramitar su brevete, han asistido a un curso de preparación y repaso. De los que asistieron al curso sólo el 60% pasaron el examen. ¿Cuál es la probabilidad que una persona seleccionada al azar haya realizado el curso y lo haya aprobado? 18. En un supermercado, los precios marcados en los carteles que se colocan en la estantería no siempre corresponden al precio actual de la mercancía pues pueden producirse errores al anotar los cambios de precio. Suponga que con el tiempo el 60% de los cambios de precio son aumentos y el 40% reducciones. Suponga también que el 93% de los incrementos de precio están marcados correctamente, al igual que el 98% de las reducciones. Si un precio no está marcado correctamente, ¿Cuál es la probabilidad de que el cambio sea una reducción? 19. Suponga que los registros de un fabricante de automóviles muestran que para cierto modelo de automóvil compacto, el 50% de los clientes lo piden con aire acondicionado, el 49% con dirección hidráulica y el 26% con ambas cosas. Se selecciona un pedido al azar: a. ¿Cuál es la probabilidad de que pidan aire acondicionado, y no dirección hidráulica? b. ¿Cuál es la probabilidad que el cliente no solicite ninguna de estas opciones? 20. Suponga que el 68% de los clientes solicitan transmisión automática, el 45% dirección hidráulica, el 40% aire acondicionado, el 19% transmisión automática y dirección hidráulica sin aire acondicionado,
- 3. el 13% transmisión automática y aire acondicionado sin dirección hidráulica, el 2% dirección hidráulica y aire acondicionado sin transmisión automática y el 21% las tres. a. ¿Cuál es la probabilidad de que se solicite al menos una de las opciones b. ¿Cuál es la probabilidad de que se solicite exactamente una de las opciones? 21. La urna I tiene 3 bolas blancas y 7 negras. La urna II tiene 20 bolas de las cuales algunas son blancas y las demás negras. Se escoge una urna al azar y de ella se extrae una bola, encontrándose que es blanca. Si la probabilidad que esta bola provenga de la urna I es igual a 1/3 determinar el número de bolas blancas que existían originalmente en la urna II. 22. En una ciudad el 55% de los habitantes consume pan integral, el 30% consume pan de multicereales y el 20% consume ambos. Se pide: a. ¿Cuál es la probabilidad de que coma pan de multicereales o pan integral? b. Sabiendo que un habitante consume pan de multicereales, ¿cuál es la probabilidad de que no consume pan integral? c. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esa ciudad no consuma ninguno de los dos tipos de pan? 23. Se va a seleccionar a 3 alumnos de 10 alumnos candidatos compuesto de 7 hombres y tres mujeres para una determinada tarea. El seleccionador no sabe que los 10 alumnos están calificados de 1 a 10 según su eficiencia en esa tarea. Calcular la probabilidad de que la terna contenga a. Uno de los 2 mejores y dos de los 3 peores candidatos. b. Por lo menos una mujer. 24. En un día determinado, la máquina A tiene una probabilidad del 10% de mal funcionamiento y la máquina B tiene un 7% de probabilidad de fallar de lo mismo que A. Teniendo en cuenta que al menos una de las máquinas funcionaban mal hoy, ¿cuál es la probabilidad de que el equipo B no funciona bien? 25. En un día cualquiera, la probabilidad de que un niño come su almuerzo preparado es 0,5. La probabilidad que su hermana come su almuerzo es 0,6. La probabilidad de que la niña come su almuerzo ya que el niño come el suyo es 0,9. Determinar la probabilidad de que: a. un niño(a) coma su almuerzo b. el niño come su almuerzo ya que la niña come su almuerzo. c. por lo menos uno de ellos come su almuerzo. 26. La probabilidad de que una persona seleccionada al azar tiene cáncer es 0,02. La probabilidad de que él o ella reacciona positivamente a una prueba que detecta el cáncer es 0,95 si él o ella tiene cáncer y 0,03 si él o ella no lo tiene. Determinar la probabilidad de que una persona seleccionado al azar: a. reacciona positivamente. b. tiene cáncer dado que él o ella reacciona positivamente. 27. Una moneda común de doble cara y una normal, se colocan en una lata, uno de los las monedas se elige al azar sin identificarla. La moneda se lanza y cae "cara". Determinar la probabilidad de que la moneda es la "doble cara". 28. Niklas y Rolf juegan al tenis y el ganador es el primero en ganar dos sets. Niklas tiene un 40%de posibilidades de ganar a Rolf en cualquier conjunto. Determinar la probabilidad de que Niklas va ganar el partido. 29. Si compro 4 entradas en un sorteo de 500 entradas, y los premios se extraen sin reposición, determinar la probabilidad de que voy a ganar: a. los 3 primeros premios. b. al menos uno de los 3 primeros premios. 30. Los alumnos de una escuela están vacunados contra el sarampión. 48% de los estudiantes son hombres, de los cuales 16% tienen una reacción alérgica a la vacuna. 35% de las niñas también tener una reacción alérgica. Si un estudiante es elegido al azar de la escuela, lo que es la probabilidad de que el estudiante: a. tiene una reacción alérgica b. ¿es mujer dado que se produce una reacción?
- 4. 31. En un solo día puede llover con un 25% de posibilidades y ser ventoso con 36% de probabilidad. Determinar la probabilidad de que en un día determinado, habrá: a. la lluvia y el viento. b. lluvia o el viento. c. A, B y C tienen 10%, 20% y 30% de posibilidades de resolver independientemente un cierto problema de matemáticas. 32. Observa la Tabla de Probabilidades Conjunta, donde A = ascendido y A’ = no ascendido Hombres Mujeres Totales A 0.24 A’ 0.57 0.74 a. Completa la tabla. b. Explica: La probabilidad de que un profesor seleccionado al azar sea hombre (H) y fuera ascendido es 0,24 c. Responder: ¿cuál es la probabilidad de que un profesor seleccionado al azar sea hombre (H) y no fue ascendido? d. Responder: ¿cuál es la probabilidad de que un profesor seleccionado al azar sea mujer (M) fue ascendido? e. Responder ¿cuál es la probabilidad de que un profesor seleccionado al azar sea mujer (M) y no fue ascendido? 33. Cierta universidad en formación, en su primer año de funcionamiento tiene tres currículos. Ciencia, Administración e Ingeniería. La clasificación de los alumnos por su sexo: Ciencia Administración Ingeniería Total Hombres 250 350 200 800 Mujeres 100 50 50 200 Total 350 400 250 1000 Se selecciona un estudiante aleatoriamente del grupo: a. ¿Cuál es la probabilidad que esté en ciencia dado que es hombre? b. ¿Cuál es la probabilidad que el estudiante sea mujer y esté en administración? c. ¿Cuál es la probabilidad que el estudiante este en ciencia o ingeniería? d. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno que estudie administración sea mujer? e. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante sea hombre si estudia administración? f. ¿Cuál es la probabilidad de que no estudie ciencia? g. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer dado que no estudia administración? h. ¿Cuál es la probabilidad de que estudie ciencia y no sea hombre? i. ¿Cuál es la probabilidad de que estudie ingeniería o no sea mujer? j. Diga si los eventos Hombre y administración son independientes 34. Durante un estudio sobre accidentes automovilísticos, el Consejo de Seguridad de Carretera encontró la siguiente información. Accidentes de noche Accidentes de día Conductores alcoholizados 37 15 Conductores no alcoholizados 23 25 a. Diseñe una tabla con las probabilidades conjuntas y marginales b. ¿Cuál es la probabilidad de que un accidente esté relacionado con un conductor alcoholizado, dado que sucedió de noche? c. ¿Cuál es la probabilidad de que un accidente haya sucedido de noche, dado que está relacionado con un conductor ebrio? d. ¿Cuál es la probabilidad de que un accidente ocurra de noche y esté relacionado con un conductor ebrio? e. El conductor está ebrio ¿Cuál es la probabilidad de que provoque un accidente de día?
- 5. 35. Una prueba de orientación vocacional aplicada a 130 alumnos de una entidad educativa, un psicólogo obtuvo la siguiente información. Medicina Psicología Economía Total Masculino 25 15 20 60 Femenino 30 35 5 70 Total 55 50 25 130 Si se selecciona un estudiante al azar, hallar la probabilidad de que: b. Sabiendo que es varón, se oriente a la psicología. c. Si su preferencia es por la medicina, que sea mujer. d. Que sea varón, conociendo que le gustaría estudiar economía. e. Si es mujer, sienta preferencia por la medicina. 36. Una empresa de trabajo temporal ha realizado un amplio estudio sobre los tipos de empleo solicitados por los estudiantes de Bachiller, Formación profesional y Universitarios. El informe clasifica estos solicitantes de empleo como calificados o no para los trabajos que solicitan, y de los datos que contiene se desprende que sólo el 25% estaban calificados para el trabajo que solicitan, de los cuales, un 20% eran estudiantes universitarios, un 30% estudiaban formación profesional y un 50% Bachillerato. La situación entre los no calificados es diferente; un 40% de ellos eran estudiantes universitarios, otro 40% estudiaban formación profesional y sólo un 20% se encontraba en bachillerato. a. ¿Qué porcentaje de estos estudiantes se encontraban en Bachillerato y estaban calificados para los empleos que solicitan? b. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de estos estudiantes que solicitaba empleo estudiara Formación Profesional? c. Entre los estudiantes universitarios que solicitaron el empleo, ¿Qué porcentaje no estaba calificado para los puestos de trabajo que solicitaban? 37. Un estudio del comportamiento después del tratamiento de un gran Nº de drogadictos sugiere que la probabilidad de reincidencia dentro de los dos años siguientes al tratamiento podía depender de la educación del trasgresor. Las proporciones del Nº total de casos que caen dentro de 4 categorías de educación - reincidencia se presentan a continuación EDUCACIÓN REINCIDE NO REINCIDE 10 años o más 0.10 0.30 9 años o menos 0.27 0.33 Suponga que se selecciona un único trasgresor del programa de tratamiento y se definen los eventos: A: El trasgresor tiene 10 años o más de educación B: El trasgresor reincide dentro del periodo de dos años siguientes al tratamiento. Encuentre las probabilidades a. P(A) b. P(B) c. P(A B) d. P(A B) e. P(A B)c f. P(A/B) g. P(B/A) h. ¿Son sucesos independientes? 38. Se realiza la selección aleatoria de individuos de una población, 200 personas, que difieren en sus estados civiles y se les convoca para probar un nuevo producto alimenticio del mercado. La tabla siguiente muestra sus opiniones: Estado Malo Regular Bueno Excelente Soltero 5 9 26 10 Divorciado 1 4 16 9 Casado 12 23 37 32 Viudo 2 8 5 1
- 6. Suponga que se selecciona al azar a un miembro del jurado, ¿cuál es la probabilidad que juzgue el alimento como malo? 39. La mayoría de la estaciones de servicio venden tres tipos de gasolina: corriente, súper y Premium. Con frecuencia, alguna de cada tipo esta enriquecida con etanol. La tabla de contingencia muestra los porcentajes de clientes que prefieren cada tipo. Corriente Súper Premium Total Etanol 0.05 0.10 0.20 Sin etanol 0.25 Total 0.20 0.50 1.00 a. Determine la probabilidad de que el siguiente cliente prefiera súper o sin etanol. b. Dado que el siguiente cliente prefiere gasolina corriente, ¿qué tan probable es que esté enriquecida con etanol? c. ¿Qué un cliente prefiera gasolina súper es independiente de que prefiera gasolina sin etanol? 40. Los anuncios para televisión varían en su efectividad. Una empresa de publicidad produjo un anuncio para TV de un producto ya conocido (neumáticos radiales de automóvil). El gerente de marca estima subjetivamente que el anuncio tiene un 20% de posibilidades de ser efectivo (la participación en el mercado aumentará después de su exhibición), un 70% de posibilidades de ser adecuado (la participación en el mercado no cambiará) y un 10% de posibilidades de ser desastroso (la participación en el mercado se reducirá). El anuncio se puede poner a prueba con un grupo de consumidores. Experiencias anteriores con ese grupo de consumidores indican que son moderadamente fiables para predecir la efectividad. El director de la marca estima la verosimilitud de las reacciones positivas, neutrales y negativas del grupo (dado el resultado eventual) como se presenta: Reacción del grupo Resultado del anuncio Positiva Neutral Negativa Efectivo 0.6 0,3 0,1 Adecuado 0,4 0,3 0,3 Desastroso 0,1 0,3 0,6 a. Construye un árbol de probabilidad a partir de la información. b. ¿Qué tan probable se considera la reacción del grupo como positiva? c. ¿Cómo debería considerarse la probabilidad de que el anuncio será efectivo con una reacción neutral del grupo? d. Se le solicita plantear una sugerencia en base a una probable negativa reacción del grupo que haya provenido de un resultado efectivo 41. A continuación se presenta un resumen de la información obtenida de una muestra de 200 partes maquinadas. Condición de la arista Profundidad de Barrenado Mayor de la necesaria Menor de la necesaria Burda 15 10 Moderado 25 20 Suave 60 70 a. ¿Cuál es la probabilidad que la parte seleccionada tenga una condición moderada en la arista y una profundidad de barrenado menor que la requerida? b. ¿Cuál es la probabilidad que la parte seleccionada tenga una condición moderada en la arista o una profundidad de barrenado menor que la requerida? c. ¿Cuál es la probabilidad que la parte seleccionada no tenga una condición moderada en la arista o que no tenga una profundidad de barrenado menor que la requerida? d. Construya un diagrama de conjuntos que represente los eventos de este espacio muestral. 42. A continuación tenemos una distribución de frecuencias de las comisiones anuales por ventas tomada de un estudio de 300 vendedores promedio. Comisión anual (dólares) Frecuencia
- 7. $ 0 - 4999 15 5000 - 9999 25 10000 -14999 35 15000 -19999 125 20000 -24999 70 25000 - MÁS 30 Basándose en esta información, ¿cuál es la probabilidad de que un vendedor promedio obtenga una comisión de: a. entre $5,000 y $10,000 b. menos de $15,000; c. más de $20,000, y d. entre $15,000 y $20,000? 43. La HAL Corporation desea mejorar la resistencia de las computadoras personales que construye, con respecto a fallas en la unidad de disco y el teclado. En la actualidad, el diseño de sus computadoras es tal que las fallas de la unidad de disco ocurren un tercio de las veces que falla del teclado. La probabilidad de que se presente una falla conjunta en la unidad de disco y en el teclado es de 0.05. a. Si la computadora es 80% resistente a fallas en la unidad de disco y/o en el teclado, ¿qué tan baja debe ser la probabilidad de que se presente una falla en la unidad de disco? b. Si el teclado se mejoró de tal modo que sólo falla el doble de veces que la unidad de disco (y la probabilidad de falla conjunta sigue siendo de 0.05), ¿la probabilidad de falla de la unidad de disco del inciso a) producirá una resistencia a fallas en la unidad de disco duro, en el teclado, o en ambos, mayor o menor que 90%? 44. De 20 personas que contrajeron cierta enfermedad al mismo tiempo y que fueron llevados a una misma sala de un hospital, 15 se recuperaron completamente en tres días; al cabo del cual, se escogen aleatoriamente 5 personas para chequeo. a. ¿Cuál es la probabilidad que los 5 sean dados de alta? b. ¿Cuál es la probabilidad que exactamente 4 sean dados de alta? c. ¿Cuál es la probabilidad que ninguno sea dado de alta? d. ¿Cuál es la probabilidad que por lo menos 3 sean dados de alta? 45. La muestra de vidrio de un laboratorio se coloca en empaques pequeños y ligeros o en empaques pesados y grandes. Suponga que el 2% y 1% de las muestras enviadas en empaques pequeños y grandes respectivamente, se rompen durante el trayecto a su destino. Si el 60% de las muestras se envían en empaques grandes y el 40% en empaques pequeños, ¿Cuál es la probabilidad de que un envío se rompa? 46. El 60% de los tornillos producidos por una fábrica proceden de la máquina A y el 40% de la máquina B. La proporción de defectuosos en A es 0.1 y en B es 0.5. ¿Cuál es la probabilidad de que un tornillo de dicha fábrica sea defectuoso? ¿Cuál es la probabilidad de que, sabiendo que un tornillo es defectuoso, proceda de la maquina A? 47. Una empresa vende sus productos en tres ciudades. Los porcentajes de venta son: 50% en A, 20% en C y 30% en B. la probabilidad de que se produzca un retraso de pago es, respectivamente, 0.01 en A; 0.02 en B y 0.08 en C. determine: a. La probabilidad de que exista retraso de pago y sea de la ciudad A b. Habiéndose producido un retraso de pago, ¿de qué ciudad es más probable que proceda? ¿cuál es dicha probabilidad? c. ¿Cuál es la probabilidad de sea de la ciudad B dado que no existe un retraso de pago? d. ¿Cuál es la probabilidad de que no exista un retraso de pago dado que provenga de la ciudad C? 48. Una empresa produce el producto “X” en tres fábricas distintas A, B y C, como sigue: La producción en A equivale el 40% de la producción total, la producción de B es el 20% y la producción en C es el 40% de la producción total. El producto X es almacenado en un depósito central. Las proporciones de producción defectuosas son: 5% de A, 3% de B y 4% de C. a. Se retira una unidad de X del depósito y se verifica que es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por B? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto seleccionado sea defectuoso? 49. Solo el 60% de la mercadería que recibe un comerciante del fabricante A es de calidad excepcional, mientras que el 90% de la mercadería que recibe del fabricante B es de calidad excepcional. Sin
- 8. embargo la capacidad de producción del fabricante B es limitada, y por esta razón sólo el 30% de la mercadería le es permitido adquirir del fabricante B, mientras que el resto la adquiere de A. Si se inspecciona un embarque que acaba de llegar y a. Si resulta que es de calidad excepcional, ¿cuál es la probabilidad de que provenga del fabricante A? b. Si resulta que no es calidad excepcional, ¿cómo debería modificar los porcentajes de adquisición de cada fabricante? 50. Un mismo producto es elaborado por 3 máquinas distintas A, B y C, como sigue: La producción en A equivale el 35% de la producción total, la producción de C es el 45% y la producción en B es el 20% de la producción total. El producto es almacenado en un depósito central. Las proporciones de producción defectuosas son: 6% de A, 3% de C y 4% de B a. Se retira una unidad del depósito y se verifica que es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por A? y ¿cuál por C? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto seleccionado no sea defectuoso? c. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso y fabricado por B? d. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de B si es defectuoso? 51. Según los datos de una revista de modas “El 50% de los hombres de Canadá usa ropa interior de color, pero solo el 20% de los norteamericanos la usa”. En un hotel de Bermudas hay hospedados cuatro veces más de norteamericanos que de canadienses. Una de las camareras descubre en una habitación un slip naranja. ¿Cuál es la probabilidad de que el ocupante sea canadiense? 52. Tres ayudantes de una estación de servicio deben limpiar los parabrisas de los clientes. Juan atiende el 20% de los clientes y cumple su cometido una vez cada 20 autos. Tomás atiende el 60% de los autos y no limpia el parabrisas una vez cada 10 autos. Jorge atiende el 20% de la clientela y no limpia una vez cada 20 autos. Si un cliente se queja de que su parabrisas no fue lavado: ¿Cuál es la probabilidad que lo haya atendido Juan? 53. Un software detecta que el 1% de los usuarios legítimos hace al día llamadas que se originan en dos o más áreas metropolitanas. sin embargo 30% de los usuarios fraudulentos hacen llamadas de dos o más áreas metropolitanas. La proporción de usuarios fraudulentos es de 0.01%. Si el mismo usuario hace en un día llamadas desde dos o más áreas. ¿Cuál es la probabilidad de que sea fraudulento? 54. Un saltador de altura sabe que la probabilidad que tiene de superar cierta marca varía dependiendo del intento, pues influyen factores psicológicos y de cansancio. Ha estimado que la probabilidad de superarla en el primer intento es 0.9; si falla en el primero, la probabilidad de superarla en el segundo es de 0.85 y la de superarla en el tercero, condicionado a que ha fallado en los dos anteriores es 0.75. Calcula la probabilidad de que falle en los tres intentos. 55. En una población hay el doble de mujeres que de hombres. El 25% de las mujeres y el 10% de los hombres son rubios. Si se elige al azar una persona y resulta ser rubia. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer? ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre y no sea rubia? 56. En una fábrica de procesadores de ordenador, el responsable del control de calidad a analiza la temperatura de una muestra de procesadores del 1% de cada lote que venden. Por errores de precisión de los robots, sabe que el 30% de los procesadores se calienta en exceso. Cuando el responsable realiza las pruebas, sabe que están influenciadas por la temperatura ambiente de la sala, que produce generalmente un 20% de falsos positivos y un 10% de falsos negativos. Si se escoge un procesador al azar de los que se producen en un día ¿cuál es la probabilidad de que se caliente en exceso? 57. En la Universidad dentro de la rama de estudios Económicos–Financieros el 30% se dedica o a temas de Mercados Financieros (Econometría Riesgo, etc.). Según la información recopilada en revistas especializadas en Economía el 70% de las publicaciones en esta área es en Inglés, mientras que en las demás áreas es del 90%. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar que trabaja en esta rama de estudios publique en inglés? 58. Una empresa de consultoría presenta una oferta para un gran proyecto de investigación. El director de la firma piensa inicialmente que tiene 50% de posibilidades de obtener el proyecto. Sin embargo, más tarde, el organismo al que se le hizo la oferta pide más información sobre la oferta. Por experiencia se sabe que en 75% de las ofertas aceptadas y en 40% de las ofertas no aceptadas, este organismo solicita más información. a. ¿Cuál es la probabilidad previa de que la oferta sea aceptada? b. ¿Cuál es la probabilidad condicional de que se solicite más información dado que la oferta será finalmente aceptada? c. Calcule la probabilidad posterior de que la oferta sea aceptada dado que se solicitó más información.
- 9. 59. Un banco local revisa su política de tarjetas de crédito con objeto de retirar algunas de ellas. En el pasado aproximadamente 5% de los tarjetahabientes incumplieron, dejando al banco sin posibilidad de cobrar el saldo pendiente. De manera que el director estableció una probabilidad previa de 0.05 de que un tarjetahabiente no cumpla. El banco encontró también que la probabilidad de que un cliente que es cumplido no haga un pago mensual es 0.20. Por supuesto la probabilidad de no hacer un pago mensual entre los que incumplen es 1. a. Dado que un cliente no hizo el pago de uno o más meses, calcule la probabilidad posterior de que el cliente no cumpla. b. El banco deseará retirar sus tarjetas si la probabilidad de que un cliente no cumpla es mayor que 0.20. ¿Debe retirar el banco una tarjeta si el cliente no hace un pago mensual? 60. En los automóviles pequeños el rendimiento de la gasolina es mayor, pero no son tan seguros como los coches grandes. Los automóviles pequeños constituyen 18% de los vehículos en circulación, pero en accidentes con automóviles pequeños se registraron 11 898 víctimas mortales en uno de los últimos años (Reader´s Digest, mayo de 2000). Suponga que la probabilidad de que un automóvil pequeño tenga un accidente es 0.18. La probabilidad de que en un accidente con un automóvil pequeño haya una víctima mortal es 0.128 y la probabilidad de que haya una víctima mortal si el automóvil no es pequeño es 0.05. Usted se entera de un accidente en el que hubo una víctima mortal. ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente lo haya tenido un automóvil pequeño? 61. En un artículo acerca del crecimiento de las inversiones, la revista Money informa que las acciones en medicamentos muestran una poderosa tendencia de largo plazo y ofrecen a los inversionistas potenciales inigualables y duraderas ganancias. El pronóstico de que para 2016 el consumo de medicamentos llegará a $366 mil millones, cuando en 2010 era de $117 mil millones. Muchas de las personas de 65 años o más necesitan medicamentos. Entre estas personas, 82% necesita medicamentos de manera regular, 55% usa tres o más medicamentos de manera regular y 40% necesita cinco o más medicamentos regularmente. En cambio entre las personas menores de 65 años, 49% usa medicamentos de manera regular, 37% necesita tres o más medicamentos de manera regular y 28% usa cinco o más medicamentos regularmente. La Oficina de Censos informa que de los 281 421 906 habitantes, 34 991 753 son personas de 65 años o mayores. a. Calcule la probabilidad de que en Estados Unidos una persona tenga 65 años o más. b. Calcule la probabilidad de que una persona necesite medicamentos de manera regular. c. Calcule la probabilidad de que una persona tenga 65 años o más y necesite cinco o más medicamentos. d. Dado que una persona usa cinco o más medicamentos, calcule la probabilidad de que tenga 65 años o más. 62. Martin Coleman, gerente del departamento de crédito de Beck’s, sabe que la compañía utiliza tres métodos para conminar a pagar a los clientes morosos. De los datos que se tienen registrados, él sabe que 70% de los deudores son visitados personalmente, 20% se le sugiere que paguen vía telefónica y al restante 10% se le envía una carta. Las probabilidades de recibir algún pago como consecuencia de tres métodos son 0.75, 0.60 y 0.65, respectivamente. El señor Coleman acaba de recibir el pago de una de las cuentas vencidas. ¿Cuál es la probabilidad de que la petición de pago se haya hecho personalmente? ¿O por teléfono?