Geom t roporcionalidad (1)
- 1. 35 GEOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3 unidad 3 PROPORCIONALIDAD Razón geométrica Una razón geométrica viene a ser el resultado de la comparación de las longitudes de dos segmentos rectilíneos, mediante la división de la longitud de uno sobre la longitud del otro o viceversa. A B 30 M N 15 La razón geométrica entre AB y MN será: MN AB 15 30 = = 2 ` AB es igual a 2 veces MN. Proporción geométrica Una proporción geométrica es el conjunto de dos o más pares de segmentos rectilíneos que poseen una misma razón geométrica. M N A B 16 cm 10 cm Razón entre AB y MN: MN AB cm cm 16 10 8 5 = = C D O P 20 u 32 u Razón entre CD y OP: OP CD u u 32 20 8 5 = = E F R Q 15 m 24 m Razón entre EF y QR: QR EF m m 24 15 8 5 = = Vemos que MN AB OP CD QR EF 5 8 = = = & las razones MN AB OP CD QR EF = = son proporcionales. Cuaterna armónica Cuando un segmento de recta AB es dividido interiormente por el punto C y en su prolongación por el punto D, determinando así cuatro segmentos, que forman la proporción geométrica: CB AC BD AD = ; entonces dichos segmentos constituyen una cuaterna armónica. C D A B 4 ´ 1 ´ 2 ´ 3 ´ Si: 2 1 3 4 , , , , = & AC, CB, BD y AD forman una cuaterna armónica. ` Se dice que los puntos C y D dividen “armónicamente” al segmento AB. Relaciones asociadas a la cuaterna armónica Relación de Descartes Si dos puntos C y D dividen armónicamente a un segmento AB, se cumple que el doble de la inversa de AB es igual a la suma de los inversos de AC y AD. C D A B Si: BC AC BD AD AB AC AD 2 1 1 & = = + Relación de Newton Si dos puntos C y D dividen armónicamente a un segmento AB, cuyo punto medio es O; se cumple que el producto de OC y OD es igual al cuadrado de OA. O C D A B Si: BC AC BD AD = / AO , OB & (OA)2 = (OC)(OD) Ejemplo: Si los puntos M y N dividen al segmento PQ armónicamente, hallar PM si: PN = 5QN y MQ = 3. Resolución: Graficamos: P x 3 M Q N & MQ PM QN PN = ; Reemplazando: x QN QN 3 5 = & x = 15 Atención Los valores de los segmentos de recta que se dividen para hallar una razón geométrica deben tener las mismas unida- des de longitud. A B 35 mm 3.5 cm M N 25.4 mm 1 pulg Para hallar la razón geométrica entre AB y MN tendremos: , mm mm MN AB 25 4 35 = mismas unidades( ) CORRECTO , cm MN AB 1 3 5 pulg = diferentes unidades(x) INCORRECTO Observación Una proporción geométrica tal como b a d c = tiene las si- guientes propiedades: I. b d a c b a b d a c b a / + + = - - = II. b a b d c d b a b d c d / - = - + = + A una cuaterna armónica también se le llama Proporción armónica. Nota Atención Si dos puntos C y D dividen armónicamente a un segmen- to AB, entonces dichos puntos se denominaron conjugados armónicos de A y B. A B C D Si: CB AC BD AD = & C y D son los conjugados armónicos de A y B.
- 2. 36 Intelectum 1.° Teoremas de proporcionalidad Teorema de Thales El teorema de Thales dice que tres o más rectas paralelas determinan sobre dos rectas secantes, segmentos respectivamente proporcionales. C A B R Q P L1 L2 L3 Si: L1 // L2 // L3 & BC AB QR PQ = L1 L2 L3 O A B Q P Si: L1 // L2 // L3 & OB AO OQ PO = L1 L2 L3 M A B Q P Si: L1 // L2 // L3 & AB MA PQ MP = Teorema de la bisectriz interior En todo triángulo la bisectriz interior de cualquiera de sus ángulos divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes a dicha bisectriz. θ θ C A B M b n m a Se cumple: BC AB MC AM = o b a n m = Teorema de las bisectrices En un triángulo la bisectriz de un ángulo interno y la bisectriz del ángulo externo adyacente a este dividen “armónicamente”, es decir, en una cuaterna armónica al lado opuesto a dicho ángulo. φ φ θ θ C A B M P b c a d Si BM y BP son una bisectriz interior y una bisectriz exterior respectivamente y además: m+BAC ! m+BCA (AB ! BC). Se cumple: MC AM CP AP = o b a c d = Teorema de la bisectriz exterior La bisectriz exterior de un triángulo divide externa- mente a la prolongación del lado opuesto en seg- mentos proporcionales a los lados adyacentes a dicha bisectriz. Existen tres casos: a) Caso 1: Si a < b β θ θ C A B P m n b a α Se cumple: BC AB CP AP = o b a n m = b) Caso 2: Si a > b β θ θ C A B P b a m n α Se cumple: BC AB PC PA = o b a n m = c) Caso 3: Si a = b = q β θ θ C A B P a a α Se cumple: BP // AC ` b proporción. Observación El teorema de Thales tam- bién puede ser interpretado de las siguientes maneras: C A B R Q P b a m n Si: AP//BQ//CR; entonces: I. b a n m = o II. m a n b = El teorema de la bisectriz interior también puede ser interpretado de la siguiente manera: θ θ C A B M b a n m Si: BM es bisectriz interior: I. b a n m = o II. m a n b = Nota Un haz armónico es el con- junto de cuatro rayos que tienen el mismo origen y que determinan sobre cualquier recta transversal a ellos, una cuaterna armónica. C D A B Q O N M P Si: {OA, OB, OC, OD} es un haz armónico. & NP MN PQ MQ = y BC AB CD AD = Nota
- 3. 37 GEOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3 Problemas resueltos G 1 Calcula x, si BD // AE. 3x + 2 5x B A C D E 12 8 Resolución: Por el teorema de Thales: x x 3 2 5 8 12 & + = 40x = 36x + 24 4x = 24 ` x = 6 2 Calcula x, si L1 // L2 // L3. x 4 L1 L2 L3 9 x Resolución: Si L1 // L2 // L3, entonces, por el teorema de Thales: x x 9 4 = & x2 = 36 ` x = 6 3 Halla x, si 5RL = 4LT. R θ θ L T M 3x + 5 Q 4x Resolución: Del dato: 5RL = 4LT & LT RL 5 4 = Del gráfico: 4 x x LT RL 3 5 5 4 + = = & 20x = 12x + 20 8x = 20 x = 2,5 4 En la figura, L1 // L2 // L3, calcula x. 3b 6a a b 2 L1 L2 L3 x Resolución: Por teorema de Thales: b a a b 6 3 = b a b a 2 1 2 2 2 & = = a k ... (I) x b a x b a 2 3 6 4 & = = ... (II) Igualamos (I) y (II): x 4 2 2 = x = 2 2 5 En la figura mostrada los puntos U, N, I, L forman una cuaterna armónica. Halla x. U N I L 3 2 x Resolución: Por ser cuaterna armónica: x x 2 3 3 2 = + + & 3x = 2x + 10 x = 10 6 Si m // n // l // r , halla x. x 6 3x + 2 2y + 1 y r l n m 2 Resolución: Por el teorema de Thales: x y 6 2 = & xy = 12 x x y 3 2 2 1 2 + = + & 6x + 4 = 2xy + x 5x + 4 = 2(12) ` x = 4 7 Si: BC AB 6 5 = y RS = 12. Calcula AR. A B β β C R S Resolución: 5k 6k x 12 A B β β C R S Por el teorema de Thales: x k k 12 6 5 = x = 10