Geometria 4° 4 b

17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria GEOMETRÍA 4to Año Secundaria
I. PRISMA
1. Prisma recto:
SL = P . h
ST = SL + 2B
V = B . h
Donde:
SL : Area lateral
ST : Area Total
V : Volumen
P : Perímetro
B : Area de las bases
h = altura
* Paralelepípedo recto (rectoedro).
d2
= a2
+ b2
+ c2
Sr =2(ab + ac + bc) V = abc
d
a
b
c
* Cubo (exaedro regular)
d = a 3
ST = 6a2
V = a3
V =
9
3d 3
2. Prisma Oblícuo:
SL = [2pS.R.] a
ST = SL + 2B
V = (AS.R.) a
V = B x h
S.R. → sección recta
PSR → semiperímetro
EJERCICIOS I
01.Hallar la diagonal de un cubo cuya arista
mide 5 cm.
02.La diagonal de un cubo mide 6 3 cm.
Hallar la arista.
03.La diagonal de la cara de un cubo mide 4
2 cm. Calcular la diagonal del cubo.
04.Hallar el área lateral de un prisma recto
pentagonal regular si el lado de la base mide
2 cm y la arista lateral 10 cm.
octogonal regular cuyo lado de la base mide 3
cm y la arista lateral 10 cm.
06.Calcular el área lateral de un prisma recto
cuyo perímetro de 50 cm y la altura mide 10
cm.
07.Hallar el área total de un prisma triangular
regular sabiendo que el lado de la base mide 2
cm y la altura 8 cm.
08.Calcular la arista de un cubo cuya área total
es de 4 cm2.
09.Calcular la arista de un prisma triangular
regular si su altura es igual al lado de la base,
y el área total es de 1 cm2.
10.Hallar la arista de un cubo equivalente a un
ortoedro cuyas dimensiones son 64, 32 y 16
pies.
II. CILINDRO
Definición:
Cilindro circular recto, es el sólido
engendrado por la revolución completa de un
rectángulo alrededor de uno de sus lados.
1. Cilindro circular
(recto o de
revolución)
SL = 2π Rg
Sr = 2πR(g + R)
V = πR2
g
Donde:
R : Radio
g : Generatriz
2. Cilindro Oblicuo:
SL = (PS.R.) g
Sr = SL + 2B
V = (AS.R.) g
V = B . h
Si S.R. es círculo ⇒ AS.R. = πR2
, si
S.R. es elipse ⇒ AS.R. = πab
Eclipse:
a
b
EJERCICIOS II
01.Hallar el área lateral de un cilindro circular
recto si el diámetro de la base mide 4 cm. y la
generatriz 5 cm.
02.Hallar el área total de un cilindro si el radio
mide 10 cm y la generatriz 10 cm.
03.Hallar el área total de un cilindro inscrito en
un cubo de 4 cm de arista.
04.¿Cuál es la razón de las áreas totales de los
dos cilindros generados por un rectángulo que
gira alrededor de cada uno de sus lados
desiguales, los cuales miden respectivamente
8cm y 6cm?
05.En un prisma recto de base cuadrada se
encuentra inscrito un cilindro. Calcular la
razón en que se encuentran los volúmenes.
06.La altura de un cilindro circular recto mide 4
cm y la circunferencia equivalente al
perímetro de un cuadrado cuya diagonal es 1
cm. Calcular el volumen del cilindro.
07.El volumen de un cilindro recto es 81π.
Calcular el perímetro de su base si su área
lateral y total están en relación de 3 a 4
08.Calcular el volumen de un cilindro de
revolución si su altura mide 20 y el desarrollo
del área lateral del cilindro tiene un área de
200π
09.El área total de un cilindro recto y su volumen
son numéricamente iguales si la longitud de
su generatriz es igual al diámetro de su base.
Calcular la longitud de la base.
10.Calcular el volumen de un cilindro recto de
1m de altura, inscrito en un prisma
cuadrangular regular cuya diagonal de la base
mide 6 2 m.
III. PIRÁMIDE
1. Pirámide Regular:
SL = (PB) ap
ST = SL + B
S4GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
IV
SÓLIDOS
h
B
B
a
a
a
d
h
a
B
B
S.R.
h g
R
R
h
b
b
ap
B

V =
3
1
B x h
PB → Semiperímetro de la base.
ap → apotema de la pirámide
2. Pirámide Irregular
SL = Σ (área de caras laterales)
ST = SL + B
V =
3
1
B x h
EJERCICIOS III
01.En una pirámide regular cuadrangular el área
lateral es el doble del área de la base. Si el
lado de la base es “a”. Hallar el volumen de
la pirámide.
02.Hallar el área total de una pirámide
cuadrangular regular, si su altura es igual a
“H” y el área de las caras laterales es igual al
de la base.
03.Se tiene una pirámide cuya base es un
triángulo de lados 5, 12 y 13 m. además las
caras laterales forman 45° con la base
calcular el volumen de la pirámide.
04.En una pirámide regular cuadrangular, sus
aristas laterales forman ángulos de 60° con la
base cual es su área lateral si el volumen de la
pirámide es 36 6 m3
05.La apotema de una pirámide hexagonal
regular de 12 m de altura es 160% mayor que
la apotema de la base. Hallar el volumen de
la pirámide.
06.Las caras laterales de una pirámide regular
tienen una inclinación de 45° con respecto al
plano de la base, la cual es un cuadrado
inscrito en una circunferencia de radio 1m.
Hallar el área total.
08.Hallar el área total de una pirámide regular
cuadrangular si la longitud de su altura es
igual a 3 m y el área de una cara lateral es
igual al área de la base.
09.El área lateral de una pirámide triangular
regular es 144 m2
y el radio del circulo
inscrito en la base mide 2 3 m; hallar la
altura de la pirámide.
10.En una pirámide regular triangular se traza un
plano paralelo a la base la relación de áreas
totales entre la pirámide pequeña y la
pirámide grande es de 1 a 2, luego la relación
de sus volúmenes es de:
a) 1/8 b)1/2 2 c) 1/2 y 3
d)4/15 e) 27/36
IV. CONO
1. Cono circular recto o de revolución:
Sr = π Rg.
ST = πR (g + R)
V = hR
3
1 2π
α =
g
Rº360
g2
= h2
+ R2
2. Cono Oblicuo:
ST = SL + B
V =
3
1
B x h
EJERCICIOS IV
01.Hallar el área lateral de un cono cuya
generatriz mide 3 cm y el radio de la base 2
cm.
02.Hallar el área lateral de un cono si se sabe que
el radio de la base mide 12 cm y la altura 16
cm.
03.Hallar el área total de un cono si la generatriz
mide 18 cm y el radio de la base 10 cm.
04.Hallar el área total de un cono si el radio de la
base mide 9 cm y la altura 12 cm.
05.Un cono tiene 6 cm de altura y su base 5 cm
de diámetro. Calcular su área total.
06.El área total de un cono de revolución,
generado por un triángulo isósceles que gira
alrededor de uno de sus catetos, es igual a
3,50 cm2
. Calcular el volumen.
a) 0,743 cc b) 0,534 cc c) 0,328 cc
d) 0,213 cc e) N.A.
07.Un montón de arena de forma cónica mide
12.57 metros de circunferencia en la base y
2.50 m de lado o generatriz. Calcular su
volumen.
08.Calcular en función del lado “l” de un
triángulo equilátero el volumen del cono
generado por ese triángulo, si gira alrededor
de su altura.
09.Un recipiente de forma cónica ha sido
construido con un sector circular de hoja de
lata de 90° y de 30 cm de radio. ¿Cuál es su
capacidad en litros?
10.El volumen de un cono es de 27m3
y la altura
es trisecada por dos paralelas a la base. Hallar
el volumen de la porción central.
h
B
h
g
R
R
g
α
g
BO
h
B

1. Sólidos equivalentes
V1 = V2
V1 < > V2
2. Teorema de Arquímedes
1
C
2
V
3
V conoesferacilindro
==
3. Tetraedros que tienen un ángulo triedro
congruente
tetraedros {SABC ; SDEF



−
−
DEFS*
ABCS*
scongruentetriedrosAngulos
SF.SE.SD
SC.SB.SA
V
V
SDEF
SABC
=
A C
S
B
D F
E
4. Sólidos semejantes
h1
h1
B1
B
2
b2
B2
b1
B1
h
2
Relación de volúmenes:
3
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
2
1
k.............
r
r
b
b
h
h
V
V
=====
Relación de superficies:
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2T
1T
2L
1L
2
1
k.........
h
h
b
b
S
S
S
S
B
B
=====
OTRAS PROPIEDADES
1. Poliedro circunscrito a una esfera o
sólido con esfera inscrita
R : radio de la esfera inscrita
R.S
3
1
V Tsolido =
R
2. Tetraedros
r : radio de la esfera inscrita
h1 , h2 , h3 , h4 → alturas
4321 h
1
h
1
h
1
h
1
r
1
+++=
3. Tetraedro con ángulo triedro
trirectángulo
2
1
2
1
2
1
2
1
c:b.a.h
(SAOB)2
SABC x SAHB
(SBOC)2
SABC x SBHC
(SAOC)2
SABC x SAHC
(SAOB)2
(SBOC)2
. (SAOC)2
. (SABC)2
h
b
c C
BA
a
H
O
4. Area de la sección determinada por un
plano equidistante de las bases del
tronco de pirámide o tronco de cono
Bm =
2
21
2
BB







 +
B1
Bm
B2
h
2
h
2
2
rr
r 21
m
+
=
B
B
1
Bm
B
2
r2
r1
rm
h
2
h
2
PRÁCTICA DE CLASE
01.Hallar la diagonal de un cubo cuya arista
mide 3 cm.
a) 2 b) 3 c) 33
d) 32 e) N.a
02.La diagonal de un cubo mide 32 cm.
Hallar la arista.
a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm
d) 4 cm e) N.a.
03.La diagonal de la cara de un cubo mide
28 cm. calcular la diagonal del cubo.
a) 34 b) 36 c) 38
RELACIÓN DE
r

d) 310 e) N.a.
pentagonal regular si el lado de la base mide
5 cm y la arista lateral 20 cm.
a) 350 cm2
b) 400 cm2
c) 450 cm2
d) 500 cm2
e) N.a.
octogonal regular cuyo lado de la base mide 6
cm y la arista lateral 15 cm.
a) 650 cm2
b) 720 cm2
c) 800 cm2
d) 870 cm2
e) N.a.
06.Hallar el área total de un prisma recto cuyas
bases son hexágonos regulares de 6 cm de
lado y 5,2 cm de apotema, si la altura mide 8
cm
a) 475.2 cm2
b) 288 cm2
c) 345.5 cm2
d) 512.2 cm2
e) N.a.
07.Calcular el área lateral de un prisma recto
cuyo perímetro de 25 cm y la altura mide 15
cm
a) 225 cm2
b) 275 cm2
c) 375 cm2
d) 415 cm2
e) N.a.
08.Los lados de la base de un poliedro hexagonal
regular miden 40 cm y la altura 5m. Expresar
en metros cuadrados el área de su superficie
lateral.
a) 8 cm2
b) 10 cm2
c) 12 cm2
d) 14 cm2
e) N.a.
09.Halla el área total de un prisma triangular
regular sabiendo que le lado de la base mide 4
cm y la altura 10 cm.
a)126,28cm2
b)120cm2
c)133,86cm2
d)113,8 cm2
e)N.a.
10.Calcular la arista de un cubo cuya área total
es de 1 cm2
.
a) 2,01 cm b) 3,02 cm c) 4,08 cm
d) 5,10 cm e) N.a.
11.Hallar el área lateral de un cono cuya
generatriz mide 6 cm y el radio de la base 4
cm.
a) 57,36 cm2
b) 37,65 cm2
c) 63,75 cm2
d) 75,36 cm2
e) N.a.
12.Hallar el área lateral de un cono si se sabe
que el radio de la base mide 6 cm y la altura 8
cm.
a) 188.4 cm2
b) 148.8 cm2
c) 168.4 cm2
d) 124.8 cm2
e) N.a.
13.Hallar el área total de un cono si la generatriz
mide 9 cm y el radio de la base 5 cm.
a) 219.8 cm2
b) 298. 1 cm2
c) 281.9 cm2
d) 198.2 cm2
e) N.a.
14.Hallar el área total de un cono si el radio de la
base mide 3 cm y la altura 4cm.
a) 53,67 cm2
b) 63,57 cm2
c) 75,36 cm2
d) 35,67 cm2
e) N.a.
15.Hallar la altura de un cono sabiendo que el
área lateral mide π516 cm2
y ele radio
de la base mide 4 cm.
a) 4 cm b) 7 cm c) 10 cm
d) 8 cm e) N.a.
16.El área total de un cono es 13 π cm2
. El radio
de la base y la altura están en la relación de 1
a 2. Hallar el radio y la altura.
a) 1cm; 2 cm b) 2cm; 4cm c) 3cm; 6cm
d) 4cm; 8cm e) N.a.
17.Un cono tiene 12 cm de altura y su base 10
cm de diámetro. Calcular su área total
a)248,72 cm2
b)282,74 cm2
c)228,47cm2
d)258,82 cm2
e) N.a.
18.Calcular el área de la base de un cono de
1cm3
de volumen en el que la altura es igual
al diámetro de la base.
a) 1,91 cm2
b) 2,55 cm2
c) 283 cm2
d) 1,52 cm2
e) N.a.
19.Hallar el área lateral de un cilindro circular
recto si el diámetro de la base mide 8 cm y la
generatriz 10 cm.
a) 251.2 cm2
b) 285.4 cm2
c) 312.2 cm2
d) 220.5 cm2
e) N.a.
20.Hallar el área total de un cilindro si el radio
mide 20 cm y la generatriz 30 cm
a) 4280 cm2
b) 5280 cm2
c) 6280 cm2
d) 7280 cm2
e) N.a.
21.El área total de un cilindro 471 cm2
y su
generatriz y el radio.
a) 6cm; 3cm b) 8cm; 4cm c) 10cm; 5cm
d) 12cm; 6cm e) N.a.
22.Hallar la medida del radio de la base si se que
el área lateral es 1507.2 cm2
y la generatriz
mide 40 cm.
a) 5 cm b) 6 cm c) 7 cm
d) 8 cm e) N.a
23.Hallar el área total de un cilindro inscrito en
un cubo de 2 cm de arista.
a) 15.88 cm2
b) 18.85 cm2
c) 22.85 cm2
d) 12.65 cm2
e) N.a.
24.Hallar el área total de un cilindro, sabiendo
que su generatriz es igual al lado del
hexágono regular inscrito en su base.
a) 2 π r2
b) 3π r2
c) 4π r2
d) 5 π r2
e) N.a.
25.Un pozo cilindro de 13.80 m de profundidad
solo tiene agua en los 2/3 de ella. ¿Cuántos
metros cúbicos de agua contiene, si el
diámetro del pozo es de 1,60 m?
a) 15.6 m3
b) 16.5 m3
c) 18.5 m3
d) 21.25 m3
e) N.a.
26. El radio interior de una torre cilíndrica de 35
m de lato es de 1,50 m y el espesor de su
pared es de medio metro. ¿Cuál es el volumen
de la pared en metro cúbicos?
a) 192.42 b) 163.42 c) 150.15
d) 180.15 e) N.a.
27.Calcular el radio de la base de un recipiente
cilíndrico circular de 6 cm de altura y 60
litros de capacidad.
a) 2.50 cm b) 2.35 cm c) 2.05 cm
d) 1.78 cm e) N.a.
28. Calcular el radio de un cilindro de revolución
en función del área lateral L y del volumen V.
a)
L
Vπ2
b)
L
L2
c)
L
V2
d)
L
Vπ
e) N.a.
29. La altura de un cilindro circular recto mide 4
cm y la circunferencia equivalente al
perímetro de un cuadrado cuya diagonal es 1
cm. Calcular el volumen del cilindro.
a) 19.10 cc b) 11.90 cc c) 10.19 cc
d) 8.19 cc e) N.a.
30. En un prisma recto de base cuadrada se
encuentra inscrito un cilindro. Calcular la
razón en que se encuentran los volúmenes.
a) 4/ π b) π /2 c) ½
d) ¼ e) N.a.

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01
01.En un prisma regular hexagonal, el lado de la
base mide 4 cm y la altura mide igual que la
diagonal mayor de la base. Hallar el volumen
del prisma.
a) 3190 b) 3192 c) 2195
d) 3200 e) N.a.
02.En un prisma regular de base triangular, la
superficie lateral equivale a la superficie de
un cuadrado de lado 12 cm. el volumen del
prisma en cm3
, es:
a) 348 b) 324 c) 215
d) 330 e) 218
03.El volumen de un rectoedro es 288 cm3
y sus
dimensiones son entre sí como 2; 3 y 6. ¿Cuál
es el área total del prisma? (en cm2
).
a) 280 b) 184 c) 285
d) 288 c) 300
04.En un rectoedro, las diagonales de tres caras
miden 5; 34 y 41 cm. Hallar el
volumen, en cm3
a) 20 b) 60 c)40
d) 100 e) 120
05.En un prisma regular hexagonal, una diagonal
mayor mide 12 cm y forma ángulo de 45º con
la base. Hallar el volumen del sólido.
a) 6162 b) 3160 c) 2150
d) 5120 e) N.a.
06.En un prisma oblicuo, las aristas laterales
miden 12 cm y forman ángulos de 30º con la
base. Si la base es un triángulo de lados con
longitudes 13; 14 y 15 cm, hallar el volumen.
a) 500 b) 502 c) 504
d) 506 e) 508
07. Las aristas laterales de un prisma oblicuo
están inclinadas 37º respecto a la base. El
volumen del prisma es 3318 cm y la
base, un triángulo equilátero de lado 6 cm. las
aristas laterales miden:
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
08. Sabiendo que en una pirámide regular
cuadrangular, las caras laterales forman
diedros de 53º con la base, hallar el volumen
si el área lateral es 60 cm2
.
a) 28 b) 40 c) 48
d) 58 e) 30
09. En una pirámide regular, la base hexagonal
tiene por área la mitad del área lateral. Si el
área total es 2
354 cm , hallar el volumen.
a) 50 b) 51 c) 52
d) 43 e) 54
10. Hallar el volumen de una pirámide regular
triangular, en la cual cada lateral mide 15 cm
y forma ángulo de 37º con el plano de la base.
a) 3324 b) 3300 c) 3318
d) 3320 e) 3150
11. Los de un rectángulo miden 3 cm y 4 cm,
respectivamente. Calcular la suma de
volúmenes de los cilindros que se obtienen al
girar dicha región rectangular alrededor de
los lados no congruentes, en cm3
.
a) 84 π b) 80 π c) 72 π
d) 60 π e) 50 π
12.Calcular el área total de un cilindro de
revolución, si la generatriz y el diámetro de la
base tiene longitudes de 2 cm cada uno.
a) 5π cm2
b) 6π cm2
c) 7π cm2
d) 12π cm2
e) 3π cm2
13.Calcular el volumen de un cilindro circular
recto, si el área lateral es 20π cm2
y el área
total, 28π cm2
.
a) 10π cm3
b) 15π cm3
c) 20π cm3
d) 28π cm3
e) 30π cm3
14.¿Qué longitud aproximada debe tener el radio
del círculo de la base del cilindro a construir
con la cartulina mostrada?
caja para
pegar 22cm
20cm
a) 3 cm b) 4 cm c) 5 cm
d) 3,5 cm e) 6 cm
15.La figura muestra un cilindro circular recto;
AB y CD son diámetros. AC se llama
diagonal axila, así como BD . Calcular el
volumen del sólido, si AC=20 u y α = 37º.
A B
CD
α
a) 760π cm3
b) 768π cm3
c) 800π cm2
d) 500π cm3
e) N.a.
16.La diagonal axial de un cilindro de revolución
forma un ángulo de 45º con el plano de la
base. Calcular el volumen de este sólido si el
área total es 254 µπ .
a) 50π µ3
b) 52π µ3
c) 54π µ3
d) 56π µ3
e) N.a.
17.La figura muestra un prisma regular inscripto
en un cilindro circular recto. El volumen del
prisma es 12 µ3
. Calcular el volumen del
cilindro.
a) 3π µ3
b) 6π µ3
c) 12π µ3
d) 15π µ3
e) N.a.
18.Un cilindro recto está inscrito en un prisma
regular de base cuadrangular. El área lateral
del prisma es 36 µ2
. Calcular el área del
cilindro.
a) 9π µ2
b) 10π µ2
c) 12π µ2
d) 15π µ2
e) 18π µ2
19.¿En que relación están los volúmenes de los
cilindros inscritos y circunscrito a un prisma
regular cuadrangular?
a) 1 : 3 b) 1 : 2 c) 1 : 4
d) 1 : 6 e) 1 : 8
20.¿En que relación están los volúmenes de los
cilindros inscrito y circunscrito a un prisma
regular triangular?
a) 1 : 2 b) 1 : 3 c) 1 : 4
d) 1 : 5 e) 1 : 10
TAREA DOMICILIARIA
01.Hallar el volumen de un paralelepípedo cuya
diagonal de la base mide 2 y uno de los lados
es el triple de otro. Además el paralelepípedo
tiene una altura igual a 10.
a) 18 b) 36 c) 12
d) 10 e) 15
02.La altura de un cilindro de revolución es de 6
cm y el área el rectángulo determinado en él
por un plano que pasa por su eje es de 21.6
cm2
. Calcular su área lateral.

a) 67.8 cm2
b) 86.7 cm2
c) 76.8 cm2
d) 87.6 cm2
e) N.a.
03.Calcular la arista de un prisma triangular
regular si su altura es igual al lado de la base,
y el área total es de 1 cm2
.
a) 3,85 cm b) 5,09 cm c) 6,25 cm
d) 4,15 cm e) N.a.
04.Hallar la arista de un cubo equivalente a un
octaedro cuyas dimensiones son 64, 32 y 16
pies.
a) 4 pies b) 8 pies c) 12 pies
d) 24 pies e) 32 pies
05.Calcular el área total de un cubo si: la
diagonal mide 8.
a) 64 b) 128 c) 32
d) 96 e) 72
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN
SEGMENTO
Punto Medio
A
M
Bde AB
(x ; y )
(x; y)
(x ; y )21
21
2
yy
y,
2
xx
x 2121 +
=
+
=
Ejemplo:
Halle las coordenadas de los puntos medios de los
lados del triángulo.
M
Q
L
N
R
P
(4; 12)
(6; 8)
(2; 4)











 ++
=
2
2
124
;
2
42
M ( )83;M =











 ++
=
2
2
812
;
2
64
N ( )105;N =











 ++
=
2
2
84
;
2
62
L ( )64;L =
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
A y B puntos de paso.
A
d
L
B (x ; y )21
2
21
2
21 )yy()xx(d −+−=
Ejemplo:
Halle la distancia entre los puntos A(3; –5); B(–
1; – 2).
-1
-2
B
3 x
A
-5
y
2
22 2513 )([)([d AB −−−+−−=
525916 ==+=d
5=d
Ejemplo: Halle las distancias en cada caso:
I. );(A 38 ; );(B 610 =ABd
........................
II. );(M 15 − ; );(N 16 =MNd
.........................
III. );(P 23− , );(Q 24 −−
=ABd ......................
OBSERVACIONES:
(x ; y )
B
C
A 1 2
(x ; y )1 2
(x ; y )1 2
G(x; y)
3
xxx
x
321
++
= ;
3
yyy
y
321
+
=
+
Ejemplo:
Halle las coordenadas del baricentro en:
B (5, 8)
C (6, 4)
A(4, 6)
G (x, y)
5
3
654
=
++
=x
6
3
486
=
++
=y
);(G)y;x(G 65=∴
ECUACION GENERAL DE LA RECTA
0CByAx:L =++
y
Ax + By + C = 0
Intercepto
x0
L
Pendiente de una recta conociendo su ángulo de
inclinación.
GEOMETRÍA

y
α
x
L
∞= tgm
Pendiente de una recta conociendo dos puntos de
paso
(a, b)
(c, d)
L
ac
bd
m
−
−
=
PRÁCTICA DE CLASE
01.Calcular la distancia entre los puntos:
M(4, 2) y P(4, 2).
a) 1 b) 3 c) 4
d) 5 e) 2
02.Determinar las coordenadas del punto medio
del segmento que tiene como puntos
extremos:
A (4, 2) y B (4, -2).
a) (4, 0) b) (8, 4) c) (8, 2)
d) (4, 2) e) N.a.
03.Si: A(2, 1), B(-4, 4), C(-2, -5). Calcular:
E =
13
17
5
85 ACBCAB ++
a) 16 b) 4 c) 3
d) 2 e) 9
04.Hallar el perímetro (2p) del triángulo tiene
como vértices los puntos :
A(1, -2), B(4, -2) y C(4, 2).
a) 12 b) 8 c) 13
d) 14 e) 20
05.Dos vértices de un triángulo equilátero ABC,
son los puntos A(-1, -5) y B(-5,1). Hallar su
área.
a) 10 3 b) 6 3 c) 13 3
d) 8 3 e) 11 3
06.De acuerdo a sus lados que clase de triángulo
es el que tiene por vértices los puntos: (a –2,
-1), B (2, 2) y (C(5, -2)
a) Escaleno b) Equilátero c) No existe
d) Isósceles e) N.a.
07.Hallar el área de la región sombreada.
0
B(5,2)
A(3,5)
y
x
a) 9,5 b) 10,5 c) 7,5
d) 12,5 e) 5
08.Hallar el área de la región sombreada:
0 (4,0)
(5,4)
y
x
(0,2)
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
09.Hallar el perímetro del paralelogramo que
tiene como vértices: (3,1), (2,2), (0,1) y (1,0):
a) 2( 7 + 3 ) b) 3( 5 + 2 )
c) 2( 5 + 3 ) d) 2( 5 + 2 )
e) 2( 5 + 3 )
10.Los vértices de un triángulo son:
A(3, 8), B(2, -1) y C6, 1) si M(x, y) es el
punto medio de BC calcular la mediana
AD .
a) 21 b) 12 c) 8,1
d) 71 e) 82
11.Hallar el área del polígono cuyas coordenadas
de los vértices son Y(1,5), A(-2, 4), N(-3,
-1), E(2, -3), T(5, 1).
a) 80 u2
b) 60 u2
c) 40 u2
d) 30 u2
e) 45 u2
12.Uno de los extremos de un segmento
rectilíneo de longitud 5 cm es el punto
(P3, -2). Si la abcisa de un extremo es 6.
Hallar su ordenada.
a) 6 y –4 b) ±2 c) ±4
d) –6 y 2 e) ±6
13.En la figura, las coordenadas de los puntos M
y N son (6,0) y (0,6) respectivamente. ¿Cuál
es el área del círculo?
N
M
x
y
a) 9 π b) 36 π c) 16 π
d) 6 π e) 12 π
14.Hallar el volumen del cubo si los puntos A y
B tiene como coordenadas (4, 2) y (1, -2)
respectivamente.
A
B
a) 27 b) 81 c) 39
d) 36 e) 33
15.Sean: (A (-6, 4), B(3, -5) y C(6, 10), los
vértices de un triángulo. Determinar un "P"
que unido a dichos vértices forman 3
triángulos equivalentes.
a) (1, 2) b) (2, 5) c) (3, 4)
d) (1, 3) e) (2, 4)
16.De la figura, calcule las coordenadas de L si
RO = ;26 1 = (1, 9)

I
0 x
R
45°
L
y
a) (4; 4) b) (5; 2) c) (11; 3)
d) (2; 5) e) (3; 11)
17.Halle al ecuación de la recta mediatriz del
segmento que los ejes coordenados
determinan en la recta 5x + 3y – 15 = 0
a) 5x – 3y + 8 = 0
b) 3x + 5y – 8 = 0
c) 5x + 3y – 8 = 0
d) 5x – 3y – 8 = 0
e) 3x – 5y + 8 = 0
18.En la figura calcule el valor de a:
L
(a; 4)
x
(a + 8;0)
Ly 1
2
a) 2b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
19.Encuentre el valor de "a + b", si: L1 y L2 son
paralelas y L2 pasa por el punto A(2; 1).
L1 : ax + y – 3 = 0
L2 : bx + 5y – 7 = 0
a)
4
3
b)
6
5
c)
5
6
d)
3
7
e)
5
1
20.Determine la ecuación de la recta ,L1 la
cual es perpendicular a la recta 2L : y
= 4x + 3. Además 1L forma un región
triangular con los ejes coordenados del
primer cuadrante cuya área es de 64µ2
,
a) x + 4y + 16 2 = 0
b) x – 4y + 16 2 = 0
c) x – 4y – 16 2 = 0
d) x + 4y – 16 2 = 0
e) 2x + 3y – 16 2 = 0
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02
01.La recta de ecuación: 5x – y + 12 = 0 pasa
por los puntos (a; -3) y (-2; b). Calcular a + b.
a) 2b) –2 c) –1
d) 1 e) 3
02.La recta de ecuación: 3x + 4y + 36 = 0 pasa
por el punto (r; r + 2). Calcular el valor de r.
a)
7
4
4− b)
7
4
− c)
7
44
−
d) 13 e) N.a.
03.Calcular el área de la región triangular que la
recta de ecuación: 4x – 3y + 24 = 0 forma con
los ejes coordenados.
a) 20 µ2
b) 22µ2
c) 23µ2
d) 24µ2
e) 18µ2
04.La recta de ecuación: nx + ny – 30 = 0 corta
al eje de ordenadas en el punto 2. Calcular el
valor de n.
a) 12 b) 15 c) 13
d) 18 e) 20
05.La recta de pendiente – 2 interseca al eje
ordenadas en el punto r al eje de abscisas en
el punto (r + 1). Calcular el valor de r.
a) 1b) 2 c) –2
d) 3 e) –3
06.El punto (6; a) pertenece a la recta del
problema anterior. Calcular el valor de a.
a) –14 b) –18 c) –20
d) 20 e) 16
07.Una recta de pendiente negativa forma un
ángulo de 45° con el eje de abscisas y pasa
por el punto (-4; 2). Determinar la pendiente
de esta recta.
a) –2 b) –1 c) 0
d) 1 e) 2
08.Para la recta del problema anterior, ¿en qué
punto corta al eje de abscisas?
a) –1 b) –2 c) 4
d) 2 e) 1
09.Calcular el área de la región triangular que las
rectas y – 2x = 0; y = 2, forman con el eje de
abscisas.
a) 16µ2
b) 32µ2
c) 8µ2
d) 12µ2
e) 20µ2
10.Determinar el área de la región que encierran
las rectas:
x = -1; x = 4; y = 3; y = -2
a) 20µ2
b) 28µ2
c) 25µ2
d) 23µ2
e) 15µ2
11.Calcular el área de la región que encierran las
rectas: y = x/2 + 2; x = 4, con los ejes
coordenados.
a) 10µ2
b) 11µ2
c) 12µ2
d) 13µ2
e) 15µ2
12.Calcular el área de la región que encierran los
ejes coordenados con las rectas:
x = 2; y = x – 1; y = –2.
a) 3µ2
b) 3,5µ2
c) 4µ2
d) 4,5µ2
e) 5µ2
13.La recta de ecuación x = 0, es:
a) el eje x b) el eje y c) no existe
d) F.D. e) N.a.
14.La recta de ecuación y = 0, es:
a) el eje x b) el ele y c) no existe
d) F.D. e) N.a.
15.ABCD es un paralelogramo:
A (-2; 4), B (3; 6) y C(0; 7). Calcular las
coordenadas del vértice D.
a) (5; 6) b) (5; 10) c) (-5; 5)
d) (-5; 10) e) (-10; -5)
TAREA DOMICILIARIA
01.En el sistema de coordenadas cartesianas,
localizar los siguientes puntos:
A) (2, 3) B) (-3, -5) C) (4, 6)
D) (4, -3) E) (0, 7) F) (-7, 4)
G) (-6, 0) H) (0,-4)
02.Hallar la distancia entre los puntos A(4, 6) y
B(-3, 1)
03.Si P1(3, -2) y P2(5,3) son los puntos extremos
del segmento P1 P2. Hallar las coordenadas de
su punto medio.
04.Hallar los puntos de trisección del segmento
AB cuyas coordenadas son A(4, 2) y B(-5,
-1).
05.Hallar la distancia entre los siguientes puntos
y determinar las coordenadas de su punto
medio.
A (6, 1) y B ( -2, 3)
C(-4, 1) y D (7, -3)
E (9, 5) y F (1, -5)
G (-4, 8) y H(6, -3)
),6(K6,
3
1
2J −






06.Hallar la pendiente de la recta que contiene a
los puntos A(7, 5) yB(-2, -4)
07.La distancia del punto P(x; -6) al punto Q(3,
4) es 10. Hallar el valor de x.
08.Hallar el área de la región triangular ABC A(-
2; 1), B (4; 7) y C(6; -3)
09. Hallar el área de la región pentagonal, de
vértices A(1; 5), B(-2; 5), C(-3; -1), D(2; -3)
y E(5; 1)
10.Los puntos (-6; -4), (3; 5) y (10; -2), son los
vértices de un triángulo. Hallar su área.
SOLUCIONARIO
Nº
Ejercicios Propuestos
01 02
01. B C
02. A A
03. D D
04. B B
05. A C
06. C A
07. B B
08. C B
09. E A
10. A C
11. A C
12. B B
13. C B
14. D A
15. D C
16. C
17. B
18. A
19. B
20. C
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
copyright 2003

Geometria 4° 4 b

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