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Capítulo 2 Implementación de tipos abstractos de datos
La especificación de un tipo abstracto es el paso previo a la escritura de cualquier programa
que lo manipule, porque permite describir inequívocamente su comportamiento; una vez
establecida, se pueden construir diversas implementaciones usando un lenguaje de
programación convencional. En este capítulo se introducen los mecanismos que
proporciona la notación Merlí para codificar los tipos de datos, que son los habituales en los
lenguajes de programación imperativos más utilizados (excepto algún aspecto puntual como
la genericidad, ausente en los lenguajes más antiguos), se estudian las relaciones que se
pueden establecer entre la implementación y la especificación de un TAD y, por último, se
definen diversas estrategias de medida de la eficiencia de las implementaciones que
permiten compararlas y determinar bajo qué circunstancias se puede considerar una
implementación más adecuada que otra.
A lo largo del capítulo se supone que el lector conoce los constructores habituales que
ofrecen los lenguajes de programación imperativos más habituales, como Modula-2, Pascal o
C y, en general, todos aquellos que se pueden considerar derivados del Algol; por ello, no
se explicarán en detalle los esquemas adoptados en Merlí, sino que tan sólo se mostrará su
sintaxis, fácilmente traducible a cualquiera de ellos. Eso sí, se insistirá en los aspectos
propios de la metodología de uso de tipos abstractos, derivados básicamente de la
distribución en universos de las aplicaciones.
2.1 El lenguaje de implementación
En el primer capítulo se ha destacado la diferencia entre la especificación y la implementación
de un TAD, que resulta en su visión a dos niveles diferentes. En concreto, dada la
especificación (única) de un tipo se pueden construir diversas implementaciones y así
escoger la más adecuada en cada contexto de uso. Cada una de estas implementaciones se
encierra en un universo diferente, llamado universo de implementación, en contraposición a
los universos de especificación y de caracterización explicados detalladamente en el capítulo
anterior. Notemos que un universo de implementación no puede existir de forma
independiente, sino que siempre se referirá a una especificación ya existente; para
Implementación de tipos abstractos de datos 8 9
__________________________________________________________________________________
© Los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.

establecer claramente el nexo entre un universo de implementación y el universo de
especificación correspondiente, se consignará siempre en la cabecera del primero el nombre
del segundo precedido por la palabra clave "implementa".
La construcción de un universo de implementación consta de dos fases:
- Elección de una representación para los diferentes géneros definidos en la
especificación. Es habitual el uso de tipos auxiliares para estructurar el resultado, los
cuales son invisibles a los usuarios del universo1
. También se pueden definir
constantes, implícitamente privadas.
- Codificación de todas y cada una de las diversas operaciones visibles de la
especificación, en términos de las representaciones que se acaban de escribir.
Igualmente puede ser necesario, e incluso recomendable, usar una o más operaciones
auxiliares que surjan de la implementación de las operaciones usando la técnica de
diseño descendente1
; las operaciones auxiliares de la implementación no han de ser
forzosamente las mismas de la especificación, y en general no lo son.
universo U_IMP implementa U
usa U1, ..., Un
const c1 vale v1, ... fconst
tipo T1 es ... ftipo
...
tipo privado Taux1 es ... ftipo
...
función F1 ...
...
función / acción privada Faux1 ...
...
funiverso
Fig. 2.1: esquema general de los universos de implementación.
Tanto en la representación como en la codificación de las operaciones pueden usarse
identificadores de tipo y de operaciones visibles, definidos en otros universos cuyos
nombres se escriben en una cláusula de usos al inicio del universo. En principio, los
nombres se referirán a universos de especificación, ya que los programas dependen del
comportamiento de los tipos que usen y no de su implementación; ahora bien, ya veremos a
lo largo del texto que, en algunas situaciones y por razones de eficiencia, se exigirá que
uno o más tipos usados en un universo estén implementados según una estrategia
9 0 Estructuras de datos. Especificación, diseño e implementación
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1
Aunque no sea estrictamente necesario, se usará la palabra clave "privado" para etiquetarlos.

determinada2
, en cuyo caso se consigna la implementación escogida mediante la cláusula
"implementado con". Además de los usos, en un universo de implementación pueden
aparecer ocultaciones, renombramientos e instancias; por lo que respecta a estas últimas,
pueden implementar alguno de los tipos definidos en la especificación, en cuyo caso se
determina la implementación elegida mediante la cláusula "implementado con".
Si el universo de especificación define un TAD parametrizado, los universos de
implementación correspondientes también lo serán y en la implementación aparecerán,
como mínimo, todos los parámetros formales de la especificación. En ocasiones, alguna
técnica de implementación puede requerir parámetros formales adicionales que no afecten la
especificación del tipo (por ejemplo, las técnicas de dispersión vistas en el capítulo 4).
2.1.1 Representación de tipos
Para representar un TAD, Merlí ofrece diversos tipos predefinidos, y también algunos
constructores de tipo que permiten al usuario construir sus propias estructuras. Los tipos
predefinidos del lenguaje son los booleanos, los naturales, los enteros, los caracteres y los
reales, todos ellos con las operaciones habituales. Por lo que respecta a los constructores,
se dispone de los siguientes:
- Escalares, o por enumeración de sus valores: se enumeran todos los valores del tipo
uno detrás del otro. Se dispone de operaciones de comparación = y ≠.
- Tuplas: permiten la definición de un tipo como producto cartesiano. Cada componente
o campo (ing., field) de la tupla se identifica mediante un nombre y se declara de un tipo
determinado; dado un objeto v de tipo tupla, la referencia a su campo c se denota por
v.c. El lenguaje permite la escritura de constantes tuplas: dada una tupla de n campos
c1, ..., cn, el literal <v1, ..., vn > representa la tupla tal que su campo ci vale vi, 1 ≤ i ≤ n;
evidentemente, los tipos de los vi han de concordar con los tipos de los ci. Las tuplas
pueden ser tuplas variantes, es decir, tuplas tales que el nombre y el tipo de campos
componentes varía en función del valor de uno de ellos, llamado discriminante.
- Vectores (ing., array ): permiten la definición de tipos como funciones f: I → V; los
elementos de I se llaman índices y los de V simplemente valores. Gráficamente se
puede considerar un vector como una tabla que muestra el valor asociado a cada índice
y cada celda se llama componente o posición. Dado un objeto A de tipo vector, la
referencia al valor asociado al índice i se hace mediante A[i]. Se exige que el tipo de los
índices sea natural, entero, carácter o bien un tipo escalar; generalmente no se usará
todo el tipo para indexar el vector, sino que se especificará una cota inferior y una cota
superior de manera que la referencia a un índice fuera del intervalo definido por estas
cotas da error. El lenguaje permite la escritura de vectores literales: dado un vector de
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2
Incluso en este caso, la representación del tipo usado quedará inaccesible en virtud del principio de
la transparencia de la representación propia del diseño modular con TAD.

n componentes, el literal [v1, ..., vn ] representa el vector tal que su posición i-ésima vale
vi, 1 ≤ i ≤ n; a veces, en la constante tan sólo se quiere destacar el valor de una posición
i concreta, y para ello pueden escribirse los literales [..., vi, ...] o [..., i → x, ...].
tipo semana es (lu, ma, mi, ju, vi, sa, do) ftipo
(a) tipo por enumeración de sus valores
tipo fecha es tupla
día_s es semana
día_m, mes, año son natural
ftupla
ftipo
(b.1) tipo tupla
tipo trabajador es
tupla
nombre, apellido son cadena
caso qué de tipo (jefe, analista, programador) igual a
jefe entonces #subordinados es natural
analista entonces #proyectos, #programadores son natural
programador entonces #líneas_código es natural; senior? es bool
fcaso
ftupla
ftipo
(b.2) tipo tupla con partes variantes (el campo qué es el discriminante)
tipo estadística es vector [semana] de natural ftipo
(c.1) tipo vector; su índice es un tipo por enumeración
tipo cadena es vector [de 1 amáx_cadena] de carácter ftipo
(c.2) tipo vector; su índice es un intervalo de un tipo predefinido
tipo empresa es vector [de 1 amáx_empresa] de tupla
tr es trabajador
sueldo es real
ftupla
ftipo
(c.3) tipo vector; sus valores usan otro tipo definido por el usuario
Fig. 2.2: ejemplos de uso de los constructores de tipo de Merlí.
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2.1.2 Sentencias
Se describe a continuación el conjunto de sentencias o instrucciones que ofrece Merlí, cuya
sintaxis se puede consultar en la fig. 2.3.
- Asignación: modificación del valor de un objeto de cualquier tipo.
- Secuencia: ejecución incondicional de las instrucciones que la forman, una tras otra.
- Sentencias condicionales: por un lado, se define la sentencia condicional simple, que
especifica una instrucción que se ha de ejecutar cuando se cumple una condición
booleana, y otra, opcional, para el caso de que no se cumpla. Por otro, se dispone de la
sentencia condicional compuesta, que generaliza la anterior especificando una serie
de condiciones y, para cada una, una sentencia para ejecutar en caso de que se
cumpla. Las condiciones han de ser mutuamente exclusivas; también se puede incluir
una sentencia para ejecutar en caso en que ninguna condición se cumpla.
- Sentencias iterativas o bucles. Existen diversos tipos:
◊ Simple: se especifica el número de veces que se debe repetir una sentencia.
◊ Gobernada por una expresión booleana: se repite la ejecución de una sentencia
mientras se cumpla una condición de entrada al bucle, o bien hasta que se cumpla
una condición de salida del bucle.
◊ Gobernada por una variable: se define una variable, llamada variable de control,
que toma valores consecutivos dentro de los naturales, de los enteros, de un tipo
escalar o bien de un intervalo de cualquiera de ellos; el número de iteraciones
queda fijado inicialmente y no cambia. En el caso de tipos escalares, los valores
que toma la variable siguen el orden de escritura dentro de la declaración del tipo.
Cada ejecución de las instrucciones que aparecen dentro de la sentencia iterativa se
llama vuelta o también iteración.
Al hablar de sentencias iterativas son básicos los conceptos de invariante y de función
de acotamiento, que abreviaremos por I y F, respectivamente. El invariante es un
predicado que se cumple tanto antes como después de cada vuelta y que describe la
misión del bucle. La función de acotamiento implementa el concepto de terminación
del bucle, por lo que se define como una función estrictamente decreciente que tiene
como codominio los naturales positivos y que, generalmente, se formula fácilmente a
partir de la condición del bucle. Tanto el uno como la otra se escriben usando las
variables que intervienen en la sentencia iterativa. Es conveniente que ambos se
determinen previamente a la escritura del código, porque definen inequívocamente el
comportamiento del bucle. En este texto, no obstante, sólo se presentarán en
aquellos algoritmos que, por su dificultad, se considere que aportan información
relevante para su comprensión (por ello, se puede preferir una explicación informal a su
expresión enteramente formal). Para profundizar en el tema, v. por ejemplo [Bal93] o
[Peñ93], que proporcionan varias fuentes bibliográficas adicionales.
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El lenguaje no admite ningún tipo de instrucción para romper la estructura dada por el uso de
estas construcciones; es decir, no existen las sentencias goto, skip, break o similares que, a
cambio de pequeñas reducciones del código resultante, complican la comprensibilidad, la
depuración y el mantenimiento de los programas. Tampoco se definen las instrucciones
habituales de entrada/salida, ya que no se necesitarán en el texto.
objeto := expresión
(a) asignación
sent1; sent2; ... ; sentn
(b) secuencia; en lugar de ';', se pueden separar por saltos de línea
si expresión booleana entonces sent1
si no sent2 {opcional}
fsi
(c.1) sentencia alternativa simple
opción
caso expresión booleana1 hacer sent1
...
caso expresión booleanan hacer sentn
en cualquier otro caso sentn+1 {opcional}
fopción
(c.2) sentencia alternativa compuesta
repetir expresión natural veces sent frepetir
(d.1) sentencia iterativa simple
mientras expresión booleana hacer sent fmientras
repetir sent hasta que expresión booleana
(d.2) sentencias iterativas gobernadas por una expresión
para todo variable dentro de tipo hacer sent fpara todo
para todo variable desde cota inf hasta cota sup hacer sent fpara todo
para todo variable desde cota sup bajando hasta cota inf hacer sent fpara todo
(d.3) sentencias iterativas gobernadas por una variable
Fig. 2.3: forma general de las sentencias de Merlí.
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2.1.3 Funciones y acciones
Son los dos mecanismos de encapsulamiento de las instrucciones que codifican las
operaciones de un tipo. Las funciones son la correspondencia directa del concepto de
operación de un TAD dentro del lenguaje: a partir de unos parámetros de entrada se
devuelve un valor de salida y los parámetros, que tienen un nombre que los identifica y se
declaran de un tipo dado, mantienen el mismo valor después de la ejecución de la función,
aunque se modifiquen. En caso de que se devuelva más de un valor, se pueden encerrar
entre '<' y '>' los nombres de los tipos de los valores que se devuelvan, e indicar así que en
realidad se está devolviendo una tupla de valores (v. fig. 2.4, b). La función sólo puede
devolver su valor una sola vez, al final del cuerpo. La recursividad está permitida e incluso
recomendada como herramienta de diseño e implementación de algoritmos.
Aparte de los parámetros, dentro de la función pueden declararse variables locales, cuya
existencia está limitada al ámbito de la función. Notemos que en los programas Merlí no
existe el concepto de variable global, ya que una función sólo tiene acceso a sus parámetros
y puede usar variables locales para cálculos intermedios. Este resultado se deriva del hecho
de que no pueden imbricarse funciones ni declararse objetos compartidos entre diferentes
módulos3
. También es interesante notar que no hay un programa principal y unas funciones
subordinadas, sino que una aplicación consiste en un conjunto de funciones de las cuales el
usuario escogerá una, que podrá invocar las otras en tiempo de ejecución; el esquema
resultante es altamente simétrico (no da preferencia a ningún componente) y favorece el
desarrollo independiente y la integración posterior de diferentes partes de la aplicación.
La existencia de acciones dentro del lenguaje proviene de la necesidad de encapsular
operaciones auxiliares que modifican diversos objetos; la definición de estas operaciones
como funciones daría como resultado cabeceras e invocaciones engorrosas. Las acciones
también presentan el mecanismo de variables locales. La incorporación de acciones en el
lenguaje obliga a definir diversos tipos de parámetros: los parámetros sólo de entrada
(precedidos por la palabra clave "ent" en la cabecera), que se comportan como los de las
funciones; los parámetros sólo de salida (precedidos por "sal"), correspondientes a objetos
que no tienen un valor significativo en la entrada y almacenan un resultado en la salida; y los
parámetros de entrada y de salida (precedidos por "ent/sal"), que tienen un valor significativo
en la entrada que puede cambiar en la salida4
. En este texto no nos preocuparemos por los
posibles problemas de eficiencia en el uso de funciones en vez de acciones (v. sección 2.3),
sino que usaremos siempre la notación que clarifique el código al máximo; se supone que el
programador podrá adaptar sin problemas la notación funcional a las características de su
instalación concreta.
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3
En realidad, el mecanismo de memoria dinámica del lenguaje (v. apartado 3.3.3) rompe esta regla
general, porque actúa como una variable global implícita.
4
La mayoría de los lenguajes imperativos comerciales no distinguen entre parámetros sólo de salida y
parámetros de entrada y de salida, clasificándolos ambos como parámetros por variable (también por
referencia), mientras que denominan parámetros por valor a los parámetros sólo de entrada.

En la fig. 2.4 aparecen tres implementaciones posibles de una operación para el cálculo del
máximo común divisor de dos números siguiendo el algoritmo de Euclides, las dos primeras
como funciones, en versiones recursiva e iterativa, y la tercera como una acción que
devuelve el resultado en el primero de sus parámetros. También se muestra una función
que, dado un vector de naturales y un elemento, devuelve una tupla de dos valores: un
booleano que indica si el elemento está dentro del vector o no y, en caso de que esté, el
índice de la primera aparición.
función MCD (a, b son nat) devuelve nat es
var res es nat fvar
si a = b entonces res := a
si no si a > b entonces res := MCD(a - b, b) si no res := MCD(a, b - a) fsi
fsi
devuelve res
(a.1) función recursiva para el cálculo del máximo común divisor de dos naturales
función MCD (a, b son nat) devuelve nat es
mientras a ≠ b hacer
si a > b entonces a := a - b si no b := b - a fsi
fmientras
devuelve a
(a.2) función no recursiva para el cálculo del máximo común divisor de dos naturales
acción MCD (ent / sal aes nat; ent b es nat) es
mientras a ≠ b hacer
si a > b entonces a := a - b si no b := b - a fsi
fmientras
facción
(a.3) acción no recursiva para el cálculo del máximo común divisor de dos naturales
función está? (A es vector [de 1 a máx] de nat; x es nat) devuelve <bool, nat> es
var i es nat; encontrado es bool fvar
i := 1; encontrado := falso
mientras (i ≤ máx) ∧ ¬encontrado hacer
si A[i] = x entonces encontrado := cierto si no i := i + 1 fsi
fmientras
devuelve <encontrado, i>
(b) función para la búsqueda de un elemento dentro de un vector
Fig. 2.4: ejemplos de funciones y acciones.
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Por último, introducimos los conceptos de precondición y de postcondición de una
operación. La precondición, abreviadamente P, es un predicado lógico que debe
satisfacerse al comenzar la ejecución de una operación; la postcondición, abreviadamente
Q, es otro predicado lógico que debe satisfacerse al acabar la ejecución de una operación
siempre que se cumpliera previamente la precondición correspondiente. Ambos predicados
dependen exclusivamente de los parámetros de la operación. La invocación de una función
o acción sin que se cumpla su precondición es incorrecta y da como resultado un valor
aleatorio. Así como la especificación algebraica es un paso previo a la implementación de un
tipo de datos, el establecimiento de la precondición y la postcondición (llamada
especificación pre-post ) ha de preceder, sin duda, a la codificación de cualquier operación.
Debe distinguirse el uso de las especificaciones algebraicas de los TAD y de las
especificaciones pre-post de las operaciones. Por un lado, la especificación algebraica da
una visión global del tipo de datos y define el comportamiento de las operaciones para todos
los valores; por el otro, la especificación pre-post describe individualmente el
comportamiento de cada operación en términos de la representación escogida para el tipo, y
es el punto de partida de una verificación posterior del código de la operación.
En este texto se escriben sólo las precondiciones y postcondiciones de las funciones y
acciones que no implementan operaciones visibles de los TAD (es decir, funciones auxiliares
y algoritmos que usan los TAD), que aparecen juntamente con el código mismo, a menudo
en estilo informal para mayor claridad en su lectura y comprensión, o bien simplemente como
comentario si se considera que la misión de la operación es suficientemente clara. En lo que
respecta a las funciones de los TAD, se formula el modelo matemático correspondiente al
tipo previamente a su especificación algebraica y se describe, aunque sólo sea
informalmente, el comportamiento de las operaciones en términos de este modelo, lo que
puede considerarse como una especificación pre-post de alto nivel. Para profundizar en el
tema de las especificaciones pre-post y su uso dentro de la verificación de programas, se
puede consultar [Bal93] y [Peñ93].
2.1.4 Ejemplo: una implementación para los conjuntos
Como aplicación de los diversos mecanismos introducidos en esta sección, se quiere
implementar el TAD de los conjuntos con operación de pertenencia y un número máximo de
elementos, para los cuales se ha presentado una especificación en la fig. 1.32. Las
representaciones eficientes de los conjuntos serán estudiadas a lo largo del texto como
aplicación de diferentes estructuras de datos que en él se presentan; de momento, no nos
preocupa que la implementación escogida sea eficiente, sino que simplemente se quiere
ilustrar la aplicación de los constructores del lenguaje, por lo que la estrategia consiste en
usar un vector dentro del cual se almacenan los elementos en posiciones consecutivas, y se
añade un entero que apunta a la posición que se ocupará cuando se inserte un nuevo
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elemento. A un objeto (entero, natural, puntero -v. apartado 3.3.3-, etc.) que apunta a otro se
lo denomina apuntador (también cursor, si el objeto apuntado es una posición de vector), y
se empleará bajo diversas variantes en la práctica totalidad de las estructuras de datos
estudiadas en el libro; en este caso, lo llamamos apuntador de sitio libre, por razones obvias.
...
v1 v2 v
n-1
vn ...
C.sl
C.A
Fig. 2.5: representación del conjunto C = {v1, v2, ..., vn}.
El universo parametrizado de la fig. 2.6 sigue esta estrategia. En primer lugar se establece
cuál es la especificación que se está implementando. A continuación se escriben los
universos de especificación que definen símbolos usados en la implementación. La
representación del tipo no presenta ningún problema. Por último, se codifican las
operaciones; notemos el uso de una operación auxiliar, índice, que se introduce para
simplificar la escritura del universo y que se especifica pre-post según se ha explicado
anteriormente. Destacamos que los errores que se establecen en la especificación han de
tratarse en la implementación, ya sea incluyendo su negación en la precondición o bien
detectándolos en el código de la función, como ocurre en la operación de añadir. En el
segundo caso no se detalla el comportamiento del programa y se deja indicado por la palabra
"error", porque su tratamiento depende del lenguaje de programación en que finalmente se
implementará el programa, que puede ofrecer o no un mecanismo de excepciones.
2.2 Corrección de una implementación
Los elementos que ofrece el lenguaje para escribir universos de implementación permiten
obtener programas ejecutables de la manera tradicional (mediante un compilador que genere
código o bien a través de un intérprete); además, el programador puede verificar si el código
de cada operación individual cumple su especificación pre-post. Ahora bien, es necesario
definir algun método para comprobar si la implementación de un TAD es correcta respecto a
su especificación ecuacional formulada previamente y éste es el objetivo de la sección5
. Así,
al igual que la programación de un módulo que use un TAD es independiente de la
implementación del mismo, también su verificación podrá realizarse sin necesidad de recurrir
a la representación del tipo, confiriendo un alto nivel de abstracción a las demostraciones.
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5
Una estrategia diferente consiste en derivar programas a partir de la especificación; si la derivación
se hace aplicando técnicas formales, el resultado es correcto y no es preciso verificar el código. Esta
técnica no se introduce en el presente texto; puede consultarse, por ejemplo, en [Bal93].

universo CJT_∈_ACOTADO_POR_VECT (ELEM_=, VAL_NAT)
implementa CJT_∈_ACOTADO (ELEM_=, VAL_NAT)
usa NAT, BOOL
tipo cjt es
tupla
A es vector [de 0 aval-1] de elem
sl es nat
ftupla
ftipo
función Ø devuelve cjt es
var C es cjt fvar
C.sl := 0
devuelve C
función _∪{_} (C es cjt; v es elem) devuelve cjt es
si índice(C, v) = C.sl entonces {se evita la inserción de repetidos}
si C.sl = val entonces error {conjunto lleno}
si no C.A[C.sl] := v; C.sl := C.sl + 1
fsi
fsi
devuelve C
función _∈_ (v es elem; C es cjt) devuelve bool es
devuelve índice(C, v) < C.sl
función lleno? (C es cjt) devuelve bool es
devuelve C.sl = val
{Función auxiliar índice(C, v) → k : devuelve la posición k que ocupa v en
C.A; si v no aparece entre las posiciones de la 0 a la C.sl-1, devuelve C.sl.
P ≅ ß C.sl ≤ val ¿ ∧ ß ∀i, j: 0 ≤ i, j ≤C.sl-1: i ≠ j ⇒ C.A[i] ≠ C.A[j] ¿
Q ≅ ß está?(C, v) ⇒ C.A[k] = v ¿ ∧ ß ¬está?(C, v) ⇒ k = C.sl ¿
siendo está? el predicado: está?(C, v) ≅ ∃i: 0 ≤ i ≤C.sl-1: C.A[i] = v }
función privada índice (C es cjt; v es elem) devuelve nat es
var k es nat; encontrado es bool fvar
k := 0; encontrado := falso
mientras (k < C.sl) ∧ ¬encontrado hacer
{I ≅ ∀j: 0 ≤ j ≤ k-1: C.A[j] ≠ v ∧ (encontrado ⇒ C.A[k] = v). F ≅ C.sl - k}
si C.A[k] = v entonces encontrado := cierto si no k := k + 1 fsi
fmientras
devuelve k
funiverso
Fig. 2.6: implementación para los conjuntos con pertenencia.
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El punto clave consiste en considerar las implementaciones de los tipos abstractos también
como álgebras, y entonces se podrá definir una implementación como la representación de
los valores y operaciones del TAD en términos de los valores y las operaciones de otros TAD
más simples. Para ello, se determina la función de abstracción de una implementación (ing.,
abstraction function, también conocida como función de representación), que transforma un
valor v de la implementación del TAD en la clase correspondiente del álgebra cociente de
términos; el estudio de esta función permite demostrar la corrección de la implementación.
La función de abstracción fue definida por primera vez por C.A.R. Hoare en "Proofs of
Correctness of Data Representation", Acta Informatica, 1(1), 1972. Presenta una serie de
propiedades que son fundamentales para entender su significado:
- Es parcial: puede haber valores de la implementación que no correspondan a ningún
valor del TAD. La condición It que ha de cumplir una representación para denotar un
valor válido del tipo t se llama invariante de la representación (ing., representation
invariant) y la han de respetar todas las operaciones del tipo.
- Es exhaustiva: todas las clases de equivalencia del álgebra cociente de términos (que,
recordemos, denotan los diferentes valores del TAD) se pueden representar con la
implementación escogida.
- No es forzosamente inyectiva: valores diferentes de la implementación pueden denotar
el mismo valor del TAD. Consecuentemente, la función de abstracción induce una
relación de equivalencia R t que llamamos relación de igualdad (representation
equivalence en el artículo de Hoare) que agrupa en una clase los valores de la
implementación que se corresponden con el mismo valor del TAD t.
- Es un homomorfismo respecto a las operaciones de la signatura del TAD; así, para toda
operación op∈OPt1...tn→t
se cumple: abst
(op(v1
, ..., vn
)) = opt
(abst1
(v1
), ... , abstn
(vn
)),
donde abst
es la función de abstracción del tipo t, opt
la interpretación de op dentro del
álgebra del tipo, y la función de abstracción que se aplica sobre cada vi
es la
correspondiente a su tipo.
En la fig. 2.7 se muestra la función de abstracción abscjt para el tipo de los conjuntos,
abscjt: Acjt → Tcjt, siendo Acjt el álgebra de la implementación de los conjuntos y Tcjt el
álgebra cociente de términos (en realidad, la función devuelve un término que identifica la
clase resultado); se puede observar que realmente se cumplen las propiedades
enumeradas. Así, pueden establecerse el invariante de la representación Icjt y la relación de
igualdad R cjt de la representación de los conjuntos; Icjt acota el número de posiciones
ocupadas del vector y prohíbe la aparición de elementos repetidos, mientras que R cjt define
la igualdad de dos estructuras si los sitios libres valen igual y hay los mismos elementos en las
posiciones ocupadas de los vectores:
Icjt (C es cjt) ≅ C.sl ≤ val ∧ ∀i, j: 0 ≤ i, j ≤ C.sl-1: i ≠ j ⇒ C.A[i] ≠ C.A[j]
R cjt (C1,C2 son cjt) ≅ C1.sl = C2.sl ∧ (∀i: 0 ≤ i ≤ C1.sl-1: ∃ j: 0 ≤ j ≤ C2.sl-1: C1.A[i] = C2.A[j] )
1 0 0 Estructuras de datos. Especificación, diseño e implementación
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Fig. 2.7: función de abstracción aplicada sobre algunos valores de la representación de los
conjuntos (las clases del álgebra cociente se han dibujado directamente como conjuntos).
Implementación de tipos abstractos de datos 1 0 1
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Notemos que, al establecer la relación de igualdad sobre la representación, se trabaja
directamente sobre el dominio de la función de abstracción, es decir, sólo se deben estudiar
aquellos valores de la implementación que cumplan el invariante de la representación. Por
este motivo en R cjt no se tiene en cuenta la posibilidad de que haya elementos repetidos
porque es una situación prohibida por Icjt. Destaquemos también que la relación exacta
entre estos dos predicados y la función de abstracción es (en el ejemplo de los conjuntos):
Icjt (<A, sl>) ≡ <A, sl>∈dom(abscjt), y
R cjt (<A1, sl1>, <A2, sl2>) ≡ abscjt(<A1, sl1>) = abscjt(<A2, sl2>).
Es decir, la relación de igualdad sobre la representación es equivalente a la deducción
ecuacional en el marco de la semántica inicial.
A continuación, ha de establecerse claramente cuál es el método de verificación de una
implementación con respecto a su especificación, y es aquí donde aparecen varias
alternativas propuestas por diversos autores, entre las que destacamos tres que estudiamos
a continuación. Los formalismos que presentamos también son válidos si la especificación
define más de un género, en cuyo caso cada género del universo de implementación
dispondrá de sus propios predicados y, eventualmente, algunas demostraciones implicarán
invariantes y relaciones de igualdad de diversos géneros.
Cronológicamente, el primer enfoque propuesto se basa en el uso de las pre y
postcondiciones de las operaciones implementadas, y por ello se denomina comúnmente
método axiomático. Este enfoque, formulado por el mismo C.A.R. Hoare en el artículo ya
mencionado, requiere la escritura explícita de la función de abstracción, además de los
predicados R t e It ; a continuación, puede establecerse de manera casi automática la
especificación pre-post de las operaciones mediante las siguientes reglas:
- Toda operación tiene como precondición el invariante de la representación, así como la
negación de todas aquellas condiciones de error que no se detecten en el cuerpo de
la propia función; si la operación es una constante, la precondición es cierto.
- Las postcondiciones consisten en igualar la función de abstracción aplicada sobre la
representación resultante con la aplicación de la operación sobre los parámetros de
entrada, amén del propio invariante de la representación.
Así, por ejemplo, la operación de añadido de un elemento queda con la especificación:
{Icjt(s1)} s2 := s1∪{v} {abscjt(s2) = abscjt(s1) ∪{v} ∧ Icjt(s2)}1
donde abscjt se puede escribir recursivamente como:
abscjt(<A, 0>)= Ø
abscjt(<A, x+1>) = abscjt(<A, x>)∪{A[x]}
__________________________________________________________________________________
1
Notemos que el símbolo ∪ está sobrecargado; por ello, algunos autores distinguen notacionalmente
las referencias a la operación del TAD de las referencias a su implementación.

Una vez se dispone de la especificación pre-post, basta con verificar una a una todas las
operaciones del tipo para concluir la corrección de la implementación. En dicha verificación,
puede ser necesario utilizar la relación de igualdad. Como ejemplo ilustrativo, en el apartado
3.1 se presenta la verificación de la operación de añadir un elemento a una pila.
El segundo método, propuesto por J.V. Guttag, E. Horowitz y D.R. Muser en "Abstract Data
Types and Software Validation", Communications ACM, 21(12), 1978, es un enfoque
básicamente algebraico. Una vez escritos los predicados It y R t , basta con restringir los
valores del álgebra de la implementación mediante It, agrupar los valores resultantes en
clases de equivalencia según R t y, finalmente, demostrar la validez del modelo en la
implementación. Es decir, es preciso efectuar cuatro pasos:
- Reescribir la implementación del tipo en forma de ecuaciones.
- Demostrar que R t es efectivamente una relación de equivalencia y que se mantiene
bajo transformaciones idénticas que involucren las operaciones de la signatura.
- Demostrar que It es efectivamente un invariante de la representación respetado por
todas las operaciones constructoras del tipo.
- Demostrar que las ecuaciones de la especificación se satisfacen en la implementación.
Estudiemos el ejemplo de los conjuntos. Como resultado del primer paso, habrá un conjunto
de ecuaciones por cada operación visible y, en ellas, toda variable de tipo cjt se habrá
sustituido por la aplicación de la función de abstracción sobre la representación del tipo. Es
necesario controlar que el invariante de la representación proteja de alguna manera las
ecuaciones (ya sea explícitamente como premisa en una ecuación condicional, ya sea
implícitamente, por construcción). En la fig. 2.8 se muestra el universo resultante, donde se
aprecia el uso de operaciones sobre vectores, as y cons, cuyo significado es asignar un valor
a una posición y consultarlo, y que se suponen especificadas en el universo VECTOR;
además, se instancian los pares para poder representar los conjuntos mediante el vector y el
apuntador. Notemos que las condiciones en el código se han traducido trivialmente a
ecuaciones condicionales, mientras que los bucles se han transformado en ecuaciones
recursivas. El universo resultante es utilizado en las tres fases siguientes de la verificación.
Para demostrar que la relación de igualdad se mantiene, basta con estudiar la igualdad de
todas las parejas de términos posibles cuya operación más externa sea un símbolo de
operación de la signatura, aplicadas sobre dos representaciones iguales según R cjt; así,
siendo abscjt(<A1, sl1>) = abscjt(<A2, sl2>) por la relación de igualdad, debe cumplirse que
abscjt(<A1, sl1>) ∪ {v} = abscjt(<A2, sl2>) ∪ {v}, v ∈abscjt(<A1, sl1>) = v ∈abscjt(<A2, sl2>) y
lleno?(abscjt(<A1, sl1>)) = lleno?(abscjt(<A2, sl2>)). Por lo que respecta a la conservación del
invariante, se debe demostrar que, para toda operación constructora f, el resultado proteje el
invariante, suponiendo que los parámetros de tipo cjt lo cumplen inicialmente. En el caso de
que f no tenga parámetros de tipo cjt, basta con comprobar que la estructura se crea
cumpliendo el invariante. En el último paso, se comprueba la validez de las ecuaciones del
__________________________________________________________________________________

tipo implementado una por una, previa sustitución de las operaciones que en éllas aparecen
por su implementación, usando R cjt , Icjt, las ecuaciones de la implementación y las de los
tipos que aparecen en la implementación (vectores, tuplas, y similares, incluyendo posibles
TAD definidos por el usuario); así, por ejemplo, debe demostrarse que s∪{v}∪{v} = s∪{v},
utilizando, entre otras, las ecuaciones de los vectores tales como cons(as(A, k, v), k) = v.
universo CJT_∈_ACOTADO_POR_VECT (ELEM_=, VAL_NAT)
implementa CJT_∈_ACOTADO (ELEM_=, VAL_NAT)
usa NAT, BOOL
instancia VECTOR(ÍNDICE es ELEM_=, VALOR es ELEM) donde
ÍNDICE.elem es nat, ÍNDICE.= es NAT.=, VALOR.elem es ELEM.elem
instancia PAR (A, B son ELEM) donde A.elem es vector, B.elem es nat
tipo cjt és par
error ∀A∈vector; ∀sl∈nat: [NAT.ig(sl, val) ∧ ¬ v∈ abscjt(<A, sl>)] ⇒ abscjt(<A, sl>)∪{v}
ecns ∀A∈vector; ∀sl∈nat; ∀v∈elem
Ø = abscjt(<VECTOR.crea, 0>)
[v∈ abscjt(<A, sl>)] ⇒ abscjt(<A, sl>)∪{v} = abscjt(<A, sl>)
[¬ v∈ abscjt(<A, sl>)] ⇒ abscjt(<A, sl>)∪{v} = abscjt(<VECTOR.as(A, sl, v), sl+1>)
v∈ abscjt(<A, 0>) = falso
[sl ≠ 0] ⇒ v ∈ abscjt(<A, sl>) = (v = VECTOR.cons(A, sl-1)) ∨ (v∈ abscjt(<A, sl-1>))
lleno?(abscjt(<A, sl>)) = NAT.ig(sl, val)
funiverso
Fig. 2.8: implementación por ecuaciones para los conjuntos usando vectores.
El tercer método que se presenta fue propuesto por H. Ehrig, H.-J. Kreowski, B. Mahr y
P. Padawitz en "Algebraic Implementation of Abstract Data Types", Theoretical Computer
Science, 20, 1982, y se basa en el uso de la especificación algebraica del tipo que se utiliza
para implementar. Concretamente, siendo tspec el tipo que se ha de implementar definido en
el universo SPEC = ({tspec}, OPspec, Espec), y siendo timpl el tipo implementador definido en el
universo IMPL = ({timpl}, OPimpl, Eimpl), se trata de establecer un isomorfismo entre el álgebra
cociente de términos TSPEC y otro objeto algebraico construido a partir de la implementación
de tspec por timpl. Sea ABS = (Sabs, OPabs, Eabs) el universo que define esta nueva álgebra; su
construcción sigue las fases siguientes:
- Síntesis: inicialmente, se define ABS = ({tspec , timpl }, OPspec ∪ OPimpl , Eimpl ). A
continuación se efectúa la implementación de las operaciones de OPspec en términos
de las de OPimpl . Al escribirlas, se necesitan, además, una o más operaciones para
convertir un objeto de género timpl a género tspec.
__________________________________________________________________________________

- Restricción: en este paso se olvidan todos aquellos valores de la implementación que
no son alcanzables y, además, se esconden los géneros y las operaciones de OPimpl
para que el usuario de la implementación no pueda utilizarlas.
- Identificación: finalmente, se incorporan las ecuaciones de la especificación a Eabs, para
asegurar que se igualen todas aquellas representaciones realmente equivalentes.
(Notemos la similitud de los pasos de restricción y de identificación con el invariante de la
representación y la relación de equivalencia de los enfoques anteriores.) Finalmente, se
considera que la implementación es correcta si el álgebra cociente de términos TABS de este
universo es isomorfa a TSPEC.
Si aplicamos este método al ejemplo de los conjuntos, se podría pensar en tomar como
punto de partida la implementación por ecuaciones del universo de la fig. 2.8. Ahora bien,
hay diversas situaciones anómalas; por ejemplo, dados dos elementos v1 y v2, las tuplas
resultantes de añadir primero v1 y después v2 y viceversa son diferentes y, al particionar el
álgebra de la implementación, van a parar a clases diferentes e impiden establecer un
isomorfismo con el álgebra cociente de la especificación de los conjuntos. Estas situaciones
eran irrelevantes en el método de J.V. Guttag et al., donde no se necesitaba definir ningún
isomorfismo, sino que simplemente se comprobaba que el comportamiento determinado por
la implementación "simulaba" correctamente el comportamiento establecido en la
especificación. Estos y otros inconvenientes se solucionan en la fig. 2.10, que sí sigue el
método y que se explica a continuación.
En el paso de síntesis se define el nuevo género cjt y una operación, abs, que convierte un
valor de la implementación en otro de la especificación y que es la constructora generadora
(una especie de función de abstracción que se limita a "copiar" el valor de la implementación
en la especificación, y que es necesaria para no tener problemas con los tipos de los
parámetros y los resultados de las operaciones). A continuación, se implementan por
ecuaciones las operaciones de los conjuntos en términos de las tuplas. En la fase de
restricción, se prohíben repeticiones en los vectores, se limita el valor máximo permitido del
sitio libre (en realidad, la última condición no es estrictamente necesaria tal como se ha
sintetizado previamente el tipo) y se olvidan todos aquellos símbolos invisibles para el
usuario del TAD. Por último, se aplican las ecuaciones de los conjuntos para asegurar la
equivalencia de los valores. En la fig. 2.9 se muestra todo el proceso aplicado sobre diversas
representaciones que denotan el mismo valor del tipo.
Una vez presentados estos tres métodos, cabe preguntarse en qué contexto puede ser más
adecuado uno u otro. En el marco de desarrollo de aplicaciones modulares, una
implementación puede constar de diversas etapas; por ejemplo, un conjunto se podría
representar mediante una secuencia y, a su vez, una secuencia se podría representar
mediante el esquema de vector y apuntador que acabamos de ver. Esta situación se habría
dado en caso de haber existido la implementación para las secuencias y de que se hubiera
__________________________________________________________________________________

considerado que su uso facilitaba la implementación de los conjuntos. La corrección de esta
implementación se puede verificar usando el enfoque de H. Ehrig et al. para la primera etapa
y el enfoque de J.V. Guttag et al. o de C.A.R. Hoare para la segunda, dado que la
implementación de los conjuntos se basa en la especificación algebraica que definen las
secuencias, mientras que la implementación de las secuencias se hace directamente usando
los constructores del lenguaje.
1 2 1
1 2
2 1
1 2
Ø∪{1}∪{2} Ø∪{1}∪{2}∪{1}
Ø∪{1}∪{1}∪{2} .....
2 1
Ø∪{2}∪{1} Ø∪{2}∪{2}∪{1}
Ø∪{2}∪{1}∪{2} .....
Ø∪{2}∪{1} Ø∪{2}∪{2}∪{1}
Ø∪{2}∪{1}∪{2} .....
Ø∪{1}∪{2} Ø∪{1}∪{2}∪{1}
Ø∪{1}∪{1}∪{2} .....
Ø∪{2}∪{1} Ø∪{2}∪{2}∪{1}
Ø∪{2}∪{1}∪{2} .....
Ø∪{1}∪{2} Ø∪{1}∪{2}∪{1}
Ø∪{1}∪{1}∪{2} .....
(1)
(2)
(3)
1 2 1
Fig. 2.9: implementación de los conjuntos: (1) síntesis; (2) restricción; (3) identificación.
__________________________________________________________________________________

universo CJT_∈_ACOTADO_POR_VECT (ELEM_=, VAL_NAT) es
usa NAT, BOOL
instancia VECTOR(ÍNDICE es ELEM_=, VALOR es ELEM) donde
ÍNDICE.elem es nat, ÍNDICE.= es NAT.=, VALOR.elem es ELEM.elem
instancia PAR(A, B son ELEM) donde A.elem es vector, B.elem es nat
{Paso 1: síntesis}
tipo cjt
ops abs: par → cjt
Ø: → cjt
_∪{_}: cjt ELEM.elem → cjt
_∈_: ELEM.elem cjt → bool
lleno?: cjt → bool
errores [lleno?(abs(<A, sl>)) ∧ ¬v ∈abs(<A, sl>)] ⇒ abs(<A, sl>)∪{v}
ecns Ø = abs(<VECTOR.crea, 0>)
[v∈abs(<A, sl>)] ⇒ abs(<A, sl>)∪{v} = abs(<A, sl>)
[¬v∈abs(<A, sl>)] ⇒ abs(<A, sl>)∪{v} = abs(<VECTOR.as(A, sl, v), sl+1>)
v∈abs(<A, NAT.0>) = falso
[sl ≠ 0] ⇒ v∈abs(<A, sl>) = (v = VECTOR.cons(A, sl-1)) ∨ (v∈abs(<A, sl-1>))
lleno?(abs(<A, sl>)) = NAT.ig(sl, val)
{Paso 2: restricción}
errores as(as(A, i, v), i, v); [sl > val] ⇒ <A, sl>
esconde VECTOR.vector, VECTOR.crea, VECTOR.as, VECTOR.cons
PAR.par, PAR._.c1, PAR._.c2
{Paso 3: identificación}
errores [lleno?(C) ∧ ¬v∈C] ⇒ C∪{v}
ecns C∪{v}∪{v} = C∪{v}
C∪{v1}∪{v2} = C∪{v2}∪{v1}
...etc. {v. fig. 1.32}
funiverso
Fig. 2.10: aplicación de la técnica de tres pasos: síntesis, restricción e identificación.
A partir de la introducción dada aquí, queda claro que las demostraciones de corrección de
las implementaciones son ciertamente complicadas sobrepasando los objetivos de este
texto, y por ello no se adjuntan. Ahora bien, para mayor legibilidad incluiremos siempre los
invariantes de la representación en forma de predicados booleanos que acompañarán a las
representaciones del tipo; su escritura complementa las explicaciones que aparecen.
__________________________________________________________________________________

2.3 Estudio de la eficiencia de las implementaciones2
Como ya se ha dicho, un tipo de datos descrito mediante una especificación algebraica se
puede implementar de varias maneras, que diferirán en la representación del tipo y/o en los
algoritmos y detalles de codificación de algunas de sus funciones. La razón de que existan
múltiples implementaciones de un único TAD es la adaptación a un contexto determinado de
uso dado que, generalmente, diversas aplicaciones exigirán diferentes requisitos de
eficiencia y, por ello, no se puede afirmar que una implementación concreta es "la mejor
implementación posible" de un TAD (a pesar de que muchas veces es posible rechazar
completamente una estrategia concreta de implementación, porque no es la mejor en
ningún contexto). En el ejemplo de los conjuntos, una aplicación con pocas inserciones y
muchas consultas reclamará la optimización de la operación de pertenencia por encima de la
operación de inserción, pero hay diversos algoritmos en este libro que exigen que ambas
operaciones sean igualmente rápidas, y entonces es necesario aplicar estrategias que
consuman espacio adicional. Idealmente, el conjunto de todas las implementaciones
existentes de un tipo de datos ha de ser lo suficientemente versátil como para ofrecer la
máxima eficiencia al integrarlo dentro de cualquier entorno3
.
Para estudiar la integración correcta de una implementación dentro de una aplicación primero
es necesario determinar los criterios que definen su eficiencia y después formular una
estrategia de medida de los recursos consumidos; de esta manera, será posible clasificar los
algoritmos y, también, compararlos cuando son funcionalmente equivalentes. Por lo que
respecta al primer punto, los dos factores más obvios ya se han citado intuitivamente en el
párrafo anterior y son los que usaremos a lo largo del texto: el tiempo de ejecución de las
diversas funciones del tipo y el espacio necesario para representar los valores. Normalmente
son criterios confrontados (siempre habrá que sacrificar la velocidad de una o más
operaciones del tipo y/o espacio para favorecer otras o bien ahorrar espacio) y por ello su
estudio tendrá que ser cuidadoso. Hay otros factores que pueden llegar a ser igualmente
importantes, sobre todo en un entorno industrial de desarrollo de programas a gran escala,
pero que raramente citaremos en este texto a causa de la dificultad para medirlos; destacan el
tiempo de desarrollo de las aplicaciones (que es un criterio profusamente empleado en la
industria, medido en hombres/año), el dinero invertido en escribirlas, el posible hardware
adicional que exijan, la facilidad de mantenimiento, etc.
__________________________________________________________________________________
2
Se podría argumentar que el estudio de la eficiencia de los programas resulta irrelevante desde el
momento en que la potencia y la memoria de los computadores crece y crece sin fin. Ahora bien, este
crecimiento, en realidad, incita a la resolución de problemas cada vez más complejos que exigen
administrar cuidadosamente los recursos del computador y, por ello, el estudio de la eficiencia sigue
vigente. Además, existe una clase de problemas (que aquí llamaremos "de orden de magnitud
exponencial", v. 2.3.2) cuya complejidad intrínseca no parece que pueda ser solventada por las
mejoras del hardware.
3
Ahora bien, no es necesario construir a priori todas las implementaciones que se crean oportunas
para un tipo, sino que se han de escribir a medida que se precisen (a no ser que se quiera organizar
una biblioteca de módulos de interés general).

Centrémonos en la elección de las estrategias de medida de la eficiencia. Se podría
considerar la posibilidad de medir el tiempo de ejecución del programa en segundos (o
fracciones de segundo) y el espacio que ocupa en bytes o similares4
, pero estas opciones
ocasionan una serie de problemas que las hacen claramente impracticables:
- Son poco precisas: un programa que ocupa 1 Mbyte y tarda 10 segundos en
ejecutarse, ¿es eficiente o no? Es más, comparado con otro programa que resuelva el
mismo enunciado, que ocupe 0.9 Mbytes y tarde 9 segundos en ejecutarse, ¿es
significativamente mejor el primero que el segundo o la diferencia es desdeñable y
fácilmente subsanable?
- Son a posteriori : hasta que no se dispone de código ejecutable no se puede estudiar
la eficiencia.
- Dependen de parámetros diversos:
◊ De bajo nivel: del hardware subyacente, del sistema operativo de la máquina, del
compilador del lenguaje, etc. Esta dependencia es nefasta, porque evita la
extrapolación de los resultados a otros entornos de ejecución.
◊ De los datos de entrada: el comportamiento del programa puede depender y,
generalmente, dependerá del volumen de datos para procesar y posiblemente de
su configuración.
En consecuencia, la medida de la eficiencia de los programas en general y de las estructuras
de datos en particular sigue un enfoque diferente, que consiste en centrarse precisamente
en el estudio de los datos de entrada del programa. Para conseguir que este método sea
realmente previo al desarrollo total del código, se caracterizan las operaciones del TAD
mediante el algoritmo subyacente y, a partir de éste, se deduce una función que proporciona
la eficiencia parametrizada por el volumen de los datos que procesa; de forma similar, para el
espacio se caracteriza la representación del tipo mediante la estructura de datos empleada.
Para independizar el método de los parámetros de bajo nivel citados antes, la eficiencia se
mide con las denominadas notaciones asintóticas que se introducen a continuación.
Queda un problema por resolver. Como ya se ha dicho, para un mismo volumen de datos de
entrada el comportamiento del programa puede variar substancialmente según el dominio
concreto que se maneje; por ejemplo, la búsqueda de un elemento dentro de un vector de
n posiciones exige un número de comparaciones que oscila entre 1 y n, según donde se
encuentre el elemento (si está). Por este motivo, parece adecuado formular un caso medio a
partir de la frecuencia de aparición esperada de los datos. Ahora bien, normalmente es
imposible caracterizar la distribución de probabilidad de los datos de entrada, ya sea porque
se desconoce, o bien porque se conoce, pero su análisis se vuelve matemáticamente
impracticable; debido a esto y a que, habitualmente, no se busca tanto una eficiencia
determinada como una cota inferior que asegure que bajo ningún concepto el
__________________________________________________________________________________
4
Por ejemplo, D.E. Knuth formula la eficiencia de los algoritmos a partir del número de instrucciones en
un computador idealizado (v. [Knu68] y [Knu73]).

comportamiento del programa será inaceptable, se opta tradicionalmente por estudiar el caso
peor en la distribución de los datos de entrada; eso sí, cuando se crea conveniente y sea
posible, se hará referencia al caso medio (el caso mejor se descarta por ilusorio y sólo se
referirá casualmente como anécdota).
2.3.1 Notaciones asintóticas
Las notaciones asintóticas (ing., asymptotic notation) son las estrategias de medida de la
eficiencia seguidas en este texto: a partir de una función de dominio y codominio los
naturales positivos, f : N + → N +, que caracteriza la eficiencia espacial de la representación
de un tipo o bien la eficiencia temporal de una operación en función del volumen de los
datos utilizados, una notación asintótica define un conjunto de funciones que acotan de
alguna manera el crecimiento de f. El calificativo "asintótica" significa que la eficiencia se
estudia para volúmenes de datos grandes por ser éste el caso en que la ineficiencia de un
programa es realmente crítica. El estudio del caso asintótico permite desdeñar los factores
de bajo nivel citados al principio de esta sección; la independencia del entorno de ejecución
se traduce en un estudio, no tanto de los valores de f, como de su ritmo de crecimiento, y da
como resultado unas definiciones de las notaciones asintóticas que desdeñan, por un lado,
los valores más bajos del dominio por poco significativos y, por el otro, las constantes
multiplicativas y aditivas que pueden efectivamente considerarse irrelevantes a medida que
el volumen de datos aumenta.
Hay varias notaciones asintóticas, explicadas en detalle en diferentes libros y artículos. El
artículo pionero en la aplicación de estas notaciones en el campo de la programación fue
escrito por D.E. Knuth en el año 1976 ("Big Omicron and Big Omega and Big Theta",
SIGACT News, 8(2)), que presenta, además, una descripción histórica (ampliada por
P.M.B. Vitányi y L.G.L.T. Meertens en "Big Omega versus the Wild Functions", SIGACT
News, 16(4), 1985). G. Brassard mejoró la propuesta de Knuth definiendo las notaciones
como conjuntos de funciones (v. "Crusade for a Better Notation", SIGACT News, 17(1),
1985), que es el enfoque que se sigue actualmente; en [BrB87], el mismo Brassard, junto
con P. Bratley, profundiza en el estudio de las notaciones asintóticas.
En este texto introducimos las tres notaciones asintóticas más habituales. Las dos primeras
definen cotas superiores y inferiores de los programas: la notación O grande (ing., big Oh o
big Omicron), o simplemente O, para la búsqueda de cotas superiores y la notación omega
grande (ing., big Omega), o simplemente Ω, para la búsqueda de cotas inferiores.
Concretamente, dada una función f : N + → N +, la O de f, denotada por O(f), es el conjunto
de funciones que crecen como máximo con la misma rapidez que f y la omega de f, denotada
por Ω(f), es el conjunto de funciones que crecen con mayor o igual rapidez que f. Dicho en
otras palabras, f es una cota superior de todas las funciones que hay en O(f) y una cota
inferior de todas las funciones que hay en Ω(f).
__________________________________________________________________________________

O(f) ≅ {g: N+ → N+ / ∃c0: c0∈R+: ∃n0: n0∈N+: ∀n: n ≥ n0: g(n) ≤ c0f(n)}
Ω(f) ≅ {g: N+ → N+ / ∃c0: c0∈R+: ∃n0: n0∈N+: ∀n: n ≥ n0: g(n) ≥ c0f(n)}5
La constante n0 identifica el punto a partir del cual f es cota de g, mientras que c0 es la
constante multiplicativa (v. fig. 2.11); n0 permite olvidar los primeros valores de la función por
poco significativos, y c0 desprecia los cambios constantes dentro de un mismo orden
debidos a variaciones en los factores de bajo nivel y también a la aparición reiterada en los
algoritmos de construcciones que tienen la misma eficiencia.
Por ejemplo, dadas las funciones f(n) = 4n, g(n) = n+5 y h(n) = n2, se puede comprobar
aplicando la definición que f y g están dentro de O(f ), O(g) y O(h) y también dentro de Ω(f) y
Ω(g) (en concreto, O(f ) = O(g) y Ω(f ) = Ω(g), porque ambas funciones presentan el mismo
ritmo de crecimiento despreciando la constante multiplicativa), mientras que h no está dentro
de O(f ) ni de O(g), pero sí dentro de Ω(f) y Ω(g). A partir de la definición, y como ilustra este
ejemplo, es obvio que las dos notaciones están fuertemente relacionadas según la fórmula
f ∈O(g) ⇔ g ∈Ω(f ), cuya demostración queda como ejercicio para el lector.
Por lo que respecta a su utilidad como herramienta de medida de la eficiencia de los
programas, las notaciones O y Ω presentan varias propiedades especialmente interesantes
que se enumeran a continuación; su demostración queda como ejercicio para el lector. Así,
el cálculo de la eficiencia de un algoritmo se basará en la aplicación de estas propiedades y
no directamente en la definición, facilitando el proceso. Para abreviar se dan solamente las
propiedades de O; las de Ω son idénticas.
1) La notación O es una relación reflexiva y transitiva, pero no simétrica:
∀f,g,h: N+ → N+: f∈O(f) ∧ ¬ (f∈O(g) ⇒ g∈O(f)) ∧ (f∈O(g) ∧ g∈O(h) ⇒ f∈O(h))
2) La notación O es resistente a las multiplicaciones por, y adiciones de, constantes:
∀f,g: N+ → N+: ∀c∈R+: ß g∈O(f) ⇔ c.g∈O(f) ¿ ∧ ß g∈O(f) ⇔ c + g∈O(f) ¿
3) Reglas de la notación O respecto a la suma y el producto de funciones:
∀f1,g1,f2,g2: N+ → N+: g1∈O(f1) ∧ g2∈O(f2):
3.a) g1+g2∈O(máx(f1, f2)), siendo (g1+g2)(n) ≅ g1(n)+g2(n), y
máx(f1, f2)(n) ≅ máx ß f1(n), f2(n) ¿
3.b) g1.g2∈O(f1.f2)), siendo (g1.g2)(n) ≅ g1(n).g2(n)
Otra manera de enunciar estas reglas es:
3.a) O(f1)+O(f2) = O(f1 + f2) = O(máx(f1, f2)), y
3.b) O(f1).O(f2) = O(f1.f2))
La caracterización de los conjuntos O(f1)+O(f2) y O(f1).O(f2) aparece en [Peñ93, p.8].
__________________________________________________________________________________
5
Hay una definición diferente de la notación Ω (v. ejercicio 2.6) que amplía el conjunto de funciones
que pertenecen a Ω(f); no obstante, estas funciones "especiales" no surgen demasiado a menudo en
el análisis de la eficiencia de un programa y, por este motivo y también por su simplicidad, preferimos la
definición aquí dada.

Notemos que la definición de las notaciones asintóticas es independiente de si se trata el
caso peor o el caso medio; en el caso peor, no obstante, se produce una asimetría entre
ellas: si f ∈O(g), entonces g es una cota superior del caso peor y por ello no puede haber
ningún valor de la entrada que se comporte peor que g, mientras que si f ∈Ω(g), entonces g
es una cota inferior del caso peor, pero puede haber diversos valores de la entrada,
potencialmente infinitos, que se comporten mejor que g, si el algoritmo trabaja en un caso
que no sea el peor.
Las dos notaciones hasta ahora presentadas permiten buscar cotas superiores e inferiores
de programas; ahora bien, la formulación de una de estas cotas no proporciona suficiente
información como para determinar la eficiencia exacta de un programa. Por ello, introducimos
una última notación que será la más usada en este texto, llamada teta grande (ing., big Theta)
o, simplemente, Θ. La teta de f, notada mediante Θ(f), es el conjunto de funciones que
crecen exactamente al mismo ritmo que f; dicho de otra manera, f ∈Θ(g) si y sólo si g es a la
vez cota inferior y superior de f ; este conjunto es formulable a partir de O(f ) y Ω(f) como
Θ(f) = O(f) ∩ Ω(f) (v. fig. 2.11) y así la definición queda:
Θ(f) ≅ {g: N+ → N+ / ∃c0,c1: c0,c1∈R+: ∃n0: n0∈N+: ∀n: n ≥ n0: c1f(n) ≥ g(n) ≥ c0f(n)}
O Ω
Θ
Fig. 2.11: notaciones O, Ω y Θ.
En el ejemplo anterior se cumple que f ∈Θ(g), ya que f ∈O(g) y f ∈Ω(g) y, simétricamente,
g ∈Θ(f ), dado que g ∈O(f) y g ∈Ω(f). Precisamente, la simetría de la notación Θ es un rasgo
diferencial respecto a O y Ω, porque determina que Θ es una relación de equivalencia; el
resto de propiedades antes enunciadas son, no obstante, idénticas. Destaca también una
__________________________________________________________________________________

caracterización de Θ por límites: limn→∞f(n)/g(n)∈R-{0} ⇒ f ∈Θ(g). Por lo que respecta a la
nomenclatura, dadas dos funciones f,g : N+→ N + tales que f ∈Θ(g), decimos que f es de
orden (de magnitud ) g o, simplemente, que f es g (siempre en el contexto del estudio de la
eficiencia, claro); también se dice que f es de (o tiene) coste (o complejidad ; ing., cost o
complexity) g6
.
Hasta ahora, las notaciones asintóticas se han definido para funciones de una sola variable.
No obstante, en el caso general, la eficiencia de un algoritmo puede depender de diferentes
magnitudes, cada una de las cuáles representa el tamaño de un dominio de datos
determinado (por ejemplo, en una biblioteca, número de libros, de socios, de ejemplares por
libro, etc.). La definición de O, Ω y Θ en esta nueva situación introduce tantas constantes
como variables tenga la función para determinar los valores a partir de los que la cota dada es
válida. Por ejemplo, la definición de Θ para una función f de k variables queda:
Θ(f)7
≅ {g: N+≈...≈ N+→ N+ / ∃c0,c1: c0,c1∈R+: ∃x1, ..., xk: x1, ..., xk ∈N+:
∀n1, ..., nk: n1 ≥ x1 ∧ ... ∧ nk ≥ xk: c1f(n1, ..., nk) ≥ g(n1, ..., nk) ≥ c0f(n1, ..., nk)}
La existencia de diferentes variables genera órdenes de magnitud incomparables cuando no
es posible relacionarlas completamente; así, Θ(a2.n) Q Θ(a.n2) y Θ(a.n2) Q Θ(a2.n). Esta
situación dificulta el análisis de la eficiencia y provoca que algunos resultados queden
pendientes del contexto de utilización del algoritmo, que será el que determinará todas las
relaciones entre los diferentes parámetros de la eficiencia; concretamente, para asegurar
que todos los órdenes se puedan comparar, esta relación debería ser un orden total que
permitiera expresar todos los parámetros en función de uno solo. Así mismo, la regla de la
suma de las notaciones asintóticas se ve afectada porque puede ser imposible determinar el
máximo de dos funciones tal como exige su definición.
Por último, es conveniente constatar que el análisis asintótico de la eficiencia de los
programas a veces esconde e, incluso, distorsiona otros hechos igualmente importantes, y
puede conducir a conclusiones erróneas. Destacamos los puntos siguientes:
- Como ya se ha dicho, el comportamiento asintótico se manifiesta a medida que crece la
cantidad de datos de entrada. Eventualmente, el contexto de utilización de un
programa puede asegurar que el volumen de datos es siempre reducido, y entonces el
análisis asintótico es engañoso: una función asintóticamente costosa puede llegar a ser
más rápida que otra de orden inferior si las diversas constantes aditivas y, sobre todo,
multiplicativas, olvidadas en el proceso de cálculo de la eficiencia, son mucho mayores
en la segunda que en la primera. Por ejemplo, hay diversos algoritmos de productos de
enteros o matrices que son asintóticamente más eficientes que los tradicionales, pero
__________________________________________________________________________________
6
Algunos autores proponen la terminologia "orden exacto"; en el caso de que f ∈O(g), dicen que f tiene
"como máximo" orden g, y si f ∈Ω(g) dicen que f tiene "como mínimo" orden g.
7
En este caso, y por motivos de claridad, puede ser conveniente explicitar las variables en la
definición misma, y así escribir Θ(f(n1, ..., nk)).

que no se empiezan a comportar mejor hasta dimensiones de los datos demasiado
grandes para que sean realmente prácticos. En general, no obstante, las constantes
que pueden surgir en el análisis de la eficiencia tienen normalmente un valor pequeño.
- En algunos contextos es necesario un análisis más depurado del comportamiento de
un algoritmo si realmente se quieren extraer conclusiones pertinentes. Por ejemplo, en
la familia de los algoritmos de ordenación (ing., sorting algorithm) hay varios con el
mismo coste asintótico y, por ello, también se consideran las constantes y se estudia en
qué situaciones son más apropiados unos u otros.
- Una versión muy eficiente de un programa puede dar como resultado un trozo de
código excesivamente complicado y rígido que vulnere los principios de la
programación modular enumerados en la sección 1.1, especialmente en lo que se
refiere a su mantenimiento y reusabilidad.
- El estudio asintótico muestra claramente que el ahorro de una variable o instrucción
que complique el código resultante no aporta ninguna ganancia considerable y reduce
la legibilidad; por tanto, dicho ahorro es claramente desaconsejable. Sin embargo, no
es justificable la ineficiencia causada por la programación descuidada, por mucho que
no afecte al coste asintótico del programa; un ejemplo habitual es el cálculo reiterado
de un valor que se podría haber guardado en una variable, si dicho cálculo tiene un
coste apreciable.
- Si la vida de un programa se prevé breve priman otros factores, siendo especialmente
importante el coste de desarrollo y depuración. En el mismo sentido, si se tiene la
certeza de que un trozo de programa se usará sólo en situaciones excepcionales sin
que sea necesario que cumpla requisitos de eficiencia exigentes, el estudio de la
eficiencia del programa puede prescindir de él y centrarse en las partes realmente
determinantes en el tiempo de ejecución. Cualquiera de estas dos suposiciones,
evidentemente, ha de estar realmente fundada.
- Otros factores, como la precisión y la estabilidad en los algoritmos de cálculo numérico,
o bien el número de procesadores en algoritmos paralelos, puede ser tan importantes
(o más) como la eficiencia en el análisis de los programas.
2.3.2 Órdenes de magnitud más habituales
Toda función f: N+ → N+ cae dentro de una de las clases de equivalencia determinadas por
la relación Θ. Para poder hablar con claridad de la eficiencia de los programas se identifican a
continuación las clases más usuales que surgen de su análisis; todas ellas se caracterizan
mediante un representante lo más simple posible, se les da un nombre para referirse a ellas
en el resto del libro y se muestran algunas funciones que son congruentes.
__________________________________________________________________________________

- Θ(1): constante. Incluye todas aquellas funciones independientes del volumen de los
datos que se comportan siempre de la misma manera; por ejemplo, secuencias de
instrucciones sin iteraciones ni llamadas a funciones o acciones, y tuplas de campos no
estructurados. Dentro de estas clases se encuentran las funciones 4, 8+log2, etc.
- Θ(logn): logarítmico8
. Aparecerá en algoritmos que descarten muchos valores en un
único paso (generalmente, la mitad) durante un proceso de búsqueda; las estructuras
arborescentes del capítulo 5 son un ejemplo paradigmático. Se incluyen funciones
como logn+k, logn+k logn, etc., siendo k una constante no negativa cualquiera.
- Θ(nk), para k constante: polinómico ; serán habituales los casos k = 1, 2 y 3 llamados,
respectivamente, lineal, cuadrático y cúbico. Notemos que el caso k = 0 es el coste
constante. El análisis de una función o estructura de datos en la que haya vectores y la
aparición de bucles comporta normalmente un factor polinómico dentro del coste. Son
funciones congruentes nk+logn, nk+7, nk+nk-1, etc.; consultar también el ejercicio 2.5.
- Θ(n logn) y Θ(n2 logn): casi-lineal y casi-cuadrático. Generalmente aparecen en bucles
tales que cada paso comporta un coste logarítmico o casi-lineal, respectivamente.
- Θ(kn), para k constante: exponencial; es el caso peor de todos, asociado generalmente
a problemas que se han de resolver mediante el ensayo reiterado de soluciones.
En la fig. 2.12 se muestra la evaluación de estas funciones para algunos valores
representativos de n. Notemos la similitud de comportamiento de los casos constante y
logarítmico, lineal y casi-lineal y cuadrático y casi-cuadrático, que en memoria interna se
pueden considerar prácticamente idénticos, sobre todo teniendo en cuenta que en el
cálculo de los costes se desprecian constantes y factores aditivos más pequeños, que
pueden llegar a hacer un algoritmo asintóticamente logarítmico mejor que otro constante,
como ya se ha dicho en el punto anterior.
n Θ(1) Θ(logn) Θ(n) Θ(nlogn) Θ(n2) Θ(n2logn) Θ(n3) Θ(2n)
1 1 19
1 1 1 1 1 2
10 1 2.3 10 23 100 230 1000 1024
100 1 4.6 100 460 10000 46000 106 1.26x1030
1000 1 6.9 1000 6900 106 6.9x106 109 → ∞
10000 1 9.2 10000 92000 108 9.2x108 1012 → ∞
100000 1 11.5 105 11.5x105 1010 11.5x1010 1015 → ∞
Fig. 2.12: algunos valores de los costes asintóticos más frecuentes.
__________________________________________________________________________________
8
No importa la base (que habitualmente será 2), ya que un cambio de base se concreta en una
multiplicación por una constante (v. ejercicio 2.5).
9
El tiempo de ejecución de un programa no se puede considerar nunca 0.

En caso que la eficiencia depenga de más de un parámetro, será necesario explicitar éstos al
catalogar la función; frecuentemente, para evitar ambigüedades, en vez de usar los nombres
que se acaban de dar, leeremos directamente la función representante de la clase; así, un
algoritmo que tenga un coste 2a2.3logn lo describiremos como "a cuadrado por el logaritmo
de n".
2.3.3 Análisis asintótico de la eficiencia temporal
Una vez formuladas las diferentes notaciones asintóticas de interés e identificadas sus
propiedades más relevantes, es indispensable determinar cómo se puede deducir la
eficiencia de una función o representación a partir del algoritmo o la estructura de datos
correspondiente. Estudiamos en este apartado la eficiencia temporal y en el siguiente la
eficiencia espacial.
El cálculo de la eficiencia temporal de un programa se puede realizar aplicando las reglas que
se enumeran a continuación, donde se muestra el tipo de construcción del lenguaje y
también las construcciones Merlí concretas para así poder analizar más fácilmente los
programas que aparecen en este texto completamente codificados. Destacamos que la
mayoría de las reglas dan como resultado sumatorios que, aplicando las propiedades de las
notaciones asintóticas, son equivalentes al orden de magnitud del sumando más costoso.
Denotaremos por T(S) la eficiencia temporal del trozo S de código; a veces, cuando el trozo
sea una función o acción entera f, denotaremos su eficiencia por Tf
10
.
- Referencia a valores y operadores predefinidos: se toma como coste constante
cualquier referencia a un objeto así como la aplicación de operaciones aritméticas,
relacionales y lógicas sobre los tipos que lo permitan. También se consideran
constantes las indexaciones de vectores (sin incluir el cálculo del índice mismo, que
tendrá su propio coste) y las referencias a tuplas. Los vectores y las tuplas podrán
compararse con = y ≠; en el caso de los vectores, el coste de la comparación es el
producto de la dimensión del vector por el coste de comparar un elemento; en el caso
de las tuplas, el resultado es igual al máximo del coste de las comparaciones de los
campos individuales.
- Evaluación de una expresión: suma de los costes de las subexpresiones que la
componen y de los operadores que las combinan:
T(E1 op1 E2 op2...En opn En+1) ≅ [ Σ i: 1 ≤ i ≤ n+1: T(Ei) ] + [ Σ i: 1 ≤ i ≤ n: T(opi) ]
Los costes T(opi) y T(Ei) vienen dados por la regla anterior y, en el caso de que
aparezcan invocaciones a funciones, por la regla siguiente.
__________________________________________________________________________________
10
También se escribe Tf (n1, ..., nk), siendo los ni los diversos parámetros que determinan el coste.

- Invocación a una función: suma del tiempo empleado en evaluar y, posiblemente,
duplicar los diversos parámetros reales más el tiempo empleado en ejecutar la función;
si alguno de los parámetros es una expresión, se debe aplicar la regla anterior.
T(f (E1, ..., En)) ≅ [ Σ i: 1 ≤ i ≤ n: T(Ei) + T(duplicación Ei) ] + Tf
Por mucho que los parámetros de la función sean implícitamente parámetros sólo de
entrada, se considera que su paso sólo exige hacer una copia cuando la función los
modifica; es decir, las categorías de los parámetros se consideran exclusivamente
como información relativa a su uso, al contrario que los lenguajes imperativos
tradicionales, que las tratan también como información orientada a la generación de
código. Como resultado, el tiempo de duplicación de un parámetro será constante en
muchos casos. No consideramos el posible tiempo de duplicar el resultado, ya que
supondremos que éste será disponible implícitamente en el ámbito de la llamada.
De momento, se puede considerar el tiempo de duplicación igual al espacio asintótico
que ocupa el tipo correspondiente, calculado según las reglas que se dan en el
apartado siguiente. En el apartado 3.3.4 introduciremos en los TAD (por otros motivos)
una función de asignación de valores y veremos entonces que la duplicación de los
parámetros consistirá en llamar a esta función, que tendrá su propio coste.
Por otro lado, no consideramos la formulación de ecuaciones de recurrencia típicas del
caso de las funciones recursivas (por ejemplo, consultar [Peñ93]) dado que, en este
texto, el cálculo de la eficiencia de este tipo de funciones se hará usando otros
razonamientos.
- Composición secuencial de instrucciones: suma de cada una de las instrucciones que
componen la secuencia.
T(S1; ...; Sn) ≅ Σ i: 1 ≤ i ≤ n: T(Si)
- Asignación: suma de los tiempos de evaluación de la parte izquierda y de la parte
derecha. Una vez más, no obstante, la asignación puede ser de vectores o tuplas
completos, en cuyo caso ni la parte izquierda ni la parte derecha presentarán
expresiones. En la asignación de vectores se multiplica el coste de la asignación a un
componente por la dimensión, y en la de tuplas, al ser el coste la suma, domina la
asignación de campos más costosa.
T(E1 := E2) ≅ T(E1) + T(E2), si el tipo es predefinido o escalar
T(v1 := v2) ≅ n.T(v1 [i] := v2 [i] ), para vectores de n componentes
T(v1 := v2) ≅ Σ i: 1 ≤ i ≤ n: T(v1 .ci := v2 .ci), para tuplas de campos c1, ..., cn
- Sentencias alternativas: suma de las diferentes expresiones condicionales e
instrucciones asociadas. A causa del cálculo del caso peor, se examinan todas las ramas
posibles y predomina el coste de la condición o la expresión más costosa.
__________________________________________________________________________________

T(si E entonces S1 sino S2 fsi) ≅ T(E) + T(S1) + T(S2)11
T(opción caso E1 hacer S1 ... caso En hacer Sn en cualquier otro caso Sn+1 fopción)
≅ [ Σ i: 1 ≤ i ≤ n+1: T(Si) ] + [ Σ i: 1 ≤ i ≤ n: T(Ei) ]
- Sentencias iterativas: suma de la condición del bucle y de las instrucciones que forman
el cuerpo, multiplicadas por el número n de veces que se ejecuta el bucle; no obstante,
hay diversas modalidades de bucle que sólo evalúan la condición una única vez, al
inicio.
T(hacer E veces S fhacer) ≅ T(E) + (n.T(S))
T(mientras E hacer S fmientras), T(repetir S hasta que E) ≅ n.(T(E) + T(S))
T(para todo v desde E1 hasta E2 hacer S fpara todo) ≅ T(E1) +T(E2) + (n.T(S))
T(para todo v dentro de T hacer S fpara todo) ≅ T(E) + (n.T(S))
En los dos últimos casos, la referencia a v no afecta al coste porque la variable ha de ser
de tipo natural, entero o escalar y su asignación, por tanto, constante.
Hay que destacar que, a veces, n es una magnitud desconocida y entonces se asume
el valor más grande que puede tomar (hipótesis de caso peor), a pesar de que también
se puede conjeturar un valor fijo si se pretende comparar diversos algoritmos más que
formular una eficiencia concreta. También es frecuente que el coste de ejecución de
un bucle no sea siempre el mismo; si se dan los dos casos, se puede multiplicar el
número máximo de vueltas por el coste más grande de un bucle y se obtiene una cota
superior O. Por último, destacar que en ciertos contextos el análisis de un bucle puede
no seguir las reglas semiautomáticas dadas aquí, sino que se emplea una estrategia
diferente que exige un análisis más profundo del significado del código; así lo haremos
en este mismo capítulo al analizar el algoritmo de ordenación por el método de la
inserción, y también en el capítulo 6 al estudiar diversos algoritmos sobre grafos.
- Invocación a una acción: por los mismos razonamientos que la invocación a funciones:
T(P(E1, ..., En)) ≅ [ Σ i: 1 ≤ i ≤ n: T(Ei) + T(duplicación Ei)] + TP
Como en las funciones, sólo se duplicarán los parámetros de entrada que se
modifiquen.
- Retorno de valor: simplemente el tiempo de evaluar la expresión: T(devuelve E) ≅ T(E).
- Errores: supondremos que el tratamiento de errores es de tiempo constante.
__________________________________________________________________________________
11
Para ser más exactos, el coste del algoritmo se puede precisar en términos de las notaciones O y Ω,
y obtener O(máx(T(E), T(S1), T(S2)) como cota superior y Ω(máx(T(E), mín(T(S1), T(S2))) como cota
inferior. Si ambos valores son iguales, se puede afirmar efectivamente que Θ tiene el coste dado; si no
lo son, realmente se está tomando como coste la cota superior del caso peor, dentro del contexto
pesimista en que nos movemos. Se pueden aplicar razonamientos similares en la sentencia alternativa
múltiple.

2.3.4 Análisis asintótico de la eficiencia espacial
También el espacio que ocupa una estructura de datos se puede calcular automáticamente a
partir de unas reglas formuladas sobre los diferentes constructores de tipo del lenguaje,
tomando como coste Θ(1) el espacio que ocupa un objeto de tipo predefinido o escalar.
Concretamente, si T es un tipo de datos representado en Merlí dentro de un universo de
implementación, el espacio E(T ) que ocupa un objeto de tipo T se puede calcular según las
reglas:
- Vectores: producto del espacio que ocupa cada componente por la dimensión n.
E(T ) ≅ E(vector [índice] de t) = n.E(t)
- Tuplas: suma del espacio de los campos; las tuplas variantes no afectan al coste
asintótico.
E(T ) ≅ E(tupla c1 es t1; ...; cn es tn ftupla) = Σ i: 1 ≤ i ≤ n: E(ti)
Sin embargo, a menudo, cuando se estudia el espacio de una estructura de datos, no sólo
interesa el coste asintótico sino también su coste "real" sin despreciar las constantes
multiplicativas ni los factores aditivos de orden inferior. La razón es que no será habitual que
dos estrategias de representación de un tipo de datos sean tan radicalmente diferentes
como para resultar en costes asintóticos desiguales, sino que las diferencias estarán en el
número de campos adicionales empleados para su gestión eficiente; estas variaciones no
influyen en el coste asintótico, pero pueden ser suficientemente significativas como para
considerarlas importantes en la elección de la representación concreta. Para el cálculo
correcto de este coste "real" se debe determinar el espacio que ocupa un objeto de cada
uno de los tipos predefinidos, un objeto de tipo escalar y un objeto de tipo puntero (v.
apartado 3.3.3), y aplicar las mismas reglas en los vectores y en las tuplas, poniendo especial
atención en el caso de las tuplas variantes: dada una parte variante de n conjuntos de
campos {c1}, ..., {cn}, el espacio que ocupa es la suma del campo discriminante más el máximo
del espacio de los {ci}. El espacio se puede dar en términos absolutos o bien relativos,
eligiendo el espacio de alguno de los tipos como unidad y expresando el resto en función
suya.
Por último, cabe destacar que el estudio de la eficiencia espacial se aplica, no sólo a las
representaciones de estructuras de datos, sino también a las variables auxiliares que declara
una función o acción. Es decir, se considera que toda función o acción, aparte de sus
parámetros (que necesitarán un espacio independiente del algoritmo usado dentro de la
función o acción), utiliza un espacio adicional que puede depender de la estrategia concreta
y que, eventualmente, puede llegar a cotas lineales o cuadráticas. En este libro, el espacio
adicional se destacará cuando sea especialmente voluminoso o cuando sea un criterio de
elección u optimización de una operación.
__________________________________________________________________________________

Para ilustrar las reglas definidas en estos dos últimos puntos, se determina la eficiencia de la
implementación de los conjuntos de la fig. 2.6. La eficiencia espacial es muy sencilla de
establecer:
- Asintótica: la representación de los conjuntos es una tupla y, por ello, el espacio E(cjt)
queda E(cjt) = val.E(elem) + Θ(1) = Θ(val.n), siendo E(elem) ≅ Θ(n) y Θ(1) el coste del
campo sl.
- Real: sea x el espacio que ocupa un natural y sea n el espacio que ocupa un objeto de
tipo elem, el espacio resultante será val.n + x, muy parecido en este caso al espacio
asintótico.
Es decir, el coste espacial depende de lo que ocupe un objeto de tipo elem; ésta será la
situación habitual de los tipos parametrizados. Por otro lado, notemos que todas las
funciones son lo más óptimas posible dado que sólo requieren un espacio adicional
constante, incluso la operación auxiliar12
. Por último, destaquemos que la eficiencia espacial
de un conjunto es independiente del número de elementos que realmente contiene.
En lo que respecta al coste temporal, empezamos por calcular la eficiencia de índice, que
sirve de base para el resto. El cuerpo de la función es una secuencia de cuatro instrucciones
(dos asignaciones, un bucle y el retorno) y el coste total será su suma. Las asignaciones y la
instrucción de retorno tienen un coste obviamente constante, porque son valores o
referencias a variables de tipos predefinidos. Por lo que se refiere al bucle, el coste se calcula
de la manera siguiente:
- La evaluación de la condición de entrada queda constante, porque consiste en aplicar
una operación booleana (por definición, Θ(1)) sobre dos operandos, siendo cada uno
de ellos una operación de coste constante aplicada sobre unos operandos, que son
valores o bien referencias a variables de tipos predefinidos.
- El cuerpo consiste en una sentencia condicional y su eficiencia es la suma de tres
factores: la evaluación de la condición y dos asignaciones de coste constante igual que
las examinadas anteriormente. El coste de la evaluación es igual al coste T= de la
operación de igualdad, que es desconocido por depender del parámetro formal.
- El número de iteraciones es desconocido a priori. En el caso peor, el elemento que se
busca no está dentro de la parte ocupada del vector y entonces el número de
iteraciones para un conjunto de k elementos es igual a k.
Considerando todos estos factores, el coste total del bucle para un conjunto de k elementos
es k.(Θ(1)+T=) = Θ(k.T=). El coste total de índice es, pues, Θ(1)+Θ(1)+Θ(k.T=)+Θ(1) = Θ(k.T=).
El coste del resto de funciones se calcula aplicando razonamientos parecidos y quedan
Θ(k.T=) igualmente, excepto crea, que no invoca índice y es constante.
__________________________________________________________________________________
12
Por mucho que una función no declare ninguna variable, se considera un coste constante y no Θ(0)
por factores de bajo nivel (para guardar la dirección de retorno, por ejemplo).

Para cerrar el estudio de la eficiencia asintótica de las implementaciones, consideremos un
algoritmo algo más complicado, como es el algoritmo de ordenación de un vector A, usando
el método de inserción (ing., insertion sorting). El método de inserción (v. fig. 2.13) sitúa los
elementos en su lugar uno a uno, empezando por la posición 1 hasta el máximo: al inicio del
paso i-ésimo del bucle principal, las posiciones entre la A[1] y la A[i-1] contienen las mismas
posiciones que al empezar, pero ordenadas (como establece el invariante) y entonces el
elemento A[i] se intercambia reiteradamente con elementos de este trozo ordenado hasta
situarlo en su lugar. Para facilitar la codificación, se supone la existencia de una posición 0
adicional, que se emplea para almacenar el elemento más pequeño posible del tipo (valor
que sería un parámetro formal del universo) y que simplifica el algoritmo; así mismo,
supondremos que los elementos presentan dos operaciones de comparación, _<_ y _≤_,
con el significado habitual.
{Acción ordena_inserción: dado un vector A, lo ordena por el método de la inserción.
P ≅ A = A0 (se fija un valor de inicio para referirse a él en Q )
Q ≅ elems(A, 1, máx) = elems(A0, 1, máx) ∧ ordenado(A, 1, máx), donde
elems(A, i, j) ≅ {A[i], A[i+1], ..., A[j]}, como multiconjunto13
, y
ordenado(A, i, j) ≅ ∀k: i ≤ k ≤ j-1: A[k] ≤ A[k+1] }
acción ordena_inserción (ent/sort A es vector [de 0 amáx] de elem) es
var i, j son nat; temp es elem fvar
A[0] := el_menor_de_todos
para todo i desde 2 hasta máx hacer
{ I≅ elems(A, 1, i-1) = elems(A0, 1, i-1) ∧ ordenado(A, 1, i-1) ∧
∧ ∀k: 1 ≤ k ≤ máx: A[k] > A[0]
F≅ máx-i }
j := i
mientras A[j] < A[j-1] hacer
{ I≅ 1 ≤ j ≤ i ∧ ordenado(A, j, i) ∧ ∀k: 1 ≤ k ≤ máx: A[k] > A[0]. F≅ j}
temp := A[j]; A[j] := A[j-1]; A[j-1] := temp; j := j-1
fmientras
fpara todo
facción
Fig. 2.13: algoritmo de ordenación de un vector por el método de inserción.
Estudiemos el coste temporal del algoritmo (obviamente, el coste espacial adicional es Θ(1)),
que abreviamos por Tord. El coste es igual a la suma del coste de la primera asignación y del
bucle; dado que dentro del bucle aparecen más asignaciones del mismo tipo, se puede decir
simplemente que Tord es igual al coste del bucle principal, que se ejecuta máx-1 veces.
__________________________________________________________________________________
13
Un multiconjunto es un conjunto que conserva las repeticiones. Así, los multiconjuntos {1} y {1,1}
son diferentes.

Dentro de este bucle se encuentran las expresiones que determinan los valores que toma la
variable de control, una asignación de naturales (ambas construcciones de coste constante)
y un segundo bucle que se ejecuta un número indeterminado de veces, que es función del
valor i y de la suerte que tengamos. Precisamente es esta indeterminación lo que dificulta el
análisis de la eficiencia del algoritmo y conduce a un cambio de enfoque: en lugar de aplicar
las reglas de cálculo de la eficiencia dadas, se calcula el número N de veces que se ejecutan
las instrucciones del cuerpo del bucle interno a lo largo de todo el algoritmo, se suma el
resultado al coste Θ(máx) de ejecutar la asignación j := i exactamente máx-1 veces y así se
obtiene el coste total del bucle principal.
El valor N es la resolución de dos sumatorios imbricados; el más interno surge de la
suposición del caso peor que lleva a i iteraciones del bucle interno:
Σ Σ
i = 2
máx
j = i
1
Σ
i = 2
máx
1 = i =
2
máx(máx+1)
N = - 1
Ahora se puede determinar el coste total del bucle principal que queda parametrizado por los
costes de comparar y de asignar elementos, T< y Tas, respectivamente, y da como
resultado:
Θ( ß máx(máx+1) / 2 - 1 ¿ .T< .Tas ) = Θ(máx2.T< .Tas ),
cuadrático sobre el número de elementos. No es un coste demasiado bueno, dado que hay
algoritmos de ordenación de coste casi-lineal (en el capítulo 5 se presenta uno, conocido
como heapsort ).
Precisamente, el desconocimiento del coste Tas esconde una posible ineficiencia del
algoritmo dado en la fig. 2.13, porque la colocación del elemento A[i ] exige tres asignaciones
a cada paso del bucle más interno para implementar el intercambio. En lugar de intercambiar
físicamente los elementos se puede simplemente guardar A[i ] en una variable auxiliar temp,
hacer sitio desplazando elementos dentro del vector y copiar temp directamente en la
posición que le corresponda. El resultado es una nueva versión asintóticamente equivalente
a la anterior, pero que simplifica las constantes multiplicativas con poco esfuerzo y sin
complicar el código, y que por tanto es preferible a la anterior.
2.3.5 Eficiencia y modularidad
La técnica de diseño modular de programas empleada en este texto presenta diversas
ventajas ya comentadas en la sección 1.1, pero puede dar como resultado aplicaciones
ineficientes precisamente a causa del principio de transparencia de la implementación, que
impide la manipulación de la representación de un tipo desde fuera de sus universos de
implementación. Lo comprobaremos con un ejemplo.
__________________________________________________________________________________

Sea la especificación habitual de los conjuntos y sea la implementación vista en el apartado
anterior; dado que los conjuntos son un TAD que aparece en casi toda aplicación, parece
una decisión acertada incluirlos en una biblioteca de módulos reusables que contenga tipos
y algoritmos de interés general. Notemos, no obstante, que el estado actual del tipo incluye
muy pocas operaciones, y para que sea realmente útil se deben añadir algunas nuevas;
como mínimo, se necesita alguna operación para sacar elementos y seguramente la unión, la
intersección y similares; en concreto, supongamos que hay una operación
sacar_uno_cualquiera que, dado un conjunto, selecciona y borra un elemento cualquiera.
Ahora, sea U un universo que precisa una nueva operación, cuántos, que cuenta el número
de elementos que hay dentro de un conjunto y que no aparece en la especificación
residente en la biblioteca. Usando los mecanismos de estructuración de especificaciones, se
puede definir un enriquecimiento del universo de especificación de los conjuntos con esta
nueva operación, ya sea en el mismo módulo U o bien en un universo aparte (v. fig. 2.14); su
codificación dentro de un universo de implementación es inmediata, altamente fiable e
independiente de la representación escogida, pero presenta un problema evidente: para un
conjunto de n elementos, el coste temporal de la operación es Θ(n), a causa de la
imposibilidad de manipular la representación del tipo.
universo CJT_∈_ACOTADO_CON_CUÁNTOS(ELEM_=, VAL_NAT) es
usa CJT_∈_ACOTADO(ELEM_=, VAL_NAT), NAT, BOOL
ops cuántos: cjt → nat
ecns cuántos(Ø) = 0...
funiverso
universo IMPL_CJT_∈_ACOTADO_CON_CUÁNTOS(ELEM_=, VAL_NAT) es
implementa CJT_∈_ACOTADO_CON_CUÁNTOS(ELEM_=, VAL_NAT)
usa CJT_∈_ACOTADO(ELEM_=, VAL_NAT), NAT, BOOL
función cuántos (c es conjunto) devuelve nat es
var cnt es nat; v es elem fvar
cnt := 0
mientras ¬vacío?(c) hacer
<c, v> := sacar_uno_cualquiera(c); cnt := cnt + 1
fmientras
devuelve cnt
funiverso
Fig. 2.14: especificación (arriba) e implementación (abajo) de
un enriquecimiento de los conjuntos.
__________________________________________________________________________________

Notemos que no hay ninguna alternativa que permita reducir el coste de la operación
cuántos (como resultado del bucle que forzosamente dará n vueltas) y que, además, la
estrategia escogida es la óptima si no se viola el principio de transparencia de la
representación. Si se quiere reducir el coste de la operación a orden constante, no queda
más remedio que introducir la función cuántos dentro de la especificación básica de los
conjuntos (v. fig. 2.15) y adquirir así el derecho de manipular la representación del tipo.
universo CJT_∈_ACOTADO(ELEM_=, VAL_NAT) es
usa NAT, BOOL
ops
Ø, _∪{_}, ...
cuántos: cjt → nat
ecns
... las de Ø, _∪{_}, ...
cuántos(Ø) = 0 ...
funiverso
universo CJT_∈_ACOTADO_POR_VECT(ELEM_=, VAL_NAT) es
implementa CJT_∈_ACOTADO(ELEM_=, VAL_NAT)
tipo cjt es ...{v. fig. 2.6}
función cuántos (c es conjunto) devuelve nat es
devuelve c.sl
funiverso
Fig. 2.15: especificación e implementación de la operación para contar los elementos
de un conjunto como parte del TAD que los define.
Este enfoque, no obstante, presenta diversos inconvenientes:
- Se introduce en la definición de un tipo de interés general (que residirá dentro una
biblioteca de universos) una operación que inicialmente no estaba prevista; si esta
nueva operación no es utilizada por ninguna otra aplicación, se complica la definición y
el uso del tipo sin obtener demasiado provecho a cambio.
- Si el universo ya existía previamente, hay que modificarlo y esto es problemático:
◊ Es necesario implementar la nueva operación en todas las implementaciones
existentes para el tipo. En cada una de ellas, si el implementador original (persona o
equipo de trabajo) está disponible y puede encargarse de la tarea, ha de recordar el
funcionamiento para poder programar la nueva operación (¡y puede hacer meses
que se escribió!). En caso contrario, todavía peor, pues alguna otra persona ha de
entender y modificar la implementación, siendo esta tarea más o menos complicada
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dependiendo de la calidad del código (sobre todo por lo que respecta a la
legibilidad); incluso es posible que el código fuente no esté disponible y sea
imposible modificarlo.
◊ La sustitución de la versión anterior del universo (residente en una biblioteca de
módulos) por la nueva puede provocar una catástrofe si se introduce
inadvertidamente algún error; si, por prudencia, se prefiere conservar las dos
versiones, se duplicarán módulos en la biblioteca.
Resumiendo, el desarrollo modular de aplicaciones permite construir de manera clara, rápida,
fiable y elegante cualquier programa, pero, a veces, entra en conflicto con cuestiones de
eficiencia espacial y/o temporal, y la política a seguir entra dentro de los requerimientos de
uso de la aplicación y del criterio de los diseñadores y programadores. Notemos también la
libertad de definir los tipos con las operaciones que más interesen, puesto que se pueden
añadir operaciones para unir e intersectar conjuntos, para obtener el elemento más grande o
más pequeño, etc., a discreción. Así, se pueden seguir dos enfoques diferentes al definir
un tipo: pensar en los universos de definición como un suministro de las operaciones
indispensables para construir otras más complicadas en universos de enriquecimiento, o
bien incluir en el universo de definición del tipo todas aquellas operaciones que se puedan
necesitar en el futuro, buscando mayor eficiencia en la implementación (en el capítulo 7 se
insiste sobre este tema).
Ejercicios
2.1 Escribir una implementación para los conjuntos acotados con pertenencia usando el
tipo V de los elementos como índice de un vector A de booleanos, tal que A[v] vale cierto si
v está en el conjunto. Suponer que la cardinalidad de V es n y que se dispone de una
función inyectiva h : V → [1, n]. Escribir la especificación pre-post de las operaciones.
Verificar la corrección de la implementación respecto a la especificación usando las
estrategias vistas en la sección 2.2.
2.2 a) Escribir una implementación para los polinomios Z[X] especificados en el apartado
1.5.1, de modo que se almacenen en un vector todos los monomios de coeficiente
diferente de cero sin requerir ninguna condición adicional. Escribir la especificación pre-post
de las diferentes operaciones y también los invariantes y las funciones de acotamiento de los
diversos bucles que en ella aparezcan. Verificar la corrección de la implementación respecto
a la especificación usando las diferentes estrategias vistas en la sección 2.2. Calcular el coste
asintótico de la implementación.
b) Repetir el apartado a) requeriendo que los pares del vector estén ordenados en forma
creciente por exponente.
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2.3 Sea el TAD de los multiconjuntos (conjuntos que admiten elementos repetidos; es
decir, el multiconjunto {x, x} es válido y diferente del multiconjunto {x}) sobre un dominio V
con operaciones de crear el multiconjunto vacío y añadir un elemento al multiconjunto.
Proponer una representación (que incluya la función de abstracción, el invariante de la
representación y la relación de igualdad) para las dos situaciones siguientes:
a) El número total de elementos del multiconjunto está acotado por n.
b ) El número total de elementos del multiconjunto no está acotado, pero, en cambio, se
sabe que la cardinalidad de V es n y que se dispone de una función inyectiva h: V → [1, n].
2.4 Sean las funciones f1(n) = n3, f2(n) = 90000n 2+70000n, f3(n) = n2logn, f4(n) = n3logn,
f5(n) = n3+logn. Estudiar, para todo par de valores diferentes i, j entre 1 y 5, si fi ∈O(fj), si
fi ∈Ω(fj) y si fi ∈Θ(fj). Representar gráficamente los conjuntos O(fj), Ω(fj) y Θ(fj).
2.5 a) Sea el polinomio p(n) = cknk + ck-1nk-1 + ... + c1n + c0, con ∀i: 0 ≤ i ≤ k-1: ci ≥ 0, ck > 0.
Demostrar que p(n)∈Θ(nk). b ) Demostrar que Σi: 1 ≤ i ≤ n: i k ∈Θ(n k+1), k > 0. c) Demostrar
que ∀a, b: a> 1 ∧ b > 1: logan∈Θ(logbn).
2.6 Las notaciones O y Ω tienen asociadas otras dos, o pequeña (ing., small o) y ω
pequeña (ing., small omega), abreviadamente o y ω, que definen cotas significativamente
más fuertes que las primeras y que se definen, para f : N+ → N+:
o(f) = {g: N+ → N+ / ∀c0: c0∈R+: ∃n0: n0∈N+: ∀n: n ≥ n0 : g(n) ≤ c0f(n)}
ω(f) = {g: N+ → N+ / ∀c0: c0∈R+: ∃n0: n0∈N+: ∀n: n ≥ n0 : g(n) ≥ c0f(n)}
Estudiar si estas notaciones son reflexivas, simétricas o transitivas, así como sus relaciones
con las notaciones O y Ω. Mostrarlas gráficamente con un esquema similar al de la fig. 2.11.
2.7 Dados los siguientes algoritmos, formular su especificación pre-post, establecer los
invariantes y las funciones de acotamiento de sus bucles y calcular su coste.
a) Producto de matrices.
acción producto (ent A, B son vectores [de 1 an, de 1 an] de enteros;
sal C es vector [de 1 an, de 1 an] de enteros) es
var fil, col, índice son enteros fvar
para todo fil desde 1 hasta n hacer
para todo col desde 1 hasta n hacer {cálculo de C[fil, col] }
C[fil, col] := 0
para todo índice desde 1 hasta n hacer
C[fil, col] := C[fil, col] + (A[fil, índice]*B[índice, col])
fpara todo
fpara todo
fpara todo
facción
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b ) Ordenación de un vector por el método de la burbuja.
acción burbuja (ent/sal A es vector [de 1 an] de enteros) es
var i, j, aux son enteros fvar
para todo i desde 1 hasta n-1 hacer {localización del i-ésimo menor elemento}
para todo j bajando desde n hasta i+1 hacer
{examen de la parte del vector todavía no ordenada}
si A[j-1] > A[j] entonces {intercambio de los elementos}
aux := A[j]; A[j] := A[j-1]; A[j-1] := aux
fsi
fpara todo
{el i-ésimo menor elemento ya está en A[i] }
fpara todo
facción
c) Búsqueda dicotómica en un vector.
función búsqueda_dicot (A es vector [de 1 an] de enteros; x es entero) devuelve bool es
var izq, der, med son enteros; encontrado es bool fvar
{se determinan los extremos de la porción del vector donde puede estar x}
izq := 0; der := n+1; encontrado := falso
{se busca mientras quede vector por explorar}
mientras (izq < der-1) ∧ ¬ encontrado hacer
med := (izq + der) / 2
opción
caso x = A[med] hacer encontrado := cierto
caso x < A[med] hacer der := med
caso x > A[med] hacer izq := med
fopción
fmientras
devuelve encontrado
2.8 En el artículo de Vitányi y Meertens citado en el inicio de la sección 2.3 se propone una
definición alternativa de la notación Ω:
Ω(f) = {g: N+ → N+ / ∃c0: c0∈R+: ∀n0: n0∈N+: ∃n: n ≥ n0: g(n) ≥ c0f(n)}
Esta definición sirve también para el caso en que el algoritmo a analizar presente oscilaciones
en su comportamiento, porque no exige que g sea una cota superior de f a partir de un cierto
punto sino sólo que g sobrepase o iguale f un número infinito de veces. La utilidad de este
caso se hace evidente en algoritmos que tienen un coste para algunas entradas y otro
diferente para el resto. Estudiar su reflexividad, simetría y transitividad y establecer la relación
de esta Ω con la dada en la sección 2.3. Imaginar un algoritmo que tenga un coste diferente
según las dos definiciones dadas de Ω.
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