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Informe del curso de didáctica de la matemática
Le presento una guia de cómo podría dar el informe del curso de didáctica de la
matemática, como un complemento de la compilación de Gabriel Berlanda alumno de la
profesora de didáctica Dierard

El proceso de enseñanza

“Prefiero ver al docente más como un director de escena (.....), no puede calcular todo de
antemano (.....), en la enseñanza no es posible calcular todo. Se puede calcular algo pero no todo,
eso es imposible.”
Vergnaud, G

Si bien es cierto lo que nos plantea este matemático e investigador francés, no menos cierto es que
como profesionales debemos planificar de año en año; para enfrentar nuestra intervención en el
aula, siendo conscientes de lo que nos ofrece la didáctica de la matemática, para desarrollar
criterios.

"....es el profesor el que determina con su actuación, con su enseñanza, que las actividades en las
que participa el alumno posibiliten un mayor o menor grado de amplitud y profundidad de los
significados construidos y, sobre todo, el que asume la responsabilidad de orientar esta
construcción en una determinada dirección.

....la enseñanza es un conjunto de actividades sistemáticas mediante las cuales profesor y alumno
llegan a compartir parcelas progresivamente más amplias de significados respecto a los
contenidos del currículum escolar.

....el profesor guía el proceso de construcción de conocimientos del alumno haciéndole participar
en tares y actividades que le permitan construir significados cada vez más próximos a los que
poseen los contenidos del currículum escolar. El profesor es, pues, al mismo tiempo un guía y un
mediador".
Cesar, Coll

“La ejercitación metódica del juicio, el desarrollo del pensamiento para analizar las situaciones
prototípicas de la enseñanza tiene un efecto liberador. La utilización de diversas fuentes de
información, la confrontación de comportamientos y concepciones, la organización de los datos y la
elaboración de proyectos propios representan procesos con valor no sólo de capacitación sino, de
formación de actitudes personales de efectos prolongados.”
María, C Davini

SISTEMA DIDÁCTICO

Alumno

Saber
Docente

Compuesto por tres subsistemas de acuerdo a Chevallard: el subsistema docente, el subsistema
alumno y el subsistema conocimiento enseñado.

Continuando con este análisis del proceso de enseñanza de la matemática inserta en el sistema
didáctico, podemos pensarla desde un marco teórico sustentada en cuatro teorías:

Chevallard: La transposición didáctica

El trabajo que transforma de un objeto de saber enseñar en un objeto de enseñanza, es
denominado la transposición didáctica.

Chevallard se preguntó ¿qué relación existe entre el conocimiento que se enseña en la escuela y
el conocimiento producido por el científico?

Ahora bien, podemos ir más lejos y pensar en tres etapas del proceso de transposición didáctica:

 del saber sabio (conocimiento producido por el científico) o de referencia al saber a enseñar.
 del saber a enseñar al saber enseñado.
 del saber enseñado al saber aprendido (por el alumno).
La distancia entre el saber sabio y el saber aprendido con frecuencia es inmensa y requiere de una
vigilancia epistemológica.

Frente a cada nuevo concepto, deberemos tener presente que el saber erudito o de referencia,
conllevará un trabajo de transformación hasta convertirse en un saber aprendido, y habremos de
preocuparnos asimismo por su correspondencia, reduciendo al mínimo posible esa distancia
debida a la transposición didáctica.

"Las necesarias y sucesivas adaptaciones, conllevan numerosos riesgos. En primer lugar provocan
un olvido de la lógica y del contenido del conocimiento adaptado. En segundo lugar, la sustitución
del objeto de conocimiento puede conducir a que se considere como conocimiento erudito aquello
que es sólo su traducción.”

En tercer lugar, puede ocurrir que la adaptación provoque una deformación, por lo que da lugar a la
creación de un falso objeto de conocimiento" Frigerio, G.; Poggi, M.

Pensemos solamente cuántas veces presentamos al alumno porciones de conocimientos. O sea,
para facilitar la enseñanza aislamos ciertas propiedades o nociones del conocimiento, olvidando su
sentido, origen, motivación y empleo, y los trasponemos al contexto escolar.

Pensemos cuántas veces la institución escolar tiene la ilusión en ver en los objetos de enseñanza
copias fieles del conocimiento científico. Es por eso que debemos ser cuidadosos al llevar a cabo
la transposición didáctica, para que la distancia que separa el saber aprendido del saber erudito
sea mínima.

Douady: La dialéctica instrumento-objeto

Douady nos dice que: para un concepto matemático, conviene distinguir su carácter instrumento y
su carácter objeto. Por instrumento entendemos su funcionamiento científico en los diversos
problemas que permite resolver (....). Por objeto entendemos el concepto matemático, considerado
como objeto cultural que tiene lugar en una construcción más amplia que en la del conocimiento
inteligente en una momento dado, reconocido socialmente.

La dialéctica instrumento-objeto es contraria a una enseñanza tradicional donde aprendo-aplico,

donde primero deben enseñarse los algoritmos y definiciones para luego buscar que situaciones
permiten aplicar los conceptos trabajados.

Por el contrario, Douady, nos propone que resulta imposible aprender cuando un concepto carece
de sentido para el alumno. Lo que Brousseau aporta es que un conocimiento matemático adquiere
sentido "....no sólo por la colección de situaciones donde este conocimiento es realizado como
teoría matemática; no sólo por la colección de situaciones donde el sujeto lo ha encontrado como
medio de solución, sino también por el conjunto de concepciones que rechaza, de errores que
evita, de economías que procura, de formulaciones que retoma, etcétera".

Pensemos además que la construcción de la significación de un conocimiento debe ser considerada en dos
niveles:

 un nivel externo ¿cuál es el campo de utilización de ese conocimiento y cuáles son los límites
de este campo?
 un nivel interno ¿cómo y por qué funciona tal herramienta? (por ejemplo, ¿cómo funciona un
algoritmo y por qué conduce al resultado esperado?)

La cuestión esencial de la enseñanza de la matemática es entonces: ¿cómo hacer para que los
conocimientos enseñados tengan sentido para el alumno?

El alumno debe ser capaz no sólo de repetir o rehacer, sino de también de resignificar en
situaciones nuevas, de aceptar, de transferir sus conocimientos para resolver nuevos problemas.

Y es en principio, haciendo aparecer las nociones matemáticas como herramienta para resolver
problemas como se permitirá a los alumnos construir el sentido. Sólo después estas herramientas
podrán ser estudiadas por sí mismas.

Brousseau: La teoría de las situaciones didácticas

El docente debe proponer y organizar una serie de situaciones con distintos propósitos y desafíos.
Para ello Brousseau nos propone diferentes fases. Estas situaciones deben dar sentido a los
conocimientos que se quieren enseñar, es decir, contextualizar y personalizar el saber para pasar a
otra de descontextualización en la que se logra despegar el saber de aquellas que le dieron origen.
De esta manera, al conocimiento como instrumento se le otorga un carácter de conocimiento
científico convencional.

Para Brousseau todo conocimiento debería estar determinado por una solución. Al respecto nos
dice Douady: “....las concepciones de los alumnos son el resultado de un intercambio permanente
con las situaciones de problemas en los que son puestos y en el curso de las cuales los
conocimientos anteriores son movilizados para ser modificados, completados o rechazados”.

Para que los alumnos produzcan una actividad científica deben poder: actuar, formular, probar y
reconocer el conocimiento. Estas acciones se las denomina funciones del saber. Ellas son las
situaciones de: acción, formulación, validación, institucionalización y consolidación.

Vergnaud: La teoría de los campos conceptuales

Definimos el campo conceptual, como un conjunto de situaciones cuyo tratamiento implica
esquemas, conceptos y teoremas en estrecha relación. Siendo los conceptos y teoremas los que
permiten analizar las diferentes tareas cognitivas que intervienen en las situaciones didácticas así
como las operaciones de pensamiento.

La teoría de los campos conceptuales se basa en:

 un concepto adquiere sentido en función de la multiplicidad de problemas en que interviene.

 un concepto no es una isla, cuyo funcionamiento se manifiesta de manera independiente, sino
que se vincula con otros en una entramada red.

 las propiedades y relaciones que se derivan de los conceptos se producen a través de
filiaciones y ruptura a lo largo de su génesis.

Por otro lado debemos pensar que la apropiación de un conocimiento matemático, aparece por lo
general como parte de una red de conceptos vinculados unos con otros, y que la adquisición de
ellos se da simultáneamente.

Por ejemplo: los conceptos de número, magnitudes, número racional y medidas son, por ejemplo,
instrumentos para la resolución de problemas de proporcionalidad directa, pero al mismo tiempo,
parte relevante del significado de los mismos es obtenido por los chicos a través de la resolución
de situaciones de proporcionalidad.

La TCC se interesa en el análisis de las operaciones de pensamiento (herramientas de la mente),
porque es el corazón mismo de las conceptualizaciones. Pero es necesario que esas operaciones
de pensamiento, variadas y diversas, estén presentes siempre en las situaciones problemáticas
que se le presenten al alumno.

El proceso de aprendizaje

"....ha existido una divergencia entre aquellos que piensan que los conceptos se aprenden
asimilando sus atributos (rasgos que los caracterizan) de manera independiente, principalmente
por asociación y acumulación, y aquellos otros que consideran que los conceptos forman parte de
una estructura superior de significado, no atomizada, que se caracteriza sobre todo, por las
relaciones que se establecen entre ellos y, por tanto, su asimilación supone una modificación de la
misma, es decir una reestructuración. En el primer caso, el cambio producido en la persona como
consecuencia del aprendizaje es más cuantitativo, y se consigue agregando cada vez un mayor
número de atributos. Mientras que en el segundo, tiene lugar un cambio de la propia estructura de
conocimiento a través la reordenación de esquemas, de manera que adquiera así más
importancia la comprensión, que la acumulación, es decir, se produce una variación
principalmente cualitativa."
Tomás Sánchez Iniesta

Aprender conlleva transformar los conocimientos y conductas anteriores, teniendo presente que si
bien todo aprendizaje implica cambio, no todos los cambios son de la misma naturaleza ni de la
misma intensidad y duración. Un aprendizaje asociativo producirá la sustitución de una conducta o
conocimiento por otro, es un cambio de carácter reversible y de duración limitada. Un aprendizaje
constructivo, tiene rasgos diferentes, su efecto no es sustituir sino integrar esa conducta o idea en
una nueva estructura de conocimiento. Estos son cambios más generales que locales, de
naturaleza evolutiva o irreversible y por tanto más duradero.
J. I. Pozo

El trabajo del docente consiste, pues en proponer al alumno una situación de aprendizaje para
que produzcan sus conocimientos como respuesta personal a una pregunta, y los haga funcionar o
los modifique como respuestas a las exigencias del medio y no a un deseo del maestro.
Brousseau

Presentaremos ahora para su lectura y análisis, teorías de aprendizaje que nos ofrecerán un
abanico muy rico de herramientas para pensar sobre nuestro trabajo diario.

Piaget: constructivismo

¿Qué nos aporta este investigador al proceso de aprendizaje? Porque, si bien sus estudios poseen
una profunda visión epistemológica y son el resultado de una amplia producción psicológica,
muestran una escasa preocupación por los temas pedagógicos

Piaget concibe al aprendizaje como un proceso adaptativo que se desarrolla en el tiempo en
función de respuestas dadas por el sujeto a un conjunto de estímulos anteriores y actuales.

El medio opone al sujeto situaciones perturbadoras, desequilibradoras de un estado momentáneo
de equilibrio del sujeto, a las cuales debe dar respuestas, compensando estas perturbaciones
mediante acciones reales o virtuales, (reequilibración en un nuevo estado superior y modificado
respecto del anterior).

Dentro del proceso de aprendizaje, el alumno lleva una búsqueda activa que compense los
desequilibrios, acomodando sus esquemas a las situaciones planteadas. Es decir, que frente a un
desequilibrio y un equilibrio posterior, él obtiene esquemas de conocimientos enriquecidos en
complejidad y reestructurados en un estado superior.

Una lectura inteligente de Piaget nos permite considerar la concepción constructivista. Entendiendo
a esta no como una teoría en sentido estricto, pero si como un marco explicativo que partiendo de
la consideración social y socializadora de la educación escolar, integra aportes diversos cuyo
denominador común lo constituye un acuerdo en torno a los principios constructivistas.

Para la concepción constructivista aprendemos cuando: somos capaces de elaborar una
representación personal sobre un objeto de la realidad o contenido que pretendemos aprender.

Vygotsky: la zona de desarrollo próximo

(La zona de desarrollo próximo es) ....la distancia entre el nivel real de desarrollo, determinado por
la capacidad de resolver independientemente un problema, y el nivel de desarrollo potencial,
determinado a través de la resolución de un problema bajo la guía de un adulto o en colaboración
con otro compañero más capaz.

O sea, el concepto de zona de desarrollo próximo, acuñado por Vygotsky, nos permite explicar el
desfasaje que existe entre la resolución individual de tareas de orden cognitivo y los logros que
alcanzamos en esas mismas tareas con la ayuda de nuestros semejantes. El aprendizaje se sitúa
precisamente en esa zona.

La condición básica para que la ayuda que se aporte sea eficaz y pueda actuar como tal, es que
esa ayuda se ajuste al contexto y a las características distintivas en cada momento de acuerdo a
la actividad mental constructiva del alumno. De ahí que podemos hablar que para un alumno dado
no de una ZDP, sino de múltiples ZDP en función de la tarea y el contexto de que se trate, los
esquemas de conocimientos puestos en juego y las formas de ayuda empleadas a lo largo de la
interacción. Por lo tanto, la ZDP debemos verla como un lugar o un espacio no definida en términos
fijos y estáticos, sino como un lugar dinámico, en constante proceso de cambio con la propia
interacción.

Podríamos decir entonces que ofrecer una ayuda ajustada al aprendizaje escolar, supone crear
ZDP y ofrecer asistencia y apoyos en ellas, para que, a través de esa participación y gracias a esos
apoyos, los alumnos puedan ir modificando en la propia actividad conjunta sus esquemas de
conocimiento y sus significados y sentidos, y puedan ir adquiriendo más posibilidades de actuación
autónoma y uso independiente de tales esquemas ante situaciones nuevas, cada vez más
complejas.

Bruner: el andamiaje

Básicamente Bruner al proponerrnos el concepto de andamiaje, nos plantea que nuestra
intervención debería ir variando de acuerdo a las necesidades del alumno. "Andamiar y sostener",
los progresos del alumno, dice Bruner.

Cuanto mayor sean las dificultades del alumno en cuanto a la construcción de un conocimiento,
mayor serán nuestras intervenciones; de esta manera, gradualmente el alumno, podrá ir
adquiriendo el control de la situación.

Bruner, cuando nos habla del concepto de andamiaje lo hace a partir de la zona de desarrollo
próximo de Vygotsky, ya que el supuesto fundamental del andamiaje es que el docente soporte y
andamie los esfuerzos y logros del alumno. El docente cumple un rol de mediador entre el saber y
el alumno.

Por otro lado, nos propone pensar que el saber deberá ir adquiriendo cada vez maneras más
complejas de presentación al alumno. O sea, el currículum no debe ser lineal, sino que retomará
constantemente y a niveles cada vez más complejos, los núcleos fundamentales del área (un
currículum en espiral).

Por último, es necesario comentar que este investigador al hablar sobre el desarrollo cognitivo del
alumno, hace referencia también a la influencia de los problemas transculturales y de origen social.

Rogoff: participación guiada y traspaso paulatino del control

Esta autora, de manera inteligente toma aportes de Piaget sobre la construcción del conocimiento,
y de Vygotsky sobre de qué manera incide el medio sociocultural en esa construcción.

Rogoff se pregunta, cómo se da la interacción entre el alumno y el docente, y nos propone pensar
el concepto de participación guiada; o sea, reflexionar que en cada uno de los distintos contextos
culturales en el que desarrollemos nuestra tarea docente deberemos ajustar nuestra intervención
de acuerdo a ese contexto, y el traspaso paulatino del control en la construcción del
conocimiento por parte de nuestros alumnos, lo iremos ajustando considerando los conocimientos
previos que cada uno ellos poseen.

El conocimiento, adquirido por medio del aprendizaje, es inseparable del contexto, desde el que
surge y en el que se utiliza, y de la actividad en la que el aprendiz participa
 Las metas del aprendiz, relacionadas sin lugar a dudas con aquello que ha de aprenderse,
están definidas desde la comunidad, ya que el proceso no siempre intencional, es inseparable
de actividades útiles y significativas en esa comunidad. Las diferencias culturales adquieren
enorme significación cuando se analizan las diferencias entre las metas propuestas, implícita o
explícitamente.

 El aprendiz entra en contacto con los instrumentos socioculturalmente definidos, cuya
utilización exige destrezas específicas que habrá de adquirir el aprendiz. El concepto de
participación guiada, desde este punto de vista, es inseparable del aprendizaje.
P. Lacassa

O sea, de acuerdo a Rogoff deberíamos plantearnos lo siguiente: que el modo de nuestra
intervención en la zona de desarrollo próximo, dependerá del contexto cultural real del alumno (por
ejemplo: si pertenece a una zona rural o urbana, si es un adulto al que hay que alfabetizar o un
adulto que posee una instrucción previa, pero que por distintas razones, había abandonado la
escolaridad formal y ahora vuelve a reintegrase a ella; o un niño o joven, considerando su

desarrollo personal, edad, intereses y comunidad a la que pertenece).

Ausubel: el aprendizaje significativo

Este teórico nos presenta dos tipos de aprendizajes posibles; uno que va desde el aprendizaje por
descubrimiento al aprendizaje por recepción, y el otro desde el aprendizaje memorístico al
aprendizaje significativo.

El verdadero aprendizaje es el significativo, ya que, el alumno puede establecer relaciones
sustantivas y no arbitrarias entre lo que aprende y lo que conoce. El aprendizaje significativo
permite crear un puente cognitivo entre los conocimientos previos que el alumno posee y los
nuevos que deseamos que construya. Nos dice Ausubel: el factor más importante que influye en el
aprendizaje es lo que el alumno sabe. Averígüese esto y enséñele en consecuencia.

Ausubel consideraba además indispensable para la realización de aprendizajes significativos la
manifestación, por parte del alumno, de una disposición hacia el aprendizaje significativo; esto es,
de una disposición para ir a fondo en el tratamiento de la información que se pretende aprender,
para establecer relaciones entre ella y lo que ya se sabe, para aclarar y detallar los conceptos.

Sintetizando, para que el aprendizaje sea significativo deben cumplirse dos condiciones. En primer
lugar, el contenido debe ser potencialmente significativo (significatividad lógica: no debe ser
arbitrario ni confuso), como desde el punto de vista de su posible asimilación (significatividad
psicológica: tiene que haber, en la estructura cognoscitiva del alumno, elementos pertinentes y
relacionables). En segundo lugar: el alumno debe tener una actitud favorable para aprender
significativamente; es decir, estar motivado para relacionar lo que sabe con lo que aprende. Por lo
tanto, el proceso mediante el cual se produce el aprendizaje significativo requiere de una intensa
actividad por parte del alumno.

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