Interpolación lineal
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La interpolación lineal implica aproximar valores intermedios entre puntos conocidos usando polinomios. Existen dos tipos principales: interpolación con espacios equidistantes y no equidistantes. La interpolación de Newton con espacios equidistantes usa diferencias progresivas para derivar un polinomio que aproxima los valores.
Interpolación lineal
- 1. INTERPOLACIÓN LINEAL Concepto: Interpolar significa encontrar un valor intermedio entre dos o más puntos base conocidos, los cuales se pueden aproximar mediante polinomios. Sea en el sistema de coordenadas de la gráfica anterior, las ecuaciones F(x) y G(x) en cuyo espacio “a”, “b” se pueden interpolar determinados valores. Tipos de interpolación 1. interpolación con espacios equidistantes 2. interpolación con espacios no equidistantes INTERPOLACIÓN CON ESPACIOS EQUIDISTANTES O INTERPOLACION DE NEWTON • DIFERENCIAS PROGRESIVAS: Son llamadas diferencias hacia delante y se definen como : o primeras diferencias : ΔYi = Yi+1 - Yi i=0,1,2,3...n (1) o segundas diferencias : Δ 2Yi = Δ Yi+1 - Δ Yi i=0,1,2,3...n (2) o terceras diferencias : Δ 3Yi = Δ 2Yi+1 - Δ 2Yi i=0,1,2,3...n (3) o k- écimas diferencias Δ kYi = Δ kk-1Yi+1 - Δ k-1Yi i=0,1,2,3...n (4) k=0,1,2,3...n donde : Δ es el operador de diferencias progresivas Para i=0 en la ecuación (1) ΔY0 = Y1 – Y0 Y1 = Y0 + ΔY0 (5) Para i=1 en la ecuación (1) ΔY1 = Y2 – Y1 Y2 = Y1 + ΔY1 (6) Para i=0 en la ecuación (2)
- 2. Δ 2Y0 = Δ Y1 – Δ Y0 Δ Y1 = Δ 2Y0 + ΔY0 (7) Sustituyendo las ecuaciones (7) y (5) en (6) Y2 = Y1 + ΔY1 Y2 = (Y0 + ΔY0) + (Δ 2Y0 + ΔY0) Y2 = Y0 + 2ΔY0 + Δ 2Y0 (8) De las ecuaciones (5) y (8) Y1 = Y0 + ΔY0 sacando factor comun Y0 tenemos : Y1 = (1 + Δ)1Y0 Y2 = Y0 + 2ΔY0 + Δ 2Y0 sacando factor comun Y0 tenemos : Y2 = (1 + Δ)2Y0 Entonces para Y3 Y3= (1 + Δ)3Y0 (9) Generalizando, tendremos : Yk=(1 + Δ)kY0 (10) El Segundo miembro de la ecuación (10) corresponde al Binomio de Newton Elevado al exponente “k”, el cual puede desarrollarse del siguiente modo: Yk = Y0 + ΔY0 + Δ 2Y0 + ..... + Δ kY0 (11) Para : K= 1,2,3, ...n Yk = Y0 + ΔY0 + Δ 2Y0 + .... Δ kY0+ 0 (12) Para : K= 1,2,3, ...n Si se toma un valor “j” cualquiera menor que “k” y si las j-esimas diferencias son constantes, entonces todas las diferencias de orden superior a “j” serán cero, por lo que la ecuación (11) queda: = = donde:
- 3. Es un polinomio en K de grado “j” de la forma: yk = a 0 + a1k + a22k2 + ..... .+ ajkj (14) Si consideramos la función tabular con espaciamiento “h ” constante X Y X0 Y0 X1=X0+h Y1 X2=X0+2h Y2 ... ... Xk=X0+kh YK Xn=X0+nh Yn Donde : X1-X0 = h X2-X0 =2h ................ XK-X0 = Kh Xn-X0 = nh Donde queda la expresión: K = Sustituyendo (15) en (14) Yk = b 0 + b1x + b2x2 + ..... .+ bjxj Se llama Polinomio de Newton con espaciamiento constante Ejercicio 01 En base a la función tabular que se muestra, preparar la tabla de diferencias:
- 4. X Y 0 -5 1 1 2 9 3 25 4 55 5 105 Solución las primeras diferencias son : Δ1Y0 = Y1-Y0 = 1-(-5) = 6 Δ1Y1 = Y2-Y1 = 9 - 1 = 8 Δ1Y2= Y3-Y2 = 25- 9 =16 Δ1Y3= Y4-Y3 = 55-25 =30 Δ1Y4 = Y5-Y4 = 105-55 =50 Las segundas diferencias son: Δ2Y0 = ΔY1- ΔY0 = 8 - 6 = 2 Δ2Y1 = ΔY2- ΔY1 = 16 - 8 = 8 Δ2Y2= Δ Y3- Δ Y2 = 30 - 16 =14 Δ2Y3= Δ Y4- Δ Y3 = 50 -30 =20 Las terceras diferencias son: Δ3Y0 = Δ 2Y1- Δ 2Y0 = 8 - 2 = 6 Δ3Y1 = Δ 2Y2- Δ 2Y1 = 14 - 8 = 6
- 5. Δ3Y2= Δ 2Y3 - Δ 2 Y2 = 20 - 14 = 6 Queda entonces la tabla de resultados: X Y Δ1Y Δ2Y Δ3Y 0 -5 1 1 6 2 9 8 2 3 25 16 8 6 4 55 30 14 6 5 105 50 20 6 Por ser Δ3Y constante, corresponde a un polinomio de tercer grado y es un polinomio exacto En la ecuación (12) Yk = Y0 + Δ 1Y0 + Δ 2Y0 +.... Δ kY0+ 0 Si hacemos J=1, entonces tendremos el polinomio de primer grado que se aproxima a f(x) Yk = Y0 + ΔY0 Siendo: K = Tendremos: Yk = Y0 + ( )ΔY0 Que corresponde a un polinomio de primer grado Ejercicio 02
- 6. De la tabla del ejercicio 01, hallar la función explicita, teniendo como condiciones iniciales: X0 =1, Y0=1 solución K = Como por dato tenemos X0 =1, siendo los valores de X constantes, entonces h= 1 Δ1Y0=8, Δ2Y0=8, Δ3Y0=6 K = Quedando : K = x - 1 Reemplazando en la ecuación general : Yk = Y0 + Δ 1Y0 + Δ 2Y0 + .... Δ kY0+ 0 Yk = Y0 + Δ 1Y0 + Δ 2Y0 + Δ 3Y0 Reemplazando en la ecuación anterior: Δ1Y0=8, Δ2Y0=8, Δ3Y0=6 Yk = Y0 + 8 + 8 + 6 Conociendo por formula de permutaciones: = = = Yk = 1 + *8 + *8 + *6 Y = 1+(x-1)*8 + (x-1)(x-2)*4 + (x-1)(x-2)(x-3)*1 Simplificando queda:
- 7. Y = X3 – 2X2 + 7 X - 5 SOLUCION PEDIDA