Metodos numericos capitulo 4
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Este documento trata sobre métodos de interpolación lineal y ajuste polinomial. Presenta el método de Newton y el método de Lagrange para la interpolación lineal de tablas de valores, así como el método de mínimos cuadrados para el ajuste polinomial. Explica cómo construir la tabla de diferencias finitas y deriva las fórmulas de interpolación de Newton y Lagrange.
Metodos numericos capitulo 4
- 1. CAPITULO IV Interpolación Lineal y Ajuste Polinomial. IV.1. Introducción. En algunas ocasiones, encontrar el valor de y asociado a una x determinada no significa problema alguno, si se conoce la función de la cual provienen los datos; pero en las aplicaciones es frecuente encontrarse con funciones que no son de tipo elemental o con tablas de valores obtenidos experimentalmente. En casos como este, los métodos de interpolación lineal y ajuste polinomial resultan de gran interés. Para el problema de interpolación se tiene una tabla de valores, así: xi yi x0 y0 x1 y1 x2 y2 . . . . . . xn yn El problema consiste en encontrar el valor de y asociado a una x contenida entre dos valores xi y xi+1 de la tabla. IV.2. Tabla de Diferencias Finitas. Dada una tabla de valores, las diferencias entre dos valores consecutivos de y, se conocen como primeras diferencias hacia delante; se denotan por:
- 2. Métodos Numéricos ∆ yi = ai Donde: a0 = y1 – y0 a1 = y2 – y1 a2 = y3 – y2 . . . . . . . . . an-1 = yn – yn-1 Las segundas diferencias hacia adelante, se calculan a partir de las primeras diferencias: ∆2 yi = bi Donde: b0 = a1 – a0 b1 = a2 – a1 b2 = a3 – a2 . . . . . . . . . bn-2 = an-1 – an-2 Continuando con las terceras diferencias, las cuartas, etc., y tabulando estos valores, se construye la Tabla de Diferencias Finitas Hacia Adelante, así: xi yi ∆ yi ∆2 yi . . . ∆n-2 yi ∆n-1 yi ∆n yi x0 y0 a0 b0 . . . k0 w0 z0 x1 y1 a1 b1 . . . k1 w1 x2 y2 a2 b2 . . . k2 . . . . . . . . . . . . xn-2 yn-2 an-2 bn-2 xn-1 yn-1 an-1 xn yn Así, la tabla incluye hasta la n – ésima diferencia o hasta la i – ésima diferencia, si ésta es constante. Se puede demostrar (aunque esto no se hará aquí) que para valores provenientes de un polinomio de grado k, las k – ésimas diferencias son constantes. Obsérvese el siguiente ejemplo: Ejemplo: Dada la siguiente tabla de valores, determina el polinomio del cual provienen: x -2 -1 0 1 2 3 4 y 3 2 3 6 35 138 387 La tabla de diferencias finitas es: 54
- 3. Métodos Numéricos xi yi ∆ yi ∆2 yi ∆3 yi ∆4 yi - 2 3 - 1 2 0 24 - 1 2 1 2 24 24 0 3 3 26 48 24 1 6 29 74 72 2 35 103 146 3 138 249 4 387 El polinomio es: P(x) = a x4 + b x3 + c x2 + d x + e 3 = 16 a – 8 b + 4 c – 2 d + e 2 = a – b + c – d + e 3 = e 6 = a + b + c + d + e 35 = 16 a + 8 b + 4 c + 2 d + e del sistema anterior: a = 1; b = 2; c = 0; d = 0; e = 3 Así: P(x) = x4 + 2 x3 + 3 IV.3. Los Métodos de Interpolación. Se presenta a continuación el método de Newton para la interpolación en tablas de valores dadas. También se presenta el método de Lagrange como un camino alterno en la interpolación, el cual también es un camino para la interpolación inversa. IV.3.1. Método de Newton. Este método es aplicable sólo cuando el incremento h = xi+1 – xi es constante para todos los valores de i. Para poder derivar el método, despéjese de las diferencias lo siguiente: ∆ yi ∆2 yi . . . ∆n-2 yi ∆n-1 yi ∆n yi y1 = y0 + a0 a1 = a0 + b0 . . . j1 = j0 + k0 k1 = k0 + w0 w1 = w0 + z0 y2 = y1 + a1 a2 = a1 + b1 . . . j2 = j1 + k1 k2 = k1 + w1 y3 = y2 + a2 a3 = a2 + b2 . . . j3 = j2 + k2 . . . . . . . . . yn-2 = yn-3 + an-3 an-2 = an-3 + bn-3 yn-1 = yn-2 + an-2 an-1 = an-2 + bn-2 yn = yn-1 + an-1 Para cada valor de yi se obtienen las siguientes fórmulas: y0 = y0 y1 = y0 + a0 55
- 4. Métodos Numéricos y2 = y1 + a1 = (y0 + a0) + (b0 + a0) = y0 + 2 a0 + b0 y3 = y2 + a2 = (y0 + 2 a0 + b0) + b1 + a1 = y0 + 2 a0 + b0 + (c0 + b0) + (b0 + a0) = y0 + 3 a0 + 3 b0 + c0 y4 = y3 + a3 = (y0 + 3 a0 + 3 b0 + c0) + b2 + a2 = (y0 + 3 a0 + 3 b0 + c0) + (a0 + 2 b0 + c0) + (b0 + 2 c0 + d0) = y0 + 4 a0 + 6 b0 + 4 c0 + d0 y5 = . . . = y0 + 5 a0 + 10 b0 + 10 c0 + 5 d0 + e0 . . . = . . . Extrayendo los coeficientes se obtiene: 1615201561 15101051 14641 1331 121 11 1 De aquí, los coeficientes de las fórmulas anteriores provienen del binomio de Newton; por lo tanto, el término k – ésimo sería: ... !4 )3)(2)(1( !3 )2)(1( !2 )1( 00000 + −−− + −− + − ++= d kkkk c kkk b kk kayyk pero a0 = ∆y0; b0 = ∆2 y0; c0 = ∆3 y0; . . . y por lo tanto: ... !4 )3)(2)(1( !3 )2)(1( !2 )1( 0 4 0 3 0 2 00 +∆ −−− +∆ −− +∆ − +∆+= y kkkk y kkk y kk ykyyk Esta es conocida como la fórmula de Interpolación de Newton y su algoritmo estructurado es el siguiente: Algoritmo Newton: Leer n Para i = 1 hasta n Leer xi, ∆i,0 fin_para Para j = 1 hasta n-1 Para i = 1 hasta n - j ∆ij = ∆i+1,j-1 – ∆i,j-1 fin_para fin_para 56
- 5. Métodos Numéricos Leer x k = (x – x1)/(x2 – x1) y = 0 Para i = 1 hasta n num = 1 j = 0 Mientras j ≤ i -2 hacer num = num * (k – j) j = j + 1 fin_mientras y = y + num/(i – 1)! * ∆1,i-1 fin_para Imprimir y Terminar Ejemplo: Calcular el valor de y para x = 3.2, según la tabla siguiente: x 1 2 3 4 5 6 y - 4 - 3 10 41 96 181 La tabla de diferencias finitas es: xi yi ∆ yi ∆2 yi ∆3 yi 1 - 4 1 12 6 2 - 3 13 18 6 3 10 31 24 6 4 41 55 30 5 96 85 6 181 xk = x0 + k h 3.2 = 1 + k (1) k = 2.2 )6( !3 )22.2)(12.2(2.2 )12( !2 )12.2(2.2 1*2.242.2 −− + − ++−=y y2.2 = 14.568 IV.3.2. Método de Lagrange. Este método de interpolación tiene como base la idea de que el incremento h = xi+1 – xi, es variable, como la muestra la Figura IV.1. Un polinomio Pn(x) que pase por todos los puntos, cumple con: 57
- 6. Métodos Numéricos y = A1 (x – x2) (x – x3) (x – x4) . . . (x – xn) + A2 (x – x1) (x – x3) (x – x4) . . . (x – xn) + A3 (x – x1) (x – x2) (x – x4) . . . (x – xn) + . . . + An (x – x1) (x – x2) (x – x3) . . . (x – xn-1) Por la naturaleza del polinomio, todos los puntos (x, y) lo satisfacen; por lo tanto, sustituyéndolos y despejando las incógnitas Ai: Figura IV.1. Método de Lagrange. y = A (x – x )(x – x – x ) . . . (x – x );1 1 1 2 1 3)(x1 4 1 n ))...()()(( 1413121 1 1 nxxxxxxxx y A −−−− = 2 = A2(x2 – x1)(x2 – x3)(x2 – x4). . .(x2 – xn); ))...()()(( 2423212 2 2 nxxxxxxxx y A −−−− =y 3 = A3(x3 – x1)(x3 – x2)(x3 – x4). . .(x3 – xn); ))...()()(( 3432313 3 3 nxxxxxxxx y A −−−− =y . .. 58
- 7. Métodos Numéricos ))...()()(( 1321 −−−−− = nnnnn n n xxxxxxxx y Ayn = An(xn – x1)(xn – x2)(xn – x3)...(xn – xn-1); ustituyendo las incógnitas despejadas en el polinomio, se obtiene la siguiente fórmula:S + −−−− −−−− + −−−− −−−− = 2 2423212 431 1 1413121 432 ))...()()(( ))...()()(( ))...()()(( ))...()()(( y xxxxxxxx xxxxxxxx y xxxxxxxx xxxxxxxx y n n n n n nnnnn n n n y xxxxxxxx xxxxxxxx y xxxxxxxx xxxxxxxx ))...()()(( ))...()()(( ... ))...()()(( ))...()()(( 1321 321 3 3432313 421 −−−−− −−−− ++ −−−− −−−− sta es conocida como Fórmula de Lagrange para Interpolación, cuya forma abreviadaE sería: ∑ ∏ ∏ = = = − − = n i in j ji n j j y xx xx y 1 1 1 )( )( con i ≠ j onde ∏ representa una serie de productos, así como ∑ representa una serie de sumas. inalmente, de igual manera que en los métodos anteriores, se da a continuación el lgoritmo Lagrange: Leer n a n = 1 hasta n a n m * (x - xj) * yi n_pa Terminar d F algoritmo estructurado para trabajar con este método: A Para i = 1 hast Leer xi, yi fin_para Leer x y = 0 Para i num = 1 den = 1 Para j = 1 hast Si i ≠ j entonces num = nu den = den * (xi – xj) fin_si fin_para y = y + num/den fi ra Imprimir x, y 59
- 8. Métodos Numéricos Ejemplo: Considerar a I como la intensidad de la corriente y a V como el voltaje, calcular 1 2 4 8 V, cuando I = 5, para: I V 120 94 75 62 fórmula queda:la + −−− −−− + −−− −−− = )94( )82)(42)(12( )85)(45)(15( )120( )81)(41)(21( )85)(45)(25( 5V 36.74)62( )48)(28)(18( )45)(25)(15( )75( )84)(24)(14( )85)(25)(15( = −−− −−− + −−− −−− .4. Ajuste Polinomial. uando no se requiere de gran exactitud, o cuando los valores a interpolar son muchos, un .4.1. Método de Mínimos Cuadrados. os métodos de interpolación anteriormente estudiados se basan en que dada una serie de IV C camino alterno resulta ser el Ajuste Polinomial. IV L puntos (x, y), se encuentra una curva que pasa por todos y cada uno de los puntos dados. El método de los Mínimos Cuadrados intenta encontrar una “curva suave” que se aproxime a los puntos dados. Observe la Figura IV.2. Figura IV.2. Método de s Mínimos Cuadrados.lo 60
- 9. Métodos Numéricos a curva suave y = f(x) = a0 + a1 x + a2 x + . . . + am x representa una ecuación que se a diferencia de ordenadas de la curva para un punto x = xi y la del punto (xi, f(xi)), es 2 m L aproxima a todos los puntos dados. El problema consiste en hallar los coeficientes a0, a1, a2, . . ., am que satisfagan la ecuación. L conocida como residuo; esto se muestra en la Figura IV.3. Figura IV.3. Residuo sí: Ri = f(xi) – yi + a2 xi 2 + . . . + am xi m – yi l método conocido como Mínimos Cuadrados intenta determinar los coeficientes ai de ara lograr lo anterior, se utilizan las primeras derivadas parciales, con respecto a todos los A O también: Ri = a0 + a1 xi E tal manera que se haga mínima la sumatoria de los cuadrados de los residuos; así: ∑ ∑= = −++++= n i n i i m imiii yxaxaxaaR 1 1 22 210 2 )...( P parámetros e igualando a cero. Así, derivando con respecto a aj: ∑ ∑= = −++++ ∂ ∂ = ∂ ∂ n i n i i m imii j i j yxaxaxaa a R a 1 1 22 210 2 )...( 61
- 10. Métodos Numéricos ∑= −++++ ∂ ∂ = n i i m imii j yxaxaxaa a1 22 210 )...( Igualando con cero, se obtiene: == + = + = + = −+++ n i i j i n i mj im n i j i i j i i yxxaxaxa 111 2 2 1 1 1 1 ... Dando a j los valores de: j = 0, 1, 2, . . ., m, se tienen las siguientes ecuaciones: iiii 1111 Para j = 1: i m im n i i n i i n i i n i ii xaxaxaxayx 1 1 1 3 2 1 2 1 1 0 1 ... Para j = 2: . . . j = : = + = + = + == ++++ n i mm im n i m i n i m i n i m i n i m i xaxaxaxyx 11 2 2 1 1 1 1 0 1 ... re lta ser un sistema de m+1 ecuaciones con m+1 incógnitas, el cual puede lucionarse con cualquier método conocido. Para los Mínimos Cuadrados, se tiene el asta n eer xi, yi asta m * 2 ∑= −++++= n i j ii m imii xyxaxaxaa 1 2 210 )...(2 ∑∑ += nn j ixa00 ∑∑∑ ∑∑∑∑∑ = + = + = + == ++++= n i mj im n i j i n i j i n i j i n i i j i xaxaxaxayx 11 2 2 1 1 1 1 0 1 ... Para j = 0: ∑∑∑∑ ++++= n m im n i n i n i xaxaxanay 2 210 ... ==== n ∑∑∑∑∑ = + ==== ++++= ∑∑∑∑∑ = + ==== ++++= n i m im n i i n i i n i i n i ii xaxaxaxayx 1 2 1 4 2 1 3 1 1 2 0 1 2 ... . . . . . . para m ∑ =i a ∑∑∑∑ Lo anterior su so siguiente algoritmo: Algoritmo Mínimos_Cuadrados: Leer n, m a0 = n b0 = 0 1 hPara i = L b0 = b0 + yi Para j = 1 h 62
- 11. Métodos Numéricos aj = aj + xi j * xi m+1 = a +1 primir ci,m+2 ular la ecuación de la curva que más se aproxime a los puntos fin_para Para j = 1 hasta m j bj = bj + yi fin_para fin_para Para i = 1 hasta m+1 Para j = 1 hasta cij i+j-2 fin_para ci,m+2 = bi-1 fin_para Llamar Gauss (cij) Para i = 1 hasta m Im fin_para Terminar Así, por ejemplo: Calc siguientes: X 1 2 3 4 5 6 7 Y 1 1.5 2.5 4 6 9 15 Primero, se debe determinar el grado de la curva. Para esto, grafíquense los puntos y determínese m; de la Figura IV.4, se tiene que m = 2. Figura IV.4. Determinación de m. 63
- 12. Métodos Numéricos x y x2 x3 x4 x y x2 y 1 1 1 1 1 1 1 2 1.5 4 8 16 3 6 3 2.5 9 27 81 7.5 22.5 4 4 16 64 256 16 64 5 6 25 125 625 30 150 6 9 36 216 1296 54 324 7 15 49 343 2401 105 735 ∑ 28 39 140 784 4676 216.5 1302.5 El sistema de ecuaciones es: La solución es: 7 a0 + 28 a1 + 140 a2 = 39 a0 = 2.42857 28 a0 + 140 a1 + 784 a2 = 216.5 a1 = - 1.50595 140 a0 + 784 a1 + 467 a2 = 1302.5 a2 = 0.45833 sí: y = 2.42857 – 1.50595 x + 0.45833 x IV.4.2. Transformaciones. En muchas ocasiones, los puntos no se aproximan a una recta; pero si se mapean (esto es, transforma ) estos p tos a o sistema de ejes coordenados, estos pueden aproximarse a una recta. Las transformaciones más co es son X, Log Log ( , Y Log og ( en ba 10. rm to para el caso (log x, y), y = 10a+bx = 10ª (10b )x Sea α = 10ª y β = 10b y = α βx 2 A n un tro mun : (Y) X) (X), L Y) Siendo los logaritmos siempre se La función debe transformarse de nuevo a los té inos x, y; excep de la siguiente manera: 1 ) Para el caso (x, log y), se tiene:( log y = a + b x 64
- 13. Métodos Numéricos ( 2 ) Para el caso (log x, log y), se tiene: log y = a + b * log x y = 10ª (xb ) y β = b xβ 2 4 8 12 = b xa log 10 + Sea α = 10ª y = α Ejemplo: Determinar la recta que más se aproxime a los puntos siguientes: X 0.5 1 Y 160 120 94 75 62 56 P r nsforma n querimero, se debe determina la tra ció aproxima a una recta. Para esto, transformación adecuada; degrafíquense los puntos y las transformaciones y determínese la la Figura IV.5, se tiene que (log x, log y). Figura IV.5. Transformaciones. 65
- 14. Métodos Numéricos x y X2 XYX Y 0.5 160 - 0.3 .204 0.0901 2 06 - 0.6635 1.0 120 0.000 2.079 0.000 0.000 1.973 0.0906 0.5939 4.0 75 0.602 1.875 0.3624 0.1289 12.0 56 1.079 1.748 1.1646 1.8866 ∑ 11.672 2.523 4.56 2.0 94 0.301 8.0 62 0.903 1.792 0.8155 1.6186 2.584 9 46 l sistema de ecuaciones es: La solución es: a1 = - 0.328 Así: y = 122.0744 * x-0.328 E 6 a0 + 2.5843 a1 = 11.6721 a0 = 2.0866 2.5843 a0 + 2.5239 a1 = 4.5646 66