Introducción al modelado de problemas de Programación Lineal.

Investigación de Operaciones
Ing. Roanny Lamas López

¿Qué fue visto en el encuentro
anterior?
Recordemos…

¿Qué es la Investigación de Operaciones?
Una definición que se acerca mucho a la realidad sería “la
ciencia de la toma de decisiones”. Conviven en esta disciplina
profesionales de las más diversas ramas: Ingenieros,
matemáticos, informáticos, economistas, etc. Todos ellos
deben aprender una técnica fundamental: La modelación
matemática.

Programación Lineal (PL)
La programación lineal utiliza un modelo matemático para
describir el problema.
Lineal: Todas las funciones matemáticas deben ser lineales.
Programación: Es sinónimo de planeación, no es la
programación de las computadoras.
Asignar recursos limitados entre actividades competitivas de
forma óptima.

Clasificación de los problemas de PL
Tipos de problemas de PL
Entera
Bivalente Pura
Mixta

Todas las variables de
decisión toman valores
enteros.
Programación Lineal Entera Pura

Utiliza variables binarias,
bivalentes o booleanas
como variable de
decisión.
Programación Lineal Entera Bivalente

Algunas de las variables de
decisión tienen valores
enteros. Las demás cumplen
con la suposición de
divisibilidad.
Programación Lineal Mixta

Modelo matemático
Intenta ser sólo una representación idealizada del problema
real.
Agregar demasiados detalles y precisión puede hacer que el
modelo sea difícil de manipular para llevar a cabo un análisis
útil del problema.
Todo lo que se necesita es que exista una correlación
relativamente alta entre la predicción del modelo y lo que de
hecho pasaría en el problema real.

Supuestos de la PL
• Proporcionalidad
• Aditividad
• Divisibilidad
• Certidumbre
“… los supuestos simplemente son que
el modelo debe tener una función
objetivo lineal sujeta a restricciones
lineales.”
Buena
Práctica

Elementos componentes del modelo de PL
• Variables de decisión (Ejemplos: 𝑿𝒊, 𝑿𝒊𝒋)
• Coeficiente económico (Ejemplo: Ganancias, Pérdidas)
• Función objetivo (Ejemplo: Maximizar Z = 𝑿𝒊 + 𝑿𝒋)
• Restricciones del modelo (Ejemplo: 𝟐𝑿𝒊 + 5𝑿𝒋 ≤ 100)
• Condiciones de no negatividad (Ejemplo: 𝑿𝒊 ≥ 0)
¿Qué hay en común?

Para modelar problemas de PL
1. Extraer el conjunto de datos.
2. Definir el conjunto de variables involucradas en el
problema, junto con sus respectivos dominios de
definición.
3. Deducir el conjunto de restricciones lineales del problema
que definen el conjunto de soluciones admisibles.
4. Escoger la función lineal que debe ser optimizada (función
objetivo).

Problemas clásicos
• El problema de la mochila
• Problemas de cubrimiento
• Problemas de empaquetado
• El Problema del viajante de comercio
• El problema de asignación cuadrática
• …

Tema 1: Introducción al
modelado de problemas de
Programación Lineal.
Actividad 2
Clase Práctica 1: Modelación de problemas de Programación
Lineal.

Objetivo
• Modelar problemas de Programación Lineal con ayuda del
profesor, describiendo matemáticamente sus componentes,
para obtener una representación idealizada de situaciones
reales.

Ejercicio 1
Un fabricante de bombones entrega productos en cajas de
1kg en dos variedades: A y B. La caja tipo A contiene 300g de
bombones de licor, 500g de nuez y 200g de fruta. La caja tipo
B contiene 400g, 200g y 400g de cada tipo de bombón. La
utilidad por cada caja es de $120 para las cajas del tipo A y de
$90 para las cajas del tipo B. El fabricante dispone de 100kg
de bombones de licor, 120kg de nuez y 100kg de fruta. Se
pide determinar la cantidad de cajas de cada tipo que debe
armar el fabricante para que la ganancia sea máxima.

Ejercicio 2
Introducción a la Investigación de Operaciones, Tomo I;
Editorial Félix Varela; La Habana, 2005.
• Ejercicio 3.1-3, inciso a, Página 69.
Variantes adicionales:
2.1) Se desea explotar la rectificadora al máximo de su
capacidad.
2.2) Las ventas potenciales de los productos 1 y 2 se
comportan regularmente en 100 unidades.

Ejercicio 3: Problema del Presupuesto
Una empresa está pensando en invertir en 4 proyectos
diferentes, cada uno se termina a lo sumo en tres años. Los
flujos de caja requeridos en cada año, el valor presente neto
(VPN) de cada proyecto concluido, los años de ejecución y la
disponibilidad de recursos financieros se resumen en la
siguiente tabla:
Tabla 1: en la siguiente diapositiva
Se desea determinar en cuáles de los proyectos invertir para
obtener el mayor VPN posible en la inversión.

Tabla 1
P1 P2 P3 P4
Disponibilidad
de Recursos
Año 1 10 8 6 12 30
Año 1 8 15 4 0 15
Año 1 18 0 16 0 12
VPN 35 18 24 16 -

Ejercicio 4: El problema de la mochila
Una firma comercializadora quiere lanzar al mercado una
oferta de artículos combinados para hombres, con el objetivo
de incrementar las ventas con vista a la conmemoración del
día de los enamorados. Se dispone de un surtido de 6
productos y dos tipos de envases (M y G). Se desea
determinar la composición de los envases de forma tal, que se
obtenga el mayor ingreso con la venta de cada uno. A partir de
un estudio se ha recopilado la siguiente información:

- El peso máximo admisible para los envases es de 5 libras
para el tipo G y de 3 libras para el tipo M.
- Los pesos en libras, los precios en $ para cada artículo son:
Se desea determinar qué producto envasar en cada tipo de
envase para maximizar los ingresos de la firma
comercializadora.
Productos 1 2 3 4 5 6
Peso en libras 0,1 0,4 1,2 1,3 0,8 2
Precio en $ 5 0,75 3,5 12 2 15

Un poco de historia
Grandes de la Investigación de Operaciones

George Bernard Dantzig Ourisson,
“Padre de la Programación Lineal”

George Dantzig (8 de noviembre de 1914 – 13 de mayo de
2005) fue un profesor, físico y matemático estadounidense,
reconocido por desarrollar el método simplex y es
considerado como el "padre de la programación lineal".
Recibió muchos honores, tales como la Medalla Nacional de
Ciencia en 1975 y el premio de Teoría John von Neumann en
1974. Fue miembro de la Academia Nacional de Ciencias, la
Academia Nacional de Ingeniería y la Academia Americana
de Artes y Ciencias.

• Licenciado en Matemáticas y Física de la Universidad de
Maryland en 1936.
• Máster en Matemáticas de la Universidad de Míchigan.
• Doctor en Estadística de la Universidad de California,
Berkeley en 1946.
• Doctor Honoris Causa de la Universidad de Maryland en
1976.

Durante su primer año en Berkeley, se inscribió en un curso de
Estadística que impartía el famoso profesor Jerzy Neymann.
Este profesor tenía la costumbre de escribir en la pizarra un
par de ejercicios al comenzar sus clases para que, como tarea
para el hogar, fueran resueltos por sus alumnos y entregados
en la clase siguiente. En una ocasión llegó tarde a una de las
clases de Neymann y se encontró con dos problemas escritos
en la pizarra. Supuso que eran problemas de tarea y,
consecuentemente, los copió y los resolvió, aun cuando le
parecieron "un poco más difíciles que los problemas
ordinarios".

Unos días después se los entregó a Neymann, disculpándose
por haber tardado tanto. Aproximadamente seis semanas
después, un domingo a las 8:00 de la mañana, Neymann llegó
aporreando la puerta de Dantzig, explicándole que había
escrito una introducción a uno de los artículos de Dantzig y
que quería que la leyera a fin de poder enviar el artículo para
su publicación. Los dos "problemas de tarea" que Dantzig
había resuelto eran, en realidad, dos famosos problemas no
resueltos de la Estadística. Las soluciones de estos problemas
se convirtieron en su tesis doctoral, a sugerencia de Neymann.

Ejercicio 5
SUPREMA se especializa en la reacción de los consumidores a
nuevos productos, servicios y campañas publicitarias. Una
empresa cliente ha solicitado ayuda para saber cuál es la
reacción de los consumidores ante un producto doméstico
recién introducido en el mercado. En reuniones con el cliente,
SUPREMA estuvo de acuerdo en efectuar entrevistas
personales puerta a puerta para obtener respuestas en
hogares con niños y en hogares sin niños. Además, SUPREMA
estuvo de acuerdo en hacer entrevistas tanto durante el día
como durante la noche.

Ejercicio 5 (Continuación)
De manera específica, el contrato del cliente exigía que
SUPREMA realizara 1000 entrevistas bajo la siguiente guía de
acción:
• Se entrevistarán por lo menos 400 hogares con niños.
• Se entrevistarán por lo menos 400 hogares sin niños.
• El número total de hogares entrevistados por la noche debe
ser por lo menos tan elevado como el número total de
hogares entrevistados durante el día.

• Por lo menos el 40% de las entrevistas en hogares con niños
deberán hacerse durante la noche.
• Por lo menos el 60% de las entrevistas en hogares sin niños
deberán efectuarse durante la noche.
Dado que las entrevistas en hogares con niños ocupan más
tiempo del entrevistador, y debido a que los entrevistadores
de la noche cobran más que los diurnos, el costo varía según
el tipo de entrevista.

Basándose en estudios de investigaciones anteriores, las
estimaciones de los costos de entrevistas son:
Se desea determinar la cantidad de entrevistas que se deben
hacer a cada hogar para garantizar que el costo sea mínimo.
Hogar
Costo de Entrevista
Día Noche
Con niños $20 $25
Sin niños $18 $20

Estudio Independiente
Del libro Introducción a la Investigación de Operaciones,
Tomo I; Editorial Félix Varela; La Habana, 2005.
1. Ejercicio 3.1-4, inciso a, Página 69
2. Ejercicio 3.1-5, inciso a, Página 69
3. Ejercicio 3.4-10, Página 76

4. La empresa PROGRAMAS-A se especializa en la confección
de programas para computadoras que se elaboran a
solicitud del cliente. En estos momentos cuenta con 3
programadores libres y ha recibido 4 solicitudes de trabajos
a los que se debe dar respuesta lo mas pronto posible. No
todos los programadores trabajan a la misma velocidad lo
que se refleja en el costo que implica la asignación del
trabajo.

Programador 1 2 3 4
Tiempo
disponible
1) Costo $ 100 $ 150 $ 200 $ 100
Tiempo 10 15 20 10 35 h
2) Costo $ 80 $ 200 $ 100 $ 150
Tiempo 4 10 8 10 24 h
3) Costo $ 200 $ 250 $ 150 $ 100
Tiempo 20 25 15 10 40 h
En la siguiente tabla se muestra el costo en que incurriría cada
programador al realizar cada trabajo así como el tiempo
estimado en horas que requeriría y su tiempo total disponible.

PMMQP obtener el plan que garantice que cada trabajo sea
realizado por un programador, que se respete el tiempo
disponible para cada uno de estos y se logre el costo total
mínimo.

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