PROGRAMACIÓN LINEAL Y OTROS METODOS DE ESTUDIO.pdf

PROGRAMACIÓN
LINEAL
Preparado por: Msc. Evidelia Gómez

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
• Describir un problema de programación lineal
• Formular un modelo
• Resolver un modelo de PL
• Analizar casos especiales
Tema: Programación Lineal. Preparado por: Msc. Evidelia
Gómez

CONTENIDO
• Formulación del problema
• Modelos
• Solución
• Casos Especiales
Gómez

INTRODUCCIÓN
• La programación lineal es un método determinista de
análisis para elegir la mejor entre muchas alternativas. Con
frecuencia, seleccionar una alternativa incluye satisfacer
varios criterios al mismo tiempo.
• Estos criterios son: restricciones y el objetivo.
• Las restricciones son las condiciones que debe satisfacer
una solución que está bajo consideración. Si más de una
alternativa satisfacen todas las restricciones, el objetivo se
usa para seleccionar entre todas las alternativas factibles.
Tema: Programación Lineal. Preparado por: Msc. Evidelia Gómez

Los problemas buscan maximizar o
minimizar un objetivo.
Las restricciones limitan el grado
en que se puede alcanzar el
objetivo
Debe haber
alternativas
disponibles
Las relaciones
matemáticas son
lineales

MODELADO EN EL
MUNDO REAL
Definición del problema
Desarrollo del modelo
Recolección de datos
Desarrollo de una solución
Pruebas de la solución
Análisis de los resultados
Implementación de resultados

PASOS PARA LA
FORMULACION
1. Entender cabalmente el problema
administrativo que se enfrenta.
2. Identificar el objetivo y las restricciones.
3. Definir las variables de decisión.
4. Utilizar las variables de decisión para
escribir expresiones Matemáticas de la
función objetivo y de las restricciones.

PROBLEMA
DE LA DIETA
• Las dietas se seleccionan para cumplir con una
serie de criterios. Cada persona necesita
cantidades diarias de calorías, vitaminas, proteínas,
minerales y otros. También se tienen preferencias
por los tipos de comida y las marcas. La dieta
óptima ser· la que cumpla todas las necesidades a
un costo mínimo.

Descripción
del problema
Tema:
Programación
Lineal.
Preparado
por:
Msc.
Evidelia
Gómez
• Se supone que existen sólo tres restricciones: la
cantidad diaria de tres vitaminas. También se supone
que sólo se están considerando dos tipos de
alimento. Así, el problema consiste en decidir cuánto
comprar de cada alimento para satisfacer las tres
restricciones y minimizar el costo. Supóngase que el
alimento A y el alimento B son los dos tipos bajo
consideración. El alimento A cuesta 12 centavos/onza
y el alimento B 8 centavos/onza. Se quiere minimizar
el costo total de los alimentos al mismo tiempo que
satisfacer las tres restricciones vitamínicas. Se
desean, por lo menos, 30 unidades de la vitamina W,
50 unidades de la vitamina X y 60 unidades de la
vitamina Y. Cada onza del alimento A proporciona 2
unidades de la vitamina W, 4 unidades de la vitamina
X y 7 unidades de vitamina Y. El alimento B
proporciona 3,3 y 6 unidades de W, X y Y, por onza,
respectivamente. Cuántas onzas de cada alimento
deben comprarse?

Formulación
del
Problema
• A= Total de onzas que se compran del alimento A
• B= Total de onzas que se compran del alimento B
Definición de Variables
• Z= 12 A + 8 B Unidades en centavos
Función Objetivo (minimizar)
• 2 A + 3B ≥ 30 Vitamina W
• 4 A + 3B ≥ 50 Vitamina X
• 7 A + 6B ≥ 60 Vitamina y
• A, B, ≥ 0
Restricciones

SOLUCION

PROBLEMA
DE MEZCLA
• Aquí el problema es encontrar la combinación de
ingredientes con el menor costo y que satisfaga las
especificaciones del producto final. Ejemplos de
esto ocurren al refinar gasolina, en las
preparaciones químicas y en las mezclas de
concreto.

• Los problemas de mezcla de productos utilizan PL
para decidir la cantidad de cada producto a
elaborar, a partir de una serie de recursos
restringidos.

DESCRIPCION
DEL
PROBLEMA
Tema:
Programación
Lineal.
Preparado
por:
Msc.
Evidelia
Gómez
• Supóngase que una compañía que da
servicio de limpieza prepara sus propias
soluciones mezclando dos ingredientes.
Hace esto para obtener una solución que
tiene lo que considera una combinación
apropiada de fosfatos y cloruro. Un
ingrediente tiene 5% de fosfatos y 2% de
cloruro y cuesta 25 centavos/onza. El
otro ingrediente tiene 7% de fosfato y 1
% de cloruro y cuesta 20 centavos/onza.
La firma necesita que la mezcla final
tenga no más del 6% de fosfatos y 1.5 %
de cloruro.

FORMULACION
DEL PROBLEMA
DEFINICION DE VARIABLES
• X = Onzas del ingrediente 1, por onza de solución
• Y = Onzas del ingrediente 2, por onza de solución
FUNCION OBJETIVO (Minimizar costos)
• Z= 25 X + 20 Y
RESTRICCIONES
• 5X + 7 Y ≤ 6
• 2X + Y ≤ 1. 5
• X + Y = 1
• X, Y ≥ 0

PROBLEMA
DE
INVERSIÓN
• Supóngase que se acaba de recibir una herencia
de $10 000 de un tío lejano y que se quiere
invertir este dinero para maximizar el
rendimiento sobre la inversión. Se decide invertir
tanto en acciones como en bonos. Para estar
seguros, se piensa que las acciones deben ser no
más del 25% del total y debe ser, por lo menos, el
10 %. Existe un bono que resulta en particular
interesante y se quiere invertir en él por lo
menos $4 000. Se estima que la tasa anual de
rendimiento en bonos es el 8 % y en acciones el
10 %. ¿Cuánto debe invertirse en acciones y
cuánto en bonos?

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
DEFINICION DE
VARIABLES
• S = dólares
invertidos en
acciones
• B = dólares
invertidos en
bonos
FUNCIÓN
OBJETIVO
• Z = 10S + 8B
(Maximizar)
RESTRICCIONES
• S + B ≤ 10 000
• .75S − .25B ≤ 0
• .9S - .10B ≥ 0
• B ≥ 4000
• S, B ≥ 0

SELECCIÓN DE MEDIOS
• Los problemas de selección de medios de comunicación
pueden abordarse con PL desde dos enfoques. El objetivo
sería maximizar la exposición de la audiencia o minimizar
los costos por publicidad.

DEFINICION DEL PROBLEMA
• Una universidad privada promueve programas académicos en una
ciudad. La universidad tiene un presupuesto de hasta $8,000
semanales para anuncios locales. El dinero se asignará entre cuatro
medios de comunicación: spots en televisión, anuncios en periódicos,
red social y radio. La meta es llegar a la audiencia de mayor potencial
más grande posible, usando los diferentes medios de comunicación.
Gómez
Medio Audiencia alcanzada
por anuncio
Costo por
anuncio
Máximo de anuncios por
semana
Spot TV (1 minuto) 5000 800 12
Red social 8500 925 5
Periódico (1 plana) 2400 290 25
Spot Radio (1 minuto) 2800 380 20

• Restricciones:
• 1. No se pueden colocar más de 12 comerciales en TV.
• 2. No se pueden utilizar más de 5 anuncios en RS.
• 3. No se pueden usar más de 5 anuncios en periódico.
• 4. No se pueden usar más de 20 comerciales de 1 minuto en radio.
• 5. El total gastado no debe exceder $8,000.
• 6. El número total de comerciales en radio tiene que ser, por lo
menos, de 5.
• 7. La cantidad total gastada en comerciales de radio no debe exceder
$ 1800.
Gómez

FORMULACION
DEL PROBLEMA
• X1 = número de spots de TV de 1 minuto
en cada semana
• X2 = número de anuncios de 1 plana en el
periódico en cada semana
• X3 = número de spots de radio de 30
segundos en cada semana
• X4 = número de spots de radio de 1
minuto por la tarde en cada semana
VARIABLES DE DECISIÓN
• Z= 5,000X1 + 8,500X2 + 2,400X3 + 2,800X4
FUNCION OBJETIVO

• RESTRICCIONES
• X1 ≤ 12 (máximo de spots en TV/semana)
• X2 ≤ 5 (máximo de anuncios en RS/semana)
• X3 ≤ 5 (máximo de anuncios en
periódicos/semana)
• X4 ≤ 20 (máximo de spots de 1 min en
radio/semana)
• 800X1 + 925X2 + 290X3 + 380X4 ≤ $8,000
(presupuesto semanal de publicidad)
• X3 ≥ 10 (mínimo de spots en radio
contratados)
• 290X3 + 380X4 ≤ $1,800 (máximo de dólares
gastados en radio)
• X1, X2, X3, X4 = 0

Conceptos Básicos
• La forma matemática del objetivo
se llama función objetivo. Debe
llevar consigo el maximizar o
minimizar alguna medida
numérica.

CONCEPTOS BÁSICOS
EN LOS PROBLEMAS DE PL SE
QUIERE SATISFACER TODAS LAS
RESTRICCIONES AL MISMO
TIEMPO.
LA REGIÓN FACTIBLE ES EL
CONJUNTO DE PUNTOS QUE
SATISFACEN TODAS LAS
RESTRICCIÓN.
EL MÉTODO GRÁFICO
SOLAMENTE FUNCIONA
CUANDO HAY DOS VARIABLES
DE DECISIÓN, PERO OFRECE
VALIOSA INFORMACIÓN
ACERCA DE CÓMO SE
ESTRUCTURAN LOS
PROBLEMAS MÁS GRANDES.
LA HOLGURA REPRESENTA LA
CANTIDAD DE RECURSO QUE
NO SE UTILIZA.
EL EXCEDENTE INDICA LA
CANTIDAD EN QUE SE HA
SUPERADO EL LADO DERECHO
DE UNA RESTRICCIÓN.

CONCEPTOS BÁSICOS
Una restricción
redundante es aquella
que no afecta a la región
de solución factible.
Análisis de
posoptimalidad significa
examinar los cambios
después de que se haya
alcanzado la solución
óptima.
El precio dual de una
restricción es el
mejoramiento del valor
de la función objetivo
que resulta del aumento
de una unidad en el lado
derecho de la restricción.
Un precio sombra es el
cambio en el valor de la
función objetivo (por
ejemplo, utilidad o costo)
que resulta de un
aumento de una unidad
en el lado derecho de
una restricción.

ANÁLISIS DE
SENSIBILIDAD

1. ¿Cómo afectará el cambio de un
coeficiente de la función objetivo a
la solución óptima?
2. ¿Cómo afectará el cambio de un
valor del lado derecho de una
restricción a la solución óptima?

Informe de
sensibilidad

En que consiste?
• El análisis de sensibilidad es importante para los tomadores de decisiones debido
a que los problemas reales ocurren en un entorno en constante cambio.
• Los precios de las materias primas, la demanda de productos, las capacidades de
producción, los precios de las acciones, todo ello cambia. Si un modelo de
programación lineal se utiliza en un entorno como éste, podemos esperar que
algunos de los coeficientes del modelo cambien con el tiempo y tal vez queramos
determinar cómo afectan estos cambios a la solución óptima.
• El análisis de sensibilidad proporciona la información necesaria para responder a
estos cambios sin requerir una solución radical de un programa lineal modificado.

CONCEPTOS
BÁSICOS
• El análisis de sensibilidad, estudia cómo los cambios en
los coeficientes del problema de programación lineal
afectan a la solución óptima.
• Regla del 100 por ciento, Regla que indica cuándo los
cambios simultáneos en dos o más coeficientes de la
función objetivo no provocarán una alteración en los
valores óptimos para las variables de decisión.
También se aplica para indicar cuándo dos o más
cambios en el lado derecho no provocarán una
modificación en cualquiera de los precios duales.
• Precio dual Mejora en el valor de la solución óptima
por incremento unitario en el lado derecho de una
restricción.

PROGRAMACION POR METAS
En muchas aplicaciones, la persona que planea persigue más de un objetivo. Es posible
que todos esos objetivos sean igualmente importantes o que, por lo menos, a dicha
persona le resulte difícil comparar la importancia de uno de ellos frente a la de otro.
La Programación por metas es un procedimiento, consistente en buscar las
decisiones permisibles que se aproximen lo más posible al logro de las metas
especificadas.
Las variables de desviación son variables que se usan en la programación por metas
para medir el grado en el cual se transgrede una meta .

DESCRIPCION
DEL
PROBLEMA
• Un gerente está tratando de organizar un programa para
sus cinco vendedores (A, B, C, D y E) para el mes
próximo. Ha formulado los siguientes objetivos para el
periodo en orden de prioridad:
• 1 Alcanzar en el mes ventas por $ 14,500
• 2 Permitir que los vendedores trabajen por lo menos sus
horas regulares.
• 3 Lograr que el vendedor B gane por lo menos $ 170 en
comisiones
• 4 No exceder el tope de tiempo extra de los vendedores
A, B y C
• 5 No exceder el tope de tiempo extra de los vendedores
D y E
• 6 Lograr que lo vendedores C y D alcancen comisiones de
$ 87 y $ 52 respectivamente.

• La gerente de ventas ha desarrollado datos sobre la eficacia de la
venta, las horas regulares y los tiempos extras. Se paga a los
vendedores B, C y D, el 5.5% de comisión sobre las ventas.
• DEFINICION DE VARIABLES
• X1= horas de trabajo del vendedor A
• X2= horas de trabajo del vendedor B
• X3= horas de trabajo del vendedor C
• X4= horas de trabajo del vendedor D
• X5= horas de trabajo del vendedor E
Gómez

Datos de ventas
Vendedor Horas regulares Tiempo extra máximo $/hora (venta)
A 200 24 24
B 200 24 16
C 172 52 9
D 160 32 5
E 100 32 1.5
Gómez

metas
• 24x1+16x2+9x3+5x4+1.5x5 + d1-d1 = 14,500
• X1 +d2-d2 =200
• X2 +d3-d3 = 200
• X3 +d4-d4 = 172
• X4 + d5-d5 = 160
• X5 + d6-d6 = 100
• 0.055(16X2) + d7-d7 = 170
• 0.055 (9x3) +d8-d8 = 87
• 0.055 (5X4) + d9-d9 = 52
• d2 +d10-d10 = 24
• d3 + d11 – d11 = 24
• d4 + d12 –d12 = 52
• d5 + d13 – d13 = 32
• d6 + d14-d14 =32 Tema: Programación Lineal. Preparado por: Msc. Evidelia Gómez

• FUNCIÓN OBJETIVO
• Z =p1d1 + p2 (d2+d3+d4+d5+d6) + p3d7 + p4(d10+d11+d12)+
p5(d13+d14) + p6(d8+d9)
Gómez

PROGRAMACIÓN
ENTERA

Programación
Entera
• Es un conjunto de técnicas que
pueden usarse para encontrar la
mejor solución entera posible
para un problema de
programación lineal.

APLICACIONES
DE PLE
La Programación lineal Entera (PLE), pueden ser de dos
categorías, la directa y la transformada.
En la categoría directa, la naturaleza de la situación
impide la asignación de valores fraccionarios a las
variables del modelo. Puede incluir variable binaria (si se
hace o no algo), y variable general entera.
En la categoría transformada se utilizan variables enteras
auxiliares para convertir analíticamente situaciones
insolubles en modelos que pueden resolverse por medio
de algoritmos de optimización disponibles.

PROGRAMACION POR REDES

QUE ES UNA RED?
• Una red se compone de un conjunto de nodos unidos por
arcos (o ramas). La notación para describir una red es (N,
A), donde N es el conjunto de nodos, y A es el conjunto de
arcos. se describe como:
• N = {1, 2, 3, 4, 5}
• A = { (1,2) (1,3) (2,3) (2,5) (3,4) (3,5) (4,2) (4,5) }
• Asociado con cada red hay un flujo (por ejemplo, los
productos de petróleo fluyen por un oleoducto y el tráfico
de automóviles fluye por las carreteras). El flujo máximo en
una red puede ser finito o infinito, según la capacidad de
sus arcos.

Qué es una red dirigida?
• Se dice que un arco está dirigido u orientado
si permite el flujo positivo sólo en una
dirección. Una red dirigida tiene todos los
arcos dirigidos. Una ruta es un conjunto de
arcos que unen dos nodos distintos, y que
pasan a través de otros nodos en la red. Por
ejemplo, los arcos (1,2), (2,3), (3,4) y (4,5)
forman una ruta entre los nodos 1 y 5
(imagen). Una ruta forma un ciclo o un bucle
si conecta un nodo de vuelta a sí mismo a
través de otros nodos. En la imagen, los arcos
(2,3), (3,4) y (4,2) forman un ciclo.
Gómez
1 3 5
4
2

Qué es una red conectada?
• Se dice que una red está
conectada si cada dos nodos
distintos están conectados en al
menos una ruta. La red en la
imagen muestra este tipo de red.

Qué es un árbol?
• Un árbol es una red conectada libre de
ciclos compuesta de un subconjunto de
todos los nodos, y un árbol de
expansión es un árbol que une todos
los nodos de la red. La imagen
proporciona ejemplos de un árbol y un
árbol de expansión de la red de la
imagen anterior
• A = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 5), (3, 4), (3,
5), (4, 2), (4, 5)
Gómez
árbol
Árbol de expansión

Aplicaciones de redes
Diseño de una red de oleoductos para gas natural a una determinada distancia de la costa
para conectar los cabezales de los pozos en el Golfo de México a un punto de distribución
costero con el objetivo de minimizar el costo de construcción de los oleoductos.
2. Determinación de la ruta más corta entre dos ciudades en una red existente de carreteras.
3. Determinación de la capacidad máxima (en toneladas por año) de una red de oleoductos
para transporte de Petróleo del Atlántico al Pacífico.
4. Determinación del cronograma (fechas de inicio y terminación) para las actividades de un
proyecto de construcción.
5. Determinación del itinerario de flujo de costo mínimo desde campos petroleros hasta
refinerías a través de una red de oleoductos.

Algoritmos de solución para
redes
• 1. Árbol de mínima expansión
• 2. Algoritmo de la ruta más corta
• 3. Algoritmo de flujo máximo
• 4. Algoritmo de la ruta crítica (CPM)

Referencias
Introducción a la
Investigación de
Operaciones. Hillier.
Lieberman
Investigación de
Operaciones en las
Ciencias Administrativas.
Eppen
Investigación de
Operaciones. Taha.
Métodos cuantitativos
para la toma de decisiones
en administración.
Gallagher.
para los negocios.
Anderson.
para los negocios. Render.

PROGRAMACIÓN LINEAL Y OTROS METODOS DE ESTUDIO.pdf

Más contenido relacionado

Similar a PROGRAMACIÓN LINEAL Y OTROS METODOS DE ESTUDIO.pdf (20)

Último (20)

PROGRAMACIÓN LINEAL Y OTROS METODOS DE ESTUDIO.pdf