Introducción edp's

1
Curso 2006-2007
Tema 1.
Introducción a las EDP.
Asignatura:
Métodos Matemáticos de la Ingenier´ıa Qu´ımica
Profesores:
Emanuele Schiavi y Ana Isabel Muñoz.
Apuntes elaborados por:
C. Conde (UPM), E. Schiavi (URJC) y A.I. Muñoz
(URJC).

Índice 1
Índice
1. Generalidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Notación y Conceptos fundamentales. Ejemplos . . . . . . . . 5
1.1.1. Una aplicación de la teor´ıa de campos . . . . . . . . 13
2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1. Teor´ıa matemática general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.1. Interpretación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2. El proceso de resolución . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.3. Interpretación geométrica del problema del flujo po-
tencial: deducción del método de las trayectorias . . 32
2.1.4. El problema de Cauchy para ecuaciones cuasilineales 36
2.1.5. El caso paramétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.6. ∗
Parametrización mediante la longitud de arco . . . 44
2.1.7. ∗
Un ejemplo de formación de ondas de choque en
una ecuación cuasilineal. Ecuación de Bürgers . . . . 45
2.1.8. ∗
Discontinuidades y soluciones débiles . . . . . . . . 47
2.1.9. ∗
Propagación de discontinuidades en EDP de primer
orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.10. ∗
Valores iniciales discontinuos . . . . . . . . . . . . 50
2.1.11. ∗
Derivadas iniciales discontinuas . . . . . . . . . . . 51
2.1.12. ∗
Las ecuaciones de Pfaff . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2. Introducción progresiva de las EDP hiperbólicas de primer orden 54
2.2.1. El caso lineal homogéneo con coeficientes constantes 55
2.2.2. El caso lineal no homogéneo con coeficientes constantes 56
2.3. Sistemas hiperbólicos con coeficientes constantes . . . . . . . . 58

2 Índice
2.4. Ecuaciones hiperbólicas lineales homogéneas con coeficientes
variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5. ∗
Sistemas hiperbólicos con coeficientes variables . . . . . . . . 64
2.6. ∗
Problemas de valor inicial y de contorno para una EDP de
primer orden con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . 65
2.6.1. ∗
Problemas de valor inicial y de contorno para sis-
temas de primer orden con coeficientes constantes . . 67
2.6.2. ∗
Problemas periódicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.7. ∗
Sistemas de leyes de conservación: la notación de operadores 70
3. Ecuaciones lineales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1. Ecuaciones de segundo orden: curvas caracter´ısticas y clasifi-
cación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2. Problemas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3. Condiciones iniciales y de contorno . . . . . . . . . . . . . . . 83
4. Ecuaciones el´ıpticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.1. Ecuaciones de Laplace y de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.1.1. Laplaciana bidimensional en coordenadas polares . . 90
4.1.2. Laplaciana tri-dimensional en coordenadas cil´ındricas 91
4.1.3. Laplaciana tri-dimensional en coordenadas esféricas . 91
4.1.4. Laplaciana N-dimensional en coordenadas radiales . 92
4.2. Algunos fenómenos f´ısico-técnicos que modelizan . . . . . . . . 92
4.3. ∗
Fórmulas de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.1. Principio del máximo para funciones armónicas . . . 96
4.3.2. Unicidad para la ecuación de Laplace . . . . . . . . . 96
5. Ecuaciones parabólicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1. La ecuación de difusión y algunas variantes . . . . . . . . . . . 97
5.2. ∗
Algunos fenómenos f´ısico-técnicos que modelizan . . . . . . . 101
6. Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.1. Introducción a las trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Indice. 3
6.1.1. Flujo de un campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.1.2. Flujos potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.1.3. Flujos incompresibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.1.4. Fluidos perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.2. Representaciones de curvas y superficies . . . . . . . . . . . . 117
6.3. Tablas de operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.3.1. Operador Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.3.2. Operador Derivada Material . . . . . . . . . . . . . . 123
6.3.3. Operador Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.4. Tablas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.4.1. Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.4.2. Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento127
6.4.3. Ecuación de conservación de la energ´ıa . . . . . . . . 129
7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8. Ejercicios propuestos en exámenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9. Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.1. Bibliograf´ıa avanzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4 Tema 1. Introducción a las EDP.
Tema 1.
Introducción a las EDP.
1. Generalidades.
Todas las operaciones básicas, f´ısicas y qu´ımicas de la Ingenier´ıa Qu´ımica, implican el
transporte de una o varias de las tres magnitudes fundamentales siguientes: cantidad
de movimiento, energ´ıa y materia. Estos fenómenos de transporte se producen en el
seno de los fluidos o entre sólidos y fluidos, bien como consecuencia de las diferencias
de concentraciones de dichas magnitudes en aquellos (representando la tendencia de
todos los sistemas a alcanzar el equilibrio) bien como consecuencia del movimiento
de los propios fluidos. Para poder diseñar adecuadamente los equipos e instalaciones
donde hayan de desarrollarse las operaciones indicadas, se requiere una información
precisa sobre los caudales de transporte de las citadas magnitudes f´ısicas1
. El análisis
de los fenómenos de transporte nos conduce naturalmente a la consideración de las
ecuaciones de conservación de la masa (ecuación de continuidad), de la cantidad de
movimiento (ecuación del equilibrio) y de la energ´ıa. Tales ecuaciones suelen ser de
un tipo determinado, llamado ecuaciones en derivadas parciales o, más brevemente,
EDP2
.
En este curso desarrollaremos las técnicas matemáticas básicas que permiten abordar
tales problemas desde los puntos de vista anal´ıtico (exacto) y numérico (aproxima-
do). Tras haber introducido la notación y definiciones básicas para los sucesivos
tratamientos, y puesto que en el análisis del flujo (transporte) de fluidos (l´ıquidos
o gases) las ecuaciones del movimiento (vectorial), continuidad (escalar) y energ´ıa
(escalar) se pueden combinar en una única ecuación vectorial de conservación (véase
la sección dedicada a los sistemas hiperbólicos de leyes de conservación) empezare-
1
Los tres fenómenos de transporte se producen casi siempre simultáneamente en todas las
operaciones básicas, tanto f´ısicas como qu´ımicas, pero la importancia relativa de los mismos var´ıa
en cada caso, siendo frecuente que sólo uno de ellos, por su mayor lentitud, determine el tamaño
del equipo necesario para el desarrollo de dichas operaciones. Véase el libro de Costa Novella, Vol
2 (Fenómenos de transporte).
2
Usaremos indistintamente la sigla EDP para indicar una ecuación en derivadas parciales o un
conjunto de ecuaciones en derivadas parciales.

1. Generalidades. 5
mos este tema con el análisis de las ecuaciones hiperbólicas cuasilineales de primer
orden lo que nos permitirá, mediante la interpretación dinámica (en términos de
la mecánica de fluidos) del proceso de resolución, entrar rápidamente en materia
relacionando los fenómenos f´ısicos y su formulación matemática rigurosa, adquirir
una cierta soltura en el manejo de los operadores de derivación parcial, introducir
el concepto de caracter´ısticas, ver su aplicación e interpretación geométrica, fami-
liarizarnos con los problemas de valor inicial (PVI) y los problemas de valor inicial
y de contorno (PVIC) entendidos como procedimientos para seleccionar entre las
infinitas soluciones posibles de una EDP aquella con sentido f´ısico3
. Digamos que
relacionaremos rápidamente las técnicas matemáticas con la problemática f´ısico-
qu´ımica a estudiar creando un v´ınculo entre nuestra asignatura y las asignaturas
del área f´ısico-qu´ımica donde el formalismo matemático es conveniente y, a veces,
necesario.
1.1. Notación y Conceptos fundamentales. Ejemplos
Siguiendo la notación introducida en el curso de Elementos de Matemáticas, deno-
taremos las derivadas parciales de una función de varias variables, digamos u(x, t),
en las formas
ux =
∂u
∂x
, uxx =
∂2
u
∂x2
, uxt =
∂2
u
∂x∂t
, ut =
∂u
∂t
Utilizaremos indistintamente ambos tipos de notación aunque observamos que al tra-
bajar con campos de velocidades (que aparecen en los problemas de fluidodinámica)
la notación con el sub´ındice puede generar algo de confusión y no es recomendada.
En los libros de texto se suele, en efecto, denotar v = (vx, vy, vz) donde vx indica la
componente horizontal de la velocidad y no su derivada parcial. En este caso es con-
veniente utilizar la notación extendida de operadores ∂/∂x pues, de lo contrario, al
calcular la aceleración de una part´ıcula en un campo de fuerzas tendr´ıamos a = vxx
lo que resultar´ıa bastante incomprensible. Una notación alternativa, suficientemente
clara, ser´ıa a = (vx)x. Pasamos ahora a describir las regiones del espacio donde ha de
satisfacerse una EDP. Denotaremos por Ω ⊂ IRn
, n = 1, 2, 3 (ocasionalmente se uti-
lizará la letra N para indicar la dimensión espacial) a una región (dominio) abierta
del espacio n-dimensional, que eventualmente podrá ser infinita (no acotada) y coin-
cidente con todo el espacio: Ω ≡ IRn
. El s´ımbolo ≡ denota igualdad entre conjuntos.
También se usa para indicar que una función es, por ejemplo, idénticamente nula
en una región, en la forma f ≡ 0. El s´ımbolo
.
= denotará igualdad por definición
y es el análogo del operador de asignación := que aparece en muchos programas
3
No nos referimos aqu´ı a las soluciones de entrop´ıa, para las cuales se necesitan fundamentos
matemáticos muy avanzados sino a la búsqueda de soluciones que cumplan unas condiciones de
contorno y/o iniciales obtenidas mediante experimentos y mediciones.

informáticos (por ejemplo en Maple).
Si Ω es una región acotada4
entonces su frontera, denotada por ∂Ω, se supondrá su-
ficientemente regular para que el análisis posterior tenga validez 5
. En general la
condición de regularidad que pediremos será la existencia de un vector normal en
todo punto de ∂Ω. Denotaremos además por ¯Ω = Ω ∪ ∂Ω al cierre del dominio
Ω. Cuando una de las variables independientes representa el tiempo se suele intro-
ducir otra notación (y nomenclatura) que utilizaremos al trabajar con problemas de
evolución (es decir donde el estado del sistema evoluciona con el tiempo).
Otras notaciones t´ıpicas, del tipo (x1, x2) = (x, y) y (x1, x2, x3) = (x, y, z) (para
denotar puntos del plano o del espacio en coordenadas cartesianas) o F , v (para
denotar vectores) y [A] para denotar matrices, serán también utilizadas.
Conceptos y definiciones
Entramos ahora en materia considerando la definición general de una ecuación en
derivadas parciales.
Definición 1.1. Se llama ecuación diferencial en derivadas parciales a una ecuación
de la forma:
F x1, x2, ..., xn, u,
∂u
∂x1
, ...,
∂u
∂xn
, .....,
∂m
u
∂xk1
1 ∂xk2
2 ...∂xkn
n
= 0 (1)
que relaciona las variables independientes x1, x2, ..xn (n > 1), la variable dependiente
u = u(x1, x2, ..., xn) y sus derivadas parciales hasta el orden m, siendo m un número
entero tal que m ≥ 1. Los super´ındices k1, k2, .., kn son números enteros no negativos
tales que k1 + k2 + ... + kn = m.
Ejemplo 1.1. T´ıpicos ejemplos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
pueden ser
1) uxx + uyy = 0, 2) ut = α2
uxx, 3) utt = −β2
uxxxx, 4) ut = iβuxx,
4
Recuérdese que la condición necesaria y suficiente para que un conjunto esté acotado es que
exista una bola cerrada que lo contenga. Véase el tema 7 de los guiones del primer curso.
5
Puede parecer excesivo todo este tipo de precisiones sobre el dominio y su frontera pero es
conveniente observar que muchos resultados y técnicas de análisis matemático están condicionados
a la geometr´ıa del dominio en consideración. Su frontera tiene también un papel fundamental y
la teor´ıa de trazas que aparece en el cálculo variacional lo confirma. Para la definición exacta y
una clasificación muy rigurosa de los dominios dependiendo de su frontera se puede consultar el
libro de Adams (véase la referencia en la sección final de este cap´ıtulo dedicada a la bibliograf´ıa
avanzada).

1. Generalidades. 7
(siendo α, β constantes reales e i la unidad imaginaria). También
5) uxx + uyy + α2
u = 0, 6) ut + αuux + βuxxx = 0, 7) uxx + xuyy = 0
En todos los casos se trata de ecuaciones en derivadas parciales famosas que suelen
llevar el nombre de su descubridor. En concreto se trata de la ecuación de Laplace (1),
de la ecuación de Fourier (2), de la ecuación de Euler-Bernoulli (3), de la ecuación
de Schrodinger (4), de la ecuación de Helmholtz (5), de la ecuación de Korteweg-de
Vries (6) y de la ecuación de Tricomi (7). Aparecen en numerosos problemas de la
f´ısica matemática. Algunas de ellas las aprenderemos a conocer a lo largo del curso;
otras, distintas, las iremos descubriendo al entrar más en materia.
Precisaremos ahora lo que se entiende por orden de una EDP (puesto que en los
ejemplos anteriores han aparecido diferentes órdenes de derivación parcial en la
misma ecuación). Nótese que se trata de una extensión directa de la definición
análoga de orden de una EDO que vimos el año pasado (tema 13 de los guiones de
primer curso)
Definición 1.2. Se llama orden de una ecuación diferencial del tipo (1) al mayor
de los órdenes de las derivadas parciales que aparecen en la ecuación.
Las 7 ecuaciones propuestas en el ejemplo son (respect.) de orden 2,2,4,2 y 2,3,2.
Una EDP t´ıpica de primer orden es la ecuación de advección6
(o convección)
ut + aux = 0
que será analizada más adelante.
Cuando se consideran varias EDP simultáneamente se generan sistemas de ecua-
ciones en derivadas parciales. Excepto unos pocos casos concretos es extremada-
mente dif´ıcil el estudio de tales sistemas, especialmente si se consideran ecuaciones de
distinta naturaleza7
. Un caso especial lo constituyen los sistemas de EDP de primer
orden. Bajo ciertas hipótesis existe una teor´ıa anal´ıtica y un tratamiento numérico
de estos sistemas que aparecen, a menudo, trabajando con fenómenos de transporte.
Veamos por ejemplo el sistema que modeliza la propagación de una pequeña per-
turbación en un gas (una onda sonora). Se trata de un modelo matemático para la
propagación del sonido.
6
Originariamente el término advección se utilizaba para los fenómenos de transporte de masas
de aire y se extendió después su uso al transporte genérico de materia reservándose el término de
convección para el transporte de energ´ıa. Actualmente se suele abarcar todos estos fenómenos de
transporte con el término de convección.
7
Véase la sección referente a la clasificación de las ecuaciones en derivadas parciales en el´ıpticas,
parabólicas e hiperbólicas.

Ejemplo 1.2. El movimiento unidimensional de un gas, cuya viscosidad es inapre-
ciable, se describe mediante



ρ
∂u
∂x
+ u
∂ρ
∂x
+
∂ρ
∂t
= 0
ρ
∂u
∂t
+ ρu
∂u
∂x
+
∂p
∂x
= ρF
donde u(x, t) es la velocidad en el punto x y en el tiempo t, ρ(x, t) es la densidad
de masa, p(x, t) es la presión y F(x, t) es una fuerza dada por unidad de masa.
La primera de estas ecuaciones expresa la conservación de la masa; la otra es la
segunda ley de Newton del movimiento.
Consideremos nuevamente la ecuación diferencial en derivadas parciales (1) de orden
m. La ecuación estará planteada (en el sentido de que se tiene que satisfacer) en una
región abierta (eventualmente infinita) de IRn
, digamos Ω ⊂ IRn
, n ≥ 2. Denotamos
además por Cm
(Ω) al conjunto de funciones continuas con derivadas continuas hasta
el orden m en la región Ω. Para m = 1 se tiene el espacio C1
(Ω) de funciones
continuamente diferenciables (o diferenciables con continuidad).
Introducida la definición de ecuación en derivadas parciales y caracterizado el orden
de la misma, veamos lo que se entiende por solución de una EDP
Definición 1.3. Se llama solución de una ecuación diferencial de orden m del tipo
(1) en cierta región abierta Ω ⊂ IRn
de variación de las variables independientes
x1, x2, .., xn a una función
u = u(x1, x2, ..., xn) ∈ Cm
(Ω),
tal que sustituyendo esta función y sus derivadas en la ecuación (1) se obtiene una
identidad.
Observación 1.1. En la definición anterior no se especifica la regularidad de la
solución en la frontera ∂Ω de la región (abierta) Ω. Lo que generalmente se pide es
que la función sea continua o diferenciable en ∂Ω, que admita todas las derivadas
parciales que aparecen en la ecuación en el interior de Ω (que es lo mismo que Ω
pues es una región abierta por hipótesis) y que se satisfaga la ecuación en el interior
de Ω.
Observación 1.2. La definición anterior caracteriza las soluciones de una EDP
de orden m como aquellas funciones de clase Cm
(Ω) que satisfacen la ecuación en
todo punto de Ω ⊂ IRn
, n = 1, 2, 3. A este tipo de soluciones se les suele llamar
soluciones clásicas pues son soluciones (en el sentido de que es posible realizar
las operaciones de derivación parcial que aparecen en la ecuación alcanzando una

1. Generalidades. 9
identidad) y son clásicas pues esta identidad se tiene en todo punto de la región Ω.
Este tipo de soluciones son las que han sido objeto de estudio a partir de los primeros
trabajos de Fourier, Laplace, Liouville, etc... En realidad es posible demostrar la
existencia de un tipo de soluciones, llamadas soluciones débiles, que satisfacen
la ecuación (o una versión modificada de la misma 8
) no en todo punto del dominio
sino en una parte digamos significativa (en casi9
todo punto). No entraremos en
detalles sobre la teor´ıa (la Teor´ıa de Distribuciones de L. Schwartz) que justifica
este tipo de análisis (conocido como análisis funcional) pero avisamos al lector de
la existencia de este tipo de soluciones que han sido y son actualmente objeto de
atento estudio e investigación. Varios ejemplos de soluciones débiles se encontrarán
al final de la parte de este tema dedicada a las ecuaciones en derivadas parciales de
primer orden donde consideraremos unos problemas de Cauchy con ecuaciones de
tipo lineal o cuasilineal10
cuya solución no es de clase C1
(Ω) (y no es, por tanto,
una solución clásica en el sentido de la definición (1.3) sino débil). Veremos cómo
la prescripción de datos iniciales discontinuos o cuya derivada es discontinua puede
generar soluciones discontinuas.
Como ya se ha señalado en la introducción se llaman ecuaciones diferenciales en
derivadas parciales a aquéllas ecuaciones en las que las funciones desconocidas de-
penden de más de una variable independiente y aparecen operadores de derivación
parcial. El proceso de resolución de una EDP se llama también integración de la
EDP. En algunos casos la resolución de la ecuación en derivadas parciales es directa
entendiendo por ello que se realiza mediante una integración directa. Recordemos,
para ello, las fórmulas de integración para derivadas parciales que vienen dadas por
∂f(x, y)
∂x
dx = f(x, y) + φ(y),
∂f(x, y)
∂y
dx = f(x, y) + ψ(x)
siendo φ(y), ψ(x) funciones derivables arbitrarias. Las fórmulas anteriores se aplican
en la integración indefinida. Por ejemplo, si conocemos la derivada parcial primera
de una función, digamos fx(x, y) = 2xy, entonces considerando y como constante e
integrando en x se tiene
2xydx = 2y xdx = yx2
+ φ(y)
luego f(x, y) = yx2
+φ(y). Nótese que cualquier función del tipo f(x, y) = yx2
+φ(y)
8
Se está hablando aqu´ı de las ecuaciones en forma de divergencia a las cuales son aplicables las
técnicas del cálculo variacional. Para ello es básica la teor´ıa de distribuciones de L. Schwartz en la
que no profundizaremos en este curso.
9
Es fundamental aqu´ı el concepto de conjunto de medida cero que aparece en la teor´ıa de la
medida de Lebesgue.
10
Más adelante daremos definiciones precisas de todo este tipo de terminolog´ıa.

satisface fx = 2xy, independientemente de la función φ elegida. Es una generaliza-
ción del concepto de primitivas para funciones de una variable real.
Para la integración definida (es decir especificando los extremos de integración) se
tiene
h2(y)
h1(y)
∂f(x, y)
∂x
dx = [f(x, y) + φ(y)]
x=h2(y)
x=h1(y) = f(h2(y), y) − f(h1(y), y)
Por ejemplo, si h1(y) = 1, h2(y) = 2y la integración definida de fx(x, y) = 2xy nos
dará
2y
1
2xydx = y
2y
1
2xdx = [yx2
+ φ(y)]x=2y
x=1 = 4y3
− y = f(2y, y) − f(1, y)
siendo f(x, y) = yx2
+ φ(y). Es una generalización de la Regla de Barrow para
funciones de una variable. De forma análoga se tiene la fórmula
g2(x)
g1(x)
∂f(x, y)
∂y
dy = [f(x, y) + ψ(x)]
g2(x)
g1(x) = f(x, g2(x)) − f(x, g1(x))
Nótese que la variable de integración no puede aparecer en los l´ımites de integración.
Por ejemplo, no tiene sentido escribir
x
0
ydx. Simplemente se introduce una variable
muda en la forma
x
0
yds lo que indica claramente que el resultado de la integración
es una función de x (el extremo superior del intervalo de integración)
Podemos ahora considerar el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1.3. Resolver la ecuación
∂u
∂x
(x, y) = y + x
Se trata evidentemente de una EDP de primer orden que es del tipo (1) para los
valores paramétricos m = 1, n = 2, k1 = 1, k2 = 0 y la notación (x1, x2) = (x, y).
Buscamos una solución del tipo z = u(x, y) (dependiente de dos variables) que sea de
clase C1
. Integrando directamente (y de manera indefinida) respecto a x, obtenemos
u(x, y) = xy +
x2
2
+ φ(y)
donde φ(y) es una función derivable arbitraria de y. Para cada elección concreta
de φ(y) tendremos una única solución, es decir una función u = z(x, y) tal que
ux = y + x.

1. Generalidades. 11
Por ser φ(y) arbitraria hemos obtenido infinitas soluciones de la EDP que dependen
de una función arbitraria. La expresión anterior es por tanto la solución general
de la EDP en cuestión. Nótese que la gráfica de una solución del tipo z = u(x, y) es
una superficie. En el caso bidimensional, las superficies que son soluciones de una
EDP de primer orden se llamarán superficies integrales de la EDP. Matizaremos
este concepto en la sección dedicada a la interpretación geométrica del proceso de
resolución de una EDP de primer orden.
Consideremos ahora la siguiente EDP
Ejemplo 1.4. Resolver la ecuación
∂2
u
∂x∂y
(x, y) = 0
Se trata de una EDP de segundo orden que es del tipo (1) para los valores paramétri-
cos m = 2, n = 2, k1 = 1, k2 = 1 y la notación (x1, x2) = (x, y). Buscamos una
solución del tipo z = u(x, y) que sea de clase C2
. Integrando respecto a x, obtenemos
∂u
∂y
(x, y) = φ(y)
donde φ(y) es una función (continua) arbitraria de y. Integrando ahora respecto a
y se obtiene
u(x, y) = φ(y)dy + φ1(x)
donde φ1(x) es una función (derivable) arbitraria de x. O bien, designando
φ(y)dy = φ2(y)
a una primitiva de φ(y) tendremos finalmente
u(x, y) = φ1(x) + φ2(y)
donde φ2(y), en virtud de la arbitrariedad (y continuidad) de φ(y), es también una
función arbitraria (y derivable) de y.
Los ejemplos expuestos sugieren por tanto que la solución general de una ecuación
en derivadas parciales de primer orden depende de una función arbitraria; la solu-
ción general de una ecuación en derivada parciales de segundo orden depende de dos

funciones arbitrarias, y la solución general de una ecuación en derivada parciales
de orden p probablemente dependerá de p funciones arbitrarias. Estas considera-
ciones son ciertas, pero deben ser precisadas. De ello se ocupa el teorema de S.V.
Kovaléskaia (1850-1891) sobre la existencia y unicidad de la solución del problema
de Cauchy asociado a una ecuación en derivadas parciales. Las hipótesis y el enunci-
ado del teorema de Sofya Kovaléskaia 11
desbordan los objetivos de este curso (pues
exigen la aplicación del concepto de derivada para funciones de variable compleja y
de la teor´ıa de las funciones anal´ıticas 12
) y no serán considerados. Alternativamente
desarrollaremos un análisis local del problema de Cauchy asociado a ecuaciones en
derivadas parciales de primer orden que nos proporcionará los resultados teóricos de
existencia y unicidad de soluciones del problema considerado.
En este tema estudiaremos brevemente sólo los métodos de integración (resolu-
ción) de las ecuaciones en derivadas parciales de primer orden, cuya teor´ıa está es-
trechamente ligada a la integración de ciertos sistemas de ecuaciones ordinarias. Las
ecuaciones en derivadas parciales de orden mayor se integran por métodos comple-
tamente distintos13
y serán tratadas (en el caso de las ecuaciones de segundo orden)
en los temas siguientes (temas 2 y 3). La resolución numérica de las ecuaciones en
derivadas parciales de primer y segundo orden se considerará en el tema 6.
Finalizamos esta sección resolviendo un problema muy básico y común de la teor´ıa
de campos que aparece en fluidodinámica: la determinación de la función de corriente
11
Véase, por ejemplo el libro de Fritz John, Partial Differential Equations, pag 61, donde se
presenta el teorema bajo el nombre de teorema de Cauchy-Kovaléskaia.
12
La condición de analiticidad de una función en un punto introduce una restricción muy fuerte a
una función. Implica en efecto la existencia de todas las derivadas de orden superior en un entorno
del punto y esto garantiza la existencia de una serie de potencias convergente que representa la
función en un entorno del punto. Esto está en marcado contraste con el comportamiento de las
funciones reales, para las que es posible que exista la derivada primera y que sea continua sin
que por ello se pueda deducir la existencia de la derivada segunda. Las funciones anal´ıticas tienen
un papel muy importante en la resolución de problemas de flujos bidimensionales a través de la
función de corriente. Una introducción bastante sencilla a la teor´ıa de las funciones anal´ıticas se
puede encontrar en el libro de Apostol, T.M., (1982), Análisis matemático. Segunda ed. Editorial
Reverté. cap´ıtulo 16. Resultados matemáticos avanzados se encuentran en el cap´ıtulo 3 del libro
de F. John. Una aplicación a los problemas de fluidodinámica se encuentra en el cap´ıtulo 2, Vol
5 del libro de Costa Novella dedicado al flujo potencial de un fluido perfecto (o ideal). Nosotros
introduciremos paulatinamente este tipo de problemas mediante un ejemplo concreto de flujo po-
tencial que analizaremos según se vayan desarrollando las técnicas matemáticas necesarias para su
tratamiento (y comprensión). Una introducción muy interesante al uso de la función de corriente en
la resolución de problemas de flujos incompresibles (l´ıquidos) que aparecen en mecánica de fluidos
en el caso bidimensional se encuentra en el libro de W. Deen, Analysis of Transport Phenomena,
cap´ıtulo 5, sección 5.9, pag 239. Aplicaciones avanzadas de la teor´ıa se encuentran en los cap´ıtulos
7 y 8 del mismo libro.
13
En realidad en los temas 2 y 3 presentaremos algunos métodos de resolución de EDP de segundo
orden que se pueden aplicar también a ecuaciones de primer orden. Nos referimos por ejemplo al
método de separación de variables o al método de la transformada de Laplace.

asociada a un campo de velocidades bidimensional irrotacional.
Calcularemos también el potencial del campo resolviendo as´ı el problema de la de-
terminación de las l´ıneas equipotenciales de un campo escalar de IR2
planteado en
el tema 12, sección 12.1.4 del guión de la asignatura del primer curso dedicado a la
Teor´ıa de Campos. Mediante el conocimiento de las l´ıneas de corriente y de las l´ıneas
equipotenciales analizaremos algunas propiedades geométricas interesantes del flujo.
1.1.1. Una aplicación de la teor´ıa de campos
Empezaremos introduciendo el concepto y la definición de la función de corriente
asociada a un campo de velocidades.
La función de corriente es un objeto matemático extremadamente útil para resolver
problemas de flujo de fluidos incompresibles (l´ıquidos) donde sólo hay dos compo-
nentes del campo no nulas y sólo dos coordenadas espaciales. Esto incluye los fluidos
con un movimiento plano o los procesos de transporte (flujo) simétricos respecto a
un eje. Se trata de una herramienta muy útil para deducir los campos de velocidad y
presiones en tales problemas y proporciona además información para la visualización
de los patrones de flujo. Detalles sobre la terminolog´ıa utilizada en esta aplicación
se encuentran en los temas de Teor´ıa de Campos, EDO y Sistemas de EDO de los
guiones de la asignatura de Elementos de Matemáticas del primer curso. Mayores
detalles se pueden encontrar en el libro de Deen14
, pag 239, donde se deducen las
ecuaciones que gobiernan (determinan) la función de corriente en los distintos sis-
temas de coordenadas, cartesianas, cil´ındricas y esféricas t´ıpicamente utilizados en
la Ingenier´ıa Qu´ımica.
Función de corriente
Introducimos la definición de la función de corriente como un campo escalar ψ :
IR2
→ IR cuya gráfica (dada por la superficie de ecuación z = ψ(x, y)) verifica un
cierto problema geométrico. En este caso se busca la superficie ψ(x, y) tal que sus
l´ıneas de nivel (también llamadas l´ıneas de corriente) sean tangentes a un campo de
velocidades v dado (es decir conocido). Puesto que el gradiente de esta superficie,
ψ, es ortogonal a las l´ıneas de nivel de ψ, para que éstas sean tangentes al campo de
velocidades v se tiene que ψ deberá ser ortogonal al mismo campo luego tendrá que
ser de la forma ψ = (−vy, vx) ya que
(vx, vy) · (−vy, vx) = −vxvy + vyvx ≡ 0
es decir
14
W.M. Deen, (1998), Analysis of Transport Phenomena. Oxford University Press.

ψ · v =
∂ψ
∂x
,
∂ψ
∂y
· (vx, vy) =
∂ψ
∂x
vx +
∂ψ
∂y
vy = 0 (2)
siendo
∂ψ
∂x
= −vy,
∂ψ
∂y
= vx, (3)
Esta es la definición t´ıpicamente utilizada para la función de corriente en un sistema
de coordenadas cartesianas rectangulares (x, y) ∈ IR2
y un campo de velocidades
v : IR2
→ IR2
definido por
v(x, y) = (vx(x, y), vy(x, y))
Nótese que ser´ıa perfectamente equivalente definir ψ = (vy, −vx) (es decir en
la dirección perpendicular pero en el sentido opuesto) puesto que la condición de
ortogonalidad v · ψ = 0 ser´ıa igualmente cierta.
Conociendo el campo de velocidades v = (vx, vy) podremos determinar la función de
corriente mediante integración directa de las EDP que aparecen en el sistema (3).
La utilidad de la función de corriente en la visualización del flujo de un fluido nace
del hecho que ψ (la función de corriente) es constante a lo largo de una l´ınea de
corriente. Nótese que el operador
v · ψ
mide la tasa de cambio de ψ a lo largo de una l´ınea de corriente y la ecuación
v · ψ = 0 nos dice simplemente que la tasa es nula (pues ψ es constante a lo largo
de cada una de ellas por definición).
Veremos más adelante que las l´ıneas sobre las que ψ(x, y) es constante deben ser
perpendiculares a las l´ıneas equipotenciales (que son las l´ıneas a lo largo de las cuales
el potencial φ(x, y) es constante).
Como aplicación de lo anterior obtendremos un posible método para el cálculo de
las l´ıneas de campo de un campo vectorial, por ejemplo de un campo de velocidades
v.
Recordamos que las l´ıneas de campo se interpretan geométricamente como las curvas
que en todos sus puntos son tangentes al vector de campo v (en todo instante t) y
tienen una interpretación f´ısica muy clara. Se trata en efecto de un problema t´ıpico
que aparece en mecánica de fluidos y fenómenos de transporte (fluidodinámica)
donde las l´ıneas de campo se llaman también l´ıneas de corriente o trayectorias.

Si el campo de velocidades es estacionario la trayectoria que seguir´ıa una part´ıcula
puntual de fluido depositada en un punto coincide con la l´ınea trazada por la co-
rriente del fluido y esto justifica la terminolog´ıa adoptada. Establecida la analog´ıa
entre los conceptos de l´ıneas de campo y l´ıneas de corriente (para campos estacio-
narios éstas últimas no son otra cosa que las primeras consideradas en el contexto
de la mecánica de fluidos), podemos ahora considerar el siguiente ejemplo
Ejemplo 1.5. Se considera el campo de velocidad bidimensional estacionario v =
(vx, vy) dado por
vx = x, vy = −y
Determinar las l´ıneas de corriente del campo. Determinar, si existe, el potencial del
campo.
Resolveremos ahora el problema planteado en el ejemplo 1.5 resolviendo un sistema
de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer orden para la función
de corriente asociada al campo. Estas ecuaciones nacen a partir de la definición
de la función de corriente. De manera similar, es decir resolviendo un sistema de
ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer orden para la función po-
tencial asociada al campo dado (que es irrotacional) determinaremos el potencial
del campo.
Cálculo de las l´ıneas de corriente mediante la función de corriente.
Utilizando la definición de la función de corriente dada en (3) (válida para coorde-
nadas rectángulares con vz = 0 y ninguna dependencia en la variable z) se tiene
∂ψ
∂y
= vx = x,
∂ψ
∂x
= −vy = y
Integrando directamente estas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales se ob-
tienen las siguientes expresiones para la función de corriente:
ψ(x, y) = xy + f(x), ψ(x, y) = xy + g(y)
siendo f(x), g(y) funciones arbitrarias diferenciables. Las dos expresiones correspon-
den a la misma función, de donde se obtiene que f(x) = g(y) = C. El valor de C es
arbitrario. La función de corriente es por tanto
ψ(x, y) = xy + C
Si ponemos C = 0 tenemos
ψ(x, y) = xy

Figura 1: L´ıneas de corriente del fluido: son las curvas de nivel de la función corriente.
y la ecuación para las l´ıneas de corriente es ψ(x, y) = xy = K, siendo K ∈ IR. La
elección hecha para la constante tiene el efecto de asignar el valor ψ = 0 a las l´ıneas
de corriente que corresponden a x = 0 o y = 0 (es decir: los ejes coordenados).
Función potencial
La función potencial (o potencial escalar) es un concepto que ya hemos intro-
ducido en el tema de teor´ıa de campos del guión del primer curso.
Recordamos aqu´ı brevemente la definición de potencial escalar de un campo vec-
torial. Consideremos nuevamente el campo de velocidades del ejemplo v = (vx, vy)
dado por
vx = x, vy = −y
En este contexto la función potencial se llama velocidad potencial.
Puesto que
∂vx
∂y
= 0 =
∂vy
∂x
se tiene

rotv(x, y) = ∧ v(x, y) =
∂vy
∂x
(x, y) −
∂vx
∂y
(x, y) k = 0
luego el campo de velocidades es un campo vectorial plano irrotacional pues el
rotacional escalar
∂vy
∂x
(x, y) −
∂vx
∂y
(x, y)
es nulo.
El campo vectorial considerado se puede por tanto identificar con un campo con-
servativo luego deriva de un campo escalar φ(x, y) llamado potencial escalar de
forma que
φ = v.
Cálculo de las l´ıneas equipotenciales mediante el potencial escalar.
La determinación del potencial escalar de un campo conservativo se realiza integran-
do las igualdades
∂φ
∂x
,
∂φ
∂y
= (vx, vy)
En nuestro caso vemos que la función escalar φ(x, y) verifica el sistema de EDP:
∂φ
∂x
= vx = x,
∂φ
∂y
= vy = −y
Integrando se tiene
φ(x, y) =
1
2
x2
+ f(y), φ(x, y) = −
1
2
y2
+ g(x)
Derivando parcialmente con respecto a y en la primera expresión de φ y derivando
parcialmente con respecto a x en la segunda expresión de φ se deduce
∂φ
∂y
= vy = −y = f (y),
∂φ
∂x
= vx = x = g (x),
luego para determinar las expresiones de las funciones arbitrarias f y g es suficiente
resolver las EDO
{ f (y) = −y, g (x) = x

y obtener
f(y) = −
1
2
y2
+ C1, g(x) =
1
2
x2
+ C2
a partir de las cuales se tiene la siguiente expresión del potencial escalar del campo
de velocidades
φ(x, y) =
1
2
(x2
− y2
) + C
siendo C = C1 = C2 una constante arbitraria de integración. Las l´ıneas equipoten-
ciales de este campo escalar (véase su definición en el tema de teor´ıa de campos del
guión de primer curso), se definen por φ(x, y) = α, α ∈ IR es decir
φ(x, y) =
1
2
(x2
− y2
) + C = α
luego tienen la ecuación
x2
− y2
= K, K = 2(α − C)
y son por tanto
x = ± K + y2 K ≥ 0
y = ±
√
x2 − K K ≤ 0
y el gradiente de φ en cada punto (es decir los vectores de máximo ascenso) marca
la velocidad en ese punto: φ = v.
Ortogonalidad de las l´ıneas de corriente con las l´ıneas equipotenciales de
un flujo plano irrotacional
Es posible demostrar que las l´ıneas equipotenciales son ortogonales a las l´ıneas de
campo (o l´ıneas de corriente). Lo veremos primero en nuestro caso concreto donde
φ(x, y) = x2
− y2
, ψ(x, y) = xy
son el potencial de velocidad y la función de corriente determinados antes (se han
elegido constantes arbitrarias tales que φ(0, 0) = ψ(0, 0) = 0); posteriormente ve-
remos que la propiedad de ortogonalidad se tiene en general (si el flujo es plano e
irrotacional).
Sea (x0, y0) un punto genérico del plano IR2
. Por comodidad supondremos y0 > 0
(se razonar´ıa de forma análoga si y0 < 0). Si y0 = 0 la l´ınea de corriente que pasa

Figura 2: L´ıneas potenciales: son las curvas de nivel de la función potencial.
por (x0, 0) es ψ(x, y) = xy = 0, es decir el eje y = 0. Si (x0, y0) = (0, 0) entonces la
l´ınea de corriente viene dada por los ejes coordenados de ecuación y = 0 o x = 0.
La l´ınea equipotencial y la l´ınea de corriente que pasa por (x0, y0), y0 > 0 serán,
respectivamente,
φ(x, y) = x2
− y2
= x2
0 − y2
0, ψ(x, y) = xy = x0y0
es decir
y = y(x) = ± x2 − x2
0 + y2
0, y = y(x) =
x0y0
x
Calculando sus derivadas (que nos dan el coeficiente angular de sus rectas tangentes)
se tiene
y = y (x) = ±
x
x2 − x2
0 + y2
0
, y = y (x) = −
x0y0
x2
y evaluando en x0 (recuérdese que, por hipótesis, y0 > 0):
y (x0) = m1
.
= ±
x0
|y0|
= ±
x0
y0
, y = y (x0) = m2
.
= −
x0y0
x2
0
= −
y0
x0
Un conocido resultado de la geometr´ıa anal´ıtica nos dice que dos rectas son ortog-
onales cuando el producto de los coeficientes angulares es −1. Calculamos entonces

el producto m1m2 para obtener
m1m2 = ±
x0
|y0|
−
y0
x0
=
y0
|y0|
= 1
luego si y0 > 0 entonces la l´ınea equipotencial
y = y(x) = x2 − x2
0 + y2
0
(cuya recta tangente tiene coeficiente angular m1 = x0/y0) es ortogonal a la l´ınea
de corriente
y(x) =
x0y0
x
(cuya recta tangente tiene coeficiente angular m2 = −y0/x0). Si y0 < 0 entonces la
l´ınea equipotencial
y = y(x) = − x2 − x2
0 + y2
0
(cuya recta tangente tiene coeficiente angular m1 = x0/y0) es ortogonal a la l´ınea
de corriente
y(x) =
x0y0
x
(cuya recta tangente tiene coeficiente angular m2 = −y0/x0)
En lugar de desarrollar los cálculos anteriores, es posible demostrar la ortogonalidad
de las l´ıneas de corriente con las l´ıneas equipotenciales en el caso de flujos planos
irrotacionales mediante la siguiente observación. Por la definición (3) de la función
de corriente se tiene que
v · ψ = (vx, vy) ·
∂ψ
∂x
,
∂ψ
∂y
= vx
∂ψ
∂x
+ vy
∂ψ
∂y
= −vxvy + vyvx ≡ 0
Por otra parte, al ser v un campo potencial se tiene que φ = v. Juntando las dos
ecuaciones, v · ψ = 0 y φ = v se deduce
ψ · φ = 0
lo que expresa la ortogonalidad de los respectivos gradientes. Ahora bien, ψ(x0, y0)
es un vector ortogonal a la l´ınea de corriente que pasa por (x0, y0) mientras que
φ(x0, y0) es un vector ortogonal a la l´ınea equipotencial que pasa por (x0, y0) luego
las l´ıneas mencionadas se cruzan ortogonalmente.
Volveremos a este ejemplo tras haber introducido otros conceptos, definiciones y
técnicas de resolución necesarios para ulteriores desarrollos. Puesto que los funda-
mentos de la interpretación geométrica del proceso de resolución de una EDP se
apoyan fuertemente en los de curvas y superficies hemos resumido algunos resulta-
dos básicos en los anexos al primer tema.

2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden 21
Figura 3: L´ıneas potenciales y de corriente: obsérvese la ortogonalidad entre ellas.
2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden
La ecuación (1) en el caso en que m = 1 nos proporciona la denominada ecuación
cuasilineal de primer orden
F x1, x2, ..., xn, u,
∂u
∂x1
, ...,
∂u
∂xn
= 0 (4)
que tendrá que verificarse en una región Ω ⊂ IRn
, siendo n ≥ 2. Si n = 2 entonces
se pone (x1, x2) = (x, y) ∈ Ω ⊂ IR2
y se tiene la forma general de la EDP de primer
orden cuasilineal bidimensional dada por
F x, y, u,
∂u
∂x
,
∂u
∂y
= 0 (5)
La ecuación en la forma (5) admite una interpretación geométrica en términos de la
teor´ıa de campos (tema 12 de la asignatura de primer curso).
Dos problemas que surgen de modo natural al estudiar un campo vectorial continuo
(aunque supondremos algo más de regularidad, digamos campos de clase C1
para
poder aplicar las técnicas del cálculo diferencial vectorial) son los problemas sobre la
determinación de las l´ıneas vectoriales y de las superficie vectoriales. Casi con la mis-

ma frecuencia surge el problema sobre la determinación de la familia de superficies
ortogonales a las l´ıneas vectoriales. Analizaremos estos problemas en las siguientes
secciones haciendo hincapié en su interpretación geométrica. Previamente, es nece-
sario considerar algunos aspectos, conceptos y definiciones de la teor´ıa matemática
general de las EDP de primer orden.
2.1. Teor´ıa matemática general
Seguiremos en esta exposición el libro de Elsgoltz15
cap´ıtulo 5. También se ha uti-
lizado el cap´ıtulo 1 del libro de F. John16
.
Se denomina ecuación cuasilineal de primer orden en derivadas parciales en
forma normal (o expl´ıcita) a una ecuación de la forma:
P1(x1, x2, ...., xn, u)
∂u
∂x1
+ ..... + Pn(x1, x2, ...., xn, u)
∂u
∂xn
= R(x1, x2, ...., xn, u) (6)
Nótese que el tipo de ecuación (6) es un caso particular de (4) donde la incógnita
del problema es u(x1, ..., xn). Esta ecuación es lineal con respecto a las derivadas,
pero puede no ser lineal con respecto a la función desconocida u (en cuyo caso es
cuasilineal). Concretamente, se tiene la siguiente clasificación:
CLASIFICACIÓN
1. Si R ≡ 0 y Pi = Pi(x1, x2, ..., xn) (no dependen de u) la ecuación (6) se llama
lineal homogénea:
P1(x1, x2, ...., xn)
∂u
∂x1
+ ..... + Pn(x1, x2, ...., xn)
∂u
∂xn
= 0
Si definimos x = (x1, ..., xn), P = (P1, ..., Pn) la ecuación anterior se puede
escribir en la forma equivalente
P(x) · u(x) = 0,
siendo x ∈ Ω ⊂ IRn
. Si además los coeficientes Pi son constantes, Pi ≡ ci, ci ∈
IR, i = 1, .., n, la ecuación (6) se dice lineal homogénea con coeficientes
constantes.
c1
∂u
∂x1
+ ....... + cn
∂u
∂xn
= 0
15
Elsgoltz, L., (1983). Ecuaciones diferenciales y cálculo variacional. Tercera ed. Editorial Mir.
16
Fritz John, (1982). Partial differential equations. IV Ed. Applied Mathematical Sciences.
Springer Verlag.

Si definimos c = (c1, ..., cn) y utilizamos la notación anterior la ecuación se
puede escribir en la forma equivalente
c · u(x) = 0,
. Ejemplos concretos pueden ser
∂u
∂x
−
∂u
∂y
= 0, eyx ∂u
∂x
− (x + y)
∂u
∂y
= 0
que son dos ecuaciones en derivadas parciales de primer orden lineales ho-
mogéneas. La primera con coeficientes constantes, c = (c1, c2) = (1, −1) y la
segunda con coeficientes variables, P = (P1(x, y), P2(x, y)) = (exy
, x + y).
2. Si R = 0 y R(x1, x2, ...., xn, u) es lineal en u y además se tiene que los coefi-
cientes Pi son funciones del tipo (como antes) Pi = Pi(x1, x2, ..., xn) (es decir
no dependen de u) entonces la ecuación (6) se llama lineal no homogénea:
P1(x1, x2, ...., xn)
∂u
∂x1
+.....+Pn(x1, x2, ...., xn)
∂u
∂xn
= a(x1, ..., xn)u+b(x1, ..xn)
siendo a, b funciones coeficientes que no dependen de u:
R(x1, ..., xn) = a(x1, ..., xn)u + b(x1, ..xn)
Esta ecuación se puede escribir en la forma equivalente
P(x) · u(x) = a(x)u + b(x)
. Ejemplos pueden ser
∂u
∂x
−
∂u
∂y
= 2u − (x2
+ y2
), eyx ∂u
∂x
− (x + y)
∂u
∂y
= x + y + u
que son dos ecuaciones en derivadas parciales de primer orden lineales no ho-
mogéneas. La primera con coeficientes constantes y la segunda con coeficientes
variables.
3. Si algún coeficiente Pi depende de u, en la forma Pi = Pi(x1, x2, ..., xn, u) y
además R ≡ 0 la ecuación (6) se llama cuasilineal homogénea y es de la
forma
P1(x1, x2, ...., xn, u)
∂u
∂x1
+ ..... + Pn(x1, x2, ...., xn, u)
∂u
∂xn
= 0
(donde la homogeneidad se deduce de la condición R = 0). Esta ecuación se
puede escribir en la forma equivalente
P(x, u) · u(x) = 0

.
Nótese que si los coeficientes Pi dependen de u en forma lineal la ecuación sigue
siendo cuasilineal. Por ejemplo, el término uux1 es no lineal aunque la depen-
dencia P1(x1, x2, ..., xn, u) = u es lineal. De hecho, es un término cuadrático
pues se puede escribir en la forma
u
∂u
∂x1
=
1
2
∂
∂x1
(u2
)
Ejemplo
u
∂u
∂x
−
∂u
∂y
= 0, eyx ∂u
∂x
− (u + x + y)
∂u
∂y
= 0
son dos ecuaciones en derivadas parciales de primer orden cuasilineales ho-
mogéneas.
4. Sea R = 0 (no idénticamente nula; puede depender de u). Si algún coeficiente
Pi depende de u, Pi = Pi(x1, x2, ..., xn, u) entonces la ecuación (6) se llama
cuasilineal no homogénea. Esta ecuación se puede escribir en la forma
equivalente
P(x, u) · u(x) = R(x, u)
. Por ejemplo
u
∂u
∂x
−
∂u
∂y
= x, eyx ∂u
∂x
− (u + x + y)
∂u
∂y
= −u2
son dos ecuaciones en derivadas parciales de primer orden cuasilineales no
homogéneas.
En el caso bidimensional la notación anterior se simplifica. Si n = 2, entonces
(x1, x2) = (x, y) ∈ Ω ⊂ IR2
y la ecuación cuasilineal de primer orden (6) se tranforma
en
P(x, y, u)
∂u
∂x
+ Q(x, y, u)
∂u
∂y
= R(x, y, u) (7)
siendo P1(x, y, u) = P(x, y, u), P2(x, y, u) = Q(x, y, u). Obviamente la clasificación
correspondiente se obtiene particularizando lo anterior. T´ıpicamente se denota la
solución u(x, y) en la forma z = u(x, y), que es la ecuación (expl´ıcita y en coor-
denadas cartesianas) de una superfice en el espacio tridimensional. Las superficies
z = u(x, y) que son soluciones de la EDP se llaman superficies integrales de la
EDP.
Introducida la forma general de las ecuaciones que trataremos en las secciones si-
guientes pasaremos ahora a dar una interpretación geométrica del proceso de resolu-
ción. El resultado principal que veremos es que la solución general de una EDP del

tipo (4) (o en la forma expl´ıcita (6)) se puede obtener resolviendo sistemas (even-
tualmente acoplados) de ecuaciones diferenciales ordinarias que nacen al considerar
ciertos problemas geométricos t´ıpicos de la teor´ıa de campos.
2.1.1. Interpretación geométrica
Daremos ahora una interpretación geométrica del problema de la resolución de una
EDP lineal no homogénea (o cuasilineal) de primer orden.
Veremos que resolver una EDP de tal tipo implicará buscar las l´ıneas de campo
(o l´ıneas vectoriales) de un campo vectorial naturalmente asociado a la EDP. El
problema se reconducirá por tanto a resolver un sistema de EDO cuyas soluciones
(denominadas las caracter´ısticas de la EDP) serán las ecuaciones de las l´ıneas de
campo del campo vectorial. La solución general de la EDP original nos dará las ecua-
ciones de las superficies vectoriales del campo. Seleccionar una superficie vectorial
concreta equivaldrá a resolver un problema de Cauchy prefijando una curva en el
espacio por donde tiene que pasar la superficie seleccionada. Analizaremos, además,
los problemas que surgen al prefijar una curva que sea caracter´ıstica para la EDP.
Para mayor claridad en la interpretación geométrica, estudiemos la ecuación cuasi-
lineal con dos variables independientes (x, y) ∈ Ω ⊂ IR2
dada en (7), es decir
P(x, y, u)
∂u
∂x
+ Q(x, y, u)
∂u
∂y
= R(x, y, u)
siendo u = u(x, y) la incógnita del problema. La ecuación (7) se deduce de la ecuación
(6) para N = 2, (x1, x2) = (x, y), (P1, P2) = (P, Q), R = R. Supondremos que las
funciones coeficientes P, Q, R son diferenciables con continuidad (de clase C1
(Ω))
en la región considerada de variación de las variables, Ω, y que no se anulan si-
multáneamente en un punto de Ω pues de lo contrario obtendr´ıamos en aquel punto
la identidad 0 = 0 que ser´ıa cierta para cualquier función y la ecuación desapare-
cer´ıa. Otras situaciones delicadas se podr´ıan presentar al anularse uno de los dos
coeficientes P o Q. En tal caso la ecuación degenerar´ıa, en el sentido de que cam-
biar´ıa de tipo, pasando de EDP a EDO pues nos quedar´ıa sólo una derivada parcial.
En estos casos ser´ıa todav´ıa posible encontrar las soluciones de la EDP pero en
un sentido débil. También podr´ıa ocurrir que ambos coeficientes P y Q se anu-
laran simultáneamente en un punto (sin que lo hiciera R). En tal caso pasar´ıamos
de una EDP a una ecuación algebraica siendo aún más dramática la degeneración.
En estos casos sigue siendo posible desarrollar un análisis local de la ecuación pero
procuraremos evitar estos casos digamos patológicos.

La interpretación geométrica
La idea básica de la interpretación geométrica consiste en asociar a la ecuación (7)
el campo vectorial de clase C1
(Ω), siendo Ω una región abierta de IR3
,
F : Ω ⊂ IR3
→ IR3
dado por:
F (x, y, u) = P(x, y, u)i + Q(x, y, u)j + R(x, y, u)k (8)
siendo i, j, k vectores unitarios dirigidos por los ejes de coordenadas.
Antes de entrar en detalles con la interpretación geométrica recordaremos algunos
conceptos y definiciones básicos para sucesivos tratamientos.
Las l´ıneas vectoriales de este campo (es decir, las l´ıneas cuyas tangentes tienen en
cada punto la dirección del vector F en dicho punto) son las curvas caracter´ısticas
de la EDP y se determinan por la condición de paralelismo entre el vector T =
idx + jdy + kdu (vector director de la tangente a las l´ıneas buscadas) y el vector
F . Utilizando el producto vectorial esta condición se escribe en la forma (véase el
tema de vectores de los guiones de la asignatura de primer curso)
T ∧ F = (Rdy − Qdu)i + (Pdu − Rdx)j + (Qdx − Pdy)k = 0
A lo largo de una curva caracter´ıstica se tiene por tanto:
dx
P(x, y, u)
=
dy
Q(x, y, u)
=
du
R(x, y, u)
(9)
Las ecuaciones (9) se conocen con el nombre de ecuaciones caracter´ısticas de la EDP
y su resolución nos proporciona las l´ıneas vectoriales del campo.
Introduciendo un parámetro θ podemos escribir la condición (9) (que define las
curvas caracter´ısticas de la EDP) en la forma
dx
P(x, y, u)
=
dy
Q(x, y, u)
=
du
R(x, y, u)
= dθ
para obtener el sistema de ecuaciones diferenciales
dx
dθ
= P(x, y, u),
dy
dθ
= Q(x, y, u),
du
dθ
= R(x, y, u),
Este sistema se dice autónomo ya que la variable independiente θ no aparece ex-
pl´ıcitamente. Suponiendo que P, Q, R son de clase C1
(Ω) sabemos por la teor´ıa de

las ecuaciones diferenciales ordinarias (véanse los temas correspondientes de EDO
y sistemas de EDO del primer curso) que a través de cualquier punto de Ω pasa
exactamente una curva caracter´ıstica de la EDP o (lo que es lo mismo) una l´ınea
vectorial del campo.
Nótese que aunque la introducción del parámetro θ pueda parecer bastante artificial,
será en realidad entendida como natural al considerar la expresión paramétrica de
las curvas buscadas. Consideraremos esta situación en la sección dedicada al caso
paramétrico.
Las superficies formadas por las l´ıneas vectoriales del campo se llaman superficies
vectoriales. Si una superficie S definida por u = u(x, y) es la unión de curvas
caracter´ısticas, entonces S es una superficie integral (es decir una solución de la
EDP). Por otra parte, cualquier superficie integral es unión de curvas caracter´ısticas
(lo que equivale a afirmar que a través de cualquier punto de la superficie S pasa
una curva caracter´ıstica contenida en S). Estos resultados son una consecuencia del
siguiente teorema (cuya demostración se puede encontrar en el libro de F. John, pag
10)
Teorema 2.1. Sea dado un punto P0 = (x0, y0, z0) ∈ IR3
que pertenece a una
superficie integral S de la EDP definida por z = u(x, y). Sea Γ la curva caracter´ıstica
que pasa por el punto P0. Entonces Γ está completamente contenida en S.
Como consecuencia directa de este resultado, dos superficie integrales que tienen
un punto P0 en común se intersecan a lo largo de toda la caracter´ıstica que pasa
por P0 (es decir que ambas contienen completamente a la caracter´ıstica). Tenemos
ahora una simple descripción de la solución general de (7): las superficies integrales
z = u(x, y) que son unión de curvas caracter´ısticas.
Siendo N un vector normal a la superficie vectorial, esta superficie se caracteriza
por la ecuación N · F = 0 pues el vector N que tiene la dirección de la normal a la
superficie, es ortogonal al vector F del campo en todo punto de ésta. Esta ecuación
tiene dos expresiones distintas dependiendo del tipo de representación que se utilize
para definir la superficie. En concreto, se tiene:
1. Si la superficie vectorial se determina expl´ıcitamente por la ecuación z =
u(x, y), entonces el vector normal es
N =
∂u
∂x
i +
∂u
∂y
j − k = (ux, uy, −1)
y la condición de ortogonalidad N · F = 0 toma la forma de la ecuación (7).

El vector normal unitario es
n =
N
N
=
(ux, uy, −1)
1 + u2
x + u2
y
.
2. Si la superficie vectorial se determina impl´ıcitamente por la ecuación S(x, y, z) =
0, siendo
S =
∂S
∂x
,
∂S
∂y
,
∂S
∂z
entonces el vector normal es
N =
∂S
∂x
i +
∂S
∂y
j +
∂S
∂z
k
y la condición de ortogonalidad N · F = 0 toma la forma de la ecuación:
P(x, y, u)
∂S
∂x
+ Q(x, y, u)
∂S
∂y
+ R(x, y, u)
∂S
∂u
= 0, (10)
siendo S(x, y, u) la solución buscada. El vector normal unitario es, en este caso
n =
S
S
.
Por consiguiente, para hallar las superficies vectoriales hay que integrar la ecuación
cuasilineal (7), o la ecuación lineal homogénea (10), según se busque la ecuación de
las superficies vectoriales en forma expl´ıcita o impl´ıcita.
2.1.2. El proceso de resolución
Veamos ahora como actuar cuando la integración de una EDP no es directa. Puesto
que las superficies vectoriales pueden formarse por l´ıneas vectoriales, la integración
de la ecuación cuasilineal no homogénea (7) (que nos proporciona las ecuaciones
expl´ıcitas de las superficies integrales soluciones de la EDP) se reduce a la integración
del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de las l´ıneas vectoriales que aparece
en (9) y que aqu´ı recordamos:
dx
P(x, y, u)
=
dy
Q(x, y, u)
=
du
R(x, y, u)
Sean ψ1(x, y, u) = c1, ψ2(x, y, u) = c2 dos soluciones (se las llama también inte-
grales primeras) independientes del sistema (9). Obsérvese que la independencia

se obtiene al considerar sólo dos de las tres ecuaciones caracter´ısticas. Esta selección
se realiza siguiendo los siguientes principios: siempre se considera la primera de ellas,
dx
P(x, y, u)
=
dy
Q(x, y, u)
que nos proporciona las caracter´ısticas de la EDP y después se considera una
cualquiera (se suele elegir la más sencilla) entre
dx
P(x, y, u)
=
du
R(x, y, u)
,
dy
Q(x, y, u)
=
du
R(x, y, u)
lo que nos proporciona las superficies integrales de la EDP. En general, las curvas
ψ1, ψ2 (obtenidas al resolver dos de las tres ecuaciones diferenciales ordinarias) son
las caracter´ısticas de la ecuación en derivadas parciales. Su expresión define, como
ya vimos en la sección anterior, las l´ıneas vectoriales del campo asociado a la EDP.
Puesto que las superficies vectoriales (soluciones de la EDP) deben contener todas
las caracter´ısticas podemos encontrar la ecuación de las superficies vectoriales es-
tableciendo una dependencia continua cualquiera Φ(c1, c2) = 0 entre los parámetros
c1, c2 que nos permita pasar con continuidad de una l´ınea vectorial a otra generando
as´ı una superfice. Eliminando los parámetros ci del sistema
{ ψ1(x, y, u) = c1, ψ2(x, y, u) = c2, Φ(c1, c2) = 0
obtenemos la ecuación buscada:
Φ(ψ1(x, y, u), ψ2(x, y, u)) = 0
siendo Φ una función arbitraria. De este modo, la integral de la ecuación cuasilineal
(7) (dependiente de una función arbitraria)
P(x, y, u)
∂u
∂x
+ Q(x, y, u)
∂u
∂y
= R(x, y, u)
puede obtenerse por el método siguiente:
1. Se integra el sistema auxiliar de ecuaciones (9):
dx
P(x, y, u)
=
dy
Q(x, y, u)
=
du
R(x, y, u)
2. Se hallan dos integrales primeras de éste:
ψ1(x, y, u) = c1, ψ2(x, y, u) = c2,

3. Se obtiene la integral buscada en la forma:
Φ(ψ1(x, y, u), ψ2(x, y, u)) = 0
siendo Φ una función arbitraria.
Ejemplo 2.1. Determinar la integral de la ecuación
∂u
∂x
+
∂u
∂y
= 1
que depende de una función arbitraria.
Se trata de una EDP de primer orden, lineal, con coeficientes constantes no ho-
mogénea. El sistema auxiliar de ecuaciones caracter´ısticas es
dx = dy = du.
Considerando las ecuaciones dx = dy y dx = du, sus primeras integrales tienen la
forma
1) ψ1(x, y, u) = x − y = c1, 2) ψ2(x, y, z) = u − x = c2
La integral (o solución general) de la EDP original es
3) Φ(c1, c2) = Φ(x − y, u − x) = 0,
siendo Φ una función arbitraria. De 2) se tiene que u = x + c2. Como por 3) y 1)
Φ(c1, c2) = Φ(x − y, c2) = 0,
se tendrá que c2 = f(c1) = f(x − y), siendo f es una función de clase C1
(IR2
)
arbitraria. Por tanto
u = x + f(x − y)
Nótese en efecto que, al sustituir en la ecuación se tiene
∂u
∂x
+
∂u
∂y
=
∂
∂x
(x + f(x − y)) +
∂
∂y
(x + f(x − y)) = 1 + f − f = 1, ∀ f
es decir una identidad luego u = x + f(x − y) es una familia (infinita) de superficies
que representa la solución general de la EDP. Las caracter´ısticas de la EDP son las
rectas del plano de ecuación y = x + C, C ∈ IR.

Figura 4: Caracter´ısticas de la EDP.
Interpretación geométrica del proceso resolutivo de la EDP del ejemplo
(2.1)
El proceso de resolución seguido en el ejemplo (2.1) ha consistido en considerar el
campo vectorial de clase (C1
(IR3
))3 .
= C1
(IR3
) × C1
(IR3
) × C1
(IR3
) (es decir, cada
componente del campo es de clase C1
(Ω)) definido por
F (x, y, u) = P(x, y, u)i + Q(x, y, u)j + R(x, y, u)k = i + j + k (11)
es decir F (x, y, u) = (1, 1, 1). Las l´ıneas vectoriales de este campo (es decir, las
l´ıneas cuyas tangentes tienen en cada punto la dirección del vector F en dicho punto)
se determinan por la condición de paralelismo entre el vector T = dxi + dyj + duk,
dirigido por la tangente a las l´ıneas buscadas (véase la sección en los anexos dedicada
a la representación de curvas de este mismo guión) y el vector F = i + j + k. Tal
condición se expresa en forma de producto vectorial de la siguiente forma
T ∧ F = (dy − du)i + (du − dx)j + (dx − dy)k = 0 = (0, 0, 0)
que es la ecuación auxiliar dx = dy = du de las caracter´ısticas de la EDP. Las l´ıneas
vectoriales de este campo son
ψ1(x, y, u) = x − y = c1, ψ2(x, y, u) = u − x = c2

y son una familia bi-paramétrica (pues dependen de (c1, c2)) de l´ıneas vectoriales (las
caracter´ısticas de la EDP). De esta familia se extrajo (arbitrariamente) una fami-
lia uniparamétrica estableciendo una dependencia continua cualquiera Φ(c1, c2) = 0
entre los parámetros (c1, c2). Esta operación de extracción (arbitraria pues Φ es una
función arbitraria) de una familia uniparamétrica ha correspondido a la determi-
nación de la integral de la ecuación original
Φ(x − y, u − x) = Φ(c1, c2) = 0,
que nos proporcionó la ecuación buscada de las superficies vectoriales:
u = u(x, y) = x + φ(x − y).
2.1.3. Interpretación geométrica del problema del flujo potencial: de-
ducción del método de las trayectorias
En esta sección veremos cómo la interpretación geométrica de las EDP permite in-
terpretar los problemas de flujo asociados a un campo de velocidades mediante los
conceptos de curvas caracter´ısticas y superficie integrales. Lo que haremos será iden-
tificar las curvas caracter´ısticas con las l´ıneas de corriente y las superficie integrales
con la gráfica de la función de corriente. Deduciremos as´ı una forma alternativa
de determinar las l´ıneas de corriente de un campo de velocidades mediante la in-
tegración de una EDO. El cálculo de las l´ıneas de corriente mediante este método
se conoce como método de las trayectorias. Nótese que este método se puede
usar para cualquier flujo donde el campo de velocidades es conocido. No es necesario
que el flujo sea bidimensional o incompresible. También se aplica al tratamiento de
problemas de flujo no estacionario.
Otra forma de deducir las l´ıneas de corriente será mediante la resolución de un
sistema de EDO lo que nos proporcionará una representación paramétrica de estas
curvas. Recuérdese que en el ejemplo (1.5) las l´ıneas de corriente se determinaron
sólo tras la determinación de la función de corriente mediante integración directa de
las EDP que la definen.
En la sección anterior vimos que, dada una EDP de primer orden, si una superficie
S definida por z = ψ(x, y) es la unión de curvas caracter´ısticas, entonces S es
una superficie integral (es decir una solución de la EDP). Por otra parte, cualquier
superficie integral es unión de curvas caracter´ısticas. Al trabajar con problemas de

flujo las curvas caracter´ısticas se denominan l´ıneas de corriente17
. Las superficies
formadas por las l´ıneas de corriente del campo de velocidades se llaman superficies
vectoriales y la gráfica de la función de corriente es una de ellas.
Siendo N un vector normal a la superficie vectorial, esta superficie se caracteriza
por la ecuación N · v = 0 pues el vector N, que tiene la dirección de la normal a la
superficie, es ortogonal al vector v del campo en todo punto de ésta.
Si la superficie vectorial se determina expl´ıcitamente por la ecuación z = ψ(x, y),
entonces el vector normal es
N =
∂ψ
∂x
i +
∂ψ
∂y
j − k = (ψx, ψy, −1)
y la condición de ortogonalidad N · v = 0 toma la forma de la ecuación
vx
∂ψ
∂x
+ vy
∂ψ
∂y
= 0.
La idea básica de la interpretación geométrica del problema propuesto en el ejemplo
(1.5) (determinación de las l´ıneas de corriente de un campo de velocidades plano
dado) consiste por tanto en asociar a la ecuación de primer orden, lineal homogénea
P(x, y)
∂ψ
∂x
+ Q(x, y)
∂ψ
∂y
= 0
el campo vectorial de velocidades
v(x, y) = vx(x, y)i + vy(x, y)j
La ecuación que caracteriza la función de corriente ψ asociada a un campo de ve-
locidades v es
v · ψ = vx
∂ψ
∂x
+ vy
∂ψ
∂y
= 0
Puesto que el campo dado era (vx, vy) = (x, −y) se obtiene la EDP (de primer orden
lineal homogénea)
x
∂ψ
∂x
− y
∂ψ
∂y
= 0
17
En mecánica de medios continuos se distingue claramente entre l´ıneas de campo (trayectorias)
y l´ıneas de corriente. Sin embargo si el campo de velocidades es estacionario, las l´ıneas de campo y
l´ıneas de corriente son iguales. Trataremos, en este tema, tan sólo este caso (es decir, estudiaremos
sólo reg´ımenes de flujo estacionarios).

Recordando la definición de ψ dada en (3)
∂ψ
∂x
= −vy,
∂ψ
∂y
= vx
se deduce que ψ es una superficie integral (solución) de la EDP de primer orden.
Las l´ıneas vectoriales de este campo (es decir, las l´ıneas cuyas tangentes tienen en
cada punto la dirección del vector F en dicho punto) se interpretan como las l´ıneas
de corriente del campo de velocidades y representan las curvas caracter´ısticas
de la EDP. Se determinan por la condición de paralelismo entre el vector T =
idx + jdy + kdψ (vector director de la tangente a las l´ıneas buscadas) y el vector v.
Utilizando el producto vectorial esta condición se escribe en la forma (véase el tema
2 de los guiones de la asignatura de primer curso)
T ∧ v = (Rdy − Qdu)i + (Pdu − Rdx)j + (Qdx − Pdy)k
Puesto que P = vx, Q = vy y R = 0 se tiene
T ∧ v = vydψi + vxdψj + (vydx − vxdy)k = 0
A lo largo de una curva caracter´ıstica se tiene por tanto:
dx
vx
=
dy
vy
(12)
y la solución ψ(x, y) es constante, ψ ≡ C, a lo largo de una caracter´ıstica pues su
tasa de cambio (dada por v · ψ) es nula por la definición y construcción de ψ. El
hecho de que ψ es constante se denota en la forma
dx
vx
=
dy
vy
=
dψ
0
Las ecuaciones (12) se conocen con el nombre de ecuaciones caracter´ısticas de la
EDP y su resolución nos proporciona las l´ıneas de corriente del campo. Nótese que
las ecuaciones (12) ya hab´ıan sido introducidas en la primera sección del tema 12
del primer curso para la determinación de las l´ıneas de campo.
Ecuaciones paramétricas de las l´ıneas de corriente
El método de las trayectorias para la determinación de las l´ıneas de corriente consiste
en la resolución de la ecuación (12) previa introducción de un parámetro. Este

procedimiento permite obtener propiamente las ecuaciones paramétricas de las l´ıneas
de corriente en términos de trayectorias.
En efecto, introduciendo un parámetro θ podemos escribir la condición (12) (que
define las curvas caracter´ısticas de la EDP) en la forma
dx
vx
=
dy
vy
=
dψ
0
= dθ
para obtener el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
dx
dθ
= P(x, y) = vx,
dy
dθ
= Q(x, y) = vy,
dψ
dθ
= R(x, y) = 0,
es decir
dx
dθ
= x,
dy
dθ
= −y,
dψ
dθ
= 0,
El sistema es desacoplado (es decir, podemos resolver las ecuaciones que lo com-
ponen de manera independiente, de una en una). Puesto que se trata de EDO li-
neales de primer orden separables se obtiene (separando variables) la representación
paramétrica de las l´ıneas de corriente
x(θ) = c1eθ
, y(θ) = c2e−θ
, ψ(θ) = c3
Los valores de c1, c2 y c3 se determinan imponiendo unas condiciones ulteriores que
complementan la EDP. Analizaremos tales situaciones en las secciones siguientes,
al introducir la definición de Problema de Cauchy asociado a una EDP de primer
orden.
El problema de Cauchy
Si entre las infinitas superficies vectoriales del campo F se deseara determinar
la superficie que pasa por una l´ınea dada, definida a su vez por las ecuaciones
Φ1(x, y, u) = 0, Φ2(x, y, u) = 0, entonces la función Φ ya no será arbitraria sino que
se determina Φ(c1, c2) por eliminación de x, y, u de las ecuaciones:
{ Φ1(x, y, u) = 0, Φ2(x, y, u) = 0, ψ1(x, y, u) = c1, ψ2(x, y, u) = c2
a través del cual se tiene la ecuación Φ(c1, c2) = 0 y la integral buscada será
Φ(ψ1(x, y, u), ψ2(x, y, u)) = 0
Para poder explicar con rigor este proceso de selección de soluciones precisamos
antes la definición de Problema de Cauchy para EDP cuasilineales de primer orden.

2.1.4. El problema de Cauchy para ecuaciones cuasilineales
Para seleccionar una entre las infinitas superficies integrales de una EDP cuasilineal
de primer orden seguiremos el siguiente camino que nos llevará a la definición del
problema de Cauchy para EDP cuasilineales de primer orden, que no es otra cosa
que un método para generar soluciones a partir de la prescripción de un conjunto
de funciones que representan los datos del problema (digamos la información f´ısica
o experimental) sobre el fenómeno a estudiar. Es decir, buscamos asociar soluciones
a datos mediante una aplicación entre espacios vectoriales (el espacio de los datos
como espacio inicial y el espacio de las soluciones como espacio de llegada). El espacio
de las soluciones se describe entonces mediante el espacio (usualmente más simple)
de los datos18
.
Una manera simple de seleccionar una función u(x, y) en el conjunto infinito de
soluciones de (7)
P(x, y, u)
∂u
∂x
+ Q(x, y, u)
∂u
∂y
= R(x, y, u)
consiste en prescribir una curva Γ en el espacio tridimensional que debe estar con-
tenida en la superficie integral z = u(x, y). Sea Γ una curva dada paramétricamente
mediante
x = f(s), y = g(s), u = h(s) (13)
Estamos buscando una solución u(x, y) de (7) tal que la relación
h(s) = u(f(s), g(s)) (14)
sea una identidad.
Definición 2.1 (Problema de Cauchy). Sea dada la ecuación cuasilineal de primer
orden (7). Un problema de Cauchy asociado a la ecuación (7) consiste en encontrar
la función u(x, y) asociada a los datos f(s), g(s) y h(s) mediante (13).
Obviamente se entiende por función asociada a los datos a una función que satisface
la EDP y la condición (14). Nótese que es posible dar muchas parametrizaciones
distintas de la misma curva Γ eligiendo distintos parámetros s. Sin embargo la
introducción de un parámetro diferente σ tal que s = φ(σ) no cambia la solución
del problema de Cauchy. En cuanto al tipo de solución, nos contentaremos con
18
No queremos (ni podemos) entrar en detalles sobre este tipo de problemas propio de la teor´ıa
de la regularidad de las EDP. Sólo señalamos que la caracterización del espacio de soluciones de
una EDP mediante la información sobre los datos del problema representa uno de los problemas
más interesantes de la teor´ıa de las ecuaciones en derivadas parciales.

soluciones locales19
definidas para (x, y) en un entorno del punto x0 = f(s0),
y0 = g(s0). En muchos problemas f´ısicos la variable y se identifica con el tiempo
y x con la posición en el espacio. Además en dichos problemas es frecuente que y0
se tome como inicio del intervalo temporal en el que se plantea el problema. Es
entonces natural proponerse resolver el problema de determinar una solución u(x, y)
a partir del conocimiento de su valor inicial en el tiempo y = 0:
u(x, 0) = u0(x) (15)
Se tiene entonces
Definición 2.2 (Problema de Valor Inicial). Sea dada la ecuación cuasilineal de
primer orden (7). Un problema de valor inicial para la ecuación consiste en encontrar
la función u(x, y) que satisface la ecuación (7) y la condición inicial (15).
Nótese que un problema de valor inicial (PVI) es un caso especial de un problema
de Cauchy en el cual la curva Γ tiene la representación
x = s, y = 0, u = u0(s) (16)
Sea Ω ⊂ IR3
y sea F = (P, Q, R) un campo vectorial de clase (C1
(Ω))3
. Sea da-
da además una curva inicial Γ0 en la forma paramétrica (13). Es posible entonces
demostrar que el problema de Cauchy admite solución si se verifica la siguiente
condición suficiente
∆ =
f (s0) g (s0)
P(x0, y0, u0) Q(x0, y0, u0)
= Q0f0 − P0g0 = 0 (17)
En el caso del problema de valor inicial se tiene (aplicando (16) con f(s) = s,
g(s) = 0)
∆ =
1 0
P(x0, y0, u0) Q(x0, y0, u0)
= Q(x0, y0, u0) = 0 (18)
La condición de no anulación del determinante jacobiano ∆ garantiza la existencia
(local pues se debe a una aplicación del teorema de la función impl´ıcita válida en
un entorno del punto (x0, y0, u0) ∈ IR3
) de una superficie integral u = u(x, y). La
unicidad se deduce del teorema (2.1). Nótese que la condición (17) es fundamental
para la existencia de una única solución u(x, y) de clase C1
pues se puede demostrar
19
Es una de las caracter´ısticas más notables de las EDP de primer orden hiperbólicas: la existencia
local, es decir hasta un tiempo finito.

que ∆ = 0 es incompatible con la existencia de tales soluciones a menos que la curva
prefijada Γ0 sea caracter´ıstica (en cuyo caso se tendrán infinitas soluciones).
Acabamos la parte teórica con el siguiente resultado de existencia y unicidad para el
problema de Cauchy asociado a una curva inicial Γ0 dada en la forma paramétrica:
x = f(s), y = g(s), u = u0(s) (19)
siendo f, g funciones derivables con continuidad. Se tiene entonces
Teorema 2.2. Sea dada la ecuación en derivadas parciales
P(x, y, u)
∂u
∂x
+ Q(x, y, u)
∂u
∂y
= R(x, y, u)
y sea Γ0 una curva inicial dada por (19) con la condición que (f )2
+ (g )2
= 0 (es
decir f y g no ambas nulas simultáneamente). Sea además
∆ = Q0x0 − P0y0 = Q0f0 − P0g0
el determinante jacobiano. Se tiene entonces
1. Si ∆ = 0 en toda Γ0 entonces existe una única solución del problema de
Cauchy.
2. Si ∆ = 0 en toda Γ0 y Γ0 es una curva caracter´ıstica entonces existen infinitas
soluciones del problema de Cauchy.
3. Si ∆ = 0 en toda Γ0 y Γ0 no es una curva caracter´ıstica entonces no existe
solución del problema de Cauchy.
Lo anterior se puede interpretar de la siguiente forma: si el problema de Cauchy (o
el PVI) tienen solución y ∆ = 0 a lo largo de Γ0 entonces la curva Γ0 es ella misma
una curva caracter´ıstica de la EDP. Pero si Γ0 es una curva caracter´ıstica entonces
infinitas superficies integrales pasan a través de (contienen) Γ0. Observemos que si
la función u no es de clase C1
(en un entorno de Γ0 y en la misma Γ0) entonces no
es posible deducir, a partir de ∆ = 0, que la curva Γ0 es caracter´ıstica. En efecto,
pueden existir soluciones de la EDP que pasen por una curva no caracter´ıstica Γ0 y
para las cuales ∆ = 0.
Nótese finalmente que este teorema no cubre el caso en el cual ∆ = 0 sólo en algún
punto de Γ0 puesto que en este caso las soluciones no ser´ıan de clase C1
. Aparecer´ıan
soluciones débiles. Existe una teor´ıa al respecto que no será aqu´ı considerada. Una

referencia a un posible tratamiento general de este caso se encuentra en el libro
de Courant-Hilbert, pag 65. En general es suficiente considerar por separado las
regiones de degeneración de los coeficientes de la EDP (es decir donde se anulan) y
utilizar el análisis local mediante el estudio del determinante jacobiano ∆ a lo largo
de Γ0 en las regiones de no degeneración.
Ejemplo 2.2 (Problema de Cauchy). Hallar la superficie integral de la ecuación
x
∂u
∂y
− y
∂u
∂x
= 0
que pasa por la curva inicial Γ0 dada por x = 0, u = y2
.
Se trata de una EDP de primer orden, lineal, con coeficientes variables, homogénea.
Para que la ecuación no pueda degenerar imponemos la condición x2
+ y2
= 0.
El problema de Cauchy está bien planteado (existe una única solución). En efecto,
notamos que, parametrizando la curva dada en la forma
x = f(s) = 0, y = g(s) = s, u = u0(s) = h(s) = s2
se tiene f (s) = 0, g (s) = 1. Considerando que P = −y, Q = x se deduce ∆ =
Qf −Pg = y = 0 si y = 0 y esto es cierto a lo largo de la curva Γ0 para todo s = 0.
Si s = 0 entonces x = y = 0 pero este punto ya hab´ıa sido excluido con la condición
de no degeneración. Aplicando el teorema (2.2) se tiene asegurada la existencia de
una única superficie integral que contiene la curva inicial Γ0.
El campo vectorial a estudiar es
F (x, y, u) = (P(x, y, u), Q(x, y, u), R(x, y, u)) = (−y, x, 0)
La ecuación auxiliar T ∧ F = 0 nos conduce en este caso a:
dx
−y
=
dy
x
=
du
0
La notación du/0 significa que du = 0, es decir que u es constante a lo largo de las
caracter´ısticas. Esta notación (dividir por cero) se aplica también en el caso P ≡ 0
o Q ≡ 0. A partir de la ecuación auxiliar se pueden obtener las siguientes integrales
primeras (caracter´ısticas o l´ıneas vectoriales del campo o l´ıneas de corriente si el
campo F se considera un campo de velocidades estacionario plano F = v = (vx, vy)):
xdx = −ydy, =⇒
1
2
x2
= −
1
2
y2
+ K =⇒ x2
+ y2
= 2K = C2
es decir ψ2(x, y, u) = x2
+ y2
= c2 y
du = 0 =⇒ u = C1

es decir ψ1(x, y, u) = u = c1. Hemos obtenido:
ψ1(x, y, u) = u = c1, ψ2(x, y, u) = x2
+ y2
= c2
Nótese que la curva Γ0 no es (una curva) caracter´ıstica pues no satisface ninguna de
las ecuaciones ψ = c1, ψ = c2. Considerando las condiciones x = 0, u = y2
se tiene
el siguiente sistema de ecuaciones
u = c1 x2
+ y2
= c2 x = 0 u = y2
y se deduce que (eliminando las variables x, y, u) c1 = c2. Por ello la superficie
integral buscada será
0 = c1 − c2 = Φ(c1, c2) = Φ(u, x2
+ y2
) = u − (x2
+ y2
)
es decir
u = x2
+ y2
.
Nótese que evidentemente al seccionar la superficie con el plano x = 0 se obtiene la
curva prefijada u = y2
. En términos de la mecánica de fluidos, la superficie integral
obtenida corresponde a la gráfica de la función de corriente asociada al campo de
velocidades.
Figura 5: El problema de Cauchy.
Obsérvese además que el problema quedar´ıa indeterminado si la curva dada por
Φ1 = Φ2 = 0 fuese caracter´ıstica ya que en este caso diferentes superficies integrales

pasar´ıan por dicha curva. Es decir: existir´ıan infinitas soluciones. Encontraremos
concretamente esta situación en el siguiente ejemplo
Ejemplo 2.3 (Problema de Cauchy). Hallar la superficie integral de la ecuación
x
∂u
∂y
− y
∂u
∂x
= 0
que pasa por la circunferencia u = 1, x2
+ y2
= 4.
Puesto que la l´ınea dada es caracter´ıstica, el problema es indeterminado (es decir
existen infinitas soluciones (superficies) que pasan por la circunferencia dada). Por
ejemplo los paraboloides de revolución
u = x2
+ y2
− 3, 4u = x2
+ y2
, u = −x2
− y2
+ 5
son soluciones pues corresponden a las superficies
Φ(c1, c2) = c2−c1−3 = 0, Φ(c1, c2) = c2−4c1 = 0, Φ(c1, c2) = c1+c2−5 = 0
En efecto cualquier superficie de revolución u = Φ(x2
+ y2
) cuyo eje de rotación
coincida con el eje Oz, es superficie integral de la EDP. También la esfera x2
+ y2
+
u2
= 5 es solución pues corresponde a la superficie
Φ(c1, c2) = c2
1 + c2 − 5 = 0
El problema de Cauchy anterior estaba mal planteado (pues existen infinitas solu-
ciones). Nótese que, parametrizando la curva dada en la forma
x = f(θ) = 2 cos θ, y = g(θ) = 2 sin θ, u = u0(θ) = 1
se tiene f (θ) = −2 sin θ, g (θ) = 2 cos θ. Considerando que P = −y, Q = x se
deduce ∆ = Qf − Pg = −4 sin θ cos θ + 4 sin θ cos θ ≡ 0, ∀ θ.
Hasta ahora hemos considerado el caso en que la expresión de la curva inicial ven´ıa
dada en coordenadas cartesianas mediante un sistema de dos ecuaciones cuya solu-
ción (la curva) es la intersección de dos superficies (las ecuaciones). Consideraremos
ahora el caso en el que la curva inicial se expresa en forma paramétrica.
2.1.5. El caso paramétrico
Si la ecuación de la curva Γ0 por la cual se exige trazar la superficie integral de la
ecuación
P(x, y, u)
∂u
∂x
+ Q(x, y, u)
∂u
∂y
= R(x, y, u)

Figura 6: Problema mal planteado: existen dos soluciones del mismo problema de
Cauchy.
se proporciona en forma paramétrica
Γ0 = { x0 = x0(s), y0 = y0(s), u0 = u0(s)
entonces es también conveniente buscar la solución en forma paramétrica20
x = x(t, s), y = y(t, s), u = u(t, s).
Para ello se introduce un parámetro t en el sistema (9) que determina las carac-
ter´ısticas, haciendo
dx
P(x, y, u)
=
dy
Q(x, y, u)
=
du
R(x, y, u)
= dt (20)
Para que las caracter´ısticas pasen por la curva dada, se busca la solución del sistema
(20) que satisface (para t = 0 o t = T0) las condiciones iniciales
x0 = x0(s) = x(T0, s), y0 = y0(s) = y(T0, s), u0 = u0(s) = u(T0, s)
20
Véase el tema 12 de la asignatura de primer curso (y también los anexos a este guión) para la
definición de una superficie paramétrica.

Para estas condiciones iniciales (y para s fija) obtenemos una caracter´ıstica que
pasa por un punto (fijado) de la curva. Cuando s es variable se obtiene la familia
biparamétrica de caracter´ısticas
x = x(t, s), y = y(t, s), u = u(t, s)
que pasan por los puntos de la curva dada (en este caso se considera que la curva
dada no es caracter´ıstica). El conjunto de puntos que pertenece a esta familia de
caracter´ısticas forma precisamente la integral buscada.
Ejemplo 2.4. Sea dada la ecuación
∂u
∂x
−
∂u
∂y
= 1
Clasificar la EDP, determinar el campo asociado y hallar la superficie integral que
pasa por la curva
x0 = s, y0 = s2
, u0 = s3
Se trata evidentemente de una EDP de primer orden, lineal, no homogénea con coe-
ficientes constantes. Está asociada al campo F = (1, −1, 1). El sistema de ecuaciones
que determina las caracter´ısticas tiene la forma
dx = −dy = du = dt
Su solución general es
x = t + c1, y = −t + c2, u = t + c3
Las constantes arbitrarias se determinan mediante las condiciones iniciales:
c1 = s, c2 = s2
, c3 = s3
y sustituyendo en la solución general se tiene
x = t + s, y = −t + s2
, u = t + s3

2.1.6. ∗
Parametrización mediante la longitud de arco
Consideraremos EDP de primer orden en dos variables independientes.
La familia más general se puede escribir en la forma
A
∂u
∂x
+ B
∂u
∂y
= C
Si A = A(x, y), B = B(x, y) y C = C(x, y, u) es lineal en u la ecuación es lineal.
En los demás casos es no lineal21
En cada punto del plano x, y podemos definir un
vector unitario
s ≡
A
√
A2 + B2
,
B
√
A2 + B2
y escribir la PDE de primer orden en la forma
s · u =
C
√
A2 + B2
≡ D
Fijada una curva inicial (que no coincida con una caracter´ıstica) podemos dibujar
en el plano, para cada punto de la curva inicial, una trayectoria que es tangente en
cada punto al vector s. La pendiente de la tangente (en cada punto) es
dy
dx
=
B
A
(21)
y es la EDO verificada por la trayectoria. Estas trayectorias se llaman caracter´ısti-
cas. Denotamos con σ a la longitud de arco22
a lo largo de una caracter´ıstica.
Supongamos ahora que los coeficientes A, B y C son constantes reales. Se tiene
entonces
s =
dx
dσ
,
dy
dσ
Este resultado se puede comprobar fácilmente definiendo una parametrización de
las curvas caracter´ısticas en la forma
r(t) = x(t)i + y(t)j, t ≥ t0 = 0
luego
r (t) = x (t)i + y (t)j, r (t) = (x )2 + (y )2
21
Una clasificación más precisa, clasifica las ecuaciones no lineales en semi-lineales, cuasi-lineales,
completamente no lineales y doblemente no lineales dependiendo de las dependencias funcionales
de las funciones coeficientes
22
Véase el tema 12, sección 10 del guión de la asignatura del primer curso para la definición de
este concepto.

y por tanto, puesto que las ecuaciones caracter´ısticas vienen dadas por (paramétri-
camente)
dx
dt
= A,
dy
dt
= B
se tiene que la relación entre el parámetro t y el parámetro longitud de arco es
σ
.
=
t
0
r (t) dt =
t
0
(
√
A2 + B2)dt = (
√
A2 + B2)t
luego la diferencial de longitud de arco es
dσ = r (t) dt = (
√
A2 + B2)dt
Por lo anterior escribimos entonces s · u = D en la forma
du
dσ
= D (22)
Cuando A(x, y), B(x, y) son funciones conocidas de las variables independientes,
podemos integrar primero (21) para encontrar las caracter´ısticas y después (22)
para obtener u. Si A(x, y, u), B(x, y, u) dependen de u (pero no de sus derivadas)
entonces las caracter´ısticas no son conocidas a priori y hay que resolver el problema
acoplado (21), (22) (generalmente con un método numérico en diferencias finitas,
ver Mei, pag 21) para encontrar las caracter´ısticas y la incógnita u.
Concluimos esta sección observando que el esquema de resolución indicado para
el caso bidimensional se puede generalizar al caso (n + 1)−dimensional. Detalles
se pueden encontrar en el libro de Elsgoltz, cap´ıtulo 5 pag 252 o en el libro de
Courant-Hilbert, pag 69.
2.1.7. ∗
Un ejemplo de formación de ondas de choque en una ecuación
cuasilineal. Ecuación de Bürgers
Un problema de valor inicial que a menudo se toma como ejemplo para ilustrar
ciertos fenómenos que pueden aparecer al trabajar con ecuaciones cuasilineales de
primer orden es: Encontrar una función u = u(x, y) que satisfaga las igualdades



∂u
∂y
+ u
∂u
∂x
= 0, x ∈ IR, y > 0,
u(x, 0) = u0(x), x ∈ IR
(23)

Este problema, que modeliza entre otros fenómenos el rompimiento de la barrera del
sonido por aviones supersónicos fue propuesto por J.M. Bürgers y, en su honor, se
conoce como el problema de Bürgers23
. La solución u de la ecuación cuasilineal se
puede interpretar como un campo de velocidad longitudinal (en la dirección x) que
var´ıa con el tiempo y. La ecuación (23) afirma que cualquier part´ıcula del fluido tiene
aceleración nula (no hay efectos inerciales), luego tiene velocidad constante a lo largo
de las trayectorias del fluido. Esto es evidente si ponemos u = vx = vx(x, y) siendo
v = (vx(x, y), vy(x, y)) = (vx(x, y), 0) (nótese que la variable y que aparece en las
componentes del campo de velocidades denota una variable espacial) y calculamos
su derivada material definida mediante el operador de derivación total (donde t
representa ahora el tiempo) 24
D
Dt
=
∂
∂t
+ v · =
∂
∂t
+
n
i=1
vi
∂
∂xi
siendo v = (v1, .., vn), x = (x1, .., xn). En nuestro caso n = 2, (x1, x2) = (x, y),
v1 = vx, v2 = vy. La afirmación anterior equivale por tanto a verificar (se deja por
ejercicio al lector) que Dv/Dt = 0.
Considérese nuevamente el problema (23) siendo y la variable temporal. La condición
inicial u(x, 0) = u0(x) describe la distribución inicial de la velocidad, que corresponde
a la curva en el espacio IR3
(véase la ecuación (16))
x = s, y = 0, u = u0(s) (24)
Introduciendo un parámetro θ las ecuaciones diferenciales ordinarias asociadas son
dx
dθ
= P(x, y, u) = u,
dy
dθ
= Q(x, y, u) = 1,
du
dθ
= R(x, y, u) = 0,
que combinadas con la condición inicial (24) para θ = 0 nos dan la representación
paramétrica de la solución z = u(x, y) del PVI:
x = s + uθ, y = θ, u = u0(s) (25)
Eliminando los parámetros s, θ se tiene la fórmula (impl´ıcita) de la solución
u = u0(s) = u0(x − uθ) = u0(x − uy)
23
En realidad la ecuación de Bürgers propiamente dicha es una ecuación parabólica de segundo
orden a partir de la cual se puede deducir (mediante un l´ımite asintótico que representa la hipótesis
de difusión despreciable) la ecuación hiperbólica cuasilineal de primer orden que analizaremos.
24
Algunos libros de texto denominan a la derivada material, derivada substancial. Véase, por
ejemplo, el libro de Costa-Novella, Vol 2, dedicado a los fenómenos de transporte.

2.1.8. ∗
Discontinuidades y soluciones débiles
En la primera parte del ejercicio anterior hemos encontrado una fórmula impl´ıcita
de la solución. Queremos analizar más en detalle su naturaleza (su comportamiento
cualitativo). Si proyectamos la caracter´ıstica (curva en el espacio) en el plano xy (es
decir eliminamos u en (25)) obtenemos la curva Cs (proyección de la caracter´ıstica)
x = s + u0(s)y
a lo largo de la cual la solución tiene el valor constante
u(x, 0) = u(s, 0) = u0(s)
F´ısicamente, x = s + u0(s)y define el camino de una part´ıcula localizada en x = s
en el tiempo y = 0. Veamos que ocurre si dos caracter´ısticas tienen un punto en
común. Sea (x∗
, y∗
) ∈ IR2
el punto común a las dos caracter´ısticas. Entonces, puesto
que la ecuación de las caracter´ısticas es x = s + u0(s)y se tendrá:
x∗
= s1 + u0(s1)y∗
, x∗
= s2 + u0(s2)y∗
y se deduce s1 + u0(s1)y∗
= s2 + u0(s2)y∗
es decir
y∗
= −
s2 − s1
u0(s2) − u0(s1)
Si s2 = s1 y u0(s2) = u0(s1) la función toma valores distintos u0(s1), u0(s2) en
el punto (x∗
, y∗
) luego la función es multivaluada y salta. Hay una discontinuidad.
En particular se puede demostrar que u está condenada a saltar y a presentar una
singularidad en su derivada parcial primera si u0 tiene soporte compacto (se entiende
por ello que la función es nula fuera de un intervalo compacto), excepto en el caso
trivial donde u0(s) ≡ 0.
Pensando en y como en el tiempo, para las funciones u0(s) (dato inicial del problema)
tales que y∗
> 0, esta relación define (y predice) la existencia de un instante de ex-
plosión (singularidad) de la solución. Es fácil comprobar en efecto que, si u0(s) < 0,
entonces y∗
> 0. Para todo este tipo de datos iniciales la solución u(x, y) será dis-
continua en algún tiempo y∗
> 0. La naturaleza de esta singularidad será más clara
si consideramos los valores de la derivada ux(x, y) a lo largo de la caracter´ıstica
x = s + u0(s)y. A partir de la expresión (impl´ıcita) de la solución
u = u0(x − uy)
y aplicando derivación impl´ıcita se tiene

ux = [u0(x − uy)][(1 − uxy)] = u0 − uxu0y
y se deduce
ux =
u0(s)
1 + u0(s)y
luego si u0(s) < 0 entonces ux → ∞ para
y = −
1
u0(s)
El tiempo y más pequeño para el cual esta relación se cumple corresponde al valor
s = s0 en el cual u0(s) tiene un m´ınimo (negativo). En el instante T = y = −1/u0(s)
la solución tiene un crecimiento incontrolable y su derivada explota (se pone verti-
cal). No puede existir una solución de clase C1
más allá del instante T. Nótese que
este tipo de comportamiento es t´ıpico de las ecuaciones no lineales.
Es posible, sin embargo, definir unas soluciones débiles del PVI que existen más
allá del tiempo T. Para ello, debemos de dar un sentido a la EDP cuasilineal para
una clase de funciones más amplia que C1
(o incluso continuas). Para ello se escribe
la EDP
uy + uux = 0
en forma de divergencia (es decir mediante el operador de divergencia aplicado a
funciones adecuadas)
∂R(u)
∂y
+
∂S(u)
∂x
= 0 (26)
siendo R(u) y S(u) funciones tales que S (u) = uR (u). Por ejemplo podr´ıamos elegir
R(u) = u y S(u) = (1/2)u2
. Nótese que se trata de una elección natural pues
uy + uux = uy +
1
2
(u2
)x = div u,
1
2
u2
= div(R(u), S(u), ) =
∂R(u)
∂y
+
∂S(u)
∂x
= 0
Integrando la relación (26) en x ∈ (a, b) se tiene la ley de conservación
0 =
d
dy
b
a
R(u(x, y))dx + S(u(b, y)) − S(u(a, y)) (27)

Por otra parte cualquier función de clase C1
que verifica (27) es solución de (26).
Ahora bien, la ecuación (27) tiene sentido para funciones mucho más generales y
puede ser utilizada para definir las soluciones débiles de (26). En particular con-
sideramos el caso donde u es una solución C1
de (26) en cada una de dos regiones
del plano separadas por una curva x = ξ(y) al cruzar la cual la solución experimen-
tará un salto (choque). Denotando los valores l´ımites de u a la izquierda y la derecha
de la curva por u−
y u+
(respect.) se tiene (a partir de (27) que
0 = S(u(b, y)) − S(u(a, y)) +
d
dy
ξ
a
R(u(x, y))dx +
b
ξ
R(u(x, y))dx
= S(u(b, y)) − S(u(a, y)) + ξ R(u−
) − ξ R(u+
) −
ξ
a
∂S(u)
∂x
dx −
b
ξ
∂S(u)
∂x
dx
= −[R(u+
) − R(u−
)]ξ − S(u−
) + S(u+
)
Hemos encontrado la condición de salto (shock conditions)
dξ
dy
=
S(u+
) − S(u−
)
R(u+) − R(u−)
(28)
que relaciona la velocidad de propagación dξ/dy de la discontinuidad con el tamaño
del salto de R y S. Nótese que (28) depende no sólo de la EDP sino también de
la elección hecha (R(u) = u y S(u) = (1/2)u2
) entre las funciones que satisfacen
S (u) = uR (u).
Con esta elección de las funciones S y R y para el dato inicial
u(x, 0) = u0(x) =



−
2
3
√
3x x > 0
0 x < 0
es posible verificar que la función
u(x, y) =



−
2
3
y + 3x + y2 4x + y2
> 0
0 4x + y2
< 0
es una solución débil de la ecuación en forma de divergencia.
2.1.9. ∗
Propagación de discontinuidades en EDP de primer orden
Se considera la ecuación de primer orden, lineal, no homogénea de coeficientes cons-
tantes:
∂u
∂x
+
∂u
∂y
= 1, y ≥ 0, −∞ < x < ∞

donde u es conocida en los puntos (x0, 0) del eje x: u(x0, 0) = u0(x). La dirección
caracter´ıstica viene dada por dx = dy luego la caracter´ıstica que pasa por el punto
(x0, 0) es (por integración directa)
y = x − x0
A lo largo de la caracter´ıstica se tiene que du = dy luego por integración directa
deducimos que la solución a lo largo de esta recta es
u(x, y) = u0(x − y) + y
Consideraremos dos posibles situaciones: que los datos iniciales sean discontinuos o
que lo sean sus derivadas. Seguiremos la exposición que aparece en el libro de Smith,
en el cap´ıtulo dedicado a las ecuaciones hiperbólicas y sus caracter´ısticas.
2.1.10. ∗
Valores iniciales discontinuos
Supongamos tener un dato inicial del tipo
u(x, 0) = u0(x) =



f1(x) −∞ < x < xA
f2(x) xA < x < ∞
y sean xp < xA < xq números reales. A la izquierda de la caracter´ıstica y = x − xA
la solución uI es uI = f1(xp) + y a lo largo de y = x − xp. A la derecha de la l´ınea
recta y = x − xA la solución uD es uD = f2(xq) + y a lo largo de y = x − xq. Luego
para el mismo valor de y en las dos soluciones se tiene
uI − uD = f1(xp) − f2(xq)
Si nos acercamos por ambos lados a xA, vemos que la cantidad uI −uD es discontinua
a lo largo de y = x − xA cuando
l´ım
xp→xA
f1(xp) = l´ım
xq→xA
f2(xq)
Esto muestra que cuando los valores iniciales son discontinuos en un punto xA en-
tonces la solución es discontinua a lo largo de la caracter´ıstica que pasa por xA.
Además el efecto de esta discontinuidad no disminuye según nos vayamos alejando
de xA a lo largo de la caracter´ıstica. Con las EDP parabólicas y el´ıpticas el efecto
de prescribir una discontinuidad inicial es muy diferente pues tiende a localizarse y
a disminuir rapidamente al aumentar la distancia al punto de discontinuidad.

2.1.11. ∗
Derivadas iniciales discontinuas
Supongamos tener ahora un dato inicial del tipo
u(x, 0) = u0(x) =



0, −∞ < x ≤ 0,
x, 0 < x < ∞.
Evidentemente la función (derivada del dato inicial)
∂u
∂x
(x, 0) =



0, −∞ < x < 0,
1, 0 < x < ∞,
es discontinua en (0, 0). Utilizando la ecuación vemos que también
∂u
∂y
(x, 0)
es discontinua en (0, 0). Por otra parte u(x, 0) es continua en (0, 0). Como antes se
deduce que la solución u a lo largo de la caracter´ıstica y = x − xp que pasa por el
punto (xp, 0) es
u − up = y = x − xp
La solución uI a la izquierda de y = x es
uI = u0(x − y) + y = 0 + y = y, −∞ < x ≤ 0, y ≥ 0
y la solución uD a la derecha de y = x es
uD = u0(x − y) + y = x − y + y = x, 0 < x < ∞, y ≥ 0
Se deduce que uI = uD a lo largo de y = x pero que
∂uI
∂x
= 0,
∂uD
∂x
= 1,
es decir: la solución es continua a lo largo de la caracter´ıstica que pasa por el punto
de discontinuidad pero las discontinuidades iniciales de las derivadas parciales se
propagan con velocidad constante a lo largo de esta caracter´ıstica.
2.1.12. ∗
Las ecuaciones de Pfaff
Si en las secciones anteriores hemos visto la relación existente entre determinar las
l´ıneas vectoriales (y las superficies vectoriales de un campo) y resolver una EDP de
primer orden lineal no homogénea veremos ahora las denominadas ecuaciones de

Pfaff cuya resolución permite determinar la familia de superficies ortogonales a las
l´ıneas vectoriales. En efecto, la ecuación de éstas superficies tiene la forma F ·T = 0,
siendo T un vector contenido en el plano tangente a las superficies buscadas:
T = dxi + dyj + duk = (dx, dy, du)
Si F = Pi + Qj + Rk = (P, Q, R), entonces F · T = (P, Q, R) · (dx, dy, du) nos
conduce a
P(x, y, u)dx + Q(x, y, u)dy + R(x, y, u)du = 0 (29)
Existen dos casos posibles dependiendo de si el campo vectorial F = Pi + Qj + Rk
es potencial o no. En el primer caso (si el campo es potencial) entonces F = S es
decir
P =
∂S
∂x
, Q =
∂S
∂y
, P =
∂S
∂z
y las superficies buscadas son superficies de nivel S(x, y, z) = c de la función po-
tencial S. En este caso, la determinación de éstas no representa dificultad, puesto
que
S =
(x,y,z)
(x0,y0,z0)
Pdx + Qdy + Rdz
donde la integral curvil´ınea se toma por cualquier camino entre el punto escogido
(x0, y0, z0) y el punto con coordenadas variables (x, y, z), por ejemplo por la l´ınea
quebrada compuesta por segmentos de recta paralelos a los ejes coordenados.
Ejemplo 2.5. Sea dada la ecuación de Pfaff
(6x + yz)dx + (xz − 2y)dy + (xy + 2z)dz = 0
Determinar la familia de superficies ortogonales a las l´ıneas vectoriales del campo
asociado.
El campo vectorial asociado es
F = (6x + yz)i + (xz − 2y)j + (xy + 2z)k
luego rotF ≡ 0. Entonces F = S siendo
S =
(x,y,z)
(x0,y0,z0)
Pdx + Qdy + Rdz =
(x,y,z)
(0,0,0)
(6x + yz)dx + (xz − 2y)dy + (xy + 2z)dz

Tomemos como camino de integración una l´ınea quebrada con segmentos paralelos
a los ejes de coordenadas. Integrando obtenemos
S = 3x2
− y2
+ z2
+ xyz
Por tanto la integral buscada será S = c, es decir
3x2
− y2
+ z2
+ xyz = c
Si el campo no es potencial, en ciertos casos se puede escoger un factor escalar
µ(x, y, z) tal que µF = S es potencial.
Ejemplo 2.6. Sea dada la ecuación de Pfaff
dx + e−x
dy = 0
Determinar la familia de superficies ortogonales a las l´ıneas vectoriales del campo
asociado.
El campo vectorial asociado es
F = i + e−x
j = (1, e−x
, 0)
Calculando su rotacional se tiene
rotF = (0, 0, −e−x
) = 0
luego el campo F no deriva de un potencial. Sin embargo si multiplicamos el campo
F por la función escalar µ(x, y, z) = ex
se tiene que el campo
G = µF = ex
i + j = (ex
, 1, 0)
es irrotacional (verificarlo por ejercicio) luego
G = µF = S
es potencial, siendo
S =
(x,y,z)
(x0,y0,z0)
Pdx + Qdy + Rdz =
(x,y,z)
(0,0,0)
ex
dx + dy
Integrando se obtiene
S = ex
+ y
Por tanto la integral buscada será S = c, es decir
ex
+ y = c

Observación 2.1. Observamos que las l´ıneas vectoriales del campo F = (1, e−x
, 0)
son exactamente iguales a las l´ıneas vectoriales del campo G = (ex
, 1, 0) puesto que
verifican la misma ecuación caracter´ıstica:
dx
1
=
dy
e−x
Nótese aqu´ı la relación entre las ecuaciones de Pfaff y las ecuaciones diferenciales
exactas (véase las secciones 2.5, 2.6 del cap´ıtulo 13 del guión de primero). Las
ecuaciones de Pfaff se pueden integrar sólo si el campo vectorial de coeficientes
asociado a la ecuación de Pfaff es potencial o si existe una función (factor integrante
de la ecuación) tal que el producto de esta función escalar por el campo vectorial
es un campo potencial. En estos casos la ecuación de Pfaff es una EDO exacta (o
reducible a una EDO exacta) y es directamente resoluble.
Se puede demostrar que la condición necesaria y suficiente para que exista un
factor integrante µ es que se cumpla la ecuación
F · rotF = 0
(es decir que los vectores F y rotF sean ortogonales). Si esta condición (llamada
condición de integración total) no se cumple, entonces no existe ninguna familia
de superficies S(x, y, z) = c ortogonales a las l´ıneas vectoriales del campo F (x, y, z).
Nótese que en el ejemplo (2.6) la condición F · rotF = 0 se cumple.
Ejemplo 2.7. Dada la ecuación de Pfaff
zdx + (x − y)dy + zydz = 0
se verifica que la condición F · rotF = 0, donde
F = zi + (x − y)j + zyk
no se cumple.
En este caso la ecuación de Pfaff no es integrable directamente y hace falta utilizar
unas técnicas que desbordan los objetivos del curso. Más detalles se pueden encontrar
en el libro de Elsgoltz 25
.
2.2. Introducción progresiva de las EDP hiperbólicas de primer
orden
Se entiende por introducción progresiva la presentación de distintos modelos de
dificultad creciente para el entendimiento del proceso de resolución de EDP de tipo
25
Elsgoltz, L. (1983). Ecuaciones diferenciales y cálculo variacional. III Ed. Editorial Mir.

hiperbólico. Un libro de texto interesante en este sentido es el libro de Strikwerda26
.
Empezaremos considerando la estructura de un problema de valor inicial para una
ecuación en derivada parciales de primer orden lineal o cuasilineal, homogénea o no
homogénea. Extenderemos el análisis al caso de sistemas de EDP de primer orden y
discutiremos el importante papel de las caracter´ısticas en el proceso de resolución de
tales problemas. Tras considerar, en las secciones siguientes, los problemas de con-
torno (en dominios espacialmente acotados), pasaremos al estudio de los problemas
de valor inicial y de contorno, definiendo los conceptos de problemas bien puestos y
problemas mal puestos.
2.2.1. El caso lineal homogéneo con coeficientes constantes
El prototipo de todas las EDP hiperbólicas de primer orden (en particular de las ho-
mogéneas con coeficientes constantes) es la ecuación de onda uni-direccional (cono-
cida también con el nombre de ecuación de advección o de convección):
ut + V ux = 0 (30)
siendo V una constante: V ∈ IR. Los sub´ındices denotan, como siempre, los opera-
dores de derivación parcial ux = ∂u/∂x y ut = ∂u/∂t. Un problema de valores
iniciales consiste en prescribir el comportamiento de u en un instante inicial, t = 0,
digamos u(x, 0) = u0(x), ∀ x ∈ IR y en determinar los valores de u(x, t), ∀ x ∈ IR,
∀ t > 0. Es decir, determinar u(x, t) tal que



∂u
∂t
+ V
∂u
∂x
= 0 0 < x < ∞, t > 0
u(x, 0) = u0(x), 0 < x < ∞, t = 0
(31)
Es fácil comprobar que la solución del problema de valor inicial (31) es:
u(x, t) = u0(x − V t) (32)
Se puede además demostrar (utilizando los resultados de la sección (2.1.4), concre-
tamente el teorema (2.2)) que la solución dada es la única solución del problema de
valor inicial. En efecto, parametrizamos la curva inicial Γ0:
x = f(s) = s, y = g(s) = 0, u = u0(s)
26
Strikwerda J. C., Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations. Chapman &
Hall. International Thomson Publishing. 1989

e identificamos F = (P, Q, R) = (V, 1, 0). Se tiene entonces que
∆ = Qf − Pg = 1 = 0
La fórmula de la solución (32) puede decirnos varias cosas: en primer lugar nos dice
que en cualquier instante la solución es una copia del dato inicial obtenida por sim-
ple traslación hacia la derecha si V > 0 y la izquierda si V < 0. Otra forma de
verlo consiste en observar que la solución depende sólo de ξ = x − V t. Las rectas
del plano (x, t) donde ξ es constante se llaman caracter´ısticas. El parámetro V tiene
las dimensiones de una distancia dividida por el tiempo y se llama la velocidad de
propagación a lo largo de las caracter´ısticas. Es decir que se puede interpretar la
solución como una onda que se propaga con velocidad constante V sin cambiar de
forma a lo largo de la dirección x (de ah´ı el nombre de ecuación de onda unidimen-
sional). Un segundo aspecto relevante de la fórmula u(x, t) = u0(x−V t) es que tiene
sentido aunque u0 no sea diferenciable mientras la ecuación parece tener sentido sólo
si u es diferenciable. En general, se admitirán soluciones discontinuas para las EDP
hiperbólicas27
.
2.2.2. El caso lineal no homogéneo con coeficientes constantes
Para ilustrar con más detalle el concepto de caracter´ıstica consideraremos ahora la
EDP hiperbólica más general:
ut + V ux + bu = f(x, t), (33)
siendo V y b constantes, complementada con la condición inicial u(0, x) = u0(x).
Se trata por tanto de resolver el problema de valor inicial



∂u
∂t
+ V
∂u
∂x
+ bu = f(x, t) 0 < x < ∞, t > 0
u(x, 0) = u0(x), 0 < x < ∞, t = 0
(34)
Si b = 0 y f ≡ 0 recuperamos (31). Un cambio de variables lineal del tipo
τ = t, ξ = x − V t =⇒ t = τ, x = ξ + V τ
junto a
u(x, t) = u(ξ + V τ, τ) = ˜u(ξ, τ)
27
Un ejemplo de solución discontinua es una onda de choque (shock wave), t´ıpica de las ecuaciones
no lineales. Véase la sección dedicada a las soluciones discontinuas.

(las variables ˜u y u representan la misma función pero la tilda es necesaria para
distinguir entre los dos sistemas ((x, t) y (ξ, τ)) de coordenadas para las variables
independientes) permite escribir (33) en la forma



∂˜u
∂τ
+ b˜u = f(ξ + V τ, τ) −V τ < ξ < ∞, τ > 0
˜u(ξ, 0) = u0(ξ), 0 < ξ < ∞, τ = 0
(35)
que es una EDO en τ (aunque ξ sea sólo un parámetro, la función ˜u depende for-
malmente de las dos variables (τ, ξ); de ah´ı el significado del s´ımbolo de derivación
parcial aún cuando se puede considerar la ecuación en el sentido de una EDO) que
se complementa con la condición inicial ˜u(ξ, 0) = u0(ξ). El problema de valor ini-
cial asociado se puede resolver por la fórmula de variación de las constantes (véase
la sección correspondiente de los guiones de primer curso para la deducción de la
fórmula mediante el método de Lagrange):
˜u(ξ, τ) = u0(ξ)e−bτ
+
τ
0
f(ξ + V σ, σ)e−b(τ−σ)
dσ
Volviendo a las variables originales tenemos una representación para la solución dada
por:
u(x, t) = u0(x − V t)e−bt
+
t
0
f(x − V (t − s), s)e−b(t−s)
ds (36)
A partir de (36) se deduce que u(x, t) depende sólo del valor de u0(x) en el punto
x∗
tal que x∗
= x − V t y del valor de f(x, t) en todos los puntos de la caracter´ıstica
que pasa por (x∗
, 0) para 0 ≤ t ≤ t.
Este método de resolución se puede fácilmente extender a ecuaciones del tipo
ut + V ux = f(x, t, u), u(x, 0) = u0(x) (37)
complementadas con u(x, 0) = u0(x). Se puede mostrar (se deja como ejercicio
propuesto) que (37) es equivalente a la familia de P.V.I.:
∂˜u
∂τ
= f(ξ + V τ, τ, ˜u), (38)
con ˜u(ξ, 0) = u0(ξ). La relación entre la solución del problema original (37) y la
solución del problema (38) viene dada por
u(x, t) = ˜u(x − V t, t)
No siempre es posible resolver expl´ıcitamente el problema (38). En tales casos es
necesario acudir a métodos numéricos.

2.3. Sistemas hiperbólicos con coeficientes constantes
Consideraremos sistemas hiperbólicos espacialmente unidimensionales, x = x ∈ IR,
con coeficientes constantes. La variable U es un vector de dimensión d:
U = U(x, t) = (u1(x, t), ..., ud(x, t)) ∈ IRd
, d ≥ 2
Definición 2.3. Un sistema de la forma
Ut + [A]Ux + [B]U = F(x, t) (39)
se dice que es hiperbólico si la matriz [A] es diagonalizable con autovalores reales.
Los autovalores ai de [A] se denominan velocidades caracter´ısticas del sistema.
Recuérdese que si [A] es diagonalizable entonces existe una matriz no singular [P]
tal que [D] = [P−1
][A][P], siendo [D] una matriz diagonal.
En el caso particular de que [B] ≡ 0, definiendo entonces el cambio de variables
W = [P−1
]U se tiene:
Wt + [D]Wx = [P−1
]F(x, t) = G(t, x)
es decir
wi
t + λiwi
x = gi
(t, x), i = 1...d
que es de la forma (33) para las componentes de los vectores W = (w1
, ...wd
),
G = (g1
, ...gd
) y los autovalores λi, i = 1, .., d de la matriz del sistema [A].
Por tanto, cuando [B] ≡ 0 el sistema hiperbólico se reduce a un sistema desacoplado
de ecuaciones hiperbólicas escalares independientes que se resuelven por separado.
Consideraremos esta situación en el siguiente ejemplo, donde supondremos [B] ≡ 0
y F(x, t) ≡ 0 (caso homogéneo).
Ejemplo 2.8. Se considera el PVI dado por el sistema hiperbólico



ut + 2ux + vx = 0
vt + ux + 2vx = 0
y las condiciones iniciales
u(x, 0) = u0(x) =
1 |x| ≤ 1
0 |x| > 1
, v(x, 0) = v0(x) = 0
Encontrar su solución.

Se utiliza la teor´ıa matricial, concretamente la técnica de diagonalización de matrices
cuadradas.
El sistema se puede escribir en la forma


u
v


t
+


2 1
1 2




u
v


x
= 0
siendo U = (u, v). Es decir
Ut + [A]Ux = 0, [A] =


2 1
1 2


Es fácil ver que la matriz [A] (que es simétrica) tiene autovalores
λ1 = 3, λ2 = 1
Los autovectores son µ1 = (1, 1) y µ2 = (1, −1). La matriz es diagonalizable y el
sistema se puede desacoplar mediante el cambio W = [P−1
]U. Nótese que la matriz
[P] viene dada por (escribiendo en columna las componentes de los autovectores µ1
y µ2)
[P] =


1 1
1 −1

 , [P−1
] =




1
2
1
2
1
2
−
1
2




luego


w1
w2

 =




1
2
1
2
1
2
−
1
2






u
v

 =




1
2
(u + v)
1
2
(u − v)




Un simple razonamiento nos confirma que el cambio de coordenadas a efectuar es el
anterior. En efecto, sumando y restando las dos ecuaciones
ut + 2ux + vx = 0, vt + ux + 2vx = 0

el sistema se puede reescribir en la forma
1
2
[(u + v)t + 3(u + v)x] = 0, 0 < x < ∞
1
2
[(u − v)t + (u − v)x] = 0, 0 < x < ∞
y definiendo w1
= u + v, w2
= u − v se tienen los dos PVI para las componentes
(w1
, w2
).



w1
t + 3w1
x = 0
w1
(0, x) =
1
2
u0(x)
,



w2
t + w2
x = 0
w2
(0, x) =
1
2
u0(x)
(40)
donde las condiciones de contorno se deducen observando que v0(x) = 0. La solución
es por tanto
w1
(t, x) = w1
0(x − 3t), w2
(t, x) = w2
0(x − t)
En términos de las componentes originales (u(x, t), v(x, t)) se tiene
u(x, t) = w1
+ w2
=
1
2
[u0(x − 3t) + u0(x − t)]
v(x, t) = w1
− w2
=
1
2
[u0(x − 3t) − u0(x − t)]
En las hipótesis [B] ≡ 0, F(x, t) ≡ 0, el proceso de resolución de un sistema hiperbóli-
co del tipo (39) se puede resumir (utilizando una notación matricial) en los siguientes
pasos:
MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS HOMOGÉNEOS
1. Resolver el sistema hiperbólico Ut + [A]Ux = 0, siendo U = (u, v) un vector y
[A] una matriz cuadrada.
2. Diagonalizar la matriz [A] y obtener la matriz [P] tal que [D] = [P−1
][A][P].
Recuérdese que siempre es posible por definición de sistema hiperbólico.
3. Observar que [A] = [P][D][P−1
] luego debemos resolver
Ut + [A]Ux = Ut + [P][D][P−1
]Ux = 0
de donde se deduce la ecuación matricial
[P]Ut + [D][P]Ux = 0

4. Definir W = [P−1
]U (es decir se utiliza la matriz de paso [P] para obtener las
coordenadas en las cuales [A] es diagonalizable).
5. Resolver el sistema hiperbólico desacoplado Wt + [D]Wx = 0 resolviendo una
por una las ecuaciones hiperbólicas escalares y los PVI asociados.
Si [B] = 0 el sistema es acoplado. El efecto de los términos [B]U puede ser aquel
de generar crecimiento, decaimiento u oscilaciones en la solución pero no modifica
la propiedad cualitativa de propagación a lo largo de las caracter´ısticas t´ıpica de
los problemas hiperbólicos. La definición de sistema hiperbólico para una dimensión
genérica espacial, x = (x1, .., xn) ∈ IRn
, n > 1, se encuentra en el cap. 9 del libro de
Strikwerda.
2.4. Ecuaciones hiperbólicas lineales homogéneas con coefi-
cientes variables
Consideraremos unas ecuaciones hiperbólicas con coeficientes variables para las
cuales la velocidad caracter´ıstica es una función del tiempo y del espacio. En con-
creto, sea dada la ecuación
ut + a(x, t)ux = 0 (41)
complementada con la condición inicial u(x, 0) = u0(x), cuya velocidad de propa-
gación es a(x, t). Tal y como hicimos con la ecuación (33) (coeficientes constantes)
introducimos las variables τ y ξ, siendo t = τ y dejando ξ todav´ıa indeterminada.
Se tiene:
∂˜u
∂τ
=
∂t
∂τ
ut +
∂x
∂τ
ux = ut +
∂x
∂τ
ux
Siguiendo la analog´ıa con el caso de coeficientes constantes, ponemos:
dx
dτ
= a(x, t) = a(x, τ)
que es una EDO para x que nos da la velocidad a lo largo de la caracter´ıstica
a través del punto (x, τ) como a(x, τ). Prescribimos además el valor inicial para
la curva caracter´ıstica que pasa por el punto (x, τ) como ξ (de esta forma queda
determinado el cambio de variables). Luego la ecuación (41) es equivalente al PVI
constituido por el sistema de EDO y las condiciones iniciales



d˜u
dτ
= 0, ˜u(ξ, 0) = u0(ξ)
dx
dτ
= a(x, τ), x(0) = x0 = ξ
(42)

donde ξ es un parámetro que permite recorrer con continuidad las caracter´ısticas de
la EDP (es constante a lo largo de cada caracter´ıstica pero var´ıa pasando de una a
otra).
Tal y como se deduce a partir de la primera ecuación del sistema, u es constante a
lo largo de cada curva caracter´ıstica, pero la caracter´ıstica no tiene por qué ser una
recta (lo ser´ıa si a fuese constante).
Ejemplo 2.9 (Problema de valor inicial). Se considera el PVI



ut + xux = 0
u(x, 0) = u0(x)
siendo la condición inicial
u(x, 0) = u0(x) =
1 0 ≤ x ≤ 1
0 x ∈ [0, 1]
Utilizando (42) se tienen las ecuaciones
d˜u
dτ
= 0,
dx
dτ
= x,
La solución general de la EDO para x(τ) es x(τ) = ceτ
. Puesto que x(0) = ξ se tiene
x(τ) = ξeτ
es decir
ξ = xe−τ
La ecuación para la ˜u muestra que ˜u es independiente de τ y utilizando la condición
inicial se tiene
˜u(τ, ξ) = u0(ξ)
luego
u(x, t) = ˜u(τ, ξ) = u0(ξ) = u0(xe−t
)
y se tiene, para t > 0,
u(x, t) =
1, 0 ≤ x ≤ et
,
0, x ∈ [0, et
].

Observación 2.2. Nótese que el dato inicial del problema, u0(x) es una función
de soporte compacto28
, siendo el soporte el intervalo [0, 1]. Para cada instante de
tiempo fijado, digamos t∗
, también la solución tiene soporte compacto [0, et∗
]. La
solución representa por tanto una propagación del dato inicial a lo largo de las
caracter´ısticas. El soporte se dilata pero sigue siendo compacto para cada instante.
Esta es una propiedad cualitativa t´ıpica de las ecuaciones de tipo hiperbólico.
Ejemplo 2.10 (Problema de valor inicial). Se considera el PVI



ut + xux = u
u(x, 0) = u0(x)
u(x, 0) = u0(x) =
1 0 ≤ x ≤ 1
0 x ∈ [0, 1]
El problema es ahora no homogéneo. Se define u(x, t) = ˜u(ξ, τ) y se aplica la regla
de la cadena para obtener las ecuaciones
d˜u
dτ
= ˜u,
dx
dτ
= x,
La solución general de la EDO para x(τ) es x(τ) = ceτ
. Puesto que x(0) = ξ se tiene
x(τ) = ξeτ
es decir
ξ = xe−τ
La ecuación para la ˜u muestra que
˜u(τ, ξ) = Ceτ
Utilizando la condición inicial
˜u(0, ξ) = u0(ξ) = C
luego ˜u(τ, ξ) = u0(ξ)eτ
y por tanto
u(x, t) = ˜u(τ, ξ) = u0(ξ)eτ
= u0(xe−t
)et
28
Se entiende por ello una función que es idénticamente nula por fuera de un intervalo cerrado
y acotado de la recta real.

y se tiene, para t > 0,
u(x, t) =
et
0 ≤ x ≤ et
0 x ∈ [0, et
]
Nótese finalmente que estos métodos se pueden extender también a ecuaciones no
lineales (cuasilineales) de la forma
ut + a(x, t)ux = f(x, t, u)
Las ecuaciones para las cuales las velocidades caracter´ısticas dependen de u, es decir
con velocidad caracter´ıstica a(t, x, u), por ejemplo las ecuaciones del tipo
ut + a(x, t, u)ux = f(x, t, u)
requieren un cuidado especial pues las curvas caracter´ısticas se pueden intersecar. En
este caso la solución toma valores distintos a lo largo de cada una de las caracter´ısti-
cas luego en el punto de intersección debe haber un salto. Hay una discontinuidad.
Los gradientes de la solución se ponen verticales y tienden al infinito. Se genera un
frente y hay singularidad en las derivadas parciales.
2.5. ∗
Sistemas hiperbólicos con coeficientes variables
Consideraremos en esta sección los sistemas unidimensionales (espacialmente) de
ecuaciones hiperbólicas de primer orden con coeficientes variables. Utilizaremos la
misma notación adoptada en el caso de coeficientes constantes. Las matrices se
entienden ahora como funciones matriciales.
Definición 2.4. El sistema
Ut + [A(x, t)]Ux + [B(x, t)]U = F(x, t)
complementado con la condición inicial U(x, 0) = U0(x) es hiperbólico si existe
una función matricial [P(x, t)] tal que
[P−1
(x, t)][A(x, t)][P(x, t)] = [D(x, t)] =








a1(x, t) 0
·
·
·
0 ad(x, t)








es diagonal, con autovalores reales y las normas matriciales de [P(x, t)], [P−1
(x, t)]
están acotadas en x y t para x ∈ IR, t ≥ 0.

Las curvas caracter´ısticas del sistema vienen dadas por las soluciones de las EDO:
dxi
dt
= ai(x, t), xi
(0) = ξi
, i = 1, .., d
Definiendo W = [P−1
(x, t)]U obtenemos el sistema para la W
Wt + [D(x, t)]Wx = [P−1
(x, t)]F(x, t) + [G(x, t)]W
siendo [G] = −[P]−1
([P]t + [A][P]x − [B][P]).
2.6. ∗
Problemas de valor inicial y de contorno para una
EDP de primer orden con coeficientes constantes
Consideraremos ahora EDP hiperbólicas de primer orden en un intervalo finito en
lugar de en toda la recta real. La mayor´ıa de las aplicaciones de las EDP se plantean
en dominios con una frontera y es muy importante prescribir correctamente los datos
del problema a lo largo de la frontera, es decir las condiciones de contorno. El
problema de determinar una solución de una ecuación diferencial cuando se prescri-
ben datos iniciales y datos en el contorno se llama un problema de valor inicial
y de contorno. El análisis de este tipo de problemas mostrará nuevamente la
importancia del concepto de caracter´ıstica.
En esta sección consideraremos los problemas de valor inicial y de contorno para
EDP de primer orden (hiperbólicas) en una dimensión espacial.
Se considera la ecuación de onda unidimensional
ut + V ux = 0, 0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0 (43)
Si V > 0 las caracter´ısticas en esta región son l´ıneas rectas que se propagan de
izquierda a derecha. Podemos prescribir la solución en la frontera x = 0, junto a
una condición inicial, para que la solución esté definida ∀ t ≥ 0. Por otra parte
no podemos prefijar arbitrariamente la función en la otra frontera (x = 1) pues la
solución podr´ıa estar sobre determinada (es decir podr´ıa no existir una solución que
cumpla todas las condiciones impuestas).
Si especificamos un dato inicial
u(x, 0) = u0(x)
y un dato de contorno

u(0, t) = g(t)
entonces la solución del problema de valor inicial y de contorno constituido por la
ecuación (43) y las condiciones l´ımite anteriores es
u(x, t) =
u0(x − V t) x − V t > 0
g(t − V −1
x) x − V t < 0
A lo largo de la caracter´ıstica dada por x−V t = 0 tendremos una discontinuidad de
salto en u si u0(x = 0) = g(t = 0). Si V < 0 el papel de las dos fronteras se invierte
y el análisis es similar.
Ejemplo 2.11. Calcular la solución de la ecuación
∂u
∂t
+
∂u
∂x
= 0, 0 < x < ∞, t > 0
complementada con la condición de contorno
u(0, t) = g(t) = 2t, t > 0
y la condición inicial
u(x, 0) = u0(x) =
x(x − 2) 0 ≤ x ≤ 2
2(x − 2) x ≥ 2
Puesto que V ≡ 1 se tiene que la solución es
u(x, t) =
u0(x − t) x − t > 0
g(t − x) x − t < 0
Nótese que en el origen (x, t) = (0, 0) se tiene u0(0) = g(0) y no hay discontinuidad de
salto. Expl´ıcitamente (utilizando los datos del problema) la expresión de la solución
es
u(x, t) =



(x − t)(x − t − 2) 0 < x − t ≤ 2
2(x − t − 2) x − t ≥ 2
x − t > 0
2(t − x) x − t < 0
Veamos el porqué. El sistema auxiliar es
dt = dx =
du
0

luego u es constante a lo largo de la l´ınea recta caracter´ıstica t = x + C. Por tanto
la ecuación de la caracter´ıstica que pasa por el punto (x0, 0) del eje x es t = x − x0
y si u(x, 0) = u0(x) entonces la solución a lo largo de esta caracter´ıstica es
u(x, t) = u0(x0) = u0(x − t)
Además, puesto que el dato inicial viene dado en 0 < x < ∞, se tiene que u0(s)
está definida para s > 0 luego la expresión anterior de la solución es válida sólo en
la región tal que s = x − t > 0. De manera análoga, si u(0, t) = g(t), la solución a
lo largo de la caracter´ıstica t − t0 = x que pasa por el punto (0, t0) es
u(x, t) = g(t0) = g(t − x)
Puesto que el dato de contorno viene dado para t > 0, se tiene que g(s) está definida
para s > 0 luego la expresión anterior de la solución es válida sólo en la región tal
que s = t − x > 0. Juntando las dos expresiones se tiene
u(x, t) =
u0(x − t) x − t > 0
g(t − x) x − t < 0
2.6.1. ∗
Problemas de valor inicial y de contorno para sistemas de primer
orden con coeficientes constantes
Consideremos ahora el sistema hiperbólico


u1
u2


t
+


a b
b a




u1
u2


x
= 0, 0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0 (44)
Los autovalores (o velocidades caracter´ısticas) del sistema son
λ1 = a + b, λ2 = a − b
Considereremos sólo el caso donde a y b son positivos. Si 0 < b < a, entonces los
autovalores son ambos positivos y las dos familias de caracter´ısticas se propagan de
izquierda a derecha. Esto significa que la solución (vector) U = (u1
, u2
)T
se debe
prefijar en x = 0 y ningún dato se debe especificar en x = 1. Nótese que la pendiente
de las caracter´ısticas es el inverso de la velocidad (a−1
), luego las caracter´ısticas más
lentas serán aquellas con mayor pendiente. El caso más interesante se da cuando
0 < a < b. Los autovalores son de signo contrario y las familias de caracter´ısticas se
propagan en direcciones opuestas. Escribimos el sistema en la forma



u1
+ u2
u1
− u2


t
+


a + b 0
0 a − b




u1
+ u2
u1
− u2


x
= 0,
donde las ecuaciones se tienen que verificar para 0 ≤ x ≤ 1 y t ≥ 0. Ciertamente
una forma de determinar una única solución consiste en prescribir u1
+ u2
en x = 0
y prescribir u1
− u2
en x = 1. Sin embargo existen otras posibilidades. Por ejemplo,
cualquier condición de la forma
u1
+ u2
= α0(u1
− u2
) + β0(t) en x = 0
u1
− u2
= α1(u1
+ u2
) + β1(t) en x = 1
(45)
determinará (únicamente) la solución del problema. Los coeficientes α0, α1 pueden
ser funciones de t o constantes. Las condiciones de contorno que determinan una
única solución se dicen bien puestas y el problema se dice bien planteado. Las
condiciones (45) están bien puestas para el sistema (44). Además son las únicas
condiciones bien puestas posibles para el sistema (44). Las condiciones de contorno
(45) expresan el valor de las variables caracter´ısticas en la caracter´ıstica entrante29
en términos de la variable caracter´ıstica saliente. Por tanto, si especificamos u1
o u2
en x = 0 el problema está bien planteado y las condiciones bien puestas. Especificar
u1
o u2
en x = 1 también genera un problema bien planteado con condiciones bien
puestas. Sin embargo, especificar u1
− u2
en x = 0 o especificar u1
+ u2
en x = 1
origina un problema mal planteado pues las condiciones están mal puestas.
Para que un problema hiperbólico de valores iniciales y de contorno esté bien puesto,
el número de condiciones de contorno debe ser igual al número de caracter´ısticas
entrantes en el dominio.
Ejemplo 2.12. Considérese el sistema hiperbólico (44) en el intervalo [0, 1], con
a = 0 y b = 1 y las condiciones de contorno u1
(0, t) = 0 (en la frontera lateral
izquierda) y u1
(1, t) = 1 (en la frontera lateral derecha). Determinar su solución
siendo u1
(x, 0) = x y u2
(x, 0) = 1 los datos iniciales.
Las condiciones de contorno están bien puestas pues son del tipo (45) para los valores
paramétricos α0 = −1, α1 = −1 y las funciones β0(t) ≡ 0, β1(t) ≡ 2.
Los autovalores (o velocidades caracter´ısticas) del sistema son
λ1 = a + b = 1, λ2 = a − b = −1
29
Por caracter´ıstica entrante se entiende una caracter´ıstica que entra en el dominio en la frontera
considerada. Una caracter´ıstica saliente es una que deja el dominio.

Escribimos el sistema en la forma


u1
+ u2
u1
− u2


t
+


1 0
0 −1




u1
+ u2
u1
− u2


x
= 0,
donde las ecuaciones se tienen que verificar para 0 ≤ x ≤ 1 y t ≥ 0. Introduciendo,
como antes, las componentes w1
=
1
2
(u1
+ u2
) y w2
=
1
2
(u1
− u2
) se tiene


w1
w2


t
+


1 0
0 −1




w1
w2


x
= 0,
y nos hemos reconducido a resolver los dos PVI para las componentes (w1
, w2
)



w1
t + w1
x = 0
w1
(x, 0) =
1
2
(u1
0(x) + u2
0(x)) =
1
2
(x + 1)



w2
t − w2
x = 0
w2
(x, 0) =
1
2
(u1
0(x) − u2
0(x)) =
1
2
(x − 1)
(46)
donde las condiciones de contorno se deducen a partir de los datos del problema. La
solución es por tanto
w1
(x, t) = w1
0(x − t) =
1
2
(x − t + 1), w2
(x, t) = w2
0(x + t) =
1
2
(x + t − 1)
En términos de las componentes originales (u(x, t), v(x, t)) se tiene
u1
(x, t) = w1
+ w2
= w1
0(x − t) + w2
0(x + t) = x
u2
(x, t) = w1
− w2
= w1
0(x − t) − w2
0(x + t)] = 1 − t
Se comprueba directamente que las condiciones de contorno para la componente u1
en las fronteras laterales están satisfechas.
2.6.2. ∗
Problemas periódicos
Es posible considerar también problemas periódicos. Por ejemplo, supongamos
que se quiera resolver la ecuación de onda unidimensional en el intervalo [0, 1], donde
la solución satisface
u(0, t) = u(1, t), ∀ t ≥ 0

Esta condición se llama condición de contorno periódica. Un problema periódico
para una función u(x, t) con x ∈ [0, 1] es equivalente a un problema en la recta real
sustituyendo la condición anterior por
u(x, t) = u(x + p, t), ∀ t ≥ 0, ∀ p entero
Nótese que, hablando con rigor, una condición de tipo periódico no es una condición
de contorno puesto que para las soluciones de los problemas periódicos no existe
frontera (o contorno). No se aplican por tanto los comentarios hechos sobre las
condiciones de contorno bien (y mal) puestas.
2.7. ∗
Sistemas de leyes de conservación: la notación de o-
peradores
En esta sección presentamos la forma general de un sistema de leyes de conservación
en varias variables espaciales y daremos un ejemplo importante que aparece en la
f´ısica matemática al describir la dinámica de gases.
Sea Ω una región abierta de IRn
y sean fj, 1 ≤ j ≤ d funciones de clase C1
tales
que fj : Ω ⊂ IRn
→ IRn
, es decir: sean dadas d funciones vectoriales de n variables
suficientemente regulares para que esté bién definido y sea continuo el gradiente de
cada una de ellas. Consideraremos el sistema de n ecuaciones de conservación dado
por
∂u
∂t
+
d
j=1
∂fj
∂xj
(u) = 0 (47)
para x = (x1, ..., xd) ∈ IRd
y t > 0, y donde u = (u1, ..., un) es un campo vectorial
u : IRd
×(0, +∞) → Ω. El sistema (47) se puede escribir en la forma de divergencia
ut + divf(u) = 0
siendo f una función matricial con valores en Mnd. El conjunto Ω se llama el con-
junto de estados (del sistema). Las funciones fj = (f1j, ..., fnj) (es decir las com-
ponentes vectoriales de la función matricial) se llaman las funciones de flujo.
Formalmente el sistema (47) expresa la conservación de las cantidades u1, ..., un. En
efecto, sea D un dominio arbitrario de IRd
y sea n = (n1, ..., nd) el vector normal
unitario exterior a la frontera ∂D de D. Entonces integrando la ecuación (47) en
D ⊂ IRd
y aplicando el teorema de la divergencia (en el caso d-dimensional) se tiene
d
dt D
udx +
d
j=1 ∂D
fj(u)njdS = 0

Esta ecuación de equilibrio (balance) tiene un significado muy natural: la variación
de
D
udx, representada por
d
dt D
udx
es igual a las pérdidas a través de la frontera:
d
j=1 ∂D
fj(u)njdS
Caracterizaremos ahora los sistemas estr´ıctamente hiperbólicos30
. Para ello se calcula
la matriz jacobiana de cada función de flujo fj(u) dada por
[Aj(u)] =
∂fij
∂uk
(u)
1≤i,k≤n
El sistema (47) se dice hiperbólico si, ∀ u ∈ Ω y cada w = (w1, ..., wd) la matriz
[A(u, w)] =
d
j=1
wjAj(u)
tiene n autovalores reales
λ1(u, w) ≤ λ2(u, w) ≤ .......... ≤ λn(u, w) ≤ ...
y n correspondientes autovectores linealmente independientes
r1(u, w), r2(u, w), ........ , rn(u, w)
Si además los autovalores son todos distintos entonces el sistema (47) se denomina
estr´ıctamente hiperbólico. Definimos finalmente el problema de Cauchy para
sistemas de leyes de conservación.
Definición 2.5 (Problema de Cauchy). Determinar una función
u : IRd
× [0, +∞) → Ω, u = u(x, t) ∈ Ω
que satisfaga la ecuación (47) y la condición inicial
u(x, 0) = u0(x), x ∈ IRd
siendo u0 : IRd
→ Ω una función dada.
30
Nótese que la mayor´ıa de los sistemas de leyes de conservación que aparecen en las aplica-
ciones son hiperbólicos. Más exactamente, son simetrizables y esto implica que son hiperbólicos.
La simetrizabilidad se debe a la existencia de una función de entrop´ıa. Más detalles se pueden
encontrar en el libro de Godlewski y Raviart que aparece en la bibliograf´ıa avanzada.

Como aplicación de lo anterior consideraremos ahora las ecuaciones de las dinámicas
de los gases en coordenadas eulerianas31
(x, t) = (x1, x2, x3, t). Lo que haremos
será escribir estas ecuaciones en la forma de una única ecuación de conservación del
tipo (47).
Ejemplo 2.13. Un ejemplo muy importante en las aplicaciones es el sistema de
ecuaciones que gobierna la dinámica de los gases. Despreciando la conducción de
calor, las ecuaciones de Euler para un fluido compresible no viscoso (un gas) son



∂ρ
∂t
+
3
i=1
∂
∂xj
(ρvj) = 0
∂
∂t
(ρvi) +
3
i=1
∂
∂xj
(ρvivj + pδij) = 0, 1 ≤ i ≤ 3
∂
∂t
(ρe) +
3
i=1
∂
∂xj
((ρe + p)vj) = 0
(48)
siendo ρ la densidad del fluido, v = (v1, v2, v3) la velocidad, p la presión, la energ´ıa
interna espec´ıfica (por unidad de masa), e = + u /2 la energ´ıa total espec´ıfica y
δij el s´ımbolo de Kronecker: δij = 1 si i = j, δij = 0 si i = j.
Las ecuaciones (48) expresan las leyes de conservación de la masa, del momento y de
la energ´ıa total del fluido. Se tienen que complementar con una ecuación de estado
(que caracteriza el gas estudiado) que suele ser del tipo
p = p(ρ, ) (49)
Las ecuaciones (48) y (49) constituyen un sistema de 5 + 1 = 6 ecuaciones en las
6 variables (ρ, v1, v2, v3, p, ). En el caso de un gas ideal politrópico la ecuación de
estado ser´ıa por ejemplo p = (γ −1)ρ , siendo γ > 1. Si definimos mi = ρvi, i = 1.,3,
E = ρe el sistema (48) se puede escribir en la forma de una única ecuación vectorial
del tipo (47):
∂Φ
∂t
+
d
j=1
∂fj
∂xj
(Φ) = 0
31
Utilizar coordenadas eulerianas consiste en dar una descripción espacial de la región consider-
ada. Se centra as´ı la atención en los puntos del espacio en lugar de seguir la evolución temporal de
las pat´ıculas que componen la distribución de masas inicial del sistema (lo que equivaldr´ıa a una
descripción lagrangiana (o material)).

3. Ecuaciones lineales de segundo orden 73
siendo la incógnita dada por el campo vectorial
Φ =









ρ
m1
m2
m3
E









,
las funciones de flujo dadas por
f1(Φ) =









m1
p + m2
1/2
m1m2/ρ
m1m3/ρ
(E + p)m1/ρ









, f2(Φ) =









m2
m1m2/ρ
p + m2
2/ρ
m2m3/ρ
(E + p)m2/ρ









, f3(Φ) =









m3
m1m3/ρ
m2m3/ρ
p + m2
3/ρ
(E + p)m3/ρ









,
la ecuación de estado
p = p(ρ, (E − |m|2
/2ρ)/ρ) = (γ − 1)(E − |m|2
/2ρ)
y el conjunto de estados
Ω = {(ρ, m = (m1, m2, m3), E) / ρ > 0, m ∈ IR3
, E − |m|2
/2ρ > 0}
donde aparecen las condiciones de admisibilidad f´ısica de las soluciones del problema.
3. Ecuaciones lineales de segundo orden
La forma general de una ecuación diferencial en derivadas parciales lineal de segundo
orden con dos variables independientes x, y es
A(x, y)
∂2
u
∂x2
+B(x, y)
∂2
u
∂x∂y
+C(x, y)
∂2
u
∂y2
+a(x, y)
∂u
∂x
+b(x, y)
∂u
∂y
+c(x, y)u = f(x, y)
(50)
siendo A, B, C, a, b, c, f funciones reales. Si las funciones A, B, C son idénticamente
nulas, es decir A(x, y) = B(x, y) = C(x, y) ≡ 0 en un dominio Ω ⊂ IR2
entonces
la ecuación es de primer orden y se estudia con las técnicas expuestas en las dos
primeras secciones de este tema. Si f(x, y) ≡ 0 en Ω entonces la ecuación se dice
que es homogénea, y en caso contrario, no homogénea. Al designar el primer

miembro de (50) por L[u] (notación de operadores) se puede escribir de forma más
compacta la ecuación (50) como:
L[u] = f(x, y)
siendo la ecuación homogénea correspondiente L[u] = 0. Aqu´ı L es el operador
diferencial lineal definido en el espacio C2
(D) mediante la función u(x, y). Con más
precisión, se define el operador L[·] : C2
(D) → C(D) por
L[u] = A(x, y)
∂2
∂x2
+ B(x, y)
∂2
∂x∂y
+ C(x, y)
∂2
∂y2
+ a(x, y)
∂
∂x
+ b(x, y)
∂
∂y
+ c(x, y) [u]
El operador L es, evidentemente, lineal pues verifica
L[αu + βv] = αL[u] + βL[v], ∀ u, v ∈ C2
(Ω), ∀ α, β ∈ IR
Observación 3.1. Nótese que no todos los operadores son lineales. Por ejemplo, el
operador L tal que
L[u]
.
=
∂u
∂x
2
+
∂u
∂y
2
no lo es. En realidad, muchos problemas f´ısicos implican operadores no lineales. Las
hipótesis de simplificación que se suelen hacer al considerar un modelo matemático
de la realidad f´ısica están dirigidas a sustituir un operador no lineal por uno lineal.
Esto es t´ıpico, en el sentido de que es posible aproximar las soluciones de muchos
problemas sustituyendo operadores no lineales por otros lineales. En el tratamiento
anal´ıtico exacto desarrollado en este curso nos referiremos tan sólo a tales casos. El
mundo no lineal será considerado en el cap´ıtulo dedicado a la aproximación numéri-
ca.
Ya sabemos (véase el tema de EDO del primer curso) que si una EDO es lineal y
homogénea entonces a partir de soluciones conocidas es posible generar otras solu-
ciones por superposición. Para una EDP lineal homogénea la situación es parecida.
En efecto, utilizando la linealidad del operador L, se tienen las siguientes propiedades
de las soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales:
PROPIEDADES
1. Caso homogéneo.

Teorema 3.1. Si u(x, y) es una solución de la ecuación en derivadas parciales
lineal homogénea
L[u] = 0
entonces cu(x, y) (donde c es una constante cualquiera) es también solución
de L[u] = 0.
Teorema 3.2. Si u1(x, y) y u2(x, y) son soluciones de la ecuación en derivadas
parciales lineal homogénea
L[u] = 0
entonces la suma u1(x, y) + u2(x, y) es también solución de L[u] = 0.
Los teoremas anteriores se resumen diciendo que el conjunto de soluciones de
una EDP lineal homogénea es un espacio vectorial. De otra forma, si cada una
de las funciones u1(x, y), u2(x, y), ... uk(x, y) es solución de la ecuación lineal
homogénea L[u] = 0 entonces la combinación lineal
c1u1(x, y) + c2u2(x, y) + .... + ckuk(x, y)
donde ci, i = 1, ...k son constantes reales arbitrarias, también es solución de
esta ecuación. Nótese que esta propiedad tiene lugar también para las EDO
lineales homogéneas (véase la definición de sistema fundamental de soluciones
para una EDO lineal homogénea de orden n de la sección 3 del cap´ıtulo 13
del guión del primer curso). Sin embargo una EDO lineal homogénea de orden
n tiene exactamente n familias de soluciones (un número finito por tanto)
linealmente independientes (cuya combinación lineal genera la solución general
de la EDO). Una EDP lineal homogénea puede tener un conjunto infinito de
soluciones linealmente independientes. Consecuentemente para EDP lineales
homogéneas tendremos que operar no sólo con combinaciones lineales de un
número finito de soluciones, sino también con las series infinitas32
∞
n=1
cnun(x, y)
Es decir, el conjunto de soluciones de una EDP del tipo (50) es un espacio
lineal (vectorial) de dimensión infinita contrariamente a lo que ocurr´ıa con las
EDO de orden n cuyo espacio de soluciones tiene dimensión n.
2. Caso no homogéneo.
Teorema 3.3. Si u(x, y) es solución de la EDP lineal no homogénea
L[u] = f
32
Nos encontraremos con este tipo de soluciones, en forma de series infinitas, al resolver las EDP
con el método de separación de variables (tema 2 de este guión).

y v(x, y) es solución de la EDP homogénea correspondiente
L[u] = 0,
entonces la suma u + v es solución de la EDP no homogénea L[u] = f.
Se tiene además el siguiente resultado conocido con el nombre de Principio
de superposición.
Teorema 3.4. Si u1(x, y) es una solución de la ecuación
L[u] = f1
y u2(x, y) es una solución de
L[u] = f2
entonces u1 + u2 es solución de la ecuación L[u] = f1 + f2.
En el próximo tema veremos que el principio de superposición tiene una gran apli-
cación en el proceso de resolución de los problemas de contorno y/o iniciales para
EDP lineales de segundo orden.
3.1. Ecuaciones de segundo orden: curvas caracter´ısticas y
clasificación
Sea dada la ecuación diferencial lineal general de segundo orden (50):
A(x, y)
∂2
u
∂x2
+B(x, y)
∂2
u
∂x∂y
+C(x, y)
∂2
u
∂y2
+a(x, y)
∂u
∂x
+b(x, y)
∂u
∂y
+c(x, y)u = f(x, y)
en cierta región Ω ⊂ IR2
. Esta ecuación, en un punto (x, y), se denomina hiperbólica,
parabólica o el´ıptica según el siguiente criterio:

CRITERIO DE CLASIFICACIÓN
1. La ecuación (50) es hiperbólica en Ω si:
∆ = B2
− 4AC > 0 en Ω.
2. La ecuación (50) es parabólica en Ω si:
∆ = B2
− 4AC ≡ 0 en Ω.
3. La ecuación (50) es el´ıptica en Ω si:
∆ = B2
− 4AC < 0 en Ω.
Nótese que las funciones coeficientes a, b y c de los términos de primer orden no
aparecen en absoluto en el criterio de clasificación. Esto se interpreta diciendo que los
términos de primer orden no pueden modificar la naturaleza de una ecuación lineal
de segundo orden. Es decir, los términos de primer orden influyen cuantitativamente
pero no cualitativamente en las soluciones de la ecuación.
A partir del tipo de ecuación considerado se pueden deducir importantes propiedades
que sugieren no sólo qué métodos de resolución son adecuados sino también criterios
para determinar si un problemas está bien planteado o no.
Los conceptos de hiperbolicidad, parabolicidad y elipticidad son locales, es decir,
se tienen en un punto concreto (x0, y0). El conjunto de los puntos donde se tienen
estas propiedades son las regiones donde la ecuación (o el operador diferencial que
la define) es hiperbólica, parabólica y el´ıptica.
Ejemplo 3.1. Clasificar la ecuación de Tricomi
uxx + xuyy = 0.
Se trata evidentemente de una EDP de segundo orden lineal y homogénea. Identifi-
cando coeficientes se tiene
A(x, y) ≡ 1, B(x, y) ≡ 0, C(x, y) = x
Por tanto, B2
−4AC = −4x, luego la ecuación es hiperbólica si x < 0 y es el´ıptica si
x > 0. Si x = 0 (en el eje y) la ecuación es degenerada, pues cambia de tipo pasando
de EDP a EDO (paramétrica).
Observación 3.2. Los términos hiperbólico, parabólico y el´ıptico derivan de la clasi-
ficación t´ıpica (de la geometr´ıa anal´ıtica) de las curvas cuadráticas (cónicas).

Formas canónicas
Haciendo unos cambios adecuados en las variables independientes,
ξ = f(x, y), η = g(x, y), f, g ∈ C2
y aplicando la regla de la cadena obtenemos las siguientes formas canónicas:
1. La ecuación (50) es hiperbólica en Ω si se puede reconducir a una de las dos
siguientes expresiones:
∂2
u
∂ξ∂η
= F ξ, η, u,
∂u
∂ξ
,
∂u
∂η
,
∂2
u
∂ξ2 −
∂2
u
∂η2
= Φ ξ, η, u,
∂u
∂ξ
,
∂u
∂η
(son dos formas canónicas de las ecuaciones de tipo hiperbólico de segundo
orden). Las curvas (coordenadas) (ξ, η) se llaman caracter´ısticas. En el caso
hiperbólico lineal uni-dimensional con coeficientes constantes hay exactamente
dos curvas (rectas) caracter´ısticas dadas por
ξ = y − α−x, η = y − α+x
donde las pendientes α± vienen dadas por:
α± =
1
2A
−B ±
√
B2 − 4AC
Las formas canónicas son:
uξη + auξ + buη + cu + d = 0,
y (definiendo σ = (ξ + η)/2, τ = (ξ − η)/2)
uσσ − uττ + (a + b)uσ + (a − b)uτ + cu + d = 0
El prototipo de EDP de segundo orden hiperbólica es la ecuación de ondas
utt = c2
∆u. En el caso unidimensional se expresa en la forma utt = c2
uxx.
La ecuación de ondas se puede resolver fácilmente introduciendo las nuevas
coordenadas (las caracter´ısticas)
ξ = x + ct, η = x − ct
y aplicando la regla de la cadena a través de la cual se deduce la simple ecuación
∂2
u
∂ξ∂η
= 0
Esta ecuación se satisface si y sólo si
u(ξ, η) = p(ξ) + q(η)

es decir,
u(x, t) = p(x + ct) + q(x − ct)
donde p y q son funciones derivables cualesquiera de una variable. En conse-
cuencia si u es solución de la ecuación de ondas tiene que ser del tipo anterior.
La fórmula anterior es la integral general de la ecuación de onda unidimen-
sional. D’ Alembert la encontró en 1747. Esta ecuación nos dice que toda
solución es la suma de una onda que se desplaza hacia la izquierda con veloci-
dad −c y de otra que lo hace hacia la derecha con velocidad +c. Puesto que
las ondas se desplazan en direcciones opuestas, la forma de u(x, t) en general
cambiará con el tiempo. Esta interpretación originó el nombre de ecuación de
ondas. Resolver un problema de valores iniciales y de contorno concreto cor-
responderá a determinar las funciones p y q adecuadas. Una referencia clásica
muy clara es el libro de Weimberger, cap´ıtulo 2, dedicado a la ecuación de on-
das unidimensional. Como en el caso de las EDP de primer orden se admiten
soluciones discontinuas (es decir débiles o generalizadas) y las discontinuidades
se propagan a lo largo de las caracter´ısticas.
2. La ecuación (50) es parabólica en Ω si:
∂2
u
∂η2
= Φ ξ, η, u,
∂u
∂ξ
,
∂u
∂η
En este caso existe sólo una familia de caracter´ısticas reales con pendiente
α = α1 = α2 =
B
2A
.
En el caso unidimensional lineal de coeficientes constantes la forma canónica
es:
uηη + auξ + buη + cu + d = 0,
El prototipo de EDP de segundo orden parabólica es la ecuación del calor
ut = k∆u. En el caso unidimensional se expresa en la forma ut = kuxx. Nos
ocuparemos de ella más tarde.
3. La ecuación (50) es el´ıptica en Ω si:
∂2
u
∂ξ2 +
∂2
u
∂η2
= Φ ξ, η, u,
∂u
∂ξ
,
∂u
∂η
En este caso B2
− 4AC < 0 luego las ra´ıces α1, α2 son complejas y no existen
caracter´ısticas reales. En el caso bi-dimensional con coeficientes constantes si

definimos σ = (ξ + η)/2, τ = (ξ − η)/2i se tiene la forma canónica para
ecuaciones el´ıpticas:
uσσ + uττ + (a + b)uσ + (a − b)uτ + cu + d = 0
El prototipo de EDP de segundo orden el´ıptica es la ecuación de Laplace
∆u = 0. En el caso bidimensional se expresa en la forma uxx + uyy = 0. Este
tipo de ecuación será abordada más adelante.
Los razonamientos anteriores puden ser generalizados al caso de coeficientes vari-
ables. A diferencia del caso con coeficientes constantes, pueden existir caracter´ısticas
reales sólo en una parte del dominio de interés. Las ecuaciones pueden cambiar de
tipo de una región a otra. Esto ocurre, por ejemplo, en dinámica de gases (transonic
gas dynamics). En el libro de Mei, pag 28, puden encontrarse más detalles.
Resumimos lo anterior considerando el operador
L[u]
.
= A
∂2
u
∂t2
+ B
∂2
u
∂x∂t
+ C
∂2
u
∂x2
siendo A, B, C constantes dadas. Nos concentramos por tanto en la parte de segundo
orden del operador lineal general de segundo orden (pues es la parte que gobierna el
proceso de clasificación). Utilizaremos además variables (x, t) t´ıpicas de los proble-
mas de evolución (parabólicos e hiperbólicos). Podemos entonces transformar L[u]
en un múltiplo de
∂2
u
∂ξ∂η
si y sólo si
B2
− 4AC > 0
Siempre que esto se cumple, L es hiperbólico. La transformación en este caso viene
dada por
ξ = 2Ax + [−B +
√
B2 − 4AC]t, η = 2Ax + [−B −
√
B2 − 4AC]t
y el operador se transforma en
L[u] = −4A(B2
− 4AC)
∂2
u
∂ξ∂η
El caso A = 0 (y C = 0) puede tratarse del mismo modo, con ξ = t, η = x−(C/B)t.
El caso A = C = 0 es trivial puesto que el operador ya es de la forma buscada.
Si B2
− 4AC = 0 se dice que L es parabólico. En este caso la transformación
ξ = 2Ax − Bt, η = t

transforma L[u] en
L[u] = A
∂2
u
∂η2
que es la forma corriente para un operador parabólico. La solución general de L[u] =
0 es ahora
p(ξ) + ηq(ξ)
Esta solución puede interpretarse como una onda de forma fija que se mueve con
velocidad B/2A junto con otra que crece linealmente con el tiempo y se mueve con
la misma velocidad. Un operador parabólico tiene sólo una familia de caracter´ısticas
ξ = C (constantes). Las discontinuidades de las derivadas se propagan a lo largo de
estas caracter´ısticas.
Finalmente, si B2
− 4AC < 0, el operador L es el´ıptico. El prototipo de operador
el´ıptico es
∂2
u
∂ξ2 +
∂2
u
∂η2
No tiene caracter´ısticas. Sin embargo, la transformación
ξ =
2Ax − Bt
√
4AC − B2
, η = t
hace
L[u] = A
∂2
u
∂ξ2 +
∂2
u
∂η2
.
En la forma L[u] = 0 se tiene la ecuación de Laplace. Las derivadas parciales de una
solución de la ecuación de Laplace no presentan discontinuidades.
Un gran número de problemas f´ısicos puede reducirse a una o varias de las ecuaciones
anteriores.
Observación 3.3. Cuando el número n de variables independientes es superior a
dos, también se diferencian las ecuaciones de tipo hiperbólico, parabólico y el´ıptico.
Finalmente observamos que no existe relación entre la clasificación de las EDP de
segundo orden y las de primer orden ya que éstas últimas son todas hiperbólicas y el
criterio las clasificar´ıa (poniendo A = B = C ≡ 0), erróneamente, como parabólicas.
Sin embargo s´ı existe relación entre las ecuaciones lineales hiperbólicas de primer
y segundo orden. Esta relación atañe las propiedades cualitativas de las soluciones.
Por ejemplo, la propiedad de propagación con velocidad finita de las perturbaciones
(el dato inicial). Este fenómeno (véase la observación referente la existencia de
soluciones de soporte compacto para EDP de primer orden) no puede ocurrir en las
ecuaciones lineales parabólicas en las cuales la velocidad de propagación es infinita,

entendiendo por ello que si el dato inicial tiene soporte compacto la solución se
propaga instantáneamente a todo el dominio (es decir se difunde en todo el espacio).
3.2. Problemas de contorno
Para describir completamente uno u otro proceso f´ısico no basta con tener sólo
la ecuación diferencial que rige el proceso, hace falta plantear el estado inicial de
este proceso (condiciones iniciales para problemas de evolución) y el régimen en la
frontera ∂Ω de la región Ω donde tiene lugar el proceso. Se distinguen dos tipos
principales de problemas de contorno para EDP:
1. Problemas de contorno para ecuaciones de tipo el´ıptico. Se trata de problemas
estacionarios donde se plantean las condiciones en la frontera ∂Ω y no hay
condiciones iniciales.
2. Problemas de contorno y de valores iniciales para ecuaciones en derivadas
parciales en dominios acotados. Se trata de problemas de evolución para ecua-
ciones de tipo hiperbólico o parabólico donde se plantean condiciones iniciales
y de contorno en dominios acotados Ω ⊂ IRn
, |Ω|
.
= diam Ω < ∞.
Empezando por el caso más sencillo consideramos la ecuación parabólica de con-
ductibilidad térmica unidimensional, conocida con el nombre de ecuación del calor:
∂u
∂t
= k
∂2
u
∂x2
, 0 < x < 1, t > 0 (51)
siendo k > 0 la conductividad térmica del medio conductor (supuesto homogéneo)
considerado. Complementamos la ecuación (51) con una condición inicial (nótese
que el orden de derivación temporal de la EDP es uno)
u(x, 0) = f(x), 0 < x < 1 (52)
y con condiciones de contorno en las fronteras laterales del dominio. Por ejemplo
(detallaremos en la siguiente sección los distintos tipos de condiciones de contorno
que se suelen utilizar) podr´ıamos escribir
u(0, t) = φ0(t), t > 0, u(1, t) = φ1(t), t > 0 (53)
en x = 0, ∀ t > 0 y x = 1, ∀ t > 0, siendo φ0(t), φ1(t) funciones dadas (conocidas).
Nótese que por fronteras laterales se entienden los conjuntos de puntos Γ0, Γ1 ⊂ IR2
definidos por
Γ0 = {(x, t) ∈ IR2
/ (x, t) = (0, t), t > 0} = {0} × (0, ∞)

y
Γ1 = {(x, t) ∈ IR2
/ (x, t) = (1, t), t > 0} = {1} × (0, ∞)
Más en general, si Ω ⊂ IRN
es un dominio N-dimensional de frontera ∂Ω entonces
la ecuación se tiene en el cilindro (temporal) Q = Ω × (0, T) de frontera lateral
Σ = ∂Ω×(0, T) donde T ∈ IR+
(soluciones locales en tiempo) o T = +∞ (soluciones
globales). En este caso el problema de valor inicial y de contorno asociado a la
ecuación del calor con los valores de la solución prefijados en el contorno (frontera
lateral) se formula: Hallar una función
u(x, t) : ¯Ω × [0, +∞) → IR
tal que



∂u
∂t
= ∆u, en Q,
u(x, t) = g(x, t), en Σ,
u(x, 0) = u0(x), en Ω.
donde ∆ =
N
i=1
∂2
∂xi
2
designa el operador laplaciano respecto de las variables espa-
ciales, t es la variable tiempo y u0(x) es una función dada.
A veces es útil considerar (pues ah´ı se suele33
localizar el máximo de la solución) la
frontera parabólica ∂Q del cilindro Q = Ω × (0, T) que se define por
∂Q = (¯Ω × {0}) (∂Ω × [0, T])
Cuando Ω es infinito se suelen distinguir los casos Ω = IRN
, N = 1, 2, 3 y, en el
caso unidimensional, Ω = (−∞, 0), Ω = (0, ∞) que corresponden al caso de dominio
semi-infinito.
3.3. Condiciones iniciales y de contorno
Para presentar los distintos tipos de condiciones iniciales y de contorno que se suelen
imponer en las aplicaciones consideraremos la ecuación del calor unidimensional.
Existen tres tipos principales de condiciones iniciales y de contorno:
33
La naturaleza de las hipótesis que garantizan la veracidad de esta afirmación va mucho más
allá de los objetivos de este curso. Una exposición clara pero de nivel avanzado se puede encontrar
en el cap´ıtulo 10 sobre problemas de evolución del libro de H. Brezis, (1983). Análisis Funcional.
Teor´ıa y aplicaciones. Alianza Editorial.

1. Especificar la función en la frontera del dominio. Se conoce como condición del
tipo Dirichlet. Por ejemplo, si nuestra incógnita es la función u(x, t) y queremos
resolver la EDP del calor
∂u
∂t
= k
∂2
u
∂x2
= · (k u),
en un dominio acotado (un intervalo abierto de la recta real) Ω = (a, b) se
pueden prefijar las siguientes condiciones l´ımite:
u(x, 0) = f(x) (t = 0), u(a, t) = g1(t) (x = a), u(b, t) = g2(t) (x = b)
Este tipo de condiciones, junto con la EDP, genera lo que se llama un proble-
ma de Dirichlet o de primer tipo. Nótese que se ha impuesto una condición
inicial de tipo Dirichlet y dos condiciones de contorno (siempre de tipo Dirich-
let) en las fronteras laterales Γa y Γb.
2. Especificar la derivada de la función en la frontera del dominio. Se conoce co-
mo condición del tipo Neumann y el problema asociado se llama problema
de Neumann (o de segundo tipo). Por ejemplo,
∂u
∂x
(a, t) = 0 (x = a), −k
∂u
∂x
(b, t) = q (x = b),
siendo q una constante. Para dominios Ω ⊂ IRn
, n > 1, se prescribe la compo-
nente normal de vector gradiente en la forma
u · n =
∂u
∂n
siendo n el vector normal a la curva (o hipersuperficie) que representa la
frontera del dominio. F´ısicamente este tipo de condición define el flujo de calor
que atraviesa la frontera, que por ley de Fourier de la conducción del calor,
es proporcional al gradiente de temperaturas. Por ejemplo, en un problema
estacionario de conducción de calor en una geometr´ıa cil´ındrica (coordenadas
(r, z)) podr´ıamos escribir
q = −k u
siendo las componentes del flujo
qr = −k
∂u
∂r
, qz = −k
∂u
∂z
La componente qr(r, z) del vector de flujo q = (qr, qz) denota flujo de calor
molecular en la dirección radial mientras qz(r, z) representa el flujo de calor
molecular en la dirección axial.
Se trata en este caso de un flujo puramente difusivo. Si consideramos también
el flujo convectivo (que es un fenómeno de transporte del calor que tiene lugar

debido al transporte de materia) se tienen condiciones del tipo
qr = −k
∂u
∂r
+ Vru, qz = −k
∂u
∂z
+ Vzu,
siendo (Vr, Vz) las componentes radial y normal (respectivamente) de un campo
de velocidades conocido.
3. Especificar la función y su derivada en la frontera del dominio.
Se conoce como condición de tipo Robin (o mixto) y el problema asociado es
un problema mixto (o de tercer tipo). Si consideramos por ejemplo el flujo
de calor a través de las paredes de un conducto por el cual fluye un fluido
−k
∂u
∂r
= h(u − u∞) r = R, ∀ z
siendo h un coeficiente de transporte de calor caracter´ıstico del material sóli-
do del conducto que controla el flujo (de calor) en la frontera y u∞ un valor
conocido (dato del problema) de la temperatura ambiente alrededor del sis-
tema. Hay que controlar cuidadosamente los signos que aparecen en este tipo
de condición. En procesos de enfriamiento la cantidad u−u∞ es positiva (pues
obviamente la temperatura externa que controla el sistema es menor que la
temperatura del fluido que se quiere enfriar) luego
∂u
∂r
< 0
pues se está perdiendo calor por las fronteras laterales. En efecto el flujo de
calor qr es positivo
qr = −
∂u
∂r
> 0
y esto quiere decir que el calor se está difundiendo de donde hay más (en el
interior del conducto) hacia donde hay menos (en el exterior). Comentarios
parecidos se pueden hacer en los procesos de transporte (difusión molecular)
de materia donde se aplica la ley de Fick. La componente radial del flujo en
coordenadas cil´ındricas ser´ıa por ejemplo:
Jr = −D
∂c
∂r
siendo c(r, z) la concentración de una especie qu´ımica y D su coeficiente de
difusión.
Este tipo de condiciones es muy realista pues expresa que el flujo de calor
conductivo es proporcional a la diferencia de temperaturas entre las paredes
del conducto y el exterior.

Las condiciones anteriores se dicen homogéneas si se satisfacen (sin cambiar de
expresión) para un múltiplo cualquiera de la variable incógnita.
El primer tipo de condiciones (condiciones de tipo Dirichlet) incluye las condiciones
iniciales, que para una función u(x, t) se pueden escribir en la forma
u(x, 0) = f(x).
Esta condición significa que en el instante t = 0 la distribución de temperatura viene
dada por la función f(x). En alguna frontera podr´ıa haber variaciones temporales
as´ı que podr´ıamos tener, por ejemplo en x = 0
u(0, t) = g(t)
Ninguna de las dos condiciones del tipo 1 planteadas es homogénea (a menos que las
funciones f y g sean idénticamente nulas). Sin embargo, si el valor en el contorno
es una constante fijada, del tipo
u(0, t) = u0
entonces podemos definir otra variable dependiente θ = u − u0 y obtener una condi-
ción
θ(0, t) = 0
que es homogénea en la frontera.
En ocasiones las condiciones del tipo 2, en sistemas de coordenadas cil´ındricas y
esféricas, es posible utilizarlas como condición de simetr´ıa:
∂u
∂r
= 0, r = 0
Nótese que para tales sistemas de coordenadas r ≥ 0, luego para asegurar perfiles
simétricos de u tenemos que imponer la condición anterior. En el caso de una pared
de un conducto aislada térmicamente (si se considera un problema de transporte de
calor) o impermeable (si se considera un problema de flujo de materia en un medio
poroso saturado), la condición es
−k
∂u
∂r
= 0, r = R
En el caso de las paredes de un conducto calentadas eléctricamente, la entrada de
calor puede ser uniforme y constante (controlando por ejemplo la intensidad de
corriente) luego podr´ıamos imponer en un contorno del conducto:
−k
∂u
∂r
= q, r = R

El tercer tipo de condiciones es mixto e incluye la función y su derivada (o su
integral). Por ejemplo, la condición
−k
∂u
∂r
= h(u − u∞) r = R, ∀ z
que simplemente modeliza el equilibrio entre el flujo conductivo y la transferencia de
calor en la pared de un conducto. Puede ser reconducida a una condición homogénea
definiendo θ = u − u∞ (si u∞ es constante):
−k
∂θ
∂r
= hθ r = R, ∀ z
En los l´ımites h → ∞ y h → 0 se recuperan las condiciones homogéneas del tipo 1 y
2. Este tipo de condiciones de contorno se conoce también con el nombre de condi-
ción de tipo convectivo34
. Ocasionalmente, una condición de tipo mixto puede
nacer como un equilibrio integro-diferencial. Un ejemplo se encuentra en Rice y Do,
pag 408. Tal tipo de condiciones se suele abarcar con la técnica de la transformada
de Laplace que veremos en el tercer tema de esta asignatura.
Otros tipos de condiciones de contorno son igualmente posibles. En los procesos de
transporte de calor por radiación (por ejemplo en combustión o en procesos que se
desarrollan a altas temperaturas) se aplica la ley de Stefan-Boltzmann para describir
el mecanismo de transporte de calor entre superficies sólidas separadas por gases (que
se asumen transparentes a la radiación). Otras condiciones se imponen en procesos
de fusión o evaporación donde tienen lugar cambios de fases35
.
El número de condiciones de contorno o iniciales necesario para resolver una EDO
corresponde al número de constantes arbitrarias generadas en el curso del análisis.
Una ecuación de orden n genera n constantes arbitrarias. Esto implica que el número
total de condiciones (de contorno o iniciales) a imponer es n. En las ecuaciones
en derivadas parciales, existen siempre al menos dos variables independientes as´ı,
por ejemplo, una ecuación que describe el régimen transitorio de distribución de
temperatura en una barra cil´ındrica de metal:
ρcp
∂T
∂t
= k
1
r
∂
∂r
r
∂T
∂r
= k
∂2
T
∂r2
+
1
r
∂T
∂r
34
Véase por ejemplo pag 42 del libro de W.M. Deen, (1998), Analysis of Transport Phenomena.
Oxford University Press.
35
Muy interesante en este sentido es el cap´ıtulo 2 sección 2.5, pag 41 del libro de Deen dedicado
a la transferencia de calor en las interfases.

necesitará (normalmente) una condición para el tiempo (una condición inicial) y
dos para las fronteras fijas espaciales (digamos r = 0 y r = R). En principio, por
tanto, se necesita fijar generalmente una condición para cada orden de cada derivada
parcial. Sin embargo, esto no siempre es el caso. Por ejemplo, una condición inicial
no es necesaria si buscamos una solución periódica en el tiempo. Un caso particular
ser´ıa:
T(r, t) = f(r)eiwt
En tales casos, sólo es necesario imponer condiciones en las fronteras (r = 0 y
r = R). Comentarios parecidos se aplican cuando se habla de la posición angular
en coordenadas cil´ındricas o esféricas. Concretamente cuando la solución debe ser
periódica en el ángulo:
T(r, θ) = T(r, θ + 2π)
4. Ecuaciones el´ıpticas.
El estudio de los procesos estacionarios (que no var´ıan con el tiempo) de diferente
naturaleza f´ısica conduce a la consideración de EDP de tipo el´ıptico.
4.1. Ecuaciones de Laplace y de Poisson
El operador lineal
∆u = 2
u = ( · )u = · ( u) = div( u) =
N
i=1
∂2
u
∂xi
2
se llama laplaciana N-dimensional de u. Al operador
∆ =
N
i=1
∂2
∂xi
2
=
∂2
∂x1
2
+
∂2
∂x2
2
+ .... +
∂2
∂xN
2
se le llama operador laplaciano en honor del matemático francés Pierre Laplace
(1749-1827). A la ecuación
∆u = 0, Ω ⊂ IRN
se la conoce como ecuación de Laplace y es la más simple de las ecuaciones de tipo
el´ıptico. La ecuación de Laplace siempre es homogénea. Si se considera la ecuación
no homogénea
∆u = f(x1, ..xN ), Ω ⊂ IRN

4. Ecuaciones el´ıpticas. 89
entonces tenemos la ecuación de Poisson (EDP el´ıptica lineal no homogénea que lleva
este nombre en honor del matemático S. D. Poisson (1781-1840)) que corresponde a
un estado de equilibrio originado por una fuerza exterior. Si f dependiera también
de u en la forma
∆u + λu = 0
entonces tendr´ıamos la ecuación (lineal) de Helmholtz que es un caso particular de
las ecuaciones el´ıpticas semilineales
−∆u + f(x, u) = 0, Ω ⊂ IRN
Otra clase de EDP el´ıpticas muy importante en las aplicaciones son las cuasilineales
(ecuaciones no lineales donde las no linealidades aparecen en las derivadas de orden
inmediatamente más bajo del orden de la ecuación). Su expresión general es
−∆u + f(x, u, u) = 0, Ω ⊂ IRN
Por último, definimos el operador bi-laplaciano
4
u = 2
( 2
u) = ∆(∆u) = ∆2
u
que es un operador el´ıptico del cuarto orden. Se trata en este caso de resolver la
ecuación el´ıptica bi-armónica del cuarto orden
4
u = uxxxx + 2uxxyy + uyyyy = 0.
Se puede demostrar (véase el libro de Deen, cap´ıtulo 5, pag 239) que la función de
corriente de un fluido incompresible estacionario bidimensional satisface la ecuación
bi-armónica lo que expresa la conservación de la cantidad de movimiento para flu-
jos (lentos) de Stokes de fluidos newtonianos. Los flujos de Stokes (creeping flows
en la literatura anglosajona) tienen muchas aplicaciones tecnológicas (microcircu-
lación, reolog´ıa de suspensiones, dispersiones coloidales o el procesado de pol´ımeros)
y aparecen relacionados con varios fenómenos naturales asociados a fluidos muy
viscosos.
Dependiendo de los valores de n (es decir del número de variables independientes
consideradas) se tienen las siguientes expresiones del operador laplaciano en coor-
denadas cartesianas.
N = 1 ∆u ≡
d2
u
dx2
= 0, N = 2 ∆u ≡
∂2
u
∂x2
+
∂2
u
∂y2
= 0
N = 3 ∆u ≡
∂2
u
∂x2
+
∂2
u
∂y2
+
∂2
u
∂z2
= 0
donde el caso N = 1 corresponde a una EDO y los casos n = 2, 3 corresponden a
una EDP.

Definición 4.1. Una función u ∈ C2
(Ω) tal que ∆u = 0 en una región Ω ⊂ IRN
se
dice armónica en Ω.
Ejemplo 4.1. Demostrar que la función
f(x, y) = ex
cos y
es armónica en el plano IR2
.
La función dada es evidentemente de clase C2
(IR2
) (de hecho es de clase C∞
). Es
inmediato calcular
fx(x, y) = ex
cos y, fxx(x, y) = ex
cos y
y
fy(x, y) = −ex
sin y, fyy(x, y) = −ex
cos y
por tanto, la laplaciana de f es
∆f(x, y) = fxx(x, y) + fyy(x, y) = ex
cos y − ex
cos y ≡ 0
y as´ı f es armónica.
Existen muchas aplicaciones f´ısicas de las funciones armónicas pues describen con
alto grado de precisión diferentes fenómenos naturales. Por ejemplo, los procesos de
conducción del calor en estado estacionario (es decir, una vez que la temperatura del
material conductor se ha estabilizado y que no var´ıa en el tiempo) donde se considera
el vector densidad del flujo de calor cuyo potencial φ(x, y) (la temperatura en el
medio conductor) satisface la ecuación de Laplace en todo punto del espacio donde
no haya fuentes o sumideros de calor. Las funciones armónicas aparecen también
al describir el flujo de un fluido ideal (no viscoso pues no hay pérdidas de energ´ıa
por fricción interna) incompresible donde se considera el campo de velocidades de
un fluido irrotacional (ausencia de vórtices o remolinos) cuyo potencial es armónico
o en la teor´ıa de la electrostática donde la concentración del flujo eléctrico en un
punto del espacio se describe por medio del vector densidad de flujo eléctrico cuyo
potencial electrostático verifica, en una región sin cargas, la ecuación de Laplace.
4.1.1. Laplaciana bidimensional en coordenadas polares
La introducción de coordenadas polares
x = r cos θ, y = r sin θ
transforma u(x, y) en v(r, θ) y considerando la laplaciana bidimensional
∆u =
∂2
u
∂x2
+
∂2
u
∂y2
(54)

se tiene (aplicando la regla de la cadena estudiada en el primer curso) la siguiente
fórmula:
∆u ≡
∂2
v
∂r2
+
1
r
∂v
∂r
+
1
r2
∂2
v
∂θ2
Ejemplo 4.2. Probar que la función u(r, θ) = r2
cos 2θ es una función armónica.
Es análogo al ejemplo hecho en coordenadas cartesianas. Escribiendo la ecuación de
Laplace en coordenadas polares se tiene que u es una función armónica si
∂2
u
∂r2
+
1
r
∂u
∂r
+
1
r2
∂2
u
∂θ2 ≡ 0
Efectuando las derivaciones indicadas se tiene
∂2
u
∂r2
= 2 cos 2θ,
1
r
∂u
∂r
= 2 cos 2θ,
1
r2
∂2
u
∂θ2 = −4 cos 2θ
luego u es armónica.
4.1.2. Laplaciana tri-dimensional en coordenadas cil´ındricas
La introducción de coordenadas cil´ındricas
x = r cos θ, y = r sin θ, z = z
transforma u(x, y, z) en v(r, θ, z) y considerando la laplaciana tri-dimensional
∆u =
∂2
u
∂x2
+
∂2
u
∂y2
+
∂2
u
∂z2
(55)
se tiene (mediante aplicación de la regla de la cadena) la siguiente fórmula:
∆u ≡
∂2
v
∂r2
+
2
r
∂v
∂r
+
1
r2
∂2
v
∂θ2 +
∂2
v
∂z2
4.1.3. Laplaciana tri-dimensional en coordenadas esféricas
La introducción de coordenadas esféricas
x = r cos θ sin φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos φ
transforma u(x, y, z) en v(r, θ, φ) y considerando la laplaciana tri-dimensional (55)
se tiene (por aplicación de la regla de la cadena) la siguiente fórmula:
∆u ≡
∂2
v
∂r2
+
2
r
∂v
∂r
+
1
r2
∂2
v
∂φ2 +
1
r2
cos φ
sin φ
∂v
∂φ
+
1
r2
1
sin φ
∂2
v
∂θ2

4.1.4. Laplaciana N-dimensional en coordenadas radiales
Un tipo de coordenadas extremadamente útil en el estudio de problemas de trans-
porte en los cuales existan ciertas condiciones de simetr´ıa son las coordenadas radi-
ales. Sea x ∈ Ω ⊂ IRN
, x = (x1, x2, ..., xN ). Definimos el cambio de variables
r = x2
1 + x2
2 + .... + x2
N , u(x) = v(r)
Entonces se tiene que
∆u ≡
1
rN−1
d
dr
rN−1 dv
dr
=
d2
v
dr2
+
N − 1
r
dv
dr
4.2. Algunos fenómenos f´ısico-técnicos que modelizan
Tal y como vimos en la sección anterior las ecuaciones de Laplace y Poisson en dos o
tres dimensiones aparecen en problemas que conciernen campos potenciales como el
electrostático, el gravitacional o el campo de velocidades (en mecánica de fluidos al
trabajar con flujos potenciales incompresibles). Por ejemplo, la velocidad potencial
para el flujo estacionario de un fluido incompresible y no viscoso satisface la ecuación
de Laplace. En estas hipótesis también la función de corriente verifica la ecuación
de Laplace. Es la expresión matemática de la idea de que en ausencia de fuentes o
sumideros la tasa con la cual el fluido incompresible entra en una región es la misma
con la cual la deja. Una solución de la ecuación de Laplace se puede interpretar
también como la distribución de temperatura en un estado de equilibrio estable.
Aparece por tanto en la descripción de un régimen (de conducción) estacionario.
También es indicativa para la descripción del comportamiento de algunos sistemas
transitorios (que evoluciona con el tiempo) que se estabilizan para tiempos grandes
(a largo plazo).
De forma parecida, el potencial eléctrico V asociado a una distribución bidimensional
de electrones con densidad de carga ρ satisface la ecuación
∂2
V
∂x2
+
∂2
V
∂y2
+
ρ
= 0
siendo la constante dieléctrica. Esta ecuación no es otra cosa que la expresión
del teorema de Gauss que afirma que el flujo eléctrico total a través de cualquier
superficie cerrada es igual a la carga total encerrada por la superficie.
Otra ecuación destacada de la Matemática Aplicada es la ecuación el´ıptica bidimen-

sional de difusión-convección estacionaria
v · T
convección
= 2
T
difusión
,
que se verifica en un dominio Ω ⊂ IR2
donde el campo de velocidades v es irrota-
cional, es decir
v = (ψy, −ψx)
siendo ψ(x, y) la función de corriente y donde es el coeficiente de dispersión del
medio. Las l´ıneas de corriente del flujo son las curvas donde ψ es constantes (véase el
ejemplo examinado al comienzo de este tema para el cálculo de las l´ıneas de corriente
en el flujo de un fluido).
4.3. ∗
Fórmulas de Green
Introduciremos ahora las fórmulas de Green36
, una herramienta muy importante
en la teor´ıa del potencial. Su aplicación a las funciones armónicas permitirá deducir
sus propiedades fundamentales.
Recordemos en primer lugar el teorema de la divergencia (primer curso, tema 13) a
partir del cual será posible deducir las fórmulas de Green.
Teorema 4.1 (Gauss-Ostrogradski). Sea Ω ⊂ IR3
un dominio acotado limitado por
la superficie ∂Ω, orientable y cerrada. Sea F : D ⊂ IR3
→ IR3
, Ω ⊂ D, un campo
vectorial
F (x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k
tal que sus componentes P, Q y R son campos escalares continuos con derivadas
parciales continuas en Ω: F ∈ (C1
(Ω))3
. Entonces el flujo del campo F a través de
la superficie (cerrada) ∂Ω es igual a la integral triple (integral de volumen) de la
divergencia del campo:
∂Ω
F · nds =
Ω
div(F )dxdydz
siendo n el vector normal exterior a la superficie, y
div(F ) = · F =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
el operador de divergencia.
36
Recuérdese que las fórmulas de Green ya han sido consideradas en la sección 12.4 del tema
12 del primer curso. Un ejercicio interesante se encuentra propuesto (y resuelto) en el guión de
ejercicios.

Utilizando el teorema de Gauss podemos ahora deducir las fórmulas de Green.
Sean φ, ψ dos funciones escalares de clase C2
en Ω.
Observación 4.1. Hipótesis de regularidad suficientes para la aplicación de las
fórmulas de Green son: ψ ∈ C2
(Ω) ∩ C1
(¯Ω), φ ∈ C1
(Ω) ∩ C0
(¯Ω) para la primera
y ψ, φ ∈ C2
(Ω) ∩ C1
(¯Ω) para la segunda fórmula de Green (ver Courant-Hilbert,
pag 252). Tales hipótesis no son en realidad necesarias y es posible suponer una
regularidad menor. Para ello es necesario conocer la teor´ıa de distribuciones que no
se contempla en este curso.
Entonces, utilizando las propiedades del operador de divergencia
· (φ ψ) = φ · ψ + φ · ψ = φ · ψ + φ∆ψ
y considerando F = φ ψ en el teorema de la divergencia se tiene
Primera fórmula de Green
Ω
( φ · ψ + φ 2
ψ)dΩ =
∂Ω
φ
∂ψ
∂n
ds (56)
donde
∂ψ
∂n
= n · ψ es la componente normal exterior del vector gradiente.
La relación (56) se conoce con el nombre de primera fórmula de Green. Intercam-
biando φ y ψ y restando se tiene la segunda fórmula de Green:
Segunda fórmula de Green
Ω
(φ 2
ψ − ψ 2
φ)dΩ =
∂Ω
φ
∂ψ
∂n
− ψ
∂φ
∂n
ds (57)
Nótese finalmente que fórmulas análogas se tienen en el plano y en dimensiones
arbitrarias (ver Courant-Hilbert, pag 257).
Utilizando las fórmulas anteriores es posible deducir las siguientes propiedades de
las funciones armónicas:
Teorema 4.2. Si u ∈ C2
(Ω) ∩ C1
(¯Ω) es una función armónica y si ∂Ω es una su-
perfice orientable y cerrada, entonces la integral de superficie de su derivada normal
vale cero:

∂Ω
∂u
∂n
= 0 (58)
La demostración de lo anterior es inmediata considerando φ = 1, ψ = u armónica
(∆u = 0) y aplicando la primera fórmula de Green. La integral (de superficie) (58)
se denomina Integral de Gauss.
Si φ ∈ C2
(Ω) ∩ C1
(¯Ω) es una función armónica y consideramos φ = ψ en la primera
fórmula de Green se obtiene la identidad:
Ω
| φ|2
dΩ =
∂Ω
φ
∂φ
∂n
La integral de volumen que aparece en la fórmula anterior se conoce con el nombre
de Integral de Dirichlet y juega un papel muy importante en la teor´ıa del potencial.
Una consecuencia inmediata de la identidad anterior es el siguiente teorema para
funciones armónicas:
Teorema 4.3. Siendo u ∈ C2
(Ω) ∩ C1
(¯Ω) una función armónica, Ω ⊂ IR3
un
dominio acotado limitado por la superficie ∂Ω orientable y cerrada se verifica
1. Si u se anula en la superficie ∂Ω entonces u ≡ 0 en Ω.
2. Si
∂u
∂n
= 0 en ∂Ω entonces u es constante en Ω.
La demostración es inmediata observando que en ambos casos
∂Ω
φ
∂φ
∂n
= 0 luego
la integral de Dirichlet es nula y por tanto u es constante. En el primer caso además
la constante tiene que coincidir con el valor en la frontera (que es cero).
Si Ω es una esfera de centro (x0, y0, z0), radio R, superficie ∂Ω y u es una función
armónica que satisface el teorema (4.2) se tiene:
u(x0, y0, z0) =
1
4πR2
∂Ω
uds
es decir:
Teorema 4.4. El valor de una función armónica en un punto (x0, y0, z0) es igual a
la media aritmética de sus valores en cada esfera centrada en (x0, y0, z0).
El teorema (4.4) tiene importante consecuencias:

4.3.1. Principio del máximo para funciones armónicas
Teorema 4.5. Sea u una función regular en una región conexa Ω y continua en la
superficie ∂Ω que la limita. Entonces el valor máximo y m´ınimo de u se alcanzan en
la frontera ∂Ω. La función u alcanza sus valores máximo y m´ınimo en el interior Ω
si y sólo si u es constante.
Corolario 4.1. Si una función armónica u, regular en Ω y continua en la frontera
∂Ω es constante en ∂Ω entonces es constante en todo Ω.
4.3.2. Unicidad para la ecuación de Laplace
Una simple aplicación de la primera fórmula de Green permite demostrar la unicidad
de soluciones de la ecuación de Laplace en un volumen Ω ⊂ IR3
con condiciones
Dirichlet no homogéneas en la superficie del volumen ∂Ω 37
Sean ψ1 y ψ2 dos soluciones de la ecuación de Laplace en un volumen Ω ⊂ IR3
sa-
tisfaciendo la condición de contorno ψi = f(x), i = 1, 2 en la frontera ∂Ω. Entonces,
por la linealidad del operador, se tiene que la función diferencia, Θ = ψ1 −ψ2 verifica
∆Θ = 0 y Θ = 0 en la frontera y por la I fórmula de Green se tiene:
Ω
| Θ|2
dΩ =
∂Ω
Θ
∂Θ
∂n
d∂Ω;
pero Θ = 0 en ∂Ω luego
Ω
| Θ|2
dΩ = 0.
Por ser el integrando no negativo lo anterior implica | Θ|2
= 0 en cualquier punto
de Ω luego Θ es constante en Ω y como vale cero en ∂Ω se tiene: Θ ≡ 0 y ψ1 ≡ ψ2.
Otra forma de expresar este resultado (utilizando los teoremas anteriores) es la
siguiente:
Teorema 4.6. Dos funciones armónicas en Ω que sean continuas en Ω ∪ ∂Ω y
coincidan en ∂Ω son idénticas en todo Ω.
La demostración es inmediata observando que la diferencia entre dos funciones
armónicas que satisfagan el teorema (4.6) es también una función armónica que
se anula en la frontera luego, por el corolario (4.1), es idénticamente nula en Ω.
37
Este tipo de razonamiento se puede extender para obtener la unicidad de la solución de la
ecuación de Laplace con condiciones de contorno más generales.

5. Ecuaciones parabólicas. 97
5. Ecuaciones parabólicas.
Las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden de tipo parabólico se presen-
tan al estudiar los procesos de conducción térmica, difusión de materia y en general
procesos termodinámicos. Modelizan fenómenos transitorios, de evolución (en con-
traposición con los estados de equilibrio de las ecuaciones el´ıpticas, estacionarias),
donde el estado del sistema var´ıa con el tiempo. En general, tales fenómenos de
difusión pueden completarse con procesos de convección y dispersión que aparecen,
por ejemplo, en varios modelos de difusión de contaminantes o en filtración de aguas
subterráneas.
5.1. La ecuación de difusión y algunas variantes
Empezaremos por el caso más sencillo: la ecuación parabólica de conducción térmica
uni-dimensional, conocida con el nombre de ecuación del calor:
∂u
∂t
=
∂2
u
∂x2
, 0 ≤ x ≤ 1, t > 0. (59)
Nótese la ausencia de fuentes de calor internas al sistema (la ecuación es, en efecto,
homogénea). Las ecuaciones del tipo (59) se resolverán anal´ıticamente en el tema 2
(mediante el método de separación de variables) y en el tema 3 (mediante la técnica
de la transformada de Laplace) donde se considerarán situaciones más generales. La
ecuación (59) puede ser generalizada de distintas formas:
1. Introduciendo un término de fuente (o sumidero) estacionario q(x) en el inte-
rior del dominio:
∂u
∂t
=
∂2
u
∂x2
+ q(x), 0 ≤ x ≤ 1, t > 0, (60)
donde q(x) > 0 si es una fuente y q(x) < 0 si es un sumidero. La ecuación
(60) aparece en problemas de conducción de calor transitorios (evolutivos)
con generación de energ´ıa. El término de generación de energ´ıa (o término de
fuente) q(x) se conoce en la literatura como steady forcing (fuente estacionaria).
Este tipo de ecuaciones se puede resolver anal´ıticamente con algunas variantes
de los métodos que se utilizan para las ecuaciones del tipo (59). Un ejemplo
de aplicación a un problema concreto se puede encontrar en el libro de Mei,
pag 75.
2. Introduciendo un término de fuente transitorio (o fuente de calor) en el interior
del dominio:

∂u
∂t
=
∂2
u
∂x2
+ f(x, t), 0 ≤ x ≤ 1, t > 0, (61)
siendo f(x, t) > 0. La ecuación (61) es la clásica ecuación de reacción-difusión
lineal. El término de generación de energ´ıa f(x, t) se conoce en la literatura
como transient forcing (fuente transitoria). También este tipo de ecuaciones
se puede resolver análiticamente con algunas variantes de los métodos que se
utilizan para las ecuaciones del tipo (59) y (60). Un ejemplo de aplicación a
un problema concreto se puede encontrar en el libro de Mei, pag 75.
3. Considerando los efectos de disipación viscosa (producción de energ´ıa térmica y
disipación de la energ´ıa mecánica) en el interior del dominio debidos a procesos
termodinámicos:
∂u
∂t
=
∂2
u
∂x2
+ f(x, t, u), 0 ≤ x ≤ 1, t > 0, (62)
siendo f(x, t, u) > 0. Debido al signo (positivo) de f(x, t, u) este término tiene
el efecto cualitativo de generar crecimiento en las soluciones, pudiendo aparecer
efectos de blow up (singularidades o explosiones) de las mismas soluciones que
tienen as´ı un carácter local. La ecuación (62) es lineal si f(x, t, u) es lineal
en u. Si f(x, t, u) no es lineal en u entonces se dice semilineal. Si f fuese del
tipo f(x, t, u, ux), es decir si dependiera también de la derivada parcial primera
ux y además lo hiciera en forma no lineal entonces la ecuación ser´ıa de tipo
cuasilineal.
4. Incluyendo un término de absorción (o sumidero) en el interior del dominio:
∂u
∂t
=
∂2
u
∂x2
− f(x, t, u), 0 ≤ x ≤ 1, t > 0, (63)
siendo f(x, t, u) > 0. Valen las mismas consideraciones sobre el carácter de
linealidad de (63) hechas en el caso anterior. Cualitativamente el término de
absorción causa un decaimiento en los perfiles de las soluciones. En la forma
f(x, t, u) = u y en problemas de conducción de calor, se le conoce como el
término de enfriamiento de Newton.
5. Permitiendo un coeficiente de difusión variable espacialmente
∂u
∂t
=
∂
∂x
a(x)
∂u
∂x
, 0 ≤ x ≤ 1, t > 0, (64)
siendo a = a(x) una función positiva y acotada en [0, 1], es decir 0 < a(x) < ∞.
Este tipo de ecuaciones nace, por ejemplo, al considerar procesos de conducción
de calor siendo la conductividad calor´ıfica k una función no constante en todo
el medio: k = k(x).

6. Introduciendo efectos no lineales de difusión mediante un coeficiente del tipo
a(x, u):
∂u
∂t
=
∂
∂x
a(x, u)
∂u
∂x
, 0 ≤ x ≤ 1, t > 0. (65)
La ecuación (65) describe fenómenos de filtración en medios porosos donde
la expresión t´ıpica del coeficiente es a(x, u) = um
o procesos de conducción
calor´ıfica en un medio cuya conductibilidad térmica depende de la propia tem-
peratura.
Son ecuaciones de tipo no lineal y no suelen tener soluciones anal´ıticas exac-
tas, especialmente cuando se complementan con un término de fuente f(x, t).
En estos casos se suelen calcular numéricamente las soluciones de (65).
7. Modelizando el flujo de fluidos no newtonianos mediante un coeficiente del
tipo a(x, u, ux):
∂u
∂t
=
∂
∂x
a(x, u, ux)
∂u
∂x
, 0 ≤ x ≤ 1, t > 0. (66)
Los comentarios hechos para (65) valen, obviamente, en este caso más general.
No suele ser posible resolver38
este tipo de ecuaciones en forma exacta y hay
que acudir a métodos numéricos.
8. Considerando fenómenos de convección (por ejemplo en problemas de fluido-
dinámica)
∂u
∂t
+ V (x, t)
∂u
∂x
= µ
∂2
u
∂x2
, 0 ≤ x ≤ 1, t > 0, (67)
siendo V (x, t) una distribución de velocidades en la dirección longitudinal x
conocida. La ecuación (67) es una ecuación de difusión-convección. Es lineal
pues V (x, t) es un dato del problema independiente de u. La incógnita u suele
representar la concentración de un contaminante (o más en general de una
especie qu´ımica) o la temperatura de un fluido y µ es el coeficiente de difusión
del medio.
9. Si V (x, t) = u(x, t), siendo u la incógnita del problema representando un
campo de velocidades en la dirección x se tiene
∂u
∂t
+ u
∂u
∂x
= µ
∂2
u
∂x2
, t > 0. (68)
38
En realidad, como ya observamos, la posibilidad de resolución anal´ıtica no está descartada
en presencia de ciertas simetr´ıas en la ecuación y en las condiciones de contorno. En tal caso se
suele usar el método de combinación de variables que es un método aplicable al caso lineal en los
supuestos anteriores. Más detalles sobre este método se verán en el tema 3.

Si µ = , siendo 0 < 1 un parámetro pequeño, la ecuación anterior
modeliza flujos poco viscosos y se conoce en la literatura como la ecuación de
Bürgers. La ecuación (68) es una ecuación de tipo no lineal debido al término
no lineal uux de convección. El término de viscosidad uxx tiene un papel
regularizante sobre las soluciones. En el l´ımite → 0 se tiene la ecuación
hiperbólica de primer orden considerada en la primera parte de este tema. Se
pierden las propiedades regularizantes propias de la ecuación del calor y se
pueden desarrollar singularidades en forma de ondas de choque.
10. Simulando fenómenos de dispersión
c(x, t)
∂u
∂t
=
∂2
u
∂x2
, 0 ≤ x ≤ 1, t > 0, (69)
siendo c(x, t) > 0. En problemas térmicos c(x, t) está relacionada con la ca-
pacidad calor´ıfica del medio. En problemas de flujo con el coeficiente de alma-
cenamiento.
11. Dejando variar x en todo IR se pueden considerar problemas en dominios
infinitos:
∂u
∂t
=
∂2
u
∂x2
, −∞ < x < ∞, t > 0. (70)
Dos aplicaciones concretas de este tipo de modelos se encuentran en el libro
de Mei, pag 137 y 139. Este tipo de problemas de difusión (o conducción)
unidimensional en dominios no acotados se resolverán análiticamente mediante
el método de la Transformada de Fourier en el tema 3. Se suelen completar
con condiciones de decaimiento en el infinito (u → ±∞ cuando |x| → ∞) y
con condiciones iniciales especiales que simulan impulsos (fuerzas puntuales,
localizadas) aplicadas al sistema. También se modelizan problemas con cargas
puntuales o temperaturas iniciales discontinuas.
12. Dejando variar x en todo IR+
= (0, ∞) (dominio semi-infinito)
∂u
∂t
=
∂2
u
∂x2
, 0 < x < ∞, t > 0. (71)
Nuevamente se trata de procesos de difusión o conducción unidimensional. Se
suelen resolver con el método de las Transformadas senos y cosenos de Fourier.
Analizaremos algunos casos modelo en el segundo tema.
13. Considerando más variables espaciales:
∂u
∂t
= ∆u, x ∈ Ω ⊂ IRn
, t > 0, (72)
siendo Ω un dominio acotado. Para n = 2 se puede encontrar un ejemplo de
proceso de conducción de calor bidimensional en un rectángulo en el libro de

Mei, pag 78. Varios ejemplos aparecen también en el libro de Zill y en general en
la bibliograf´ıa comentada al final del cap´ıtulo. En el tema 2 desarrollaremos un
ejemplo de difusión de la concentración de una especie qu´ımica en un dominio
circular.
14. Incluyendo varios de los fenómenos y casos anteriores en la clase de ecuaciones
parabólicas cuasilineales
c
∂u
∂t
= ∆u + f(x, t, u, u), x ∈ Ω ⊂ IRn
, t > 0, (73)
de reacción-difusión-dispersión-convección.
Las ecuaciones anteriores y otras similares se tienen que complementar con una
condición inicial y adecuadas condiciones en el contorno del dominio para obtener
problemas de valor inicial y de contorno o problemas (el´ıpticos) sólo de contorno
que estén bien planteados. En el caso de dominios no acotados (sin contorno, del
tipo que aparece en (71)), complementando la ecuación con una condición inicial
se obtiene el problema de Cauchy o de valor inicial para ecuaciones en derivadas
parciales.
5.2. ∗
Algunos fenómenos f´ısico-técnicos que modelizan
Ilustramos aqu´ı, muy brevemente, otros modelos matemáticos (algunos básicos y
otros avanzados) que aparecen en las ciencias aplicadas39
.
El proceso de difusión (de materia o calor por ejemplo) se vuelve más interesante
cuando otros procesos tienen lugar. Por ejemplo, si durante una reacción qu´ımica
se libera calor internamente con una tasa, digamos f(T), por unidad de volumen
entonces la ecuación del calor toma la forma
Tt = 2
T + f(T)
Aunque las soluciones existan y sean únicas para las elecciones t´ıpicas que aparecen
en las aplicaciones, éstas no tienen porque existir para todo tiempo t. As´ı, podemos
ver que T se hace singular en un tiempo finito si f > 0 (funciones convexas), caso,
por ejemplo en el que f(T) = T2
y este fenómeno se conoce como blow up. El ejemplo
más conocido es cuando f(T) = λeT
que aparece en teor´ıa de la combustión. Este
fenómeno es propio de la difusión no lineal.
Otra ecuación de difusión no lineal viene dada por ejemplo por la ecuación de calor
39
Véase el libro de A.C. Fowler, Mathematical Models in the Applied Sciences. (1997).

con conductibilidad térmica dependiente de la temperatura
ρcpTt = (k(T) T)
Información sobre este tipo de dependencia en los modelos qu´ımicos se puede en-
contrar en el vol 2 del libro de Costa Novella sobre Fenómenos de Transporte donde
hay una aplicación concreta pero al caso unidimensional (EDO).
El flujo de un gas en un medio poroso es otro fenómeno t´ıpico de difusión no lineal.
Para verlo, se considera la ley de conservación (de la masa)
ρt + · q = 0
donde q es el flujo (de materia) y ρ la densidad del gas. En analog´ıa con la ley de
Fourier y la ley de Fick, este flujo viene dado (en hipótesis de flujo lento) por la ley
de Darcy
q = −
k
µ
ρ p
donde k es la permeabilidad y µ la viscosidad del gas. Aqu´ı p representa la presión
(responsable del flujo). Finalmente, utilizando la ley constitutiva para los gases
perfectos (o ideales) p = ρRT se tiene que (en hipótesis de flujo isotermo, es decir
T constante)
ρt = ·
kRT
µ
ρ ρ
que es una ecuación del tipo (65). Esta ecuación, escrita en variables adimensionales
adecuadas se puede resolver mediante el método de combinación de variables que
estudiaremos en el tercer tema de esta asignatura. Nótese que el coeficiente de di-
fusión a(x, ρ) = cρ (c = kRT/µ es constante) tiende a cero cuando ρ tiende a cero,
un comportamiento muy interesante conocido con el nombre de degeneración y que
consideraremos más adelante. Sólo observamos que la señal evidente de difusión no
lineal degenerada es la existencia de un frente que se propaga con velocidad fini-
ta (contrariamente al caso de la ecuación del calor propiamente dicha donde hay
velocidad inifinita de propagación de las perturbaciones). Digamos que las ecua-
ciones parabólicas degeneradas tienen propiedades cualitativas más propias de las
ecuaciones hiperbólicas que de las parabólicas.
Otro contexto donde se generan ecuaciones parabólicas no lineales degeneradas es el
de la modelización del flujo de aguas subterráneas en un medio poroso no saturado.
Complementando la Ley de Darcy con una ecuación para la conservación de la fase
(o las fases40
) y siendo φ la porosidad del suelo, ρ la densidad material (masa por
40
Por ejemplo en un yacimiento petrol´ıfero las fases son petróleo y agua.

unidad de volumen del fluido) la ecuación que describe el modelo para el flujo en un
medio poroso r´ıgido es
∂(ρφ)
∂t
= ·
k
µ
ρ ρ
Otro ejemplo es el flujo de agua en un terreno saturado que se describe (en el caso
unidimensional y en la dirección transversal z) mediante la ecuación
φt − V φx = (Dφz)z
siendo V y D constantes positivas y φ la porosidad del medio.
Ecuaciones del tipo (65) (complementadas con un término de reacción del tipo
f(x, t)) surgen también al describir la evolución (en el caso isotermo) del espesor
h(x, t) de una capa de hielo, en la forma
ht =
∂
∂x
1
3
h3
hx + a(x, t)
En este caso m = 3, y a(x, t) es una función que representa la tasa de acumu-
lación/ablación de hielo debida a las condiciones atmosféricas y la ecuación es
una ecuación de difusión no lineal degenerada41
. Excepto cuando a(x, t) ≡ 0 es-
ta ecuación no puede ser resuelta anal´ıticamente. Se puede sin embargo analizar
cuantitativamente (es decir, a nivel numérico) o cualitativamente (mediante méto-
dos de energ´ıa). También es posible realizar un detallado análisis asintótico (una
técnica propia de la teor´ıa de la perturbación). Una ulterior dificultad (especial-
mente a nivel numérico aunque existen técnicas avanzadas para su tratamiento)
consiste en el hecho que el dominio donde se tiene que verificar la ecuación no es
conocido a priori y tiene que ser determinado junto con la solución. El marco correc-
to en el cual considerar esta ecuación se construye mediante la teor´ıa de operadores
mult´ıvocos y el problema es unilateral42
(del tipo problema de obstáculo). La teor´ıa
y el comportamiento cualitativo de las soluciones de esta ecuación no lineal depende,
cr´ıticamente, de los valores de m según que se tenga 0 < m < 1 (caso singular) o
m > 1 (caso degenerado).
En general se emplea la ecuación (66) (de tipo no lineal parabólico eventualmente
degenerado) para modelizar las dinámicas no lineales de los fluidos geof´ısicos. Por
41
Intuitivamente hay degeneración cuando el coeficiente de difusión se anula en alguna sub-
región del dominio. Se trata de un fenómeno propio de las ecuaciones no lineales (es decir no
puede ocurrir en las ecuaciones lineales) pero no ocurre en todas las ecuaciones no lineales siendo
caracterizado por un delicado balance entre la velocidad de difusión y el tamaño del dominio. Un
estudio detallado se encuentra en el libro de J.I. D´ıaz sobre fronteras libres citado en la bibliograf´ıa
avanzada. Nótese que el fenómeno puede darse tanto en ecuaciones el´ıpticas como en ecuaciones
parabólicas siendo necesario pero no suficiente el carácter no lineal del término de difusión.
42
Se trata de un tipo de formulación matemática muy utilizado en mecánica de fluidos que per-
mite incorporar al problema matemático distintas fenomenolog´ıas que satisfacen unas condiciones
de admisibilidad f´ısica.

ejemplo, la expresión a(x, u, ux) = |ux|p−2
permite describir el flujo lento, viscoso,
no newtoniano de las grandes masas de hielo polar que recubren la Antártida y
Groenlandia. Otro fluido geof´ısico no newtoniano es el magma.
Finalizamos este tema con unos comentarios sobre los sistemas de ecuaciones en
derivadas parciales. Es evidente (véanse los comentarios en la primera sección so-
bre los fenómenos de transporte) que una descripción detallada del estado de un
sistema se puede obtener a partir de la consideranción simultánea de las ecuaciones
en derivadas parciales que nacen al aplicar las leyes de conservación. Surgen as´ı un-
os sistemas modelo que aparecerán muy a menudo en la carrera de un ingeniero
qu´ımico. El modelo fundamental o básico, a partir del cual se obtienen otros ca-
sos digamos habituales, es el sistema de ecuaciones que se genera al considerar la
ecuación de conservación de la masa (ecuación de continuidad) con la de conser-
vación de la cantidad de movimiento (ecuación del equilibrio) para la descripción
del flujo de un fluido newtoniano. Nos referimos al sistema de Navier Stokes



· u = 0
ut + (u · )u = −
1
ρ
p + ν 2
u
(74)
siendo ν = µ/ρ la viscosidad cinemática, µ la viscosidad dinámica, ρ la densidad,
p la presión y u la velocidad. Si U es una velocidad t´ıpica del fluido y l es una
dimensión t´ıpica de la geometr´ıa del flujo entonces el sistema (74) se puede escribir
en variables adimensionales en la forma



· u = 0
ut + (u · )u = − p +
1
Re
2
u
(75)
siendo el parámetro adimensional Re= Ul/ν llamado número de Reynolds. Si
Re 1 (es decir, para valores del número de Reynolds muy pequeños) el movimiento
del flujo es muy lento (se llama flujo de Stokes) y la ecuación del momento se puede
aproximar por
p = 2
u
donde la presión ha sido reescalada mediante 1/Re. Se trata de una perturbación
regular, al menos en dominios finitos. Si Re 1 (es decir, si el número de Reynolds es
muy grande) entonces la aproximación de la ecuación del equilibrio es la ecuación
de Euler
ut + (u · )u = − p

que se obtiene en el l´ımite
l´ım
Re→∞
1
Re
2
u → 0
Se trata de una perturbación singular pues al eliminar los efectos viscosos se reduce
el orden de la ecuación y pueden aparecer muchas complicaciones.
Tras el abanico de posibilidades evidenciado en esta sección (y en las anteriores)
podemos afirmar que las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales gobiernan
numerosos fenómenos que aparecen en f´ısica-matemática. Esto no quiere decir que
las ecuaciones ordinarias (que suelen aparecer en modelos más básicos) no puedan ser
válidas para modelizar adecuadamente un fenómeno. Tampoco es cierto (en general)
que las ecuaciones ordinarias son simples y más facilmente resolubles pero es evi-
dente que las simplificaciones (mediante análisis dimensional) de los modelos suelen
empobrecer el grado de aproximación a la realidad del fenómeno f´ısico considera-
do. Digamos que se suele simplificar el modelo43
hasta poder alcanzar una solución
anal´ıtica exacta o anal´ıtica aproximada del mismo que permita validar los resultados
numéricos. Tales simplificaciones suelen venir sugeridas por el análisis dimensional
(previo) de las ecuaciones lo que proporciona una aproximación sensible del modelo
originario. Las ecuaciones en derivadas parciales representan, por tanto, un grado
superior de aproximación a la realidad del fenómeno modelizado sin que ello haga
inútil o redundante el manejo de las ecuaciones ordinarias. Nótese en efecto que
utilizaremos EDO para resolver anal´ıticamente EDP.
Para los ingenieros qu´ımicos el campo de aplicación dominante de las ecuaciones
en derivadas parciales es, sin duda, el de los fenómenos de transporte entendiéndose
por ello el transporte difusivo-dispersivo-convectivo-reactivo de materia o transporte
conductivo-convectivo de calor. Además las técnicas que veremos para su resolución
tendrán múltiples aplicaciones, por ejemplo la Transformada de Laplace al trabajar
con control y diseño de experimentos o las series de Fourier en el análisis de la esta-
bilidad de los esquemas numéricos en diferencias finitas utilizados para aproximar
las soluciones de las EDP. Digamos que proporcionaremos métodos para resolver
problemas con la idea de que el alcance de los métodos vaya mucho más allá de la
resolución del problema inicialmente planteado. Entraremos en detalles en este tipo
de problemas en los temas 2 y 3, al considerar algunos ejemplos concretos que se
pueden encontrar, por ejemplo, en los libros de Costa Novella que aparecen en la
bibliograf´ıa.
43
Una técnica consolidada en la modelización consiste en efecto en desmontar el modelo (deducido
a partir de las leyes de conservación y de las leyes constitutivas) en sus piezas fundamentales,
analizarlo y, tras ello, volver a considerar, uno a uno, los términos inicialmente despreciados para
tener as´ı una idea de los efectos producidos y de su importancia relativa.

6. Anexo
En esta sección recordaremos rápidamente varios conceptos necesarios para el en-
tendimiento de las otras secciones. Se trata de un material que básicamente se vió en
el curso de primero pero que ha sido complementado con una interpretación directa
y práctica del lenguaje matemático asociado a los conceptos de trayectorias y su-
perficies en términos de la mecánica de fluidos. Sirven de enlace con la terminolog´ıa
adoptada en cursos paralelos a éste.
6.1. Introducción a las trayectorias
Matemáticamente es útil pensar en una curva C como un conjunto de valores de una
función que manda un intervalo de números reales al plano o al espacio. A dicha apli-
cación le llamaremos trayectoria. Por lo común se denota una trayectoria mediante
c. Entonces la imagen C de una trayectoria corresponde a la curva. Frecuentemente
escribimos t como la variable independiente y la imaginamos como el tiempo, de
manera que c(t) es la posición en el tiempo t de una part´ıcula en movimiento, la
cual describe una curva conforme t var´ıa. También decimos que c (la trayectoria)
parametriza C (la curva).
Definición 6.1. Una trayectoria en IRn
es una aplicación c : [a, b] → IRn
; Si n = 2
es una trayectoria en el plano y si n = 3 es una trayectoria en el espacio. La
colección C de puntos c(t), conforme t var´ıa en [a, b] se denomina curva, y c(a),
c(b) son sus puntos extremos. Se dice que la trayectoria c parametriza la curva
C.
Si c es una trayectoria en IR3
, podemos escribir
c(t) = (x(t), y(t), z(t))
y llamamos a x(t), y(t), z(t) funciones componentes de c. Formamos de manera
análoga las funciones componentes en IR2
o, en general, en IRn
.
Si imaginamos los puntos c(t) como la curva descrita por una part´ıcula y t como el
tiempo, es razonable definir el vector velocidad como sigue
Definición 6.2. Si c es una trayectoria y es diferenciable, decimos que c es una
trayectoria diferenciable. La velocidad de c en el tiempo t se define mediante
c (t) = l´ım
h→0
c(t + h) − c(t)
h
La rapidez de la trayectoria c(t) es la longitud del vector velocidad: ||c (t)||.

6. Anexo 107
Si c(t) = (x(t), y(t)) en IR2
entonces
c (t) = (x (t), y (t)) = x (t)i + y (t)j
y si c(t) = (x(t), y(t), z(t)) en IR3
entonces
c (t) = (x (t), y (t), z (t)) = x (t)i + y (t)j + z (t)k
Nótese que la velocidad c (t) es un vector tangente a la trayectoria c(t) en el tiempo
t. Si C es una curva descrita por c y si c (t) = 0, entonces c (t) es un vector tangente
a la curva C en el punto c(t).
Si c representa la trayectoria de una part´ıcula que se mueve, entonces su vector
velocidad es una función vectorial v = c (t) (que depende de t) y su rapidez es
||v||. La derivada a = dv/dt = c (t) se llama aceleración de la curva. Si la curva
es (x(t), y(t), z(t)) entonces la aceleración en el tiempo t está dada por
a(t) = x (t)i + y (t)j + z (t)k
Muy a menudo se tratará de evaluar campos escalares a lo largo de curvas en el
espacio. Particularmente útil es el siguiente resultado (que es un caso particular de
la regla de la cadena)
Teorema 6.1. Sea c : IR → IR3
, c(t) = (x(t), y(t), z(t)) una trayectoria diferencia-
ble y f : IR3
→ IR un campo escalar. Sea h : IR → IR definida por
h(t) = f(c(t)) = f(x(t), y(t), z(t))
Entonces
dh
dt
= f(c(t)) · c (t)
donde c (t) = (x (t), y (t), z (t))
Nos preguntamos cual es la longitud de una trayectoria. Puesto que la rapidez ||c (t)||
es la tasa de cambio de la distancia recorrida respecto al tiempo, la distancia recor-
rida por un punto que se mueve a lo largo de la curva debe ser la integral de la
rapidez respecto al tiempo sobre el intervalo de tiempo [t0, t1].
Definición 6.3. La longitud de una trayectoria, llamada longitud de arco s (tam-
bién se suele denotar por σ), es
s
.
=
t1
t0
||c (t)||dt

Se deduce que la longitud de arco de la trayectoria c(t) = (x(t), y(t), z(t)) para
t0 ≤ t ≤ t1 es
s
.
=
t1
t0
x (t)2 + y (t)2 + z (t)2dt
La función de longitud de arco s(t) para una trayectoria dada c(t) se define por
s(t)
.
=
t
t0
||c (τ)||dτ
representa la distancia que una part´ıcula, viajando por la trayectoria c, habrá reco-
rrido en el tiempo t si comienza en el tiempo t0; esto es, proporciona la longitud de
c entre c(t0) y c(t).
Pasamos ahora a la definición de la diferencial de la longitud de arco
Definición 6.4. Un desplazamiento infinitesimal de una part´ıcula que sigue
una trayectoria
c(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
es
ds = dxi + dyj + dzk =
dx
dt
i +
dy
dt
j +
dz
dt
k dt
y su longitud
ds = dx2 + dy2 + dz2 =
dx
dt
i
2
+
dy
dt
j
2
+
dz
dt
k
2
dt
es la diferencial de longitud de arco.
La fórmulas anteriores nos ayudan a recordar la fórmula de la longitud de arco
s =
t1
t0
ds
y, en general, la definición de integral de trayectoria (o integral curvil´ınea o
integral del campo escalar f(x, y, z) a lo largo de la trayectoria)
Definición 6.5. Sea c : [a, b] → IR3
una trayectoria de clase C1
y f : c(t) ⊂ IR3
→
IR continua para cada t ∈ [a, b]. Se define entonces la integral de trayectoria del
campo escalar f como
c
fds
.
=
t1
t0
f(x(t), y(t), z(t))||c (t)||dt

6. Anexo 109
Los elementos diferenciales ds con respecto de los cuales se integra vienen dados por
la longitud de la diferencial de longitud de arco. Nótese que, a veces, la integral de
trayectoria se denota con
c
fds =
c
f(x, y, z)ds =
t1
t0
f(c(t))||c (t)||dt
Un caso importante de la integral de trayectoria se presenta cuando la trayectoria c
describe una curva plana. Suponiendo que f es una función real de dos variables la
integral de trayectoria a lo largo de c es
c
f(x, y)ds =
t1
t0
f(x(t), y(t)) x (t)2 + y (t)2dt
Otro tipo de integral de trayectoria, esta vez de un campo vectorial F : IR3
→ IR3
continuo sobre una trayectoria diferencible con continuidad es la integral de l´ınea
(o integral de circulación). El elemento diferencial considerado es ahora ds es decir
la diferencial de longitud de arco. Con más precisión se tiene
Definición 6.6. Sea F un campo vectorial continuo sobre la trayectoria c de clase
C1
en [t0, t1]. Definimos la integral de l´ınea de F a lo largo de c como
c
F · ds
.
=
t1
t0
F (c(t)) · c (t)dt
Para trayectorias que satisfagan c (t) = 0 hay otra fórmula útil para la integral de
l´ınea. Siendo T (t) = c (t) el vector tangente a la trayectoria (t = c (t)/||c (t)|| es el
vector tangente unitario), tenemos
c
F · ds
.
=
t1
t0
F (c(t)) · c (t)dt =
t1
t0
[F (c(t)) · T (t)] ||c (t)||dt
Esta fórmula nos dice que la integral de l´ınea del campo vectorial es igual a la
integral de trayectoria de su componente tangencial.
Para campos vectoriales gradientes (o conservativos o irrotacionales) existe una
fórmula muy fácil de cálculo de sus integrales de l´ınea
Definición 6.7. Sea f : IR3
→ IR un campo escalar de clase C1
sobre la trayectoria
c de clase C1
en [t0, t1]. Entonces
c
f · ds = f(c(t1)) − f(c(t0)).

Volviendo al concepto de longitud de arco notamos que se puede extender a trayec-
torias en el espacio n-dimensional. Véase a este respecto la sección 4.2, pag 260, del
libro de Marsden y Tromba.
Construimos ahora una reparametrización de c mediante la longitud de arco.
Para ello caracterizamos primero el concepto de reparametrización. Sea c(t) una
trayectoria dada para t ∈ [a, b]. Sea s = α(t) una nueva variable donde α(t) una
función de clase C1
estr´ıctamente creciente definida en [a, b]. Las hipótesis efectuadas
aseguran que para cada s ∈ [α(a), α(b)] existe un t único tal que α(t) = s. Definimos
entonces la trayectoria d : [α(a), α(b)] → IR3
mediante d(s) = c(t). Las curvas
imagenes de c y d son las mismas (es decir que d es una reparametrización de la
curva imagen de la trayectoria c) y c y d tienen la misma longitud de arco. Elegimos
ahora la función α(t), definiendo
s = α(t) =
t
a
||c (τ)||dτ
Si definimos d como se hizo antes, mediante d(s) = c(t) entonces se verifica que
||d (s)|| = 1
Se dice entonces que d(s) es una reparametrización de c dada por la longitud
de arco. Una trayectoria parametrizada mediante la longitud de arco tiene rapidez
unitaria.
Pasamos a la definición de los conceptos geométricos de tangente unitaria, rapidez
unitaria, vector normal principal y vector binormal.
Definición 6.8. Dada una trayectoria c : [a, b] → IR3
tal que c (t) = 0 para todo t
el vector
t(t)
.
=
c (t)
||c (t)||
es tangente a c en c(t) y, como ||t|| = 1, el vector t se llama tangente unitaria a
c.
Dada una trayectoria parametrizada mediante la longitud de arco, digamos por c(s),
la curvatura en un punto c(s) sobre una trayectoria se define por
k = ||t (s)|| = ||c (s)||
Pasamos ahora a la definición de vector normal principal y vector binormal

6. Anexo 111
Definición 6.9. Dada una trayectoria c(t), si t (t) = 0 se tiene que el vector
n(t)
.
=
t (t)
||t (t)||
es normal a t(t) y es unitario. El vector n se llama vector normal principal. Un tercer
vector unitario que es perpendicular tanto a t como a n se define por b = t ∧ n y
se llama vector binormal. Los vectores t, n y b forman un sistema de vectores
ortogonales entre s´ı que siguen la regla de la mano derecha y que se va moviendo a
lo largo de la trayectoria.
Una aplicación muy importante del concepto de trayectoria consiste en la caracte-
rización de las l´ıneas de flujo de un campo vectorial. En mecánica de fluidos el
campo vectorial a considerar es el campo de velocidades de un fluido. Un campo
de velocidades se dice estacionario en una región del espacio (o del plano para
campos bidimensionales) si la velocidad del fluido que pasa por los puntos de la
región considerada no cambia con el tiempo (nótese que esto no quiere decir que el
fluido no se está moviendo). Por ejemplo se dice que el flujo de agua por una tuber´ıa
es estacionario si en cada punto de la tuber´ıa la velocidad del fluido que pasa por
ese punto no cambia con el tiempo.
Definición 6.10. Si F es un campo vectorial, una l´ınea de flujo para F es una
trayectoria c(t) tal que verifica el sistema de EDO
c (t) = F (c(t))
Esto es, el campo de velocidad de la trayectoria viene generado (o producido) por el
campo vectorial F .
En el contexto del flujo de agua por una tuber´ıa una l´ınea de flujo se puede asemejar a
la trayectoria seguida por una part´ıcula pequeña (con densidad igual a la del fluido y
rozamiento con él nulo) suspendida en el fluido. Por ello, las l´ıneas de flujo se llaman,
apropiadamente, l´ıneas de corriente o curvas integrales. El vector velocidad v
de un fluido es tangente a una l´ınea de flujo y la expresión de esta propiedad es
v ∧ t = 0, que es la ecuación vectorial del sistema de EDO que determina las l´ıneas
de flujo del campo dado por c (t) = F (c(t)). Si
c(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, F = v = Pi + Qj + Rk
siendo
P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z),
se tiene que el sistema de EDO es




x (t) = P(x(t), y(t), z(t))
y (t) = Q(x(t), y(t), z(t))
z (t) = Z(x(t), y(t), z(t))
Ejemplo 6.1. Probar que la trayectoria c(t) = (cos t, sin t) es una l´ınea de flujo
para el campo F (x, y) = (−y, x). Determinar las otras l´ıneas de flujo.
En primer lugar interpretamos el campo vectorial como un campo de velocidades de
un fluido
F (x, y) = v(x, y) = (vx(x, y), vy(x, y)) = (−y, x) = −yi + xj
La imagen de la trayectoria dada es un c´ırculo. Para que sea una l´ınea de flujo debe
verificar las ecuaciones c (t) = F (c(t)), lo que es cierto pues
c (t) = − sin(t)i + cos(t)j = F(cos(t), sin(t)) = − sin(t)i + cos(t)j
as´ı que tenemos una l´ınea de flujo. Las otras l´ıneas de flujo también son c´ırculos. En
efecto, puesto que P(x, y) = −y, Q(x, y) = x y no hay dependencia en la variable z
(pues se trata de un flujo plano) se tiene que resolver
x (t) = −y(t)
y (t) = x(t)
sujeto a las condiciones iniciales x(t0) = x0, y(t0) = y0.
Utilizando las técnicas expuestas en el tema 14 de la asignatura de Elementos de
Matemáticas y recordando la operación de exponenciación de matrices se deduce
que las soluciones del sistema son
x(t) = R cos(t − t0)
y(t) = R sin(t − t0)
es decir, las trayectorias
c(t) = (R cos(t − t0), R sin(t − t0))
cuyas imágenes son las curvas dadas por todos los c´ırculos centrados en el origen,
de radio R y que arrancan en los puntos del semieje positivo de las x dados por
(x0, y0) = (R, 0). Por cada punto del plano xy y en cada instante de tiempo pasa
una única l´ınea de flujo.

6. Anexo 113
6.1.1. Flujo de un campo
Es conveniente utilizar una notación especial para la única solución que pasa por un
punto dado en el tiempo t = 0. Es posible razonar en una genérica dimensión n.
Se fija una condición inicial x0 = x(0) ∈ IRn
y se sigue a lo largo de la l´ınea de
flujo durante un tiempo t hasta alcanzar la nueva posición φ(x, t). Es decir, que
φ(x, t) ∈ IRn
se define como la posición del punto en la l´ınea de flujo que pasa por
x0 después de haber transcurrido un tiempo t. Matemáticamente esto se traduce
diciendo que φ(x, t) está definida como la solución del PVI asociado al sistema
∂
∂t
φ(x, t) = F (φ(x, t))
φ(x, 0) = x0
La función φ, que se considera como función de las variables (x, t), φ : IRn
×[0, ∞) →
IRn
se llama flujo de F . Se demuestra también que φ es una función diferenciable.
El concepto de flujo nos permite introducir el concepto del operador diferencial
derivada material de un campo escalar f respecto a un campo vectorial F . En
concreto, sea f(x, t) una función con valores reales, f : IRn
×[0, ∞) y sea F : IRn
→
IRn
un campo vectorial.
Definición 6.11. Se define la derivada material de un campo escalar f con res-
pecto a un campo vectorial F como
Df
Dt
.
=
∂f
∂t
+ f(x) · F
La definición anterior se interpreta observando que la derivada material coincide
con la derivada con respecto de t de f transportada por el flujo de F , es decir, la
derivada con respecto de t de f(φ(x, t), t).
6.1.2. Flujos potenciales
Recordaremos en esta sección las definiciones de la función potencial para flujos
irrotacionales (potenciales). Este tipo de flujo es propio de los fluidos no viscosos
(que más adelante caracterizaremos como ideales o perfectos). En efecto, en un
fluido sin viscosidad no pueden existir tensiones (fuerzas) tangenciales o rasantes (de
cizalla) sobre sus elementos, y las fuerzas de presión o campo que actúen sobre ellos,
podrán provocar deformaciones pero nunca rotaciones de los mismos. Finalmente

observamos que en los supuestos de flujo plano y estacionario las l´ıneas de corriente
de un flujo potencial siempre empiezan (y acaban) en el infinito.
Sea v = (vx, vy, vz) un campo vectorial de velocidades estacionario44
tal que w =
rotv = 0 (es decir con vorticidad w nula). Entonces existe una función potencial
φ(x, y, z) tal que v = φ. Nos limitaremos aqu´ı al caso bidimensional. Dependiendo
del sistema de coordenadas se tiene
Sistema de Coord. Función potencial φ
Rectangulares v = (vx, vy) =
∂φ
∂x
,
∂φ
∂y
Polares v = (vr, vθ) =
∂φ
∂r
,
1
r
∂φ
∂θ
6.1.3. Flujos incompresibles
Recordaremos brevemente las definiciones de la función de corriente para flujos in-
compresibles en los sistemas de coordenadas rectangulares y cil´ındricas.
Obsérvese que los fluidos incompresibles se caracterizan por la condición de divergen-
cia nula. Si la densidad del fluido es constante entonces el fluido es, por supuesto,
incompresible. Por otra parte existen fluidos incompresibles cuya densidad no es
constante. En efecto, en condiciones isotermas, la compresibilidad de un fluido, c, se
define mediante:
c =
1
ρ
dρ
dp
siendo ρ la densidad y p la presión del fluido. Si el fluido es incompresible
dρ
dp
= 0
Esto se cumple obviamente si ρ (la densidad) es constante en todo el fluido. También
se puede cumplir si ρ no es constante pero es independiente de la presión, ρ = ρ(x),
x ∈ Ω, como por ejemplo en el caso de flujos multifásicos incompresibles (agua-
petróleo, por ejemplo). En este sentido la incompresibilidad se puede traducir como
44
Esta hipótesis no es absolutamente necesaria. Sólo simplifica el tratamiento matemático.

6. Anexo 115
constancia de la densidad respecto a la presión (aunque pueda depender de otras
variables que no sean a su vez función de la posición.
El flujo de un l´ıquido siempre es incompresible (digamos que se puede despreciar el
efecto de la compresibilidad) pero el flujo de un gas podrá también ser considerado
como tal (es decir puede fluir sin importantes variaciones de su densidad) si el flujo
es subsónico45
pero no deja de ser más que una idealización.
Sea v = (vx, vy, vz) un campo vectorial de velocidades estacionario tal que divv = 0
(es decir con divergencia nula). Entonces existe una función de corriente ψ(x, y, z)
tal que v · ψ = 0. Nos limitaremos aqu´ı al caso bidimensional luego tendremos,
respectivamente, cuatro casos:
I Coordenadas rectangulares con vz = 0 y ninguna dependencia en la variable
z.
II Coordenadas cil´ındricas con vz = 0 y ninguna dependencia en la variable z
(son equivalentes a las coordenadas polares)
III Coordenadas cil´ındricas con vθ = 0 y ninguna dependencia en la variable θ
IV Coordenadas Esféricas con vφ = 0 y ninguna dependencia en la variable φ.
Dependiendo del sistema de coordenadas se tiene:
Sistema de Coord. Función de corriente
I) Rectangulares con vz = 0 v = (vx, vy) =
∂ψ
∂y
, −
∂ψ
∂x
II) Cil´ındricas con vz = 0 v = (vr, vθ) =
1
r
∂ψ
∂θ
, −
∂ψ
∂r
,
III) Cil´ındricas con vθ = 0 v = (vr, vz) =
1
r
∂ψ
∂z
, −
1
r
∂ψ
∂r
,
IV) Esféricas con vφ = 0 v = (vr, vθ) =
1
r2 sin θ
∂ψ
∂θ
, −
1
r sin θ
∂ψ
∂r
45
La clasificación del flujo de un gas en subsónico (flujo incompresible) y transónico, supersónico
o hipersónico (flujos compresibles) se realiza mediante el cálculo del número de Mach que expresa
la relación entre la velocidad media del gas y la del sonido en su seno.

6.1.4. Fluidos perfectos
Deduciremos ahora la ecuación de Euler para un fluido perfecto (o ideal) enten-
diendo por ello un fluido que fluye sin viscosidad46
(el análogo del rozamiento entre
los sólidos). El flujo real es el flujo de los fluidos reales con viscosidad apreciable,
siempre rotacional.
Consideremos un fluido no viscoso que se mueve en un campo de velocidad v. Cuando
decimos que el fluido es perfecto queremos decir que en cualquier parte del fluido Ω,
actúan fuerzas de presión sobre la frontera ∂Ω a lo largo de su normal. Suponemos
que la fuerza por unidad de área que actúa sobre ∂Ω es −pn, siendo p(x, y, z, t) la
función de presión (es un campo escalar). As´ı la fuerza total de presión que actúa
sobre ∂Ω es
F ∂Ω = Fuerza = −
∂Ω
pndS
Ésta es una cantidad vectorial. Si aplicamos el teorema de la divergencia a cada
componente del campo vectorial de fuerzas se tiene que
F ∂Ω = −
Ω
pdxdydz
Sea φt(x) = φ(x, t) el flujo del campo v y sea Ωt = φt(Ω) una región en movimiento.
Aplicando la segunda ley de Newton a Ωt, la razón de cambio (la variación) de la
cantidad de movimiento de Ωt es igual a la fuerza que actúa sobre ella:
d
dt Ωt
ρvdxdydz = F ∂Ωt = −
Ωt
p dxdydz
Utilizando la ecuación del transporte que afirma que en cualquier región Ωt que
se mueve con el fluido se tiene
d
dt Ωt
f(x, y, z, t)dxdydz =
Ωt
Df
Dt
+ fdivF dxdydz
(siendo Df/Dt el operador de derivación material) y aplicando el teorema del
transporte se obtiene
Ωt
∂
∂t
(ρv) + v · (ρv) + ρvdivv dxdydz = −
Ωt
p dxdydz
46
En muchos textos (véase por ejemplo el vol. 2 sobre fenómenos de Transporte, cap´ıtulo 1,
sección 7.4, pag 50 de los libros de Costa Novella) se identifican los fluidos perfectos como los
fluidos cuyo flujo es no viscoso, incompresible e irrotacional. Otros textos añaden la hipótesis de
flujo estacionario.

6. Anexo 117
Puesto que Ωt es arbitraria (es decir que lo anterior es cierto para cualquier región
que se mueve con el fluido), esto es equivalente a
∂
∂t
(ρv) + v · (ρv) + ρvdivv = − p
Utilizando la ecuación de continuidad ρt + divJ = 0 siendo J = ρv escrita en la
forma
∂ρ
∂t
+ v · ρ + ρdivv = 0
se deduce
ρ
∂v
∂t
+ v · v = − p (76)
que es la ecuación de Euler para un fluido perfecto. Para fluidos compresibles, p (la
presión) es una función dada (conocida) de ρ (por ejemplo, para muchos gases p =
Aργ
para constantes A y γ dadas). Si, por otra parte el fluido es incompresible, p se
determina a partir de la condición divv = 0. En este caso, la condición de divergencia
nula complementada con la ecuación de Euler (76) gobiernan el movimiento del
fluido.
6.2. Representaciones de curvas y superficies
Existen básicamente tres métodos de representación de superficies que permiten
expresar anal´ıticamente tal lugar geométrico47
. Uno es la representación impl´ıcita en
el que se considera una superficie como un conjunto de puntos (x, y, z) que satisfacen
una ecuación de la forma
F(x, y, z) = 0
Por ejemplo la esfera de radio 1 y centro en el origen tiene la representación impl´ıcita
x2
+ y2
+ z2
− 1 = 0
Algunas veces (véase la sección 9.13 del guión del primer curso dedicada a las fun-
ciones definidas impl´ıcitamente) podemos despejar en la ecuación una de las coor-
denadas en función de las otras dos, por ejemplo z en función de x e y. Cuando esto
es posible obtenemos una representación expl´ıcita dada por una o varias ecuaciones
de la forma
z = f(x, y)
47
Una superficie, a groso modo, puede identificarse con el lugar geométrico de un punto que se
mueve en el espacio con dos grados de libertad. Véase el libro de Apostol, Vol 2, cap´ıtulo 12.

Por ejemplo, al despejar z en la representación impl´ıcita anterior de la esfera se tiene
z = 1 − x2 − y2, z = − 1 − x2 − y2,
La primera es la representación expl´ıcita de la semiesfera superior y la segunda de
la inferior.
Existe un tercer método de representación de superficies que es más útil en el es-
tudio de las mismas; es la representación paramétrica o vectorial por medio de tres
ecuaciones que expresan x, y, z en función de dos parámetros u y v:
x = X(u, v), y = Y (u, v), z = Z(u, v) (77)
Aqu´ı el punto (u, v) puede variar en un conjunto conexo bidimensional Ω en el plano
uv, y los puntos (x, y, z) correspondientes constituyen una porción de superficie en
el espacio IR3
. Este método es análogo al de la representación de una curva en IR3
mediante tres ecuaciones con un solo parámetro. La presencia de los dos parámetros
en (77) permite transmitir dos grados de libertad al punto (x, y, z). Si introducimos
el radio vector que une el origen con un punto genérico (x, y, z) de la superficie,
podemos combinar las tres ecuaciones paramétricas (77) en una ecuación vectorial
de la forma
r(u, v) = X(u, v)i + Y (u, v)j + Z(u, v)k (78)
donde (u, v) ∈ Ω. Ésta es la llamada ecuación vectorial de la superficie. Existen
muchas representaciones paramétricas de la misma superficie. Una de ellas puede
obtenerse a partir de la forma expl´ıcita z = f(x, y) tomando
X(u, v) = u, Y (u, v) = v, Z(u, v) = f(u, v)
Ejemplo 6.2. La representación paramétrica de una esfera de radio a y centro en
el origen es
x = a cos u cos v, y = a sin u cos v, z = a sin v
Si elevamos al cuadrado las tres ecuaciones y sumamos resulta
x2
+ y2
+ z2
= a2
y vemos que todo punto (x, y, z) que satisface las ecuaciones paramétricas está en la
esfera.
Considérese ahora una superficie representada por la ecuación vectorial (78). Si X,
Y y Z son derivables en Ω podemos considerar los dos vectores
∂r
∂u
=
∂X
∂u
i +
∂Y
∂u
j +
∂Z
∂u
k,
∂r
∂v
=
∂X
∂v
i +
∂Y
∂v
j +
∂Z
∂v
k

6. Anexo 119
Ambos vectores son tangentes a la superficie. Más concretamente, el vector ∂r/∂u
es tangente a una u-curva en la superficie (con la expresión u-curva se entiende una
curva en la superficie que se obtiene manteniendo v constante) y el vector ∂r/∂v es
tangente a una v-curva en la superficie (una curva en la superficie que se obtiene
manteniendo u constante). En general estos vectores no son ortogonales entre ellos
y tampoco son unitarios. Sin embargo su producto vectorial es ortogonal a ambos
luego es normal a la superficie. El producto vectorial
N
.
=
∂r
∂u
∧
∂r
∂v
= ru ∧ rv
se denomina producto vectorial fundamental de la representación r. Si (u, v)
es un punto en Ω en el cual ∂r/∂u y ∂r/∂v son continuas y el producto vectorial
fundamental no es nulo, el punto imagen r(u, v) se llama punto regular de r. Los
puntos donde al menos una de estas condiciones no se verifica se llaman puntos
singulares. Una superfice se llama regular si todos sus puntos son regulares. En
cada punto regular los vectores ∂r/∂u y ∂r/∂v determinan un plano que tiene
el vector ∂r/∂u ∧ ∂r/∂v como normal. Por esta razón el plano determinado por
∂r/∂u y ∂r/∂v se llama plano tangente. En cada punto regular de una superficie
se designa como n al vector unitario normal que tenga el mismo sentido que el
producto vectorial fundamental:
n =
∂r
∂u
∧
∂r
∂v
∂r
∂u
∧
∂r
∂v
=
ru ∧ rv
ru ∧ rv
La continuidad de las derivadas parciales implica la continuidad de su producto
vectorial y esto, a su vez, significa que el plano tangente se mueve con continuidad
en una superfice regular.
Observación 6.1. Una manera alternativa de calcular un vector normal unitario
consiste en representar la superficie como S(x, y, z) = 0 y utilizar la fórmula
n =
S
S
Aplicando lo anterior veremos ahora cómo se determina el vector normal a una
superficie con representación expl´ıcita z = f(x, y).
Para ello podemos usar x e y como parámetros lo que nos proporciona la ecuación
vectorial
r(x, y) = xi + yj + f(x, y)k

Para calcular el producto vectorial fundamental observemos que, si f es diferenciable,
∂r
∂x
= i +
∂f
∂x
k,
∂r
∂y
= j +
∂f
∂y
k
Esto nos conduce a
∂r
∂u
∧
∂r
∂v
= −
∂f
∂x
i −
∂f
∂y
j + k
Nótese que el producto vectorial fundamental nunca es nulo para este tipo de re-
presentación puesto que la componente z del producto vale 1. Los únicos puntos
singulares que pueden presentarse son los puntos en los que al menos una de las
derivadas parciales fx o fy no es continua.
Ejemplo 6.3. Calcular el vector normal a la superficie dada por la ecuación
z = f(x, y) = 1 − x2 − y2
que representa un hemisferio de radio 1 y centro en el origen si x2
+ y2
≤ 1.
En primer lugar parametrizamos la superficie usando x e y como parámetros. La
ecuación vectorial es
r(x, y) = xi + yj + 1 − x2 − y2 k
Nótese que r aplica el disco unidad D = {(x, y) : x2
+ y2
≤ 1 } sobre el hemisferio
y dicha aplicación es uno a uno48
. Las derivadas parciales ∂r/∂x, ∂r/∂y existen y
son continuas en el interior del disco pero no existen en su frontera. Por consiguiente
todo punto del ecuador es un punto singular de esta representación. En el interior
del disco (donde f es diferenciable) se tiene
∂r
∂x
= i +
∂f
∂x
k = i −
x
1 − x2 − y2
k
∂r
∂y
= j +
∂f
∂y
k = j −
y
1 − x2 − y2
k
El producto vectorial fundamental es
∂r
∂x
∧
∂r
∂y
= −
∂f
∂x
i −
∂f
∂y
j + k =
x
1 − x2 − y2
i +
y
1 − x2 − y2
j + k
luego su norma es
∂r
∂u
∧
∂r
∂v
=
x2
1 − x2 − y2
+
y2
1 − x2 − y2
+ 1 =
1
1 − x2 − y2
=
1
1 − x2 − y2
48
Recuérdese que esto quiere decir que puntos distintos en el disco unidad tienen imagen distinta
en el hemisferio. Véase el tema 9, sección 12 dedicada a las funciones vectoriales invertibles

6. Anexo 121
El vector unitario normal a la superficie será por tanto
n =
∂r
∂x
∧
∂r
∂x
∂r
∂x
∧
∂r
∂x
= x, y, 1 − x2 − y2
Nótese que es unitario pues n = x2
+ y2
+ 1 − x2
− y2
= 1.
A continuación se presentan unas tablas para los distintos sistemas de coordenadas
más utilizados, la expresión de los operadores vectoriales de derivación en cada
uno de los sistemas y la forma final de las ecuaciones de conservación utilizadas en
numerosos problemas.
6.3. Tablas de operadores diferenciales
Es habitual trabajar en alguno de los tres sistemas de coordenadas siguientes: coor-
denadas cartesianas (también llamadas rectangulares), coordenadas cil´ındricas y co-
ordenadas esféricas.
Las coordenadas polares, que se usan en IR2
, se pueden obtener fácilmente al proyec-
tar en el plano z ≡ 0 las coordenadas cil´ındricas y no serán descritas como caso
autónomo sino que se considerarán como un caso particular de las cil´ındricas (que
representan por tanto su generalización a IR3
).
Ya se han introducido estos sistemas de coordenadas en el tema 11 de la asignatura
de primer curso al considerar el problema de la integración múltiple en dos y tres
dimensiones, pues hemos visto que ciertas curvas tienen una descripción (ecuación)
más simple en coordenadas polares que en cartesianas o ciertas superficies y sólidos
en el espacio se pueden describir más fácilmente en coordenadas ci´ındricas y esféricas
que en cartesianas. Su utilidad fue por tanto simplificar la operación de integración
múltiple para el cálculo, por ejemplo, de áreas, volúmenes, centros de gravedad y
momentos de inercia. En el tema 12 de la asignatura de primer curso dedicado a
la teor´ıa de campos se definieron los operadores de derivación vectoriales gradiente,
divergencia y rotacional. Recordaremos aqu´ı su expresión en términos del sistema
de coordenadas empleado. Antes, daremos unas sencillas fórmulas de conversión
entre los distintos sistemas de referencia en el caso espacial tridimensional. Una
gran cantidad de ejemplos donde se puede apreciar la importancia del sistema de
coordenadas utilizado en el proceso de clasificación y resolución de una ecuación
diferencial se pueden encontrar en el tema 2 de estos guiones as´ı como en el Vol. 2
del libro de Costa Novella sobre Fenómenos de Transporte.
La notación utilizada será: (x, y, z) para la localización de un punto en coordenadas
cartesianas, (r, θ, z) para la localización de un punto en coordenadas cil´ındricas y

(ρ, θ, φ) para la localización de un punto en coordenadas esféricas.
Coordenadas Fórmulas de conversión
Cil´ındricas → Cartesianas x = r cos θ, y = r sin θ, z = z
Cartesianas → Cil´ındricas r = x2 + y2, tan θ = (y/x), z = z
Esféricas → Cartesianas x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ
Cartesianas → Esféricas ρ = x2 + y2 + z2, tan θ = (y/x),
φ = arccos
z
x2 + y2 + z2
Esféricas → Cil´ındricas r = ρ sin φ, θ = θ, z = ρ cos φ
Cil´ındricas → Esféricas ρ =
√
r2 + z2, θ = θ, φ = arccos
z
√
r2 + z2
6.3.1. Operador Divergencia
Dependiendo del sistema de coordenadas utilizado se expresa de distinta manera.
Si el campo vectorial v viene dado en coordenadas rectangulares entonces v =
(vx, vy, vz). Si viene dado en coordenadas cil´ındricas entonces v = (vr, vθ, vz) y si
viene dado en coordenadas esféricas entonces v = (vr, vθ, vφ).

6. Anexo 123
Coordenadas Operador de Divergencia
Rectangulares · v =
∂vx
∂x
+
∂vy
∂y
+
∂vz
∂z
Cil´ındricas · v =
1
r
∂
∂r
(rvr) +
1
r
∂vθ
∂θ
+
∂vz
∂z
=
∂vr
∂r
+
1
r
vr +
1
r
∂vθ
∂θ
+
∂vz
∂z
Esféricas · v =
1
r2
∂
∂r
(r2
vr) +
1
r sin θ
∂
∂θ
(vθ sin θ) +
1
r sin θ
∂vφ
∂φ
6.3.2. Operador Derivada Material
Las leyes generales de conservación en mecánica de fluidos se pueden escribir más
fácilmente en términos del operador diferencial
D
Dt
≡
∂
∂t
+ v · (79)
que se conoce con el nombre de derivada material. La derivada material tiene
un significado f´ısico concreto: es la tasa de cambio de un campo escalar vista por
un observador que se mueve con el fluido. Por ejemplo, aparece en la ecuación de
conservación de la energ´ıa aplicado al campo escalar de temperaturas. También
se aplica a un campo vectorial (por ejemplo, el campo de velocidades) actuando
componente a componente.
Coordenadas Operador de Derivada Material aplicado a T
Rectangulares T(x, y, z, t)
DT
Dt
=
∂T
∂t
+ vx
∂T
∂x
+ vy
∂T
∂y
+ vz
∂T
∂z
Cil´ındricas T(r, θ, z, t)
DT
Dt
=
∂T
∂t
+ vr
∂T
∂r
+
vθ
r
∂T
∂θ
+ vz
∂T
∂z
Esféricas T(r, θ, φ, t)
DT
Dt
=
∂T
∂t
+ vr
∂T
∂r
+
vθ
r
∂T
∂θ
+
vφ
r sin θ
∂T
∂φ

Consideremos el mismo operador pero aplicado al campo vectorial de velocidades
Dv
Dt
≡
∂v
∂t
+ v · v (80)
Se tiene entonces
Coord. Rectangulares Operador de Derivada Material aplicado a v
vx(x, y, z)
Dvx
Dt
=
∂vx
∂t
+ vx
∂vx
∂x
+ vy
∂vx
∂y
+ vz
∂vx
∂z
vy(x, y, z)
Dvy
Dt
=
∂vy
∂t
+ vx
∂vy
∂x
+ vy
∂vy
∂y
+ vz
∂vy
∂z
vz(x, y, z)
Dvz
Dt
=
∂vz
∂t
+ vx
∂vz
∂x
+ vy
∂vz
∂y
+ vz
∂vz
∂z
6.3.3. Operador Laplaciano
El operador laplaciano puede aparecer49
en las ecuaciones de conservación de la
cantidad de movimiento y de la energ´ıa. En el primer caso (es decir considerando
la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento) es sabido que para un
fluido newtoniano con densidad y viscosidad constantes se tiene:
· [τ] = µ 2
v
siendo [τ] el tensor de tensiones (que denotamos como una matriz cuadrada)50
(o
fuerzas) viscosas, siendo µ la viscosidad del fluido. T´ıpicamente se denota 2
v = ∆v.
En el segundo caso, al aplicar la ley de conducción del calor de Fourier se tiene
49
Por ejemplo no aparece al trabajar con fluidos perfectos que satisfacen la ecuación de Euler.
50
No consideraremos en este curso la definición de tensor. Sólo observamos que un escalar se
puede considerar un tensor de orden cero, un vector se considera un tensor de orden uno y que
que un tensor de segundo orden en el espacio tridimensional es un objeto matemático que se puede
representar como un conjunto ordenado de nueve números. Cada uno de ello se asocia con dos
direcciones. Habitualmente se utilizan las matrices para denotar los tensores.

6. Anexo 125
− · q = − · (−k T) = k 2
T
siendo q el vector de flujo (de calor) y k la conductibilidad calor´ıfica. Nuevamente
se suele denotar 2
T = ∆T. En general dado un campo escalar u(x, y, z, t) (que
puede ser T o una componente del campo de velocidades) se tiene
Coordenadas Operador Laplaciano
Rectangulares ∆u =
∂2
u
∂x2
+
∂2
u
∂y2
+
∂2
u
∂z2
Cil´ındricas ∆u =
1
r
∂
∂r
r
∂u
∂r
+
1
r2
∂2
u
∂θ2 +
∂2
u
∂z2
=
∂2
u
∂r2
+
1
r
∂u
∂r
+
1
r2
∂2
u
∂θ2 +
∂2
u
∂z2
Esféricas ∆u =
1
r2
∂u
∂r
r2 ∂u
∂r
+
1
r2 sin φ
∂
∂φ
sin φ
∂u
∂φ
+
1
r2 sin2
φ
∂2
u
∂θ2
Radiales ∆u =
1
rN−1
∂
∂r
rN−1 ∂u
∂r
=
∂2
u
∂r2
+
(N − 1)
r
∂u
∂r
, N = 1, 2, 3
6.4. Tablas de Ecuaciones
Recordaremos aqu´ı las expresiones en distintos sistemas de coordenadas de las ecua-
ciones básicas que aparecen en los problemas de transporte de la mecánica de fluidos.
6.4.1. Ecuación de continuidad
En general se corresponde a la ley de conservación de la materia total (véase por
ejemplo la ecuación 3.75 del vol. 2 del libro de Costa Novella). En forma de balance
local de masa
∂ρ
∂t
+ · (ρv) = 0 (81)

siendo ρ la densidad de masa por unidad de volumen y v el campo de velocidades51
.
Desarrollando las operaciones de derivación que aparecen en (81) se tiene (véase la
propiedad 4 del operador que aparece en la sección 12.6 del guión de primero)
∂ρ
∂t
+ v · ρ + ρ · v = 0 (82)
Esta ecuación (o su forma más compacta (81)) expresa la conservación de materia
en fenómenos en que esta se transporta sólo convectivamente (por ejemplo en el
movimiento de un fluido). Pero no es el caso más general pues no incluye otras
formas de transporte. La identificación de la ecuación de conservación de la masa
con el nombre de ecuación de continuidad es propio de la mecánica de fluidos52
y es una consecuencia de aplicar la ley de conservación de la materia al fluido.
Volviendo al ejemplo (1.2) (que describe el movimiento unidimensional de un gas)
ponemos v = u(x), divv = ux, ρ = ρx y vemos que la ecuación de conservación de
la masa propuesta en (1.2)
ρ
∂u
∂x
+ u
∂ρ
∂x
+
∂ρ
∂t
= 0
es del tipo (82) siendo v · ρ = uρx y ρ( · v) = ρux.
Si la densidad del fluido es constante (fluidos incompresibles) la ecuación de con-
tinuidad se simplifica a la condición de divergencia nula
· v = 0 (83)
que es la expresión matemática de la conservación de la masa para materiales in-
compresibles (representados por campos cuya divergencia es nula).
51
Recuérdese que en Mecánica de Medios Continuos se entiende por fluido un cuerpo cuyas
moléculas tienen poca coherencia entre si, de modo que pueden deslizarse libremente una sobre
otras (l´ıquidos), o separase y desplazarse con completa independencia (gases), tomando siempre la
forma del recipiente que lo contiene.
52
Nótese que la mecánica de fluidos abarca la hidrostática, la hidrodinámica (para fluidos in-
compresibles) y la aerodinámica (para fluidos compresibles) subsónica o supersónica.

6. Anexo 127
Sistema de Coord. Ecuación de continuidad para fluidos incomp.
Rectangulares · v =
∂vx
∂x
+
∂vy
∂y
+
∂vz
∂z
= 0
Cil´ındricas · v =
1
r
∂
∂r
(rvr) +
1
r
∂vθ
∂θ
+
∂vz
∂z
= 0
Esféricas · v =
1
r2
∂
∂r
(r2
vr) +
1
r sin θ
∂
∂θ
(vθ sin θ) +
1
r sin θ
∂vφ
∂φ
= 0
6.4.2. Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento
Se trata de una ecuación vectorial. En mecánica de fluidos se la suele llamar con el
nombre de ecuación del equilibrio o ecuación de Navier-Stokes y modeliza los fluidos
newtonianos con densidad y viscosidad constantes.
Obsérvese que la nomenclatura utilizada para las ecuaciones de conservación de la
masa (ecuación de continuidad) y la ecuación de conservación de la cantidad de
movimiento (ecuación de Navier-Stokes) surge de su aplicación a la mecánica de
fluidos53
.
En realidad hay tres grandes leyes de conservación: ley de conservación de la masa,
ley de conservación de la energ´ıa y ley de conservación de la cantidad de movimiento.
Su aplicación al caso de los fluidos proporciona la ecuación de continuidad, las ecua-
ciones de Navier-Stokes y la ecuación de la energ´ıa. La aplicación a otras parcelas,
como la mecánica de sólidos r´ıgidos, la mecánica cuántica (distancias microscópi-
cas), la mecánica relativista (distancias macroscópicas) o el electromagnetismo, se
manifiesta por otras ecuaciones que se conocen con otros nombres pero que respon-
den a las mismas leyes de conservación. La ecuación (vectorial) de Navier-Stokes
es, por ejemplo, una consecuencia de la ecuación de conservación de la cantidad de
movimiento.
ρ
Dv
Dt
= ρg − P + µ 2
v (84)
53
La mecánica de fluidos es sólo una rama de la mecánica de medios continuos que es la ciencia
que estudia en general los medios deformables constituidos por infinitos puntos. Otra rama nace
por ejemplo al estudiar los cuerpos elásticos (membranas, vigas, cuerdas vibrantes).

Por ejemplo, las ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas rectangulares son
Ecuaciones de Navier-Stokes en Coord. Rectangulares
x ρ
∂vx
∂t
+ vx
∂vx
∂x
+ vy
∂vx
∂y
+ vz
∂vx
∂z
= ρgx −
∂P
∂x
+ µ
∂2
vx
∂x2
+
∂2
vx
∂y2
+
∂2
vx
∂z2
y ρ
∂vy
∂t
+ vx
∂vy
∂x
+ vy
∂vy
∂y
+ vz
∂vy
∂z
= ρgy −
∂P
∂y
+ µ
∂2
vy
∂x2
+
∂2
vy
∂y2
+
∂2
vy
∂z2
z ρ
∂vz
∂t
+ vx
∂vz
∂x
+ vy
∂vz
∂y
+ vz
∂vz
∂z
= ρgz −
∂P
∂z
+ µ
∂2
vz
∂x2
+
∂2
vz
∂y2
+
∂2
vz
∂z2
Las ecuaciones de Navier-Stokes en Coordenadas Cil´ındricas son:
Componente Ecuaciones de Navier-Stokes
componente r ρ
∂vr
∂t
+ vr
∂vr
∂r
+
vθ
r
∂vr
∂θ
−
v2
θ
r
+ vz
∂vr
∂z
=
ρgr −
∂P
∂r
+ µ
∂
∂r
1
r
∂
∂r
(rvr) +
1
r2
∂2
vr
∂θ2 −
2
r2
∂vθ
∂θ
+
∂2
vr
∂z22
componente θ ρ
∂vθ
∂t
+ vr
∂vθ
∂r
+
vθ
r
∂vθ
∂θ
+
vrvθ
r
+ vz
∂vθ
∂z
=
ρgθ −
∂P
∂θ
+ µ
∂
∂r
1
r
∂
∂r
(rvθ) +
1
r2
∂2
vθ
∂θ2 +
2
r2
∂vθ
∂θ
+
∂2
vθ
∂z22
componente z ρ
∂vz
∂t
+ vr
∂vz
∂r
+
vθ
r
∂vz
∂θ
+ vz
∂vz
∂z
=
ρgz −
∂P
∂z
+ µ
∂
∂r
1
r
∂
∂r
r
∂v
∂z
+
1
r2
∂2
vz
∂θ2 +
∂2
vz
∂z22

6. Anexo 129
6.4.3. Ecuación de conservación de la energ´ıa
En muchos problemas que requieren una ecuación de la energ´ıa los efectos térmi-
cos son mucho más importantes que los efectos mecánicos. Esto ocurre por ejemplo
cuando existen en el sistemas grandes variaciones de temperatura o cuando se pro-
duce calor por reacción. Si suponemos que la densidad ρ y el calor espec´ıfico cp son
constantes entonces la ecuación de la energ´ıa toma la forma
ρcp
DT
Dt
= − · q + HV (85)
donde el término de fuente HV representa la tasa de producción de energ´ıa debida
a fuentes de energ´ıa externas por unidad de volumen. El ejemplo más común es el
calor que se produce por la resistencia al flujo de una corriente eléctrica. El flujo de
calor en un sólido o en un fluido puro se calcula utilizando la ley de Fourier:
q = −k T
Si la conductividad calor´ıfica k es constante entonces la forma usual de la ecuación
de la energ´ıa interna es
ρcp
DT
Dt
= k 2
T + HV (86)
En esta ecuación no está representado el fenómeno de la disipación viscosa que es
la conversión de la energ´ıa cinética en calor debida a la fricción interna al fluido.
Normalmente es despreciable exceptuando algunos flujos a alta velocidad (con gra-
dientes de velocidades elevados) o el flujo de fluidos extremadamente viscosos (el
hielo o el magma de los volcanes por ejemplo) Dependiendo del sistema de coorde-
nadas considerado se tienen las siguientes expresiones de la ecuación (86), siendo
T(x, y, z, t) en coordenadas rectangulares, T(r, θ, z, t) en coordenadas cil´ındricas y
T(r, θ, φ, t) en coordenadas esféricas:

Conservaci´on de la Energ´ıa
Coordenadas Rectangulares (x, y, z)
∂T
∂t
+ vx
∂T
∂x
+ vy
∂T
∂y
+ vz
∂T
∂z
= α
∂2
T
∂x2
+
∂2
T
∂y2
+
∂2
T
∂z2
+
HV
ρcp
Coordenadas Cil´ındricas (r, θ, z)
∂T
∂t
+ vr
∂T
∂r
+
vθ
r
∂T
∂θ
+ vz
∂T
∂z
= α
1
r
∂
∂r
r
∂T
∂r
+
1
r2
∂2
T
∂θ2 +
∂2
T
∂z2
+
HV
ρcp
Coordenadas Esf´ericas (r, θ, φ)
∂T
∂t
+ vr
∂T
∂r
+
vθ
r
∂T
∂θ
+
vφ
r sin θ
∂T
∂φ
=
= α
1
r2
∂T
∂r
r2 ∂T
∂r
+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂T
∂θ
+
1
r2 sin2
θ
∂2
T
∂θ2 +
HV
ρcp

7. Ejercicios 131
7. Ejercicios
Ejercicio 1.1. Encontrar las soluciones u(x, y) de las siguientes ecuaciones diferen-
ciales
a) ux = 0, b) uy = 0.
Comprobar el resultado obtenido.
ciales
a) uxx = 0, b) uxy = 0.
Ejercicio 1.3. Resolver las ecuaciones en derivadas parciales
a) uxx − u = 0, b) uxx + 4u = 0,
siendo u = u(x, y). Comprobar el resultado obtenido.
ciales
a) uy + 2yu = 0, b) ux = 2xyu.
Ejercicio 1.5. Resolver la ecuación en derivadas parciales
uxy = −ux.
Ejercicio 1.6. Encontrar las soluciones u(x, y) de la siguiente ecuación diferencial
uxyy + ux = 0.
Ejercicio 1.7. [Problema de Valor Inicial] Resolver el problema de valores iniciales
(P.V.I.) =



∂u
∂t
= −q(x)u(x, t), 0 < x < ∞, t > 0,
u(x, 0) = u0(x), 0 < x < ∞, t = 0,
siendo q(x) y u0(x) funciones dadas.
¿Que condición sobre el signo de la función q(x) es necesario imponer para que la
solución del P.V.I decaiga a cero en el infinito ? (Sugerencia: calcular el l´ımite de
u(x, t) cuando t → ∞).

Ejercicio 1.8. [Problema de Valor Inicial] Resolver (mediante integración directa y
también aplicando el método de las caracter´ısticas) el problema de valores iniciales
para la EDP 


∂u
∂t
=
xt
2
, 0 < x < ∞, t > 0,
u(x, 0) = u0(x), 0 < x < ∞, t = 0,
siendo u0(x) definida por
u0(x) =
1 [−0,5, 0,5],
0 otros casos.
Comparar la solución obtenida con los dos métodos.
Ejercicio 1.9. Sean dados los siguientes campos de velocidades para flujos planos
estacionarios:
v1
= (y, x), v2
= (y, −x), v3
= (x, y), v4
= (−y, x).
a) Calcular la divergencia y el rotacional de cada campo vectorial. Determinar si
estos campos están asociados a flujos incompresibles y/o potenciales.
b) Determinar (si existen!) la función de corriente y la función potencial de los
campos dados.
c) Comprobar que las respectivas l´ıneas de corriente y l´ıneas potenciales son
ortogonales (sugerencia: utilizar la ecuación ψ · φ = 0).
Razonar las respuestas.
Ejercicio 1.10. Clasificar las siguientes ecuaciones en derivadas parciales de primer
orden en cuasilineales o lineales, homogéneas o no homogéneas, de coeficientes cons-
tantes o variables. A partir de la clasificación deducir (sin resolver las ecuaciones)
si las caracter´ısticas pueden ser l´ıneas rectas y/o las soluciones son constantes a lo
largo de las mismas
1) xuux − uy = 1, 2) ux − uy = x, 3) (1 + x)uy − ux = u,
4) uux + xuy = 0, 5) (y − u)uy = x, 6) (u + x)uy − yuy = u.
Ejercicio 1.11. Clasificar y resolver las siguientes ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales de I orden
1)
∂z
∂x
−
∂z
∂y
= 0, 2)
∂z
∂x
+
∂z
∂y
= 2z, 3) x
∂z
∂y
= z.

7. Ejercicios 133
Ejercicio 1.12. [Problema de Cauchy] Se considera la ecuación
y
∂u
∂x
= u
donde z = u(x, y) viene prescrita en la curva Γ0 definida por x = 2, u = y. Clasificar
la EDP, analizar si el problema de Cauchy asociado está bien planteado y, finalmente,
resolverlo.
x
∂u
∂x
− y
∂u
∂y
= u
donde z = u(x, y) viene prescrita en la curva Γ0 definida por y = 1, u = 3x. Analizar
el problema de Cauchy asociado.
yu
∂u
∂x
+
∂u
∂y
= 0
donde z = u(x, y) viene prescrita en la curva Γ0 definida por x = 0, u = y3
. Clasificar
la EDP y analizar el problema de Cauchy asociado.
∂u
∂x
− 2x
∂u
∂y
= 0
donde z = u(x, y) viene prescrita en la curva Γ0 definida por x = 1, u = y2
. Analizar
el problema de Cauchy asociado.
Ejercicio 1.16. [Clasificación] Clasificar los siguientes operadores en lineales y no
lineales.
L1[u] =
∂u
∂t
+ x2 ∂2
u
∂x2
, L2[u] =
∂u
∂t
+ u
∂2
u
∂x2
+ u.
Ejercicio 1.17. Clasificar los operadores siguientes y encontrar sus caracter´ısticas
(si hay alguna) que pasan por el punto (0, 1).
L1[u] =
∂2
u
∂t2
+
∂2
u
∂x∂t
+
∂2
u
∂x2
, L2[u] =
∂2
u
∂t2
+4
∂2
u
∂x∂t
+4
∂2
u
∂x2
, L3[u] =
∂2
u
∂t2
−4
∂2
u
∂x∂t
+
∂2
u
∂x2
,
Ejercicio 1.18. [Clasificación] Hallar donde son hiperbólicos, parabólicos y el´ıpticos
los siguientes operadores
L1[u] =
∂2
u
∂t2
+t
∂2
u
∂x∂t
+x
∂2
u
∂x2
, L2[u] = x2 ∂2
u
∂t2
−
∂2
u
∂x2
+u, L3[u] = t
∂2
u
∂t2
+2
∂2
u
∂x∂t
+x
∂2
u
∂x2
+
∂u
∂x

Ejercicio 1.19. Sea ∈ IR+
un parámetro dado. Introduciendo la notación ade-
cuada, escribir expl´ıcitamente los operadores de derivación parcial que aparecen en
la ecuación de convección-difusión estacionaria
u · T = 2
T, Ω ⊂ IR2
en coordenadas cartesianas y demostrar que es una ecuación el´ıptica de segundo
orden.
Ejercicio 1.20. Determinar los valores de m para los cuales u = f(y + mx), siendo
f(s) una función suficientemente regular (digamos de clase C2
), es solución de la
ecuación en derivadas parciales
a
∂2
u
∂x2
+ b
∂2
u
∂x∂y
+ c
∂2
u
∂y2
= 0
Discutir la multiplicidad de soluciones dependiendo del tipo de EDP considerada
(es decir el´ıptica, parabólica o hiperbólica).
Ejercicio 1.21. Sea dada la ecuación de segundo orden
∆u =
∂2
u
∂x2
+
∂2
u
∂y2
= 0
conocida con el nombre de ecuación de Laplace bidimensional. Verificar si las fun-
ciones
u1 = ex
cos y, u2 = ln(x2
+ y2
) u3 = sin x sinh y, u4 = arctan(y/x),
son soluciones de la ecuación anterior, determinando para las que lo sean, la región
Ω ⊂ IR2
(eventualmente todo IR2
) donde se verifica la ecuación.
Ejercicio 1.22. Sea dada la ecuación de segundo orden
∆u =
∂2
u
∂x2
+
∂2
u
∂y2
+
∂2
u
∂z2
= 0
conocida con el nombre de ecuación de Laplace tridimensional. Mostrar que la fun-
ción
u(x, y, z) =
1
x2 + y2 + z2
,
es solución de la ecuación de Laplace tridimensional.
Ejercicio 1.23. Sea dada la ecuación
∂u
∂t
= c
∂2
u
∂x2

7. Ejercicios 135
siendo c ∈ IR+
. La ecuación anterior se conoce con el nombre de ecuación del calor
unidimensional. Verificar si las siguientes funciones son soluciones de la ecuación del
calor para un valor adecuado (siempre positivo) del parámetro c:
u1 = e−t
cos x + x, u2 = e−t
sin 3x, u3 = e−w2c2t
sin wx
Determinar el calor de c en cada caso. Analizar el comportamiento de las soluciones
para tiempos grandes comprobando la convergencia de la misma a una solución del
problema estacionario asociado.
Sugerencia: calcular
l´ım
t→∞
ui(x, t), ∀ i = 1, 2, 3.
Ejercicio 1.24. [Teórico∗
] Mostrar que el problema de valores iniciales para la EDP



∂u
∂t
+ V
∂u
∂x
= 0, 0 < x < ∞, t > 0,
u(x, 0) = u0(x), 0 < x < ∞, t = 0,
es equivalente a una familia de problemas de valores iniciales para las EDO



∂˜u
∂τ
= 0, 0 < ξ + V τ < ∞, τ > 0
˜u(ξ, 0) = u0(ξ), 0 < ξ < ∞, τ = 0
Mostrar que la solución u(x, t) viene dada por u(x, t) = ˜u(t, x − V t).
Ejercicio 1.25. [Problema de Valor Inicial] Se considera el P.V.I. dado por el sis-
tema hiperbólico
(P.V.I.)



ut + ux + vx = 0
vt + ux − vx = 0
y las condiciones iniciales
u(x, 0) = u0(x) ≡ 0, v(x, 0) = v0(x).
Ejercicio 1.26. [Problema de Valor Inicial (P.V.I)] Se considera el P.V.I.
(P.V.I.)



ut + xux = u
u(x, 0) = u0(x)
u(x, 0) = u0(x) =
1 0 ≤ x ≤ 1
0 otros casos

Ejercicio 1.27. [P.V.I] Se considera la ecuación
y
∂u
∂x
+
∂u
∂y
= 2
donde u viene prescrita en el segmento inicial Γ0 definido por y = 0, 0 ≤ x ≤ 1.
Analizar el problema de valor inicial asociado.
Ejercicio 1.28. [P.V.I] Sea u una solución del P.V.I. dado por la EDP
√
x
∂u
∂x
+ u
∂u
∂y
= −u2
y la condición inicial u ≡ 1 en y = 0, 0 < x < ∞. Calcular la ecuación de la
caracter´ıstica que pasa por el punto (x0, 0), x0 > 0 y la solución a lo largo de esta
caracter´ıstica.
Ejercicio 1.29. [P.V.I] Sea u una solución del PVI dado por la EDP
x2
u
∂u
∂x
+ e−y ∂u
∂y
= −u2
y la condición inicial u ≡ 1 en y = 0, 0 < x < ∞. Calcular la ecuación cartesiana
de la caracter´ıstica que pasa por el punto (x0, 0), x0 > 0 y la solución a lo largo de
esta caracter´ıstica.
Ejercicio 1.30. [Problema de Valor Inicial y de Contorno] Sea u una solución del
problema de valor inicial y de contorno dado por la EDP
∂u
∂x
+
x
√
u
∂u
∂y
= 2x
y las condiciones de contorno u ≡ 0 en x = 0, y ≥ 0 e inicial u ≡ 0 en y = 0, x > 0.
Calcular las soluciones anal´ıticas en los puntos (2, 5) y (5, 4). Calcular la ecuación
cartesiana de las caracter´ısticas que pasan por estos dos puntos.

8. Ejercicios propuestos en exámenes 137
8. Ejercicios propuestos en exámenes
Ejercicio 1. Examen control. 7/4/2000. Problema 1
Sea dado el campo vectorial
v(x, y) = (vx(x, y), vy(x, y)) = (x − y, αx − y)
(siendo α ∈ IR un parámetro real) que corresponde al campo de velocidades (esta-
cionario y bidimensional) de un fluido cuyo flujo se quiere analizar. Se pide contestar,
razonadamente, a las siguientes preguntas:
1. Calcular la divergencia y el rotacional del campo. ¿ Para qué valor (o valores)
del parámetro α el flujo asociado al fluido se puede considerar incompresible
e irrotacional ?
(1 punto)
2. Para los valores de α determinados en el apartado anterior calcular una función
de corriente ψ(x, y) y una función potencial φ(x, y) del campo v utilizando las
definiciones de las mismas.
(2’5 puntos)
3. Comprobar que las funciones determinadas en el apartado anterior son orto-
gonales. (Sugerencia: utilizar la ecuación ψ · φ = 0).
(0’5 punto)
4. Determinar la l´ınea de corriente y la l´ınea potencial que pasan por el punto
(1, 1).
(1 punto)
Se considera el problema de valor inicial
PVI =



ut + 2tux = 0 x ∈ IR, t > 0
u(x, 0) = cos(x) x ∈ IR, t = 0
1. Clasificar la ecuación en derivadas parciales (EDP) que define el PVI.
(0’5 punto)

2. Utilizando la clasificación hecha en el apartado anterior, ¿se puede afirmar que
las caracter´ısticas de la EDP son l´ıneas rectas y que la solución es constante a
lo largo de las caracter´ısticas ?
(1 punto)
3. Calcular las caracter´ısticas de la EDP.
(1’5 puntos)
4. Determinar la solución general de la EDP.
(2 puntos)
5. Encontrar la (única) solución del PVI.
(2 puntos)
v(x, y) = (vx(x, y), vy(x, y)) = Ax2
+ By2
+ Cxy,
1
2
Cx2
+ y2
+ 2xy
(siendo A, B, C, parámetros reales), que corresponde al campo de velocidades (esta-
cionario y bidimensional) de un fluido cuyo flujo se quiere analizar. Se pide contestar,
razonadamente, a las siguientes preguntas:
1. Calcular la divergencia y el rotacional del campo. ¿ Para qué valores de los
parámetros A, B, C, el flujo asociado al fluido se puede considerar incompre-
sible e irrotacional ?
(1 punto)
2. Para los valores de A, B, C determinados en el apartado anterior calcular una
función de corriente ψ(x, y) y una función potencial φ(x, y) del campo v uti-
lizando las definiciones de las mismas.
(2’5 puntos)
(1 punto)
4. Considerando la función de corriente y la función potencial asociadas a la
constante C = 0, determinar la l´ınea de corriente y la l´ınea potencial que
pasan por el punto (1, 1).
(0.5 punto)

PVI =



(
√
t + 1)ut + xux = 0 x > 0, t > 0
u(x, 0) = ln(x) x > 0, t = 0
1. Clasificar la ecuación en derivadas parciales (EDP) que define el PVI. ¿Se
puede afirmar que las caracter´ısticas de la EDP son l´ıneas rectas y que la
solución es constante a lo largo de las caracter´ısticas ?
(1 punto)
2. Calcular las caracter´ısticas de la EDP y determinar la solución general de la
EDP.
(1’5 puntos)
3. Demostrar que el PVI está bien puesto y encontrar su solución.
(2 puntos)
4. Calcular u(1, 0) y u(e2
, 3) y determinar las ecuaciones de las caracter´ısticas
que pasan por los puntos (1, 0) y (e2
, 3).
(0.5 punto)
v(x, y) = (vx(x, y), vy(x, y)) = (ax + by + cxy, 2x + 3y + dxy)
(siendo a, b, c, d ∈ IR parámetros reales) que corresponde al campo de velocidades
(estacionario y bidimensional) de un fluido cuyo flujo se quiere analizar. Se pide
contestar, razonadamente, a las siguientes preguntas:
1. Calcular la divergencia y el rotacional del campo. ¿ Para qué valor (o valo-
res) de los parámetros a, b, c, d el flujo asociado al fluido se puede considerar
incompresible e irrotacional ?
(1 punto)

2. Para los valores de a, b, c, d determinados en el apartado anterior calcular una
función de corriente ψ(x, y) y una función potencial φ(x, y) del campo v uti-
lizando las definiciones de las mismas.
(2’5 puntos)
(0’5 punto)
4. Determinar la l´ınea de corriente y la l´ınea potencial que pasan por el punto
(1, 1).
(1 punto)
PVI =



ut + 3ux = xu x ∈ IR, t > 0
u(x, 0) = x2
x ∈ IR, t = 0
1. Clasificar la ecuación en derivadas parciales (EDP) que define el PVI.
(0’5 punto)
2. ¿ Utilizando la clasificación hecha en el apartado anterior, se puede afirmar que
las caracter´ısticas de la EDP son l´ıneas rectas y que la solución es constante a
lo largo de las caracter´ısticas ?
(0.5 punto)
3. Calcular las caracter´ısticas de la EDP.
(1 punto)
(1 puntos)
5. Determinar si el problema de valor inicial está bien planteado. En caso afir-
mativo encontrar la (única) solución del PVI.
(1 punto)
6. Determinar el comportamiento de la solución para tiempos grandes (es decir,
calcular el l´ımite cuando t → +∞).
(1 punto)

Ejercicio 7. Examen de Septiembre. 2/9/2002. Problema 3
Consideramos el problema evolutivo unidimensional de convección y absorción si-
guiente:
(P)
.
=



∂u
∂t
(x, t) + V
∂u
∂x
(x, t) = −u1/2
, x ≥ 0, t > 0,
u(x, 0) = e−2x
, x ≥ 0,
siendo V una constante positiva que denota la velocidad del fluido. Se pide:
a) [4 puntos]
Clasificar la EDP. ¿Podr´ıas indicar cuál es el término de convección?.
b) [4 puntos]
Demostrar que el PVI (problema de valor inicial) está bien puesto.
c) [12 puntos]
Determinar su solución anal´ıtica.
d) [5 puntos]
Determina el comportamiento de la solución cuando x → ∞ en cada instante
de tiempo fijado t = T.
PVI =



ut + 2ux + u2
= 0, x ∈ IR, t > 0,
u(x, 0) = x, x ∈ IR, t = 0.
1. Clasificar la ecuación en derivadas parciales (EDP) que define el PVI. ¿ Uti-
lizando la clasificación anterior, se puede afirmar que las caracter´ısticas de la
EDP son l´ıneas rectas y que la solución es constante a lo largo de las carac-
ter´ısticas ?
(2 puntos)

2. Calcular las caracter´ısticas de la EDP en la forma ψ1(x, t, u) = c1 y ψ2(x, t, u) =
c2.
(2 puntos)
(2 puntos)
(4 puntos)
calcular el l´ımite cuando t → +∞). ¿ Sabr´ıas dar una interpretación f´ısica
de este comportamiento en términos de los procesos de difusión, convección,
reacción y absorción eventualmente presentes en la ecuación ?
(2 puntos)
PVI =



ut + e−x
ux + u = αt, x ∈ IR, t > 0,
u(x, 0) = sin(ex
), x ∈ IR, t = 0,
siendo α un parámetro no negativo.
1. Clasificar la ecuación en derivadas parciales (EDP) que define el PVI. ¿ Uti-
lizando la clasificación hecha en el apartado anterior, se puede afirmar que las
caracter´ısticas de la EDP son l´ıneas rectas y que la solución es constante a lo
largo de las caracter´ısticas ?
(2 puntos)
(4 puntos)

(4 puntos)
calcular el l´ımite cuando t → +∞). Determinar los valores del parámetro α
que aseguran el decaimiento a cero (extinción) de la solución.
(3 puntos)

9. Bibliograf´ıa
Apostol, T.M., (1982), Análisis matemático. II ed. Editorial Reverté.
Apostol, T.M., (1996), Calculus. II ed. Editorial Reverté.
Costa Novella, E. (1986). Ingenier´ıa Qu´ımica. Vol. 2, Fenómenos de Trans-
porte. Vol. 3, Flujo de Fluidos. Vol. 4, Transmisión de Calor. Vol. 5, Transfer-
encia de Materia. Alhambra Universidad.
Courant, R y Hilbert, D. (1989). Partial Differential Equations. Vol 2. John
Wiley & Sons, Inc.
Deen, W.M., (1998). Analysis of Transport Phenomena. Oxford University
Press.
Elsgoltz, L. (1983). Ecuaciones diferenciales y cálculo variacional. III Ed. Ed-
itorial Mir.
Kreyszig, E. (1993). Advanced Engineering Mathematics. VII Ed. John Wiley
& Sons, Inc.
Marsden, J. E. y Tromba, A. J. (1991). Cálculo vectorial. (III edición). Ed.
Addison-Wesley Iberoamericana
Mei, C.C. (1997). Mathematical analysis in Engineering. Cambridge University
Press.
Rice, R.G, Do, D.D., (1995). Applied Mathematics and Modelling for Chemical
Engineers. John Wiley & Sons, Inc.
Smith, G.D. (1999). Numerical Solutions of Partial Differential Equations.
Finite Difference Methods. III Ed. Oxford University Press.
Strikwerda J. C., (1989). Finite Difference Schemes and Partial Differential
Equations. Chapman & Hall. International Thomson Publishing.
Weinberger, H., (1965). A first course in partial differential equations. Blaisdell.
Zill, D.G., (1977). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. In-
ternational Thomson Ed. 6 ed.

9. Bibliograf´ıa 145
9.1. Bibliograf´ıa avanzada
Adams, R., (1975), Sobolev spaces. Academic Press.
Brezis, H., (1983) Analyse Fonctionelle. Masson. Paris.
D´ıaz, J.I., (1985). Nonlinear Partial Differential Equations and Free Bound-
aries. Ed. Pitman. Londres.
Fowler, A.C, (1997). Mathematical Models in the Applied Sciences. Cambridge
texts in Applied Mathematics. Cambridge University Press.
Froment, G.F y Bischoff, K.B., (1990). Chemical Reactor Analysis and Design.
II Ed. John Wiley & Sons, Inc.
Godlewski, E., Raviart, P.A., (1991). Hyperbolic Systems of Conservation
Laws. Ed. Ellipses.
John, F., (1982). Partial differential equations. IV Ed. Applied Mathematical
Sciences. Springer Verlag

Introducción edp's

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (20)

Similar a Introducción edp's (20)

Más de jose manuel lopez vidal (20)

Último (20)

Introducción edp's