Triangulaciones irreducibles en el toro perforado (ponencia)

Triangulaciones irreducibles en
superficies 1-perforadas
M.J. Ch´veza , S. Lawrencenkoa , J.R. Portilloa , M.T. Villarc
a
(a) Departamento de Matem´tica Aplicada 1, Universidad de Sevilla.
a
E-mail: {mjchavez,josera}@us.es

(b) Russian State University de Tourism y Service, Lyubertsy, Moscow Region, Russia.
E-mail: lawrencenko@hotmail.com
(c) Departamento de Geometrá y Topologá, Universidad de Sevilla.
ı
ı
E-mail: villar@us.es

Resumen. Una triangulaciń de una superficie es irreducible si no contiene aristas
o
tales que su contracciń produzca otra triangulaciń de la superficie. En este trabajo
o
o
presentamos un algoritmo que construye el conjunto de triangulaciones irreducibles de
cualquier superficie con exactamente una componente en el borde.
Palabras clave. Triangulaciń irreducible, superficie perforada, algoritmo.
o

´
Introduccion y terminolog´
ıa
Fijamos nuestra atenciń en los siguientes objetos:
o
• S es una superficie cerrada. Ora la superficie orientable Sg de gńero g,
e
ora la superficie cerrada no orientable Nk de gńero no orientable k. En
e
particular, S0 es la esfera, S1 el toro, N1 el plano proyectivo y N2 la botella
de Klein.
• S − D es S menos el disco abierto D (el agujero). Estas superficies compactas se denominan 1-perforadas. Asumimos que el borde ∂S de S (que
es tambiń ∂D) es homoeomorfo a una circunferencia.
e
Usamos la notaciń Σ para representar superficies en cualquiera de los dos casos
o
anteriores, o sea, Σ ∈ {S, S − D}.
Si un grafo (finito, no dirigido, simple) G es una inmersiń 2-celular en Σ, a
o
las componentes de Σ − G se les llaman caras. Una triangulaciń de Σ mediante
o
un grafo G es una inmersiń 2-celular T : G → Σ en la cual cada cara est´
o
a
acotada por un 3-ciclo (i.e., un ciclo de longitud 3) de G y cualesquiera dos
caras son disjuntas o comparten un unico v´rtice o comparten una unica arista.
´
e
´

124

Triangulaciones irreducibles en superficies 1-perforadas

Denotamos por V = V (T ), E = E(T ) y F = F (T ) a los conjuntos de v´rtices,
e
aristas y caras de T , respectivamente. Del mismo modo, la triangulaciń T de
o
una superficie cerrada se puede definir como un hipergrafo de rango 3 (un 3grafo) cuyo conjunto de v´rtices es V (T ) y sus hiperaristas es la colecciń F (T )
e
o
de tripletas de V (T ) (llamadas 3-aristas o trińgulos de T ) (váse [4]). Para las
a
e
superficies perforadas el conjunto de hiperaristas est´ constituido por las 2-aristas
a
∂(T ) de pares de v´rtices que constituyen las aristas del borde del agujero y las
e
3-aristas F (T ) de tripletas de v´rtices que son los trińgulos.
e
a
Denotamos G(T ) al grafo (V (T ), E(T )) de la triangulaciń T . Dos triangulao
∼ T2 ), si existe una biyecciń α : V (T1 ) → V (T2 )
ciones T1 y T2 son isomorfas, (T1 =
o
tal que uvw ∈ F (T1 ) si y s´lo si α(u)α(v)α(w) ∈ F (T2 ). En este trabajo consio
deraremos que triangulaciones isomorfas son la misma triangulaciń.
o
En el caso Σ = S − D, denotaremos por ∂T (que es tambiń ∂D) al ciclo
e
borde de T . Los v´rtices y aristas de ∂T se llaman v´rtices-borde y aristas-borde
e
e
de T , respectivamente.
Una triangulaciń de una superficie perforada es irreducible si ninguna arista
o
puede ser contra´ sin producir aristas m´ltiples o sin cambiar el tipo topol´gico
ıda
u
o
de la superficie. Este t´rmino ser´ definido de forma m´s precisa en la secciń 1.
e
a
a
o
Las triangulaciones irreducibles de Σ forman una base de la familia de todas las
triangulaciones de Σ, en el sentido de que cualquier triangulaciń de Σ se puede
o
obtener a partir de un miembro de la base aplicando la operaciń explosiń,
o
o
(definida as´
ımismo en la secciń 1) un n´mero finito de veces. Poseer esta base
o
u
es, por tanto, muy util en aplicaciones prćticas de generaciń de triangulaciones
´
a
o
(vid. [6] y [19]).
Es conocido que para cada superficie Σ la base de triangulaciones irreducibles
es finita (el caso de superficies cerradas est´ probado en [2], [13], [12] y [7] y el
a
caso de superficies con borde en [3]).
En la actualidad, tales bases s´lamente se conocen para siete superficies cero
radas y dos superficies 1-perforadas: la esfera ([14]), el plano proyectivo ([1]), el
toro ([8]), la botella de Klein ([9] y [15]), S2 , N3 , y N4 ([16, 17]), el disco y la
banda de M¨bius ([5]).
o
En este trabajo presentamos un algoritmo diseãdo como aplicaciń de ren
o
cientes avances en el estudio de triangulaciones irreducibles de superficies 1perforadas [5]. Espec´
ıficamente, los lemas 1-3 de la secciń 1 son el soporte
o
te´rico del citado algoritmo. Como ejemplo de las aplicaciones del mismo, se han
o
determinado todos los tipos combinatorios no isomorfos de triangulaciones del
toro 1-perforado: existen exactamente 293 tipos.

M.J. Ch´vez, S. Lawrencenko, J.R. Portillo, M.T. Villar
a

1

125

Resultados previos

Sea T una triangulaciń de Σ. Un par no ordenado de distintas aristas vu
o
y vw de T adyacentes en el mismo v´rtice v se denomina una esquina de T en
e
el v´rtice v y se denota como u, v, w (= w, v, u ). La explosiń de una esquina
e
o
u, v, w se denota sp u, v, w y es la operaciń que consiste en cortar T en las
o
aristas vu y vw y cerrar el agujero resultante con dos nuevas caras triangulares,
v ′ v ′′ u y v ′ v ′′ w, dńde v ′ y v ′′ denotan dos im´genes del v´rtice v que aparecen
o
a
e
como resultado del corte. Bajo esta operaciń, el v´rtice v se convierte en la
o
e
arista v ′ v ′′ y las dos nuevas caras que tienen esta arista en comń se insertan en
u
la triangulaciń. Por lo tanto, el orden del grafo se incrementa en una unidad y
o
el tamaõ en tres.
n
Si una esquina u, v, w se compone de dos aristas vu y vw con el v´rtice v en
e
comń, sp u, v, w equivale a la subdivisiń estelar de la cara uvw.
u
o
Especialmente en el caso {Σ = S − D, uv ∈ E(T ), y v ∈ V (T )}, la operaciń
o
de explosiń de una esquina truncada u, v], sp u, v], produce una cara triangular
o
simple uv ′ v ′′ , dńde v ′ v ′′ ∈ E(∂(sp u, v](T ))).
o
Bajo la operaciń inversa, contraer la arista v ′ v ′′ (denotado como sh v ′ v ′′ )
o
la arista colapsa a un unico v´rtice v y las caras v ′ v ′′ u y v ′ v ′′ w colapsan en las
´
e
aristas vu y vw, respectivamente. En este caso, sp u, v, w ◦ sh v ′ v ′′ (T ) = T .
Debe hacerse notar que en el caso {Σ = S − D, v ′ v ′′ ∈ E(∂T )}, hay s´lo una
o
cara incidente con v ′ v ′′ y esta unica cara colapsa a una arista mediante sh v ′ v ′′ .
´
Obviamente, la operaciń explosiń no cambia el tipo topol´gico de Σ if Σ ∈
o
o
o
{S, S − D}. Observemos que la operaciń contraer debe preservar tambiń el
o
e
tipo topol´gico de Σ; m´s ań, aristas m´ltiples no pueden ser creadas en una
o
a u
u
triangulaciń. Un 3-ciclo de T se llama no-cara si no acota ninguna cara de T . En
o
el caso que una arista e ∈ E(T ) aparezca en algń 3-ciclo no-cara y si insistimos
u
en contraer e, es posible que se produzcan aristas m´ltiples, que expulsarń a
u
a
sh e (T ) de la clase de triangulaciones. Una arista e se denomina contrćtil o
a
cable si sh e (T ) sigue siendo triangulaciń de Σ; en otro caso la arista se llama
o
no contrćtil o barra. El subgrafo de G(T ) formado por los cables de G(T ) se
a
llama el subgrafo de cables de G(T ).
Los impedimentos para contraer una arista en una triangulaciń T de una
o
superficie perforada S − D fueron identificados en [2, 3, 1, 8]; una arista e ∈ E(T )
es una barra si y s´lo si e satisface una de las siguientes condiciones:
o
(1) e pertenece a un 3-ciclo no-cara de G(T ). En particular, e es una aristaborde en el caso de que el ciclo borde sea un 3-ciclo.
(2) e es una cuerda de D -i.e., los v´rtices de e pertenecen a V (∂D) pero
e
e ∈ E(∂D).
/
A partir de ahora, asumiremos que S = S0 y asumiremos que por “3-ciclo

126


no-cara” entendemos un 3-ciclo no homot´picamente nulo siempre que nos refio
ramos a las condiciones (1) y (2). Entonces, una arista e ser´ una barra cuando
a
e pertenezca a algń 3-ciclo no homot´picamente nulo, y e ser´ un cable en
u
o
a
cualquier otro caso. En particular, las aristas-borde de caras subdivididas estelarmente serń consideradas cables a menos que que pertenezcan a 3-ciclos no
a
homot´picamente nulos. El inter´s de este acuerdo es que una vez que una barra
o
e
deviene cable en el curso de alguna secuencia de explosiones, seguir´ siendo un
a
cable bajo subsiguientes explosiones.
Diremos que una triangulaciń es irreducible si no tiene cables o, lo que es lo
o
mismo, si cada arista es una barra. Por ejemplo, un unico trińgulo es la unica
´
a
´
triangulaciń irreducible del disco S0 − D.
o
Sea T una triangulaciń irreducible de una superficie perforada S − D donde
o
S = S0 . Cerremos ahora el agujero de T restaurando el disco D aãdiendo un
n
v´rtice p en D y uniendo p con todos los v´rtices de ∂D. De esta manera obtene
e
emos una triangulaciń, T ∗ , de la superficie cerrada S. En estas circunstancias
o
llamaremos a D el parche, p ser´ el v´rtice central del parche y diremos que T se
a
e
obtiene de la correspondiente triangulaciń T ∗ de S mediante eliminar parche.
o
N´tese que T ∗ puede ser una triangulaciń irreducible de S pero no tiene que
o
o
serlo necesariamente. Utilizando que hemos asumido la irreducibilidad de T y el
hecho de que cada cable de T ∗ no puede satisfacer la condiciń (1) (en el sentido
o
de no nulidad homot´pica fuerte), se puede ver fćilmente que en el caso que
o
a
T ∗ no sea irreducible, todos los cables de T ∗ tienen que estar completamente en
D ∪ ∂D y, m´s ań, no hay cables que estń completamente en ∂D cuando la
a u
e
longitud del ciclo borde ∂D sea mayor o igual que 4. En particular, observamos
que cada cuerda de D (si existen) es una barra de T porque verifican la condiciń
o
(2), y es tambiń una barra de T porque cumple la condiciń (1). A continuaciń
e
o
o
presentamos un lema para el cual necesitamos algunas definiciones:
Un v´rtice de una triangulaciń R de S se denomina v´rtice pilń si dicho
e
o
e
o
v´rtice es incidente con todos los cables de R. Una triangulaciń que tiene al
e
o
menos un cable y al menos un v´rtice pilń se llama triangulaciń pilń.
e
o
o
o
Una triangulaciń puede tener un unico cable y por lo tanto dos v´rtices
o
´
e
pilones. Sin embargo, si el n´mero de cables de una triangulaciń pilń R es al
u
o
o
menos dos, R tiene exactamente un v´rtice pilń.
e
o
Lema 1. Supongamos que una triangulaciń irreducible T de una superficie pero
forada S − D (S = S0 ) se ha obtenido de la correspondiente triangulaciń T ∗
o
∗ tiene al menos dos cables, entonces o el
de S mediante eliminar parche. Si T
v´rtice central p del parche es el unico v´rtice pilń de T ∗ , o la longitud de ∂D
e
´
e
o
es 3.
Sea Ξ0 = Ξ0 (S) el conjunto de triangulaciones irreducibles de una superficie

a

127

cerrada fijada S, y para n ≥ 1 sea Ξn = Ξn (S) el conjunto de triangulaciones
de S que puede ser obtenido de una triangulaciń irreducible de S mediante una
o
secuencia de exactamente n explosiones sucesivas.
En el siguiente resultado, “eliminaciń de un v´rtice v” significa eliminar v
o
e
junto con los interiores de las aristas y caras incidentes en v y “eliminaciń de
o
una cara” significa eliminar el interior de dicha cara.
Lema 2. Cada triangulaciń irreducible T de S − D (S = S0 ) se obtiene de una
o
de las siguientes maneras:
(I) por eliminaciń de un v´rtice v de una triangulaciń de Ξ0 = Ξ0 (S),
o
e
o
(II) por eliminaciń de un v´rtice pilń de una triangulaciń de Ξ1 ∪Ξ2 ∪· · ·∪ΞK ,
o
e
o
o
donde la constante K viene dada por [3] (siempre que exista una triangulaciń pilń),
o
o
(III) por eliminaciń de cada una de las dos caras que contengan un cable en su
o
3-ciclo borde si tal cable es unico en una triangulaciń de Ξ1 (siempre que
´
o
esa situaciń se d´),
o
e
(IV) por eliminaciń de una cara que contenga dos o tres cables en su 3-ciclo
o
borde si esos dos o tres cables forman el subgrafo de cables completo de una
triangulaciń de Ξ1 ∪ Ξ2 (siempre que esa situaciń se d´).
o
o
e
Lema 3. Si una triangulaciń de S tiene al menos dos cables pero no tiene v´rtice
o
e
pilń, entonces no pueden crearse v´rtices pilń nuevos en futuras explosiones de
o
e
o
la triangulaciń.
o

2

Esquema del algoritmo

En esta secciń consideraremos las triangulaciones como hipergrafos de rango
o
3 o 3-grafos. Sea T un 3-grafo y sean V = V (T ) y F = F (T ) los conjuntos de
v´rtices y de trińgulos de T . Ese 3-grafo puede ser representado de forma unica
e
a
´
(salvo isomorfismos) por un grafo bipartito BT = (V (BT ), E(BT )) de la siguiente
forma: V (BT ) = V (T ) ∪ F (T ), uv ∈ E(BT ) si y s´lo si el v´rtice u est´ en el
o
e
a
trińgulo v de T .
a
La entrada del algoritmo es el conjunto Ξ0 = Ξ0 (S) de triangulaciones irreducibles de una superficie cerrada S = S0 . La salida del algoritmo es el conjunto
de todos los tipos combinatorios de triangulaciones irreducibles de las superficies
1-perforadas S − D.
El primer paso es la generaciń del conjunto Ξ1 ∪Ξ2 a partir del conjunto Ξ0 . A
o
continuaciń, cada 3-grafo T ∈ Ξ1 ∪ Ξ2 se representa mediante su correspondiente
o

128


grafo bipartito BT . Este paso ha sido implementados mediante la aplicaciń
o
Mathematica ([18]).
El segundo paso consiste en descartar todos los grafos bipartitos duplicados.
Con esto, todas las triangulaciones duplicadas de Ξ1 ∪Ξ2 tambiń son descartadas.
e
De esta manera obtenemos todas las triangulaciones no isomorfas, conjuntos que
denotaremos Ξ1 y Ξ2 respectivamente. Este paso se realiza haciendo uso de los
paquetes de computaciń Nauty y gtools [10, 11].
o
A continuaciń se detectan todos los v´rtices pilń de Ξ1 ∪ Ξ2 se aplican las
o
e
o
operaciones (I)–(IV) del lema 2 para obtener las correspondientes triangulaciones
irreducibles (usando Mathematica).
Si Ξ2 no tiene ninguna triangulaciń pilń, se procede inmediatamente al paso
o
o
final: Descartar todas las triangulaciones duplicadas usando de nuevo Nauty y
gtools. En otro caso se genera Ξ3 y se aplican los pasos precedentes a Ξ3 , repitiendo el procedimiento con Ξ4 , Ξ5 , . . . hasta que no haya ninguna triangulaciń
o
pilń en el Ξn en curso; en ese caso el proceso termina y se produce la salida
o
deseada.
Los lemas 1 - 3 junto con los resultados de [3] justifican la validez de este
procedimiento. En particular, la finitud de la ejecuciń se deduce de la cota
o
superior en el n´mero de v´rtices de una triangulaciń irreducible de S − D [3].
u
e
o
En particular, esta cota superior implica (junto con el lema 3) que Ξn no contiene
ninguna triangulaciń pilń para algń n ≥ K + 1, donde K = 945 para S1 y
o
o
u
K = 376 para N1 . En realidad K es mucho menor que esos valores. Hemos
verificado por ordenador (y tambiń a mano) que, de hecho, K = 1 para S1 y
e
K = 2 para N1 .
Mencionemos ahora dos ejemplos.
En primer lugar, el algoritmo ha sido implementado para el conjunto dos
triangulaciones irreducibles de N1 ([1]). El algoritmo proporciona un conjunto de
6 triangulaciones irreducibles de la banda de M¨bius, N1 −D, que es precisamente
o
le mismo valor obtenido por algunos de los autores de este trabajo en [5], aunque
sin usar paquetes computacionales.
En segundo lugar, presentamos los detalles del caso del toro, S1 .
Ejemplo: el toro 1-perforado
Entrada: El conjunto de 21 triangulaciones irreducibles de S1 (tal como estń
a
etiquetadas en [8]).
• Ξ1 (S1 ) tiene 433 triangulaciones no isomorfas: 232 no tienen v´rtice pilń,
e
o
193 tienen un unico v´rtice pilń y 8 tienen dos v´rtices pilń.
´
e
o
e
o
• Ξ2 (S1 ) tiene 11612 triangulaciones no isomorfas y ninguna de ellas es una

a

129

triangulaciń pilń.
o
o
• Las operaciones descritas en el lema 2 proporcionan:
(I) 184 triangulaciones; s´lo 80 son no isomorfas.
o
(II) 209 triangulaciones; s´lo 203 son no isomorfas.
o
(III) 16 triangulaciones; s´lo 10 son no isomorfas.
o
(IV) 0 triangulaciones.
Salida: 293 tipos combinatorios no isomorfos de triangulaciones irreducibles
del toro 1-perforado S1 − D.

3

Conclusiones finales

Obviamente este algoritmo puede ser implementado para cualquier superficie
cerrada siempre que la base de triangulaciones irreducibles sea conocida. En un
pr´ximo trabajo esperamos presentar el conjunto de triangulaciones irreducibles
o
de la botella de Klein 1-perforada, N2 − D.

Referencias
[1] D. Barnette (D. W. Barnette). Generating the triangulations of the projective plane. J. Comb. Theory, Ser. B, 33, (1982), 222–230.
[2] D. W. Barnette, A. L. Edelson. All 2-manifolds have finitely many minimal
triangulations. Isr. J. Math., 67, (1989), No. 1:123–128.
´
[3] A. Boulch, E. Colin de Verdi`re, A. Nakamoto. Irreducible triangulations
e
of surfaces with boundary. Graphs and Combinatorics DOI 10.1007/s00373012-1244-1, 2012.
[4] J. Bracho, R. Strausz, Nonisomorphic complete triangulations of a surface.
Discrete Math. 232, (2001), 11–18.
[5] M. J. Ch´vez, S. A. Lawrencenko, A. Quintero, M. T. Villar. Irreducible
a
triangulations of the M¨bius band. Preprint 2013.
o
[6] L. Giomi, M. J. Bowick. Elastic theory of defects in toroidal crystals. Eur.
Phys. J. E., 27, (2008), 275–296.
[7] G. Joret, D. R. Wood. Irreducible triangulations are small. J. Comb. Theory,
Ser. B, 100, (2010), No. 5:446–455.

130


[8] S. A. Lavrenchenko (S. Lawrencenko). Irreducible triangulations of the torus.
J. Sov. Math., 51, No. 5 (1990), 2537–2543; translation from Ukr. Geom.
Sb. 30, (1987), 52–62.
[9] S. Lawrencenko, S. Negami. Irreducible triangulations of the Klein bottle. J.
Comb. Theory, Ser. B, 70, No. 2 (1997), 265–291.
[10] B. McKay, Practical Graph Isomorphism. Congressus Numerantium, 30,
(1981), 45–87.
[11] B. McKay, nauty User’s Guide (Version 2.4) http://pallini.di.uniroma1.it/
[12] A. Nakamoto, K. Ota. Note on irreducible triangulations of surfaces. J.
Graph Theory, 20, (1995), No. 2:227–233.
[13] S. Negami. Diagonal ﬂips in pseudo-triangulations on closed surfaces. Discrete Math., 240, (2001), No. 1–3:187–196. 2001.
[14] E. Steinitz, H. Rademacher, Vorlesungen uber die Theorie der Polyeder unter
¨
Einschluss der Elemente der Topologie. Berlin: Springer, 1976. [Reprint of
the original 1934 edition.]
[15] T. Sulanke. Note on the irreducible triangulations of the Klein bottle. J.
Comb. Theory, Ser. B, 96, No. 6, (2006), 964–972.
[16] T. Sulanke. Generating irreducible triangulations of surfaces, preprint, 2006,
arXiv:math/0606687v1 [math.CO].
[17] T. Sulanke. Irreducible triangulations of low genus surfaces, preprint, 2006,
arXiv:math/0606690v1 [math.CO].
[18] Wolfram Research, Inc. Mathematica Version 8.0 (Wolfram Research, Inc.)
Champaign, Illinois 2010.
[19] Y. Zhongwey, J. Shouwei. STL ﬁle generation from digitised data points
based on triangulation of 3D parametric surfaces.Int. J. Adv. Manuf. Technol. 23, (2004), 882–888.

Triangulaciones irreducibles en el toro perforado (ponencia)

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (15)

Destacado (8)

Similar a Triangulaciones irreducibles en el toro perforado (ponencia) (20)

Último (20)

Triangulaciones irreducibles en el toro perforado (ponencia)