Libro mat 2

matemáticas 2
Doris Cetina / Engracia Vázquez
<2>
Guía para docentes / Segundo grado / Secundaria
Cuaderno de
©
Ek
Editores
S.
A.
de
C.
V.
Versión
electrónica.

Cuaderno de matemáticas 2. Guía para docentes
Autoras:
Doris Guadalupe del Carmen Cetina Vadillo
Engracia Vázquez Castro
Editores:
Miguel Quintero
María Teresa Peralta Ferriz
Revisión técnica:
René Antonio Núñez Mejía
José Luis Núñez Mejía
Isabel Lorena Vega Gordillo
Diseño de interiores y formación:
Avant Graph Diseña y Comunica
Diseño de portada:
Claudia Novelo Chavira
Mauro Machuca
Ilustraciones:
Elvia Cortazar
Primera edición: junio de 2014
D. R. © 2014, Ek Editores, S. A. de C. V.
Avenida Pío X No. 1210 Col. Pío X
Monterrey, Nuevo León, C. P. 64710
Tel: (81) 83 56 75 05 y 83 35 17 04
Lada sin costo: 01800 841 7005
www.ekeditores.com
México, D. F.
Calle Ote. 233-B No. 19 Col. Agrícola Oriental
Delegación Iztacalco, México, D. F., C. P. 08500
Tel.: (55) 51 15 15 40
Miembro de la Cámara Nacional
de la Industria Editorial Mexicana
Reg. Num. 3728
ISBN: 978-607-8248-38-4
Prohibida la reproducción y transmisión
parcial o total de esta obra en cualquier forma
electrónica o mecánica, incluso fotocopia o en
cualquier sistema para recuperar información,
sin permiso escrito del editor.
Impreso en México / Printed in Mexico
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Versión
electrónica.

3
2 4
-4 -2
2
4
-4
-2
x
y
Bloque 1 7
Práctica 1.
Multiplicación de números
con signo 8
Práctica 2.
Potencias 10
Práctica 3.
Ángulos 12
Práctica 4.
Construcción de triángulos 16
Práctica 5.
Áreas de figuras compuestas 22
Práctica 6.
Porcentajes 26
Práctica 7.
Porcentajes y tasas 30
Práctica 8.
Probabilidad 32
Práctica 9.
Media, mediana y moda 34
Mide tu aprendizaje 38
Retos 40
Bloque 2 41
Práctica 10.
Sumas y restas de monomios 42
Práctica 11.
Sumas y restas de polinomios.
Expresiones algebraicas 44
Práctica 12.
Volumen 48
Práctica 13.
Problemas de volumen 50
Práctica 14.
Proporcionalidad inversa 52
Práctica 15.
Probabilidad 56
Retos 60
Bloque 3 61
Práctica 16.
Jerarquía de operaciones 62
Práctica 17.
Multiplicación de expresiones
algebraicas 64
Práctica 18.
Ángulos interiores
de los polígonos 66
Práctica 19.
Figuras para cubrir el plano 68
Práctica 20.
Unidades de capacidad y de
volumen 72
Práctica 21.
Relaciones de proporcionalidad 74
Práctica 22.
Histogramas y gráficas
poligonales 76
Práctica 23.
Propiedades de la media
y mediana 80
Retos 84
Bloque 4 85
Práctica 24.
Sucesiones 86
Práctica 25.
Ecuaciones de primer grado 90
Práctica 26.
Ángulos de un círculo 94
Práctica 27.
Gráficas de porporcionalidad 96
Práctica 28.
Problemas de variación lineal 100
Práctica 29.
Media ponderada 102
Retos 106
Bloque 5 107
Práctica 30.
Sistemas de ecuaciones 108
Práctica 31.
Representación gráfica
de un sistema de ecuaciones 114
Práctica 32.
Figuras simétricas 118
Práctica 33.
Ángulos centrales e inscritos 122
Práctica 34.
Funciones lineales y gráficas 126
Práctica 35.
Problemas de funciones
de la forma y  mx  b 130
Práctica 36.
Probabilidad frecuencial
y teórica 132
Retos 140
Índice
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42
Eje: Sentido numérico y
pensamiento algebraico
Tema: Problemas aditivos
Sumas y restas
de monomios
Práctica 10
Resolución de problemas que impliquen adición
y sustracción de monomios
Matemáticas
rápidas
1. Calcula 7
5
6
– 5
9
12
.
2. Encuentra 43
.
3. Pepe gastó
3
4
de los
300 pesos que llevaba.
¿Cuánto dinero le sobró?
4. ¿Cuál es el mínimo
común múltiplo de 30
y 12?
5. ¿Cuál es el máximo
común divisor de 30 y 12?
A
B
C
D
E
F
G
m
m
m
m
y
y
y
y
y
y
a
a
a
a
a
b
b
b
4n
3x + 4
5n - 4
4 + 3n
2x + 1
x
x
x
x
x
c
Para sumar y restar monomios, basta con realizar las
operaciones indicadas con los coeficientes de los términos
semejantes.
Ejemplos
4x  6x  10x
6y  2y  4y
3m  5m  2m
4s  5r  2s  6s  5r
Actividades
1. Encuentra el perímetro de las siguientes figuras.
B
LO
Q
U
E
3
BL
OQ
UE
2
BLOQUE
1
BL
OQ
UE
4
BLO
QUE
5
B2
Problema
En 1899, el matemático austriaco Georg Pick encontró una manera de calcular áreas
de polígonos mediante un arreglo de puntos alineados en renglones y columnas.
Observa el siguiente ejemplo.
Los vértices de los polígonos coinciden con puntos del arreglo, de manera que
siempre se encontrarán puntos sobre el contorno de las figuras. Si B es el número
de puntos que se encuentran sobre el perímetro de la figura e I el número de puntos
dentro de ésta, la llamada ecuación de Pick indica que el área A es: A  I 
B
2
– 1.
1. Completa la siguiente tabla para encontrar el área de las figuras.
Polígono Puntos sobre el perímetro (B) Puntos interiores (I)
Área
A = I +
B
2
– 1
A
B
C
D
E
Al final de este bloque, se espera que:
Resuelvas problemas aditivos con monomios
y polinomios.
Resuelvas problemas en los que sea necesario calcular
cualquiera de las variables de las fórmulas para
obtener el volumen de cubos, prismas y pirámides
rectos, y que establezcas relaciones de variación entre
dichos términos.
Competencias que se favorecen
Resolver problemas de manera
autónoma
Comunicar información
matemática
Validar procedimientos y
resultados
Manejar técnicas
eficientemente
A
B
A
B C
G
H
D
I
F
E
4
Sugerencias para trabajar
en tu cuaderno
Este libro está escrito y diseñado para acompañarte a lo largo de todo tu curso
de matemáticas de segundo secundaria. Quienes lo hicimos hemos procurado
darte, con él, un material que te permita acercarte al mundo de las Matemá-
ticas. A continuación encontrarás las claves sobre cómo esta estructurado tu
cuaderno de Matemáticas 2.
Problema inicial
Para empezar cada bloque, te proponemos que resuelvas un problema
matemático que te permitirá utilizar varias de las habilidades y
conocimientos que vas a necesitar durante las páginas siguientes.
Contenidos
En cada práctica se señalan el eje y
el tema, así como el contenido que se
trabaja.
Matemáticas rápidas
Las preguntas de esta sección están relacionadas con aspectos básicos que debes ya conocer. Están pensadas
para que las respondas rápidamente, de preferencia al inicio de una sesión de clase, como preludio al trabajo
en tu cuaderno.
Aprendizajes del bloque
Al principio de cada bloque encontrarás una lista
de las competencias y contenidos que forman los
aprendizajes que lograrás en esta etapa del curso.
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43
B2
Mis dudas y preguntas
2. Resuelve los siguientes problemas.
a) Mariana compró doce cuadernos a n pesos cada uno. Si al pagar le
descontaron el precio de tres cuadernos, ¿cuánto pagó Mariana en total?
b) Juan Pablo y Renata compraron peras y manzanas en oferta: las peras
a m pesos el kilo y las manzanas a n pesos el kilo. Juan Pablo compró
3 kg de pera y 2 kg de manzana y Renata compró 5 kg de pera y 1 kg
de manzana.
• ¿Cuántos kilogramos de pera compraron entre los dos?
• ¿Cuál fue el costo de 8 kg de pera?
• ¿Cuántos kilogramos de manzana compraron entre los dos?
• ¿Cuánto deben pagar por las manzanas?
• Si pagaron con un billete de 200 pesos, ¿cuánto les dieron de
cambio?
c) Helena y Renata ahorraron para comprar un tren eléctrico. Si su
ahorro fue de m pesos y al pagar les descontaron 100 pesos, ¿cuánto
costó el tren?
d) En los siguientes cuadrados la suma de las filas, las columnas y
las diagonales debe ser la que se indica en cada uno. Completa los
cuadrados para que sea así.
La suma debe ser 3a
La suma debe ser 1.5m
5a
0
3a
1.5m 0.5m
2a
4a
2m
La suma debe ser 0
La suma debe ser 4.5m
3
4
p
6m
1
2
p 7.5m 1.5m
p 
3
4
p
3m
¿Cuál de las siguientes
igualdades es falsa?
3x  8y  y 
9y  3x
t  3t  2t  2t
6a  2b  8ab
7u  v  5u  v 
2u  2v
Pregunta
de reflexión
5
Mide tu aprendizaje
Al final de cada bloque encontrarás una evaluación,
modelada según la prueba ENLACE, que te permitirá
conocer qué tanto has aprendido y qué puntos de tu
aprendizaje debes reforzar.
Retos
Para cerrar cada bloque vas a encontrar una serie
de problemas con mayor grado de dificultad, más
interesantes, que buscan plantearte un desafío.
Resolverlos te permitirá avanzar aún más en tu
dominio de las matemáticas.
B
L
O
Q
U
E
3
B
L
O
Q
U
E
2
B
L
O
Q
U
E
1
B
L
O
Q
U
E
4
B
L
O
Q
U
E
5
106
B4Retos
Para finalizar tu trabajo, te proponemos el siguiente desafío.
I
Mientras Benito caminaba por la calle pensaba en que necesitaba hacer algo para
conseguir más dinero. En ese momento se tropezó con una mujer muy extraña
que parecía que le había leído la mente. La mujer le dijo que ella tenía poderes
y que podía hacer que su dinero se duplicara cada vez que cruzara a la acera de
enfrente. Benito pensó que había encontrado la solución a sus problemas y le
dijo a la mujer que estaba dispuesto a hacer lo que ella le decía. En ese momento
fue que la mujer le impuso una cuota de 24 pesos cada vez que cruzara la calle.
Benito accedió a pagar la cuota y empezó a cruzar la calle. Al llegar a la otra
acera contó su dinero y sí era el doble del que tenía antes de cruzar. De acuerdo
al trato, le entregó 24 pesos a la mujer.
Benito volvió a cruzar la calle y el dinero que traía en su bolsillo se duplicó. Otra
vez, de acuerdo al trato, le pagó los 24 pesos a la mujer.
Benito cruzó la calle por tercera vez y el dinero que tenía en su bolsillo se dupli-
có, pero el total era de 24 pesos, y tuvo que entregárselos a la mujer, perdiendo
todo lo que traía.
¿Cuánto dinero tenía Benito cuando hizo el trato con la mujer misteriosa?
136
aprendizaje
Mide tu
Escoge la opción que complete correctamente cada pregunta. Márcala en
tu hoja de respuestas (recórtala del final de tu cuaderno).
1. El sistema de ecuaciones
x 1 2y 5 24
2x 1 y 5 25 tiene por solución:
a) x 5 22 , y 5 21
b) x 5 2, y 5 21
c) x 5 22, x 5 1
d) x 5 2, y 5 1
2. Selecciona el sistema de ecuaciones que describa el siguiente problema:
La diferencia de dos números es 40 y 1
8
de su suma es 11.
a)
x 1 y 5 40
1
8
(x 1 y) 5 11
b)
x 2 y 5 40
1
8
x 1 y 5 11
c)
x 2 y 5 40
1
8
(x 1 y) 5 11
d)
x 1 y 5 40
1
8
(x 1 y) 5 11
x
-2
4
-1
-4 -3
1 2 3
y
-3
-4
-2
-1
2
4
3
1
A
D
M
C
3. Si un sistema de ecuaciones está
representado como se muestra a
continuación, su solución es:
a) A ( 0,3)
b) M (2, 21)
c) D (4, 0)
d) C (0, 22)
Usa este espacio para tomar nota de lo que te parezca importante, de las
dudas que consideres necesario aclarar con tu profesor o de los puntos que
surjan a lo largo de tu trabajo que no quieras olvidar.
Práctica
Tu cuaderno de Matemáticas 2 está formado
esencialmente por prácticas que son, cada una,
una oportunidad para utilizar lo que aprendes en
clase, perfeccionarlo y llevarlo más allá.
En algunas prácticas hay una pregunta de reflexión
que te permitirá pensar en el tema que se estudia
con un poco más de profundidad.
Texto explicativo
Al inicio de cada práctica encontrarás un resumen sencillo y
práctico de lo que has aprendido en clase, y que te resultará
útil para despejar dudas y como fuente de consulta. Las
palabras claves están resaltadas.
Actividades
Aquí encontrarás la parte fundamental de tu cuaderno de
Matemáticas 2. Tu maestro te indicará si trabajas cada ejercicio
de manera individual o en equipo, en clase o de tarea.
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6
Antes de iniciar
Tienes en tus manos un cuaderno de Matemáticas 2 que ha sido escrito,
editado y publicado pensando en ti.
Su propósito básico es funcionar como un complemento al trabajo de tu maes-
tro, y acompañarte en cada una de las clases del año escolar que inicia, para
ofrecerte:
• Oportunidades de aprendizaje, a través de las muchas actividades que lo inte-
gran, y que están diseñadas para que, mediante la ejercitación, fortalezcas
las habilidades, actitudes y destrezas.
• Una herramienta de consulta, pues en los textos expositivos que acompañan
a las prácticas podrás reforzar los conocimientos con los que tu maestro
trabajará a profundidad durante las sesiones de clase.
• Un espacio de trabajo. En un recorrido rápido por sus páginas, fácilmente
constatarás que tu cuaderno de Matemáticas 2 te proporciona amplias sec-
ciones para que anotes, dibujes, bosquejes, grafiques y traces esquemas,
entre otras tareas relacionadas con tu trabajo cotidiano en la clase de ma-
temáticas.
A semejanza de lo que pasa en un salón de clases, donde alumnos y profesor
cooperan de diversas maneras para que todos aprendan y se enriquezcan con
los puntos de vista y la experiencia de los demás, hacer un libro como éste es
también una trabajo de equipo. Todos quienes participamos en su preparación
deseamos contribuir, con él, a tu formación académica y te deseamos que este
curso de Matemáticas 2 sea una experiencia de aprendizaje inolvidable.
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L
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2
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B
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4
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5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
2
11 12 13
22
79
88 89 90
99
27
36 37 38
47
Nota que:
• El número del centro es el promedio de los 5 números.
• La suma de los números es múltiplo de 5.
• El producto del número de arriba y el número de abajo es igual al cuadrado del
número del centro menos 100.
• El producto del número de la izquierda y el de la derecha es igual al cuadrado
del número del centro menos uno.
Considera distintos arreglos en cruz dentro del tablero y para cada uno contesta
lo siguiente.
1. ¿Cuáles son los números que incluye el arreglo?
2. ¿Hay alguna relación entre el número de arriba y el de abajo?
3. ¿Existe alguna relación entre el número de la izquierda y el de la derecha?
¿Cuál?
4. Si se conoce el número que está arriba ¿se puede saber cuáles son los demás?
5. ¿La suma de los cinco números es par o impar?
6. ¿Qué relación tiene el número de arriba con el número del centro?
7. ¿Qué relación tienen los tres números de la fila del centro?
8. ¿Qué relación tienen los tres números de la columna del centro?
Problema basado en la actividad de Andrew Derer
de Math Science Innovation Center and Art Stoner of A+Compass
Problema
Observa con cuidado el siguiente
tablero.
Analiza la relación que existe
entre los números del tablero que
forman una cruz, como en los
siguientes ejemplos.
B1
autónoma
matemática
resultados
Manejar técnicas
eficientemente
• Calcula el área total del terreno que se compró.
• Si el salón de usos múltiples se construye en 300 m2
del terreno y mide 20 m de
profundidad, ¿cuánto debe medir de frente?
• ¿Qué porcentaje del terreno que se compró ocupará el salón de usos múltiples y la
cancha de basquetbol?
• Si se va a destinar un 16% del terreno comprado para sembrar hortalizas, ¿cuántos
metros cuadrados tiene esta área?
• Los alumnos de segundo van a colaborar con la limpieza del terreno. En 2° A hay 34
alumnos y en 2° B hay 41. Si cada día colaboran con la misma cantidad de trabajo, en
determinado momento, ¿será más probable que un alumno sea del 2° A o del 2° B?
Problema
La escuela compró el terreno que se encuentra en la esquina. En el plano se muestran
las dimensiones del terreno y el área que se piensa destinar para el salón de usos
múltiples, la hortaliza y la cancha de basquetbol.
Resuelvas problemas que implican el uso de las leyes
de los exponentes y de la notación científica.
Resuelvas problemas que implican calcular el área y el
perímetro del círculo.
Resuelvas problemas que implican el cálculo de
porcentajes o de cualquier término de la relación:
Porcentaje = cantidad base × tasa, incluyendo
problemas que requieren de procedimientos recursivos.
Compares cualitativamente la probabilidad de eventos
simples.
autónoma
matemática
Validar procedimientos
y resultados
Manejar técnicas
eficientemente
Calle Moras
33 m
31 m
20 m
11 m
12 m
31 m
Cancha de
basquetbol
Salón de usos
múltiples
Hortaliza
Ca
lle
Fre
sas
Escuela
10 m
A = 1151 m2
184.16 m2
Es más probable que sea de 2° B
15 m
53.87 %
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Tema: Problemas
multiplicativos
Multiplicación
de números con signo
Práctica 1
Para multiplicar y dividir números con signo se siguen las
reglas siguientes.
Para multiplicar
Regla Ejemplo
(positivo)(positivo)  (positivo) (4)(3)  (12)
(negativo)(negativo)  (positivo) (9)(6)  (54)
(positivo)(negativo)  (negativo) (5)(3)  (15)
(negativo)(positivo)  (negativo) (7)(4)  (28)
Para dividir
Regla Ejemplo
(positivo)
(positivo)
 (positivo)
28
4
 7
(negativo)
(negativo)
 (positivo)
15
3
 5
(positivo)
(negativo)
 (negativo)
32
4
 8
(negativo)
(positivo)
 (negativo)
56
8
 7
Actividades
Multiplicación y división de números enteros
1. Resuelve las siguientes operaciones.
a) (5)(7)
b) (9)(4)
c) (3)(4)
d) (8)(4)
e) (1)(1)(1)
f) (4)(
1
2
)
g) (3)(4)(1)(2)
h) (6)(0.3)(10)
i) (
2
5
)(
1
2
)
Matemáticas
rápidas
1. Suma
102.348
0.987
 3.071
2 710.043
2. Calcula el 40% de 20.
3. Encuentra 4.35  12.
4. Encuentra los
5
8
de 16.
5. Gabriela, la capitana
del equipo de natación,
está vendiendo donas
para reunir fondos para
comprar uniformes.
Si hacer cada dona
le cuesta 20 pesos y
las vende a 35 pesos,
¿cuántas donas debe
vender para juntar 6 000
pesos?
2 816.449
10
Deben vender 400 donas
8
52.2
= + 35
= – 36
= – 12
= + 32
= – 1
= + 2
= – 24
= – 18
= + 1
5
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B
1
j) (4)(
1
2
)(
3
5
)
k) (9)(5)(2)(
1
3
)
l)
72
8
m)
45
9
n)
24
3
o)
121
11
p) (6)(5)(
2
5
)
q) (4)(
3
2
)
r) (5)(7)(
2
10
)
s) (8)(
6
24
)
t) (7)(10)(
1
1
)
2. Encuentra los números que faltan en las siguiente operaciones.
a) (5)( )  35
b) (8)( )  56
c) ( )(5)  15
d) (9)( )  54
e) (1)( )  1
f) (5)( )  .5
g) (3)( )  12
h) ( )(0.3)  1.8
i) (
2
5
)( )  
1
5

j) (4)( )  2
k) ( )(
1
2
)  3
l)
(7)
  1
m)

(8)
 2
n)
(18)
 9
o)
(5)
 
5
2

p)
(8)
 40
q)
(9)
 3
r)
(
1
2
)
 
2
5
s)
(3)
 1
t)
(10)
 20
= + 6
5
= + 30
= + 9
= – 5
= – 8
= – 11
= + 12
= – 6
= – 7
= + 2
= 70
– 7
3
– 7
– 1
21
– 1
50
– 5
4
+ 3
– 1
2
– 1
2
– 1
2
– 18
103
– 2
+ 4
+ 2
+ 2
+ 320
– 3
– 6
3
5
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10
Potencias
Práctica 2
Tema: Problemas
multiplicativos La expresión an
es una potencia. El número a se llama base y
n se llama exponente.
an
significa que a se multiplica por sí misma n veces:
an
 a  a  a... a
Ejemplos
23
 2  2  2  8 (
2
3
)4

2
3

2
3

2
3

2
3

16
81

52
 5  5  25 (0.5)2
 0.5  0.5  .25
Leyes de los exponentes
• Para multiplicar potencias de la misma base, se suman los
exponentes.
Regla Ejemplo
am
 an
 am+n
33
 32
 (3  3  3)  (3  3)  33+2
 35
 243
• Para dividir dos potencias de la misma base, se restan los
exponentes.
Regla
am
an
Ejemplo
45
42 
4  4  4  4  4
4  4
 4  4  4  45-2
 43
 64
• Para elevar una potencia a otra potencia de la misma base
se multiplican los exponentes.
Regla Ejemplo
(am
)n
 am  n
(23
)2
 (2  2  2)  (2  2  2)  26
 64
• Un número elevado a un exponente negativo es igual a una
fracción cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es la
misma potencia pero positiva.
Regla Ejemplo
a-n

1
an 2-3

1
23 
1
8

• Un número (diferente de cero) elevado al exponente cero es
igual a 1.
a0
 1 230
 1
• Un número elevado al exponente 1 es igual sí mismo.
a1
 a (0.7)1
 0.7
Cálculo de productos y cocientes de potencias
enteras positivas de la misma base y potencias
de una potencia
Matemáticas
rápidas
1. Calcula 6  2
7
12
.
2. ¿Qué valor de n hace
cierta la igualdad
25
100

n
4
?
común divisor de 10
y 12?
4. Maricarmen jugó
basquetbol durante 2
horas y 30 minutos.
Si cada partido dura
25 minutos, ¿cuántos
partidos jugó?
5. ¿Cuántos cuartos hay en
tres enteros?
n veces
n = 1
7
2
6 partidos
12 cuartos
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11
B
1
1. Encuentra el valor de cada expresión.
a) (25
)(22
)
b) 42
c)
35
32
d) (42
)3
e) 31

f) (
2
3
)5

g)
53
50
h) (42
)2

i) (62
)(62
)
j)
75
73
k) 52
l) 25
m) 1250
n)
67
64
o) (23
)(24
)(2)
p) (32
)4
q) 72
r)
3(33
)
32
s) (
1
2
)1

t) (52
)2
Actividades
¿Cuál de los siguientes
números es diferente
a la unidad?

33
27

a 4
(a 2
)2
y 0

x
x 1
Pregunta
de reflexión
= 27
= 128
= 1
16
= 33
= 27
= 46
= 4 096
= 1
3
= 32
243
= 53
= 125
= 44
= 256
= 64
= 1 296
= 72
= 49
= 1
25
= 1
32
= 1
= 63
= 216
= 28
= 256
= 38
= 6 561
= 1
49
= 3 2
= 9
= 2
= 54
= 625
©
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12
Ángulos
Práctica 3
Eje: Forma, espacio y
medida
Tema: Figuras y cuerpos
Relaciones entre los ángulos que se forman entre
dos rectas paralelas cortadas por una secante
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Los ángulos internos de cualquier cuadrilátero suman 360º.
a  b  c  d  360º
Cuando una recta corta a dos paralelas, se forman 8 ángulos
que se clasifican de la siguiente manera. Nota que, por pa-
rejas, algunos son iguales y algunos son suplementarios (es
decir, suman 180º).
Ángulos correspondientes
a  e b  f
c  g d  h
Ángulos alternos
Internos
c  f d  e
Externos
a  h b  g
Ángulos colaterales
Internos
c  e  180º d  f  180º
Externos
a  g  180º b  h  180º
Los ángulos internos de cualquier triángulo suman 180º.
a  b  c  180º
a
d
b
c
a  d
c  b
a
d
f
g
e
h
b
c
a
d
b
c
a
b
c
Matemáticas
rápidas
1. Calcula 8  54.03.
2. Viviana ganó 7 350
pesos dando clases
particulares de griego.
Si cobra 350 pesos por
hora, ¿cuántas clases
impartió?
3. ¿Cuántas monedas de
5 centavos se necesitan
para reunir 43 pesos?
4. Escribe ,  o  según
corresponda.
• 15  25
5 docenas
• 25  4  4
50  2  4
• 200  12
6 800  4 400
5. Realiza las siguientes
conversiones.
• ¿Cuántos kilos son
12.5 g? kg
• ¿Cuántos litros son
500 ml? l
• ¿Cuántos gramos son
0.02 kg? g
21
432.24
860 monedas

=
=
0.012
0.5
20
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13
B
1
1. Encuentra en cada caso el valor del ángulo x.
a)
c)
e)
28º
x
84º
x
145º
x
15º
x
95º
x
10º x
b)
d)
f)
Actividades
≮x = 28°
≮x = 145°
≮x = 85°
≮x = 84°
≮x = 165°
≮x = 170°
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14
Práctica 3
2. Encuentra el valor de los ángulos que se indican.
Pregunta
de reflexión
Supón que los ángulos A y
C, y B y D, son opuestos por
el vértice, y que A y B son
ángulos contiguos. Si A 
B, ¿cuál de las siguientes
afirmaciones es falsa?
Los ocho ángulos son
iguales.
Los cuatro ángulos son
rectos.
∠B  ∠D.
Dos ángulos son
agudos y dos son
obtusos.
a
50º
e b
c
f
g d
c =
e =
d =
f =
x
5x
4
3
2
1
1 =
3 =
2 =
4 =
a) b)
x
a
c
b
e
f
d
3x
c =
e =
d =
f =
x a
c
b
e f
d
x + 20
a =
c =
b =
e =
c) d)
a
c
b
e
f
d
x + 50
3x - 6
a =
c =
b =
d =
e)
a
c
b
e
f
d
3x + 93
2x + 32 b =
e =
c =
f =
f)
130°
50°
130°
50°
100°
80°
100°
100°
84°
96°
96°
84°
126°
54°
126°
54°
150°
150°
30°
30°
45°
45°
45°
135°
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15
B
1
x
110º
30º
x =
x
x
x
b =
a =
c =
a
b c
a
c
b
4x
3x
2x
b =
a =
c =
a
c
b
l1
l3 l4
l2
d
98º
b =
a =
c =
l3
l4
d=
l1
l2
x
4x
4x
b =
a =
c =
a
b
c
c
b
x
x -155º
5º
b =
a =
a
c =
a
c
b
e f
l1
l2
d
65º
47º
b =
a =
c =
l1
l2
e =
d=
f =
b =
a =
a
b
x
2x + 75
g)
i)
k)
m)
h)
j)
l)
n)
40°
80°
80°
20°
60°
60°
60°
10°
165°
5°
40°
60°
80°
98°
82°
82°
98°
35°
145°
47°
47°
68°
68°
65°
112°
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16
medida
Construcción
de triángulos
Práctica 4
Matemáticas
rápidas
1. Alicia obtuvo las
siguientes puntuaciones
jugando boliche: 230,
197, 176, 195 y 206.
¿Cuál fue su promedio en
estos cinco juegos?
2. Calcula 3
1
15
 2
1
2
.
3. Ordena de menor a
mayor los números 0.7,
0.07, 7.00007, 0.007.
4. 5 
3
5
5. 0.50 45.75
Construcción de triángulos con base
en ciertos datos. Análisis de posibilidad
y unicidad en las construcciones
Es posible construir un triángulo único cuando se cumplen
cualesquiera de las siguientes condiciones:
• Dados tres segmentos de recta AB, BC y CA, tales que AB 
BC  CA.
• Dados dos segmentos de recta AB y BC, y el ángulo ∡b
comprendido entre ellos.
• Dados dos ángulos ∡a y ∡b y el segmento entre ellos.
A B
B C
C A
B C
A
A B
B C
b = 70º A B
b
C
A B
a = 43º A B
b
a
b = 21º
200.8
0.0070.070.77.00007
= 91.5
= 22
5
– 4
5
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17
B
1
1. Construye los triángulos con la información que se da para cada caso.
a)
b)
c)
Actividades
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18
d)
e)
f)
Práctica 4
b = 20º
20°
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electrónica.

19
g)
h)
i)
B
1
Si los siguientes números
son longitudes de
segmentos, ¿con cuáles
no se pueden construir
triángulos?
3, 4, 5
1.5, 2, 2.5
11, 15, 26
8, 9, 4
Pregunta
de reflexión
b = 135º
b = 45º
b = 84º
84°
45°
135°
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20
j)
k)
l)
Práctica 4
b = 105º
a = 74º
b = 65º
a = 35º
b = 100º
105°
74° 65°
100°
35 °
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21
m)
n)
o)
B
1
a = 12º
b = 18º
a = 30º
b = 60º
a = 60º
b = 60º
60°
60° 30°
12° 18°
60°
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22
Eje: Forma, espacio
y medida
Tema: Medida
Áreas de figuras
compuestas
Práctica 5
Cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo
áreas laterales y totales de prismas y pirámides
Matemáticas
rápidas
1. Alejandro durmió 9.5
horas. Si se despertó a
las 7:45 am, ¿a qué hora
se durmió?
2. Calcula 72
.
3. ¿Cuánto es el cociente
0.09
1.305
?
4. ¿Cuánto es el cociente
15
392.55
?
5. Encuentra 2 234.65 
3 211.27.
El área es la medida de la superficie encerrada en un contorno
determinado. Una estrategia para calcular el área de figuras
compuestas consiste en dividirlas en figuras conocidas y sumar
las respectivas áreas.
Las siguientes fórmulas permiten calcular el área de algunas
de las figuras más comunes.
Triángulo
Rectángulo
Círculo
Ejemplo
Para encontrar el área de la siguiente figura, se puede considerar
que el área total es la suma de las áreas del rectángulo y del
triángulo en que se dividió la figura.
Por lo tanto:
Atotal
 Atriángulo
 Arectángulo
bh
2
 ab 
(1.5) (3)
2
 (3.5)(3)  12.75 cm2
b
h A = bh
2
A = ba
b
a
A = πr2
r
5 cm
3.5 cm
3 cm
10:15 pm
49
0.069
0.573
5445.92
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23
B
1
1. Calcula el área de cada una de las siguientes figuras.
a)
b)
c)
d)
e)
Actividades
2.5
cm
3 cm
3 cm
2.5 cm
3 cm
2.5 cm
4 cm
2.5 cm
4 cm
2.5
cm
1.5 cm
Imagina que tienes un
cuadrado de lado 2 y
un círculo de radio 1.
¿Cuáles de las siguientes
afirmaciones son ciertas?
El círculo puede
trazarse dentro del
cuadrado.
El cuadrado puede
trazarse dentro del
círculo
El diámetro del círculo
y el lado del cuadrado
son iguales.
El círculo tiene menor
área que el cuadrado.
Pregunta
de reflexión
A = 3.75 cm2
A = 3.75 cm2
A = 3.75 cm2
A = 10.0 cm2
A total
= 10.0 cm2
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24
Práctica 5
f)
g)
h)
2. Calcula el área sombreada de las siguientes figuras.
a)
b)
5 cm
3
cm
3.5 cm
1 cm
6.4 cm
2
cm
1.3
cm
12 m
5
m
4.5
cm
2
.
2
c
m A = 12.75 cm2
A = 10.56 cm2
A = 86.55 m2
A = 9.03 cm2
A = 7.6 cm2
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25
B
1
c)
d)
3. Calcula el área de una de las bases triangulares del siguiente prisma.
4. Calcula el área lateral y el área total de la siguiente pirámide.
4 m
1.5 m
1.25 m
3
m
1
m
1.25
m
3 m
2.75
m
4 cm
4 cm
5 cm
10 cm
4
cm
4 cm
7
.
5
c
m
Área de una cara lateral = 15 cm2
Área lateral = 60 cm2
Área de la base = 16 cm2
Área total = 16 cm2
+ 60 cm2
= 76 cm2
Área rectángulo = 12 m2
Área de la ventana = 1.5 m2
Área de la puerta = 3.4375 m2
Área sombreada = 12 m2
– 1.5 m2
– 3.4375 m2
= 7.0625 m2
Área del cuadrado = 16 cm2
Área del triángulo = 8 cm2
Área sombreada= 16 cm2
– 8 cm2
= 8 cm2
Área = 10 cm2
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26
Porcentajes
Eje: Manejo de la
información
Tema: Proporcionalidad
y funciones
Práctica 6
Resolución de problemas diversos relacionados
con porcentajes
Matemáticas
rápidas
1. ¿Cuántos milímetros son
43.5 cm?
2. Un 75% de la altura de
un edificio equivale a
10.8 metros. ¿Cuánto
mide el edificio
completo?
3. Memo trabaja de medio
tiempo en una escuela
y gana $280 por hora.
¿Cuánto gana en
12 días si trabaja
5 horas diarias?
4. Calcula 657.05  9.
5. Cada uno de los cuatro
miembros de la familia de
Juan come una toronja en
el desayuno diariamente.
¿Cuántas docenas de
toronja consumen en una
semana?
Un porcentaje es una fracción con denominador 100.
Para calcular el porcentaje de una cantidad dada se puede
dividir el porcentaje entre 100 y multiplicar el producto por la
cantidad.
Ejemplo
Para calcular 16% de 336:
16
100
 0.16
0.16  336  53.73
El 16% de 336 es 53.73.
Para saber qué porcentaje representa una cantidad respecto de
otra, se puede dividir la primera entre la segunda y multiplicar
el resultado por 100.
Ejemplo
Para calcular qué tanto por ciento es 4 de 24, dividimos
4
24
 0.1667
y luego 0.1667  100  16.67%
4 es el 16.67% de 24.
Para averiguar una cantidad (total) a partir de una parte de
ella y el porcentaje que representa, se puede dividir la parte
conocida entre el porcentaje y multiplicar este resultado por
100.
Ejemplo
Para encontrar la cantidad de la cual 43 es 15%, dividimos:
43
15
 2.867
y luego 2.867  100  286.7
43 es el 15% de 286.7
435 mm
14.4 m
$ 16 800
5 913.45
Dos docenas y 4
toronjas
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27
B
1
1. Calcula los porcentajes que se indican.

a) 15% de 60

b) 8% de 200

c) 33% de 9

d) 14% de 560

e) 56% de 320
f) 67% de 386

g) 46% de 2 783

h) 18% de 0.37
i) 38% de 34.6
j) 70% de 0.436

k) 0.2% de 930
l) 0.63% de 852

m) 256% de 3

n) 25% de 27

o) 75% de 4.655

p) 34% de 15

q) 40% de 2 000
r) 1 000% de 36

s) 0.05% de 6 325
t) 20% de 930
Actividades
= 9
= 16
= 2.97
= 78.4
= 179.2
= 258.62
= 1280.18
= 0.0666
= 13.148
= 0.3052
= 1.86
= 5.3676
= 7.68
= 6.75
= 3.49125
= 5.1
= 800
= 360
= 3.16
= 186
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28
Práctica 6
2. Calcula qué tanto por ciento es la primera cantidad de la segunda.

a) 7 es el % de 35

b) 46 es el % de 35

c) 249 es el % de 300

d) 17.82 es el % de 27

e) 78.4 es el % de 56
f) 9.92 es el % de 16

g) 10 es el % de 400

h) 9 es el % de 900
i) 3.015 es el % de 18
j) 460 es el % de 1472

k) 4.179 es el % de 27.86
l) 58.24 es el % de 56

m)
23.1 es el % de 165

n) 157.8 es el % de 374

o) 42.38 es el % de 978

p) 93.65 es el % de 187.3

q) 716 es el % de 99
r) 0.58 es el % de 8.15

s) 29 es el % de 290
t) 1 458 es el % de 2 430
20
131.42
83
66
140
62
2.5
1
16.75
31.25
15
104
14
42.19
4.33
50
723
7.11
10
60
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29
B
1
3. Completa correctamente las afirmaciones.

a) 11 es el 9% de:

b) 740 es el 25% de:
c) 45 es el 0.05% de:

d) 0.904 es el 10% de:

e) 5.16 es el 73% de:
f) 1314 es el 210% de:

g) 612 es el 19% de:

h) 253.7 es el 36% de:
i) 0.005 es el 1.05% de:
j) 8 390 es el 150% de:

k) 125 es el 20% de:
l) 1.5 es el 0.34% de:

m)
144.3 es el 57% de:

n) 82 es el 66% de:

o) 40 es el 25% de:

p) 63.07 es el 95% de:

q) 720 es el 45% de:
r) 9 es el 13.02% de:

s) 2 037 es el 73.8% de:
t) 25 es el 80% de:
¿De qué número 5 400 es el
300%?
16 200
162
1 800
3 600
Pregunta
de reflexión
122.2
2 960
90 000
9.04
7.07
625.71
3 221
704.7
0.476
5 593.3
625
441.2
253.2
124.2
160
66.4
1600
69.1
2 760.2
31.25
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electrónica.

30
Porcentajes y tasas
Eje: Manejo de
la información
y funciones
Práctica 7
Resolución de problemas que impliquen el cálculo
de interés compuesto, crecimiento poblacional u
otros que requieran procedimientos recursivos
Matemáticas
rápidas
1. Calcula 86  30  100.
2. ¿Cuáles son los primeros
cuatro múltiplos de 17?
3. Abril toca la guitarra
cinco horas y media a la
semana. ¿Cuántas horas
practica en un año?
4. ¿Qué porcentaje de la
figura está sombreada?
5. Ordena de mayor a menor
los siguientes números:
7.3, 7.33, 7.033, 3.7.
Cuando una cantidad de dinero se invierte o se pide prestada,
genera una ganancia (en el primer caso) o da lugar a un costo,
que en los dos casos se llama interés.
El interés de un préstamo es compuesto cuando el costo o la
ganancia que se obtiene al final de cada período se reinvierte
o se añade al capital inicial.
Ejemplo
¿Cuál es el interés compuesto que producen 60 pesos invertidos
al 5% anual por tres años?
Interés del primer año: 5% de 60  3 pesos. Saldo: 63 pesos
Interés del segundo año: 5% de 63  3.15 pesos. Saldo: 66.15
pesos.
Interés del tercer año: 5% de 66.15  3.31 pesos. Saldo: 69.46
pesos
Un modelo matemático que sirve para calcular el interés
compuesto es el siguiente:
St
 S0
(1  i)t
S0
representa el capital o saldo inicial
i es la tasa de interés expresada en decimales
t es el número de años o periodos
St
es el saldo después del tiempo t
Para hallar el interés compuesto del ejemplo anterior con el
modelo que hemos mencionado, hacemos:
St
 60(1  .05)3
 60(1.05)3
 60(1.157625)  69.4575 ≈ 69.46
El crecimiento de una población puede modelarse como el del
interés compuesto si se considera una cantidad llamada tasa
de crecimiento anual, que indica el porcentaje de individuos
nuevos que se incorporan anualmente a la población total.
A partir de esto, podemos aplicar la fórmula:
Pt
 P0
(1  r)t
en la que:
P0
representa la población inicial;
r es la tasa de crecimiento anual;
t es el número de años después del año inicial y
Pt
es la población total después de t años.
258 000
17, 34, 51, 68
286 horas
40 %
7.33 7.3 7.033 3.7
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31
B
1
a) Calcula el interés compuesto que generan 200 pesos al 3% anual en
dos años.
b) ¿En cuánto se convierten 500 pesos al 3% anual de interés
compuesto en 2 años? Calcula la ganancia en cada año.
c) ¿En cuánto se convierten 13 456 pesos al 8% en 3 años? Calcula la
ganancia en cada año.
d) La señora Domínguez invirtió 75 000 pesos a tres años con un interés
del 16% anual. ¿Cuanto recibe al vencimiento de su inversión? ¿Cuál
es el saldo al cabo de cada año?
e) En el año 2 000 una universidad pública tenía 65 000 estudiantes
en sus diferentes facultades. Si la tasa de crecimiento que tiene la
universidad es de 7% anual y se conserva, ¿cuál será su población
estudiantil en el 2015?
f) En el año 1995 la población del estado de Nuevo León era de
3 550 114 habitantes. Si la tasa de crecimiento anual es de 1.7%,
¿cuál será la población en el año 2015?
g) Muchos países del mundo tienen una tasa de crecimiento
demográfico del 3% o más al año. Con dicha tasa, ¿cuál será
la población mundial dentro de 23 años, si actualmente es de
7 000 000 000 de personas?
Actividades
En 23 años la población mundial casi se duplicará, ya que habrá
13 815 105 580 habitantes.
Interés 1er
año = 3% de 200 = 6 Importe $ 206
Interés 2do
año = 3% de 206 = 6.18 Importe $ 212.18
Interés por 1er
año = 3% de 500 = 15 Importe $ 515
Interés por 2do
año = 3% de 515 = 15.45 Importe $ 530.45
Interés por el 1er
año = 8% de 13 456 = 1 076.48 Importe $ 14 532.48
Interés por el 2do
año = 8% de 14 532.48 = 1 162.60 Importe $ 15 695.10
Interés por el3er
año = 8% de 15 695.10 = 1 255.608 Importe $ 16 950.70
St = 7 500 (1 + 0.16)3
= 7 500 (10.16)3
= 7 500 (1.560 896) = 11 706.20
En el año 2015 la universidad tendrá 179 337 alumnos.
En el año 2015 el Estado de Nuevo León tendrá a 4 973 491 habitantes.
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32
Eje: Manejo de
la información
Tema: Nociones
de probabilidad
Probabilidad
Práctica 8
Comparación de dos o más eventos a partir de sus
resultados posibles, usando relaciones como: “es
más probable que…”, “es menos probable que…”
Matemáticas
rápidas
1. Calcula 2  5  3 
3  2  5  3.
2. Calcula 92
.
3. Calcula 34
.
4. ¿Qué porcentaje de la
figura está sombreada?
5. Calcula mentalmente 63
entre 7 por 6 menos 8
más 4 entre 10.
La probabilidad es una medida de qué tan posible es que
suceda un evento.
Es importante mencionar que:
• La probabilidad de cualquier evento es siempre un número
entre 0 y 1:
0  P  1
• Si un evento A no ocurre bajo ninguna circunstancia decimos
que se trata de un evento imposible y su probabilidad es cero:
P(A) = 0
• Si un evento A siempre ocurre, se dice que se trata de un
evento seguro y su probabilidad es 1:
P(A) = 1
Si A representa un evento, la probabilidad de que A suceda se
calcula de la siguiente manera:
P(A) =
veces en que puede presentarse el evento
total de resultados posibles
Al total de resultados posibles de un evento se le llama espacio
muestral.
Ejemplos
• Al tirar una moneda, el total de posibilidades son dos: águila
o sol. Cada una de ellas es un evento. La probabilidad de que
ocurra cualquiera de los dos es:
veces que se presenta el evento
casos posibles
=
1
2
• Si se saca un boleto de una urna para ganar un premio, el
número de posibilidades es igual al total de boletos y el
evento de ganar sólo uno. Por lo tanto, la probabilidad de
ganar el premio es:
P(Premio) =
1
número de boletos
• Si se escoge una carta de una baraja común de 52 cartas,
como cuatro de ellas son ases, resulta que la probabilidad
de sacar un as es:
P(As) =
4
52
2700
= 81
= 81
10%
5
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33
B
1
1. En un salón hay siete niñas y dos niños.
a) Si se selecciona un alumno al azar, ¿qué es más probable, que sea
una niña o un niño?
b) Si se elige una pareja al azar, ¿qué es menos probable que salga: dos
niñas, dos niños o una niña y un niño?
c) En un closet hay tres camisas blancas, dos camisas azules, dos
pantalones negros y cuatro pantalones cafés. Si se saca un atuendo al
azar, ¿qué es más probable que salga: una camisa azul con pantalón
negro o una camisa blanca con pantalón café?
d) En una baraja normal, si se toman cuatro cartas al azar, ¿qué es lo
más probable que salga: cuatro cartas del mismo número o cuatro
cartas de la misma figura?
e) Al tirar dos dados iguales, ¿qué tiene la menor probabilidad de salir
en las caras superiores: dos números iguales o dos cuya suma sea
11?
f) De un conjunto de tarjetas numeradas del 1 al 100 se sacan tres.
¿Qué es menos probable: que salgan tres números pares, que los tres
terminen en 5 o que dos sean pares y uno impar?
g) Si en una ciudad llueve 150 días al año, ¿qué es más probable: un
día lluvioso o un día sin lluvia?
Federico participa en una
rifa en la que gana uno
de cada 100 boletos. Para
asegurarse de ganar el
premio, ¿qué necesita
hacer?
Participar 100 veces en
la misma rifa.
Es imposible tener la
seguridad de ganar.
Comprar todos los
boletos.
Pregunta
de reflexión
Actividades
Un día sin lluvia
Una niña
Dos niños
Camisa blanca y pantalón café
4 cartas de la misma figura
Que la suma sea 11 puntos
Que los tres números terminen en 5
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34
Eje: Manejo de
la información
Tema: Análisis
y representación
de datos
Media, mediana
y moda
Práctica 9
Análisis de casos en los que la media
aritmética o mediana son útiles para
comparar dos conjuntos de datos
Matemáticas
rápidas
1. Calcula
864
10
y
864
100
.
2. Calcula 0.3256  1 000
y 0.3256  100.
3. ¿Cuánto es el 30% de
150?
4. ¿Cuánto es el 150% de
70 y el 200% de 5?
5. Rodolfo tiene tres
monedas de 10 pesos,
quince de 50 centavos,
treinta y cuatro de 20
centavos, trece monedas
de 10 centavos y ocho
monedas de 5 centavos.
¿Cuánto dinero tiene?
La media, la mediana y la moda son medidas que ayudan a
analizar conjuntos de datos. Se conocen como medidas de
tendencia central.
La media (X) de un conjunto de datos {X1
, X2
, X3
, …, XN
} se calcula
sumando todos los datos y dividiendo la suma entre el número
de datos:
X 5
X1
 X2
 X3
 …  XN
N
Ejemplo
La media del conjunto de datos:
5, 2, 6, 4, 2, 6, 5.
Se calcula así:
5  2  6  4  2  6  5
7

30
7
 4.29
La mediana es el valor que se encuentra en el centro de la lista
de datos una vez que éstos se ordenan en forma creciente o
decreciente. Si el número de datos es impar, este valor es el del
centro; si es par, la mediana se encuentra promediando los dos
valores que están a la mitad de la lista.
La moda es el valor que más se repite en la lista de datos. Por
ejemplo, si se consideran los datos 4, 6, 2, 7, 4, 3, 4, 5 y 3, la
moda es 4.
Actividades
1. Tres alumnos de la clase de matemáticas obtuvieron las siguientes
calificaciones.
Alumno A: 10, 10, 5, 10, 10, 10, 3, 10, 9.
Alumno B: 9, 8, 7, 10, 8, 8, 9, 8, 10.
Alumno C: 10, 10, 9, 9, 8, 8, 7, 7, 9.
86.4 y 8.64
325.6 y 32.56
45
105 y 10
$ 46
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S.
A.
de
C.
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35
B
1
a) Utiliza los datos para llenar la siguiente tabla.
Alumno Media Mediana Moda
A
B
C
b) ¿Consideras, a partir de sus calificaciones, que los tres alumnos
tienen el mismo nivel de conocimiento de la materia? ¿Por qué?
c) ¿En cuál de estos casos la media refleja mejor el desempeño del
alumno? ¿Por qué?
d) ¿En cuál de estos casos la mediana refleja mejor el desempeño del
alumno? ¿Por qué?
e) ¿Cuál de estos alumnos consideras que necesita reforzar sus
conocimientos? ¿Por qué?
8.5 10 10
8.5 8 8
8.5 9 9
Respuesta libre (R. L.)
R. L.
R. L.
R. L.
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A.
de
C.
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36
Práctica 9
2. La maestra ha decidido eliminar las calificaciones extremas, es decir, la
mayor y la menor, y calcular nuevamente la media para tratar de encontrar
mejores medidas del rendimiento de cada alumno. Completa la siguiente
tabla con los nuevos valores.
A
B
C
a) Estos valores de la media, ¿reflejan mejor el aprovechamiento de los
alumnos? ¿Por qué?
b) Explica los nuevos resultados para la mediana y la moda.
3. Para averiguar cuál es el progreso de los alumnos, la maestra decidió pedir
una tarea adicional. ¿Cuál sería tu predicción sobre las calificaciones que
cada alumno obtendrá de la nueva tarea? ¿Por qué?
9.1 10 10
8.6 8 8
8.6 9 9
R. L.
R. L.
R. L.
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S.
A.
de
C.
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37
B
1
4. Después de la tarea adicional, los alumnos obtuvieron el mismo promedio
que antes.
a) ¿Cuál fue la calificación que obtuvo cada uno?
b) Supón que en la tarea adicional todos obtuvieron 8 de calificación.
Calcula los nuevos valores para la mediana y la moda y completa la
siguiente tabla.
A 9
B 8.5
C 8.5
c) ¿En cuál de estos casos la media refleja mejor el desempeño del
alumno? ¿Por qué?
d) ¿En cuál de estos casos la mediana refleja mejor el desempeño del
alumno? ¿Por qué?
e) Establece cuál de las medidas de tendencia central describe mejor el
aprovechamiento de cada alumno y por qué.
10 10
8 8
8.5 8 y 9
R. L.
R. L.
R. L.
Alumno A = 9.1
Alumno B = 8.6
Alumno C = 8.6
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A.
de
C.
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38
aprendizaje
Escoge la opción que complete correctamente cada pregunta. Márcala en tu
hoja de respuestas (recórtala del final de tu cuaderno).
1. Al resolver la operación
(8)(5)(2)
10
se obtiene:
a) 8
b) 8
c) 200
10
d)
200
10
2. 5-2
es igual a:
a) 10
b) 10
c) 25
d)
1
25
3. En la figura de la izquierda l y m son rectas paralelas. Si la medida del
ángulo 2 es de 73o
, ¿cuánto mide el ángulo 7?
a) 73º
b) 107º
c) 180º
d) No se puede saber.
4. Los ángulos alternos internos de la figura del problema anterior son:
a) 1 y 3
b) 2 y 7
c) 4 y 6
d) 1 y 5
5. El resultado de
4  103
 1.5  101
2  108 es:
a) 3  1010
b) 3  1010
c) 3  1012
d) 3  1012
6. Para construir un triángulo es suficiente conocer los siguientes datos:
a) Dos de sus ángulos.
b) Uno de sus lados y un ángulo.
c) Uno de sus ángulos y un lado.
d) Los tres lados.
Mide tu
1 2
3
4
5 6
7
8
l
m
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A.
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39
7. ¿Cuánto mide el ángulo que falta del siguiente triángulo?
a) 30º
b) 45º
c) 150º
d) No puede saberse
8. A Joaquín le aumentaron su sueldo un 20% y actualmente gana 6 000
pesos. ¿Cuánto ganaba antes del aumento?
a) 7 200 pesos
b) 4 800 pesos
c) 1 200 pesos
d) 5 000 pesos
9. El área total del siguiente prisma es:
a) 200 u2
b) 220 u2
c) 240 u2
d) 260 u2
10. Calcula el área de la parte sombreada de la siguiente figura.
a) 6 u2
b) 2 u2
c) 8 u2
d) 12 u2
11. En un salón de 35 alumnos hay 17 mujeres y 18 hombres. Si se
selecciona un alumno al azar:
a) Es más probable que sea mujer.
b) Es más probable que sea hombre.
c) Es igual de probable que sea hombre o mujer.
d) No se puede saber la probabilidad de que sea hombre o mujer.
12. ¿Qué intereses producirán 300 pesos invertidos durante cuatro años al
7% de interés compuesto anual?
a) 393.24 pesos
b) 93.24 pesos
c) 380.75 pesos
d) 80.75 pesos
B
1
60º
90º
x
5 u
10 u
4 u
4 u
2 u
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3
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2
B
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1
B
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4
B
L
O
Q
U
E
5
40
B1Retos
Para finalizar tu trabajo, te proponemos los siguientes desafíos.
I. Seguramente has resuelto cuadrados mágicos. El primero y más básico
de ellos es el que usa los números del 1 al 9. Colócalos, sin repetición,
en las casillas, de manera de que todos los renglones, las columnas y las
diagonales sumen 15.
II. En el siguiente cuadrado mágico deben colocarse los primeros 16 núme-
ros naturales, y la suma debe ser 34.
III. En esta rueda mágica tienes que colocar los números del 1 al 11, de ma-
nera de que la suma de cada línea sea la misma.
4
2
8
6
7
5 16 9
14 11 7
1 13 12
15 10 3
10
4
9
11
5
8
2
3
1
6
8
3
4
1
5
9
6
7
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2
BLOQ
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B
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4
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Q
U
E
5
B2
Problema
En 1899, el matemático austriaco Georg Pick encontró una manera de calcular áreas
de polígonos mediante un arreglo de puntos alineados en renglones y columnas.
Observa el siguiente ejemplo.
Los vértices de los polígonos coinciden con puntos del arreglo, de manera que
siempre se encontrarán puntos sobre el contorno de las figuras. Si B es el número
de puntos que se encuentran sobre el perímetro de la figura e I el número de puntos
dentro de ésta, la llamada ecuación de Pick indica que el área A es: A  I 
B
2
– 1.
1. Completa la siguiente tabla para encontrar el área de las figuras.
Polígono Puntos sobre el perímetro (B) Puntos interiores (I)
Área
A = I +
B
2
– 1
A
B
C
D
E
Resuelvas problemas aditivos con monomios
y polinomios.
Resuelvas problemas en los que sea necesario calcular
cualquiera de las variables de las fórmulas para
obtener el volumen de cubos, prismas y pirámides
rectos, y que establezcas relaciones de variación entre
dichos términos.
autónoma
matemática
resultados
Manejar técnicas
eficientemente
A
B
A
B C
G
H
D
I
F
E
4
0
1
10
2
6
14
4
10
20
0
9
9
1
4.5
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electrónica.

42
Tema: Problemas aditivos
Sumas y restas
de monomios
Práctica 10
y sustracción de monomios
Matemáticas
rápidas
1. Calcula 7
5
6
– 5
9
12
.
2. Encuentra 43
.
3. Pepe gastó
3
4
de los
300 pesos que llevaba.
¿Cuánto dinero le sobró?
4. ¿Cuál es el mínimo
común múltiplo de 30
y 12?
común divisor de 30 y 12?
A
B C
D E
F G
m
m
m
m
y
y
y
y
y
y
a
a a
a
a
b b
b
4n
3x + 4
5n - 4
4 + 3n
2x + 1
x
x
x
x
x
c
Para sumar y restar monomios, basta con realizar las
operaciones indicadas con los coeficientes de los términos
semejantes.
Ejemplos
4x  6x  10x
6y  2y  4y
3m  5m  2m
4s  5r  2s  6s  5r
Actividades
1. Encuentra el perímetro de las siguientes figuras.
2 1
12
64 4m 5y 3a + 2b
12n 10x + 10
5x + y 2a + b + c
$ 75
60
6
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electrónica.

43
B
2
a) Mariana compró doce cuadernos a n pesos cada uno. Si al pagar le
descontaron el precio de tres cuadernos, ¿cuánto pagó Mariana en total?
b) Juan Pablo y Renata compraron peras y manzanas en oferta: las peras
a m pesos el kilo y las manzanas a n pesos el kilo. Juan Pablo compró
3 kg de pera y 2 kg de manzana y Renata compró 5 kg de pera y 1 kg
de manzana.
• ¿Cuántos kilogramos de pera compraron entre los dos?
• ¿Cuál fue el costo de 8 kg de pera?
• ¿Cuántos kilogramos de manzana compraron entre los dos?
• ¿Cuánto deben pagar por las manzanas?
• Si pagaron con un billete de 200 pesos, ¿cuánto les dieron de
cambio?
c) Helena y Renata ahorraron para comprar un tren eléctrico. Si su
ahorro fue de m pesos y al pagar les descontaron 100 pesos, ¿cuánto
costó el tren?
d) En los siguientes cuadrados la suma de las filas, las columnas y
las diagonales debe ser la que se indica en cada uno. Completa los
cuadrados para que sea así.
La suma debe ser 3a La suma debe ser 1.5m
5a 0
3a 1.5m 0.5m
2a 4a 2m
La suma debe ser 0 La suma debe ser 4.5m
3
4
p 6m
1
2
p 7.5m 1.5m
p

3
4
p 3m
¿Cuál de las siguientes
igualdades es falsa?
3x  8y  y 
9y  3x
t  3t  2t  2t
6a  2b  8ab
7u  v  5u  v 
2u  2v
Pregunta
de reflexión
$ 9 n
3 kg
$ 3 n
Les devolvieron de cambio 200 – (8m + 3n)
$ m – 100
8 kg
$8 m
2a 0
–a a
3a
m –2.5m
0.5m
–m 1.5m
–p 1
4
p
– 1
2
p 0
– 1
4
p
0 1.5m
4.5m
3m –4.5m
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44
Tema: Problemas aditivos.
Problemas multiplicativos
Sumas y restas de
polinomios. Expresiones
algebraicas
Práctica 11
y sustracción de polinomios. Identificación y
búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes
a partir de modelos geométricos
Matemáticas
rápidas
1.
7
16
  1
2. Calcula el perímetro del
círculo. Considera pi
como 3.14.
3.
1
8
  5120
4. 5.2 √250.64
5. La fábrica de galletas
La chispa de chocolate,
hornea 5975 galletas de
avena al día. ¿Cuántas
galletas fabricará en el
mes de junio?
6.5 cm
Para resolver sumas y restas de polinomios, se agrupan los
términos semejantes y se realiza la operación correspondiente
entre los coeficientes.
Ejemplo
(3x  2y)  (5x  3y)  (3x  5x)  (2y  3y)  8x  y
Actividades
1. En los siguientes cuadrados la suma de las filas, las columnas y las
diagonales debe ser la que se indica en cada caso. Complétalos para que
sea así.
a) La suma debe ser 12a 18b b) La suma debe ser 3n  12
2a  3b 10a  15b n  8 n  2
12a 18b 4a  6b n 1 4 n  4
6a  9b n  2
c) La suma debe ser 6x 1 9y d) La suma debe ser 6n  12
0.5x 1 4.5y 1.5x  3.5y 2n  8 2n 1 2
3x 1 2y 2x 1 3y 2n 1 4 2n  4
3.5x 1 1.5y 2n  2
16
7
40.82
40 960
82.3
179 250
0
–4a + 6b
–2a + 3b 8a – 12b
–4x+ y
–x + 4y
–2.5x + 2.5y 5y
n – 6
n – 12
n – 10 n
2n – 6
2n – 12
2n – 10 2n
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45
B
2
2. Une con una línea cada expresión del lado izquierdo con su correspondiente
del lado derecho:
( ) 2a  5b  (7a b) a)
3
4
m
( )
3
4
m 
1
2
m  m b)
1
2
m
( ) 7a  3b  (2b  a) c) 5a  4b
( ) 2m 
3
2
m d)
5a  4b
( )
1
4
m 1 m 
1
2
m e)
5
4
m
( ) 5a  b (10a  5b) f) 6a  5b
En muchos casos es posible utilizar más de una expresión
algebraica para expresar lo mismo. A estas se les llama
equivalentes.
Ejemplo
Para expresar el área de las siguiente figura, podemos
considerarla como:
• El área de un rectángulo de altura a y base a  2
A  a (a  2)
• El área de un cuadrado de lado a más el área de dos
rectángulos de base 1 y altura a.
A  a2
 2a
1 1
a
a
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46
Práctica 11
3. Escribe el área de cada figura.
1
1
1 a
a
a
4. Escribe dos expresiones distintas que representen el área de cada una de
las siguientes figuras.
1 a
a
1
5
a
3
1
a
1
1 a
a
a) b)
c) d)
A = 1 A = a A = a2
Exp. 1: A = a(1 + a)
Exp. 2: A = a + a2
Exp. 1: A = 5(a + 1)
Exp. 2: A = 5a + 5
Exp. 1: A = 3(1 + a)
Exp. 2: A = 3a + 3
Exp. 1 = A = a (a + 2)
Exp. 2 = A = a2
+ 2a
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47
B
2
1
1
1
a
a
c
b
b
b
c
c
c b
b
c
b
b
b
c
c
c c
b
b
c
c
c
c
c
b
b
e)
i)
g)
f)
j)
h)
A = b(2b + c)
A = 2b2
+ bc A = (a + 1) (a + 2)
A = a2
+ 3a + 2
A = b (3c + b)
A = 3bc + b2
A = c2
+ c2
+ c2
+ c2
+ c2
+ c2
+ b2
A = 6c2
+ b2
A = b2
+ b2
+ c2
+ c2
+ bc
A = 2b2
+ 2c2
+ bc
A = c2
+ c2
+ b2
+ b2
+ c2
+ c2
A = 4c2
+ 2b2
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48
Volumen
Eje: Forma, espacio
y medida
Tema: Medida
Práctica 12
Justificación de las fórmulas para calcular el
volumen de cubos, prismas y pirámides rectos
El volumen de un cubo se calcula multiplicando la medida de
su lado tres veces.
V  l  l  l  l3
El volumen de un prisma es el producto del área de su base
por su altura:
V  Abase
 altura  A  h
El volumen de una pirámide es la tercera parte del prisma
construido sobre la misma base y con la misma altura:
V  Ab

h
3
Los prismas y las pirámides se clasifican de acuerdo con la
forma de su base. Cuando la base es un polígono regular, se
calcula su área con la fórmula:
A  lado 
apotema
2
Matemáticas
rápidas
1. Encuentra el área y
el perímetro de un
cuadrado de lado 5.6 cm.
2.
75
100
 16

18
3.
2 4.85
3.9763
4. El periódico El diario del
Este tuvo un tiraje de
4 439 200 durante el mes
de mayo. ¿Cuál fue su
promedio de circulación
por día?
5. Calcula 5  1.82.
1. En una caja caben 10 cubos a lo largo, 6 cubos a lo ancho y 5 cubos de
profundidad.
l
l
l
Actividades
10 cm
5 cm
6 cm
12
24
P= 22.4cm A= 31.36 cm2
–0.8737
143 200
3.18
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49
B
2
a) ¿Cuántos cubos caben en la base de la caja?
b) ¿Cuántos cubos caben en total en la caja?
c) Si los cubos miden un centímetro de lado cada uno, ¿cuál es el
volumen de la caja?
2. Se quiere calcular el volumen de un prisma de base cuadrada. En la base
caben, de cada lado del cuadrado, 3 cubos de 1 cm3
y hacia arriba del
prisma caben 7 cubos de 1 cm3
.
a) ¿Cuál es el área de la base?
b) ¿Cuál es el volumen del prisma?
3. ¿Cuál es el volumen de una pirámide con base cuadrada de 3 cm de lado y
altura de 7 cm?
4. Calcula el volumen de un prisma cuyas bases son triángulos rectángulos
isósceles. Los lados que forman el ángulo recto miden 5 cm cada uno y la
altura del prisma mide 12.5 cm.
5. Calcula el volumen de la pirámide que tiene la misma base y la misma altura
que el prisma anterior.
6. Calcula el volumen de cada uno de los siguientes cuerpos.
a) Un prisma de 3.4 cm de altura, con base pentagonal de 2 cm de lado
y de apotema 1.37 cm.
b) Una pirámide de 5.4 cm de altura, con base hexagonal de 4 cm de
lado y una apotema de 3.46 cm.
12.5
cm
5 cm
5
c
m
60
300
300 cm3
9 cm2
63 cm3
156.25 cm3
52.08 cm3
23.29 cm3
74.74 cm3
V = Ab x h
3
= 21cm3
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50
Eje: Forma, espacio
y medida
Tema: Medida
Problemas
de volumen
Práctica 13
Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas
y pirámides rectos o de cualquier término implicado
en las fórmulas. Análisis de las relaciones de
variación entre diferentes medidas de prismas
y pirámides
Matemáticas
rápidas
1. El grupo de Elena está
recolectando tapas de
envases de PET para un
experimento. Necesitan
15 037 y han juntado
9 584. ¿Cuántas tapas
les faltan por juntar?
2. Calcula
1
2
de 35.
3.
3
7
 10.
4. 145 √437.9
5. Encuentra 25
 32
.
Para calcular alguna de las cantidades que aparecen en las
fórmulas de volumen, se despeja la variable adecuada a esa
cantidad.
Ejemplo
A partir del volumen de un cubo se puede conocer cuánto mide
su lado. Si el volumen del cubo es 125, entonces:
V  l3
 125
l  3
√125
Actividades
a) Se requiere construir una cisterna con una capacidad de 4 m3
de agua en una superficie rectangular. Si la base es un rectángulo de
2 m de largo por 1.3 m de ancho. ¿Cuál debe ser la profundidad
de la cisterna?
b) Un litro de leche está empacado en una caja en forma de prisma
cuadrangular. Si la altura del empaque es de 20.5 cm, ¿cuánto mide
de lado la base del empaque? Recuerda que un litro es igual a
1000 cm3
.
5 453
17.5
3 034.3
288
h = 1.5 m
7 cm
30
7
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51
B
2
c) Se necesitan tapas de plástico para un juego de seis vasos que son
prismas octagonales. El apotema mide 3 cm y el área de las tapas
debe ser de 300 cm. ¿Cuál es la longitud de cada lado de la tapa?
d) La Gran pirámide de Egipto ocupaba un volumen total de
aproximadamente 7.6 millones de metros cúbicos y su base cuadrada
mide 230.3 m por lado. Se piensa que estaba coronada por una
pequeña pirámide de oro sólido que desapareció. Si la altura
actual de la Gran pirámide es de 137 m, ¿cuál habría sido la altura
máxima de la pequeña pirámide de oro?
e) Se tienen dos recipientes en forma de prisma rectangular y se sabe
que las dimensiones del recipiente más pequeño miden la mitad
de las dimensiones del recipiente más grande. ¿Qué fracción del
volumen del recipiente grande representa el pequeño?
Supón que tienes varios
primas y pirámides con la
misma base. ¿Cuáles tienen
el mismo volumen?
Pirámide de altura 2x
y prisma de altura x
Pirámide de altura a
y prisma de altura
1
3
a
Prisma de altura 2m
y pirámide de altura 6m
Prisma de altura 3s
y pirámide de altura s
Pregunta
de reflexión
25 cm
6.3 m
La octava parte
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52
Eje: Manejo de
la información
y funciones
Proporcionalidad
inversa
Práctica 14
Identificación y resolución de situaciones
de proporcionalidad inversa mediante
diversos procedimientos
Matemáticas
rápidas
1. Calcula el promedio de
430, 106, 52 y 132.
2. Encuentra el máximo
común divisor de 16, 24
y 72.
3. Encuentra el mínimo
común múltiplo de 16,
24 y 72.
4. Calcula 43.078  19.199.
5. Escribe los múltiplos de
8 que son mayores que
20 y menores que 60.
Se dice que dos cantidades son inversamente proporcionales
o que guardan una relación de proporcionalidad inversa si
su producto es constante. Esto es, si a y b son inversamente
proporcionales,
ab  k, con k una constante
La gráfica de una relación de proporcionalidad inversa es una
curva que no cruza por ninguno de los dos ejes.
Ejemplo
A: xy  1 y 
1
x
B: xy  2 y 
2
x
C: xy 
1
2
y 
1
2x
A
y
x
C
B
0 1
1
2
2
3
3
4
4
180
8
144
23.879
24, 32, 40, 48, 56
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53
B
2
1. En cada uno de los siguientes casos traza una gráfica con los valores que se proporcionan y responde a
las preguntas.
a) El producto de dos números naturales siempre es 24.
x y
1
2 12
3 8
4
6 4
8
12
24
• Escribe la expresión matemática que representa
esta situación.
Actividades
b) Los alumnos de 2° C van a pintar la barda del patio. El conserje dice que él solo tarda 45 días
para pintarla. Si los alumnos pueden pintar con la misma eficiencia, completa la tabla y dibuja
la gráfica correspondiente:
Número de alumnos Días
3
5
9
15
• Si hay veinte alumnos en el salón ¿cuántos días,
aproximadamente, tardarán en pintar toda la pared?
• ¿Cuál es el valor de k constante de proporcionalidad
inversa?
24
6
3
2
1
15
9
5
3
xy = 24
Dos días y un cuarto
45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
23 24
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11
12 13
14
15
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Alumnos
Días
x
y
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54
Práctica 14
c) En el mismo salón de secundaria están planeando comprar un proyector. El precio del proyector
es de 3 200 pesos. Completa la tabla para calcular cuánto pagaría cada alumno.
Número de alumnos Cuota (pesos)
4
5
8
10
16
20
• Usa la gráfica para calcular de cuánto sería la cuota
con la cooperación de doce alumnos.
• Determina el valor de k constante de proporcionalidad.
d) Cuando el grupo anterior planeó una salida de campamento, los alumnos se dieron cuenta que
no podían llevar más de 10 garrafones de agua. Para calcular cuántos días podrían acampar
realizaron una tabla y dibujaron la gráfica correspondiente. Usa el mismo procedimiento para
mostrar los resultados que obtuvieron. (Considera que cada garrafón contiene 20 litros de agua).
Días Litros de agua
2 100
4
5
8
10
• Si sólo diez compañeros van al campamento, cada
uno bebe dos litros de agua al día y 5 litros se usarán
para preparar los alimentos, ¿cuál es el número
máximo de días que podrán acampar?
• Si d representa el número de días del campamento
y l los litros de agua, escribe la expresión matemática
que describe este problema.
800
640
400
320
200
160
50
40
25
20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
800
760
720
680
640
600
560
520
480
440
400
360
320
280
240
200
160
120
80
40
Número de alumnos
Cuotas
(pesos)
$ 267.00
3 200
8 días
ld = 200
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
100
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
Días
Litros
de
agua
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55
B
2
a) Una alberca tarda 12 horas en llenarse cuando están abiertas las cuatro llaves que tiene. Si una
llave está averiada y no surte agua, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse la alberca?
b) Cinco jardineros tardan 3 horas en podar el pasto de un parque. ¿Cuánto tardarán si contratan
otros tres jardineros y todos trabajan al mismo ritmo?
c) Con el contenido de una jarra se llenan seis vasos de 200 ml cada uno. Si a cada vaso se le
ponen 300 ml, ¿cuántos vasos se pueden llenar?
d) Ocho amigos cooperaron con 460 pesos para rentar un bote. Si en las siguientes vacaciones
sólo llegaron cinco amigos, ¿cuánto tendrá que pagar cada uno para rentar el bote?
e) Una casa se puede pintar con ocho cubetas grandes de pintura, pero como no había cubetas
grandes se compraron botes que contienen dos terceras partes de una cubeta. ¿Cuántos botes
se compraron?
f) En un elevador se indica que el límite de su capacidad es de ocho personas de 80 kg cada una.
Si hay un grupo de niños que pesan en promedio 28 kg, ¿cuántos podrán subir al elevador?
g) Se requieren dos bombas para vaciar un tanque en 72 horas. ¿Cuántas bombas se necesitan si
se quiere vaciar el mismo tanque en 12 horas?
16 horas
1.9 horas
4 vasos
736 pesos
12 botes
22 niños
12 bombas
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56
Eje: Manejo de la
información
Tema: Nociones de
probabilidad
Probabilidad
Práctica 15
Realización de experimentos aleatorios y registro
de resultados para un acercamiento
a la probabilidad frecuencial. Relación de ésta
con la probabilidad teórica.
Matemáticas
rápidas
1. Calcula:
•
3
5
de 60
•
7
12
de 60
•
3
10
de 60
2. Encuentra el promedio de
14.8, 17.3 y 19.5
3.
37.89
1 84.75
12.23
4. Calcula el perímetro y
el área de la siguiente
figura si se sabe
que cada lado de los
cuadritos mide 0.7 cm.
5. En el campamento
de verano, cada niño
desayuna tres hotcakes.
Si la cocinera preparó
324, ¿cuántos niños
comieron hotcakes?
Un diagrama de árbol es una herramienta muy útil para calcular
el total de casos posibles de un experimento aleatorio, lo que
permite calcular la probabilidad asociada a cada evento.
Ejemplo
¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener al lanzar un
dado y una moneda?
Observa que las ramas finales muestran cada una de las
combinaciones posibles, de modo que si las contamos
sabremos el total de casos posibles. De este modo si, por
ejemplo, se quiere calcular la probabilidad de sacar un sol en
la moneda y un número par en el dado, solo hay 3 ramas que
tienen esa combinación de un total de 12 posibles, por lo
que la probabilidad de obtener sol y par es:
P (sol, par) 
3
12

1
4
Otra forma de contar la totalidad de casos posibles de un evento
aleatorio es hacer una tabla. En el ejemplo anterior, la tabla
sería la siguiente.
1 2 3 4 5 6
Sol (s,1) (s,2) (s,3) (s,4) (s,5) (s,6)
Águila (a,1) (a,2) (a,3) (a,4) (a,5) (a,6)
Resultados
Águila
Sol
1 5
4
3 6
2 1 5
4
3 6
2
36
35
18
17.2
134.87
P = 8.4 cm
A = 2.45 cm2
108 niños
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57
B
2
1. Al tirar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un par de números
iguales?
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 10?
b) ¿Y la probabilidad de que la suma sea 7?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos números sean pares?
2. Al tirar 3 monedas sucesivamente, ¿de cuántas formas pueden caer?
a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos águilas y un sol (en cualquier
orden)?
b) ¿Y cuál es la probabilidad de que salga al menos un sol?
3. En una urna hay 5 bolas numeradas del uno al cinco. ¿Cuál es la probabilidad
de que al sacar dos bolas, los números sean sucesivos?
a) En el mismo experimento, ¿cuál es la probabilidad de que la suma
sea 7 o menor?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea par?
Actividades
1
12
1
6
1
6
1
4
De 8 formas
3
8
7
8
1
4
4
5
2
5
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58
aprendizaje
Mide tu
Escoge la opción que complete correctamente cada pregunta. Márcala en tu
hoja de respuestas (recórtala del final de tu cuaderno).
1. El perímetro de la siguiente figura es:
a) 10a
b) 10a  8b
c) 12a
d) 12a  8b
2. La expresión algebraica que representa el área de la región no
sombreada de la siguiente figura es:
a) 26(3m  2)
b) 26(58)
c) 26(56  3m)
d) 26(58  3m)
3. En la figura anterior, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo
sombreado si m  10?
a) Base: 59, Altura 26
b) Base: 32, Altura 26
c) Base: 26, Altura 26
d) Base: 26, Altura 32
4. El área de la siguiente figura se representa con la expresión:
a) 2b2
 c
b) 2b2
 bc
c) 2bc  b
d) 3b2
 c
5. El volumen de una pirámide cuya base tiene un área de 81 m2
y 10 m de
altura es:
a) 4 860 cm3
b) 810 cm3
c) 270 cm3
d) Faltan datos para poder calcularlo
6. ¿Cuál es la medida de la altura de un prisma hexagonal cuya base tiene
un área de 30 cm2
y cuyo volumen es de 150 cm3
?
a) 3 cm
b) 5 cm
c) 10 cm
d) No hay datos suficientes para calcularla
2a - b
4a + 2b
4a - 3b
2b
58
26
3m + 2
b
b
b c
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59
B
2
7. El volumen de la siguiente pirámide es:
a) 4 860 cm3
b) 810 cm3
c) 270 cm3
d) Faltan datos para saberse
8. El volumen de la siguiente pirámide es:
a) 576 cm3
b) 288 cm3
c) 192 cm3
d) Ninguna de las anteriores
9. Rosaura fue a una copiadora a reducir una fotografía. Al recoger la foto
se dio cuenta que la copia medía 5 cm de ancho. ¿Cuál fue el factor de
reducción que aplicó el encargado de las copias?
a)
3
4
b)
5
8
c) 8
5
d) 4
3
10. ¿Cuánto mide el largo de la foto original si en la reducción el largo
mide 15 cm?
a)
20
3
b) 24
c)
3
20
d) 12
11. La probabilidad de que al lanzar dos dados y sumar los puntos que
caigan se obtenga un número mayor que 7 es:
a)
20
3
b)
5
12
c) 7
12
12. La probabilidad de que al lanzar dos dados y sumar los puntos que
caigan se obtenga un múltiplo de 3 es:
a)
1
3
b) 1
5
c) 3
4
10
m
81 m2
8 cm
8 cm
9
cm
8 cm
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L
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Q
U
E
3
B
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2
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Q
U
E
1
B
L
O
Q
U
E
4
B
L
O
Q
U
E
5
60
B2Retos
I. A una posada asistieron 42 personas.
Calcula cuántas mujeres estaban en el baile si se sabe que la señora Leticia
bailó con 7 hombres, la señora Beatriz bailó con 8, la anfitriona bailó con
9, y así sucesivamente hasta la tía de Pablo, que bailó con todos.
1
2
1 4
II. Completa el siguiente cuadrado con los números del 1 al 4 de manera
que, en cada columna y en cada renglón, no se repita ningún número.
18 mujeres
2 4 3
4 1 3

3 1 4 2
3 2
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B
L
O
Q
U
E
3
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O
Q
U
E
2
BLOQ
UE
1
B
L
O
Q
U
E
4
B
L
O
Q
U
E
5
B3
Problema
La fórmula para calcular el volumen de una pirámide es:
V 
1
3
AB
h
En ella, AB
es el área de la base y h es la altura perpendicular a la base desde el vértice.
Las pirámides reciben su nombre por la forma de su base. La siguiente es una
pirámide rectangular, en la que O es el centro del rectángulo.
1. Escribe la fórmula para el área de la base en términos de la variable x.
2. Sustituye esta expresión en la fórmula para el volumen de la pirámide.
3. Escribe una fórmula para calcular el perímetro PB
de la base.
4. Comprueba que si x  6 cm, entonces AB
 PB
.
5. Usa este valor de x y calcula el valor de h que hace que el valor numérico del
volumen de la pirámide sea igual a los del perímetro y del área de la base.
Resuelvas problemas que implican efectuar
multiplicaciones o divisiones con expresiones
algebraicas.
Justifiques la suma de los ángulos internos de cualquier
triángulo o polígono y utilices esta propiedad en la
resolución de problemas.
Resuelvas problemas que implican usar la relación
entre unidades cúbicas y unidades de capacidad.
Leas y comuniques información mediante histogramas
y gráficas poligonales.
autónoma
matemática
y resultados
Manejar técnicas
eficientemente
12
cm
R (x 3) cm
S
T
Q
O
P
x cm
AB
= x (x – 3)
PB
= 2x + 2(x – 3) = 4x – 6
AB
= 6 (6 – 3) = 6 (3) = 18
PB
= 4 (6) – 6 = 24 – 6 = 18
V =
x (x – 3)
3
× h
El volumen de la pirámide vale 18 cuando h = 6 cm
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62
Tema: Problemas
multiplicativos
Jerarquía
de operaciones
Práctica 16
Resolución de cálculos numéricos que implican
usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis,
si fuera necesario, en problemas y cálculos con
números enteros, decimales y fraccionarios
Matemáticas
rápidas
1. ¿Cuánto vale
6x  15 cuando x 
1
3
?
2. ¿Cuánto vale 24y  10
cuando y  3?
3. ¿Cuánto vale 5a 
1
4
cuando a 
1
4
?
4. El costo de inscripción a
un periódico es de 24.50
pesos a la semana.
¿Cuánto cuesta la
inscripción anual?
5. Resuelve las siguientes
operaciones:
•
2
3

3
5
•
2
3

3
5
•
2
3

3
5
•
2
3

3
5
Cuandoenunaexpresiónaparecenvariasoperaciones,algunas
de las cuales están entre paréntesis,se buscan los resultados de
cada una de ellas, yendo de los paréntesis internos hacia los
externos. Los paréntesis indican, por lo tanto, el orden en que
deben hacerse las operaciones.
Ejemplo
4  [3  (10  2)]  4  [3  (5)]  4  [8]  32
[(4  3)  10]  2  [(12)  10]  2  [22]  2  11
(4  3)  (10  2)  (12)  (5)  17
Observa cómo los resultados varían según como se coloquen
los paréntesis.
Si en una expresión con varias operaciones, hay paréntesis,
existe una serie de reglas que permiten llevarlas a cabo de
manera única. Estas reglas se conocen como jerarquía de
operaciones y son las siguientes:
• Se resuelven potencias y raíces (si las hay).
• Multiplicaciones y divisiones (si las hay).
• Las sumas y restas (si las hay).
Algunas operaciones funcionan como paréntesis. Por ejemplo,
para resolver
8  4 2 5  2
11

32 2 10
11

22
11
 2
la división entre 11 es la última que se hace. Y en:
√5  20  23  3  √100 1 69 5 √169  13
la raíz cuadrada se extrae hasta el final.
1. Resuelve las siguientes operaciones.
a) 20  5  3 b) 8  5  25  5
Actividades
–13
–82
= 2
5
= 35 = 35
= 10
9
= 19
15
= 1
15
3
2
$ 1274
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63
B
3
c)
50
10
 √25  6  3  2 d) 4  32
 √81
e) (8  2)2
 23
 40 f) 8  4 2 5  3
g) 12 4 3 2 5 1 4 4 2 1 33
h)
√49  6 2 40 4 5 1 62
4 18 1 18
i) 5  20 1 23  3 j) 2(43
2 4 4 2)
k) 2(43
2 4 4 2) l) 72  2 1 18  3 2 53
1 18 4 9
m)
1
2
1 5 
3
2
n) 8.4  5  2.5 4 5
o)
5
3
 √25 2
1
3
3 3 
20
3
p)
42
 32
5
2 √81
q) (8  2)2
2 23
 40
10
r) √3.1  2  2.45  4
s)
2
5

1
7

2
5
 2 
7
5
t) √49  1.6  40.5  5  62
 1.8 
1
10
u) √15  20  6.1  10 v)
2(43
2 4 4 2)
124
w)
3
4

1
2
1
1
2

2
5
2
5
4
1
1
3

3
2
x) 1.8  0.9  1.7  0.2
2. En las siguientes operaciones, coloca paréntesis de tal forma que obtengas el resultado que se indica.
a) 42
 32
 √81  65
b) 6  5  25  4  30
c) 20  4  3  8
d) 42
 4  2  5 6
= 5
= –220
= 28
= 169
= 24
= 8
=
2
3
= –22
= 5
= 19
=
23
18
= 4
= 17
= 54
= 124
= –85
= 41.5
= –4
= 4
= 23
= 1
= 2.34
= 42
– (32
× √81) = 16 – 81 = –65
= [6 × (5 – 25)] ÷ 4 = –120 ÷ 4 = –30
= –(20 + 4)÷ 3 = –8
= [(–4)2
– 4] ÷ 2 = (16 – 4) ÷ 2 = 6
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64
Tema: Problemas
multiplicativos
Multiplicación
de expresiones
algebraicas
Práctica 17
Matemáticas
rápidas
1. Calcula el perímetro y el
área de un rectángulo de
32 m de largo por 18 m
de ancho.
2. Calcula el perímetro
y el área del trapecio
rectángulo cuya base
mayor mide 35 cm, y con
base menor de 24 cm,
altura de 20 cm y lado
oblicuo de 25 cm.
3. Calcula el área de un
triángulo cuya base mide
62 cm y su altura es de
22 cm.
4. Calcula el volumen de
una pirámide cuya base
cuadrada mide 8 cm de
lado y cuya altura es de
9 cm.
5. Un estudiante obtuvo
en el primer bimestre
de 8.7 de calificación
en matemáticas. ¿Qué
calificación debe obtener
en el segundo bimestre
para elevar su promedio
a 9?
Resolución de problemas multiplicativos que
impliquen el uso de expresiones algebraicas,
a excepción de la división entre polinomios
1. Calcula el área de las siguientes figuras.
a)
b)
c)
d)
e)
x
5x
m
m
4a
6a
m + 5
m
2x
2x + 1
A = 5 x2
A = m2
A =24 a2
A = 2 x (2 x + 1) = 4x2
+ 2x
P = 100 m
A = 576 m2
A = m (m + 5) = m2
+ 5 m
P = 104 cm A = 590 cm2
A = 682 cm2
9.3
V = 192 cm3
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65
B
3
2. Escribe la expresión algebraica que expresa lo que se pide en cada caso.
a) El largo del rectángulo.
b) El ancho del rectángulo.
c) El perímetro y el área del rectángulo rojo.
d) El perímetro y el área del rectángulo verde.
3x
A = 12x2
- 15x
2y + 3
A = 8y2
+ 12y
6b + 4
A = 3b + 15
b + 5
m + 2
8m + 7
A = 4m + 8
4x – 5
4y
P = 14b + 12
A = 6b2
+ 31b + 5
P = 18m + 10
A = 8m2
+ 19m + 6
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66
Eje: Forma, espacio
y medida
Ángulos interiores
de los polígonos
Práctica 18
1. En las siguientes figuras traza las diagonales desde un solo vértice y
completa la tabla.
Figura
Número de
lados
Número de triángulos que se
forman al trazar diagonales
desde un solo vértice
Suma de ángulos
interiores
Formulación de una regla que permita
calcular la suma de los ángulos interiores
de cualquier polígono
Matemáticas
rápidas
1. Si cada cubito equivale
a una unidad de medida,
¿cuál es el volumen del
siguiente cuerpo?
2. ¿Cuántas aristas tiene
un prisma pentagonal?
3. Calcula 6
4
5
 2
1
2
.
4. Encuentra el valor de N
si N  4  3  6  8
 5  6  40
5. ¿Cuántos minutos hay en
5
6
de hora?
Todo cuadrilátero se puede descomponer en dos triángulos
si trazas una diagonal desde cualquiera de sus vértices.
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo
es igual a 180o
, la suma de los ángulos interiores de un
cuadrilátero es 2  180o
 360o
.
A
D
C
B
Actividades
3 Ninguno 180°
4 Dos 360°
20 u3
15 aristas
N = 24
50 minutos
4 3
10
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67
B
3
Figura
Número de
lados
Número de triángulos que se
forman al trazar diagonales
desde un solo vértice
Suma de ángulos
interiores
Polígono de n lados
2. Calcula la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos.
a) Eneágono (nueve lados)
b) Decágono (diez lados)
c) Endecágono (once lados)
d) Dodecágono (doce lados)
Indica cuáles de las
siguientes afirmaciones son
falsas.
Hay polígonos cuyos
ángulos interiores
miden 2168º.
Los ángulos interiores
de un polígono de 10
lados miden 1800º.
Hay polígonos cuyos
lados interiores miden
4500º.
Los ángulos internos
de un polígono de 20
lados miden 3240º.
Pregunta
de reflexión
5 3 180° × 3 = 540°
6 4 180° × 4 = 720°
7 5 180° × 5 = 900°
8 6 180° × 6 = 1080°
n n – 2 180° × (n–2)
1260°
1440°
1620°
1800°
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68
Eje: Forma, espacio
y medida
Figuras para cubrir
el plano
Práctica 19
1. Completa la siguiente tabla.
Polígono regular Número de ángulos Suma de ángulos interiores Medida de cada ángulo
Triángulo 3 180o
Cuadrado
Pentágono
Hexágono
Heptágono ≈129o
Octágono 135o
Eneágono 9
Decágono
Endecágono 11 1 620o
≈147o
Dodecágono 12
Análisis y explicitación de las características
de los polígonos que permiten cubrir un plano
Matemáticas
rápidas
1. ¿Qué números son
divisibles entre 2 y 5 a
la vez?
2. Escribe tres números
mayores de 500 y
menores de 600 que
sean divisibles entre 3.
3. Escribe tres fracciones
equivalentes a
3
7
.
4. Simplifica las siguientes
fracciones:
210
1000
180
68
5.
23
3
  
8
15
Actividades
Respuesta modelo (R.M.):
145, 250, 3 462, 4 520
513, 582, 591
– 8
115
6
14
, 9
21
, 12
28
21
100
45
17
60°
4 360° 90°
5 540° 108°
6 720° 120°
7 900°
8 1080°
1260° 140°
10 1440° 144°
1800° 150°
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69
B
3
2. Apoyate en la tabla anterior, observa las figuras y responde.
a)
1
3
2
1 2
• ¿ Cuánto mide cada uno de los ángulos 1, 2 y 3?
• ¿Cuánto mide la suma de los ángulos 1, 2 y 3?
• ¿Cuánto mide el ángulo que permitiría cubrir el hueco que queda?
• ¿Cabría otro pentágono en ese hueco?
b)
• ¿Cuánto miden los ángulos 1 y 2 del octágono regular?
• ¿Cuánto suman los ángulos 1 y 2?
• ¿Cabría otro octágono en ese hueco?
Mide 108° cada uno
324°
36°
No
135° cada uno
270°
90°
No
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70
Práctica 19
c)
1
2
3
4
5
1
2
• ¿Cuánto miden los ángulos 1 y 2 del hexágono regular?
• ¿Cuánto suman los ángulos 1 y 2?
• ¿Cabría otro hexágono regular en ese hueco?
d)
• ¿Cuánto miden los ángulos 1, 2, 3, 4, y 5 de los triángulos
equiláteros?
• ¿Cuánto suman los cinco ángulos?
• ¿Cabría otro triángulo en ese hueco?
120° cada uno
240°
120°
Si
60° cada uno
300°
60°
Si
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71
B
3
3. Escribe si se puede o no cubrir el plano sin dejar huecos con las siguientes
figuras. Explica tu respuesta en cada caso.
a) Triángulo
b) Cuadrado
c) Pentágono
d) Hexágono
e) Heptágono
f) Octágono
g) Eneágono
h) Decágono
i) Endecágono
j) Dodecágono
4. Explica por qué sólo algunas figuras pueden cubrir el plano sin huecos ni
superposiciones. ¿Qué figuras tienen esa característica?
Sí
Sí
No
Sí
No
No
No
No
No
No
Sólo las figuras que suman 360º en los ángulos interiores del vértice por el
cual coinciden.
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72
Eje: Forma, espacio
y medida
Tema: Medida
Unidades de capacidad
y de volumen
Práctica 20
Relación entre el decímetro cúbico y el litro.
Deducción de otras equivalencias entre unidades
de volumen y capacidad para líquidos y otros
materiales. Equivalencias entre unidades del
Sistema Internacional de Medidas y algunas
medidas socialmente conocidas
Matemáticas
rápidas
1. 
5
3
  1
2. Escribe los siguientes
números mixtos como
fracciones impropias.
• 3
3
4
• 5
1
2
• 2
3
5
• 4
1
7
3. Escribe las siguientes
fracciones impropias con
números mixtos.
•
32
5
•
17
4
•
123
11
•
201
190
4. 63
 60.
común divisor de 6, 12
y 18.
Algunas medidas de capacidad son las siguientes.
Símbolo Unidad de capacidad Equivalencia en litros
kl kilolitro 1000 l
hl hectolitro 100 l
dal decalitro 10 l
l litro 1 l
dl decilitro 0.1 l
cl centilitro 0.01 l
ml mililitro 0.001 l
Para expresar alguna de las unidades de capacidad anteriores
en términos de otra de ellas, se multiplica o divide por 10,
según sean las unidades involucradas.
algunas medidas de volumen en el Sistema Internacional de
unidades son las siguientes.
Símbolo Unidad Equivalencia (metros cúbicos)
km3
kilometro cúbico 1000000000 m3
hm3
hectómetro cúbico 1000000 m3
dam3
decámetro cúbico 1000 m3
m3
metro cúbico 1 m3
dm3
decímetro cúbico 0.001 m3
cm3
centímetro cúbico 0.000001 m3
mm3
milimetro cúbico 0.000000001 m3
La relación entre las medidas de capacidad y de volumen es
la siguiente:
• Un litro es la capacidad de una caja cúbica de un decímetro de
arista, es decir, que tiene un volumen de un decímetro cúbico.
• Un kilogramo es el peso de un litro de agua.
3
–
5
= 15
4
= 11
2
= 13
5
= 29
7
= 6 2
5
= 4 1
4
= 11 2
11
= 1 11
190
= 156
6
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73
B
3
1. Escribe las siguientes unidades en litros.
a) 4 kl
b) 2.5 dal
c) 3.49 hl
d) 3 ml
e) 28 cl
f) 9.5 dl
g) 84 cl
h) 0.5 ml
i) 745 ml
j) 0.9 dal
2. Escribe las siguientes cantidades en metros cúbicos.
a) 8 km3
b) 5.2 dam3
c) 3.49 hm3
d) 3 mm3
e) 28 cm3
f) 5.5 dm3
g) 86 cm3
h) 0.5 km3
i) 545 mm3
j) 0.9 dam3
3. Indica si cada uno de los siguientes enunciados es verdadero (V) o falso (F).
a) En un metro cúbico caben 1 000 000 centímetros cúbicos.
b) Un metro cúbico es equivalente a 100 000 centímetros cúbicos.
c) El peso de medio litro es medio kilo.
d) En un decímetro cúbico caben 1 000 centímetros cúbicos.
e) 5 gramos es el peso de 50 centímetros cúbicos de agua.
Actividades
Un cubo de 20 cm de lado
tiene un volumen de:
2 dm3
800 cm3
8 dm3
el doble que uno de
10 cm de lado
Pregunta
de reflexión
= 4 000 l
= 25 l
= 349 l
= 0.003 I
= 0.28 l
= 0.95 l
= 0.84 l
= 0.000 5 l
= 0.745 l
= 90 l
= 8 000 000 000 m3
= 5 200 m3
= 3 490 000 m3
= 0.000 000 003 m3
= 0.000 028 m3
= 0.005 5 m3
= 0.000 086 m3
= 500 000 000 m3
= 0.000 000 545 m3
= 900 m3
V
F
V
V
F
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electrónica.

74
Eje: Manejo de la
información
y funciones
Relaciones de
proporcionalidad
Práctica 21
Representación algebraica y análisis de una
relación de proporcionalidad y = kx, asociando
los significados de las variables con las cantidades
que intervienen
a) Si para cubrir el piso de una habitación de 24 m2
se gastaron
2 800 pesos, ¿cuál será el costo para cubrir el piso de una habitación
de 53 m2
con los mismos materiales?
• Escribe una expresión algebraica que representa esta situación.
• ¿Cuál es el valor de k?
b) Se necesitan 14 m de tela para hacer los vestidos para los ocho
alumnos del grupo de baile, ¿cuánta tela se necesitaría si bailaran
12 alumnos?
c) Para acelerar un auto a 2
m
s2 se requiere de una fuerza de 2700 N.
¿Qué fuerza se necesita para acelerar el mismo auto a 3.4
m
s2 ?
d) Un estudiante escribe, en promedio, 215 palabras en 3 horas. Si
tiene que entregar un trabajo de 1400 palabras, ¿cuánto tiempo
tardará en escribirlo?
Matemáticas
rápidas
La siguiente gráfica
muestra los resultados
de una encuesta sobre la
preferencia en colores.
1. ¿Cuántas personas
respondieron la
encuesta?
2. ¿Qué porcentaje de
personas encuestadas
prefieren el rojo?
no escogieron el color
blanco?
4. ¿Qué fracción del total
prefiere el color azul?
encuestadas prefieren el
color azul?
2
0
4
6
8
Rojo Blanco Azul
Número
de
personas
en
miles
Una relación de la forma y  kx describe una variación
directamente proporcional, en la que x es la variable
independiente, y la variable dependiente y k es la constante
de proporcionalidad.
Actividades
12 000
50%
7 000
1 000
1
12
$ 6 183.33
116.66
C = 116.66 A
21 m
1.75
1 350
4 590 N
19.5 horas
71.66
P = 71.66t
F = 1 350a
©
Ek
Editores
S.
A.
de
C.
V.
Versión
electrónica.

75
B
3
2. Completa cada una de las siguientes tablas y escribe la expresión
algebraica que relaciona a las variables que aparecen en ella.
a)
x 2.3 4.2 5.7 8.1 9.4
y 25.3 89.1 103.4
b)
d 4 6 8 10 12
c 18.85 25.13
c)
y 300 423 501 732 810
z 150.3 219.6
d)
v 9 12 15 18 21
p 1 440 1 680
90 126.9 243
11
y = 11x
c = 3.14d
3.14
z = 0.3y
0.3
P = 80 v
80
46.2
12.56
720 960 1 200
31.41 37.68
62.7
©
Ek
Editores
S.
A.
de
C.
V.
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electrónica.

76
Eje: Manejo de la
información
Tema: Análisis y
representación de datos.
Histogramas y gráficas
poligonales
Práctica 22
Búsqueda, organización y presentación de
información en histogramas o en gráficas
poligonales (de series de tiempo o de frecuencia),
según el caso y análisis de la información
Matemáticas
rápidas
1. Resuelve mentalmente
100 entre 5 menos 8 por
5 menos 4.
2. Un avión con capacidad
para 100 personas
transporta a 35. ¿Qué
porcentaje del avión está
vacío?
3. Si en la compra de
un libro pagas con un
billete de 100 pesos y te
devuelven 33.75 pesos
de cambio, ¿cuánto costó
el libro?
4. Si una película dura 100
minutos y empezó a las
7:40 pm, ¿a qué hora
terminó?
5.
873.09
 0.7__
Un histograma es una representación gráfica de la frecuencia
con la que se presenta una variable dentro de un conjunto
de datos. El eje horizontal se separa en intervalos de longitud
uniforme, que corresponde a alguna clase o agrupación de los
datos. En el eje vertical se señala cuántas veces se repite cada
clase. Sobre cada intervalo se construye un rectángulo con la
altura de la frecuencia correspondiente.
Ejemplo
Se registró la edad de los alumnos de segundo de secundaria
en la escuela y se obtuvieron los siguientes datos:
Edad (años) Alumnos
12 2
13 6
14 9
15 1
Total 18
Es importante señalar que:
• Las clases en el eje horizontal deben ser contiguas, de
manera de que las barras no están separadas.
• La altura de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia
con la que se presenta cada clase.
2
0
4
6
8
12 13 14 15
Edad (años)
Número
de
alumnos
10
65%
56
9:20 pm
873.79
$ 66.25 ©
Ek
Editores
S.
A.
de
C.
V.
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electrónica.

77
B
3
Un polígono de frecuencia se forma al unir con segmentos
de recta los puntos medios del extremo superior de cada
rectángulo de un histograma.
Ejemplo
2
0
4
6
8
12 13 14 15
Edad (años)
Número
de
alumnos
10
2
0
4
6
8
12 13 14 15
Edad (años)
Número
de
alumnos
10
Es importante mencionar que:
• Los polígonos de frecuencias son más útiles cuando se trata
de datos que varían con el tiempo.
• Se puede hacer un polígono de frecuencias sin trazar
el histograma si se toma solamente el punto medio de
cada clase, conocido como marca de clase, y la altura
correspondiente.
Ejemplo
©
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S.
A.
de
C.
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electrónica.

78
Práctica 22
1. En cada uno de los siguientes problemas elabora la tabla correspondiente al conjunto de datos que se
proporcionan y construye un histograma o un polígono de frecuencias, según se requiera.
a) En un restaurante se registró mediante la tabla siguiente el número de comensales que entraron
cada hora.
9 am 10 am 11 am 12 am 1 pm 2 pm 3 pm 4 pm 5 pm 6 pm
12 34 21 9 45 26 19 21 8 6
• ¿En qué horario entraron más comensales?
b) En la sala de urgencias de un hospital se registró la edad de los pacientes en grupos de diez,
a los que se atendió durante un día entero. El registro tiene los siguientes datos:
25 20 3 1 12 28 14 33 70 40 70 7 10 14 35 18
14 5 68 9 76 68 15 29 47 12 32 73 50 25 52 40
37 51 88 38 12 4 60 19 14 76 42 31 38 22 58 42
37 42 18 30 16 2 55 12 60 16 28 49 35 12 14 8
62 20 9 14 63 40 15 6 32 30 38 12 41 10 49 12
• ¿Qué grupo de edad padece más accidentes o enfermedades que deban atenderse de inmediato?
• ¿Cuántos pacientes, entre niños y jóvenes, se atendieron?
• ¿Cuántos pacientes de la tercera edad acudieron a urgencias?
• ¿Cuántos adultos de entre 21 y 60 años de edad fueron atendidos?
A la 1 pm
Horas Número

9 – 10 46
11 – 12 30
1 – 2 71
3 – 4 40
5 – 6 14
Total 201
Grupos
de edad
(años)
1 – 10
11 – 20

21 – 30

31 – 40
41 – 50

51 – 60

61 – 70

71 – 80
81 – 90
Total
Número
12
22
8
14
8
6
6
3
1
80
11 – 20 Años
34
10
36
1-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
Grupos de edad
Número
9-10 11-12 1-2 3-4 5-6
80
70
60
50
40
30
20
10
Horas
Número
de
comensales
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electrónica.

79
B
3
c) En la tabla se muestra la tasa de inflación en México entre los años 2000 y 2010. La inflación
es el promedio del aumento de los precios al consumidor, expresado como porcentaje.
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
9 6.5 6.4 4.5 5.4 4 3.4 4 5.1 3.6 4.1
Fuente: http://www.indexmundi.com/g/g.aspx?v=71c=mxl=es
• Dibuja el polígono de frecuencias para los datos.
• ¿En qué año se reportó la tasa más baja de inflación?
• Entre los años 2000 y 2006, ¿cuál era la tendencia de la tasa de inflación?
• ¿Entre qué años la tasa de inflación registró una tendencia a crecer?
• A partir de 2003, ¿existe alguna tendencia de la tasa de inflación? Explica tu respuesta.
d) Realiza una breve encuesta sobre las calificaciones de todos los alumnos en tu salón. Procesa
esos datos, elabora una tabla y dibuja el histograma correspondiente. Analiza los resultados.
Escribe una conclusión y una predicción sobre cómo serán los resultados finales del grupo.
2006
A bajar
2006 y 2008
No R. L.
R. L.
©
Ek
Editores
S.
A.
de
C.
V.
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electrónica.

80
Eje: Manejo de la
información
Tema: Análisis y
representación de datos.
Propiedades
de la media y mediana
Práctica 23
Análisis de las propiedades de la media
y la mediana
Matemáticas
rápidas
1. Ordena los siguientes
número de menor a
mayor:
4
12
,
8
16
,
5
6
, 0.25.
2. Calcula 80% de 200.
3. 17 86.19
4. 55 66
5. ¿Cuántos vértices tiene
una pirámide hexagonal?
Para todo conjunto de datos x1
, x2
, x3
,… xn
, con una media
aritmética (o promedio) x, sucede que:
• La suma de las desviaciones de cada dato respecto de la
media es cero. Es decir:
(x 2 x1
)  (x 2 x2
)  ...  (x 2 xn
) 5 0
• Si todos los datos tienen un mismo valor, la media es igual
a esa misma constante. Es decir:
x1
5 x2
5 ... 5 xn
5 x
• Si todos los datos se multiplican por una constante k,
entonces la media de los nuevos datos es igual a la constante
por la media de la muestra original. Es decir:
kx es la media de kx1
, kx2
, ..., kxn
• Si a todos los datos se les suma o resta una cantidad
constante k, entonces la media de los nuevos datos es igual
a la media de la muestra original más (o menos) la misma
constante. Es decir:
x  k es la media de (x1
 k), (x2
 k), ..., (xn
 k),
, x2
, x3
,… xn
, con una mediana Md
:
• La mediana del conjunto es única.
• La mediana no cambia en presencia de valores extremos.
• La mitad de los datos son menores que la mediana y la otra
mitad de los datos son mayores.
, x2
, x3
,… xn
, con una media
aritmética x y mediana Md
:
• Se dice que el conjunto de datos es simétrico si la media
aritmética es igual a la mediana.
• Si la media aritmética es mayor que la mediana, se dice que
el conjunto de datos tiene una asimetría positiva.
• Si la media aritmética es menor que la mediana, se dice que
el conjunto de datos tiene una asimetría negativa.
o.25
4
12
8
16
5
6
160
5.07
1.2
7 vértices
©
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81
B
3
1. Considera las propiedades de la media y la mediana para contestar las
siguientes preguntas.
a) La media del salario en una empresa es de 6 983 pesos. Si en marzo
todos recibieron una compensación de 1450 pesos extras, ¿cuál es la
media del salario en el mes de marzo?
b) Se reportó que la media de las edades de los niños de un equipo
de futbol es de 14 años. De los catorce niños inscritos en el equipo
tres tienen 12 años, cinco tienen 13 años, cuatro tienen 14 años
y dos tienen 17 años. Utiliza la propiedad de que la suma de las
desviaciones respecto de la media es cero para verificar si el reporte
es correcto.
c) La media de los precios de las bebidas en la cafetería de la escuela
es de 3.50 pesos. Si el día de la kermés triplicaron el precio de cada
bebida, ¿cuál fue la media del precio de las bebidas el día de la
kermés?
2. En los siguientes conjuntos de números, calcula la media y la mediana y
determina si son simétricos o si presentan asimetría positiva o negativa.
a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8
b) 10, 11, 3, 5, 7, 10, 9, 14, 16, 10, 2, 5, 7, 8, 3, 12, 18, 6, 4, 10,
15, 10, 15, 13, 8, 17
c) 3, 5, 2,7, 5, 9, 5, 2, 8, 6
d) 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4
Actividades
Medida del salario en marzo es $ 8 433.00
Como la suma de desviaciones respecto de la medida no es cero, la
medida que se reportó es incorrecta.
La medida del precio de las bebidas en la kermés fue de $10.50.
Media = 5 El conjunto es simétrico
Mediana = 5
Media = 9.5 El conjunto presenta una asimetría negativa
Mediana = 10
Media = 5.2 El conjunto presenta una asimetría positiva
Mediana = 5
Media = 4.8 El conjunto presenta una asimetría negativa
Mediana = 5
©
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S.
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C.
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electrónica.

82
aprendizaje
Mide tu
1. 8  5  2 2 15  5 es igual a:
a) 15
b) 2.2
c) 33.8
2. Calcula el perímetro de un rectángulo de base 2x  1 y altura 5.
a) 10x  1
b) 4x  11
c) 4x  12
d) 10x  5
3. Calcula el área del rectángulo anterior.
a) 10x  1
b) 4x  11
c) 4x  12
d) 10x  5
4. La suma de los ángulos interiores de un polígono regular de 7 lados es:
a) 900º
b) 720º
c) 1080º
d) 1440º
5. Si el volumen de un recipiente es de 7 centímetros cúbicos ¿Cuál es su
capacidad expresada en mililitros?
a) 7 ml
b) 70 ml
c) 700 ml
d) 7000 ml
6. ¿Cuánto pesa el agua contenida en un recipiente de 5 centímetros
cúbicos de capacidad?
a) 50 gramos
b) 500 gramos
c) 5 kilogramos
d) 5 gramos
7. La siguiente tabla representa la relación entre dos cantidades
directamente proporcionales. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
a) 3
b)
1
3
c)
5
3
d)
4
3
x 6 5 4 3
y 2
5
3
4
3
1
2x  1
5
©
Ek
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S.
A.
de
C.
V.
Versión
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83
B
3
B
3
8. La gráfica de la derecha muestra las preferencias en sabores
de helado hallado por una encuesta. ¿A cuántas personas se
les aplicó la encuesta?
a) 17
b) 25
c) 10
d) 75
9. ¿Qué porcentaje de los encuestados prefieren sabor de fresa?
a) 25%
b) 33.3%
c) 13%
d) 12%
10. ¿Cuál es el sabor que menos gusta?
a) Vainilla
b) Coco
c) Mamey
d) Piña
11. ¿Qué fracción del total prefiere sabor mamey?
a)
1
2
b)
25
35
c)
1
4
d)
2
15
12. ¿Con cuál de los siguientes polígonos regulares se puede cubrir un
plano sin que queden huecos y sin que se superpongan?
a) octágono
b) dodecágono
c) hexágono
d) decágono
13. La media de un grupo de 10 datos es 42. Si se duplican todos los datos,
entonces la media será:
a) 42
b) 84
c) 21
d) Ninguno de los anteriores
5
0
10
15
20
Fresa Piña Vainilla Mamey Coco
Sabores
Número
de
personas
25
©
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S.
A.
de
C.
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B
L
O
Q
U
E
3
B
L
O
Q
U
E
2
B
L
O
Q
U
E
1
B
L
O
Q
U
E
4
B
L
O
Q
U
E
5
84
B3Retos
I.
• El perímetro del hexágono ABCDEF es 90 cm y sus lados son iguales.
• Los cuatro triángulos de las esquinas son iguales y el perímetro de
cada uno es 36 cm.
• GJ  18 cm y F es el punto medio de GJ.
Con los datos anteriores calcula el perímetro del rectángulo GHIJ
A B
C
D
E
F
G H
I
J
Los lados del hexágono miden 90
6
= 15 cm
P = 114 cm
©
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S.
A.
de
C.
V.
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B
L
O
Q
U
E
3
B
L
O
Q
U
E
2
BLOQ
UE
1
B
L
O
Q
U
E
4
B
L
O
Q
U
E
5
B4
Problema
En la siguiente figura se muestra un polígono de cinco lados con el lado AB extendido
hasta el punto X.
Contesta lo siguiente.
1. ¿Cómo se le llama a un polígono de cinco lados?
2. El lado AE es paralelo al lado BC. ¿Cuánto mide el ángulo CBX?
3. ¿Cuánto mide el ángulo ABC?
4. ¿Cuánto es la suma de los ángulos interiores del polígono?
5. Los ángulos BCD, CDE y DEA son iguales entre sí, ¿cuánto mide cada uno?
6. Sobre la figura, extiende los lados CD y AE hasta que se intersequen. Asígnale
la letra F a este punto.
7. ¿Cómo se llama el cuadrilátero que se formó?
8. ¿Cuánto es la suma de los ángulos interiores de un polígono de cuatro lados?
9. ¿Cuánto mide el ángulo AFC?
10. Considera el triángulo que se formó con los puntos D, E y F, ¿cuánto mide cada
uno de los ángulos del triángulo?
11. ¿Qué nombre se le da a este tipo de triángulos?
Representes sucesiones de números enteros a partir de
una regla dada y viceversa.
Resuelvas problemas que impliquen el uso de
ecuaciones de la forma ax  b  cx  d, en donde
los coeficientes son números enteros, fraccionarios o
decimales, positivos y negativos.
Identifiques, interpretes y expreses relaciones de
proporcionalidad directa o inversa, algebraicamente o
mediante tablas y gráficas.
Resuelvas problemas que implican calcular, interpretar
y explicitar las propiedades de la media y la mediana.
autónoma
matemática
y resultados
Manejar técnicas
eficientemente
108º
A
E
F
D
C
B x
Pentágono
108°
72°
540°
120°
Trapezoide
360°
60°
60°
Equiláteros
©
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S.
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de
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V.
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86
Tema: Patrones y
ecuaciones
Sucesiones
Práctica 24
Construcción de sucesiones de números enteros
a partir de las reglas algebraicas que las definen.
Obtención de la regla general (en lenguaje
algebraico) de una sucesión con progresión
aritmética de números enteros
Matemáticas
rápidas
1. Expresa 6.5 días en
horas.
2. Si
x
5
 1.3, ¿cuánto
vale x?
3. Si 227  N  401 
630, ¿cuánto vale N?
4. En una escuela se
necesitan 5 orientadores
para cada 250 alumnos.
¿Cuántos orientadores se
necesitarían para 3 600
alumnos?
5. Las alturas de cinco
alumnos son: 1.83 m,
1.78 m, 1.80 m, 1.76 m
y 1.75 m. ¿Cuál es el
promedio de sus alturas?
Una sucesión es una relación entre dos números, el que
representa el lugar en la sucesión (primero, segundo, tercero,...)
y el número que forma la sucesión. A cada número que forma
la sucesión se le llama término.
Llamaremos n al lugar que ocupa un término cualquiera de
la sucesión empezando por el uno. Los valores de n son los
números naturales (1, 2, 3, 4,...)
Ejemplo
La sucesión de los números pares: 2, 4, 6, 8, 10, ...
La sucesión de los números impares: 1, 3, 5, 7, 9, ...
La sucesión de los múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25,...
En las sucesiones se puede encontrar la regla algebraica que
permite encontrar cualquier término de la sucesión. Para hallar
la regla hay que identificar cómo varían los términos.
Ejemplo
En la sucesión de múltiplos de 3, los términos varían de 3 en
3, por lo tanto la regla algebraica es 3n.
Lugar 1 2 3 4 5 6 ... n ...
x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
Término 3 6 9 12 15 18 3n
Al primer término de la sucesión se le llama a1
; al segundo
término, a2
; al tercer término, a3
; y así, sucesivamente, hasta el
enésimo término, an
.
El enésimo término de una sucesión de múltiplos es d  n,
donde d es la diferencia entre dos términos consecutivos.
Ejemplo
Observa ahora la siguiente sucesión:
4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
3 3 3 3 3 3 3
156 hrs.
6.5
2
72
1.784 m
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87
B
4
1. Escribe la regla general de las siguientes sucesiones y encuentra
los términos que se te piden.
a) 2, 4, 6, 8, 10, 12,…
¿Cuáles son el término 100 y el término 273 de la sucesión?
b) 5, 10, 15, 20, 25,…
c) 7, 14, 21, 28, 35, 42,…
d) 8, 11, 14, 17,…
Los términos se encuentran sumando tres al término anterior.
Si se compara con la sucesión de los múltiplos de 3, se ve que:
Lugar 1 2 3 4 5 6 ... n ...
x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
Múltiplos de 3 3 6 9 12 15 18 3n
 1  1  1  1  1  1  1
Términos 4 7 10 13 16 19 ... 3n  1 ...
Por lo tanto el término enésimo se encuentra multiplicando
por 3 y sumando 1.
Actividades
an
= 2n
a100
= 200 y a273
= 546
an
= 5n
a27
= 135 y a121
= 605
a31
= 217 y a140
= 980
an
= 3n + 5
an
= 7n
a10
= 35 y a100
= 305
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88
Práctica 24
e) 4, 7, 10, 13,…
f) 0, 3, 6,…
g) 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5,…
h) 34, 45, 56,…
i) 2
1
2
, 4
1
2
, 6
1
2
, 8
1
2
,…
an
= 3n + 1
an
= 3n – 3
an
= 0.5n + 2
an
= 11n + 23
an
= 2n + 1
2
a10
= 31 y a57
= 171
a100
= 297 y a200
= 597
a20
= 12 y a100
= 52
a30
= 353 y a50
= 573
a100
= 200 1
2
y a300
= 600 1
2
©
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89
B
4
2. Escribe los cinco primeros términos y el término 100 de las siguientes
sucesiones.
a) an
 8n  7
b) an
 2n  23
c) an
 5n  1
d) an

1
2
n 
1
2
e) an
 3n  8
f) an
 4n  1
g) an
 1.5n
1, 9, 17, 25, 33, …
a100
= 793
25, 27, 29, 31, 33, …
a100
= 223
4 , 9 , 14 , 19 , 24 , …
a100
= 499
1, 1
1
2 , 2, 2
1
2 , 3, …
a100
= 50
1
2
–5, –2, 1, 4, 7, …
a100
= 292
–3, –7, –11, –15, –19, …
a100
= -399
1.5, 3, 4.5, 6,7.5, …
a100
= 150
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90
Práctica 25 Ecuaciones
de primer grado
Eje: Sentido numérico
y pensamiento algebraico
Tema: Patrones
y ecuaciones
Resolución de problemas que impliquen el
planteamiento y la resolución de ecuaciones
de primer grado de la forma ax 1 b 5 cx 1 d y
con paréntesis en uno o en ambos miembros
de la ecuación, utilizando coeficientes enteros,
fraccionarios o decimales, positivos y negativos
Matemáticas
rápidas
Escribe el nombre de los
siguientes cuerpos.
1.
2.
3.
4.
5.
Las propiedades de la igualdad son básicas para resolver
ecuaciones, por lo tanto es muy importante conocerlas para
poder aplicarlas. A continuación te mostramos algunas:
• Si se suma el mismo número a ambos lados, la igualdad se
sigue conservando.
• Si se resta el mismo número a ambos lados, la igualdad se
sigue conservando.
• Si se multiplica por el mismo número a ambos lados, la igual-
dad se sigue conservando.
• Si se divide entre el mismo número a ambos lados, la igualdad
se sigue conservando.
• Una igualdad tiene la siguiente propiedad: si a  b  c enton-
ces c  a  b
Una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias
cantidades desconocidas que se llaman incógnitas.
Ejemplos
• 6  3x  9  x La cantidad desconocida es x
• y  10  20  y La cantidad desconocida es y
• 2  5m  10  m La cantidad desconocida es m
Resolver una ecuación significa encontrar el valor de la incógnita
que satisface la ecuación, es decir, el valor de la incógnita que
hace que la igualdad se cumpla.
Ejemplo
6  3x  9  x
Se resta x de cada lado:
6  3x  x  9  x  x
6  2x  9
Se resta 6 de cada lado:
6  2x  6  9  6
2x  3
Pirámide pentagonal
Cilindro
Cono
Prisma triangular
Cubo
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91
B
4
1. Comprueba las siguientes soluciones.
a) Si y  10  20  y entonces y  15
b) Si 2x  5  x  4 entonces x  9
c) Si 2  5m  10  m entonces m  
4
3
d) Si 3(a  20)  9  3a entonces a 
23
2
2. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) 2x  5  9
b) 3x  1  5
c) 7x  5  2x  20
d) 3x  8  x  2
e) 1.5x  2.3  0.25x  2
f) 2(3x  1)  4(x  3)
Actividades
Se divide entre 2 cada lado:
x 
3
2
 1.5
Para comprobar la respuesta se sustituye 1.5 en el lugar de x.
6  3(1.5)  9  1.5
6  4.5  10.5
10.5  10.5
Si en ambos lados de la igualdad se obtiene el mismo resultado,
esto significa que x  1.5 es la solución.
x = 2
x = 4
3
x = 3
x = 5
x = 3.44
x = –5
15 – 10 = 20 – 15 entonces 5 = 5
2(–9) + 5 = –9 –4 entonces – 13 = –13
2 – 5(– 4
3
) = 10 – 4
3
entonces 2 + 20
3
= 10 – 4
3
, es decir 26
3
= 26
3
3(23
2
– 20) = 9 –3(23
2
) entonces 3(– 17
2
) = 9 – 69
2
, es decir – 51
2
= – 51
2
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92
Práctica 25
g) 5(
3
4
x 
1
5
)  4(
1
2
x  3)
h) m  4  5m  7
i) 3( 2  3x )  12
j) 6(x  1)  7(x  3)
k)
2
5
x 
1
3

2
3
x  1
l) 6x  3  x  10
m) 20y  25  10y  5
n) 5(x  3)  3x  6
o) 3.5y  7.2  4.5y  7.2
p)
1
3
m  9 
3
4
m
q) 2(x 
3
4
)  4(
3
2
x  5)
x = – 44
7
m = 3
4
x = – 2
3
x = 15
x = –5
x = – 13
5
y = 2
x = 9
8
y = 1.8
m = 21.6
x = – 43
8
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93
B
4
3. Plantea la ecuación que corresponde a cada uno de los siguientes
problemas y resuélvela.
a) El perímetro de un rectángulo es 38 m. Si su largo es 7 m más que
el ancho. ¿Cuánto mide de largo y cuánto mide de ancho?
b) Una cuerda de 27 cm de largo se divide en dos partes. Una parte
es 8 cm más grande que la otra. ¿Cuánto mide cada parte?
c) La suma de la cuarta parte y la tercera parte de un número es igual
al doble del número menos 17. ¿Cuál es el número?
d) En un triángulo isósceles cuyo perímetro es 16 cm, los lados iguales
miden 2 cm más que la base. ¿Cuánto mide la base y cada uno de
los lados iguales?
e) La suma de tres números consecutivos es 192. ¿Cuáles son los
números?
Ancho = 6 cm
Largo = 13 m
Una parte mide 9.5 cm y la otra parte mide 17.5 cm.
12
Base = 4 cm
Lados iguales = 6 m
63, 64 y 65
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94
En un círculo dado, se pueden trazar los ángulos que se
muestran en la figura
Eje: Forma, espacio
y medida
Tema: Medida
Ángulos
de un círculo
Práctica 26
Caracterización de ángulos inscritos y centrales
en un círculo, y análisis de sus relaciones
Matemáticas
rápidas
1. Calcula el volumen de
un prisma rectángular
con una base de 13 m
de largo y 10 metros de
ancho y cuya altura mide
0.5 m.
2. Calcula el área del
pentágono regular que
mide 6 cm de lado y su
apotema mide 4.12 cm.
3. 13.6 1.836
4. Escribe los siguientes
números romanos
en números arábigos.
• CMXL
• MMMCDXXXVII
• MCDXLI
5. Si a  0.5, b  0.4 y
c  0.75, calcula lo
siguiente.
• abc
• 2a  2b  2c
B
A
0
C
D
E
Ángulo inscrito. Ángulo que tiene el vértice sobre la
circunferencia y sus lados son cuerdas del círculo. En la figura
anterior el ángulo ABC es un ángulo inscrito.
Ángulo central. Ángulo que tiene su vértice en el centro y sus
lados son radios del círculo. En la figura anterior el ángulo AOC
es un ángulo central.
Teorema: En un círculo dado, si un ángulo inscrito y un ángulo
central subtienden el mismo arco de circunferencia, entonces el
ángulo central mide el doble que el ángulo inscrito. En la figura
anterior, el ángulo ABC y el AOC subtienden ambos el arco de
circunferencia , por lo tanto:
AOC  2ABC
Teorema: Para cualquier circunferencia, la tangente en un
punto forma un ángulo recto con el radio en el mismo punto.
En la figura anterior, es la distancia de O a C.
V = 65 m3
61.8 cm2
= 0.135
940
3 437
1 441
= 0.15
= 3.3
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95
B
4
1. Encuentra el valor de los ángulos que se indican.
a) b)
c) d)
e)
Actividades
22º
b
c
39º
b
a
200º
a
15º
a
b
70º
≮b = 11°
≮c = 79°
≮a = 102°
≮b = 51°
≮a = 30°
≮b = 35°
≮a = 100°
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96
Eje: Manejo de la
información
y funciones
Práctica 27 Gráficas
de proporcionalidad
Análisis de las características de una gráfica
que represente una relación de proporcionalidad
en un sistema de coordenadas
Matemáticas
rápidas
1. Escribe
16
12
de tres
formas distintas.
2. 2.6 8.06
3. Calcula
3
4
 12.
4. Calcula 16 
1
2
.
5. Escribe
3
8
en forma
decimal y en porcentaje.
La gráfica de una relación de proporcionalidad:
• Es una línea recta.
• Pasa por el origen de coordenadas, es decir que pasa por (0,0).
• El valor de m determina la inclinación de la recta.
2 4
-4 -2
2
4
-4
-2
x
y
Una relación matemática puede representarse gráficamente
en un sistema de coordenadas.
Una relación de proporcionalidad y  kx es una expresión
que permite encontrar las parejas ordenadas (x, y) en las que
cada valor de y se encuentra al multiplicar un valor de x por
el número k.
Ejemplo
y  2x
x 3 1 0 2 3
y 6 2 0 4 6
De la tabla se obtienen los puntos (3, 6), (1, 2), (0, 0), (2, 4),
(3, 6). Como los valores seleccionados para x son parte de una
infinidad de valores posibles, se representa la relación uniendo
estos puntos con una línea recta continua, como se muestra
en la siguiente figura.
1 4
12
,1.3 , 8
6
= 3.1
32
0.375 37.5%
1
16
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97
B
4
1. Completa la siguiente tabla, traza la gráfica de la relación y  1.5x
y contesta las preguntas.
x 0.5 1.5 2.5 3.5
y 3.75
• Con base en la gráfica, ¿cuál es el valor de y cuando x  3?
• ¿Cuál es el valor de y cuando x  4?
Actividades
2. Completa la siguiente tabla, traza la gráfica de la relación y 
1
2 x.
x 0 1 2 3
y 5

0.75
2.25 5.25
0 0.5 1 1.5
10
= 4.5
6
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98
Práctica 27
3. Calcula el valor de k a partir de la siguiente tabla. Dibuja la gráfica
que corresponde.
x 2 1 0 1
y 1 0.5 0 0.5
4. Dibuja la gráfica utilizando los datos de la siguiente tabla, utiliza una escala
adecuada. Determina si la relación correspondiente es una relación de
proporcionalidad y establece la expresión matemática.
x 20 21 22 23
y 220 231 242 253
k = 0.5
y = 11x
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
x
y
300
200
100
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
x
y
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99
B
4
5. Encuentra la expresión matemática de la relación de proporcionalidad
que corresponde a las siguientes gráficas.
a)
1 2
-2 -1
1
2
-2
-1
x
y
2 4
-4 -2
2
4
-4
-2
x
y
b)
y = 2.5 x
y = 4
3
x
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100
Problemas
de variación lineal
Eje: Manejo de la
información
y funciones
Práctica 28
Análisis de situaciones problemáticas asociadas a
fenómenos de la física, la biología, la economía y
otras disciplinas, en las que existe variación lineal
entre dos conjuntos de cantidades. Representación
de la variación mediante una tabla o una expresión
matemática de la forma y 5 ax 1 b
Matemáticas
rápidas
1. Calcula 21  (5).
2. Calcula
(15)  (10).
4. Resuelve 3x  2  17x.
5. Constanza toma clases
de tenis todos los días
incluyendo los domingos.
Le cobran 75 pesos por
media hora de clase. Si
toma dos horas diarias,
¿cuánto paga por
semana?
En muchas situaciones de la vida real existe una relación entre
dos conjuntos de datos. Por ejemplo: el precio total por pagar
en un cine depende de la cantidad de boletos que se compren,
o el tiempo que tarda un objeto en caer depende de la altura
de la fue soltado.
Cuando las cantidades varían de manera uniforme, entonces se
considera que existe una variación lineal entre esas cantidades.
Como en el caso de los boletos de cine, cada boleto que se
agrega a la compra aumenta el costo total en la misma cantidad
(el precio de un boleto).
Ejemplo
El hermano de Felipe accedió a llevarlo al cine con sus amigos,
pero quiere que le paguen lo del estacionamiento que cuesta
60 pesos. Cada boleto de entrada cuesta 45 pesos.
En la siguiente tabla se muestra la variación del costo.
No. de amigos 2 3 4 5 6 7
Costo ($) 150 195 240 285 330 375
Para encontrar la expresión matemática del problema se
representa el costo con la letra C y el número de amigos con la
letra A. Como cada asistente paga 45 pesos, se debe multiplicar
45 por A y finalmente sumar el precio del estacionamiento. La
expresión queda entonces:
C  45A  60
En general esta expresión tiene la forma y  ax  b, donde a y
b son constantes.
26
–5
1.8
x = 1
7
$ 2 100
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101
B
4
a) En un experimento se utilizan gusanos que aumentan de tamaño de
acuerdo a la siguiente ecuación:
L  1.7T  2.3
En donde 2.3 mm es la longitud del gusano cuando sale del huevo y T
es el tiempo en semanas. Completa la tabla y contesta las preguntas.
t (semanas) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
L (milímetros) 2.3 10.8
• ¿Cuántos milímetros crece el gusano cada semana?
• Uno de los gusanos salió del huevo con 3 mm de longitud, escribe
la ecuación para la longitud de este gusano.
• La tercera parte de los gusanos fueron sometidos al experimento
y se encontró que en la semana 1 los gusanos medían 4.7 mm y
en la semana 2 ya medían 7.1 mm. Encuentra la ecuación para el
crecimiento de estos gusanos.
b) Para promover al equipo femenil de futbol, la escuela le regaló un
libro a cada jugadora. Además, la escuela le va a dar un libro extra
a la jugadora que anote un gol. La escuela encontró que la ecuación
que relaciona el número de goles con el número de libros que
tiene que adquirir es la siguiente:
L  G  J
En donde L es el número de libros, G es el número de goles y J es el
número de jugadoras del equipo.
• Si al comienzo del torneo había 15 jugadoras. Reescribe la
ecuación para este equipo.
• Finalmente, el pedido fue de 37 libros. ¿Cuántos goles anotó el
equipo?
• La escuela decidió aumentar el estímulo a dos libros por cada gol
anotado en la siguiente temporada. Escribe la ecuación tomando
en cuenta que el número de jugadoras seguirá siendo de 15.
Actividades

4 5.7
7.4
9.1 12.5
14.2
15.9
1.7 mm
L = 1.7t + 3.0
L = 2.4t + 2.3
L = G + 15
22 goles
L = 2g + 15
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102
Eje: Manejo de la
información
Tema: Análisis y
representación de datos
Media ponderada
Práctica 29
Resolución de situaciones de medias ponderadas
Matemáticas
rápidas
1. Escribe ,  o  según
sea el caso.
• 44
53
• 45  0.5 55 
9.5
2. Resuelve
1
4
de 6.4.
3. Resuelve 63.14  4.
4. Mónica compró globos
para el día del niño.
Cada uno le costó
10 pesos y lo vendió a 20
pesos. ¿Qué porcentaje
de ganancia obtuvo?
5. Si n  3.5, calcula el
valor de n  3.
La media ponderada es el procedimiento mediante el cual se
calcula la media de un conjunto de datos en los que se asigna
diferente peso o grado de importancia a los datos. Considera el
conjunto de datos x1
, x2
, …, xn
a los que se les asigna los pesos
w1
, w2
, …, wn
. La media ponderada es:
x 
x1
w1
 x2
w2
 ...  xn
wn
w1
 w2
 ...  wn
Ejemplo
En un examen, la calificación de la sección de matemáticas
equivale al 40% de la calificación final, la sección de
lengua equivale al 30%, la sección de ciencias naturales al
15%, la sección de ciencias sociales al 10% y la sección de
expresión artística al 5%. Si un alumno obtuvo las siguientes
calificaciones: matemáticas, 6.3; lengua, 7.8; ciencias
naturales, 8.1; ciencias sociales, 8.7, y expresión artística, 9.5,
la calificación global (Cg
) del examen es:
Cg

(40)(6.3)  (30)(7.8)  (15)(8.1)  (10)(8.7)  (5)(9.5)
(40 + 30 + 15 + 10 + 5) 
742
100  7.42
Actividades
a) Para la calificación del bimestral de matemáticas las tareas
representan el 33%, el examen 40%, el proyecto bimestral 12%
y el trabajo en clase 15%. Calcula la calificación del 3er bimestre
de un alumno que obtuvo 9.4 en tareas, 8.5 en el examen, 10 en
el proyecto bimestral y 8.2 en trabajo de clase.
b) En una empresa, en la nómina mensual, aparecen 2 empleados
que ganan 34 000 pesos, 5 empleados que ganan 27 500 pesos, 9
empleados que ganan 18 900 pesos, 15 empleados que ganan 9 700
pesos y 3 empleados que ganan 4 300 pesos. ¿Cuál es el salario
mensual promedio en esa empresa?

=
1.6
252.56
100%
0.5
La calificación es de 8.932
Salario promedio $ 15 705.88
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103
B
4
c) Un terreno está dividido en cinco secciones que se venden de
acuerdo con la ubicación: en la primera sección el metro cuadrado
cuesta 597 pesos, en la segunda sección el precio es de 315 pesos,
en la tercera es de 280 pesos, en la cuarta es de 200 pesos y en la
quinta es de 176 pesos. Una constructora compró 12 000 m2
en la
primera sección, 30 000 m2
en la segunda sección, 22 000 m2
en la
tercera, 19 000 m2
en la cuarta y 44 000 m2
en la quinta. ¿Cuál es
el precio promedio por metro cuadrado que pagó la constructora?
d) Un abogado cobra, por hora, 100 pesos por la investigación de un
caso, 75 pesos por consulta legal y 200 pesos por la redacción de un
informe. En el último caso, este abogado dedicó 5 horas a consulta
legal, 12 horas a la investigación del caso y 9 horas a la redacción
del informe. ¿Cuánto fueron sus honorarios promedio por hora en este
caso?
e) Miguel sacó las siguientes calificaciones en los exámenes parciales
de matemáticas: 6.5, 8.3, 8.0 y 9.2. Su calificación en el examen
final fue de 9.5. Si cada examen parcial equivale al 15% de la
calificación final y el examen final equivale al 40%, ¿cuál es el
promedio final de Miguel?
Precio promedio por metro cuadrado $ 270.2
Honorarios promedio por hora del abogado $ 129.80
Promedio final de Miguel es de 8.6
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104
aprendizaje
Mide tu
1. Los primeros cinco términos de la sucesión cuyo término general es
an
 5n  1, son:
a) 4, 3, 2, 1, 0,… b) 5, 4, 3, 2, 1,…
c) 4, 9, 14, 19, 24… d) Ninguna de las anteriores
2. El término que ocupa el lugar 31 en la sucesión cuyo término general es
an
5 3n  17 es:
a) 110 b) 76
c) 110 d) 76
3. El término general de la sucesión
5
2
,
11
2
,
17
2
,
23
2
,
29
2
es:
a) an
5 6n 
1
2
b) an
5 3n 2
1
2
c) an
5 6n 2
1
2
d) an
5 3n 
1
2
4. El doble de la edad de Jimena disminuída en 23 es igual a 143, ¿qué edad
tiene Jimena?
a) 78 años b) 54 años
c) 87 años d) 83 años
5. La base de un rectángulo es 8 unidades más que la altura y su perímetro
es 64 m. La ecuación que describe esta situación es:
a) 2x  2(x  8)  64 b) x  x  8  64
c) x (x  8)  64 d) Ninguna
6. En un triángulo isósceles, cada uno de los lados iguales mide 4.5 cm
más que la base. Si el perímetro del triángulo es 243 cm, ¿cuánto mide
la base?
a) 82.5 cm b) 78 cm
c) 165 cm d) Ninguna de las anteriores
7. En la figura de la izquierda AD es un diámetro y el radio AO  5 cm.
¿Cuánto mide el ángulo BOD?
a) AOD  72º b) AOD  36º
c) AOD  108º d) AOD  24º
8. En la figura de la izquierda, los valores de a y b son:
a) a  25 y b  50 b) a  100 y b  50
c) a  50 y b  70 d) a  50 y b  100
O
A
B
D
36º
o
α
50º
β
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105
B
4
9. Para rentar un departamento se debe depositar una fianza de
5 000 pesos y pagar 10 000 pesos mensuales de renta. La expresión
algebraica que modela esta situación es:
a) y  10 000x b) y  5 000x
c) y  5 000x  10 000 d) y  10 000x  5 000
10. Los analistas de una empresa establecieron que el costo de producción
de un artículo está determinado por la expresión y  100 000  4.5 x,
donde x representa el número de artículos que se producirán. Calcula
cuánto costará producir 10 000 artículos.
a) 45 000 pesos b) 100 000 pesos
c) 145 000 pesos d) 5 000 pesos
11. Nicolás sacó las siguientes calificaciones en los exámenes parciales
de matemáticas: 8.4, 7.6, 9 y 7.2. En el examen final obtuvo 9.4. Si cada
examen parcial equivale al 10% de la calificación y el examen final
equivale al 60%. ¿Cuál es el promedio final de Nicolás?
a) 8.86 b) 9.86
c) 8.69 d) 9.68
12. La siguiente tabla representa los valores de una relación proporcional.
Encuentra el valor de la constante de proporcionalidad k.
x 3 1 0 2 3
y 12 4 0 8 12
a) k  4 b)
k  4
c) k 
1
4
d) k  
1
4
13. La expresión algebraica de una relación proporcional es y  
1
12
x.
¿Cuál es la tabla que corresponde a esta relación?
a)
x 1 2 3 4 5
y
4
12
2
12
3
12
4
12
5
12
c)
x 1 2 3 4 5
y 12 6 4 3 
12
5
b)
x 1 2 3 4 5
y 12 6 4 3
12
5
d)
x 1 2 3 4 5
y 
1
12

1
6

1
4

1
3

1
12
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4
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5
106
B4Retos
Para finalizar tu trabajo, te proponemos el siguiente desafío.
I
Mientras Benito caminaba por la calle pensaba en que necesitaba hacer algo para
conseguir más dinero. En ese momento se tropezó con una mujer muy extraña
que parecía que le había leído la mente. La mujer le dijo que ella tenía poderes
y que podía hacer que su dinero se duplicara cada vez que cruzara a la acera de
enfrente. Benito pensó que había encontrado la solución a sus problemas y le
dijo a la mujer que estaba dispuesto a hacer lo que ella le decía. En ese momento
fue que la mujer le impuso una cuota de 24 pesos cada vez que cruzara la calle.
Benito accedió a pagar la cuota y empezó a cruzar la calle. Al llegar a la otra
acera contó su dinero y sí era el doble del que tenía antes de cruzar. De acuerdo
al trato, le entregó 24 pesos a la mujer.
Benito volvió a cruzar la calle y el dinero que traía en su bolsillo se duplicó. Otra
vez, de acuerdo al trato, le pagó los 24 pesos a la mujer.
Benito cruzó la calle por tercera vez y el dinero que tenía en su bolsillo se dupli-
có, pero el total era de 24 pesos, y tuvo que entregárselos a la mujer, perdiendo
todo lo que traía.
¿Cuánto dinero tenía Benito cuando hizo el trato con la mujer misteriosa?
Benito tenía $ 21 cuando encontró a la mujer.
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2
BLOQ
UE
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4
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5
B5
La sucesión de Fibonacci
Fibonacci, también conocido como Leonardo de Pisa, fue un matemático italiano
que se hizo famoso porque difundió en Europa el sistema de numeración indo-
arábigo y por la sucesión de números que lleva su nombre, y que aparece en muchas
situaciones de la vida real. Los primeros términos de la secuencia son:
1, 1, 2, 3, 5,…
Observa que, excepto por los dos primeros términos, cada número es la suma de
los dos anteriores.
Problema
1. Completa la siguiente tabla con los números de Fibonacci que son pares y el
lugar que ocupan. Usa la secuencia anterior para completarla.
Posición del término 3
12
Número de Fibonacci 2 8
El primer número par de Fibonacci aparece en el tercer término, el siguiente
aparece en el sexto lugar. Los términos pares aparecen cada tercer término.
2. Completa la siguiente tabla que muestra la posición de los números de Fibonacci
múltiplos de 3.
Posición del término 4
12
Número de Fibonacci 3
987
• ¿Cada cuántos términos hay un múltiplo de 3?
Resuelvas problemas que implican el uso de sistemas
de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Construyas figuras simétricas respecto de un eje e
identifiques las propiedades de la figura original que se
conservan.
Resuelvas problemas que implican determinar la
medida de diversos elementos del círculo, como ángulos
inscritos y centrales, arcos de una circunferencia,
sectores y coronas circulares.
Expliques la relación que existe entre la probabilidad
frecuencial y la probabilidad teórica.
autónoma
matemática
y resultados
Manejar técnicas
eficientemente
6 9
15
34 144 610
8 16
21 144
Cada 4
Cada 5
Cada 6
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108
Tema: Patrones y
ecuaciones
Sistemas
de ecuaciones
Práctica 30
Resolución de problemas que impliquen el
planteamiento y resolución de un sistema de
ecuaciones de 2  2 con coeficientes enteros,
utilizando el método más pertinente (suma
y resta, igualación o sustitución)
Matemáticas
rápidas
1. Realiza las siguientes
conversiones.
• 122 km a metros
• 0.5 kg a gramos
• 3 000 ml a litros
mayor:
1
3
, 30%, 0.31 y
4
9
.
3. Si un evento histórico
sucedió hace medio
siglo, ¿en qué año
sucedió?
4. Si tus ahorros son 3600
pesos y utilizas un tercio
de ello, ¿cuánto queda?
5. Resuelve mentalmente:
• 90 entre 3 más 12
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es una
pareja de ecuaciones en la cual para dos números se cumplen
dos condiciones diferentes.
Ejemplo
El sistema de ecuaciones para dos números que sumados den
18 y multiplicados den 7 es:
x  y  18
xy  77
Resolver un sistema de ecuaciones significa hallar el valor de las
dos incógnitas de forma que se satisfagan ambas ecuaciones.
Aquí se presentarán tres métodos para hacerlo.
Método de sustitución
Este método consiste en despejar una de las incógnitas de una
de las ecuaciones y sustituir el resultado del despeje en la otra
ecuación.
Ejemplo
x  3y  6 Ecuación 1
5x  2y  13 Ecuación 2
Paso 1. Se despeja x de la ecuación 1:
x  6  3y
Paso 2. Se sustituye x  6  3y en el lugar de x en la ecuación 2:
5 (6  3y)  2y 5 13
Paso 3. Se resuelve la ecuación de primer grado con una
incógnita, que resulta. Así:
30  15y  2y 5 13
15y  2y 5 13  30
17y 5  17
y 5
17
17
y  1
122 000 m
500 g
3 l
30% 0.31
1
3
4
9
Siendo el año
2015, sucedió en 1965
$2 400
42
23
19
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109
B
5
Paso 4. Se sustituye el valor de y en el despeje de la primera
ecuación.
x  6 2 3y
x  6 2 3(1)  6 2 3  3
x  3
Las soluciones son x  3, y  1.
Método de igualación
Este método consiste en despejar la misma incógnita de ambas
ecuaciones e igualar los resultados obtenidos.
Ejemplo
6x  5y  9 Ecuación 1
4x  3y  13 Ecuación 2
Paso 1. Despejar x de ecuación 1:
6x  29 1 5y
x 
9  5y
6
Paso 2. Despejar x de la ecuación 2:
4x  13  3y
x 
13 2 3y
4
Paso 3. Igualar ambos despejes:
9  5y
6

13 2 3y
4
Paso 4. Resolver la ecuación de primer grado con la incógnita
que resulta.
4 (9 1 5y) 5 6 (13  3y)
36 1 20y 5 78  18y
20y 1 18y 5 78 1 36
38y 5 114
y 
114
38
5 3
Paso 5. Sustituir el valor de y  3 en cualquiera de los dos
despejes de x.
x 
29  5y
6

29  5(3)
6

29  15
6

6
6
 1
Las soluciones son x  1, y  3
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110
Práctica 30
Método de sumas y restas
Este método consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones
por el número que convenga de manera que los coeficientes
de x o de y queden iguales y de signo contrario.
Ejemplo:
10x 2 3y  36 Ecuación 1
2x 1 5y 5 24 Ecuación 2
Paso 1. Se decide si se quiere igualar los coeficientes de x o los
coeficientes de y.
En este ejemplo igualaremos los coeficientes de y. Para esto se
multiplica la ecuación 1 por 5 y se multiplica la ecuación 2 por 3.
(10x  3y  36) por 5
(2x  5y 5 24) por 3
Paso 2. Se suman ambas ecuaciones, con lo que se obtiene una
ecuación de primer grado con una incógnita:
50x  15y  180
6x  15y  12
56x  168
Paso 3. Se resuelve
x 
168
56
x  3
Paso 4. El valor de y se obtiene sustituyendo el valor de x en
cualquiera de las dos ecuaciones.
2x  5y  24
2(3)  5y  24
6  5y  24
5y  24  6
5y  210
y 
210
5
y  22
Las soluciones son x  3, y  22
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111
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5
1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que se te
indica.
a) Sustitución 
x 2 5y 5 15
6y 2 x  22
b) Igualación
x 2 5y 5 17
2x 1 5y 5 226
c) Suma y resta
x 1 5y 5 17
2x 1 5y 5 226
Actividades
x = 200
y = 37
x = –3
y = –4
x = –43
y = 12
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112
Práctica 30
a) Rosaura tiene el doble de dinero que Carolina. Entre ambas tienen
282 pesos. ¿Cuánto tiene cada una?
b) Tengo en la alcancía monedas de 10 pesos y monedas de 5. Hay
en total 60 monedas y 440 pesos. ¿Cuántas monedas son de 10 y
cuántas de 5 pesos?
c) Para la función de teatro infantil, 10 entradas de adulto y 9 entradas
de niño cuestan 512 pesos, y 15 entradas de adulto y 17 de niño
cuestan 831 pesos. ¿Cuánto cuesta la entrada de adulto y la de niño?
Rosaura = $ 188
Carolina = $ 94
28 monedas de $ 10
32 monedas de $ 5
Precio de entrada de adulto $ 35
Precio de entrada de niño $ 18
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113
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5
d) En un cine hay 700 personas entre adultos y niños. Cada adulto pagó
40 pesos y cada niño 15 pesos por su entrada. Si el total de la venta
de boletos fue de 18 000 pesos, ¿cuántos adultos y cuántos niños
entraron a la función?
e) En la cafetería 3 hamburguesas y una torta cuestan 179 pesos.
Al mismo precio, 2 hamburguesas y 3 tortas cuestan 201 pesos.
¿Cuánto cuesta una hamburguesa y cuánto una torta?
300 adultos
400 niños
Hamburguesas $ 48
Tortas $ 35
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114
Representación gráfica
de un sistema de
ecuaciones
Tema: Patrones
y ecuaciones
Práctica 31
Representación gráfica de un sistema
de ecuaciones de 2  2 con coeficientes enteros.
Reconocimiento del punto de intersección de
sus gráficas como la solución del sistema
Matemáticas
rápidas
1. Encuentra el mínimo
común múltiplo de 42 y
40.
común divisor de 42 y
40.
3. Fátima compró un
aparato de sonido por
3 200 pesos siendo su
precio original de 5 000
pesos. ¿Qué porcentaje
de descuento obtuvo?
4. Calcula 13.6  0.25.
5. ¿Cuántas monedas de
10 centavos hay en 100
pesos?
Cada una de las ecuaciones que forman un sistema de
ecuaciones lineales con dos incógnitas se pueden representar
mediante una recta.
Ejemplo
Considerando el sistema
x  y  6 Ecuación 1
5x  4y  12 Ecuación 2
Despeja y en ambas ecuaciones:
x  y  6 5x  4y  12
y 5 2x  6 4y  5x  12
y 
5
4
x 1
12
4
y 
5
4
x  3
Con algunos de los valores que satisfacen cada ecuación, se
forman pares ordenados que pueden representarse mediante
puntos en un sistema de coordenadas.
x y  x  6 (x, y)
0 6 (0, 6)
2 4 (2, 4)
4 2 (4, 2)
x y 
5
4
x  3 (x, y)
0 3 (0, 3)
2 0.5 (2, 0.5)
4 2 (4, 2)
x + y = 6
5x - 4y = 12
1
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
3 4
840
2
36%
3.4
1000 monedas
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115
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5
1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones gráficamente, para esto,
elabora una tabla y localiza los puntos en un sistema de coordenadas.
a) x  y 5 1
x  y  7
La solución del sistema está dada por el punto de intersección
de ambas rectas. En este caso, el punto de intersección es
(4, 2) por lo tanto la solución es x  4 , y  2
Actividades
b) 2x  y  2
x  y  3
x y = x –  (x, y)
–2 –3 (–2, –3)
0 –1 (0, –1)
2 1 (2, 1)
x y = –2x + 2 (x, y)
–2 6 (–2, 6)
0 2 (0, 2)
2 –2 (2, –2)
x y = –x + 7 (x, y)
–2 9 (–2, 9)
0 7 (0, 7)
2 5 (2, 5)
x y = –x + 3 (x, y)
–2 5 (–2, 5)
0 3 (0, 3)
2 1 (2, 1)
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
8
7
6
5
4
3
2
1
x
y
x = 4
y = 3
x = –1
y = 4
x
y
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
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116
Práctica 31
c) x  2y 5 2
x  2y  6
d) x  2y 5 28
2x  y  6
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
y
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
y
x y = -1
2
x - 1 (x, y)
–2 0 (–2, 0)
0 –1 (0, –1)
2 –2 (2, –2)
x y = 1
2
x - 3 (x, y)
–2 –4 (–2, –4)
0 –3 (0, –3)
2 –2 (2,–2)
x = 2
y = –2
x y = -1
2
x - 4 (x, y)
–2 –3 (–2,–3)
0 –4 (0,–4)
2 –5 (2, –5)
x y = 2x + 6 (x, y)
–2 2 (–2, 2)
0 6 (0, 6)
2 10 (2, 10)
x = – 4
y = –2
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117
B
5
e) 2x  4y  5
x  2y  6
f) x  3y 5 23
2x  6y  6
2. Contesta las siguientes preguntas.
a) La solución gráfica de un sistema de ecuaciones está determinado
por el punto donde las dos rectas se intersectan. ¿Qué pasa si las dos
rectas son paralelas?
b) ¿Qué pasa si las dos rectas coinciden?
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
y
–1
–2
–3
–4
–5
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
y
El sistema de ecuaciones no tiene solución
El sistema de ecuaciones tiene un número infinito de soluciones
x y =
1
2
x -
5
4
(x, y)
–2 -9
4
(-2, -9
4
)
0 -5
4
(0, -5
4
)
2 -1
4
(2, -1
4
)
x y = 1
2
x - 3 (x, y)
–2 –4 (-2, –4)
0 –3 (0, –3)
2 –2 (2, –2 )
No tiene solución, es
decir, son dos rectas
paralelas.
x y = -1
3
x - 1 (x, y)
–2
-1
3 (–2, -1
3
)
0 –1 (0, –1)
2
-5
3 (2, -5
3
)
x y = -2
6
x - 1 (x, y)
–2
-2
6 (-2, -2
6
)
0 –1 (0, –1)
2
-10
6 (2, -10
6
)
Es la misma recta.
Hay un número infinito
de soluciones.
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118
Los vértices de la figura F se marcaron con las letras A, B, C, D y
E, y la recta con la letra l. Los puntos simétricos a A, B, C, D y E,
y se marcaron, respectivamente con las letras A’, B’, C’, D’ y E’.
Estos puntos cumplen con las siguientes condiciones:
• Cada segmento AA’, BB’, CC’, DD’ y EE’ es perpendicular a la
recta l.
• La distancia de A a l medida sobre el segmento AA’, es la
misma que la distancia de A’ a l pero del otro lado de la recta
l. Lo mismo sucede con todas las parejas de puntos.
• La recta l se llama eje de simetría.
• El tamaño de cada componente de la figura original no
cambia en su imagen simétrica, es decir, la longitud de
los lados y la medida de los ángulos correspondientes se
conservan.
• El eje de simetría puede estar en cualquier parte del plano
de la figura original, incluso sobre la figura.
• La orientación de la imagen siempre cambia en relación con
la figura original, de manera que parece haberse “volteado”,
exactamente como la imagen de un objeto en el espejo,
compruébalo colocando tu mano junto a un espejo y compara
la posición de tus dedos a su reflejo.
Figuras simétricas
Práctica 32
Eje: Forma, espacio
y medida
Construcción de figuras simétricas respecto de
un eje, análisis y explicitación de las propiedades
que se conservan en figuras como: triángulos
isósceles y equiláteros, cuadrados y rectángulos
Matemáticas
rápidas
1. Calcula 88.75  9.
2. Calcula 7 
5
2
.
3. Calcula 0.17  211.
4. Calcula
14
2
 7.
mayor:
4
5
, 0.8, 80%,
40
50
.
l
A B
C D
E
A´
B´
C´
D´
E´
Si se tiene una figura plana y una recta en el mismo plano,
se puede construir una figura simétrica respecto de la recta,
equivalente a su reflejo en un espejo, como se muestra en la
figura.
798.75
35.87
Todos son iguales
1
14
5
©
Ek
Editores
S.
A.
de
C.
V.
Versión
electrónica.

119
B
5
1. Traza la imagen simétrica de las siguientes figuras con respecto a la recta.
a)
b)
c)
Actividades
©
Ek
Editores
S.
A.
de
C.
V.
Versión
electrónica.

121
B
5
2. En cada sistema de coordenadas localiza los vértices de los siguientes
triángulos, trázalos y encuentra sus simétricos.
a) Un triángulo tiene coordenadas (2, 0), (2, 8) y (9, 3). ¿Cuáles
serán las coordenadas del simétrico respecto al eje x?
b) Un triángulo tiene coordenadas (0, 0), (7, 2) y (4, 6). ¿Cuáles serán
las coordenadas del simétrico respecto al eje x?
x
y
x
y

1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1

–10
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
(–2, 0), (–2, –8), (–9, –3)
(0, 0), (–7, –2), (4, –6)

1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1

–10
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
©
Ek
Editores
S.
A.
de
C.
V.
Versión
electrónica.

122
medida
Tema: Medida
Ángulos centrales
e inscritos
Práctica 33
Cálculo de la medida de ángulos inscritos
y centrales, así como de arcos, el área
de sectores circulares y de la corona
En el círculo se pueden trazar líneas, ángulos o áreas notables que se miden utilizando fórmulas
específicas. Algunas de estas fórmulas se presentan en la siguiente tabla.
Diagrama Nombre Fórmula Dimensiones
Circunferencia: es el
contorno del círculo
C  2pr  pD
C es la circunferencia, r es el
radio y D el diámetro.
Se miden en unidades de
longitud (cm, m, etcétera)
Arco de circunferencia:
es un segmento de la
circunferencia.
l  (
a
180º
)pr
l es la longitud del arco y r es
el radio. Se miden en unidades
de longitud.
a es el ángulo que subtiende al
arco y se mide en grados.
a es un ángulo central.
b es un ángulo inscrito.
a  2b
a y b son ángulos y se miden
en grados.
r
r
α
α
β
l
©
Ek
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S.
A.
de
C.
V.
Versión
electrónica.

123
B
5
Círculo: es la
superficie dentro de la
circunferencia.
A  pr 2
r es el radio y se mide en
unidades de longitud.
A es la superficie y se mide
en unidades de área (cm2
, m2
,
etcétera).
Sector circular: es la
superficie dentro de
dos radios con un
ángulo a, y el arco
de circunferencia
correspondiente.
S 
p a r 2
360º
r es el radio y se mide en
unidades de longitud, S es
la superficie y se mide en
unidades de área y a es el
ángulo medido en grados.
Corona: es la superficie
encerrada entre dos
círculos concéntricos.
A  p(R 2
- r 2
)
R es el radio del círculo
mayor, r es el radio del círculo
menor; ambas se expresan en
unidades de longitud.
A es la superficie en unidades
de área.
r
r
α
r
R
©
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S.
A.
de
C.
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electrónica.

124
Práctica 33
1. En un círculo de radio 3.7 cm se trazó un ángulo inscrito de 72°.
Matemáticas
rápidas
1. Simplifica
216
240
.
2. Una tienda ofrece el
25% de descuento en
toda su mercancía. Si
Karla compró 200 pesos
en diversos artículos,
¿cuánto pagó?
3. Calcula
13
20

1
4
.
4. Encuentra el área del
prisma cuadrangular
cuyas medidas son:
8 cm de largo, 1.5 cm de
ancho y 10 cm de alto.
5. En una excursión de
4 días, el equipo de
montaña escaló 30.2 km
en promedio. ¿Cuánto
escaló en un día?
Actividades
72º
a) Cuánto mide el ángulo central que subtiende el mismo arco de
circunferencia.
b) Cuánto mide la longitud del arco de circunferencia.
9
10
$ 150
7.55 km
214 cm2
4
10 =
2
5
Mide 144°
Longitud de 9.30 cm
©
Ek
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S.
A.
de
C.
V.
Versión
electrónica.

125
B
5
2. La longitud de una circunferencia es 43.96 m, ¿cuál es el área del círculo?
3. En un restaurante se está construyendo una barra en forma de corona
circular y la superficie se va a cubrir con mosaico. Si el círculo mayor tiene
un diámetro de 5.7 m y el círculo menor tiene un diámetro de 3 m, ¿cuántos
metros cuadrados de mosaico se van a ocupar para cubrir la barra?
4. Un terreno de 216.29 m2
tiene forma de rombo con lados de 15 m. Se piensa
construir una barda en el lugar que se indica en la figura. Los ángulos
menores del rombo miden 74° y la barda es un arco de circunferencia con
el centro en el vértice del rombo y radio de 14 m. Calcula el área de la zona
donde se plantarán rosas.
Es 153.78 m2
El área de la barra es de 18.45 m2
El área de las rosas es de 35 m2
©
Ek
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S.
A.
de
C.
V.
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electrónica.

126
Eje: Manejo de la
información
y funciones
Funciones lineales
y gráficas
Práctica 34
Lectura y construcción de gráficas de funciones
lineales asociadas a diversos fenómenos
Matemáticas
rápidas
1.
2 1023.07
14.98
2. Calcula 13.7  0.24.
4. Escribe
3
5
como
porcentaje.
5. Calcula
3
5
de 250.
Actividades
1. El papá de Héctor está pensando comprar un seguro de gastos médicos para
la familia. La compañía de seguros le ofrece dos planes distintos, el plan
A es más barato, pero tiene un costo por la contratación del servicio; y el
plan B es más caro pero hay una promoción y al contratar este servicio le
devuelven una cantidad fija. El papá de Héctor hizo las gráficas para los dos
planes, tratando de ver cuál es el que más le conviene comprar.
1
Ns
2 3 4 5
2 000
0
-2 000
4 000
6 000
8 000
10 000
12 000
P($)
a) Coloca las letras A y B en cada línea, según corresponda con el plan
A o con el plan B.
b) A partir de la gráfica encuentra ¿cuánto cuesta el seguro para una
sola persona en el plan A?
c) Y ¿en el plan B?
d) Si el papá de Héctor comprara solamente un seguro para él, ¿cuál es
el plan que más le conviene?
1 008.09
3.288
24
60%
150 $ 5 000
$ 1 000
El plan B
A
B
©
Ek
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S.
A.
de
C.
V.
Versión
electrónica.

127
B
5
e) ¿Cuánto ahorraría con respecto del otro plan?
f) Localiza en la gráfica cuántos seguros se deben comprar para que el
costo sea el mismo en los dos planes.
g) Finalmente el papá de Héctor decide comprar un seguro para cada
quien en la familia, que en total son 5 personas. Utiliza la gráfica
para encontrar cual es el costo de 5 seguros en el plan A y en plan B.
h) Calcula la diferencia entre los dos planes.
i) ¿Qué plan le conviene comprar?
j) Como recordarás, la expresión matemática para una línea recta tiene
la forma y  mx  b. De acuerdo con la gráfica la y es el precio
total P y la x es el número de seguros Ns
que se adquieren. Utiliza la
gráfica para encontrar los valores de bA
para la ecuación del plan A y
bB
para la ecuación del plan B.
k) ¿Cuánto es el cargo por la contratación del servicio en el plan A?
l) En la expresión algebraica de una relación lineal, sustituye los
valores del precio total y del número de seguros en el punto en donde
los dos planes cuestan lo mismo, junto con el valor de bA
, de esta
manera, queda como incógnita el valor de a, y ya podrás calcularlo.
Luego escribe la expresión algebraica del plan B. Muestra todo el
procedimiento.
m) Encuentra la expresión algebraica para el plan B. Muestra todo el
procedimiento.
$ 4 000
3 seguros
$ 4 000
El plan A
bA
= 3 000 y bB
= –3 000
Es de $ 3 000
PA
= 2 000 Ns + 3 000
PB
= 4 000 Ns – 3 000
Plan A: $ 13 000 y plan B: $ 17 000
©
Ek
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S.
A.
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C.
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electrónica.

128
Práctica 34
2. En el laboratorio de física los alumnos de 2° hicieron un experimento con un
circuito eléctrico. Después de armar el circuito debían medir la resistencia
del circuito y el voltaje. Los datos que obtuvieron se muestran en la
siguiente tabla:
R (Ω) 9 11 13 15 17 19
V (V) 3.2 3.9 5.0 5.6 7.2 8.1
Localiza estos puntos en la siguiente cuadrícula.
1
8
R(Ω)
2
3
5
7
6
4
2
0 14 16 18 20
4 6 8 10 12
V(V)
Con una regla, dibuja una sola línea recta que pase por la mayoría de los puntos.
a) Utiliza la gráfica para encontrar el voltaje para una resistencia del
circuito de 10 Ω.
b) De acuerdo con la gráfica ¿cuál es el voltaje para una resistencia del
circuito de 4 Ω?
≃ 3.5 v
0 v
©
Ek
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S.
A.
de
C.
V.
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electrónica.

129
B
5
c) Localiza dos puntos sobre la recta que sean distintos de los puntos de
la tabla y escribe sus coordenadas.
d) Identifica las coordenadas horizontales de los dos puntos como R1
y
R2
y haz la siguiente operación: R2
 R1
.
e) Identifica las coordenadas verticales de los mismos puntos como V1
y
V2
, cuidando que coincidan con las R1
y la R2
de la pregunta anterior.
Haz la siguiente operación: V2
 V1
.
f) Sustituye los resultados que obtuviste en las dos preguntas anteriores
en la siguiente ecuación y resuelve: m 
V2
 V1
R2
 R1

g) Sustituye los valores que tienes para R1
, V1
y el valor que encontraste
de m, en la expresión algebraica de una relación lineal, tomando y
como el valor para R1
y x como el de V1
.
h) Despeja b de la expresión que encontraste en la pregunta anterior:
i) Escribe la expresión algebraica que describe al experimento,
utilizando los valores de m y b que encontraste.
j) Utiliza la ecuación que acabas de plantear y calcula el voltaje para
una resistencia del circuito de 10 Ω. Compara este resultado con tu
respuesta de la primera pregunta, ¿coinciden los resultados? Comenta
tu respuesta.
Los valores pueden coincidir con los de la pregunta anterior. Por ejemplo,
(12, 4.2) y (16, 6.5)
El maestro debe revisar los puntos, pueden diferir un poco.
Del ejemplo en c), 16 – 12 = 4
Los valores pueden coincidir con los de la pregunta anterior.
Del ejemplo en c), 6.5 – 4.2 = 2.3
La ecuación debe tener los valores correctos para x, y y m en y = mx + b.
La respuesta debe tener la estructura de ecuación lineal y los valores
encontrados. Para el ejemplo, y = 0.56x – 2.52
Para el ejemplo, y = 0.56(10) - 2.52 = 3.08
Para el ejemplo, b = 4.2 – 0.56(12) = -2.52
Para el ejemplo, 4.2 = 0.56(12) + b
Para el ejemplo, m = 0.56
©
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S.
A.
de
C.
V.
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electrónica.

130
Eje: Manejo de la
información
y funciones
Problemas de funciones
de la forma y = mx + b
Práctica 35
Análisis de los efectos de cambiar los parámetros de
la función y 5 mx 1 b, en la gráfica correspondiente
Matemáticas
rápidas
1. Si son las 3:05 pm y
normalmente cenas a las
6:30 pm, ¿cuántas horas
faltan para cenar?
2. Escribe V si la expresión
es verdadera o F si es
falsa.
• Todos los triángulos
son acutángulos.
• Todos los
cuadriláteros tienen
cuatro lados.
• Los rectángulos son
paralelogramos.
• Los cuadrados son
rectángulos.
Actividades
1. Completa la tabla para la función y  x.
x 2 1 0 1 2 3 4
y 1 2 4
a) Con los datos de la tabla dibuja la gráfica de esta función con color
rojo en la siguiente cuadrícula.
x
-2 4
-1 1 2 3
y
-3
5
-2
-1
2
4
3
1
b) Completa la tabla a con
tinuación para la función y  x  2.
x 2 1 0 1 2 3
y 2 5
Dibuja la gráfica de esta nueva función en azul en la misma cuadrícula.
c) Ahora completa la tabla de la función y  x  1
3 hrs 25 min
F
V
V
V

–2 0 1 3
0 1 3 4
b)
a)
c)
A
B
©
Ek
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S.
A.
de
C.
V.
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electrónica.

131
B
5
x 2 1 0 1 2 3
y 3 0
Dibuja la gráfica correspondiente en verde en la misma cuadrícula.
d) Sin hacer la tabla, dibuja la gráfica de las siguientes funciones en la misma cuadrícula. Coloca
la letra correspondiente cerca de la gráfica.
A: y  x  1.5
B: y  x  2.5
2. La siguiente gráfica representa la función y  x.
a) Completa la tabla de la función y  2x y traza su
gráfica en rojo en la cuadrícula.
x 2 1 0 1 2
y 2 2
b) Completa la tabla de la función y 5 20.5x y
dibuja su gráfica en azul en la misma cuadrícula.
x 2 1 0 1 2
y 0.5 1
c) Sin hacer la tabla, dibuja la gráfica de las
siguientes funciones en la misma cuadrícula.
Coloca la letra correspondiente cerca de la gráfica.
C: y  3x
D: y  0.5x
3. Sobre la cuadrícula se encuentran las gráficas de las
siguientes funciones lineales. Identifica la gráfica de
cada una y coloca la letra correspondiente junto a ella.
a) y  2x 1 1
b) y  22x 1 0.5
c) y  2x 2 1
d) y  2x 2 2
e) y  5x 2 3
f) y  23x 2 2
x
-2 4
-1
-4 -3 1 2 3
y
-3
-4
-2
-1
2
4
3
1
y = x
x
-2 4
-1
-4 -3 1 2 3
y
-3
-4
-2
-1
2
4
3
1
–2
–1 1 2

–4 0 4
1 0 –0.5
a) e)
c)
f)
b) d)
D
a)
b) C
©
Ek
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S.
A.
de
C.
V.
Versión
electrónica.

132
Probabilidad
frecuencial y teórica
Eje: Manejo de la
información
Tema: Nociones de
probabilidad
Práctica 36
Comparación de las gráficas de dos distribuciones
(frecuencial y teórica) al realizar muchas veces un
experimento aleatorio.
Matemáticas
rápidas
1. Calcula 93
.
2. Si a 
1
7
 7, ¿cuánto
vale a?
3. Calcula 55.50  5.
4. El 10 de mayo, 8% de
1 650 alumnos faltaron
a la escuela. ¿Cuántos
alumnos asistieron?
5. Resuelve.
• 0.000 056  10000
• 3.1  100
• 43.5  10
Se conoce como probabilidad frecuencial a la que resulta de
repetir muchas veces un experimento aleatorio. Para ilustrar
su significado, veamos un ejemplo.
Tirar dos dados y sumar los puntos que quedan en las caras de
arriba es un experimento aleatorio, porque no se puede saber
con exactitud qué va a salir. Si el experimento se repite 10
veces, algunos resultados van a aparecer varias veces, pero
no tendremos ningún resultado sobresaliente. Cuando el
experimento se repite 100 veces, algunos valores se repiten
más frecuentemente que otros, siguiendo un patrón. A este
patrón se le conoce como distribución frecuencial.
En muchos casos no es necesario realizar el experimento si
se toma en cuenta cuántos resultados diferentes son posibles
y cuántos resultados se repiten. Regresando al ejemplo
anterior, al sumar los puntos de un par de dados, vemos que
los resultados posibles van del 2 al 12, pero para obtener 2 o
12 sólo hay una combinación. Sin embargo, cuando la suma
es 7, hay tres combinaciones posibles: 1 y 6, 2 y 5, 3 y 4. Una
distribución teórica es el patrón que se obtiene calculando
todos los resultados posibles.
Al dibujar la gráfica de un experimento aleatorio,ya sea frecuencial
o teórico, se visualiza más fácilmente el patrón que sigue y
al comparar las gráficas pueden predecir algunos resultados.
Muchos experimentos aleatorios tienen una distribución teórica
como la que se muestra en la siguiente figura:
En la que se aprecia como algunos resultados son menos
probables de obtener (los extremos de la campana), y otros
resultados son más probables (en el centro de la campana).
A esta distribución se le conoce como distribución normal o
campana de Gauss, en honor al matemático C. F. Gauss, que
encontró la ecuación de la curva.
729
a = 49
11.10
1518
0.56
310
4.35
©
Ek
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S.
A.
de
C.
V.
Versión
electrónica.

133
B
5
1. En una empresa se midió la estatura de los 51 empleados que trabajan en
ella. Los resultados se registraron en la siguiente tabla.
Estatura (m) Frecuencia
1.55 – 1.59 2
1.60 – 1.64 10
1.65 – 1.69 15
1.70 – 1.74 9
1.75 – 1.79 5
1.80 – 1.84 6
1.85 – 1.89 3
1.90 – 1.94 1
Total 51
a) Elabora el histograma y traza la curva a través de los puntos medios
del segmento al tope de cada columna. Intenta que la curva suba y
baje uniformemente sin regresos.
b) Compara la curva que trazaste en la gráfica con el ejemplo de
campana de Gauss y determina si la distribución frecuencial de la
estatura de los empleados es parecida a una distribución normal.
Explica tu respuesta.
Actividades
R. L.
R. L.
©
Ek
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S.
A.
de
C.
V.
Versión
electrónica.

134
Práctica 36
2. Con un par de dados iguales realiza el experimento de tirarlos y restar el
menor número de puntos que salga al mayor. Por ejemplo, si en los dados
caen el 3 y el 5, entonces se resta 3 de 5 y se obtiene un 2. Utiliza la
siguiente tabla para hacer marcas por cada vez que salga el resultado
indicado. Repite el experimento durante tres minutos.
Resta Marca Frecuencia
0
1
2
3
4
5
Total
• Dibuja el histograma del experimento, utiliza una escala adecuada en
el eje vertical.
• En la siguiente tabla escribe todas las combinaciones de los dados
que dan el resultado que se indica. Observa el ejemplo.
Resta Combinación Frecuencia
0
1
2
3
4 5 y 1, 6 y 2 2
5
Total
1 y 1, 2 y 2, 3 y 3, 4 y 4, 5 y 5, 6 y 6 6
1 y 2, 2 y 3, 3 y 4, 4 y 5, 5 y 6 5
1 y 3, 2 y 4, 3 y 5, 4 y 6, 4
1 y 4, 2 y 5, 3 y 6 3
5 y 6 1
21
R. L.
R. L.
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Ek
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S.
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de
C.
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Versión
electrónica.

135
B
5
• Dibuja el histograma de la distribución teórica de la tabla.
• Compara las dos gráficas y determina si los resultados de tu
experimento se parecen a la distribución teórica. Explica tu resultado.
• Duplica el tiempo en que realizas el experimento y dibuja el
histograma que corresponde.
• Compara esta última gráfica con la distribución teórica y determina si
se parecen más. Explica tu respuesta.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
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C.
V.
Versión
electrónica.

136
aprendizaje
Mide tu
1. El sistema de ecuaciones
x 1 2y 5 24
2x 1 y 5 25 tiene por solución:
a) x  22 , y  1
b) x  2, y  1
c) x  2, x  1
d) x  2, y  1
2. Selecciona el sistema de ecuaciones que describa el siguiente problema:
La diferencia de dos números es 40 y
1
8
de su suma es 11.
a)
x 1 y 5 40
1
8
(x 1 y) 5 11

b)
x 2 y 5 40
1
8
x 1 y 5 11
c)
x 2 y 5 40
1
8
(x 1 y) 5 11

d)
x 1 y 5 40
1
8
(x 1 y) 5 11
x
-2 4
-1
-4 -3 1 2 3
y
-3
-4
-2
-1
2
4
3
1
A
D
M
C
3. Si un sistema de ecuaciones está
representado como se muestra a
continuación, su solución es:
a) A ( 0,3)
b) M (2, 1)
c) D (4, 0)
d) C (0, 2)
©
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electrónica.

137
B
5
4. Elige la opción que corresponda a
las rectas presentadas:
a) y 
1
2
x  3
y 
1
2
x 4
b) y  2x  3
y  2x  4
c) y  3x 
1
2
y  4x 
1
2
d) y  3x  2
y  4x  2
x
-2 4
-1
-4 -3 1 2 3
y
-3
-4
-2
-1
2
4
3
1
x
-2 4
-1
-4 -3 1 2 3
y
-3
-4
-2
-1
2
4
3
1
5. Elige la opción que corresponda a
las rectas presentadas:
a) y  x 
1
2
y  x  3
y  x  4
y  x  3
b) y   x 
1
2
y  x  3
y  x  4
y  x  3
c) y  
1
2
x  1
y  3x  1
y  4x  1
y  3x  1
d) y 
1
2
x  1
y  3x  1
y  24x 1
y  23x  1
©
Ek
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S.
A.
de
C.
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138
aprendizaje
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6. El área del sector circular que se muestra en la
figura es:
a) 38.70 cm2
b) 12.32 cm2
c) 12.57 cm2
d) 36.40 cm2
9. En la gráfica anterior, ¿cuánto cuesta un pastel de 3 kg sin incluir la base
de cristal?
a) 90 pesos
b) 30 pesos
c) 150 pesos
50º
4
c
m
7. Calcula la longitud de arco de circunferencia
correspondiente a un ángulo de 50o
, si se sabe
que el radio mide 4 cm.
a) 25.13 cm
b) 3.49 cm
c) 10 cm
d) 2.51 cm
117º
3.51 cm
8. La siguiente gráfica muestra el
precio de un pastel dependiendo
de su peso e incluye el costo
de una base de cristal. ¿Cuánto
cuesta la base de cristal?
a) 90 pesos
b) 30 pesos
c) 150 pesos
Peso (kg)
Precio
($)
8
2 4 6
60
120
180
230
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139
B
5
x
-4 8
-2
-8 -6 2 4 6
y
-6
-8
-4
-2
4
8
6
2
x
-4 8
-2
-8 -6 2 4 6
y
-6
-8
-4
-2
4
8
6
2
10. Las coordenadas del triángulo
simétrico al que se muestra en la
figura, con respecto al eje x, son:
a) (1, 2), (4, 4) y (7, 9)
b) (21, 2), (24, 4) y (27, 9)
c) (1, 22), (4, 24) y (7, 29)
d) (21, 22), 24, 24) y (27, 29)
11. Las coordenadas del triángulo
simétrico al que se muestra en la
figura, con respecto al eje y, son:
a) (2, 8), (6, 3) y (5, 8)
b) (22, 28), (26, 23) y (25, 28)
c) (2, 28), (6, 23) y (5, 28)
d) (26, 3), (25, 8) y (22, 28)
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B
L
O
Q
U
E
3
B
L
O
Q
U
E
2
B
L
O
Q
U
E
1
B
L
O
Q
U
E
4
B
L
O
Q
U
E
5
140
B5Retos
II. El perímetro del rectángulo ABGI y BDEF es de 54 cm, cada uno. Si los
triángulos son equiláteros y BD  2AB, ¿cuál es el perímetro de ABCDEFGHI?
I. La suma de los números que se encuentran en 2 cuadrados consecutivos
es igual al número que está en el cuadrado arriba de ellos, por ejemplo,
a  b  c.
Si a  b  4  17, calcula el valor de a.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
25
4
b
a
c x
Fuente: Calendario Matemático Infantil
2007-2008. Un reto diario.
Fuente: Calendario Matemático Infantil
2007-2008. Un reto diario.
a = 5
117 cm
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