![1. Representar gráficamente la función y 2x2
4x.
Solución
Como a 2, la parábola abre hacia abajo.
Para determinar las coordenadas del vértice, se remplazan los valores
de a 2 y b 4 en la fórmula, así:
x = –b __
2a
= – 4 _____
2(–2)
1
El valor de y es:
y 2x2
4x 2(1)2
4(1) 2
Luego, el vértice está en el punto (1, 2).
Eje de simetría, recta x 1.
2. Encontrar, sin hacer la gráfica, hacia dónde abre la parábola, el vértice y los
puntos de corte con el eje x, de la parábola f(x) 3x2
6x.
Solución
·· En la función f (x) 3x2
6x, a 3 0, entonces la parábola abre hacia arriba.
·· Para determinar las coordenadas del vértice, se remplaza
a 3 y b 6 en x = – b __
2
a, así:
x = – 6 ___
2(3)
= –6 __
6
1 y 3x2
6x 3(1)2
6(1) 3
Luego, el vértice está ubicado en el punto (1, 3).
·· Para determinar los puntos de corte, y debe ser igual a cero, es decir:
si y 0, entonces 3x2
6x 0, de donde
3x2
6x 0
3x (x 2) 0
3x 0 o x 2 0
x 0 o x 2
Luego, los puntos de corte son (0, 0) y (2, 0).
x 1 0 1 2 3
y 6 0 2 0 6
·· Caso 4. f(x) ax2
bx c.
La gráfica de una función y ax2
bx c se puede obtener a partir
de la parábola que representa la función y ax2
bx, trasladando la
gráfica c unidades hacia arriba si c 0, o c unidades hacia abajo si
c 0.
Por ejemplo, la función y x2
2x 4 es una traslación de la fun
ción y x2
2x (figura 5).
x
y
-2 2
2
-2
-1 1 3 4-3-4
1
-1
-5
-4
-3
-6
x
y
-2 2
2
-2
-1 1 3 4-3-4
1
-1
7
3
4
6
5
y ؍ x 2
؊ 2x
y ؍ x 2 ؊ 2x ؉ 4
Figura 5.
Gráfica de y x2
2x 4
Ejemplos
68
Grafica las siguientes
funciones.
ƒ(x) = 3x – x2
ƒ(x) = 2x2
+ 11x + 5
Trabajo individual
• Dominio y recorrido
de la función
cuadrática
• El dominio de la
función del ejemplo son
los reales.
• El recorrido de la
función del ejemplo
es el intervalo ]– ∞, 2]
Toma en cuenta
BECU_M1_B2_P62_107.indd 68 4/22/14 11:52 AM](https://image.slidesharecdn.com/m2-mat-160506091735/85/M2-mat-3-320.jpg)
M2 mat
- 1. Al representar gráficamente una función cuadrática se obtiene una cur va llamada parábola. La parábola que representa una función cuadrática se puede abrir hacia arriba o hacia abajo. ·· Si en la función y ax2 bx c, a 0, entonces, la parábola abre hacia arriba (figura 1). En este caso, el vértice es un punto mínimo. ·· Si en la función y ax2 bx c, a 0, entonces, la parábola abre hacia abajo (figura 2). En este caso, el vértice es un punto máximo. La recta paralela al eje y que pasa por el vértice de la parábola se denomina eje de simetría. El valor de a en la función y ax2 bx c también indica la abertura de la parábola. Así, si: ·· a 1, la parábola es más estrecha en relación con la parábola donde a 1. ·· 0 < a < 1, la parábola es más ancha en relación con la parábola donde a = 1. Representación gráfica de la función cuadrática Al graficar una función cuadrática se tienen en cuenta cuatro casos: f(x) ax2 , f(x) ax2 c, f(x) ax2 bx y f(x) ax2 bx c. Además, para cada función, se identifica el vértice y se elabora una tabla de valores que determine la forma de la parábola. gráfica de una función cuadrática concepto x y Vértice Figura 1. mínimo x y Vértice Figura 2. máximo Realiza el gráfico de la función y = x2 , e indica qué figura se ha formado y qué características observas. Conocimientos previos Una función cuadrática es aquella función de la forma y f(x) ax2 bx c con a, b, c y a 0. Por ejemplo, las funciones f(x) 3x2 2x 1, f(x) x2 3 y f(x) x2 3x son funciones cuadráticas. Las funciones cuadráticas también reciben el nombre de funciones de segundo grado, debido a que el exponente del término ax2 es 2. dominio y recorrido de la función cuadrática El dominio de una función cuadrática son los números reales, y el recorrido se toma desde el punto máximo o mínimo (Vértice da la parábola) hacia +∞ o –∞, según corresponda. 1 __ 2 2 __ 5 66 Función cuadrática • Reconocer la gráfica de una función cuadrática como una parábola a través del significado geométrico de los parámetros que la definen. (P) • Comprender que el vértice de una parábola es un máximo o un mínimo de la función cuadrática cuya gráfica es la parábola. (C) • Comprender que la determi- nación del recorrido de una función cuadrática f es equi- valente a construir la imagen y a partir de x, elemento del dominio. (C) • Determinar el comportamien- to local y global de la función cuadrática a través del análisis de su dominio, recorrido, crecimiento, decrecimiento, concavidad y simetría, y de la interpretación geométrica de los parámetros que la definen. (C, P) Destrezas con criterio de desempeño: BECU_M1_B2_P62_107.indd 66 4/22/14 11:52 AM
- 2. ·· Caso 3. f(x) ax2 bx, donde c 0. En este caso el eje de simetría de la parábola es una recta paralela al eje y. Para representar gráficamente esta función, se elabora una tabla de valores, teniendo en cuenta que las coordenadas del vértice se hallan haciendo x = –b ___ 2a y remplazando dicho valor en la función dada. ·· Caso 1. f(x) ax2 , donde b 0 y c 0. Este tipo de parábola tiene vértice en el punto (0, 0). El eje de simetría es el eje y. Si a 0, abre hacia arriba, y si a 0, abre hacia abajo. Además, si a 0, entonces, la parábola se cierra en relación con la parábola y x2 ; y si a 1, entonces, la parábola se abre en relación con la parábola y x2 . Por ejemplo, las parábolas y 2x2 , y 1 __ 2 x2 (figura 3) y y 2x2 , y 1 __ 2 x2 (figura 4). ·· Caso 2. f(x) ax2 c, donde b 0. La gráfica de la función ax2 c se obtiene trasladando c unidades a la gráfica de la función ax2 . Si c 0, la traslación es hacia arriba. Si c 0, la traslación es hacia abajo. El eje de simetría es el eje y y el vértice de la parábola es el punto (0, c) o el punto (0, c), según sea la traslación. Graficar las funciones y x2 2 y y x2 2. Solución Se grafica la parábola y x2 ; luego, para graficar y x2 2, se traslada 2 unidades arriba; y para graficar y x2 2, se traslada 2 unidades abajo. x y -2 2 2 7 -1 1 3 4-3-4 1 -1 4 5 6 3 y ؍ 2x 2 y ؍ x 2 y ؍ x 21 2 x y -2 2 -7 -2 -1 1 3 4-3-4 1 -1 -5 -4 -3 -6 y ؍ -2x 2 y ؍ -x 2y ؍ - x 21 2 x y -2 2 2 -2 -1 1 3 4-3-4 1 -1 7 3 4 6 5 y 2 ؍ x 2 ؊ 2 y ؍ x 2 y ؍ x 2 ؉ 2 Figura 3. x 1 2 –1 –2 –2x2 –2 –8 –2 –8 – 1 _ 2 x2 – 1 _ 2 –2 – 1 _ 2 –2 x 1 2 –1 –2 2x2 2 8 2 8 1 __ 2 x2 1 __ 2 2 1 __ 2 2 Figura 4. x 0 1 2 1 2 x2 2 2 3 6 3 6 x 0 1 2 1 2 x2 2 2 1 2 2 2 67 El estudio de las funciones cuadráticas se aplica en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos como la construcción de puentes colgantes que se encuentran suspendidos por cables amarrados a dos torres. Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de los organismos. Actualízate Ejemplo BECU_M1_B2_P62_107.indd 67 4/22/14 11:52 AM
- 3. 1. Representar gráficamente la función y 2x2 4x. Solución Como a 2, la parábola abre hacia abajo. Para determinar las coordenadas del vértice, se remplazan los valores de a 2 y b 4 en la fórmula, así: x = –b __ 2a = – 4 _____ 2(–2) 1 El valor de y es: y 2x2 4x 2(1)2 4(1) 2 Luego, el vértice está en el punto (1, 2). Eje de simetría, recta x 1. 2. Encontrar, sin hacer la gráfica, hacia dónde abre la parábola, el vértice y los puntos de corte con el eje x, de la parábola f(x) 3x2 6x. Solución ·· En la función f (x) 3x2 6x, a 3 0, entonces la parábola abre hacia arriba. ·· Para determinar las coordenadas del vértice, se remplaza a 3 y b 6 en x = – b __ 2 a, así: x = – 6 ___ 2(3) = –6 __ 6 1 y 3x2 6x 3(1)2 6(1) 3 Luego, el vértice está ubicado en el punto (1, 3). ·· Para determinar los puntos de corte, y debe ser igual a cero, es decir: si y 0, entonces 3x2 6x 0, de donde 3x2 6x 0 3x (x 2) 0 3x 0 o x 2 0 x 0 o x 2 Luego, los puntos de corte son (0, 0) y (2, 0). x 1 0 1 2 3 y 6 0 2 0 6 ·· Caso 4. f(x) ax2 bx c. La gráfica de una función y ax2 bx c se puede obtener a partir de la parábola que representa la función y ax2 bx, trasladando la gráfica c unidades hacia arriba si c 0, o c unidades hacia abajo si c 0. Por ejemplo, la función y x2 2x 4 es una traslación de la fun ción y x2 2x (figura 5). x y -2 2 2 -2 -1 1 3 4-3-4 1 -1 -5 -4 -3 -6 x y -2 2 2 -2 -1 1 3 4-3-4 1 -1 7 3 4 6 5 y ؍ x 2 ؊ 2x y ؍ x 2 ؊ 2x ؉ 4 Figura 5. Gráfica de y x2 2x 4 Ejemplos 68 Grafica las siguientes funciones. ƒ(x) = 3x – x2 ƒ(x) = 2x2 + 11x + 5 Trabajo individual • Dominio y recorrido de la función cuadrática • El dominio de la función del ejemplo son los reales. • El recorrido de la función del ejemplo es el intervalo ]– ∞, 2] Toma en cuenta BECU_M1_B2_P62_107.indd 68 4/22/14 11:52 AM
- 4. 1. Identifica cuáles de las siguientes expresiones corresponden a funciones cuadráticas. a. y x2 2x 5 d. y 4x 6x4 b. f(x) x 2 c. y 2x3 5x 2. Indica hacia dónde abre la parábola que representa cada función cuadrática. a. f(x) x x2 d. f(x) 3x2 2x 1 b. y 3x2 6x 2 e. y 5x2 6x 2 c. f(x) 4 2x2 f. f(x) 7x2 4 3. Traza el eje de simetría de cada parábola. Luego, escribe la ecuación de dicho eje. a. c. b. d. 4. Escribe V (verdadero) o F (falso). Justifica. a. La función y x 3x2 se representa con una parábola que abre hacia abajo y sobre su eje de simetría se ubica el máximo. b. La gráfica de la función f(x) 2x2 tiene un máximo sobre el eje x. c. La función cuadrática f(x) = 1 __ 2 x2 abre hacia abajo, ya que el coeficiente de x2 es una fracción. 5. Grafica los siguientes conjuntos de funciones cua dráticas. Utiliza un plano para cada conjunto. a. y x2 , y 2x2 , y 3x2 , y 4x2 . b. y x2 , y 1 __ 2 x2 , y 1 __ 3 x2 , y 1 __ 4 x2 . c. y x2 , y 2x2 , y 3x2 , y 4x2 . 6. Para cada función cuadrática, dibuja otra función cuadrática con la condición indicada. Luego, escribe su ecuación correspondiente. a. b. c. 7. Halla el vértice y los puntos de corte con el eje x de las siguientes parábolas. Luego, grafica. a. f(x) 5x2 10x f. y x2 6x b. y x2 4x g. f(x) x2 8x c. f(x) 3x2 6x h. y 4x2 16x d. y 2x2 8x i. f(x) x2 5x e. f(x) x2 2x j. f(x) 7x2 14x 8. Toma como referencia las parábolas del ejercicio anterior, para construir la gráfica de las siguientes parábolas. a. f(x) 5x2 10x 1 f. y x2 6x 3 b. y x2 4x 3 g. f(x) x2 8x 16 c. f(x) 3x2 6x 2 h. y 4x2 16x 1 d. y 2x2 8x 4 i. f(x) x2 5x 2 e. f(x) x2 2x 6 j. f(x) 7x2 14x 1 3 2 6-2 21 3 5 x y -2 -1 4 5 6 1 4 -1 3 2 -3 -2 21 3-4 x y -2 -1 4 -4 -3 1 4 -1 3 2 -3 -2 21 3 x y -2 -1 5 6 1 4 -1 f (x) x 2 3 2 -3 -2 21 3 x y -2 -1 5 6 1 4 -1 3 2 6-2 21 3 5 x y -2 -1 4 5 6 1 4 -1 3 2 6-2 21 3 5 x y -2 -1 4 5 6 1 4 -1 Trasladar la gráfica una unidad hacia arriba. 3 2 -3 -2 21 3 x y -2 -1 5 6 1 4 -1 f (x) ؍ ؊x 2 ؉5 3 2 -3 -2 21 3 x y -2 -1 5 6 1 4 -1 Trasladar la gráfica 3 unidades hacia abajo. 3 2 4-2 21 3 x y -2 -1 5 6 1 4 -1 f (x) ؍ (x ؊1)2 3 2 4-2 21 3 x y -2 -1 5 6 1 4 -1 Trasladar la gráfica 2 unidades hacia arriba. Actividades Analiza funciones cuadráticas por medio de sus coeficientes. Determina el eje de simetría. Analiza el valor de verdad de proposiciones. Grafica funciones cuadráticas. Determina el vértice y los cortes con el eje x. Grafica funciones cuadráticas mediante traslaciones. 69 BECU_M1_B2_P62_107.indd 69 4/22/14 11:52 AM