Ma2006 hw05-sol
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Este documento presenta la solución a varios problemas de probabilidad. En el primer problema, se calculan las probabilidades P(A), P(E3) y P(A ∩ E3) basadas en una tabla de probabilidad conjunta que describe la distribución de grupos étnicos y tipos de sangre en una población. En el segundo problema, se compara P(A|B) vs P(B|A) para eventos relacionados con la estatura y el baloncesto profesional. En el tercer problema, se calculan varias probabilidades condicionales relacionadas con tener
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- 1. MA2006 - Tarea No 5 Departamento de Matem´aticas, CCIR/ITESM 11 de enero de 2011 Soluci´on 1. La poblaci´on de un pa´ıs particular se compone de tres grupos ´etnicos (GE). Cada individuo pertenece a uno de los cuatro grupos sangu´ıneos principales. La tabla de probabilidad conjunta anexa da la proporci´on de individuos en las diversas combinaciones de grupo ´etnico-grupo sangu´ıneo. Grupo sangu´ıneo GE O A B AB 1 0.082 0.106 0.008 0.004 2 0.135 0.141 0.018 0.006 3 0.215 0.200 0.065 0.020 Suponga que se selecciona un individuo al azar de la poblaci´on y que los eventos se definen como A = {tipo de sangre A seleccionado} Ei = {grupo ´etnico i seleccionado} para i = 1, 2, 3. a) Calcule P(A), P(E3) y P(A ∩ E3). Soluci´on Observe que S = E1 ∪ E2 ∪ E3 y que los eventos Ei son disjuntos. De esta manera A = A ∩ S = A ∩ (E1 ∪ E2 ∪ E3) = A ∩ E1 ∪ A ∩ E2 ∪ A ∩ E3. Por tanto, P(A) = P(A ∩ E1) + P(A ∩ E2) + P(A ∩ E3) = 0.106 + 0.141 + 0.200 = 0.447 De igual manera, P(E3) = P(E3 ∩ 0) + P(E3 ∩ A) +P(E3 ∩ B) + P(E3 ∩ AB) = 0.215 + 0.200 + 0.065 + 0.020 = 0.500 Directo de la tabla P(A ∩ E3) = 0.200. b) Calcule tanto P(A|E3) y P(E3|A) y explique en contexto de 10 personas qu´e representan cada una de estas probabilidades. Soluci´on Directo de la definci´on de probabilidad condicional: P(A|E3) = P(A ∩ E3) P(E3) = 0.200 0.5 = 0.4
- 2. Esto dice: 0.4 es la probabilidad de que una persona del grupo etnico 3 tenga sangre tipo A: es decir, de cada diez personas del grupo ´etnico 3, 4 de ellas tendr´an sangre tipo A. P(E3|A) = A ∩ E3 P(A) = 0.200 0.447 = 0.447 Esto dice: 0.447 es la probabilidad de que una persona que tiene sangre tipo A sea del grupo ´etnico 3: es decir, de cada 100 personas que tienen sangre tipo A, 44 de ellas son del grupo ´etnico 3. c) Si el individuo seleccionado no tiene sangre de tipo B, ¿cu´al es la probabilidad de que ´el o ella pertenezca al grupo ´etnico l? Soluci´on Se nos pide P(E3|B ), tenemos P(E1|B ) = P(E1∩B ) P(B ) = 0.082+0.106+0.004 1−(0.008+0.018+0.065) = 0.211 2. Suponga que un individuo es seleccionado al azar de la poblaci´on de todos los adultos varones que viven en Estados Unidos. Sea A el evento en que el individuo seleccionado tiene una estatura de m´as de 6 pies y sea B el evento en que el individuo seleccionado es un jugador profesional de b´asquetbol. ¿Cu´al piensa que es m´as grande, P(A|B) o P(B|A)? ¿Por qu´e? Soluci´on P(A|B) representa la probabilidad de que un individuo tenga altura de m´as de 6 pies (1.82 m) dado que es un jugador de basquetbol, mientras que P(B|A) representa la probabilidad de que un individuo juegue basquetbol dado que tiene altura de m´as de 6 pies. Como en general los jugadores de basquetbol son muy altos, se piensa que P(A|B) > P(B|A). 3. Regrese al escenario de la tarjeta de cr´edito del problema 3 de la tarea 2, donde A = {Visa}, B = {MasterCard}, P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 Y P(A ∩ B) = 0.25. Calcule e interprete cada una de las siguientes probabilidades (un diagrama de Venn podr´ıa ayudar). a) P(B|A) Soluci´on Directamente de la definici´on P(B|A) = P(A ∩ B) P(A) = 0.25 0.5 = 0.5 b) P(B |A) Soluci´on Primero calculemos P(A ∩ B ): Como A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B ) entonces 0.5 = P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B ) = 0.25 + P(A ∩ B ), por tanto P(A ∩ B ) = 0.25 ahora apliquemos la f´ormula de la probabilidad condicional P(B |A) == P(A ∩ B ) P(A) = 0.25 0.5 = 0.5 c) P(A|B) Soluci´on Directamente de la definici´on P(A|B) = P(A ∩ B) P(B) = 0.25 0.4 = 0.625 2
- 3. d) P(A |B) Soluci´on Primero calculemos P(A ∩ B): Como B = (B ∩ A) ∪ (A ∩ B) entonces 0.4 = P(B) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B) = 0.25 + P(A ∩ B), por tanto P(A ∩ B) = 0.15 ahora apliquemos la f´ormula de la probabilidad condicional P(A |B) == P(A ∩ B) P(B) = 0.15 0.4 = 0.375 e) Dado que el individuo seleccionado tiene por lo menos una tarjeta, ¿cu´al es la probabilidad de que ´el o ella tenga una tarjeta Visa? Soluci´on Note que el evento A ∪ B describe que el individuo tiene por lo menos una tarjeta, as´ı lo que requerimos calcular es P(A|A ∪ B) P(A|A ∪ B) = P(A∩(A∪B)) P(A∪B) = P(A) P(A∪B) = P(A) P(A)+P(B)−P(A∩B) = 0.5 0.5+0.4−0.25 = 0.7692 6. Una tienda de departamentos vende camisas sport en tres tallas (chica, mediana y grande), tres dise˜nos (a cuadros, estampadas y a rayas) y dos largos de manga (larga y corta). Las tablas adjuntas dan las proporciones de camisas vendidas en las combinaciones de categor´ıa. Manga corta Dise˜no Talla Cuadros Estampada Rayas CH 0.04 0.02 0.05 M 0.08 0.07 0.12 G 0.03 0.07 0.08 Manga larga Dise˜no Talla Cuadros Estampada Rayas CH 0.03 0.02 0.03 M 0.10 0.05 0.07 G 0.04 0.02 0.08 a) ¿Cu´al es la probabilidad de que la siguiente camisa vendida sea una camisa mediana, estampada y de manga larga? Soluci´on Se est´a preguntado por Tmediana ∩Destampado ∩Mlarga, esto se obtiene directamente de la tabla: 0.05 (Dato de la tabla referente a manga larga, el rengl´on de la talla mediana y la columna del dise˜no estampado) b) ¿Cu´al es la probabilidad de que la siguiente camisa vendida sea una camisa estampada mediana? Soluci´on En este caso debemos sumar los datos referentes a manga corta y manga larga: 0.07 + 0.05 = 0.14 3
- 4. c) ¿Cu´al es la probabilidad de que la siguiente camisa vendida sea de manga corta? ¿De manga larga? Soluci´on En esto habr´a que sumar los datos de las tallas y los modelos para manga corta: pmanga corta = 0.04 + 0.02 + 0.05 +0.08 + 0.07 + 0.12 +0.03 + 0.07 + 0.08 = 0.54 Para manga corta aplicamos complementaridad: pmanga larga = 1 − pmanga corta = 1 − 0.54 = 0.46 d) ¿Cu´al es la probabilidad de que la talla de la siguiente camisa vendida sea mediana? ¿Que la siguiente camisa vendida sea estampada? Soluci´on Siguiendo un razonamiento an´alogo al del inciso anterior pmediana = 0.08 + 0.07 + 0.12 +0.10 + 0.05 + 0.07 = 0.49 Similarmente, pestampada = 0.25 e) Dado que la camisa que se acaba de vender era de manga corta a cuadros, ¿cu´al es la probabilidad de que fuera mediana? Soluci´on Queremos calcular la probabilidad del evento P(Tmediana|Mcorta ∩ Dcuadros): P(Tmediana|Mcorta ∩ Dcuadros) = P(Tmediana∩Mcorta∩Dcuadros) P(Mcorta∩Dcuadros) = 0.08 0.04+0.08+0.03 = 0.5333 f ) Dado que la camisa que se acaba de vender era mediana a cuadros, ¿cu´al es la probabilidad de que fuera de manga corta? ¿De manga larga? Soluci´on Queremos calcular la probabilidad del evento P(Mcorta|Tmediana ∩ Dcuadros): P(Mcorta|Tmediana ∩ Dcuadros) = P(Mcorta∩Tmediana∩Dcuadros) P(Tmediana∩Dcuadros) = 0.08 0.08+0.01 = 0.888 Por complementaridad tenemos que: P(Mlarga|Tmediana ∩ Dcuadros) = 1 − P(Mcorta|Tmediana ∩ Dcuadros) = 1.0 − 0.888 = 0.112 9. Un taller repara tanto componentes de audio como de video. Sea A el evento en que el siguiente compo- nente tra´ıdo a reparaci´on es un componente de audio y sea B el evento en que el siguiente componente es un reproductor de discos compactos (as´ı que el evento B est´a contenido en A). Suponga que P(A) = 0.6 y P(B) = 0.05. ¿Cu´al es P(B|A)? 4
- 5. Soluci´on Note que como B est´a contenido en A, A ∩ B = B. Ahora apliquemos la f´ormula de la probabilidad condicional: P(B|A) = P(B∩A) P(A) = P(B) P(A) = 0.05 0.6 = 0.1 10. En el ejercicio 4 de la tarea 3, Ai = {proyecto otorgado i} con i = 1, 2, 3. Use las probabilidades dadas all´ı para calcular las siguientes probabilidades y explique en palabras el significado de cada una. a) P(A2|A1) Soluci´on Directamente de la f´ormula: P(A2|A1) = P(A2∩A1) P(A1) = 0.11 0.22 = 0.5 es la probabilidad de que se otorgue el proyecto 2 dado que ya se otorg´o el proyecto 1. b) P(A2 ∩ A3|A1) Soluci´on Directamente de la f´ormula: P(A2 ∩ A3|A1) = P(A2∩A3∩A1) P(A1) = 0.01 0.22 = 0.0454 es la probabilidad de que se otorguen los proyectos 2 y 3 dado que ya se otorg´o el proyecto 1. c) P(A2 ∪ A3|A1) Soluci´on Primero observamos que P((A2 ∪ A3) ∩ A1) = P(A2 ∩ A1) + P(A3 ∩ A1) − P(A∩A2 ∩ A3) = 0.11 + 0.05 − 0.01 = 0.15 ahora aplicamos la f´ormula: P(A2 ∪ A3|A1) = P((A2∪A3)∩A1) P(A1) = 0.15 0.22 = 0.6818 es la probabilidad de que entre los proyectos 2 y 3 se otorguen al menos 1 dado que ya se otorg´o el proyecto 1. d) P(A1 ∩ A2 ∩ A3|A1 ∪ A2 ∪ A3). Soluci´on 5
- 6. Primero observamos que P(A1 ∪ A2 ∪ A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) −P(A1 ∩ A2) −P(A1 ∩ A3) −P(A2 ∩ A3) +P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = 0.51 ahora aplicamos la f´ormula: P(A1 ∩ A2 ∩ A3|A1 ∪ A2 ∪ A3) = P((A1∩A2∩A3)∩(A1∪A2∪A3)) P(A1∪A2∪A3) = P(A1∩A2∩A3) P(A1∪A2∪A3) = 0.01 0.51 = 0.0196 es la probabilidad de que se otorguen los tres proyectos simult´anemente dado que al menos un proyecto ya se otorg´o. 4. Reconsidere la situaci´on del sistema defectuoso descrito en el problema 2 de la tarea 1. a) Dado que el sistema tiene un defecto de tipo 1, ¿cu´al es la probabilidad de que tenga un defecto de tipo 2? b) Dado que el sistema tiene un defecto de tipo 1, ¿cu´al es la probabilidad de que tenga los tres tipos de defectos? c) Dado que el sistema tiene por lo menos un tipo de defecto, ¿cu´al es la probabilidad de que tenga exactamente un tipo de defecto? d) Dado que el sistema tiene los primeros dos tipos de defectos, ¿cu´al es la probabilidad de que no tenga el tercer tipo de defecto? 5. Si se seleccionan al azar dos focos de la caja descrita en el problema 10 de la tarea 4 (4 focos de 40 watts, 5 focos de 60 watts y 6 focos de 75 watts) y por lo menos uno de ellos es de 75 W, ¿cu´al es la probabilidad de que los dos sean de 75 W? Dado que por lo menos uno de los dos seleccionados no es de 75 W, ¿cu´al es la probabilidad de que los dos focos seleccionados sean de la misma clase? Soluci´on Primeramente revisemos de cu´antos elementos pueden ser las muestras de dos focos. El total de muestras de dos focos de los 15 disponibles es N∗,∗ = C15,2 = 105. El total de muestras con exactamente un foco de 75 watts y otro de 40 watts es de N40,75 = C4,1 · C6,1 = 24 El total de muestras con exactamente un foco de 75 watts y otro de 60 watts es de N60,75 = C5,1 · C6,1 = 30 El total de muestras con exactamente un foco de 75 watts es de N∗/{75},75 = C6,1 · C9,1 = 54 = N40,75 + N60,75 El total de muestras de dos focos de 75 watts es de N75,75 = C6,2 = 15. El total de muestras de 2 focos sin foco de 75 watts es C9,2 = 36. El total de muestras de 2 focos de 40 watts es N40,40 = C4,2 = 6. 6
- 7. El total de muestras de 2 focos de 60 watts es N60,60 = C5,2 = 10. El total de muestras de 2 focos uno de 40 watts y otro de 60 watts es N40,60 = C4,1 · C5,1 = 20. Si A es el evento donde la muestra tiene dos focos son de 75 watts y B es el evento donde la muestra tiene exactamente un foco es de 75, as´ı A ∪ B ser´a el evento donde la muestra tiene al menos 1 foco es de 75. Por tanto, la probabilidad de seleccionar una muestra que tiene dos focos de 75 watts dado que la muestra tiene al menos uno de 75 watts es: P(A|A ∪ B) = P(A∩(A∪B)) P(A∪B) = P(A) P(A)+P(B) = N75,75/N∗,∗ N75,75/N∗,∗+N∗/{75},75/N∗,∗ = 15/105 15/105+54/105 = 0.217 Para el otro inciso, sea C el evento en el cual la muestra tiene al menos 1 foco que no es de 75 watts, D el evento en el cual la muestra tiene 2 focos de 40 watts y E el evento en el cual la muestra tiene 2 focos de 60 watts. Observe que El evento C es la uni´on de los eventos ME donde en la muestra hay exactamente 1 foco de 75 watts y el evento donde en la muestra no hay foco de 75 watts. P(C) = (54 + 36)/105 = 0.8571, D ∪ E describe el evento en el cual la muestra tiene 2 focos de 40 watts o bien 2 focos de 60 watts. Es decir, el evento en el cual la muestra tiene 2 focos de la misma clase y no de 75 watts. P(D ∪ E) = (N40,40 + N60,60)/N∗,∗ = (6 + 10)/105 = 0.1523 D ∪ E est´a contenido en C, y por tanto (D ∪ E) ∩ C = D ∪ E As´ı P(D ∪ E|C) = P((D∪E)∩C) P(C) = P(D∪E) P(C) = 0.1523 0.8571 = 0.1777 ser´a la probabilidad de que en la muestra salgan dos focos de la misma clase dado que en la muestra hay al menos un foco que no es de 75 watts. 7. Una caja contiene seis pelotas rojas y cuatro verdes y una segunda caja contiene siete pelotas rojas y tres verdes. Se selecciona una pelota al azar de la primera caja y se le coloca la segunda caja. Luego se selecciona al azar una pelota de segunda caja y se le coloca en la primera caja. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que se seleccione una pelota roja de la primera caja y de que se selec- cione una pelota roja de la segunda caja? Soluci´on Sea Aroja el evento en el cual se selecciona pelota roja de la primera caja y sea Broja el evento en el cual se selecciona una pelota roja de la segunda caja. Nosotros queremos calcular P(Aroja ∩ Broja). Sabemos que P(Aroja ∩ Broja) = P(Broja|Aroja) · P(Aroja). Como P(Aroja) = 6/10 y P(Broja|Aroja) = 8/11, entonces P(Aroja ∩ Broja) = P(Broja|Aroja) · P(Aroja) = (6/10) · (8/11) = 0.4363 ser´a la probabilidad de que se seleccione una pelota roja de la primera caja y que se seleccione una pelota roja de la segunda caja. 7
- 8. b) Al final del proceso de selecci´on, ¿cu´al es la probabilidad de que los n´umeros de pelotas rojas y verdes que hay la primera caja sean id´enticas a los n´umeros iniciales? Soluci´on Esto pasa cuando C:se toma una pelota roja de la primera caja y se selecciona de nuevo una roja para regresarla a la primera o cuando D:se toma una pelota verde de la primera caja y se selecciona de nuevo un pelota verde para regresarla a la segunda caja. Observe los eventos C y D son ME y que P(C) = 0.4363 fue calculado en el inciso anterior. Entonces, debemos hacer el an´alogo al inciso anterior para las pelotas verdes: P(Averde ∩ Bverde) = P(Bverde|Averde) · P(Averde) = (4/10) · (4/11) = 0.1454 As´ı P(C ∪ D) = P(C) + P(D) = 0.4363 + 0.1454 = 0.5817 ser´a la probabilidad de que se elija una pelota de la primera caja se ponga en la segunda, se elija una pelota de la segunda y se coloque en la primera de tal manera que en la primera caja se tiene el mismo n´umero de rojas y verdes que al inicio. 8. Un sistema se compone de bombas id´enticas, #1 y #2. Si una falla, el sistema seguir´a operando. Sin embargo, debido al esfuerzo adicional, ahora es m´as probable que la bomba restante falle de lo que era originalmente. Es decir r = P(#2 falla|#1 falla) > P(#2 falla) = q. Si por lo menos una bomba falla alrededor del final de su vida ´util en 7 % de todos los sistemas y ambas bombas fallan durante dicho periodo en s´olo 1 %, ¿cu´al es la probabilidad de que la bomba #1 falle durante su vida ´util de dise˜no? 8