Man2

DISEÑOS DE INVESTIGACIÓN Y
ANÁLISIS DE DATOS

TEMA 1
Estimación de parámetros y
contraste de hipótesis

Ejemplo 1.6
• Para dejar constancia real de las preferencias de los
padres sobre la lengua vehicular en la que prefieren
que se eduque a sus hijos, una determinada
asociación de padres realiza una encuesta sobre una
muestra de 800 familias residentes en una
determinada autonomía bilingüe, encontrando que
280 familias son partidarias de que todas de las
asignaturas se enseñen en Castellano. Con un nivel
de confianza del 95% ¿entre que valores se
encontrará la proporción de padres que en esa
Comunidad son partidarios de que todas las
asignaturas se impartan en Castellano?

Distribución muestral de la proporción
DM de la proporción
N sujetos=800
Variable X= familias
dicotómica 280
(partidario partidarias
castellano castellano =p
si/no)

MUESTRA

POBLACIÓN

Distribución muestral de la proporción
DM de la proporción
N sujetos=800
Variable X= familias
dicotómica 280
(partidario partidarias
castellano castellano
si/no)

MUESTRA

P=280/800=0.35

POBLACIÓN

Al tratarse de una muestra grande
(N=800), la distribución binomial
se aproxima a la normal.
Buscamos en la tabla los valores Z
que dejan una probabilidad
central del 95% y son -1,96 y
+1,96.

• Por consiguiente, la proporción poblacional, ,
es un valor comprendido entre 0,317 (31,7%)
y 0,383 (38,3%) con una probabilidad o nivel
de confianza, del 95%.

Amplitud del intervalo de
confianza y su relación con el
tamaño muestral
• La amplitud de un intervalo de confianza depende
de dos factores: el nivel de confianza y el error
típico de la distribución muestral del estadístico.
Este segundo factor está en proporción inversa al
tamaño de la muestra: cuanto mayor es el tamaño
de la muestra, menor es el error típico
(manteniendo constante el resto de factores, ceteris
paribus)

Ejemplo: CI de la media
• El error típico de la media, cuando se
desconoce la varianza poblacional y además la
muestra es pequeña, es

• y para obtener el intervalo de confianza se
multiplica por el valor de la distribución t de
Student para el nivel de confianza (NC) que se
haya estipulado.

• Es decir, el error máximo de estimación y lo
designamos con E, es:

• Si despejamos el tamaño muestral (n) y lo
ponemos en función del resto de elementos el
resultado es:

• Si el tamaño de la muestra es grande,
entonces la distribución de referencia es la
normal tipificada y la expresión anterior se
transforma en:

Cálculo del tamaño de la muestra en
función del nivel de confianza y del error
máximo de estimación

Ejemplo 1.7
• Se desea calcular el tamaño muestral (n)
necesario en una encuesta electoral de
manera que la precisión de la proporción de
voto estimada, o error máximo de estimación,
sea de ± 0,02.

• Asumiendo que la proporción de votos a favor
y en contra es del 50% (máxima
incertidumbre):

Con este número de sujetos, el investigador
se asegura de que la amplitud del intervalo
de confianza será de 4 puntos porcentuales
(+/- 0.02 porcentual).

• Si la precisión de la estimación fuera de 
0,01 entonces el tamaño de la muestra pasaría
a ser de 9604 sujetos.
Es decir: cuanto más pequeño queramos que
sea el error máximo (mayor precisión), mayor
tendrá que ser el número de sujetos a utilizar.

Contraste de hipótesis
• Una hipótesis estadística es una afirmación
sobre una población que puede someterse a
prueba a través una muestra aleatoria de esa
población. Una vez que la hipótesis se ha
contrastado con los datos de la muestra es el
momento de tomar alguna decisión respecto a
su resultado. El contraste de hipótesis es,
pues, una parte esencial del método científico.

• En general, siempre se parte de algún
interrogante que se plantea en el ámbito de
una investigación, a la luz de un determinado
marco teórico.

• Una vez planteada la cuestión, hay que buscar
una respuesta que adopte la forma de
afirmación empíricamente verificable, es
decir, debemos ser capaces de operativizar
nuestras preguntas para que tengan entidad
de hipótesis científicas. La mejor manera de
hacerlo es plantearla en términos estadísticos;
esto significa que las afirmaciones que se
realicen estén relacionadas de alguna manera
con una o más distribuciones de probabilidad.

• Una hipótesis científica se pueden trasladar a
diferentes hipótesis estadísticas, las cuales, al
contrastarse dan respuesta a dicha hipótesis
científica.

• Las hipótesis estadísticas planteadas para dar
respuesta a las hipótesis científicas se conocen
como hipótesis nula, y se representa por H0.
Las hipótesis nulas pueden contener
afirmaciones como las siguientes:

H0: la variable X tiene distribución normal
N(50,5).

• Dependiendo de cómo esté formulada la
hipótesis nula se habla de la dirección
del contraste. Si, por ejemplo, H0 está
planteada como igualdad de las medias
de hombres y mujeres, mientras que la
alternativa es simplemente su negación
(las medias no son iguales) se dice que es
un contraste bilateral.

• Si, por el contrario, conocemos la dirección en
que H0 puede ser falsa, como por ejemplo en
la hipótesis , o, en general, cuando en la
investigación se plantea que un método de
aprendizaje, un fármaco, un determinado
proceso industrial, etc. tiene efecto positivo (o
negativo) sobre lo que estamos estudiando,
entonces tenemos un contraste unilateral en
la medida en que indicamos la dirección de
ese efecto.

• Una vez que se ha planteado la
hipótesis, es preciso definir lo
que se conoce como la medida
de discrepancia: una medida
estandarizada dentro de alguna
distribución de probabilidad.

• La medida de discrepancia, al ser
estandarizada, no depende de las unidades en
que esté medida la variable y su formulación
habitual es:

• Además de definir la discrepancia es preciso
considerar qué cantidad de ésta consideramos
admisible. Es decir, debemos determinar, a
priori, cuál será la diferencia máxima entre el
estimador y el parámetro que estamos
dispuestos a considerar compatible con la H0.

• Esta decisión dependerá tanto de la
distribución de probabilidad de la medida de
discrepancia (Z, t,  , …), como de la dirección
2

del contraste (bilateral, unilateral), como del
riesgo que estamos dispuestos a asumir ( ).

Ejemplo
• En una H0 del tipo

frente a H1

Un contraste así es del tipo unilateral, y una
medida de discrepancia sería

• Para que se pueda rechazar H0, y por tanto
aceptar H1, deberemos encontrar valores
grandes y positivos de esta medida, ya que los
valores negativos de la T van a favor de H0.

• Este valor de la discrepancia También se
establece en términos de la probabilidad de
obtener una discrepancia mayor que la
observada.
• Esta probabilidad es la que se conoce como
nivel p-crítico, y en la mayor parte de las
investigaciones se rechazará H0 si este valor es
menor de 0,05 o 0,01 (alpha).

Procedimiento para el contraste de
hipótesis
• La metodología del contraste de hipótesis es
fruto de los trabajos de Fisher, Neyman y
Pearson y su lógica recuerda a la de un juicio
en un estado de derecho, en el cual el acusado
siempre es inocente hasta que las pruebas no
demuestren lo contrario.

Procedimiento para el contraste de
hipótesis
• En los contrastes de hipótesis, las pruebas son
las evidencias recogidas en los datos
muestrales provenientes de una investigación
bien diseñada.
• Si estos datos aportan resultados
significativamente diferentes de los
planteados en la hipótesis nula, ésta es
rechazada y, en caso contrario, es aceptada.

• Los procedimientos para el cálculo de los
intervalos de confianza -y buena parte de los
contrastes de hipótesis- se basan en una serie
de supuestos (v.gr., que la muestra procede de
una población de puntuaciones que se
distribuyen según una función de distribución
conocida, como la curva normal, o sobre el
nivel de medida de la variable, etc.).

• Estos procedimientos y otros que no se han
presentado todavía (ANOVA, regresión
múltiple, etc.), se engloban en lo que se
conoce como “métodos paramétricos” ya que
todos los cálculos matemáticos que se realizan
dependen del supuesto de que las
puntuaciones proceden de una familia de
distribuciones paramétrica particular.

Ejemplos
• Si en un contraste de hipótesis realizamos el
supuesto de distribución según la curva
normal, tendríamos toda una familia o
conjunto de funciones de densidad de
probabilidad (f.d.p.) que tienen todas la
misma forma (campana de Gauss). Por
consiguiente, cada elemento de este conjunto
se diferenciaría del resto no por su forma sino
por sus parámetros, es decir, por su media y
su desviación típica

• La estadística paramétrica funciona realizando
supuestos sobre los valores de y  En este
.
sentido, podemos decir que la estadística
paramétrica toma en consideración un
“espacio paramétrico”. En el caso del supuesto
de normalidad este espacio paramétrico
vendría dado por todos los valores posibles
para y . Este espacio, se puede
representar gráficamente

• Es importante señalar que valores como la
mediana, el rango, etc., no son parámetros de
una distribución normal. Así, los únicos
parámetros de la distribución normal son y
 ya que son los valores que aparecen en su
definición analítica:

• Sin embargo, toda función normal tiene
mediana (o cualquier estadístico de sesgo,
curtosis, etc.). De forma sucinta, la mediana
no es un parámetro de la función normal (ni
ningún otro estadístico de posición) porque no
aparece en la expresión analítica que la
define.

• Pongamos otro ejemplo de familia
paramétrica. Si asumimos que el fenómeno
que estamos estudiando se distribuye según
una Binomial, entonces tendremos que
realizar una búsqueda en el espacio de todas
las funciones binomiales. Estas funciones
tienen dos parámetros: n y p (el número de
ensayos o veces que se repite un experimento
de Bernouilli y la probabilidad de éxito en
cada ensayo, respectivamente).

• Sabemos que n tiene que ser un número
natural y es igual al número de elementos
muestreados. Por su parte, p se encuentra en
el intervalo cerrado [0, 1], es decir, que puede
tomar cualquier valor entre 0 y 1, incluyendo
estos valores. Por ello el espacio de búsqueda
paramétrico viene dado por los intervalos [0,
1] para cada n entero.
• Dado un valor concreto de n, el espacio de
búsqueda sería el intervalo desde 0 hasta 1.

• De la misma forma que antes, p y n son
parámetros de la distribución binomial porque
aparecen en su expresión analítica:

• Podemos decir que la aparición de una
variable que no sea la variable independiente
(v.g., x) en la expresión analítica de una
función de densidad de probabilidad (f.p.d) la
caracteriza como un parámetro de esa
distribución porque define a la distribución.
• Por su parte, los parámetros caracterizan
unívocamente a la función.

• En definitiva, la denominación de “técnicas
paramétricas” procede de la búsqueda de los
parámetros subyacentes a unos datos
asumiendo que éstos se distribuyen en la
población según una función de probabilidad
o de densidad de probabilidad concreta .
• Todos los tests paramétricos asumen una
determinada forma (normal, binomial, etc.)
para la distribución poblacional de los datos
observados en la muestra (variable
dependiente) y esta forma depende de unos
parámetros, distintos y propios de cada f.d.p.

• Pero a veces nos encontramos con datos,
poblaciones o situaciones en que no podemos
asumir los supuestos subyacentes a los tests
paramétricos y necesitamos procedimientos
cuya validez no dependa de esos supuestos.
En este caso se nos hace necesario acudir a
otro conjunto de técnicas que no exijan buscar
los parámetros de la distribución poblacional
de los datos.

• Por contraposición a los anteriores métodos,
se los conoce como “métodos no
paramétricos”.
• Los contrastes de hipótesis no paramétricos se
realizan con datos procedentes de una
población en la que la variable de estudio no
tiene una distribución de probabilidad
conocida.

Las etapas de un contraste de hipótesis las
vamos a resumir en los siguientes puntos:
1. Condiciones de la investigación y supuestos
que cumplen los datos observados.
2. Formulación de la hipótesis nula y de la
alternativa.
3. Estadístico de contraste.
4. Regla de decisión.

Condiciones de la investigación y
supuestos que cumplen los datos
observados
• Al diseñar cualquier investigación se puede
trabajar con una, dos, tres o más muestras, las
cuales pueden ser independientes o
relacionadas, seleccionadas por muestreo
aleatorio o no y en los que se recoge
información sobre una o más variables
medidas con la misma o diferentes escalas de
medida (nominal, ordinal, de intervalo o de
razón).

Condiciones de la investigación y
supuestos que cumplen los datos
observados
• Estos datos pueden provenir de poblaciones en la
que la variable de estudio tiene una determinada
distribución de probabilidad conocida o desconocida.
Todas estas características tanto del diseño como de
los datos condicionan tanto la hipótesis que se
puede someter a contrastación empírica como el
procedimiento de análisis de datos más adecuado
para someter a contrastación empírica la hipótesis.

Formulación de la hipótesis nula y de
la alternativa

• De acuerdo a los objetivos de la investigación
se formula la hipótesis que genera un
contraste bilateral o unilateral.

Estadístico de contraste
• El estadístico de contraste es un valor
numérico que se calcula aplicando una
fórmula especial a los datos muestrales y que
asegura que la distribución muestral del
mismo en todas las muestras posibles sigue
una forma funcional conocida y tabulada.
• El valor que adopta el estadístico de contraste
se considera como una medida de la
discrepancia entres los datos observados y los
datos teóricos planteados en la hipótesis nula.

Estadístico de contraste
• Esta medida es una variable aleatoria con una
determinada distribución de probabilidad
(normal, t, chi-cuadrado, etc.) que va a
aportar información empírica sobre la
afirmación hecha en H0. Su elección
dependerá de las condiciones de investigación
y los supuestos que cumplan los datos
observados: nivel de medida de los datos,
varianza poblacional conocida (o no), etc.

Regla de decisión
• Una vez calculado el estadístico de contraste o
discrepancia entre los datos empíricos
observados en la muestra y los datos teóricos
que planteamos en la hipótesis nula queda
tomar una decisión respecto al rechazo o no
de la hipótesis nula.

Regla de decisión
• Para ello, hay que establecer el nivel de confianza (y
su complementario, o nivel de significación alpha)
que representa la probabilidad para no rechazar H0
siendo cierta y calcular la probabilidad de obtener
unos resultados como los observados en la muestra
bajo la hipótesis de la veracidad de H0.
• Esta última probabilidad recibe el nombre de nivel p-
crítico. Si el nivel p-crítico es muy pequeño en
comparación con  rechazamos la H0 y en caso
,
contrario la mantenemos.

• Si, bajo el supuesto de que H0 es cierta, se calcula la
probabilidad de obtener unos resultados como los
observados en la muestra (nivel p-crítico):
• Si esta probabilidad es muy pequeña en comparación
con alpha, pueden ocurrir dos cosas:
– o bien la hipótesis nula es cierta y se ha producido una
situación muy poco probable (pero no imposible)
– o bien la hipótesis nula es falsa.

Parece más lógico (o probable) inclinarse por esta
segunda opción y ante la evidencia que
proporcionan los datos obtenidos en la
investigación, se opta por rechazar la hipótesis
nula, asumiendo que esta afirmación tiene un
cierto riesgo o probabilidad de equivocarnos.

• Por otra parte, al fijar el nivel de significación,
automáticamente se fija el valor o valores
críticos de la distribución muestral que
marcará la máxima diferencia que podemos
admitir, por simple azar, entre el valor teórico
planteado en H0 y el valor obtenido en la
muestra.

• Este valor, o valores críticos, definen -en la
distribución muestral del estadístico de
contraste- los límites entre la zona de rechazo
o no de la H0-.

• La zona de rechazo depende del
nivel de significación, 1- y es el
,
área de la distribución muestral que
corresponde a un valor de la
discrepancia tan alejado de H0 que la
probabilidad de que se produzca es
muy baja, si efectivamente H0 es
verdadera.

• La región de no rechazo, complementaria a la
anterior depende del nivel de confianza y es el
área de la distribución muestral que
corresponde a valores pequeños de la
discrepancia tan poco alejados la H0 que la
probabilidad de que se produzca es alta si
efectivamente la H0 es verdadera, por lo que
no representa evidencia suficiente para
rechazarla.

• Por tanto, el valor o valores críticos
corresponden a la máxima diferencia teórica
que cabe esperar por simple azar entre los
datos empíricos y los datos teóricos, de tal
forma que si el estadístico de contraste se
sitúa en la zona de NO rechazo, podemos
concluir que la diferencia observada no es
significativa y se debe a los errores aleatorios
por lo que no podemos rechazar la hipótesis
nula con un determinado nivel de confianza.

• De forma similar si el estadístico de contraste
se sitúa en la zona de rechazo indicaría que la
diferencia observada entre los datos empíricos
y los datos teóricos no puede atribuirse a
errores aleatorias y concluimos que la
diferencia observada es significativa, lo que
nos lleva a rechazar la hipótesis nula con un
determinado nivel de confianza.

• Con independencia de la forma de la función
de distribución del estadístico de contraste, si
el contraste es bilateral tendremos tres zonas
delimitadas por los dos valores críticos de la
distribución muestral

• Si el contraste es unilateral izquierdo solo
tendremos dos zonas, siendo la región de
rechazo la situada en la parte izquierda de la
distribución.

• Si el contraste es unilateral derecho, la región
de rechazo se situará en la parte derecha de la
distribución muestral

• En cualquier caso, ya sea comparando el
estadístico de contraste con el valor crítico o
comparando el nivel p-crítico con el nivel de
significación, la decisión que se toma respecto
a la H0 es la misma.

• Puesto que no hay verdades absolutas y
siempre existe un riesgo de error,
formalmente la hipótesis nula NUNCA se
acepta (solo No se rechaza).

Conclusión
• Formulada la hipótesis nula, que es la que
sometemos a contrastación empírica asumiendo que
es provisionalmente verdadera y una vez calculado el
estadístico de contraste, se concluye rechazando o
no la hipótesis nula (lógica “crisp”).
• Si no tenemos evidencia suficiente para rechazarla,
se está señalando que la hipótesis se mantiene
porque es compatible con la evidencia muestral (el
acusado en el juicio no es culpable), y si se rechaza
se quiere significar que la evidencia muestral no
avala la hipótesis (las pruebas están en contra del
acusado) y por tanto se rechaza.

Interpretación
• La conclusión en términos de rechazo o no de
la hipótesis nula tiene su correspondiente
interpretación dentro del contexto de la
investigación y de la hipótesis y objetivos que
el investigador formula en su trabajo.

Ordalía

• Yo que ponía la mano dentro del
fuego por ti, mira como me he
quemado de tanta fé que te dí.

• Diana Navarro, Una y no más. (2.20 seg.)

JOKE OF THE DAY

Statistics play an important role in
genetics. For instance, statistics
prove that numbers of offspring
is an inherited trait. If your
parent didn't have any kids,
odds are you won't either.

Joke of the day
• Checking some questionnaires that had just
been filled in, a census clerk was amazed to
note that one of them contained figures 121
and 125 in the spaces for "Age of Mother, If
Living" and "Age of Father, if Living." "Surely
your parents can't be as old as this?" asked
the incredulous clerk.
• "Well no," was the answer, "but they would
be IF LIVING!"

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