Manual analisis-de-algoritmos

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Colaboraron en el presente manual:
Víctor Valenzuela Ruz
v_valenzuela@inacap.cl
Docente
Ingeniería en Gestión Informática
INACAP Copiapó

Copyright
© 2003 de Instituto Nacional de Capacitación. Todos los derechos reservados. Copiapó, Chile.
Este documento puede ser distribuido libre y gratuitamente bajo cualquier soporte siempre y
cuando se respete su integridad.
Queda prohibida su venta y reproducción sin permiso expreso del autor.

PPrreeffaacciioo
"Lo que debemos aprender a hacer lo aprendemos haciéndolo".
Aristóteles, Ethica Nicomachea II (325 A.C.)
El presente documento ha sido elaborado originalmente como apoyo a la
asignatura de “Análisis y Diseño de Algoritmos” del séptimo semestre de la
carrera de Ingeniería en Gestión Informática, del Instituto Nacional de
Capacitación (INACAP). Este documento engloba la mayor parte de la materia
de este curso troncal e incluye ejemplos resueltos y algunos ejercicios que serán
desarrollados en clases.
El manual ha sido concebido para ser leído en forma secuencial, pero también
para ser de fácil consulta para verificar algún tema específico.
No se pretende que estos apuntes sustituyan a la bibliografía de la asignatura ni
a las clases teóricas, sino que sirvan más bien como complemento a las notas
que el alumno debe tomar en clases. Asimismo, no debe considerarse un
documento definitivo y exento de errores, si bien ha sido elaborado con
detenimiento y revisado exhaustivamente.
El autor pretende que sea mejorado, actualizado y ampliado con cierta
frecuencia, lo que probablemente desembocará en sucesivas versiones, y para
ello nadie mejor que los propios lectores para plantear dudas, buscar errores y
sugerir mejoras.
El Autor.
Copiapó, Enero 2003

ÍÍnnddiiccee GGeenneerraall
Página
Presentación 7
1. Introducción
1.1. Motivación y Objetivos 8
1.2. Algunas Notas sobre la Historia de los Algoritmos 10
1.3. Fundamentos Matemáticos 11
2. Algoritmos y Problemas
2.1. Definición de Algoritmo 18
2.2. Formulación y Resolución de Problemas 19
2.3. Razones para Estudiar los Algoritmos 22
2.4. Formas de Representación de Algoritmos 23
2.5. La Máquina de Turing 24
3. Eficiencia de Algoritmos
3.1. Introducción 25
3.2. Concepto de Eficiencia 25
3.3. Medidas de Eficiencia 26
3.4. Análisis A Priori y Prueba A Posteriori 27
3.5. Concepto de Instancia 27
3.6. Tamaño de los Datos 28
3.7. Cálculo de Costos de Algoritmos
3.7.1. Cálculo de eficiencia en análisis iterativo 29
3.7.2. Cálculo de eficiencia en análisis recursivo 29
3.8. Principio de Invarianza 31
3.9. Análisis Peor Caso, Mejor Caso y Caso Promedio 31
4. Análisis de Algoritmos
4.2. Tiempos de Ejecución 34
4.3. Concepto de Complejidad 36
4.4. Órdenes de Complejidad 37
4.5. Notación Asintótica
4.5.1. La O Mayúscula 39
4.5.2. La o Minúscula 39
4.5.3. Diferencias entre O y o 42
4.5.4. Las Notaciones Ω y Θ 42
4.5.5. Propiedades y Cotas más Usuales 42
4.6. Ecuaciones de Recurrencias
4.6.1. Introducción 45
4.6.2. Resolución de Recurrecias 45

4.6.3. Método del Teorema Maestro 45
4.6.4. Método de la Ecuación Característica 46
4.6.5. Cambio de Variable 48
4.7. Ejemplos y Ejercicios 49
5. Estrategias de Diseño de Algoritmos
5.2. Recursión 51
5.3. Dividir para Conquistar 55
5.4. Programación Dinámica 57
5.5. Algoritmos Ávidos 58
5.6. Método de Retroceso (backtracking) 60
5.7. Método Branch and Bound 61
6. Algoritmos de Ordenamiento
6.1. Concepto de Ordenamiento 63
6.2. Ordenamiento por Inserción 63
6.3. Ordenamiento por Selección 64
6.4. Ordenamiento de la Burbuja (Bublesort) 65
6.5. Ordenamiento Rápido (Quicksort) 65
6.6. Ordenamiento por Montículo (Heapsort) 68
6.7. Otros Métodos de Ordenamiento
6.7.1. Ordenamiento por Incrementos Decrecientes 74
6.7.2. Ordenamiento por Mezclas Sucesivas 75
7. Algoritmos de Búsqueda
7.2. Búsqueda Lineal 78
7.3. Búsqueda Binaria 80
7.4. Árboles de Búsqueda 81
7.5. Búsqueda por Transformación de Claves (Hashing) 81
7.6. Búsqueda en Textos
7.6.1. Algoritmo de Fuerza Bruta 88
7.6.2. Algoritmo de Knuth-Morris-Pratt 88
7.6.3. Algoritmo de Boyer-Moore 92
8. Teoría de Grafos
8.1. Definiciones Básicas 97
8.2. Representaciones de Grafos
8.2.1. Matriz y Lista de Adyacencia 101
8.2.2. Matriz y Lista de Incidencia 103
8.3. Recorridos de Grafos
8.3.1. Recorridos en Amplitud 104
8.3.2. Recorridos en Profundidad 106
8.4. Grafos con Pesos 108
8.5. Árboles 108

8.6. Árbol Cobertor Mínimo
8.6.1. Algoritmo de Kruskal 109
8.6.2. Algoritmo de Prim 111
8.7. Distancias Mínimas en un Grafo Dirigido
8.7.1. Algoritmo de Dijkstra 113
8.7.2. Algoritmo de Ford 114
8.7.3. Algoritmo de Floyd-Warshall 115
9. Complejidad Computacional
9.2. Algoritmos y Complejidad 118
9.3. Problemas NP Completos 118
9.4. Problemas Intratables 121
9.5. Problemas de Decisión 123
9.6. Algoritmos No Determinísticos 124
Bibliografía 126

Presentación
El curso de Análisis y Diseño de Algoritmos (ADA) tiene como propósito
fundamental proporcionar al estudiante las estructuras y técnicas de manejo de
datos más usuales y los criterios que le permitan decidir, ante un problema
determinado, cuál es la estructura y los algoritmos óptimos para manipular los
datos.
El curso está diseñado para proporcionar al alumno la madurez y los
conocimientos necesarios para enfrentar, tanto una gran variedad de los
problemas que se le presentarán en su vida profesional futura, como aquellos que
se le presentarán en los cursos más avanzados.
El temario gira en torno a dos temas principales: estructuras de datos y análisis de
algoritmos. Haciendo énfasis en la abstracción, se presentan las estructuras de
datos más usuales (tanto en el sentido de útiles como en el de comunes), sus
definiciones, sus especificaciones como tipos de datos abstractos (TDA's), su
implantación, análisis de su complejidad en tiempo y espacio y finalmente algunas
de sus aplicaciones. Se presentan también algunos algoritmos de ordenación, de
búsqueda, de recorridos en gráficas y para resolver problemas mediante recursión
y retroceso mínimo analizando también su complejidad, lo que constituye una
primera experiencia del alumno con el análisis de algoritmos y le proporcionará
herramientas y madurez que le serán útiles el resto de su carrera.
Hay que enfatizar que el curso no es un curso de programación avanzada, su
objetivo es preparar al estudiante brindándole una visión amplia de las
herramientas y métodos más usuales para la solución de problemas y el análisis de
la eficiencia de dichas soluciones. Al terminar el curso el alumno poseerá un
nutrido "arsenal" de conocimientos de los que puede echar mano cuando lo
requiera en su futura vida académica y profesional. Sin embargo, dadas estas
características del curso, marca generalmente la frontera entre un programador
principiante y uno maduro, capaz de analizar, entender y programar sistemas de
software más o menos complejos.
Para realizar las implantaciones de las distintas estructuras de datos y de los
algoritmos que se presentan en el curso se hará uso del lenguaje de programación
MODULA-2, C++ y Java.

Capítulo 1
Introducción
1.1 Motivación y Objetivos
La representación de información es fundamental para las Ciencias de la
Computación.
La Ciencia de la Computación (Computer Science), es mucho más que el
estudio de cómo usar o programar las computadoras. Se ocupa de
algoritmos, métodos de calcular resultados y máquinas autómatas.
Antes de las computadoras, existía la computación, que se refiere al uso de
métodos sistemáticos para encontrar soluciones a problemas algebraicos o
simbólicos.
Los babilonios, egipcios y griegos, desarrollaron una gran variedad de
métodos para calcular cosas, por ejemplo el área de un círculo o cómo
calcular el máximo común divisor de dos números enteros (teorema de
Euclides).
En el siglo XIX, Charles Babbage describió una máquina que podía liberar a
los hombres del tedio de los cálculos y al mismo tiempo realizar cálculos
confiables.
La motivación principal de la computación por muchos años fue la de
desarrollar cómputo numérico más preciso. La Ciencia de la Computación
creció del interés en sistemas formales para razonar y la mecanización de la
lógica, así cómo también del procesamiento de datos de negocios. Sin
embargo, el verdadero impacto de la computación vino de la habilidad de las
computadoras de representar, almacenar y transformar la información.
La computación ha creado muchas nuevas áreas como las de correo
electrónico, publicación electrónica y multimedia.
La solución de problemas del mundo real, ha requerido estudiar más de
cerca cómo se realiza la computación. Este estudio ha ampliado la gama de
problemas que pueden ser resueltos.
Por otro lado, la construcción de algoritmos es una habilidad elegante de un
gran significado práctico. Computadoras más poderosas no disminuyen el
significado de algoritmos veloces. En la mayoría de las aplicaciones no es el
hardware el cuello de botella sino más bien el software inefectivo.

Este curso trata de tres preguntas centrales que aparecen cuando uno quiere
que un computador haga algo: ¿Es posible hacerlo? ¿Cómo se hace? y ¿Cuán
rápido puede hacerse? El curso da conocimientos y métodos para responder
estas preguntas, al mismo tiempo intenta aumentar la capacidad de
encontrar algoritmos efectivos. Los problemas para resolver, son un
entrenamiento en la solución algorítmica de problemas, y para estimular el
aprendizaje de la materia.
Objetivos Generales:
1. Introducir al alumno en el análisis de complejidad de los algoritmos,
así como en el diseño e implementación de éstos con las técnicas y
métodos más usados.
2. Desarrollar habilidades en el uso de las técnicas de análisis y diseño
de algoritmos computacionales.
3. Analizar la eficiencia de diversos algoritmos para resolver una
variedad de problemas, principalmente no numéricos.
4. Enseñar al alumno a diseñar y analizar nuevos algoritmos.
5. Reconocer y clasificar los problemas de complejidad polinómica y no
polinómica.
Metas del curso:
Al finalizar este curso, el estudiante debe estar capacitado para:
• analizar, diseñar e implementar algoritmos iterativos y recursivos
correctos.
• medir la eficiencia de algoritmos iterativos y recursivos, y de tipos o
clases de datos orientados por objetos.
• utilizar la técnica de diseño de algoritmos más adecuada para una
aplicación en particular.
• definir la aplicabilidad de las diferentes técnicas de búsqueda y
ordenamiento, del procesamiento de cadenas de caracteres, de los
métodos geométricos, del uso de los algoritmos de grafos, de los
algoritmos paralelos y de los algoritmos de complejidad no
polinómica.
• diferenciar entre los algoritmos de complejidad polinómica y no
polinómica.

1.2 Algunas Notas sobre la Historia de los Algoritmos
El término proviene del matemático árabe Al'Khwarizmi, que escribió un
tratado sobre los números. Este texto se perdió, pero su versión latina,
Algoritmi de Numero Indorum, sí se conoce.
El trabajo de Al'Khwarizmipermitió preservar y difundir el conocimiento de
los griegos (con la notable excepción del trabajo de Diofanto) e indios,
pilares de nuestra civilización. Rescató de los griegos la rigurosidad y de los
indios la simplicidad (en vez de una larga demostración, usar un diagrama
junto a la palabra Mira). Sus libros son intuitivos y prácticos y su principal
contribución fue simplificar las matemáticas a un nivel entendible por no
expertos. En particular muestran las ventajas de usar el sistema decimal
indio, un atrevimiento para su época, dado lo tradicional de la cultura árabe.
La exposición clara de cómo calcular de una manera sistemática a través de
algoritmos diseñados para ser usados con algún tipo de dispositivo mecánico
similar a un ábaco, más que con lápiz y papel, muestra la intuición y el poder
de abstracción de Al'Khwarizmi. Hasta se preocupaba de reducir el número
de operaciones necesarias en cada cálculo. Por esta razón, aunque no haya
sido él el inventor del primer algoritmo, merece que este concepto esté
asociado a su nombre.
Los babilonios que habitaron en la antigua Mesopotania, empleaban unas
pequeñas bolas hechas de semillas o pequeñas piedras, a manera de
"cuentas" y que eran agrupadas en carriles de caña. Más aún, en 1.800 A.C.
un matemático babilónico inventó los algoritmos que le permitieron resolver
problemas de cálculo numérico.
En 1850 A.C., un algoritmo de multiplicación similar al de expansión binaria
es usado por los egipcios.
La teoría de las ciencias de la computación trata cualquier objeto
computacional para el cual se puede crear un buen modelo. La investigación
en modelos formales de computación se inició en los 30's y 40's por Turing,
Post, Kleene, Church y otros. En los 50's y 60's los lenguajes de
programación, compiladores y sistemas operativos estaban en desarrollo,
por lo tanto, se convirtieron tanto en el sujeto como la base para la mayoría
del trabajo teórico.
El poder de las computadoras en este período estaba limitado por
procesadores lentos y por pequeñas cantidades de memoria. Así, se
desarrollaron teorías (modelos, algoritmos y análisis) para hacer un uso
eficiente de ellas. Esto dio origen al desarrollo del área que ahora se conoce
como "Algoritmos y Estructuras de Datos". Al mismo tiempo se hicieron
estudios para comprender la complejidad inherente en la solución de
algunos problemas. Esto dió origen a lo que se conoce como la jerarquía de
problemas computacionales y al área de "Complejidad Computacional".

1.3 Fundamentos Matemáticos
Monotonicidad
Una función f es monótona si es creciente o decreciente. Es creciente si
rige la implicación siguiente:
∀ n0, n1 : (n1 = n2) è f(n1) = f(n2 )
Es decreciente si rige la implicación siguiente:
∀ n0, n1 : (n1 = n2) è f(n1) = f(n2 )
Una función f(n) es monotónicamente creciente si m ≤ n implica que
f(m) ≤ f(n). Similarmente, es monotónicamente decreciente si m ≤ n
implica que f(m) ≥ f(n). Una función f(n) es estrictamente crecientesi
m < n implica que f(m) < f(n) y estrictamente decreciente si m < n
implica que f(m) > f(n).
Conjuntos
Un conjunto es una colección de miembros o elementos distinguibles. Los
miembros se toman típicamente de alguna población más grande conocida
como tipo base. Cada miembro del conjunto es un elemento primitivo
del tipo base o es un conjunto. No hay concepto de duplicación en un
conjunto.
Un orden lineal tiene las siguientes propiedades:
• Para cualesquier elemento a y b en el conjunto S, exactamente uno de
a < b, a = b, o a > b es verdadero.
• Para todos los elementos a, b y c en el conjunto S, si a < b, y b < c,
entonces a < c. Esto es conocido como la propiedad de
transitividad.
Permutación
Una permutación de una secuencia es simplemente los elementos de la
secuencia arreglados en cualquier orden. Si la secuencia contiene n
elementos, existe n! permutaciones.

Funciones Piso y Techo
Piso (floor) y techo (ceiling) de un número real x. Son respectivamente
el mayor entero menor o igual que x, y el menor entero mayor o igual a x.
Para cualquier número real x, denotamos al mayor entero, menor que o igual
a x como floor(x), y al menor entero, mayor que o igual a x como
ceiling(x); (floor=piso, ceiling=techo). Para toda x real,
x - 1 < floor(x) ≤ x ≤ ceiling(x) < x + 1
Para cualquier entero n,
ceiling(x/2) + floor(x/2) = n,
y para cualquier entero n y enteros a ≠ 0 y b ≠ 0,
ceiling(ceiling(n/a)/b) = ceiling(n/ab) y
floor(floor(n/a)/b) = floor(n/ab).
Las funciones floory ceiling son monótonas crecientes.
Operador módulo
Esta función regresa el residuo de una división entera. Generalmente se
escribe n mod m, y el resultado es el entero r, tal que n= qm+r para q un
entero y/0 menor o igual que r y r < m.
Por ejemplo: 5 mod 3 = 2 y 25 mod 3 = 1
Polinomios
Dado un entero positivo d, un polinomio en n de grado d es una función
p(n) de la forma:
p(n) = ∑ d*ai ni
i=0
donde las constantes a0, a1,..., ad son los coeficientes del polinimio y ad ≠
0. Un polinomio es asintóticamente positivo si y sólo si ad > 0. Para un
polinomio asintóticamente positivo p(n) de grado d, tenemos que p(n) =
O(nd). Para cualquier constante real a ≥ 0, la función na es monótona
creciente, y para cualquier constante real a ≤ 0, la función na es monótona
decreciente. Decimos que una función f(n) es polinomialmente acotada
si f(n) = nO(1), que es equivalente en decir que f(n) = O(nk) para alguna
constante k.

Exponenciales
Para toda a ≠ 0, m y n, tenemos las siguientes identidades:
aº = 1
a¹ = a
a(-1) =1/a
(a m) n = a m n
(a m) n = (a n)m
a m a n = a m +n
Para todo n y a ≥ ,1
lim nà ∞ nb/an = 0
de lo que concluimos que nb=o(an).
Entonces, cualquier función exponencial positiva crece más rápido que
cualquier polinomio.
i=0
exp(x) = ∑ x i /(i!)
∞
Logaritmos
Un logaritmo de base b para el valor y, es la potencia al cual debe elevarse
b para obtener y. Logb y = x ó bx =y.
Usos para los logaritmos:
• ¿Cuál es el número mínimo de bits necesarios para codificar una
colección de objetos? La respuesta es techo(log2 n).
• Por ejemplo, si se necesitan 1000 códigos que almacenar, se
requerirán al menos techo(log2 1000) = 10 bits para tener 1000
códigos distintos. De hecho con 10 bits hay 1024 códigos distintos
disponibles.
• Análisis de algoritmos que trabajan rompiendo un problema en
subproblemas más pequeños. Por ejemplo, la búsqueda binaria de un
valor dado en una lista ordenada por valor. ¿Cuántas veces puede
una lista de tamaño n ser divida a la mitad hasta que un sólo
elemento quede en la lista final? La respuesta es log2 n.

Los logaritmos tienen las siguientes propiedades:
• log nm = log n + log m
• log n/m = log n – log m
• log nr = r log n
• loga n = logb n/ logb a (para a y b enteros)
Esta última propiedad dice que el logaritmo de n en distintas bases, está
relacionado por una constante (que es logaritmo de una base en la otra). Así
que análisis de complejidad que se hacen en una base de logaritmos, pueden
fácilmente traducirse en otra, simplemente con un factor de
proporcionalidad.
Factoriales
La notación n! se define para los enteros n ≥ 0 como:
1 si n=0
n! =
n·(n-1)! si n>0
Entonces, n!=1·2·3·4 ··· n.
Una cota superior débil de la función factorial es n! ≤ nn, pues cada uno de
los n términos en el producto factorial es a lo más n. La aproximación de
Stirling, proporciona una cota superior ajustada, y también una cota
inferior:
n! = sqrt{2pn} (n/e)n (1 + Q(1/n))
donde e es la base del logaritmo natural. Usando la aproximación de
Stirling, podemos demostrar que:
n! = o(nn)
n! = (2n)
lg(n!) = Q(n lg n)
Números de Fibonacci
Los números de Fibonacci se definen por la siguiente recurrencia:
F0 = 0
F1 = 1
Fi = Fi-1 + Fi-2 para i ≥ 2

Entonces cada número de Fibonacci es la suma de los números previos,
produciendo la sucesión:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
Recursión
Un algoritmo es recursivo si se llama a sí mismo para hacer parte del
trabajo. Para que este enfoque sea exitoso, la llamada debe ser en un
problema menor que al originalmente intentado.
En general, un algoritmo recursivo tiene dos partes:
• El caso base, que maneja una entrada simple que puede ser resuelta
sin una llamada recursiva
• La parte recursiva, que contiene una o más llamadas recursivas al
algoritmo, donde los parámetros están en un sentido más cercano al
caso base, que la llamada original.
Ejemplos de aplicación: cálculo del factorial, torres de Hanoi y función de
Ackermann.
Sumatorias y recurrencias
Las sumatorias se usan mucho para el análisis de la complejidad de
programas, en especial de ciclos, ya que realizan conteos de operaciones
cada vez que se entra al ciclo.
Cuando se conoce una ecuación que calcula el resultado de una sumatoria,
se dice que esta ecuación representa una solución en forma cerrada.
Ejemplos de soluciones en forma cerrada:
• Σ i = n(n+1)/2
• Σ I 2 = (2n 3 +3n 2 + n)/6
• Σ 1 log n n = n log n
• Σ∞
a i = 1/(1-a)
El tiempo de ejecución para un algoritmo recursivo está más fácilmente
expresado por una expresión recursiva.
Una relación de recurrencia define una función mediante una expresión
que incluye una o más instancias (más pequeñas) de si misma. Por ejemplo:

n! = (n-1)! n , 1! = 0! = 1
La secuencia de Fibonacci:
• Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2); Fib(1)=Fib(2)=1
• 1,1,2,3,5,8,13,...
Técnicas de Demostración Matemática
Prueba por contradicción
Es la forma más fácil de refutar un teorema o enunciado, es mediante un
contra-ejemplo. Desafortunadamente, no importa el número de ejemplos
que soporte un teorema, esto no es suficiente para probar que es correcto.
Para probar un teorema por contradicción, primero suponemos que el
teorema es falso. Luego encontramos una contradicción lógica que surja de
esta suposición. Si la lógica usada para encontrar la contradicción es
correcta, entonces la única forma de resolver la contradicción es suponer que
la suposición hecha fue incorrecta, esto es, concluir que el teorema debe ser
verdad.
Prueba por inducción matemática
La inducción matemática es como recursión y es aplicable a una variedad de
problemas.
La inducción proporciona una forma útil de pensar en diseño de algoritmos,
ya que lo estimula a pensar en resolver un problema, construyendo a partir
de pequeños subproblemas.
Sea T un teorema a probar, y expresemos T en términos de un parámetro
entero positivo n. La inducción matemática expresa que T es verdad para
cualquier valor de n, si las siguientes condiciones se cumplen:
• Caso base. T es verdad para n = 1
• Paso inductivo. Si T es verdad para n-1, => T es verdad para n.
Ejemplo de demostración del teorema:
La suma de los primeros n números enteros es n(n+1)/2.

Estimación
Consiste en hacer estimaciones rápidas para resolver un problema. Puede
formalizarse en tres pasos:
• Determine los parámetros principales que afectan el problema.
• Derive una ecuación que relacione los parámetros al problema.
• Seleccione valores para los parámetros, y aplique la ecuación para
obtener una solución estimada.
Ejemplo: ¿Cuántos libreros se necesitan para guardar libros que contienen
en total un millón de páginas?
Se estiman que 500 páginas de un libro requieren cerca de una pulgada en la
repisa del librero, con lo cual da 2000 pulgadas de repisa. Lo cual da 167
pies de repisa (aprox. 200 pies). Si una repisa es alrededor de 4 pies de
ancho, entonces se necesitan 50 repisas. Si un librero contiene 5 repisas,
entonces se necesitan 10 libreros.

Capítulo 2
Algoritmos y Problemas
2.1 Definición de Algoritmo
El concepto intuitivo de algoritmo, lo tenemos prácticamente todos: Un
algoritmo es una serie finita de pasos para resolver un problema.
Hay que hacer énfasis en dos aspectos para que un algoritmo exista:
1. El número de pasos debe ser finito. De esta manera el algoritmo debe
terminar en un tiempo finito con la solución del problema,
2. El algoritmo debe ser capaz de determinar la solución del problema.
De este modo, podemos definir algoritmo como un "conjunto de reglas
operacionales inherentes a un cómputo". Se trata de un método sistemático,
susceptible de ser realizado mecánicamente, para resolver un problema
dado.
Sería un error creer que los algoritmos son exclusivos de la informática.
También son algoritmos los que aprendemos en la escuela para multiplicar y
dividir números de varias cifras. De hecho, el algoritmo más famoso de la
historia se remonta a la antigüedad: se trata del algoritmo de Euclides para
calcular el máximo común divisor.
Siempre que se desee resolver un problema hay que plantearse qué
algoritmo utilizar. La respuesta a esta cuestión puede depender de
numerosos factores, a saber, el tamaño del problema, el modo en que está
planteado y el tipo y la potencia del equipo disponible para su resolución.
Características de un algoritmo
1. Entrada: definir lo que necesita el algoritmo
2. Salida: definir lo que produce.
3. No ambiguo: explícito, siempre sabe qué comando ejecutar.
4. Finito: El algoritmo termina en un número finito de pasos.
5. Correcto: Hace lo que se supone que debe hacer. La solución es
correcta
6. Efectividad: Cada instrucción se completa en tiempo finito. Cada
instrucción debe ser lo suficientemente básica como para que en
principio pueda ser ejecutada por cualquier persona usando papel y
lápiz.

7. General: Debe ser lo suficientemente general como para contemplar
todos los casos de entrada.
Así podemos, decir que un Algoritmo es un conjunto finito de
instrucciones precisas para resolver un problema.
Un algoritmo es un método o proceso seguido para resolver un problema.
Si el problema es visto como una función, entonces el algoritmo toma una
entrada y la transforma en la salida.
Un problema es una función o asociación de entradas con salidas. Un
problema puede tener muchos algoritmos.
Por tanto, un algoritmo es un procedimiento para resolver un problema
cuyos pasos son concretos y no ambiguos. El algoritmo debe ser correcto, de
longitud finita y debe terminar para todas las entradas. Un programa es
una instanciación de un algoritmo en un lenguaje de programación.
2.2 Formulación y Resolución de Problemas
Los algoritmos son los procedimientos que se construyen para la resolución
de cualquier problema. De este modo, cuando se refiere a la construcción de
un programa, nos estamos refiriéndo a la construcción de un algoritmo. El
algoritmo no es un concepto proveniente del campo de la computación, sino
que es un término matemático.
Los algoritmos los encontramos, o mejor, los ejecutamos a lo largo de
nuestras actividades diarias; por ejemplo, cuando hacemos una llamada
telefónica, tenemos en cuenta un conjunto de instrucciones mínimas y el
orden en el cual debemos ejecutarlas para conseguir comunicarnos con
alguien en particular; o cuando consultamos un diccionario, cuando se
prepara un menú, etc.
Podemos conceptuar que un algoritmo es un procedimiento que contiene un
conjunto finito de pasos que se deben ejecutar en un orden específico y
lógico, para solucionar los problemas.
Un algoritmo puede ser caracterizado por una función lo cual asocia una
salida: s= f (E) a cada entrada E.
Se dice entonces que un algoritmo calcula una función f. Entonces la entrada
es una variable independiente básica en relación a la que se producen las
salidas del algoritmo, y también los análisis de tiempo y espacio.

Cuando se tiene un problema para el cual debemos especificar un algoritmo
solución, tendremos en cuenta varios puntos:
o Si no se conoce un método para solucionar el problema en cuestión,
debemos hacer un análisis del mismo para llegar a una solución,
después de evaluar alternativas, exigencias y excepciones.
o Si se conoce un "buen" método de solución al problema, se debe
especificar exacta y completamente el método o procedimiento de
solución en un lenguaje que se pueda interpretar fácilmente.
o Los problemas pueden agruparse en conjunto de problemas que son
semejantes.
o En algún sentido, en general, un método para solucionar todos los
problemas de un conjunto dado, se considera superior a un método
para solucionar solamente un problema del conjunto.
o Hay criterios para determinar que tan "buena" es una solución,
distintos de ver si trabaja o no, o hasta qué punto es general la
aplicabilidad del método. Estos criterios involucran aspectos tales
como: eficiencia, elegancia, velocidad, etc.
Al definir con exactitud un método de solución para un problema, este debe
estar en capacidad de encontrarla si existe; en caso de que no exista, el
método debe reconocer esta situación y suspender cualquier acción.
Formular y resolver problemas constituye una actividad esencial de la vida.
Los modelos educativos se han dedicado a plantear problemas y enseñar
como solucionarlos. Sin embargo, no se enseña nunca técnicas de cómo
resolver problemas en general.
La formulación y resolución de problemas ha sido preocupación de los
psicólogos cuando hablan de la inteligencia del hombre. Ellos han concebido
esta capacidad como el concurso de ciertas destrezas mentales relacionadas
con lo que ya se ha aprendido y que incluyen:
o Capacidad de analizar los problemas.
o La rapidez y precisión con que acude al pensamiento.
o Una organización de ideas para garantizar que se posee la
información esencial que asegura el aprendizaje.
o Una retención clara del incremento de conocimiento.
No se trata de almacenar problemas y sus correspondientes soluciones, sino
de desarrollar una capacidad para hacer frente con éxito a situaciones
nuevas o desconocidas en la vida del hombre. Ante situaciones nuevas, el
que no sabe buscar soluciones se sentirá confuso y angustiado y entonces no
busca una estrategia y dará una primera solución para poner punto final a su
agonía.

El que sabe buscar soluciones, selecciona la estrategia que le parece más
cercana a la requerida y hace una hábil adaptación que se ajusta a la nueva
demanda.
Al movernos dentro de la informática no siempre encontramos los
problemas a punto de resolverlos, es necesario empezar por hacer su
formulación. Se exige hacerlo en términos concisos y claros partiendo de las
bases o supuestos que se dispone para especificar sus requerimientos.
Sólo a partir de una buena formulación será posible diseñar una estrategia
de solución. Es necesario aprender a desligar estos dos procesos. No se
deben hacer formulaciones pensando paralelamente en posibles soluciones.
Es necesario darle consistencia e independencia para determinar con
precisión a qué se quiere dar solución y luego canalizar una gama de
alternativas posibles.
Si ya se ha realizado la formulación del problema podemos cuestionarla con
el fin de entender bien la naturaleza del problema.
En nuestra área, el análisis de un problema tiene dos etapas claramente
definidas y relacionadas:
o Formulación o planteamiento del problema.
o Resolución del problema.
A su vez, la formulación la podemos descomponer en tres etapas:
o Definición del problema.
o Supuestos: aserciones y limitaciones suministradas.
o Resultados esperados.
La fase de planteamiento del problema lo que pretende un algoritmo es
sintetizar de alguna forma una tarea, cálculo o mecanismo antes de ser
transcrito al computador. Los pasos que hay que seguir son los siguientes:
o Análisis previo del problema.
o Primera visión del método de resolución.
o Descomposición en módulos.
o Programación estructurada.
o Búsqueda de soluciones parciales.
o Ensamblaje de soluciones finales.
La fase de resolución del problema se puede descomponer en tres
etapas:
o Análisis de alternativas y selección de la solución.
o Especificación detallada del procedimiento solución.

o Adopción o utilización de una herramienta para su
implementación, si es necesaria.
Hay que notar que el computador es un medio y no es el fin en la solución de
problemas.
En otras palabras, no es el computador el que soluciona los problemas,
somos nosotros quienes lo hacemos y de alguna manera le contamos como
es la cosa para que él con su velocidad y exactitud trabaje con grandes
volúmenes de datos.
En el campo de las ciencias de la computación la solución de problemas se
describe mediante el diseño de procedimientos llamados algoritmos, los
cuales posteriormente se implementan como programas. Los
programas son procedimientos que solucionan problemas y que se
expresan en un lenguaje conocido por el computador.
Se pueden dar problemas que por su tamaño es necesario subdividirlos en
problemas más simples para solucionarlos, utilizando la filosofía de "Dividir
para conquistar". Se parte del principio de que es más fácil solucionar varios
problemas simples como partes de un todo que seguir una implantación de
"Todo o Nada". Desarrollar la capacidad de formular y resolver problemas
nos prepara para enfrentar situaciones desconocidas.
2.3 Razones para Estudiar los Algoritmos
Con el logro de computadores cada vez más rápidos se podría caer en la
tentación de preguntarse si vale la pena preocuparse por aumentar la
eficiencia de los algoritmos. ¿No sería más sencillo aguardar a la siguiente
generación de computadores?. Vamos a demostrar que esto no es así.
Supongamos que se dispone, para resolver un problema dado, de un
algoritmo que necesita un tiempo exponencial y que, en un cierto
computador, una implementación del mismo emplea 10-4 x 2n segundos.
Este programa podrá resolver un ejemplar de tamaño n=10 en una décima
de segundo. Necesitará casi 10 minutos para resolver un ejemplar de tamaño
20. Un día entero no bastará para resolver uno de tamaño 30. En un año de
cálculo ininterrumpido, a duras penas se resolverá uno de tamaño 38.
Imaginemos que necesitamos resolver ejemplares más grandes y
compramos para ello un computador cien veces más rápido. El mismo
algoritmo conseguirá resolver ahora un ejemplar de tamaño n en sólo 10-6 2n
segundos. ¡Qué decepción al constatar que, en un año, apenas se consigue
resolver un ejemplar de tamaño 45!
En general, si en un tiempo dado se podía resolver un ejemplar de tamaño n,
con el nuevo computador se resolverá uno de tamaño n+7 en ese mismo
tiempo.

Imaginemos, en cambio, que investigamos en algorítmica y encontramos un
algoritmo capaz de resolver el mismo problema en un tiempo cúbico. La
implementación de este algoritmo en el computador inicial podría necesitar,
por ejemplo, 10-2 n3 segundos. Ahora se podría resolver en un día un
ejemplar de un tamaño superior a 200. Un año permitiría alcanzar casi el
tamaño 1500.
Por tanto, el nuevo algoritmo no sólo permite una aceleración más
espectacular que la compra de un equipo más rápido, sino que hace dicha
compra más rentable.
Dado estos argumentos, podemos resumir las siguientes razones para
justificar el estudiar los algoritmos:
1. Evitar reinventar la rueda.
Para algunos problemas de programación ya existen buenos algoritmos
para solucionarlos. Para esos algoritmos ya fueron analizadas sus
propiedades. Por ejemplo, confianza en su correctitud y eficiencia.
2. Para ayudar cuando desarrollen sus propios algoritmos.
No siempre existe un algoritmo desarrollado para resolver un problema.
No existe regla general de creación de algoritmos. Muchos de los
principios de proyecto de algoritmos ilustrados por algunos de los
algoritmos que estudiaremos son importantes en todos los problemas de
programación. El conocimiento de los algoritmos bien definidos provee
una fuente de ideas que pueden ser aplicadas a nuevos algoritmos.
3. Ayudar a entender herramientas que usan algoritmos particulares. Por
ejemplo, herramientas de compresión de datos:
• Pack usa Códigos Huffman.
• Compress usa LZW.
• Gzip usa Lempel-Ziv.
4. Útil conocer técnicas empleadas para resolver problemas de
determinados tipos.
2.4 Formas de Representación de Algoritmos
Existen diversas formas de representación de algoritmos, pero no hay un
consenso con relación a cuál de ellas es mejor.
Algunas formas de representación de algoritmos tratan los problemas a un
nivel lógico, abstrayéndose de detalles de implementación, muchas veces
relacionados con un lenguaje de programación específico. Por otro lado,
existen formas de representación de algoritmos que poseen una mayor

riqueza de detalles y muchas veces acaban por oscurecer la idea principal, el
algoritmo, dificultando su entendimiento.
Dentro de las formas de representación de algoritmos más conocidas,
sobresalen:
• La descripción narrativa
• El Flujograma convencional
• El diagrama Chapin
• El pseudocódigo, o también conocido como lenguaje estructurado.
2.5 La Máquina de Turing
Alan Turing, en 1936 desarrolló su Máquina de Turing (la cual se cubre
en los cursos denominados Teoría de la Computación o Teoría de
Automátas), estableciendo que cualquier algoritmo puede ser representado
por ella.
Turing mostró también que existen problemas matemáticos bien definidos
para los cuales no hay un algoritmo. Hay muchos ejemplos de problemas
para los cuales no existe un algoritmo. Un problema de este tipo es el
llamado problema de paro (halting problem):
Dado un programa de computadora con sus entradas, ¿parará este
alguna vez?
Turing probó que no hay un algoritmo que pueda resolver correctamente
todas las instancias de este problema.
Alguien podría pensar en encontrar algunos métodos para detectar patrones
que permitan examinar el programa para cualquier entrada. Sin embargo,
siempre habrá sutilezas que escapen al análisis correspondiente.
Alguna persona más suspicaz, podría proponer simplemente correr el
programa y reportar éxito si se alcanza una declaración de fin.
Desgraciadamente, este esquema no garantiza por sí mismo un paro y en
consecuencia el problema no puede ser resuelto con los pasos propuestos.
Como consecuencia de acuerdo con la definición anterior, ese último
procedimiento no es un algoritmo, pues no se llega a una solución.
Muchas veces aunque exista un algoritmo que pueda solucionar
correctamente cualquier instancia de un problema dado, no siempre dicho
algoritmo es satisfactorio porque puede requerir de tiempos exageradamente
excesivos para llegar a la solución.

Capítulo 3
Eficiencia de Algoritmos
3.1 Introducción
Un objetivo natural en el desarrollo de un programa computacional es
mantener tan bajo como sea posible el consumo de los diversos recursos,
aprovechándolos de la mejor manera que se encuentre. Se desea un buen
uso, eficiente, de los recursos disponibles, sin desperdiciarlos.
Para que un programa sea práctico, en términos de requerimientos de
almacenamiento y tiempo de ejecución, debe organizar sus datos en una
forma que apoye el procesamiento eficiente.
Siempre que se trata de resolver un problema, puede interesar considerar
distintos algoritmos, con el fin de utilizar el más eficiente. Pero, ¿cómo
determinar cuál es "el mejor"?. La estrategia empírica consiste en
programar los algoritmos y ejecutarlos en un computador sobre algunos
ejemplares de prueba. La estrategia teórica consiste en determinar
matemáticamente la cantidad de recursos (tiempo, espacio, etc.) que
necesitará el algoritmo en función del tamaño del ejemplar considerado.
El tamaño de un ejemplar x corresponde formalmente al número de dígitos
binarios necesarios para representarlo en el computador. Pero a nivel
algorítmico consideraremos el tamaño como el número de elementos lógicos
contenidos en el ejemplar.
3.2 Concepto de Eficiencia
Un algoritmo es eficiente cuando logra llegar a sus objetivos planteados
utilizando la menor cantidad de recursos posibles, es decir, minimizando el
uso memoria, de pasos y de esfuerzo humano.
Un algoritmo es eficaz cuando alcanza el objetivo primordial, el análisis de
resolución del problema se lo realiza prioritariamente.
Puede darse el caso de que exista un algoritmo eficaz pero no eficiente, en lo
posible debemos de manejar estos dos conceptos conjuntamente.
La eficiencia de un programa tiene dos ingredientes fundamentales:
espacio y tiempo.
• La eficiencia en espacio es una medida de la cantidad de memoria
requerida por un programa.

• La eficiencia en tiempo se mide en términos de la cantidad de
tiempo de ejecución del programa.
Ambas dependen del tipo de computador y compilador, por lo que no se
estudiará aquí la eficiencia de los programas, sino la eficiencia de los
algoritmos. Asimismo, este análisis dependerá de si trabajamos con
máquinas de un solo procesador o de varios de ellos. Centraremos nuestra
atención en los algoritmos para máquinas de un solo procesador que
ejecutan una instruccióny luego otra.
3.3 Medidas de Eficiencia
Inventar algoritmos es relativamente fácil. En la práctica, sin embargo, no
se pretende sólo diseñar algoritmos, si no más bien que buenos algoritmos.
Así, el objetivo es inventar algoritmos y probar que ellos mismos son
buenos.
La calidad de un algoritmo puede ser avalada utilizando varios criterios.
Uno de los criterios más importantes es el tiempo utilizado en la ejecución
del algoritmos. Existen varios aspectos a considerar en cada criterio de
tiempo. Uno de ellos está relacionado con el tiempo de ejecución
requerido por los diferentes algoritmos, para encontrar la solución final de
un problema o cálculo particular.
Normalmente, un problema se puede resolver por métodos distintos, con
diferentes grados de eficiencia. Por ejemplo: búsqueda de un número en
una guía telefónica.
Cuando se usa un computador es importante limitar el consumo de
recursos.
Recurso Tiempo:
• Aplicaciones informáticas que trabajan “en tiempo real” requieren
que los cálculos se realicen en el menor tiempo posible.
• Aplicaciones que manejan un gran volumen de información si
no se tratan adecuadamente pueden necesitar tiempos
impracticables.
Recurso Memoria:
• Las máquinas tienen una memoria limitada.

3.4 Análisis A Priori y Prueba A Posteriori
El análisis de la eficiencia de los algoritmos (memoria y tiempo de ejecución)
consta de dos fases: Análisis A Priori y Prueba A Posteriori.
El Análisis A Priori (o teórico) entrega una función que limita el tiempo
de cálculo de un algoritmo. Consiste en obtener una expresión que indique el
comportamiento del algoritmo en función de los parámetros que influyan.
Esto es interesante porque:
• La predicción del costo del algoritmo puede evitar una
implementación posiblemente laboriosa.
• Es aplicable en la etapa de diseño de los algoritmos, constituyendo
uno de los factores fundamentales a tener en cuenta.
En la Prueba A Posteriori (experimental o empírica) se recogen
estadísticas de tiempo y espacio consumidas por el algoritmo mientras se
ejecuta. La estrategia empírica consiste en programar los algoritmos y
ejecutarlos en un computador sobre algunos ejemplares de prueba, haciendo
medidas para:
• una máquina concreta,
• un lenguaje concreto,
• un compilador concreto y
• datos concretos
La estrategia teórica tiene como ventajas que no depende del computador ni
del lenguaje de programación, ni siquiera de la habilidad del programador.
Permite evitar el esfuerzo inútil de programar algoritmos ineficientes y de
despediciar tiempo de máquina para ejecutarlos. También permite conocer
la eficiencia de un algoritmo cualquiera que sea el tamaño del ejemplar al
que se aplique.
3.5 Concepto de Instancia
Un problema computacional consiste en una caracterización de un
conjunto de datos de entrada, junto con la especificación de la salida
deseada en base a cada entrada.
Un problema computacional tiene una o más instancias, que son valores
particulares para los datos de entrada, sobre los cuales se puede ejecutar el
algoritmo para resolver el problema.
Ejemplo: el problema computacional de multiplicar dos números enteros
tiene por ejemplo, las siguientes instancias: multiplicar 345 por 4653,
multiplicar 2637 por 10000, multiplicar -32341 por 12, etc.

Un problema computacional abarca a otro problema computacional si las
instancias del segundo pueden ser resueltas como instancias del primero en
forma directa.
Ejemplo: Problema del Vendedor Viajero.
3.6 Tamaño de los Datos
Variable o expresión en función de la cual intentaremos medir la
complejidad del algoritmo.
Es claro que para cada algoritmo la cantidad de recurso (tiempo, memoria)
utilizados depende fuertemente de los datos de entrada. En general, la
cantidad de recursos crece a medida que crece el tamaño de la entrada.
El análisis de esta cantidad de recursos no es viable de ser realizado
instancia por instancia.
Se definen entonces las funciones de cantidad de recursos en base al
tamaño (o talla) de la entrada. Suele depender del número de datos del
problema. Este tamaño puede ser la cantidad de dígitos para un número, la
cantidad de elementos para un arreglo, la cantidad de caracteres de una
cadena, en problemas de ordenación es el número de elementos a ordenar,
en matrices puede ser el número de filas, columnas o elementos totales, en
algoritmos recursivos es el número de recursiones o llamadas propias que
hace la función.
En ocasiones es útil definir el tamaño de la entrada en base a dos o más
magnitudes. Por ejemplo, para un grafo es frecuente utilizar la cantidad de
nodos y de arcos.
En cualquier caso, se debe elegir la misma variable para comparar
algoritmos distintos aplicados a los mismos datos.
C1
C2
C3
C4
Una instancia de solución
sería:
<C1, C2 , C4, C3 >
con una longitud de 27.
10
5
6
9
3
9

3.7 Cálculo de Costos de Algoritmos
Queremos saber la eficiencia de los algoritmos, no del computador. Por ello,
en lugar de medir el tiempo de ejecución en microsegundos o algo por el
estilo, nos preocuparemos del númerode veces que se ejecuta una operación
primitiva (de tiempo fijo).
Para estimar la eficiencia de este algoritmo, podemos preguntarnos, "si el
argumento es una frase de N números, ¿cuántas multiplicaciones
realizaremos?" La respuesta es que hacemos una multiplicación por cada
número en el argumento, por lo que hacemos N multiplicaciones. La
cantidad de tiempo que se necesitaría para el doble de números sería el
doble.
3.7.1 Cálculo de eficiencia en análisis iterativo
Cuando se analiza la eficiencia, en tiempo de ejecución, de un algoritmo son
posibles distintas aproximaciones: desde el cálculo detallado (que puede
complicarse en muchos algoritmos si se realiza un análisis para distintos
contenidos de los datos de entrada, casos más favorables, caso peor,
hipótesis de distribución probabilística para los contenidos de los datos de
entrada, etc.) hasta el análisis asintótico simplificado aplicando reglas
prácticas.
En estos apuntes se seguirá el criterio de análisis asintótico simplificado, si
bien nunca se ha de dejar de aplicar el sentido común. Como en todos los
modelos simplificados se ha mantener la alerta para no establecer hipótesis
simplificadoras que no se correspondan con la realidad.
En lo que sigue se realizará una exposición basada en el criterio de exponer
en un apartado inicial una serie de reglas y planteamientos básicos
aplicables al análisis de eficiencia en algoritmos iterativos, en un segundo
apartado se presenta una lista de ejemplos que permitan comprender
algunas de las aproximaciones y técnicas expuestas.
3.7.2 Cálculo de eficiencia en análisis recursivo
Retomando aquí el socorrido ejemplo del factorial, tratemos de analizar el
coste de dicho algoritmo, en su versión iterativa , se tiene:
PROCEDURE Factorial(n : CARDINAL) : CARDINAL
BEGIN
VAR Resultado,i : CARDINAL ;
Resultado :=1 ;
FOR i :=1 TO n DO
Resultado :=Resultado*i;

END ;
RETURN Resultado
END Factorial ;
Aplicando las técnicas de análisis de coste en algoritmos iterativos de forma
rápida y mentalmente (es como se han de llegar a analizar algoritmos tan
simples como éste), se tiene: hay una inicialización antes de bucle, de coste
constante. El bucle se repite un número de veces n y en su interior se realiza
una operación de coste constante. Por tanto el algoritmo es de coste lineal o
expresado con algo más de detalle y rigor, si la función de coste del
algoritmo se expresa por T(n), se tiene que T(n) ? T.
Una versión recursiva del mismo algoritmo, es:
PROCEDURE Factorial(n: CARDINAL): CARDINAL;
BEGIN
IF n=0 THEN
RETURN 1
ELSE
RETURN ( n* Factorial(n-1) )
END
END Factorial;
Al aplicar el análisis de coste aprendido para análisis de algoritmos iterativos
se tiene: hay una instrucción de alternativa, en una de las alternativas
simplemente se devuelve un valor (operación de coste constante). En la otra
alternativa se realiza una operación de coste constante (multiplicación) con
dos operandos. El primer operando se obtiene por una operación de coste
constante (acceso a la variable n), el coste de la operación que permite
obtener el segundo operando es el coste que estamos calculando!, es decir es
el coste de la propia función factorial (solo que para parámetro n-1).
Por tanto, para conocer el orden de la función de coste de este algoritmo
¿debemos conocer previamente el orden de la función de coste de este
algoritmo?, entramos en una recurrencia.
Y efectivamente, el asunto está en saber resolver recurrencias. Si T(n) es la
función de coste de este algoritmo se puede decir que T(n) es igual a una
operación de coste constante c cuando n vale 0 y a una operación de coste
T(n-1) más una operación de coste constante (el acceso a n y la
multiplicación) cuando n es mayor que 0, es decir:
c si n = 0
T(n) =
T(n-1) + c si n > 0
Se trata entonces de encontrar soluciones a recurrencias como ésta.
Entendiendo por solución una función simple f(n) tal que se pueda asegurar
que T(n) es del orden de f(n).

En este ejemplo puede comprobarse que T(n) es de orden lineal, es decir del
orden de la función f(n)=n, ya que cualquier función lineal T(n)= an+b
siendo a y b constantes, es solución de la recurrencia:
T(0)= b , es decir una constante
T(n)= a.n+b= an-a+ b+a= a(n-1)+b+a= T(n-1)+a, es decir el
coste de T(n) es igual al de T(n-1) más una constante.
3.8 Principio de Invarianza
Dado un algoritmo y dos implementaciones I1 y I2 (máquinas distintas o
códigos distintos) que tardan T1(n) y T2(n) respectivamente, el principio de
invarianza afirma que existe una constante real c>0 y un número natural n0
tales que para todo n>=n0 se verifica que T1(n)<=c·T2(n).
Es decir, el tiempo de ejecución de dos implementaciones distintas de un
algoritmo dado no va a diferir más que en una constante multiplicativa.
Asumimos que un algoritmo tarda un tiempo del orden de T(n) si existen
una constante real c>0 y una implementación I del algoritmo que tarda
menos que c·T(n), para todo n tamaño de entrada.
El comportamiento de un algoritmo puede variar notablemente para
diferentes secuencias de entrada. Suelen estudiarse tres casos para un
mismo algoritmo: caso mejor, caso peor, caso medio.
3.9 Análisis Peor Caso, Mejor Caso y Caso Promedio
Puede analizarse un algoritmo particular o una clase de ellos. Una clase de
algoritmo para un problema son aquellos algoritmos que se pueden
clasificar por el tipo de operación fundamental que realizan.
Ejemplo:
Problema: Ordenamiento
Clase: Ordenamiento por comparación
Para algunos algoritmos, diferentes entradas (inputs) para un tamaño dado
pueden requerir diferentes cantidades de tiempo.
Por ejemplo, consideremos el problema de encontrar la posición particular
de un valor K, dentro de un arreglo de n elementos. Suponiendo que sólo
ocurre una vez. Comentar sobre el mejor, peor y caso promedio.
¿Cuál es la ventaja de analizar cada caso? Si examinamos el peor de los
casos, sabemos que al menos el algoritmo se desempeñará de esa forma.

En cambio, cuando un algoritmo se ejecuta muchas veces en muchos tipos
de entrada, estamos interesados en el comportamiento promedio o típico.
Desafortunadamente, esto supone que sabemos cómo están distribuidos los
datos.
Si conocemos la distribución de los datos, podemos sacar provecho de esto,
para un mejor análisis y diseño del algoritmo. Por otra parte, sino
conocemos la distribución, entonces lo mejor es considerar el peor de los
casos.
Tipos de análisis:
o Peor caso: indica el mayor tiempo obtenido, teniendo en
consideración todas las entradas pos ibles.
o Mejor caso: indica el menor tiempo obtenido, teniendo en
consideración todas las entradas posibles.
o Media: indica el tiempo medio obtenido, considerando todas las
entradas posibles.
Como no se puede analizar el comportamiento sobre todas las entradas posibles,
va a existir para cada problema particular un análisis en él:
- peor caso
- mejor caso
- caso promedio (o medio)
El caso promedio es la medida más realista de la performance, pero es más
difícil de calcular pues establece que todas las entradas son igualmente
probables, lo cual puede ser cierto o no. Trabajaremos específicamente con
el peor caso.

Ejemplo
Sea A una lista de n elementos A1, A2 , A3, ... , An. Ordenar significa permutar
estos elementos de tal forma que los mismos queden de acuerdo con un
orden preestablecido.
Ascendente A1<=A2 <=A3 ..........<=An
Descendente A1 >=A2 >=........>=An
Caso peor: Que el vector esté ordenado en sentido inverso.
Caso mejor: Que el vector esté ordenado.
Caso medio: Cuando el vector esté desordenado aleatoriamente.

Capítulo 4
Análisis de Algoritmos
4.1 Introducción
Como hemos visto, existen muchos enfoques para resolver un problema.
¿Cómo escogemos entre ellos? Generalmente hay dos metas en el diseño de
programas de cómputo:
• El diseño de un algoritmo que sea fácil de entender, codificar y
depurar (Ingeniería de Software).
• El diseño de un algoritmo que haga uso eficiente de los recursos de la
computadora (Análisis y Diseño de algoritmos).
El análisis de algoritmos nos permite medir la dificultad inherente de
un problema y evaluar la eficiencia de un algoritmo.
4.2 Tiempos de Ejecución
Una medida que suele ser útil conocer es el tiempo de ejecución de un
algoritmo en función de N, lo que denominaremos T(N). Esta función se
puede medir físicamente (ejecutando el programa, reloj en mano), o
calcularse sobre el código contando instrucciones a ejecutar y multiplicando
por el tiempo requerido por cada instrucción.
Así, un trozo sencillo de programa como:
S1; FOR i:= 1 TO N DO S2 END;
requiere:
T(N):= t1 + t2*N
siendo t1 el tiempo que lleve ejecutar la serie "S1" de sentencias, y t2 el que
lleve la serie "S2".
Prácticamente todos los programas reales incluyen alguna sentencia
condicional, haciendo que las sentencias efectivamente ejecutadas
dependan de los datos concretos que se le presenten. Esto hace que más que
un valor T(N) debamos hablar de un rango de valores:
Tmin(N) <= T(N) <= Tmax(N)

los extremos son habitualmente conocidos como "caso peor" y "caso mejor".
Entre ambos se hallará algún "caso promedio" o más frecuente. Cualquier
fórmula T(N) incluye referencias al parámetro N y a una serie de constantes
"Ti" que dependen de factores externos al algoritmo como pueden ser la
calidad del código generado por el compilador y la velocidad de ejecución de
instrucciones del computador que lo ejecuta.
Dado que es fácil cambiar de compilador y que la potencia de los
computadores crece a un ritmo vertiginoso (en la actualidad, se duplica
anualmente), intentaremos analizar los algoritmos con algún nivel de
independencia de estos factores; es decir, buscaremos estimaciones
generales ampliamente válidas.
No se puede medir el tiempo en segundos porque no existe un computador
estándar de referencia, en su lugar medimos el número de operaciones
básicas o elementales.
Las operaciones básicas son las que realiza el computador en tiempo acotado
por una constante, por ejemplo:
• Operaciones aritméticas básicas
• Asignaciones de tipos predefinidos
• Saltos (llamadas a funciones, procedimientos y retorno)
• Comparaciones lógicas
• Acceso a estructuras indexadas básicas (vectores y matrices)
Es posible realizar el estudio de la complejidad de un algoritmo sólo en base
a un conjunto reducido de sentencias, por ejemplo, las que más influyen en
el tiempo de ejecución.
Para medir el tiempo de ejecución de un algoritmo existen varios métodos.
Veamos algunos de ellos:
a) Benchmarking
La técnica de benchmark considera una colección de entradas típicas
representativas de una carga de trabajo para un programa.
b) Profiling
Consiste en asociar a cada instrucción de un programa un número que
representa la fracción del tiempo total tomada para ejecutar esa
instrucción particular. Una de las técnicas más conocidas (e informal) es
la Regla 90-10, que afirma que el 90% del tiempo de ejecución se
invierte en el 10% del código.

c) Análisis
Consiste en agrupar las entradas de acuerdo a su tamaño, y estimar el
tiempo de ejecución del programa en entradas de ese tamaño, T(n). Esta
es la técnica que se estudiará en el curso.
De este modo, el tiempo de ejecución puede ser definido como una
función de la entrada. Denotaremos T(n) como el tiempo de ejecución de un
algoritmo para una entrada de tamaño n.
4.3 Concepto de Complejidad
La complejidad (o costo) de un algoritmo es una medida de la cantidad de
recursos (tiempo, memoria) que el algoritmo necesita. La complejidad de un
algoritmo se expresa en función del tamaño (o talla) del problema.
La función de complejidad tiene como variable independiente el tamaño del
problema y sirve para medir la complejidad (espacial o temporal). Mide el
tiempo/espacio relativo en función del tamaño del problema.
El comportamiento de la función determina la eficiencia. No es única para
un algoritmo: depende de los datos. Para un mismo tamaño del problema,
las distintas presentaciones iniciales de los datos dan lugar a distintas
funciones de complejidad. Es el caso de una ordenación si los datos están
todos inicialmente desordenados, parcialmente ordenados o en orden
inverso.
Ejemplo: f(n)= 3n2+2n+1 , en donde n es el tamaño del problema y expresa
el tiempo en unidades de tiempo.
¿Una computadora más rápida o un algoritmo más rápido?
Si compramos una computadora diez veces más rápida, ¿en qué tiempo
podremos ahora ejecutar un algoritmo?
La respuesta depende del tamaño de la entrada de datos, así como de la
razón de crecimiento del algoritmo.
Si la razón de crecimiento es lineal (es decir, T(n)=cn) entonces por
ejemplo, 100.000 números serán procesados en la nueva máquina en el
mismo tiempo que 10.000 números en la antigua computadora.
¿De qué tamaño (valor de n) es el problema que podemos resolver con una
computadora X veces más rápida (en un intervalo de tiempo fijo)?
Por ejemplo, supongamos que una computadora resuelve un problema de
tamaño n en una hora. Ahora supongamos que tenemos una computadora

10 veces más rápida, ¿de qué tamaño es el problema que podemos
resolver?
f(n) n n´ cambio n´/n
10n 1000 10000 n´=10n 10
20n 500 5000 n´=10n 10
5n log n 250 1842 √(10)n
<n´<10n
7.37
2n2 70 223 n´=√(10)n 3.16
2n 13 16 n´=n+3 ----
En la tabla de arriba, f(n) es la razón de crecimientode un algoritmo.
Supongamos que tenemos una computadora que puede ejecutar 10.000
operaciones básicas en una hora. La segunda columna muestra el máximo
valor de n que puede ejecutarse con 10.000 operaciones básicas en una
hora. Es decir f(n)=”total de operaciones básicas en un intervalo de tiempo”.
Por ejemplo, f(n)=10.000 operaciones básicas por hora.
Si suponemos que tenemos una computadora 10 veces más rápida, entonces
podremos ejecutar 100.000 operaciones básicas en una hora. Por lo cual
f(n’)=100.000 operaciones básicas por hora.
Ejercicio: Comentar sobre la razón n´/n según el incremento de velocidad
de la computadora y la razón de crecimiento del algoritmo en cuestión.
Nota: los factores constantes nunca afectan la mejora relativa obtenida por
una computadora más rápida.
4.4 Órdenes de Complejidad
Se dice que O(f(n)) define un "orden de complejidad". Escogeremos
como representante de este orden a la función f(n) más sencilla del mismo.
Así tendremos:
O(1) orden constante
O(log n) orden logarítmico
O(n) orden lineal
O(n2 ) orden cuadrático
O(na) orden polinomial (a > 2)
O(an) orden exponencial (a > 2)
O(n!) orden factorial
Es más, se puede identificar una jerarquía de órdenes de complejidad que
coincide con el orden de la tabla anterior; jerarquía en el sentido de que
cada orden de complejidad superior tiene a los inferiores como

subconjuntos. Si un algoritmo A se puede demostrar de un cierto orden O1 ,
es cierto que también pertenece a todos los órdenes superiores (la relación
de orden cota superior es transitiva); pero en la práctica lo útil es encontrar
la "menor cota superior", es decir el menor orden de complejidad que lo
cubra.
Antes de realizar un programa conviene elegir un buen algoritmo, donde
por bueno entendemos que utilice pocos recursos, siendo usualmente los
más importantes el tiempo que lleve ejecutarse y la cantidad de espacio en
memoria que requiera. Es engañoso pensar que todos los algoritmos son
"más o menos iguales" y confiar en nuestra habilidad como programadores
para convertir un mal algoritmo en un producto eficaz. Es asimismo
engañoso confiar en la creciente potencia de las máquinas y el
abaratamiento de las mismas como remedio de todos los problemas que
puedan aparecer.
Un ejemplo de algunas de las funciones más comunes en análisis de
algoritmos son:
La mejor técnica para diferenciar la eficiencia de los algoritmos es el estudio
de los órdenes de complejidad. El orden de complejidad se expresa
generalmente en términos de la cantidad de datos procesados por el
programa, denominada n, que puede ser el tamaño dado o estimado.
En el análisis de algoritmos se considera usualmente el caso peor, si bien a
veces conviene analizar igualmente el caso mejor y hacer alguna estimación
sobre un caso promedio. Para independizarse de factores coyunturales, tales
como el lenguaje de programación, la habilidad del codificador, la máquina
de soporte, etc. se suele trabajar con un cálculo asintótico que indica
cómo se comporta el algoritmo para datos muy grandes y salvo algún
coeficiente multiplicativo. Para problemas pequeños es cierto que casi todos
los algoritmos son "más o menos iguales", primando otros aspectos como
esfuerzo de codificación, legibilidad, etc. Los órdenes de complejidad sólo
son importantes para grandes problemas.

4.5 Notación Asintótica
El interés principal del análisis de algoritmos radica en saber cómo crece el
tiempo de ejecución, cuando el tamaño de la entrada crece. Esto es la
eficiencia asintóticadel algoritmo. Se denomina “asintótica” porque analiza
el comportamiento de las funciones en el límite, es decir, su tasa de
crecimiento.
La notación asintótica se describe por medio de una función cuyo dominio
es los números naturales (Ν ) estimado a partir de tiempo de ejecución o de
espacio de memoria de algoritmos en base a la longitud de la entrada. Se
consideran las funciones asintóticamente no negativas.
La notación asintótica captura el comportamiento de la función para
valores grandes de N.
Las notaciones no son dependientes de los tres casos anteriormente vistos,
es por eso que una notación que determine el peor caso puede estar
presente en una o en todas las situaciones.
4.5.1 La O Mayúscula
La notación O se utiliza para comparar funciones. Resulta particularmente
útil cuando se quiere analizar la complejidad de un algoritmo, en otras
palabras, la cantidad de tiempo que le toma a un computador ejecutar un
programa.
Definición: Sean f y g funciones con dominio en R ≤ 0 o N es imagen en
R. Si existen constantes C y k tales que:
∀ x > k, | f (x) | ≤ C | g (x) |
es decir, que para x > k, f es menor o igual a un multiplo de g, decimos que:
f (x) = O ( g (x) )
La definición formal es:
f (x) = O ( g (x) ) ∃ k , N | ∀ x > N, | f (x) | ≤ k| g (x) |
¿Qué quiere decir todo esto? Básicamente, que una función es siempre
menor que otra función (por ejemplo, el tiempo en ejecutar tu programa es
menor que x2 ) si no tenemos en cuenta los factores constantes (eso es lo que
significa la k) y si no tenemos en cuenta los valores pequeños (eso es lo que
significa la N).

¿Por qué no tenemos en cuenta los valores pequeños de N? Porqué para
entradas pequeñas, el tiempo que tarda el programa no es significativo y
casi siempre el algoritmo será suficientemente rápido para lo que queremos.
Así 3N3 + 5N2 – 9 = O (N3) no significa que existe una función O(N3) que
es igual a 3N 3 + 5N 2 – 9.
Debe leerse como:
“3N 3+5N 2 –9 es O-Grande de N3”
que significa:
“3N 3+5N 2 –9 está asintóticamente dominada por N3”
La notación puede resultar un poco confusa. Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1: Muestre que 3N 3 + 5N 2 – 9 = O (N 3).
De nuestra experiencia anterior pareciera tener sentido que C = 5.
Encontremos k tal que:
3N 3 + 5N 2 – 9 ≤ 5N 3 for N > k :
1. Agrupamos: 5N2 = 2N 3 + 9
2. Cuál k asegura que 5N2 = N3 para N > k?
3. k = 5
4. Así que para N > 5, 5N2 = N3 = 2N3 + 9.
5. C = 5, k = 5 (no es único!)
Ejemplo 2: Muestre que N 4≠ O (3N3 + 5N2 – 9) .
Hay que mostrar que no existen C y k tales que para N > k, C* (3N3 + 5N2 –
9) ≥ N4 es siempre cierto (usamos límites, recordando el curso de Cálculo).
lim x4 / C(3x3 + 5 x2 – 9) = lim x / C(3 + 5/x – 9/x3)
x à ∞ x à ∞
= lim x / C(3 + 0 – 0) = (1/3C) . lim x = ∞
x à ∞ x à ∞

Así que sin importar cual sea el C que se elija, N4 siempre alcanzará y
rebasará C* (3N3 + 5N2 – 9).
Podemos considerarnos afortunados porque sabemos calcular límites!
Límites serán útiles para probar relaciones (como veremos en el próximo
teorema).
Lema: Si el límite cuando x à ∞ del cociente |f (x)/g (x)| existe (es finito)
entonces f (x) = O ( g (x) ).
Ejemplo 3: 3N3 + 5N2 – 9 = O (N3 ). Calculamos:
lim x3 / (3x3 + 5 x2 – 9) = lim 1 /(3 + 5/x – 9/x3) = 1 /3
x à ∞ x à ∞
Listo!
4.5.2 La o Minúscula
La cota superior asintótica dada por la notación O puede o no ser ajustada
asintóticamente. La cota 2n² = O(n²) es ajustada asintóticamente, pero la
cota 2n = O(n²) no lo es. Utilizaremos la notación o para denotar una cota
superior que no es ajustada asintóticamente.
Definimos formalmente o(g(n)) ("o pequeña") como el conjunto:
o(g(n)) = {f(n): para cualquier constante positiva c > 0, existe una constante
n0 > 0 tal que: 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) para toda n ≥ n0 }.
Por ejemplo, 2n = o(n²), pero 2n² no pertenece a o(n²).
Las notaciones de O y o son similares. La diferencia principal es, que en f(n)
= O(g(n)), la cota 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) se cumple para alguna constante c > 0,
pero en f(n) = o(g(n)), la cota 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) se cumple para todas las
constantes c> 0. Intuitivamente en la notación o, la función f(n) se vuelve
insignificante con respecto a g(n) a medida que n se acerca a infinito, es
decir:
lim (f(n)/g(n)) = 0.
x à ∞

4.5.3 Diferencia entre O y o
Para o la desigualdad se mantiene para todas las constantes positivas,
mientras que para O la desigualdad se mantiene sólo para algunas
constantes positivas.
4.5.4 Las Notaciones Ω y Θ
Ω Es el reverso de O.
f (x ) = Ω(g (x )) àß g (x ) = O (f (x ))
Ω Grande dice que asintóticamente f (x ) domina a g (x ).
Θ Grande dice que ambas funciones se dominan mutuamente, en otras
palabras, son asintóticamente equivalentes.
f (x ) = Θ(g (x ))
àß
f (x ) = O (g (x ))∧ f (x ) =Ω(g (x ))
f = Θ(g): “f es de ordeng ”
4.5.5 Propiedades y Cotas más Usuales
Propiedades de las notaciones asintóticas
Relaciones de orden
La notación asintótica nos permite definir relaciones de orden entre el
conjunto de las funciones sobre los enteros positivos:
• f ∈ O (g (x )) ↔ f ≤ g (se dice que f es asintóticamente menor o igual que g)
• f ∈ o (g (x )) ↔ f < g
• f ∈ Θ (g (x )) ↔ f = g
• f ∈ Ω (g (x )) ↔ f ≥ g
• f ∈ ω (g (x )) ↔ f > g

Relaciones entre cotas
1. f(n) ∈ O(f (n))
2. f(n) ∈ O(f (n)) ∧ g(n) ∈ O(f (n )) ⇒ f(n) ∈ O(h (n ))
3. f(n) ∈ O(g (n)) ⇒ g(n) ∈ Ω(h(n ))
4. lim f(n)/g(n) = 0 ⇒ O(f (n)) ⊂ O(g (n))
n à ∞
5. O(f (n)) = O(g (n)) ⇔ f(n) ∈ O(g (n)) ∧ g(n) ∈ O(f (n ))
6. O(f (n)) ⊂ O(g (n)) ⇔ f(n) ∈ O(g (n))∧ g(n) ∉ O(f (n ))
7. Ω(f(n )) ⊂ Ω(g (n)) ⇔ f(n) ∈ Ω(g (n))∧ g(n) ∉ Ω(f (n ))
Relaciones de inclusión
Son muy útiles a la hora de comparar funciones de coste en el caso
asintótico.
∀ x, y, a, ε ∈ R >0
1. loga n ∈ O(logbn)
2. O(loga x n) ⊂ O(logax+δ
n)
3. O(loga x n) ⊂ O(n)
4. O(nx) ⊂ O(nx+δ
)
5. O(nx logay n) ⊂ O(nx+δ
)
6. O(nx) ⊂ O(2n )

Propiedades de clausura
El conjunto de funciones del orden de f(n) es cerrado respecto de la suma y
la multiplicación de funciones:
1. f1(n) ∈ O(g1(n)) ∧ f2(n) ∈ O(g2(n)) ⇒ f1(n) + f2(n) ∈ O(g1(n) + g2(n))
2. f1(n) ∈ O(g1(n)) ∧ f2(n) ∈ O(g2(n)) ⇒ f1(n) * f2(n) ∈ O(g1(n) * g2(n))
3. f1(n) ∈ O(g1(n)) ∧ f2(n) ∈ O(g2(n)) ⇒ f1(n)+f2(n) ∈ O(max(g1(n), g2(n))
como consecuencia es que los polinomios de grado k en n son exactamente
del orden de nk
aknk + … + a1n + a0 ∈ Θ(nk)
Cotas Asintóticas Más Usuales
1. c ∈ Θ(1) ∀ c ∈ R ≥ 0
n
2. ∑ i = (n/2)(n+1) ∈ Θ(n2 )
i=1
n
3. ∑ i2 = (n/3)(n+1) (n+1/2) ∈ Θ(n3)
i=1
n
4. ∑ ik ∈ Θ(nk+1) ∀ k ∈ N
i=1
n
5. ∑ log i ∈ Θ(n log n)
i=1
n
6. ∑ (n- i)k ∈ Θ(nk+1) ) ∀ k ∈ N
i=1

4.6 Ecuaciones de Recurrencias
4.6.1 Introducción
Como ya hemos indicado, el análisis del tiempo de ejecución de un
programa recursivo vendrá en función del tiempo requerido por la(s)
llamada(s) recursiva(s) que aparezcan en él. De la misma manera que la
verificación de programas recursivos requiere de razonar por inducción,
para tratar apropiadamente estas llamadas, el cálculo de su eficiencia
requiere un concepto análogo: el de ecuación de recurrencia.
Demostraciones por inducción y ecuaciones de recurrencia son por tanto los
conceptos básicos para tratar programas recursivos.
Supongamos que se está analizando el coste de un algoritmo recursivo,
intentando calcular una función que indique el uso de recursos, por ejemplo
el tiempo, en términos del tamaño de los datos; denominémosla T(n) para
datos de tamaño n. Nos encontramos con que este coste se define a su vez en
función del coste de las llamadas recursivas, es decir, de T(m) para otros
tamaños m (usualmente menores que n). Esta manera de expresar el coste T
en función de sí misma es lo que denominaremos una ecuación recurrente y
su resolución, es decir, la obtención para T de una fórmula cerrada
(independiente de T) puede ser dificultosa.
4.6.2 Resolución de Recurrencias
Las ecuaciones de recurrencia son utilizadas para determinar cotas
asintóticas en algoritmos que presentan recursividad.
Veremos dos técnicas básicas y una auxiliar que se aplican a diferentes
clases de recurrencias:
• Método del teorema maestro
• Método de la ecuación característica
• Cambio de variable
No analizaremos su demostración formal, sólo consideraremos su
aplicación para las recurrencias generadas a partir del análisis de
algoritmos.
4.6.3 Método del Teorema Maestro
Se aplica en casos como:
5 si n=0
T(n) =
9T(n/3) + n si n ≠ 0

Teorema: Sean a = 1, b > 1 constantes, f(n) una función y T(n) una
recurrencia definida sobre los enteros no negativos de la forma T(n) =
aT(n/b) + f(n), donde n/b puede interpretarse como n/b o n/b.
Entonces valen:
1. Si f(n) ∈ O(mlogba - ε
) para algún ε > 0 entonces T(n) ∈ Θ(nlogba).
2. Si f(n) ∈ Θ(nlogba) entonces T(n) ∈ Θ(nlogba lgn).
3. Si f(n) ∈ Ω(nlogba + ε
) para algún ε > 0, y satisface af(n/b) ≤ cf(n) para
alguna constante c < 1, entonces T(n) ∈ Θ(f(n)).
Ejemplos:
1. Si T(n)=9T(n/3)+n entonces a=9, b=3, se aplica el caso 1 con ε=1 y
T(n) ∈ Θ(n2 ).
2. Si T(n)=T(2n/3)+1 entonces a=1, b=3/2, se aplica el caso 2 y T(n) =
Θ(lgn).
3. Si T(n)=3T(n/4)+nlgn entonces a=3, b=4, f(n) ∈ Ω(nlog43 + 0,2 ) y
3(n/4) lg(n/4) ≤ 3/4n lgn, por lo que se aplica el caso 3 y T(n) ∈ Θ(n
lgn)
4.6.4 Método de la Ecuación Característica
Se aplica a ciertas recurrencias lineales con coeficientes constantes como:
5 si n=0
T(n) = 10 si n=1
5T(n-1) + 8T(n-2)+2n si n > 0
En general, para recurrencias de la forma:
T(n) = a1T(n-1) + a2T(n-2) + … + akT(n-k) + bnp(n)
donde ai, 1 ≤ i ≤ k, b son constantes y p(n) es un polinomio en n de grado s.
Ejemplos:
1. En T(n)=2t(n-1)+3n, a1 =2, b=3, p(n)=1, s=0.
2. En T(n)=t(n-1)+ t(n-2)+n, a1=1, a2 =1, b=1, p(n)=n, s=1.
En general, para:
T(n) = a1T(n-1) + a2T(n-2) + … + akT(n-k) + bnp(n)

♦ Paso 1: Encontrar las raíces no nulas de la ecuación característica:
(xk - a1xk-1 - a2xk-2 - … - ak)(x-b)s+1 = 0
Raíces: ri, 1 ≤ i ≤ l ≤ k, cada una con multiplicidad mi.
♦ Paso 2: Las soluciones son de la forma de combinaciones lineales de
estas raíces de acuerdo a su multiplicidad.
T(n) = -----
♦ Paso 3: Se encuentran valores para las constantes cij, tal que:
1 ≤ i ≤ l, 0 ≤ j ≤ mi - 1
y di, 0 ≤ i ≤ s – 1 según la recurrencia original y las condiciones
iniciales (valores de la recurrencia para n=0,1, …).
Ejemplo: Resolver la ecuación de recurrencia siguiente:
0 si n=0
T(n) =
2T(n-1) + 1 si n > 0
donde b=1 y p(n)=1 de grado 0.
La ecuación característica (x-2)(x-1)0+1 = 0, con raíces 2 y 1 de
multiplicidad 1.
La solución general es entonces de la forma: T(n)=c112n +c211n.
A partir de las condiciones iniciales se encuentra el siguiente sistema de
ecuaciones que sirve para hallar c11 yc21:
c11 +c21 = 0 de n = 0
2c11 +c21 = 1 de n = 1
de donde c11 = 1 y c21 =-1.
La solución es entonces: T(n) = 2n –1.

4.6.5 Cambio de Variable
Dada la siguiente ecuación de recurrencia:
a si n=1
T(n) =
2T(n/2) + nlog2 n si n = 2k
No se puede aplicar el teorema maestro ni la ecuación característica.
Se define una nueva recurrencia S(i) = T(2i), con el objetivo de llevarla a una
forma en la que se pueda resolver siguiendo algún método anterior.
Entonces el caso general queda:
S(i) = T(2i) = 2T(2i /2) + 2ii = 2T(2i-1 ) + i2i = 2S(i-1) + i2i
Con b=2 y p(i) = i de grado 1.
La ecuación característica de esta recurrencia es:
(x - 2)(x - 2)i+1 = 0,
con raíz 2 de grado 3.
La solución es entonces S(i) = c112i + c12 i2i + c13i22i, con lo que volviendo a la
variable original queda:
T(n) - 2T(n/2) = nlog2 n = (c12 - c13)n + 2c13n(log2n).
Se pueden obtener los valores de las constantes sustituyendo esta solución
en la recurrencia original:
T(n) = c11n + c12(log2n)n + c13(log2n)2n.
de donde c12 =c13 y 2c12 = 1.
Por tanto T(n) ∈ Θ(nlog2 n | n es potencia de2).
Si se puede probar que T(n) es eventualmente no decreciente, por la regla
de las funciones de crecimiento suave se puede extender el resultado
a todos los n (dado que nlog2n es de crecimiento suave).
En este caso T(n) ∈ Θ(nlog2n).

4.7 Ejemplos y Ejercicios
Ejemplos de cálculo del tiempo de ejecución de un programa
Veamos el análisis de un simple enunciado de asignación a una variable
entera:
a = b;
Como el enunciado de asignación toma tiempo constante, está en Θ(1).
Consideremos un simple ciclo “for”:
sum=0;
for (i=1; i<=n; i++)
sum += n;
La primera línea es Θ(1). El ciclo “for” es repetido n veces. La tercera línea
toma un tiempo constante también, el costo total por ejecutar las dos líneas
que forman el ciclo “for” es Θ(n). El costo por el entero fragmento de código
es también Θ(n).
Analicemos un fragmento de código con varios ciclos “for”, algunos de los
cuales están anidados.
sum=0;
for (j=1; j<=n; j++)
for (i=1; i<=j; i++)
sum++;
for (k=1; k<=n; k++)
A[k]= k-1;
Este código tiene tres partes: una asignación, y dos ciclos.
La asignación toma tiempo constante, llamémosla c1. El segundo ciclo es
similar al ejemplo anterior y toma c2n= Θ(n).
Analicemos ahora el primer ciclo, que es un doble ciclo anidado. En este
caso trabajemos de adentro hacia fuera. La expresión sum++ requiere
tiempo constante, llamemosle c3.
Como el ciclo interno es ejecutado j veces, tiene un costo de c3j. El ciclo
exterior es ejecutado n veces, pero cada vez el costo del ciclo interior es
diferente.
El costo total del ciclo es c3 veces la suma de los números 1 a n, es decir Σni=1 j
= n(n+1)/2, que es Θ(n2). Por tanto, Θ(c1 +c2n+c3n2) es simplemente Θ(n2 ).

Comparemos el análisis asintótico de los siguientes fragmentos de código:
sum1=0;
for(i=1; i<=n; i++)
for(j=1; j<=n; j++)
sum1++;
sum2=0;
for(i=1; i<=n; i++)
for(j=1; j<=i; j++)
sum2++;
El primer fragmento de ejecuta el enunciado sum1++, precisamente n2
veces.
Por otra parte, el segundo fragmento de código tiene un costo aproximado
de ½ n2 . Así ambos códigos tienen un costo de Θ(n2).
Ejemplo, no todos los ciclos anidados son Θ(n2):
sum1=0;
for(k=1; k<=n; k*=2)
for(j=1; j<=n; j++)
sum1++;
El costo es Θ(n log n).

Capítulo 5
Estrategias de Diseño de
Algoritmos
5.1 Introducción
A través de los años, los científicos de la computación han identificado
diversas técnicas generales que a menudo producen algoritmos eficientes
para la resolución de muchas clases de problemas. Este capítulo presenta
algunas de las técnicas más importantes como son: recursión, dividir para
conquistar, técnicas ávidas, el método de retroceso y programación
dinámica.
Se debe, sin embargo, destacar que hay algunos problemas, como los NP
completos, para los cuales ni éstas ni otras técnicas conocidas producirán
soluciones eficientes. Cuando se encuentra algún problema de este tipo,
suele ser útil determinar si las entradas al problema tienen características
especiales que se puedan explotar en la búsqueda de una solución, o si puede
usarse alguna solución aproximada sencilla, en vez de la solución exacta,
difícil de calcular.
5.2 Recursión
La recursividad es una técnica fundamental en el diseño de algoritmos
eficientes, que está basada en la solución de versiones más pequeñas del
problema, para obtener la solución general del mismo. Una instancia del
problema se soluciona según la solución de una o más instancias diferentes
y más pequeñas que ella.
Es una herramienta poderosa que sirve para resolver cierto tipo de
problemas reduciendo la complejidad y ocultando los detalles del problema.
Esta herramienta consiste en que una función o procedimiento se llama a sí
mismo.
Una gran cantidad de algoritmos pueden ser descritos con mayor claridad en
términos de recursividad, típicamente el resultado será que sus programas
serán más pequeños.
La recursividad es una alternativa a la iteración o repetición, y aunque en
tiempo de computadora y en ocupación en memoria es la solución recursiva
menos eficiente que la solución iterativa, existen numerosas situaciones en
las que la recursividad es una solución simple y natural a un problema que
en caso contrario ser difícil de resolver. Por esta razón se puede decir que la

recursividad es una herramienta potente y útil en la resolución de problemas
que tengan naturaleza recursiva y, por ende, en la programación.
Existen numerosas definiciones de recursividad, algunas de las más
importantes o sencillas son éstas:
• Un objeto es recursivo si figura en su propia definición.
• Una definición recursiva es aquella en la que el objeto que se define
forma parte de la definición (recuerde la regla gramatical: lo definido
nunca debe formar parte de la definición)
La característica importante de la recursividad es que siempre existe un
medio de salir de la definición, mediante la cual se termina el proceso
recursivo.
Ventajas:
• Puede resolver problemas complejos.
• Solución más natural.
Desventajas:
• Se puede llegar a un ciclo infinito.
• Versión no recursiva más difícil de desarrollar.
• Para la gente sin experiencia es difícil de programar.
Tipos de Recursividad
• Directa o simple: un subprograma se llama a si mismo una o más
veces directamente.

• Indirecta o mutua: un subprograma A llama a otro subprograma B
y éste a su vez llama al subprograma A.
a) Propiedades para un Procedimiento Recursivo
• Debe de existir cierto criterio (criterio base) en donde el
procedimiento no se llama a sí mismo. Debe existir al menos una
solución no recursiva.
• En cada llamada se debe de acercar al criterio base (reducir rango). El
problema debe reducirse en tamaño, expresando el nuevo problema
en términos del propio problema, pero más pequeño.
Los algoritmos de divide y vencerás pueden ser procedimientos
recursivos.
b) Propiedades para una Función Recursiva
• Debe de haber ciertos argumentos, llamados valores base para los que
la función no se refiera a sí misma.
• Cada vez que la función se refiera así misma el argumento de la
función debe de acercarse más al valor base.
Ejemplos:
Factorial
n! = 1 * 2 * 3 ... * (n-2) * (n-1) * n
0! = 1
1! = 1
2! = 1 * 2
3! = 1 * 2 * 3
...
n! = 1 * 2 * 3 ... * (n-2) * (n-1) * n
⇒ n! = n* (n-1)!

si n = 0 entonces n! = 1
si n > 0 entonces n! = n * (n-1)!
Function factorial(n:integer):longint:
begin
if ( n = 0 ) then
factorial:=1
else
factorial:= n * factorial(n-1);
end;
Rastreo de ejecución:
Si n = 6
Nivel
1) Factorial(6)= 6 * factorial(5) = 720
2) Factorial(5)=5 * factorial(4) = 120
7) Factorial(0)=1
La profundidad de un procedimiento recursivo es el número de veces que se
llama a sí mismo.
Serie de Fibonacci
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
F0 = 0
F1 = 1
F2 = F1 + F0 = 1
F3 = F2 + F1 = 2
F4 = F3 + F2 = 3
...
Fn = Fn-1 + Fn-2
si n= 0, 1 Fn = n
si n >1 Fn = Fn-1 + Fn-2

Procedure fibo(var fib:longint; n:integer);
var
fibA, fibB : integer;
begin
if ( n = 0) or ( n = 1) then fib:=n
else begin
fibo(fibA,n-1);
fibo(fibB,n-2);
fib:=fibA + FibB;
end;
end;
function fibo ( n:integer) : integer;
begin
if ( n = 0) or ( n = 1) then
fibo:=n
else
fibo:=fibo(n-1) + fibo(n-2);
end;
end;
No todos los ambientes de programación proveen las facilidades necesarias
para la recursión y adicionalmente, a veces su uso es una fuente de
ineficiencia inaceptable. Por lo cual se prefiere eliminar la recursión. Para
ello, se sustituye la llamada recursiva por un lazo, donde se incluyen algunas
asignaciones para recolocar los parámetros dirigidos a la función.
Remover la recursión es complicado cuando existe más de una llamada
recursiva, pero una vez hecha ésta, la versión del algoritmo es siempre más
eficiente.
5.3 Dividir para Conquistar
Muchos algoritmos útiles tienen una estructura recursiva, de modo que para
resolver un problema se llaman recursivamente a sí mismos una o más veces
para solucionar subproblemas muy similares.
Esta estructura obedece a una estrategia dividir-y-conquistar, en que se
ejecuta tres pasos en cada nivel de la recursión:
• Dividir. Dividen el problema en varios subproblemas similares al
problema original pero de menor tamaño;
• Conquistar. Resuelven recursivamente los subproblemas si los
tamaños de los subproblemas son suficientemente pequeños, entonces
resuelven los subproblemas de manera directa; y luego,

• Combinar. Combinan estas soluciones para crear una solución al
problema original.
La técnica Dividir para Conquistar (o Divide y Vencerás) consiste en
descomponer el caso que hay que resolver en subcasos más pequeños,
resolver independientemente los subcasos y por último combinar las
soluciones de los subcasos para obtener la solución del caso original.
Caso General
Consideremos un problema arbitrario, y sea A un algoritmo sencillo capaz de
resolver el problema. A debe ser eficiente para casos pequeños y lo
denominamos subalgoritmo básico.
El caso general de los algoritmos de Divide y Vencerás (DV) es como sigue:
función DV(x)
{
si x es suficientemente pequeño o sencillo entonces
devolver A(x)
descomponer x en casos más pequeños x1, x2, x3 , ... , xl
para i ← 1 hasta l hacer
yi ← DV(xi)
recombinar los yi para obtener una solución y de x
devolver y
}
El número de subejemplares l suele ser pequeño e independiente del caso
particular que haya que resolverse.
Para aplicar la estrategia Divide y Vencerás es necesario que se cumplan tres
condiciones:
• La decisión de utilizar el subalgoritmo básico en lugar de hacer
llamadas recursivas debe tomarse cuidadosamente.
• Tiene que ser posible descomponer el caso en subcasos y recomponer
las soluciones parciales de forma eficiente.
• Los subcasos deben ser en lo posible aproximadamente del mismo
tamaño.
En la mayoría de los algoritmos de Divide y Vencerás el tamaño de los l
subcasos es aproximadamente m/b, para alguna constante b, en donde m es
el tamaño del caso (o subcaso) original (cada subproblema es
aproximadamente del tamaño 1/b del problema original).

El análisis de tiempos de ejecución para estos algoritmos es el siguiente:
Sea g(n) el tiempo requerido por DV en casos de tamaño n, sin contar el
tiempo necesario para llamadas recursivas. El tiempo total t(n) requerido
por este algoritmo de Divide y Vencerás es parecido a:
t(n) = l t(n/ b) + g(n) para l = 1 y b = 2
siempre que n sea suficientemente grande. Si existe un entero k = 0 tal que:
g(n) ∈ Θ (nk),
se puede concluir que:
T(nk) si l < bk
t(n) ∈ T(nk log n) si l = bk
T (nlogbl) si l > bk
Se deja propuesta la demostración de esta ecuación de recurrencia usando
análisis asintótico.
5.4 Programación Dinámica
Frecuentemente para resolver un problema complejo se tiende a dividir este
en subproblemas más pequeños, resolver estos últimos (recurriendo
posiblemente a nuevas subdivisiones) y combinar las soluciones obtenidas
para calcular la solución del problema inicial.
Puede ocurrir que la división natural del problema conduzca a un gran
número de subejemplares idénticos. Si se resuelve cada uno de ellos sin
tener en cuenta las posibles repeticiones, resulta un algoritmo ineficiente;
en cambio si se resuelve cada ejemplar distinto una sola vez y se conserva el
resultado, el algoritmo obtenido es mucho mejor.
Esta es la idea de la programación dinámica: no calcular dos veces lo mismo
y utilizar normalmente una tabla de resultados que se va rellenando a
medida que se resuelven los subejemplares.
La programación dinámica es un método ascendente. Se resuelven primero
los subejemplares más pequeños y por tanto más simples. Combinando las
soluciones se obtienen las soluciones de ejemplares sucesivamente más
grandes hasta llegar al ejemplar original.

Ejemplo:
Consideremos el cálculo de números combinatorios. El algoritmo sería:
función C(n, k)
si k=0 o k=n entonces devolver 1
si no devolver C(n-1, k-1) + C(n-1, k)
Ocurre que muchos valores C(i, j), con i < n y j < k se calculan y recalculan
varias veces.
Un fenómeno similar ocurre con el algoritmo de Fibonacci.
La programación dinámica se emplea a menudo para resolver problemas de
optimización que satisfacen el principio de optimalidad: en una secuencia
óptima de decisiones toda subsecuencia ha de ser también óptima.
Ejemplo:
Si el camino más corto de Santiago a Copiapó pasa por La Serena, la parte
del camino de Santiago a La Serena ha de ser necesariamente el camino
mínimo entre estas dos ciudades.
Podemos aplicar esta técnica en:
• Camino mínimo en un grafo orientado
• Árboles de búsqueda óptimos
5.5 Algoritmos Ávidos
Los algoritmos ávidos o voraces (Greedy Algorithms) son algoritmos que
toman decisiones de corto alcance, basadas en información inmediatamente
disponible, sin importar consecuencias futuras.
Suelen ser bastante simples y se emplean sobre todo para resolver problemas
de optimización, como por ejemplo, encontrar la secuencia óptima para
procesar un conjunto de tareas por un computador, hallar el camino mínimo
de un grafo, etc.
Habitualmente, los elementos que intervienen son:
• un conjunto o lista de candidatos (tareas a procesar, vértices del
grafo, etc.);
• un conjunto de decisiones ya tomadas (candidatos ya escogidos);
• una función que determina si un conjunto de candidatos es una
solución al problema (aunque no tiene por qué ser la óptima);

• una función que determina si un conjunto es completable, es
decir, si añadiendo a este conjunto nuevos candidatos es posible
alcanzar una solución al problema, suponiendo que esta exista;
• una función de selección que escoge el candidato aún no
seleccionado que es más prometedor;
• una función objetivo que da el valor/coste de una solución (tiempo
total del proceso, la longitud del camino, etc.) y que es la que se
pretende maximizar o minimizar;
Para resolver el problema de optimización hay que encontrar un conjunto de
candidatos que optimiza la función objetivo. Los algoritmos voraces
proceden por pasos.
Inicialmente el conjunto de candidatos es vacío. A continuación, en cada
paso, se intenta añadir al conjunto el mejor candidato de los aún no
escogidos, utilizando la función de selección. Si el conjunto resultante no es
completable, se rechaza el candidato y no se le vuelve a considerar en el
futuro. En caso contrario, se incorpora al conjunto de candidatos escogidos y
permanece siempre en él. Tras cada incorporación se comprueba si el
conjunto resultante es una solución del problema. Un algoritmo voraz es
correcto si la solución así encontrada es siempre óptima.
El esquema genérico del algoritmo voraz es:
funcionvoraz(C:conjunto):conjunto
{ C es el conjunto de todos los candidatos }
S <= vacío { S es el conjunto en el que se construye la solución
mientras ¬solución(S) y C <> vacío hacer
x ← el elemento de C que maximiza seleccionar(x)
C ← C {x}
si completable(S U {x}) entonces S ← S U {x}
si solución(S)
entonces devolver S
si no devolver no hay solución
El nombre voraz proviene de que, en cada paso, el algoritmo escoge el mejor
"pedazo" que es capaz de "comer" sin preocuparse del futuro. Nunca deshace
una decisión ya tomada: una vez incorporado un candidato a la solución
permanece ahí hasta el final; y cada vez que un candidato es rechazado, lo es
para siempre.

Ejemplo: Mínimo número de monedas
Se desea pagar una cantidad de dinero a un cliente empleando el menor
número posible de monedas. Los elementos del esquema anterior se
convierten en:
• candidato: conjunto finito de monedas de, por ejemplo, 1, 5, 10 y 25
unidades, con una moneda de cada tipo por lo menos;
• solución: conjunto de monedas cuya suma es la cantidad a pagar;
• completable: la suma de las monedas escogidas en un momento dado
no supera la cantidad a pagar;
• función de selección: la moneda de mayor valor en el conjunto de
candidatos aún no considerados;
• función objetivo: número de monedas utilizadas en la solución.
5.6 Método de Retroceso (backtracking)
El Backtracking o vuelta atrás es una técnica de resolución general de
problemas mediante una búsqueda sistemática de soluciones. El
procedimiento general se basa en la descomposición del proceso de
búsqueda en tareas parciales de tanteo de soluciones (trial and error).
Las tareas parciales se plantean de forma recursiva al construir
gradualmente las soluciones. Para resolver cada tarea, se descompone en
varias subtareas y se comprueba si alguna de ellas conduce a la solución del
problema. Las subtareas se prueban una a una, y si una subtarea no conduce
a la solución se prueba con la siguiente.
La descripción natural del proceso se representa por un árbol de búsqueda
en el que se muestra como cada tarea se ramifica en subtareas. El árbol de
búsqueda suele crecer rápidamente por lo que se buscan herramientas
eficientes para descartar algunas ramas de búsqueda produciéndose la poda
del árbol.
Diversas estrategias heurísticas, frecuentemente dependientes del
problema, establecen las reglas para decidir en que orden se tratan las tareas
mediante las que se realiza la ramificación del árbol de búsqueda, y qué
funciones se utilizan para provocar la poda del árbol.
El método de backtracking se ajusta a muchos famosos problemas de la
inteligencia artificial que admiten extensiones muy sencillas. Algunos de
estos problemas son el de las Torres de Hanoi, el del salto del caballo o el de
la colocación de las ocho reinas en el tablero de ajedrez, el problema del
laberinto.

Un caso especialmente importante en optimización combinatoria es el
problema de la selección óptima. Se trata del problema de seleccionar una
solución por sus componentes, de forma que respetando una serie de
restricciones, de lugar a la solución que optimiza una función objetivo que se
evalúa al construirla. El árbol de búsqueda permite recorrer todas las
soluciones para quedarse con la mejor de entre las que sean factibles. Las
estrategias heurísticas orientan la exploración por las ramas más
prometedoras y la poda en aquellas que no permiten alcanzar una solución
factible o mejorar la mejor solución factible alcanzada hasta el momento.
El problema típico es el conocido como problema de la mochila. Se
dispone de una mochila en la que se soporta un peso máximo P en la que se
desean introducir objetos que le den el máximo valor. Se dispone de una
colección de n objetos de los que se conoce su peso y su valor;
(pi,vi); i = 1, 2, ..., n.
5.7 Método de Branch and Bound
Branch and bound (o también conocido como Ramifica y Poda) es una
técnica muy similar a la de Backtracking, pues basa su diseño en el análisis
del árbol de búsqueda de soluciones a un problema. Sin embargo, no utiliza
la búsqueda en profundidad (depth first), y solamente se aplica en
problemas de Optimización.
Los algoritmos generados por está técnica son normalmente de orden
exponencial o peor en su peor caso, pero su aplicación ante instancias muy
grandes, ha demostrado ser eficiente (incluso más que bactracking).
Se debe decidir de qué manera se conforma el árbol de búsqueda de
soluciones. Sobre el árbol, se aplicará una búsqueda en anchura (breadth-
first), pero considerando prioridades en los nodos que se visitan (best-
first). El criterio de selección de nodos, se basa en un valor óptimo posible
(bound), con el que se toman decisiones para hacer las podas en el árbol.
Modo de proceder de los algoritmos Branch and Bound:
• Nodo vivo: nodo con posibilidad de ser ramificado, es decir, no se
ha realizado una poda.
• No se pueden comenzar las podas hasta que no se haya
descendido a una hoja del árbol
• Se aplicará la poda a los nodos con una cota peor al valor de una
solución dada à a los nodos podados a los que se les ha aplicado
una poda se les conoce como nodos muertos
• Se ramificará hasta que no queden nodos vivos por expandir
• Los nodos vivos han de estar almacenados en algún sitio à lista
de nodos, de modo que sepamos qué nodo expandir

Algoritmo General:
Funciónramipoda(P:problema): solucion
L={P} (lista de nodos vivos)
S= ∞± (según se aplique máximo o mínimo)
Mientras L ≠ 0
n=nodo de mejor cota en L
si solucion(n)
si (valor(n) mejor que s)
s=valor(n)
para todo m ∈ L y Cota(m) peor que S
borrar nodo m de L
sino
añadir a L los hijos de n con sus cotas
borrar n de L (tanto si es solución como si ha ramificado)
Fin_mientras
Devolver S

Capítulo 6
Algoritmos de Ordenamiento
6.1 Concepto de Ordenamiento
DEFINICIÓN.
Entrada: Una secuencia de n números <a1, a2 , …, an>, usualmente en la
forma de un arreglo de n elementos.
Salida: Una permutación <a’1, a’2, …, a’n> de la secuencia de entrada tal
que a’1 = a’2 = … = a’n.
CONSIDERACIONES. Cada número es normalmente una clave que forma
parte de un registro; cada registro contiene además datos satélites que se
mueven junto con la clave; si cada registro incluye muchos datos satélites,
entonces movemos punteros a los registros (y no los registros).
Un método de ordenación se denomina estable si el orden relativo de los
elementos no se altera por el proceso de ordenamiento. (Importante cuanto
se ordena por varias claves).
Hay dos categorías importantes y disjuntas de algoritmos de ordenación:
• Ordenación interna: La cantidad de registros es suficientemente
pequeña y el proceso puede llevarse a cabo en memoria.
• Ordenación externa: Hay demasiados registros para permitir
ordenación interna; deben almacenarse en disco.
Por ahora nos ocuparemos sólo de ordenación interna.
Los algoritmos de ordenación interna se clasifican de acuerdo con la
cantidad de trabajo necesaria para ordenar una secuencia de n elementos:
¿Cuántas comparaciones de elementos y cuántos movimientos de
elementos de un lugar a otro son necesarios?
Empezaremos por los métodos tradicionales (inserción y selección). Son
fáciles de entender, pero ineficientes, especialmente para juegos de datos
grandes. Luego prestaremos más atención a los más eficientes: heapsort y
quicksort.

6.2 Ordenamiento por Inserción
Este es uno de los métodos más sencillos. Consta de tomar uno por uno los
elementos de un arreglo y recorrerlo hacia su posición con respecto a los
anteriormente ordenados. Así empieza con el segundo elemento y lo ordena
con respecto al primero. Luego sigue con el tercero y lo coloca en su posición
ordenada con respecto a los dos anteriores, así sucesivamente hasta recorrer
todas las posiciones del arreglo.
Este es el algoritmo:
Sea n el número de elementos en el arreglo A.
INSERTION-SORT(A) :
{Para cada valor de j, inserta A[j] en la posición que le corresponde en la
secuencia ordenada A[1 .. j – 1]}
for j ← 2 to n do
k ← A[j]
i ← j – 1
whilei > 0 ∧ A[i] > k do
A[i + 1] ← A[i]
i ← i – 1
A[i + 1] ← k
Análisis del algoritmo:
Número de comparaciones: n(n-1)/2 lo que implica un T(n) = O(n2 ). La
ordenación por inserción utiliza aproximadamente n2/4 comparaciones y
n2/8 intercambios en el caso medio y dos veces más en el peor de los casos.
La ordenación por inserción es lineal para los archivos casi ordenados.
6.3 Ordenamiento por Selección
El método de ordenamiento por selección consiste en encontrar el menor de
todos los elementos del arreglo e intercambiarlo con el que está en la primera
posición. Luego el segundo más pequeño, y así sucesivamente hasta ordenar
todo el arreglo.
SELECTION-SORT(A) :
{Para cada valor de j, selecciona el menor elemento de la secuencia no
ordenada A[j .. n] y lo intercambia con A[j]}
for j ← 1 to n – 1 do
k ← j
for i ← j + 1 to n do
if A[i] < A[k] then k ← i
intercambie A[j] ↔ A[k]

La ordenación por selección utiliza aproximadamente n2/2 comparaciones y
n intercambios, por lo cual T(n) = O(n2 ).
6.4 Ordenamiento de la Burbuja (Bubblesort)
El algoritmo bubblesort, también conocido como ordenamiento burbuja,
funciona de la siguiente manera: Se recorre el arreglo intercambiando los
elementos adyacentes que estén desordenados. Se recorre el arreglo tantas
veces hasta que ya no haya cambios que realizar. Prácticamente lo que hace es
tomar el elemento mayor y lo va recorriendo de posición en posición hasta
ponerlo en su lugar.
Procedimiento BubbleSort
for (i = n; i >= 1; i--)
for (j = 2; j <= i; j++)
{ if (A[j-1] > A[j]) then intercambie(A, j-1, j);
}
La ordenación de burbuja tanto en el caso medio como en el peor de los casos
utiliza aproximadamente n2/2 comparaciones y n2/2 intercambios, por lo cual
T(n) = O(n2).
6.5 Ordenamiento Rápido (Quicksort)
Vimos que en un algoritmo de ordenamiento por intercambio, son
necesarios intercambios de elementos en sublistas hasta que no son posibles
más. En el burbujeo, son comparados ítems correlativos en cada paso de la
lista. Por lo tanto para ubicar un ítem en su correcta posición, pueden ser
necesarios varios intercambios.
Veremos el sort de intercambio desarrollado por C.A.R. Hoare conocido
como Quicksort. Es más eficiente que el burbujeo(bubblesort) porque los
intercambios involucran elementos que están más apartados, entonces
menos intercambios son requeridos para poner un elemento en su posición
correcta.
La idea básica del algoritmo es elegir un elemento llamado pivote, y
ejecutar una secuencia de intercambios tal que todos los elementos
menores que el pivote queden a la izquierda y todos los mayores a la
derecha.

Lo único que requiere este proceso es que todos los elementos a la izquierda
sean menores que el pivote y que todos los de la derecha sean mayores luego
de cada paso, no importando el orden entre ellos, siendo precisamente esta
flexibilidad la que hace eficiente al proceso.
Hacemos dos búsquedas, una desde la izquierda y otra desde la derecha,
comparando el pivote con los elementos que vamos recorriendo, buscando
los menores o iguales y los mayores respectivamente.
DESCRIPCIÓN. Basado en el paradigma dividir-y-conquistar, estos son los
tres pasos para ordenar un subarreglo A[p … r]:
Dividir. El arreglo A[p … r] es particionado en dos subarreglos no vacíos
A[p … q] y A[q+1 … r]—cada dato de A[p … q] es menor que cada dato
de A[q+1 … r]; el índice q se calcula como parte de este proceso de
partición.
Conquistar. Los subarreglos A[p … q] y A[q+1 … r] son ordenados
mediante sendas llamadas recursivas a QUICKSORT.
Combinar. Ya que los subarreglos son ordenados in situ, no es necesario
hacer ningún trabajo extra para combinarlos; todo el arreglo A[p … r]
está ahora ordenado.
QUICKSORT (A, p, r) :
if p < r then
q ← PARTITION(A, p, r)
QUICKSORT(A, p, q)
QUICKSORT(A, q+1, r)
PARTITION (A, p, r) :
x ← A[p]; i ← p–1; j← r+1
while τ
repeat j ← j–1 until A[j] = x
repeat i ← i+1 until A[i] = x
if i < j then
intercambie A[i] ↔ A[j]
else return j
Para ordenar un arreglo completo A, la llamada inicial es QUICKSORT(A, 1, n).
PARTITION reordena el subarreglo A[p … r] in situ, poniendo datos menores
que el pivote x = A[p] en la parte baja del arreglo y datos mayores que x en
la parte alta.
Depende de si la partición es o no balanceada, lo que a su vez depende de
cómo se elige los pivotes:
• Si la partición es balanceada, QUICKSORT corre asintóticamente tan
rápido como ordenación por mezcla.

• Si la partición es desbalanceada, QUICKSORT corre asintóticamente tan
lento como la ordenación por inserción.
El peor caso ocurre cuando PARTITION produce una región con n–1
elementos y otra con sólo un elemento.
Si este desbalance se presenta en cada paso del algoritmo, entonces, como la
partición toma tiempo Θ (n) y σ(1) = Θ (1), tenemos la recurrencia:
σ(n) = σ(n – 1) + Θ (n) = Θ(k)
k =1
n
∑ = Θ (n2).
Por ejemplo, este tiempo Θ(n2) de ejecución ocurre cuando el arreglo está
completamente ordenado, situación en la cual INSERTIONSORT corre en
tiempo Ο(n).
Si la partición produce dos regiones de tamaño n/2, entonces la recurrencia
es:
σ(n) = 2σ(n/2) + Θ(n) = Θ(n log n).
Tenemos un algoritmo mucho más rápido cuando se da el mejor caso de
PARTITION.
El caso promedio de QUICKSORT es mucho más parecido al mejor caso que al
peor caso; por ejemplo, si PARTITION siempre produce una división de
proporcionalidad 9 a 1:
o Tenemos la recurrencia σ(n) = σ(9n/10) + σ(n/10) + n.
o En el árbol de recursión, cada nivel tiene costo n (o a lo más n más
allá de la profundidad log10n), y la recursión termina en la
profundidad log10/9n = Θ(log n) … ⇒
o … el costo total para divisiones 9 a 1 es Θ(nlog n), asintóticamente lo
mismo que para divisiones justo en la mitad.
o Cualquier división de proporcionalidad constante, por ejemplo, 99 a
1, produce un árbol de recursión de profundidad Θ(log n), en que el
costo de cada nivel es Θ(n), lo que se traduce en que el tiempo de
ejecución es Θ(nlog n).
En la práctica, en promedio, PARTITION produce una mezcla de divisiones
buenas y malas, que en el árbol de recursión están distribuidas
aleatoriamente; si suponemos que aparecen alternadamente por niveles:
• En la raíz, el costo de la partición es n y los arreglos producidos tienen
tamaños n–1 y 1.

• En el siguiente nivel, el arreglo de tamaño n–1 es particionado en dos
arreglos de tamaño (n–1)/2, y el costo de procesar un arreglo de
tamaño 1 es 1.
• Esta combinación produce tres arreglos de tamaños 1, (n–1)/2 y (n–
1)/2 a un costo combinado de 2n–1 = Θ(n) …
• … no peor que el caso de una sola partición que produce dos arreglos de
tamaños (n–1)/2 + 1 y (n–1)/2 a un costo de n = Θ(n), y que es muy
aproximadamente balanceada.
Intuitivamente, el costo Θ(n) de la división mala es absorbido por el costo
Θ(n) de la división buena:
• ⇒ la división resultante es buena.
⇒ El tiempo de ejecución de QUICKSORT, cuando los niveles producen
alternadamente divisiones buenas y malas, es como el tiempo de ejecución
para divisiones buenas únicamente:
O(n log n), pero con una constante más grande.
6.6 Ordenamiento por Montículo ( Heapsort)
DEFINICIONES. Un heap (binario) es un arreglo que puede verse como un
árbol binario completo:
• Cada nodo del árbol corresponde a un elemento del arreglo;
• El árbol está lleno en todos los niveles excepto posiblemente el de más
abajo, el cual está lleno desde la izquierda hasta un cierto punto.
Un arreglo A que representa a un heap tiene dos atributos:
• λ[A] es el número de elementos en el arreglo;
• σ[A] es el número de elementos en el heap almacenado en el arreglo—
σ[A] = λ[A];
• A[1 .. λ[A]] puede contener datos válidos, pero ningún dato más allá de
A[σ [A]] es un elemento del heap.
La raíz del árbol es A[1]; y dado el índice i de un nodo, los índices de su padre,
hijo izquierdo, e hijo derecho se calculan como:
P(i) : return i/2 L(i) : return 2i R(i) : return 2i + 1
Un heap satisface la propiedad de heap:
• Para cualquier nodo i distinto de la raíz, A[P(i)] = A[i];
• El elemento más grande en un heap está en la raíz;

• Los subárboles que tienen raíz en un cierto nodo contienen valores más
pequeños que el valor contenido en tal nodo.
La altura de un heap de n elementos es Θ(log n).
RESTAURACIÓN DE LA PROPIEDAD DE HEAP. Consideremos un arreglo A y un
índice i en el arreglo, tal que:
• Los árboles binarios con raíces en L(i) y R(i) son heaps;
• A[i] puede ser más pequeño que sus hijos, violando la propiedad de
heap.
HEAPIFY hace “descender” por el heap el valor en A[i], de modo que el
subárbol con raíz en i se vuelva un heap; en cada paso:
• determinamos el más grande entre A[i], A[L(i)] y A[R(i)], y
almacenamos su índice en k;
• si el más grande no es A[i], entonces intercambiamos A[i] con A[k], de
modo que ahora el nodo i y sus hijos satisfacen la propiedad de heap;
• pero ahora, el nodo k tiene el valor originalmente en A[i]—el subárbol
con raíz en k podría estar violando la propiedad de heap …
• … siendo necesario llamar a HEAPIFY recursivamente.
HEAPIFY (A, i) :
l ← L(i); r ← R(i)
if l = σ[A] ∧ A[l] > A[i] then k ← l elsek ← i
if r = σ[A] ∧ A[r] > A[k] then k ← r
if k ? i then
intercambie A[i] ↔ A[k]
HEAPIFY(A, k)
El tiempo de ejecución de HEAPIFY a partir de un nodo de altura h es O(h) =
O(log n), en que n es el número de nodos en el subárbol con raíz en el nodo de
partida.
CONSTRUCCIÓN DE UN HEAP. Usamos HEAPIFY de abajo hacia arriba para
convertir un arreglo A[1 .. n]— n = λ[A] —en un heap:
• Comolos elementos en A[(n/2 + 1) .. n] son todos hojas del árbol, cada
uno es un heap de un elemento;
• BUILD-HEAP pasa por los demás nodos del árbol y ejecuta HEAPIFY en
cada uno.

• El orden en el cual los nodos son procesados garantiza que los
subárboles con raíz en los hijos del nodo i ya son heaps cuando HEAPIFY
es ejecutado en el nodo i.
BUILD-HEAP(A) :
σ[A]← λ[A]
for i ← λ[A]/2 downto 1 do HEAPIFY(A, i)
El tiempo que toma HEAPIFY al correr en un nodo varía con la altura del nodo,
y las alturas de la mayoría de los nodos son pequeñas.
En un heap de n elementos hay a lo más n/2h+1 nodos de altura h, de modo
que el costo total de BUILD-HEAP es:
n
h+1
2




h=0
logn 
∑ O(h) = O n h
2h
h=0
log n 
∑








= O n( )
ya que h
h
2h=0
∞
∑ = 2 .
Un heap es un árbol binario con las siguientes características:
o Es completo. Cada nivel es completo excepto posiblemente el último,
y en ese nivel los nodos están en las posiciones más a la izquierda.
o Los ítems de cada nodo son mayores e iguales que los ítems
almacenados en los hijos.
Para implementarlo podemos usar estructuras enlazadas o vectores
numerando los nodos por nivel y de derecha a izquierda.

Es decir:
1
2 3
4 5 6 7
De este modo, es fácil buscar la dirección del padre o de los hijos de un nodo.
El padre de i es: i div 2. Los hijos de i son: 2 * i y 2 * i + 1.
Un algoritmo para convertir un árbol binario completo en un heap es básico
para otras operaciones de heap. Por ejemplo un árbol en el que ambos
subárboles son heap pero el árbol en si no lo es.
2
9 4
1 5 3
La única razón por la que no es un heap es porque la raíz es menor que uno
(o dos como en este caso subárboles)
El primer paso es intercambiar la raíz con el mayor de los dos hijos:
9
2 4
1 5 3
Esto garantiza que la nueva raíz sea mayor que ambos hijos, y que uno de
estos siga siendo un heap (en este caso el derecho) y que el otro pueda ser o
no. Si es, el árbol entero lo es, sino simplemente repetimos el swapdown en
este subárbol.
Swapdown
1. Done := false
2. c:= 2 ** r
3. While not Done and c < = n Do
a. if c < n and Heap[c] < Heap[c+1] then c := c+1;
b. if Heap[r] < Heap[c] then
i. Intercambiar Heap[r] y Heap[c]
ii. r := c
iii. c := 2 ** c
else Done := true

Heapify
Recibe un Árbol Binario Completo (ABC) almacenado en un arreglo
desde posición 1 a posición n. Convierte el árbol en un heap.
SwapDown(árbol cuya raíz esta en r)
Veamos un ejemplo:
Sean los siguientes elementos: 35, 15, 77, 60, 22, 41
El arreglo contiene los ítems como un ABC.
35
15 77
60 22 41
Usamos Heapify para convertirlo en Heap.
77
60 41
15 22 35
Esto pone al elemento más grande en la raíz, es decir la posición 1 del vector.
Ahora usamos la estrategia de sort de selección y posicionamos
correctamente al elemento más grande y pasamos a ordenar la sublista
compuesta por los otros 5 elementos
35
60 41
15 22 77-------------------35,60,41,15,22,77
En términos del árbol estamos cambiando, la raíz por la hoja más a la
derecha. Sacamos ese elemento del árbol. El árbol que queda no es un heap.
Como solo cambiamos la raíz, los subárboles son heaps, entonces podemos
usar swapdown en lugar del Heapify que consume más tiempo.

60
35 41
15 22
Ahora usamos la misma técnica de intercambiar la raíz con la hoja más a la
derecha que podamos.
22
35 41
15 60 ---------------------------------------à 35,22,41,15,60,77
Volvemos a usar SwapDown para convertir en un Heap.
41
35 22
15
Y volvemos a hacer el intercambio hoja-raíz.
15
35 22
41 -------------------------------------------à 35,15,22,41,60,77
15
35 22
Volvemos a usar SwapDown
35
15 22 Intercambiamos hoja-raíz y podamos
22 ------------------------------------------à 22,15,35,41,60,77

Finalmente, el árbol de dos elementos es convertido en un heap e
intercambiado la raíz con la hoja y podado
15
22 ------------------------------------------à 15,22,35,41,60,77
El siguiente algoritmo resume el procedimiento descrito.
Consideramos a X como un árbol binario completo (ABC) y usamos heapify
para convertirlo en un heap.
For i = n down to 2 do
• Intercambiar X[1] y X[i], poniendo el mayor elemento de la sublista
X[1]...X[i] al final de esta.
• Aplicar SwapDown para convertir en heap el árbol binario
correspondiente a la sublista almacenada en las posiciones 1 a i - 1 de
X.
6.7 Otros Métodos de Ordenamiento
Existen varios otros algoritmos de ordenamiento. A continuación se
mencionarán brevemente algunos otros más.
6.7.1 Ordenamiento por Incrementos Decrecientes
Denominado así por su desarrollador Donald Shell (1959). El ordenamiento
por incrementos decrecientes (o método shellsort) es una generalización
del ordenamiento por inserción donde se gana rápidez al permitir
intercambios entre elementos que se encuentran muy alejados.
La idea es reorganizar la secuencia de datos para que cumpla con la
propiedad siguiente: si se toman todos los elementos separados a una
distancia h, se obtiene una secuencia ordenada.
Se dice que la secuencia h ordenada está constituida por h secuencias
ordenadas independendientes, pero entrelazadas entre sí. Se utiliza una
serie decreciente h que termine en 1.
for ( h = 1; h <= n/9; h = 3*h + 1 );
for ( ; h > 0; h/= 3 )
for ( i = h + 1; i <= n; i+= 1 )
{ v = A[i];
j = i;

while ( j > h && A[j-h] > v ) then
{ A[j] = A[j-1];
j -= h;
}
A[j] = v;
}
Esta sucesión de incrementos es fácil de utilizar y conduce a una ordenación
eficaz. Hay otras muchas sucesiones que conducen a ordenaciones mejores.
Es difícil mejorar el programa anterior en más de un 20%, incluso para n
grande. Existen sucesiones desfavorables como por ejemplo: 64, 32, 16, 8, 4,
2, 1, donde sólo se comparan elementos en posiciones impares cuando h=1.
Nadie ha sido capaz de analizar el algoritmo, por lo que es difícil evaluar
analíticamente los diferentes incrementos y su comparación con otros
métodos, en consecuencia no se conoce su forma funcional del tiempo de
ejecución.
Para la sucesión de incrementos anterior se tiene un T(n) = n( log n)2 y n1,25.
La ordenación de Shell nunca hace más de n3 /2 comparaciones (para los
incrementos 1,2,13, 40.....) .
6.7.2 Ordenamiento por Mezclas Sucesivas(merge sort)
Se aplica la técnica divide-y-vencerás, dividiendo la secuencia de datos en dos
subsecuencias hasta que las subsecuencias tengan un único elemento, luego
se ordenan mezclando dos subsecuencias ordenadas en una secuencia
ordenada, en forma sucesiva hasta obtener una secuencia única ya ordenada.
Si n = 1 solo hay un elemento por ordenar, sino se hace una ordenación de
mezcla de la primera mitad del arreglo con la segunda mitad. Las dos mitades
se ordenan de igual forma.
Ejemplo: Se tiene un arreglo de 8 elementos, se ordenan los 4 elementos de
cada arreglo y luego se mezclan. El arreglo de 4 elementos, se ordenan los 2
elementos de cada arreglo y luego se mezclan. El arreglo de 2 elementos,
como cada arreglo sólo tiene n = 1 elemento, solo se mezclan.

void ordenarMezcla(TipoEle A[], int izq, int der)
{ if ( izq < der )
{ centro = ( izq + der ) % 2;
ordenarMezcla( A, izq, centro );
ordenarMezcla( A, centro+1, der);
intercalar( A, izq, centro, der );
}
}
void intercalar(TipoEle A[], int a, int c, int b )
{ k = 0;
i = a;
j = c + 1;
n = b - a;
while ( i < c + 1 ) && ( j < b + 1 )
{ if ( A[i] < A[j] )
{ B[k] = A[i];
i = i + 1;
}
else
{ B[k] = A[j];
j = j + 1;
}
k = k + 1;
};
while ( i < c + 1 )
{ B[k] = A[i];
i++;
k++;
};
while ( j < b + 1 )

{ B[k] = A[j];
j++;
k++;
};
i = a;
for ( k = 0; k < n; i++ )
{ A[i] = B[k];
i++;
};
};
La relación de recurrencia del algoritmo es T(1) = 1, T(n) = 2 T(n/2) + n, cuya
solución es T(n) = n log n.

Capítulo 7
Algoritmos de Búsqueda
7.1 Introducción
En cualquier estructura de datos puede plantearse la necesidad de saber si
un cierto dato está almacenado en ella, y en su caso en que posición se
encuentra. Es el problema de la búsqueda.
Existen diferentes métodos de búsqueda, todos parten de un esquema
iterativo, en el cual se trata una parte o la totalidad de la estructura de datos
sobre la que se busca.
El tipo de estructura condiciona el proceso de búsqueda debido a los
diferentes modos de acceso a los datos.
7.2 Búsqueda Lineal
La búsqueda es el proceso de localizar un registro (elemento) con un valor de
llave particular. La búsqueda termina exitosamente cuando se localiza el
registro que contenga la llave buscada, o termina sin éxito, cuando se
determina que no aparece ningún registro con esa llave.
Búsqueda lineal, también se le conoce como búsqueda secuencial.
Supongamos una colección de registros organizados como una lista lineal. El
algoritmo básico de búsqueda lineal consiste en empezar al inicio de la lista e
ir a través de cada registro hasta encontrar la llave indicada (k), o hasta al
final de la lista. Posteriormente hay que comprobar si ha habido éxito en la
búsqueda.
Es el método más sencillo en estructuras lineales. En estructuras ordenadas
el proceso se optimiza, ya que al llegar a un dato con número de orden
mayor que el buscado, no hace falta seguir.
La situación óptima es que el registro buscado sea el primero en ser
examinado. El peor caso es cuando las llaves de todos los n registros son
comparados con k (lo que se busca). El caso promedio es n/2
comparaciones.
Este método de búsqueda es muy lento, pero si los datos no están en orden
es el único método que puede emplearse para hacer las búsquedas. Si los
valores de la llave no son únicos, para encontrar todos los registros con una
llave particular, se requiere buscar en toda la lista.

Mejoras en la eficiencia de la búsquedalineal
1) Muestreo de acceso
Este método consiste en observar que tan frecuentemente se solicita
cada registro y ordenarlos de acuerdo a las probabilidades de acceso
detectadas.
2) Movimiento hacia el frente
Este esquema consiste en que la lista de registros se reorganicen
dinámicamente. Con este método, cada vez que búsqueda de una llave
sea exitosa, el registro correspondiente se mueve a la primera
posición de la lista y se recorren una posición hacia abajo los que
estaban antes que él.
3) Transposición
Este es otro esquema de reorganización dinámica que consiste en que,
cada vez que se lleve a cabo una búsqueda exitosa, el registro
correspondiente se intercambia con el anterior. Con este
procedimiento, entre más accesos tenga el registro, más rápidamente
avanzará hacia la primera posición. Comparado con el método de
movimiento al frente, el método requiere más tiempo de actividad
para reorganizar al conjunto de registros. Una ventaja de método de
transposición es que no permite que el requerimiento aislado de un
registro, cambie de posición todo el conjunto de registros. De hecho,
un registro debe ganar poco a poco su derecho a alcanzar el inicio de
la lista.
4) Ordenamiento
Una forma de reducir el número de comparaciones esperadas cuando
hay una significativa frecuencia de búsqueda sin éxito es la de
ordenar los registros en base al valor de la llave. Esta técnica es útil
cuando la lista es una lista de excepciones, tales como una lista de
decisiones, en cuyo caso la mayoría de las búsquedas no tendrán
éxito. Con este método una búsqueda sin éxito termina cuando se
encuentra el primer valor de la llave mayor que el buscado, en lugar
de la final de la lista.
En ciertos casos se desea localizar un elemento concreto de un arreglo. En
una búsqueda lineal de un arreglo, se empieza con la primera casilla del
arreglo y se observa una casilla tras otra hasta que se encuentra el elemento
buscado o se ha visto todas las casillas. Como el resultado de la búsqueda es
un solo valor, ya sea la posición del elemento buscado o cero, puede usarse
una función para efectuar la búsqueda.

En la función BUSQ_LINEAL, nótese el uso de la variable booleana
encontrada.
Function BUSQ_LINEAL (nombres: tiponom; Tam: integer;
{Regresa el índice de la celda que contiene el elemento buscado o
regresa 0 si no está en el arreglo}
Var encontrado: boolean;
indice; integer:
Begin
encontrado := false;
indice := 1:
Reapeat
If nombres {índice} = sebusca then
begin
encontrado : = true;
BUSQ_LINEAL := indice
end
else
indice := indice + 1
Until (encontrado) or {indice > tam);
If not encontrado then BUSQ_LINEAL: = 0
End;
7.3 Búsqueda Binaria
Una búsqueda lineal funciona bastante bien para una lista pequeña. Pero si
se desea buscar el número de teléfono de Jorge Perez en el directorio
telefónico de Santiago, no sería sensato empezar con el primer nombre y
continuar la búsqueda nombre por nombre. En un método más eficiente se
aprovechará el orden alfabético de los nombres para ir inmediatamente a un
lugar en la segunda mitad del directorio.
La búsqueda binaria es semejante al método usado automáticamente al
buscar un número telefónico. En la búsqueda binaria se reduce
sucesivamente la operación eliminando repetidas veces la mitad de la lista
restante. Es claro que para poder realizar una búsqueda binaria debe tenerse
una lista ordenada.
Se puede aplicar tanto a datos en listas lineales como en árboles binarios de
búsqueda. Los prerrequisitos principales para la búsqueda binaria son:
o La lista debe estar ordenada en un orden especifíco de acuerdo
al valor de la llave.
o Debe conocerse el número de registros.

Algoritmo
1. Se compara la llave buscada con la llave localizada al centro del
arreglo.
2. Si la llave analizada corresponde a la buscada fin de búsqueda si no.
3. Si la llave buscada es menor que la analizada repetir proceso en mitad
superior, sino en la mitad inferior.
4. El proceso de partir por la mitad el arreglo se repite hasta encontrar el
registro o hasta que el tamaño de la lista restante sea cero , lo cual
implica que el valor de la llave buscada no está en la lista.
El esfuerzo máximo para este algoritmo es de log2 n. El mínimo de 1 y en
promedio ½ log2 n.
7.4 Árboles de Búsqueda
Son tipos especiales de árboles que los hacen adecuados para almacenar y
recuperar información. Como en un árbol binario de búsqueda buscar
información requiere recorrer un solo camino desde la raíz a una hoja. Como
en un árbol balanceado el más largo camino de la raíz a una hoja es O(log
n). A diferencia de un árbol binario cada nodo puede contener varios
elementos y tener varios hijos. Debido a esto y a que es balanceado, permite
acceder a grandes conjuntos de datos por caminos cortos.
7.5 Búsqueda por Transformación de Claves (Hashing)
Hasta ahora las técnicas de localización de registros vistas, emplean un
proceso de búsqueda que implica cierto tiempo y esfuerzo. El siguiente
método nos permite encontrar directamente el registro buscado.
La idea básica de este método consiste en aplicar una función que traduce un
conjunto de posibles valores llave en un rango de direcciones relativas. Un
problema potencial encontrado en este proceso, es que tal función no puede
ser uno a uno; las direcciones calculadas pueden no ser todas únicas, cuando
R(k1)= R(k2 ) . Pero: K1 diferente de K2 decimos que hay unacolisión. A dos
llaves diferentes que les corresponda la misma dirección relativa se les llama
sinónimos.
A las técnicas de cálculo de direcciones también se les conoce como:
o Técnicas de almacenamiento disperso
o Técnicas aleatorias
o Métodos de transformación de llave-a-dirección
o Técnicas de direccionamiento directo
o Métodos de tabla Hash
o Métodos de Hashing

Pero el término más usado es el de hashing. Al cálculo que se realiza para
obtener una dirección a partir de una llave se le conoce como función
hash.
Ventajas:
1. Se pueden usar los valores naturales de la llave, puesto que se
traducen internamente a direcciones fáciles de localizar.
2. Se logra independencia lógica y física, debido a que los valores de las
llaves son independientes del espacio de direcciones.
3. No se requiere almacenamiento adicional para los índices.
Desventajas:
1. No pueden usarse registros de longitud variable.
2. El archivo no está ordenado.
3. No permite llaves repetidas.
4. Solo permite acceso por una sola llave.
Costos:
• Tiempo de procesamiento requerido para la aplicación de la función
hash.
• Tiempo de procesamiento y los accesos E/S requeridos para
solucionar las colisiones.
La eficienciade una función hash depende de:
1. La distribución de los valores de llave que realmente se usan.
2. El número de valores de llave que realmente están en uso con
respecto al tamaño del espacio de direcciones.
3. El número de registros que pueden almacenarse en una dirección
dada sin causar una colisión.
4. La técnica usada para resolver el problema de las colisiones.
Las funciones hash más comunes son:
o Residuo de la división
o Método de la Multiplicación
o Medio del cuadrado
o Pliegue
Hashing por Residuo de la División
En este caso, h(k) = k mod m , en que m = número primo no muy cercano
a una potencia de 2—si m = 2p, entonces h(k) es los p bits menos
significativos de k.

La idea de este método es la de dividir el valor de la llave entre un número
apropiado, y después utilizar el residuo de la división como dirección
relativa para el registro (dirección = llave mod divisor).
Mientras que el valor calculado real de una dirección relativa, dados tanto
un valor de llave como el divisor, es directo; la elección del divisor apropiado
puede no ser tan simple. Existen varios factores que deben considerarse para
seleccionar el divisor:
1. El rango de valores que resultan de la operación "llave mod divisor", va
desde cero hasta el divisor 1. Luego, el divisor determina el tamaño del
espacio de direcciones relativas. Si se sabe que el archivo va a contener
por lo menos n registros, entonces tendremos que hacer que divisor > n,
suponiendo que solamente un registro puede ser almacenado en una
dirección relativa dada.
2. El divisor deberá seleccionarse de tal forma que la probabilidad de
colisión sea minimizada. ¿Cómo escoger este número? Mediante
investigaciones se ha demostrado que los divisores que son números
pares tienden a comportase pobremente, especialmente con los
conjuntos de valores de llave que son predominantemente impares.
Algunas investigaciones sugieren que el divisor deberá ser un número
primo. Sin embargo, otras sugieren que los divisores no primos trabajan
tan bién como los divisores primos, siempre y cuando los divisores no
primos no contengan ningún factor primo menor de 20. Lo más común
es elegir el número primo más próximo al total de direcciones.
Independientemente de que tan bueno sea el divisor, cuando el espacio de
direcciones de un archivo está completamente lleno, la probabilidad de
colisión crece dramáticamente. La saturación de archivo de mide mediante
su factor de carga, el cual se define como la relación del número de
registros en el archivo contra el número de registros que el archivo podría
contener siestuviese completamente lleno.
Todas las funciones hash comienzan a trabajar probablemente cuando el
archivo está casi lleno. Por lo general, el máximo factor de carga que puede
tolerarse en un archivo para un rendimiento razonable es de entre el 70% y
80%.
Por ejemplo, si:
• n = 2,000 strings de caracteres de 8 bits, en que cada string es
interpretado como un número entero k en base 256, y
• estamos dispuestos a examinar un promedio de 3 elementos en una
búsqueda fallida,

Entonces podemos:
• asignar una tabla de mezcla de tamaño m = 701 y
• usar la función de mezcla k(k) = k mod 701 .
Hashing por Método de la Multiplicación
En este caso, h(k) = m (k A mod 1)  ,
en que 0 < A < 1; el valor de m no es crítico y típicamente se usa una
potencia de 2 para facilitar el cálculo computacional de la función.
Por ejemplo, si k = 123456, m = 10,000, y A = ( 5 – 1)/2 ≈ 0.6180339887,
entonces h(k) = 41.
Hashing por Medio del Cuadrado
En esta técnica, la llave es elevada al cuadrado, después algunos dígitos
específicos se extraen de la mitad del resultado para constituir la dirección
relativa. Si se desea una dirección de n dígitos, entonces los dígitos se
truncan en ambos extremos de la llave elevada al cuadrado, tomando n
dígitos intermedios. Las mismas posiciones de n dígitos deben extraerse
para cada llave.
Ejemplo:
Utilizando esta función hashing el tamaño del archivo resultante es de 10n
donde n es el numero de dígitos extraídos de los valores de la llave elevada al
cuadrado.
Hashing por Pliegue
En esta técnica el valor de la llave es particionada en varias partes, cada una
de las cuales (excepto la última) tiene el mismo número de dígitos que tiene
la dirección relativa objetivo. Estas particiones son después plegadas una
sobre otra y sumadas. El resultado, es la dirección relativa. Igual que para el
método del medio del cuadrado, el tamaño del espacio de direcciones
relativas es una potencia de 10.
Comparación entre las Funciones Hash
Aunque alguna otra técnica pueda desempeñarse mejor en situaciones
particulares, la técnica del residuo de la división proporciona el mejor
desempeño. Ninguna función hash se desempeña siempre mejor que las

otras. El método del medio del cuadrado puede aplicarse en archivos con
factores de cargas bastantes bajas para dar generalmente un buen
desempeño. El método de pliegues puede ser la técnica más fácil de calcular,
pero produce resultados bastante erráticos, a menos que la longitud de la
llave sea aproximadamente igual a la longitud de la dirección.
Si la distribución de los valores de llaves no es conocida, entonces el método
del residuo de la división es preferible. Note que el hashing puede ser
aplicado a llaves no numéricas. Las posiciones de ordenamiento de
secuencia de los caracteres en un valor de llave pueden ser utilizadas como
sus equivalentes "numéricos". Alternativamente, el algoritmo hash actúa
sobre las representaciones binarias de los caracteres.
Todas las funciones hash presentadas tienen destinado un espacio de
tamaño fijo. Aumentar el tamaño del archivo relativo creado al usar una de
estas funciones, implica cambiar la función hash, para que se refiera a un
espacio mayor y volver a cargar el nuevo archivo.
Métodos para Resolver el Problema de las Colisiones
Considere las llaves K1 y K2 que son sinónimas para la función hash R. Si K1
es almacenada primero en el archivo y su dirección es R(K1), entonces se
dice que K1 esta almacenado en su dirección de origen.
Existen dos métodos básicos para determinar dónde debe ser alojado K2:
• Direccionamiento abierto. Se encuentra entre dirección de origen
para K2 dentro del archivo.
• Separación de desborde (Área de desborde). Se encuentra una
dirección para K2 fuera del área principal del archivo, en un área
especial de desborde, que es utilizada exclusivamente para almacenar
registro que no pueden ser asignados en su dirección de origen
Los métodos más conocidos para resolver colisiones son:
Sondeo lineal
Es una técnica de direccionamiento abierto. Este es un proceso de búsqueda
secuencial desde la dirección de origen para encontrar la siguiente localidad
vacía. Esta técnica es también conocida como método de desbordamiento
consecutivo.
Para almacenar un registro por hashing con sondeo lineal, la dirección no
debe caer fuera del límite del archivo. En lugar de terminar cuando el límite
del espacio de dirección se alcanza, se regresa al inicio del espacio y
sondeamos desde ahí. Por lo que debe ser posible detectar si la dirección

base ha sido encontrada de nuevo, lo cual indica que el archivo está lleno y
no hay espacio para la llave.
Para la búsqueda de un registro por hashing con sondeo lineal, los valores
de llave de los registros encontrados en la dirección de origen, y en las
direcciones alcanzadas con el sondeo lineal, deberá compararse con el valor
de la llave buscada, para determinar si el registro objetivo ha sido localizado
o no.
El sondeo lineal puede usarse para cualquier técnica de hashing. Si se
emplea sondeo lineal para almacenar registros, también deberá emplearse
para recuperarlos.
Doble hashing
En esta técnica se aplica una segunda función hash para combinar la llave
original con el resultado del primer hash. El resultado del segundo hash
puede situarse dentro del mismo archivo o en un archivo de sobreflujo
independiente; de cualquier modo, será necesario algún método de solución
si ocurren colisiones durante el segundo hash.
La ventaja del método de separación de desborde es que reduce la situación
de una doble colisión, la cual puede ocurrir con el método de
direccionamiento abierto, en el cual un registro que no está almacenado en
su dirección de origen desplazará a otro registro, el que después buscará su
dirección de origen. Esto puede evitarse con direccionamiento abierto,
simplemente moviendo el registro extraño a otra localidad y almacenando al
nuevo registro en la dirección de origen ahora vacía.
Puede ser aplicado como cualquier direccionamiento abierto o técnica de
separación de desborde.
Para ambas métodos para la solución de colisiones existen técnicas para
mejorar su desempeño como:
1. Encadenamiento de sinónimos
Una buena manera de mejorar la eficiencia de un archivo que utiliza el
cálculo de direcciones, sin directorio auxiliar para guiar la
recuperación de registros, es el encadenamiento de sinónimos.
Mantener una lista ligada de registros, con la misma dirección de
origen, no reduce el número de colisiones, pero reduce los tiempos de
acceso para recuperar los registros que no se encuentran en su
localidad de origen. El encadenamiento de sinónimos puede emplearse
con cualquier técnica de solución de colisiones.
Cuando un registro debe ser recuperado del archivo, solo los sinónimos
de la llave objetivo son accesados.

2. Direccionamiento por cubetas
Otro enfoque para resolver el problema de las colisiones es asignar
bloques de espacio (cubetas), que pueden acomodar ocurrencias
múltiples de registros, en lugar de asignar celdas individuales a
registros. Cuando una cubeta es desbordada, alguna nueva localización
deberá ser encontrada para el registro. Los métodos para el problema
de sobrecupo son básicamente los mismos que los métodos para
resolver colisiones.
Comparación entre Sondeo Lineal y Doble Hashing
De ambos métodos resultan distribuciones diferentes de sinónimos en un
archivo relativo. Para aquellos casos en que el factor de carga es bajo (< 0.5),
el sondeo lineal tiende a agrupar los sinónimos, mientras que el doble
hashing tiende a dispersar los sinónimos más ampliamente a través del
espacio de direcciones.
El doble hashing tiende a comportarse casi también como el sondeo lineal
con factores de carga pequeños (< 0.5), pero actúa un poco mejor para
factores de carga mayores. Con un factor de carga > 80 %, el sondeo lineal,
por lo general, resulta tener un comportamiento terrible, mientras que el
doble hashing es bastante tolerable para búsquedas exitosas, pero no así en
búsquedas no exitosas.
7.6 Búsqueda en Textos
La búsqueda de patrones en un texto es un problema muy importante en la
práctica. Sus aplicaciones en computación son variadas, como por ejemplo
la búsqueda de una palabra en un archivo de texto o problemas relacionados
con biología computacional, en donde se requiere buscar patrones dentro de
una secuencia de ADN, la cual puede ser modelada como una secuencia de
caracteres (el problema es más complejo que lo descrito, puesto que se
requiere buscar patrones en donde ocurren alteraciones con cierta
probabilidad, esto es, la búsqueda no es exacta).
En este capítulo se considerará el problema de buscar la ocurrencia de un
patrón dentro de un texto. Se utilizarán las siguientes convenciones:
n denotará el largo del texto en donde se buscará el patrón, es decir, texto =
a1 a2 ... an. Donde m denotará el largo del patrón a buscar, es decir, patrón =
b1 b2 ... bm .

Por ejemplo:
Texto = "analisis de algoritmos" n=22 y m=4
Patrón = "algo"
7.6.1 Algoritmo de Fuerza Bruta
Se alinea la primera posición del patrón con la primera posición del
texto, y se comparan los caracteres uno a uno hasta que se acabe el
patrón, esto es, se encontró una ocurrencia del patrón en el texto, o
hasta que se encuentre una discrepancia.
Si se detiene la búsqueda por una discrepancia, se desliza el patrón en
una posición hacia la derecha y se intenta calzar el patrón
nuevamente.
En el peor caso este algoritmo realiza O(m.n)comparaciones de
caracteres.
7.6.2 Algorimo Knuth-Morris-Pratt
Suponga que se está comparando el patrón y el texto en una posición
dada, cuando se encuentra una discrepancia.

Sea X la parte del patrón que calza con el texto, eY la correspondiente
parte del texto, y suponga que el largo de X es j. El algoritmo de fuerza
bruta mueve el patrón una posición hacia la derecha, sin embargo,
esto puede o no puede ser lo correcto en el sentido que los primeros j-
1 caracteres de X pueden o no pueden calzar los últimos j-1 caracteres
de Y.
La observación clave que realiza el algoritmo Knuth-Morris-Pratt (en
adelante KMP) es que X es igual a Y, por lo que la pregunta planteada
en el párrafo anterior puede ser respondida mirando solamente el
patrón de búsqueda, lo cual permite precalcular la respuesta y
almacenarla en una tabla.
Por lo tanto, si deslizar el patrón en una posición no funciona, se
puede intentar deslizarlo en 2, 3, ..., hasta j posiciones.
Se define la función de fracaso (failure function) del patrón como:
f(j) = max(i < j | b1 .. bi = bj=i+1 …bj)
Intuitivamente, f(j) es el largo del mayor prefijo de X que además es
sufijo de X. Note que j = 1 es un caso especial, puesto que si hay una
discrepancia en b1 el patrón se desliza en una posición.
Si se detecta una discrepancia entre el patrón y el texto cuando se
trata de calzar bj+1, se desliza el patrón de manera que bf(j) se
encuentre donde bj se encontraba, y se intenta calzar nuevamente.

Suponiendo que se tiene f(j) precalculado, la implementación del
algoritmo KMP es la siguiente:
// n = largo del texto
// m = largo del patrón
// Los índices comienzan desde 1
int k=0;
int j=0;
while (k<n && j<m)
{
while (j>0 && texto[k]!=patron[j])
{
j=f[j];
}
if (texto[k+1])==patron[j+1]))
{
j++;
}
k++;
}
// j==m => calce, j el patrón no estaba en el texto

Ejemplo:
El tiempo de ejecución de este algoritmo no es difícil de analizar, pero
es necesario ser cuidadoso al hacerlo. Dado que se tienen dos ciclos
anidados, se puede acotar el tiempo de ejecución por el número de
veces que se ejecuta el ciclo externo (menor o igual a n) por el número
de veces que se ejecuta el ciclo interno (menor o igual a m), por lo que
la cota es igual a O(mn), ¡que es igual a lo que demora el algoritmo de
fuerza bruta!.
El análisis descrito es pesimista. Note que el número total de veces
que el ciclo interior es ejecutado es menor o igual al número de veces
que se puede decrementar j, dado que f(j)<j. Pero j comienza desde
cero y es siempre mayor o igual que cero, por lo que dicho número es
menor o igual al número de veces que j es incrementado, el cual es
menor que n. Por lo tanto, el tiempo total de ejecución es O(n). Por
otra parte, k nunca es decrementado, lo que implica que el algoritmo
nunca se devuelve en el texto.
Queda por resolver el problema de definir la función de fracaso, f(j).
Esto se puede realizar inductivamente. Para empezar, f(1)=0 por
definición. Para calcular f(j+1) suponga que ya se tienen almacenados
los valores de f(1), f(2), ..., f(j). Se desea encontrar un i+1 tal que el
(i+1)-ésimo carácter del patrón sea igual al (j+1)-ésimo carácter del
patrón.
Para esto se debe cumplir que i=f(j). Si bi+1=bj+1, entonces f(j+1)=i+1.
En caso contrario, se reemplaza i por f(i) y se verifica nuevamente la
condición.

El algoritmo resultante es el siguiente (note que es similar al
algoritmo KMP):
// m es largo del patrón
// los índices comienzan desde 1
int[] f=new int[m];
f[1]=0;
int j=1;
int i;
while (j<m)
{
i=f[j];
while (i>0 && patron[i+1]!=patron[j+1])
{
i=f[i];
}
if (patron[i+1]==patron[j+1])
{
f[j+1]=i+1;
}
else
{
f[j+1]=0;
}
j++;
}
El tiempo de ejecución para calcular la función de fracaso puede ser
acotado por los incrementos y decrementos de la variable i, que es
O(m).
Por lo tanto, el tiempo total de ejecución del algoritmo, incluyendo el
preprocesamiento del patrón, es O(n+m).
7.6.3 Algoritmo de Boyer-Moore
Hasta el momento, los algoritmos de búsqueda en texto siempre
comparan el patrón con el texto de izquierda a derecha. Sin embargo,
suponga que la comparación ahora se realiza de derecha a izquierda:
si hay una discrepancia en el último carácter del patrón y el carácter
del texto no aparece en todo el patrón, entonces éste se puede deslizar
m posiciones sin realizar niguna comparación extra. En particular, no
fue necesario comparar los primeros m-1 caracteres del texto, lo cual
indica que podría realizarse una búsqueda en el texto con menos de n
comparaciones; sin embargo, si el carácter discrepante del texto se
encuentra dentro del patrón, éste podría desplazarse en un número
menor de espacios.

El método descrito es la base del algoritmo Boyer-Moore, del cual se
estudiarán dos variantes: Horspool y Sunday.
Boyer-Moore-Horspool (BMH)
El algoritmo BMH compara el patrón con el texto de derecha a
izquierda, y se detiene cuando se encuentra una discrepancia con el
texto. Cuando esto sucede, se desliza el patrón de manera que la letra
del texto que estaba alineada con bm , denominada c, ahora se alinie
con algún bj, con j<m, si dicho calce es posible, o con b0, un carácter
ficticio a la izquierda de b1, en caso contrario (este es el mejor caso del
algoritmo).
Para determinar el desplazamiento del patrón se define la función
siguiente como:
0 si c no pertenece a los primeros m-1 caracteres del patrón (¿Por qué
no se considera el carácter bm?).
j si c pertenece al patrón, donde j<m corresponde al mayor índice tal
que bj==c.
Esta función sólo depende del patrón y se puede precalcular antes de
realizar la búsqueda.
El algoritmo de búsqueda es el siguiente:
// m es el largo del patrón
// los índices comienzan desde 1
int k=m;
int j=m;
while (k <=n && j>=1)
{
if(texto[k-(m-j)]==patron[j])
{
j--;
}
else
{
k=k+(m-siguiente(a[k]));
j=m;
}
}
// j==0 => calce!, j>=0 => no hubo calce.

Ejemplo de uso del algoritmo BMH:
Se puede demostrar que el tiempo promedio que toma el algoritmo
BMH es:
donde c es el tamaño del alfabeto (c<<n). Para un alfabeto
razonablemente grande, el algoritmo es .
En el peor caso, BMH tiene el mismo tiempo de ejecución que el
algoritmo de fuerza bruta.
Boyer-Moore-Sunday (BMS)
El algoritmo BMH desliza el patrón basado en el símbolo del texto
que corresponde a la posición del último carácter del patrón. Este
siempre se desliza al menos una posición si se encuentra una
discrepancia con el texto.
Es fácil ver que si se utiliza el carácter una posición más adelante en el
texto como entrada de la función siguiente el algoritmo también
funciona, pero en este caso es necesario considerar el patrón completo
al momento de calcular los valores de la función siguiente. Esta
variante del algoritmo es conocida como Boyer-Moore-Sunday
(BMS).

¿Es posible generalizar el argumento, es decir, se pueden utilizar
caracteres más adelante en el texto como entrada de la función
siguiente? La respuesta es no, dado que en ese caso puede ocurrir que
se salte un calce en el texto.

Capítulo 8
Teoría de Grafos
Un grafo (o multigrafo), es una estructura muy importante utilizada en
Informática y también en ciertos ramos de Matemáticas, como por ejemplo, en
Investigación de Operaciones. Muchos problemas de difícil resolución, pueden ser
expresados en forma de grafo y consecuentemente resuelto usando algoritmos de
búsqueda y manipulación estándar.
Entre las múltiples aplicaciones que tienen estas estructuras podemos mencionar:
• Modelar diversas situaciones reales, tales como: sistemas de aeropuertos,
flujo de tráfico, etc.
• Realizar planificaciones de actividades, tareas del computador, planificar
operaciones en lenguaje de máquinas para minimizar tiempo de ejecución.
Simplemente, un grafo es una estructura de datos no lineal, que puede ser
considerado como un conjunto de vértices (o nodos, dependiendo de la
bibliografía) y arcos que conectan esos vértices.
Matemáticamente tenemos G=(V, E). Si u y v son elementos de V, entonces un
arco se puede representar por (u,v).
Los grafos también se pueden clasificar como:
• Grafo No Dirigido
• Grafo Dirigido (o Digrafo)
En el primer caso, los arcos no tienen una dirección y, por lo tanto, (u,v) y (v,u)
representan el mismo arco. En un Grafo No Dirigido, dos vértices se dicen
adyacentes si existe un arco que une a esos dos vértices.
En el segundo caso, los arcos tienen una dirección definida, y así (u,v) y (v,u)
entonces representan arcos diferentes. Un Grafo Dirigido (o digrafo) puede
también ser fuertemente conectado si existe un camino desde cualquier vértice
hacia otro cualquier vértice.

Ejemplos de grafos (dirigidos y no dirigidos):
G1 = (V1, E1)
V1 = {1, 2, 3, 4} E1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}
G2 = (V2, E2)
V2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E2 = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 6)}
G3 = (V3, E3)
V3 = {1, 2, 3} E3 = {<1, 2>, <2, 1>, <2, 3>}
Gráficamente estas tres estructuras de vértices y arcos se pueden representar
de la siguiente manera:
8.1 Definiciones Básicas
Un grafo puede ser direccional o no direccional.
Un grafo direccional G es un par (V, E):
• V es un conjunto finito de vértices y
• E es un conjunto de aristas que representa una relación binaria sobre
V — E ⊆ V × V.
En un grafo no direccional G = (V, E), el conjunto de aristas E consiste
en pares no ordenados de vértices.

Una arista es un conjunto {u, v}, en que u, v ∈ V y u ≠ v, y que
representamos como (u, v).
Si (u, v) es una arista en un grafo:
• dirigido, entonces (u, v) es incidente desde o sale del vértice u y es
incidente a o entra al vértice v;
• no dirigido, entonces (u, v) es incidente sobre u y v.
v es adyacente a u; si el grafo es no dirigido, entonces la relación de
adyacencia es simétrica.
Un camino (o ruta) es una secuencia de vértices v1,...,vn tal que (vi,vi+1 )
pertenece a E. La longitud de un camino es la cantidad de arcos que éste
contiene.
Un camino de longitud k desde un vértice u a un vértice u’ en un grafo G =
(V, E) es una secuencia v0, v1, …, vk de vértices tal que:
• u = v0,
• u’ = vk y
• (vi-1, vi) ∈ E para i = 1, 2, …, k.
Si hay un camino p desde u a u’, entonces u’ es alcanzable desde u vía p.
Un camino simple es aquel donde todos sus vértices son distintos. Sólo el
primero y el último pueden coincidir. Un ciclo en un grafo dirigido es el
camino de longitud mayor o igual que 1 donde w1 = wn. Se llamará ciclo
simple si el camino es simple.
Si a={u,v} es una arista de G escribiremos sólo a=uv, y diremos que a une
los vértices u y v o que u y v son extremos de a. Una arista a=uu se llama
bucle. Una arista que aparece repetida en E se llama arista múltiple.

Un ciclo es un camino simple y cerrado.
Un grafo es conexo si desde cualquier vértice existe un camino hasta
cualquier otro vértice del grafo.
Un grafo es conexo si para cada par de vértices u y v existe un camino de
u a v. Si G es un grafo no conexo (o disconexo), cada uno de sus subgrafos
conexos maximales se llama componente conexa de G.
Un digrafo D=(V,E) es fuertemente conexo si para todo par de vértices u
y v existe un camino dirigido que va de u a v.
Dado un digrafo D, podemos considerar el grafo G no dirigido que se obtiene
al sustituir cada arco (u,v) por la arista (u,v). Si este grafo es conexo, diremos
que el digrafo D es débilmente conexo.
Se dice que un grafo no dirigido es un árbol si es conexo y acíclico.
En algunos textos llaman grafo al que aquí se denomina grafo simple,
permitiendo la presencia de aristas múltiples en los multigrafos y de bucles
en los seudografos.

Dos vértices son adyacentes si son extremos de una misma arista. Dos
aristas son adyacentes si tienen un extremo común. Un vértice y una
arista son incidentes si el vértice es extremo de la arista. Un vértice es
aislado si no tiene otros vértices adyacentes.
Un grafo completo es un grafo simple en el que todo par de vértices está
unido por una arista. Se representa con Kn al grafo completo de n vértices.
Un grafo G=(V,E) se llama bipartito (o bipartido) si existe una partición
de V, V=X U Y, tal que cada arista de G une un vértice de X con otro de Y.
(Se designa por Kr,s al grafo bipartito completoen que |X|= r e |Y|= s,
y hay una arista que conecta cada vértice de X con cada vértice de Y).
El número de vértices de un grafo G es su orden y el número de aristas su
tamaño. Designaremos el orden conn y el tamaño con q y utilizaremos la
notación de grafo (n,q).
Dos grafos G=(V,E) y G’=(V’,E’) son isomorfos si existe una biyección
f:V àV’ que conserva la adyacencia. Es decir, ∀ u,v ∈ V, u y v son
adyacentes en G ⇔ f(u) y f(v) son adyacentes en G’.
Un subgrafo de G=(V,E) es otro grafo H=(V’,E’) tal que V’ ⊆ V y E’ ⊆ E. Si
V’ = V se dice que Hes un subgrafo generador.
Se llama grado de un vértice v al número de aristas que lo tienen como
extremo, (cada bucle se cuenta, por tanto, dos veces). Se designa por d(v).
Un grafo regular es un grafo simple cuyos vértices tienen todos los
mismos grados.
A la sucesión de los grados de los vértices de G se le denomina sucesión
de grados del grafo G. Una sucesión de enteros no negativos se dice
sucesión gráfica si es la sucesión de grados de un grafo simple.
8.2 Representaciones de Grafos
Existen dos formas de mantener un grafo G en la memoria de una
computadora, una se llama Representación secuencial de G, la cual se
basa en la matriz de adyacencia.
La otra forma, es la llamada Representación enlazada de G y se basa en
listas enlazadas de vecinos. Independientemente de la forma en que se
mantenga un grafo G en la memoria de una computadora, el grafo G
normalmente se introduce en la computadora por su definición formal: Un
conjunto de nodos y un conjunto de aristas.

8.2.1 Matriz y Lista de Adyacencia
Dado un grafo G = (V, E), podemos representar un grafo a través de una
matriz de dimensión V x V, donde el contenido podrá ser de números
binarios (0;1) o de número enteros (-1;0;1).
Para ejemplificar, analicemos el grafo G:
La cardinalidad de vértices del grafo G es 6, por tanto, para su
representación, deberemos tener una matriz de adyacencias 6x6. Utilizando
valores binarios, podemos representarla de esta forma:
ma[i,j] =
Conforme observamos, la matriz de adyacencias está formada siguiendo la
siguiente regla: ma[i,j] = 1, si i es adyacente a j, y 0 en caso
contrario. Como estamos trabajando con un dígrafo, debemos establecer
cual es el origen y cual es el destino. En el ejemplo presentado, el origen está
definido por la letra indicadora de línea. Por ejemplo, A está conectado con
B, más no en sentidocontrario, por eso ma[A,B] es 1 y ma[B,A] es 0.
Para resolver esto, podemos hacer una representación alternativa: ma[i,j]
= -1 si i es origen de adyacencia con j, 1 si i es el destino de
adyacencia con j,y es 0 para los demás vértices no envueltos en la
adyacencia . Esto es sintetizado en la siguiente matriz:

ma[i,j] =
Como ejemplo, observemos el elemento ma[A,B] , ma[A,C] e ma[A,D] que
poseen valor -1. Esto indica que A es origem de arcos para C , D y E. También
observemos ma[F,D] y ma[F,E] , con valor 1, indicando que F recibe los
arcos de D y E.
A pesar de la metodología empleada, se observa que para una aplicación
dada que necesite de alteración del grafo, sería inadecuada la representación
a través de estructuras fijas, exigiendo, entonces, estructuras dinámicas.
Lista de Adyacencias
Para que sea pos ible remodelar un grafo en tiempo de ejecución, se torna
necesaria la utilización dinámica de su representación. Por eso, la
representación de adyacencias entre vértices puede ser hecha a través de
listas lineales.
Su construcción es realizada por un vector dinámico con listas encadenadas
formando un índice de vértices. De cada elemento de índice parte una lista
encadenada describiendo los vértices adyacentes conectados.
Como ejemplo, para el grafo G presentado anteriormente, visualizaremos la
siguiente representación:

La lista encadenada es formada por nodos que contienen el dato del vértice
(letra) y el puntero para el vértice adyacente a loindicado en el índice (vector
descriptor de vértices). Eventualmente los nodos pueden exigir otros
campos, tales como marcas de visita al vértice, datos adicionales para
procesamiento de la secuencia del grafo, etc.
Esta es la forma de representación más flexible para la representación de
grafos. Obviamente que aplicaciones específicas permitirán el uso de otras
formas de representación. Cabe aquí destacar que es posible la descripción
de grafos a través de sus aristas, lo que puede demandar una matriz para su
descripción.
La suma de las longitudes de todas las listas es E, si G es direccional, y
2E si G es no direccional — la cantidad de memoria necesaria es siempre
O(max(V, E)) = O(V + E).
La matriz de adyacencias de G = (V, E) supone que los vértices están
numerados 1, 2, …, V arbitrariamente, y consiste en una matriz A = (aij)
de V×V, tal que:
aij =
1 si (i, j) ∈E,
0 en otro caso.



Esta representación requiere Θ(V2) memoria, independientemente del
número de aristas en G.
La matriz de adyacencia siempre es simétrica porque aij = aji . La lista
de Adyacencia es una lista compuesta por vértices y una sublista
conteniendo las aristas que salen de él.
En el caso de las listas de adyacencia el espacio ocupado es O(V + E), muy
distinto del necesario en la matriz de adyacencia, que es de O(V2). La
representación por listas de adyacencia, por tanto, será más adecuada para
grafos dispersos.
8.2.2 Matriz y Lista de Incidencia
Este tipo de matriz representa un grafo a partir de sus aristas. Como exige
muchas veces la utilización de una matriz mayor dado que el método de la
matriz de adyacencias, no esta tan utilizada en cuanto a aquella. La matriz
alojada deberá tener dimensiones V x E.
El principio de esta representación está en la regla: mi[i,j] = 1 si el vértice
i incide con la arista j, y 0 en caso contrario . Ejemplificando a partir
del grafo G anteriormente presentado, tendremos una matriz:

mi[i,j] =
8.3 Recorridos de Grafos
En muchas aplicaciones es necesario visitar todos los vértices del grafo a
partir de un nodo dado. Algunas aplicaciones son:
• Encontrar ciclos
• Encontrar componentes conexas
• Encontrar árboles cobertores
Hay dos enfoques básicos:
• Recorrido (o búsqueda) en amplitud (breadth-first search):
Se visita a todos los vecinos directos del nodo inicial, luego a los
vecinos de los vecinos, etc.
• Recorrido (o búsqueda) en profundidad (depth-first search):
La idea es alejarse lo más posible del nodo inicial (sin repetir nodos),
luego devolverse un paso e intentar lo mismo por otro camino.
8.3.1 Recorridos en Amplitud
La Búsqueda en Amplitud (BFS) es uno de los algoritmos más simples para
recorrer un grafo y es el modelo de muchos algoritmos sobre grafos.
Dado un grafo G = (V, E) y un vértice de partida s, BFS explora
sistemáticamente las aristas de G para descubrir todos los vértices
alcanzables desde s:
• Calcula la distancia — mínimo número de aristas — de s a cada
vértice alcanzable.
• Produce un árbol con raíz s que contiene todos los vértices
alcanzables.
• Para cualquier vértice v alcanzable desde s, la ruta de s a v en el
árbol contiene el mínimo número de aristas — es una ruta más
corta.
• Funciona en grafos direccionales y no direccionales.

BFS expande la frontera entre vértices descubiertos y no descubiertos
uniformemente en toda la amplitud de la frontera.
Descubre todos los vértices a distancia k antes de descubrir cualquier vértice
a distancia k + 1.
BFS pinta cada vértice BLANCO, PLOMOo NEGRO, según su estado:
§ Todos los vértices empiezan BLANCOs.
§ Un vértice es descubierto la primera vez que es encontrado, y se pinta
PLOMO.
§ Cuando se ha descubierto todos los vértices adyacentes a un vértice
PLOMO, éste se pinta NEGRO.
§ Los vértices PLOMOs pueden tener vértices adyacentes BLANCOs —
representan la frontera entre vértices descubiertos y no descubiertos.
BFS construye un árbol de amplitud:
• Inicialmente, el árbol sólo contiene su raíz — el vértice s.
• Cuando se descubre un vértice BLANCO v mientras se explora la lista
de adyacencias de un vértice u, v y la arista (u, v) se agregan al árbol,
y u se convierte en el predecesor o padre de v en el árbol.
En la siguiente versión de BFS:
• El grafo se representa mediante listas de adyacencias.
• Para cada vértice u, se almacena: el color en color[u], el predecesor
en π[u], y la distancia desde s en d[u].
• El conjunto de vértices PLOMOs se maneja en la cola Q.
El árbol de amplitud o grafo predecesor de G se define como
G π = (V π, E π), en que:
V π = {v ∈ V : π[v] ≠ NIL} ∪ {s}, y
E π = {( π[v], v) ∈ E : v ∈ V π – {s}};
Las aristas en E π se llaman aristas de árbol.

BFS(G, s) :
for each u ∈ V – {s} do
color[u] ← BLANCO
d[u] ← ∞
π [u] ← NIL
color[s] ← PLOMO;
d[s] ← 0;
π[s] ← NIL
Q ← {s}
whileQ ≠ Ø do
u ← head[Q]
for each v ∈ α [u] do
if color[v] = BLANCOthen
color[v] ← PLOMO
d[v] ← d[u] + 1
π [v] ← u
ENQUEUE(Q, v)
DEQUEUE(Q)
color[u] ← NEGRO
El tiempo total de ejecución de BFS es O(V + E).
8.3.2 Recorridos en Profundidad
A medida que recorremos el grafo, iremos numerando correlativamente los
nodos encontrados (1,2,...). Suponemos que todos estos números son cero
inicialmente, y utilizamos un contador global n, también inicializado en
cero.
La Búsqueda en Profundidad (DFS) busca más adentro en el grafo mientras
sea posible:
• Las aristas se exploran a partir del vértice v más recientemente
descubierto.
• Cuando todas las aristas de v han sido exploradas, la búsqueda
retrocede para explorar aristas que salen del vértice a partir del cual
se descubrió v.
• Continuamos hasta que se ha descubierto todos los vértices
alcanzables desde el vértice de partida.

• Si quedan vértices no descubiertos, se elige uno como nuevo vértice
de partida y se repite la búsqueda.
DFS construye un subgrafo predecesor:
• Cuando descubre un vértice v durante la exploración de la lista de
adyacencias de un vértice u, asigna u al predecesor π[v] de v.
• Este subgrafo o bosque de profundidad puede constar de varios
árboles de profundidad, porque la búsqueda puede repetirse desde
varios vértices de partida.
El subgrafo predecesor se define como como G π = (V, E π):
Eπ= {( π[v], v) : v ∈ V ∧ π[v] ≠ NIL}
las aristas en Eπse llaman aristas de árbol.
DFS pinta cada vértice BLANCO, PLOMOo NEGRO:
• Todos los vértices empiezan BLANCOs.
• Cuando un vértice es descubierto, se pinta PLOMO.
• Cuando un vértice es terminado — se ha examinado toda la lista de
adyacencias del vértice — se pinta NEGRO.
• Se garantiza que cada vértice forma parte de sólo un árbol de
profundidad — éstos son disjuntos.
En la siguiente versión recursiva de DFS:
• G puede ser direccional o no direccional.
• A cada vértice u, se le asocia los tiempos
• d[u] al descubrirlo — cuando u se pinta PLOMO — y
• f[u] al terminar la exploración de α[u] — cuando u se pinta NEGRO.
DFS(G) :
for each u ∈ V do
color[u] ← BLANCO
π [u] ← NIL
t ← 0
for each u ∈ V do
if color[u] = BLANCO then
VISITAR(u)
VISITAR(u) :
color[u] ← PLOMO

t ← t + 1
d[u] ← t
for each v ∈ α [u] do
if color[v] = BLANCO then
π[v] ← u
VISITAR(v)
color[u] ← NEGRO
t ← t + 1
f[u] ← t
El tiempo total de ejecución de DFS es Θ(V + E).
8.4 Grafos con Pesos
Un grafo con peso (o grafo con costo) es un grafo G más una función de
peso o costo:
f: E(G) → R
En general, salvo mención expresa en contrario, consideramos sólo grafos
con pesos no negativos en las aristas.
Definición: Sea G un grafo con peso, y sea H un subgrafo de G. El costo
total o peso total de H es:
ω(H) = ∑ ω(e)
e ∈ H
8.5 Árboles
En esta parte del curso vamos estudiar un caso particular de la Teoría de
Grafos que son los árboles. Primero, vamos definir el concepto de árbol.
Simplemente, un árbol es un grafo conexo sin ciclos. Notar que como un
grafo requiere contener un mínimo de un vértice, un árbol contiene un
mínimo de un vértice. También tenemos que un árbol es un grafo simple,
puesto arcos y aristas paralelas forman ciclos. Un grafo no conexo que no
contiene ciclos será denominado bosque. En ese caso tenemos un grafo
donde cada componente es un árbol.

Árboles cobertores
Dado un grafo G no dirigido, conexo, se dice que un subgrafo T de G es un
árbol cobertor si es un árbol y contiene el mismo conjunto de nodos que G.
Todo recorrido de un grafo conexo genera un árbol cobertor, consistente del
conjunto de los arcos utilizados para llegar por primera vez a cada nodo.
Para un grafo dado pueden existir muchos árboles cobertores. Si
introducimos un concepto de "peso" (o "costo") sobre los arcos, es
interesante tratar de encontrar un árbol cobertor que tenga costo mínimo.
8.6 Árbol Cobertor Mínimo
En general estamos interesados en el caso en que H = T es un árbol de
cobertura de G. Ya que G es finito, la función w(t) alcanza su mínimo en
algún árbol T. Nos interesa hallar algún árbol Tque minimice el costo total;
dicho grafo no tiene por qué se único.
En esta sección veremos dos algoritmos para encontrar un árbol cobertor
mínimo para un grafo no dirigido dado, conexo y con costos asociados a los
arcos. El costo de un árbol es la suma de los costos de sus arcos.
8.6.1 Algoritmo de Kruskal
Este es un algoritmo del tipo "avaro" ("greedy"). Comienza inicialmente con
un grafo que contiene sólo los nodos del grafo original, sin arcos. Luego, en
cada iteración, se agrega al grafo el arco más barato que no introduzca un
ciclo. El proceso termina cuando el grafo está completamente conectado.
En general, la estrategia "avara" no garantiza que se encuentre un óptimo
global, porque es un método "miope", que sólo optimiza las decisiones de
corto plazo. Por otra parte, a menudo este tipo de métodos proveen buenas
heurísticas, que se acercan al óptimo global.

En este caso, afortunadamente, se puede demostrar que el método "avaro"
logra siempre encontrar el óptimo global, por lo cual un árbol cobertor
encontrado por esta vía está garantizado que es un árbol cobertor mínimo.
Una forma de ver este algoritmo es diciendo que al principio cada nodo
constituye su propia componente conexa, aislado de todos los demás nodos.
Durante el proceso de construcción del árbol, se agrega un arco sólo si sus
dos extremos se encuentran en componentes conexas distintas, y luego de
agregarlo esas dos componentes conexas se fusionan en una sola.
Descripción del Algoritmo
Entrada: Un grafo G con costos, conexo.
Idea: Mantener un subgrafo acíclico cobertor H de modo que en cada paso
exista al menos un árbol de cobertura de costo mínimo T, tal que H sea
subgrafo de T. Considérense las aristas de G ordenadas por costo en forma
no decreciente, los empates se rompen arbitrariamente.
Inicialización: E(H) = Ø
Iteración: Si la siguiente arista e de G (en el orden dado) une dos
componentes de H, entonces agregamos e a E(H). Si no, la ignoramos.
Terminación: Termínese el algoritmo cuando H sea conexo o cuando se
acaben las aristas de G.
función Kruskal (G = <N, A>: grafo; longitud: A → R+): conjunto de
aristas
{Iniciación}
Ordenar A por longitudes crecientes
n ← el número de nodos que hay en N
T ← ∅ {contendrá las aristas del árbol de recubrimiento mínimo}
Iniciar n conjuntos, cada uno de los cuales contiene un elemento
distinto de N
{bucle greedy }
repetir
e ← {u, v}← arista más corta aun no considerada
compu ← buscar(u)
compv ← buscar(v)
sicompu ≠ compv entonces
fusionar(compu, compv)
T ← T ∪ {e}
hasta que T contenga n - 1 aristas
devolver T

Complejidad del Algoritmo
El algoritmo requiere que las |E| aristas estén ordenadas previamente. Esto
toma O(|E| log(|E|)) operaciones.
El proceso de examinar las |E| aristas toma a lo más O(|E|) iteraciones; de
ellas, n-1 requieren actualizar la lista de componentes a las que pertenecen
los n vértices. Esto puede ser hecho en un total de O(nlog2n) operaciones, o
incluso en forma más astuta en O(na (n)), donde:
Ejemplo:
8.6.2 Algoritmo de Prim
La característica principal del algoritmo de Kruskal es que éste selecciona
las mejores aristas sin preocuparse de las conexiones con las aristas
selecionadas antes. El resultado es una proliferación de árboles que
eventualmente se juntan para formar un árbol.
Ya que sabemos que al final tenemos que producir un solo árbol, por qué no
intentar hacer como que el árbol crezca naturalmente hasta la obtención de
un árbol generador mínimo? Así, la próxima arista seleccionada sería
siempre una que se conecta al árbol que ya existe.
Esa es la idea del algoritmo de Prim. Se caracteriza por hacer la selección
en forma local, partiendo de un nodo seleccionado y construyendo el árbol
en forma ordenada.

Dado que el arco es seleccionado de aquellos que parten del árbol ya
construído, la viabilidad está asegurada. También se puede demostrar que el
algoritmo de Prim es correcto, es decir que devuelve un árbol de
recubrimiento minimal en todos los casos.
Al inicio el conjunto B cont iene un vértice arbitrario. En cada paso, el
algoritmo considera todas las aristas que tocan a B y selecciona a la de
menor peso. Después, el algoritmo aumenta en B el vértice ligado por esa
arista que no estaba en B. El proceso continúa hasta que B contenga a todos
los vértices de G.
Una descripción del algoritmo se describe a continuación:
función Prim(G = (N, A): grafo): conjunto de aristas
T := {}
B := Un vértice de G
Mientras B no contenga todos los vértices
(u,v) := arista de menor peso tal que u V - B e v B
T := T U {(u,v)}
B := B U {u}
Retornar T
Complejidad del Algoritmo
Para implementar este algoritmo eficientemente, podemos mantener una
tabla donde, para cada nodo de V-A, almacenamos el costo del arco más
barato que lo conecta al conjunto A. Estos costos pueden cambiar en cada
iteración.
Si se organiza la tabla como una cola de prioridad, el tiempo total es O(m
log n). Si se deja la tabla desordenada y se busca linealmente en cada
iteración, el costo es O(n2). Esto último es mejor que lo anterior si el grafo es
denso, pero no si está cerca de ser un grafo completo.
8.7 Distancias Mínimas en un Grafo Dirigido
Dado un grafo (o digrafo) ponderado y dos vértices s y t se quiere hallar
d(s,t) y el camino con dicha longitud. Los primeros algoritmos que
presentamos obtienen todos los caminos de longitud mínima desde un
vértice dado s al resto de vértices del grafo. El último algoritmo resuelve el
problema para un par cualquiera de vértices de G.
Si el vértice u se encuentra en un camino C de longitud mínima entre los
vértices s y z entonces, la parte de C comprendida entre los vértices s y u
es un camino de longitud mínima entre s y u. Por tanto, el conjunto de
caminos mínimos desde s a los restantes vértices del grafo G es un árbol,
llamado el árbol de caminos mínimos desde s.

Definición: En un grafo con pesos, la distancia entre dos vértices es:
d(u,v) = min{ w(P) : P es un camino que une u y v }.
Note que en particular, esto coincide con la definición usual de distancia, si
consideramos la función de peso w donde w(e)= 1 para todo e ∈ E(G).
Nos interesa hallar la distancia más corta entre dos vértices dados u y v, o
bien hallar todas las distancias más cortas entre un vértice dado u y todos
los otros vértices de G.
En general, no es mucho más eficiente hallar la ruta más corta entre u y v
que hallar todas las rutas más cortas entre u y los otros vértices. Para esto
usamos el algoritmo de Dijkstra.
8.7.1 Algoritmo de Dijkstra
La idea básica del algoritmo es la siguiente: Si P es un camino de longitud
mínima s→z y P contiene al vértice v, entonces la parte s→ v de P es
también camino de longitud mínima de s a v. Esto sugiere que si deseamos
determinar el camino óptimo de s a cada vértice z de G, podremos hacerlo
en orden creciente de la distancia d(s,z).
Descripción del algoritmo
Entrada: Un grafo (o digrafo) G con pesos no negativos, y un vértice de
partida u. El peso de una arista xy es w(xy); si xy no es una arista diremos
que w(xy) = ∞.
Idea: Mantener un conjunto S de vértices a los que conocemos la distancia
más corta desde u, junto con el predecesor de cada vértice de S en dicha
ruta. Para lograr esto, mantenemos una distancia tentativa t(z) desde u a
cada z ∈ V(G). Si z ∉ S, t(z) es la distancia más corta encontrada hasta
ahora entre u y z. Si z ∈ S, t(z) es la distancia más corta entre u y z. En
cualquier caso, pred[z] es el predecesor de z la ruta u → z en cuestión.
Inicialización: S = {u}, t(u)=0, t(z) = w(uz) y pred[z] = u para z ≠ u.
Iteración: Sea v ∈ V(G) – S, tal que:
t(z) = min{t(v) : v∈ V(G) – S }
Agrégase v a S.
Para z ∈ V(G) – S actualícese t(z) = min{t(z),t(v)+w(vz) }.

Si cambia t(z), cámbiese pred[z] a v.
Terminación: Termínese el algoritmo cuando S = V(G) o cuando t(z) = ∞
para todo z ∈ V(G) – S .
Al terminar, la distancia más corta entre u y v está dada por: d(u,v) = t(v).
Análisis de la complejidad
En cada iteración se añade un vértice a T, luego el número de iteraciones
es n. En cada una se elige una etiqueta mínima, la primera vez entre n-1, la
segunda entre n-2, ..., luego la complejidad total de estas elecciones es
O(n2). Por otra parte cada arista da lugar a una actualización de etiqueta,
que se puede hacer en tiempo constante O(1), en total pues O(q). Por tanto
la complejidad total del algoritmo es O(n2).
8.7.2 Algoritmo de Ford
Es una variante del algoritmo de Dijkstra que admite la asignación de
pesos negativos en los arcos, aunque no permite la existencia en el digrafo
de ciclos de peso negativo.
Entrada: Un digrafo ponderado con pesos no negativos en los arcos, un
vértice s∈V. El peso del arco uv se indica por w(uv), poniendo w(uv)= ∞
si uv no es arco.
Salida: La distancia desde s a cada vértice del grafo.
Clave: Mejorar en cada paso las etiquetas de los vértices, t(u).
Inicialización: Sea T={s}, t(s)=d(s,s)=0, t(z)= ∞ para z ≠ s.
Iteración: Mientras existan arcos e=xz para los que t(z) > t(x) + w(e)
actualizar la etiqueta de z a min{t(z), t(x)+w(xz)}.
En primer lugar debemos observar que cada arco puede considerarse
varias veces. Empecemos ordenando los arcos del digrafo D siendo este el
orden en que se considerarán los arcos en el algoritmo. Después de la
primera pasada se repite el proceso hasta que en una pasada completa no
se produzca ningún cambio de etiquetas. Si D no contiene ciclos negativos
puede demostrarse que, si el camino mínimo sàu contiene k arcos
entonces, después de k pasadas se alcanza la etiqueta definitiva para u.
Como k ≤ n y el número de arcos es q, resulta que la complejidad del

algoritmo de Ford es O(qn). Además podemos detectar un ciclo negativo si
se produce una mejora en las etiquetas en la pasada número n.
8.7.3 Algoritmo de Floyd-Warshall
A veces no es suficiente calcular las distancias con respecto a un vértice s,
si no que necesitamos conocer la distancia entre cada par de vértices.
Para ello se puede aplicar reiteradamente alguno de los algoritmos
anteriores, variando el vértice s de partida. Así tendríamos algoritmos de
complejidad O(n3) (si usamos el algoritmo de Dijkstra) u O(n2q) (si
usamos el algoritmo de Ford).
A continuación se describe un algoritmo, debido a Floyd y Warshall, con
una estructura sencilla, que permite la presencia de arcos de peso negativo
y que resuelve el mismo problema. (Naturalmente los ciclos de peso
negativo siguen estando prohibidos).
La idea básica del algoritmo es la construcción de una sucesión de matrices
W0, W1, ..., Wn, donde el elemento ij de la matriz Wk nos indique la
longitud del camino mínimo iàj utilizando como vértices interiores del
camino los del conjunto {v1, v2, ..., vk}. La matriz W0 es la matriz de pesos
del digrafo, con w0ij=w(ij) si existe el arco iàj, w0ii=0 y w0ij=∞ si no existe
el arco iàj.
Para aplicar este algoritmo, los nodos se numeran arbitrariamente 1,2,...n. Al
comenzar la iteración k-ésima se supone que una matriz D[i,j] contiene la
distancia mínima entre i y j medida a través de caminos que pasen sólo por
nodos intermedios de numeración <k.
Estas distancias se comparan con las que se obtendrían si se pasara una vez
por el nodo k, y si de esta manera se obtendría un camino más corto
entonces se prefiere este nuevo camino, de lo contrario nos quedamos con el
nodo antiguo.
Al terminar esta iteración, las distancias calculadas ahora incluyen la
posibilidad de pasar por nodos intermedios de numeración <=k, con lo cual
estamos listos para ir a la iteración siguiente.

Para inicializar la matriz de distancias, se utilizan las distancias obtenidas a
través de un arco directo entre los pares de nodos (o infinito si no existe tal
arco). La distancia inicial entre un nodo y sí mismo es cero.
Entrada: Un digrafo ponderado sin ciclos de peso negativos. El peso del
arco uv se indica por w(uv), poniendo w(uv)= ∞ si uv no es arco.
Salida: La distancia entre dos vértices cualesquiera del grafo.
Clave: Construimos la matriz Wk a partir de la matriz Wk-1 observando
que
Iteración: Para cada k=1,...,n, hacer ∀i,j=1,...,n
El elemento ij de la matriz Wn nos da la longitud de un camino mínimo
entre los vértices i y j.
Se deben construir n matrices de tamaño nxn y cada elemento se halla en
tiempo constante. Por tanto, la complejidad del algoritmo es O(n3)
El algoritmo de Floyd-Warshall es mucho más eficiente desde el punto de
vista de almacenamiento dado que puede ser implementado una vez
atualizado la distancia de la matriz con cada elección en k; no hay ninguna
necesidad de almacenar matrices diferentes. En muchas aplicaciones
específicas, es más rápido que cualquier versión de algoritmo de Dijkstra.
Ejemplo:

Valores Iniciales de d(i,j)
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1
0 1 3 X 1 4
V2 1 0 1 X 2 X
V3 3 1 0 3 X X
V4 X X 3 0 1 2
V5 1 2 X 1 0 2
V6 4 X X 2 2 0
Obs: X significa que un vértice cualquiera no tiene ligazón directa con otro.
Menor Camino
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1
0 1 2 2 1 3
V2 1 0 1 3 2 4
V3 2 1 0 3 3 5
V4 2 3 3 0 1 2
V5 1 2 3 1 0 2
V6 3 4 5 2 2 0

Capítulo 9
Complejidad Computacional
9.1 Introducción
La complejidad computacional considera globalmente todos los posibles
algoritmos para resolver un problema dado.
Estamos interesados en la distinción que existe entre los problemas que
pueden ser resueltos por un algoritmo en tiempo polinómico y los
problemas para los cuales no conocemos ningún algoritmo polinómico, es
decir, el mejor es no-polinómico.
La teoría de la NP-Completitud no proporciona un método para obtener
algoritmos de tiempo polinómico, ni dice que que estos algoritmos no
existan. Lo que muestra es que muchos de los problemas para los cuales no
conocemos algoritmos polinómicos están computacionalmente
relacionados.
9.2 Algoritmos y Complejidad
En los capítulos anteriores, hemos visto que los algoritmos cuya complejidad
es descrita por una función polinomial pueden ser ejecutados para entradas
grandes en una cantidad de tiempo razonable, mientras que los algoritmos
exponenciales son de poca utilidad excepto para entradas pequeñas.
En esta sección se tratarán los problemas cuya complejidad es descrita por
funciones exponenciales, problemas para los cuales el mejor algoritmo
conocido requeriría de muchos años o centurias de tiempo de cálculo para
entradas moderadamente grandes.
De esta forma se presentarán definiciones que pretenden distinguir entre los
problemas tratables (aquellos que no son tan duros) y los problemas
intratables (duros o que consumen mucho tiempo). La mayoría de estos
problemas ocurren como problemas de optimización combinatoria.
9.3 Problemas NP Completos
Definición Formal de la Clase NP
La definición formal de NP-completo usa reducciones, o transformaciones,
de un problema a otro.

Una definición formal de NP-completo es:
Un problema P es NP-completo si éste está en NP y para cada otro
problema P ’ en NP, P ’ µ P
Del teorema anterior y la definición de NP completo se deduce el siguiente
teorema:
Si cualquier problema NP-completo esta en P, entonces P=NP
Este teorema indica, por un lado, que tan valioso sería encontrar un
algoritmo polinomialmente acotado para cualquier problema NP-completo
y, por otro, que tan improbable es que tal algoritmo exista pues hay muchos
problemas en NP para los cuales han sido buscados algoritmos
polinomialmente acotados sin ningún éxito.
Como se señaló antes, el primer problema de decisión que se propuso como
un problema NP-completo es el satisfactibilidad de la lógica
proposicional. Todos los problemas NP para los cuales se puede comprobar
que pueden ser reducibles al problema de satisfctibilidad, son NP-
completos.
Así tenemos que los siguientes problemas son NP-completos: rutas y
circuitos de Hamilton, asignación de trabajos con penalizaciones, el
agente viajero, el problema de la mochila.
Actualmente para probar que un problema es NP-completo, es suficiente con
probar que algún otro problema NP-completo es polinomialmente reducible
a éste debido a que la relación de reducibilidad es transitiva. La lógica de lo
dicho es la siguiente:
• Si P’ es NP-completo, entonces todos los problemas en NP µ P’
• Si se demuestra que P’ µ P
• Entonces todos los problemas en NP µ P
• Por lo tanto, P es NP-completo
Supóngase un problema P, P* es el complemento del problema P si el
conjunto de símbolos en la cadena s de la fase de adivinación del algoritmo
no determinístico que codifican las instancias si de P* son exactamente
aquellas que no están codificando las instancias si de P.
Por ejemplo, el problema del circuito Hamiltoniano es: dado un grafo
G=(V, E), es G Hamiltoniano. Y el complemento del problema del circuito
Hamiltoniano es: dado un grafo G=(V, E), es G no Hamiltoniano.
Supóngase un problema P en P, entonces hay un algoritmo acotado
polinomialmente que resuelve P. Un algoritmo acotado polinomialmente
que solucione el complemento de P es exactamente el mismo algoritmo,

únicamente con la sustitución de no por si cuando se obtiene una solución
afirmativa y viceversa. El siguiente teorema expresa lo mencionado
Si P es un problema en P, entonces el complemento P * de P está también en
P.
Los mismos argumentos no pueden ser aplicados para demostrar que un
problema en NP está también en NP. Esto motiva la siguiente definición:
La clase co. NP es la clase de todos los problemas que son complemento de
problemas en NP.
Decir que el complemento de todos los problemas en NP está también en NP
es equivalente a decir que NP = co-NP. Sin embargo, hay razones para
creer que NP¹ co-NP. La evidencia es tan circunstancial como la que se
estableció para la conjetura de que P¹ NP: Muchos investigadores han
tratado por largo tiempo, sin éxito, de construir pruebas sucintas para el
complemento del problema del circuito Hamiltoniano, así como para
muchos otros problemas. Sin embargo, puede ser mostrado (como con P¹
NP) que si la conjetura es verdadera, está en los problemas NP-completo
testificar su validez.
Si el complemento de un problema NP-completo está en NP, entonces NP =
co-NP.
Así de todos los problemas en NP, Los problemas NP-completo son
aquellos con complementos de estar en NP. Contrariamente, si el
complemento de un problema en NP está también en NP, esto es evidencia
de que el problema no está en NP.
Cuando todos los problemas en NP se transforman polinomialmente al
problema P, pero no es posible demostrar P ⊆ NP, se dice que P es tan difícil
como cualquier problema en NP y por lo tanto NP-hard.
NP-hard es usado también en la literatura para referirse a los problemas de
optimización de los cuales su problema de decisión asociado es NP-completo
Problemas que pueden ser solucionados por algoritmos cuyas operaciones
pueden ser confinadas dentro de una cantidad de espacio que está acotado
por un polinomio del tamaño de la entrada, pertenecen a la clase PSPACE.
P, NP y co-NP son subconjuntos de PSPACE.
Se dice que un problema es PSPACE-completo si éste está en PSPACE y
todos los otros problemas en PSPACE son polinomialmente reducibles a él.

9.4 Problemas Intratables
Garey & Johnson, plantean una situación de intratabilidad interesante que
describimos a través del siguiente caso:
Si trabajas para una compañía que está pensando entrar a una nueva era
globalizadora de gobierno y tu jefe te propone que obtengas un método para
determinar si o no cualquier conjunto dado de especificaciones para un
nuevo componente pueden ser satisfechas de alguna manera y, si es así, se
deberá construir el diseño que satisfaga dichas expecificaciones. La realidad
es que después de un tiempo comprobarás que no hay manera de obtener tal
método. De modo que tendrás dos alternativas:
1. Renunciar para evitar la pena de que te corran por inepto.
2. Esperar a que te corran por inepto. Sería muy penoso, pero tendrías
que confesar que no pudiste resolver el problema por falta de
capacidad.
Para evitar la situación anterior tú podrías tratar de tomar una actitud de
una persona más valiente y demostrar que en realidad dicho método no se
puede obtener. Si eso fuera así entonces tú podrías ir con tu jefe y aclararle
que el problema no lo resolviste porque no se puede resolver: Es intratable.
Sin embargo, es muy probable que a tu jefe esta característica del problema
le tenga sin cuidado y, de todas maneras, te corran o tengas que renunciar.
Es decir regresarás a las alternativas: 1 y 2 antes citadas.
Una situación más prometedora, es tratar de probar que el problema no solo
es tan difícil que no se puede resolver, sino que además pertenece a una
clase de problemas tales que cientos y miles de personas famosas e
inteligentes, tampoco pudieron resolver. Aún así, no estamos muy seguros
aún de tu permanencia en la compañía!.
En realidad el conocimiento de que un problema es intratable es de gran
utilidad en problemas de tipo computacional. Dado que el problema
completo es intratable, tu podrías resolver el problema para ciertas
instancias del mismo, o bien, resolver un problema menos ambicioso. Por
ejemplo, podrá conformarte con obtener un método para las especificaciones
de solo cierto tipo de componentes para determinados conjuntos de entrada
y no para "cualquier conjunto dado de especificaciones". Esto seguramente
te llevará a tener mejor relaciones con tu compañía.
En general, nos interesa encontrar el algoritmo más eficiente para resolver
un problema determinado. Desde ese punto de vista tendríamos que
considerar todos los recursos utilizados de manera que el algoritmo más
eficiente sería aquél que consumiera menos recursos. ¿Cuáles recursos? Si
pensamos nuevamente que tu jefe te encarga que obtengas el algoritmo más
eficiente, es decir el que consume menos recursos so pena de que si no lo

obtienes seas eliminado de la nomina de la compañía, estoy seguro, en que
pensarías en todos los recursos posibles (horas-hombre para construir el
algoritmo, tiempo de sintonización, tiempo requerido para obtener una
solución, número de procesadores empleados, cantidad de memoria
requerida, etc.). Para simplificar un poco la tarea, consideraremos que tu
jefe te permite que la eficiencia la midas sobre un solo recurso: El tiempo de
ejecución. Pensemos por un momento que solo se tiene una sola máquina de
modo que el número de procesadores no requiere de un análisis. ¿Qué le
pasó a tu jefe? ¿De pronto se volvió comprensivo contigo? En realidad los
otros parámetros los ha tomado en cuenta como costo directo del programa
en cuestión. Esto es en realidad lo que se hace en teoría de complejidad. Para
el análisis de complejidad, se considera por lo general la eficiencia sobre el
tiempo, para un solo procesador en cómputo secuencial; para cómputo
paralelo se considera también el número de procesadores.
Los algorimos han sido divididos como buenos o malos algoritmos. La
comunidad computacional acepta que un buen algoritmo es aquél para el
cual existe un algoritmo polinomial determinístico que lo resuelva. También
se acepta que un mal algoritmo es aquel para el cual dicho algoritmo
simplemente no existe. Un problema se dice intratable, si es muy difícil que
un algoritmo de tiempo no polinomial lo resuelva. No obstante, esta
clasificación de algoritmos en buenos y malos puede resultar a veces
engañosa, ya que se podría pensar que los algoritmos exponenciales no son
de utilidad práctica y que habrá que utilizar solamente algoritmos
polinomiales. Sin embargo se tiene el caso de los métodos simplex y Branch
and Bound, los cuales son muy eficientes para muchos problemas prácticos.
Desafortunadamente ejemplos como estos dos son raros, de modo que es
preferible seguir empleando como regla de clasificación en buenos y malos
algoritmos, la que lo hace dependiendo de si son o no polinomiales; todo
esto con la prudencia necesaria.
La teoría de la NP-Completés fué presentada inicialmente por Cook desde
1971. Cook probó que un problema particular que se estudia en Lógica (no
necesitamos ahora estudiarlo) y que se llama "El Problema de
Satisfactibilidad", tenía la propiedad de que cualquier problema que
perteneciera a la clase NP, podía ser reducido a él a través de una
transformación de tipo polinomial. Esto significaba que si el problema de
satisfactibilidad podía ser resuelto en tiempo polinomial, todos los
problemas No Polinomiales también podrían resolverse en tiempo
polinomial, lo que significaría que la clase NP dejaría de existir!!.
De esta forma, si cualquier problema en NP es intratable, entonces
satisfactibilidad es un problema intratable. Cook también sugirió que el
problema de satisfactibilidad y otros problemas NP tenían la característica
de ser los problemas más duros. Estos problemas tienen dos versiones: de
decisión y de optimización. El conjunto de estos problemas de optimización
se denominan NP Completos, mientras que a sus correspondientes
problemas de optimización, reciben el nombre de NP Hard.

9.5 Problemas de Decisión
Aquí hemos hablado de problemas de optimización como aquél donde
buscamos el máximo o el mínimo de una función donde existen o no un
conjunto de restricciones. Sin embargo, un problema de optimización
combinatoria puede también ser formulado de manera más relajada como
sigue:
Dado un problema de optimización, podemos encontrar el costo de la
solución óptima.
Se sabe que dado un problema de optimización, se puede definir un
problema de decisión asociado a él, esto es, una pregunta que puede ser
contestada por si o no. Por otro lado, varios problemas computacionales
bien conocidos son problemas de decisión. Entre los problemas de decisión
se pueden mencionar por ejemplo:
• El problema de paro (Halting Problem): dado un algoritmo y su
entrada, ¿Parará éste alguna vez?
• El problema de satisfactibilidad: dada una fórmula booleana, ¿Es ésta
satisfactible?
• El problema del circuito Hamiltoniano: dado un grafo G, ¿Hay un
circuito en G que visite todos los nodos exactamente una vez?.
La definición de problema de decisión a partir del problema de optimización
permite estudiar ambos tipos de problemas de una manera uniforme.
Además, como se ha puntualizado que un problema de decisión no es más
difícil que el problema de optimización original, cualquier resultado negativo
probado sobre la complejidad del problema de decisión será aplicable al
problema de optimización también.
Se está interesado en clasificar los problemas de decisión de acuerdo a su
complejidad. Se denota por P a la clase de problemas de decisión que son
polinomialmente acotados, esto es, la clase de problemas de decisión que
pueden ser solucionados en tiempo polinomial. La clase P puede ser
definida muy precisamente en términos de cualquier formalismo
matemático para algoritmos, como por ejemplo la Máquina de Turing.
Se puede decir que P es la clase de problemas de decisión relativamente
fáciles, para los cuales existe un algoritmo que los soluciona eficientemente.
Para una entrada dada, una "solución" es un objeto (por ejemplo, un grafo
coloreado) que satisface el criterio en el problema y justifica una respuesta
afirmativa de si. Una "solución propuesta" es simplemente un objeto del tipo
apropiado, este puede o no satisfacer el criterio. Informalmente se puede
decir que NP es la clase de problemas de decisión para los cuales una
solución propuesta dada para una entrada dada, puede ser chequeada

rápidamente (en tiempo polinomial) para ver si ésta es realmente una
solución, es decir, si ésta satisface todos los requerimientos del problema.
Una solución propuesta puede ser descrita por una cadena de símbolos a
partir de algún conjunto finito. Simplemente se necesita alguna convención
para describir grafos, conjuntos, funciones, etc. usando estos símbolos. El
tamaño de la cadena es el número de símbolos en ella. Chequear una
solución propuesta incluye chequear que la cadena tenga sentido (esto es,
que tenga una sintáxis correcta) como una descripción del tipo de objeto
requerido, también como chequear que ésta satisface el criterio del
problema.
9.6 Algoritmos No Determinísticos
Un algoritmo no determinístico tiene dos fases:
Fase no Determinística: alguna cadena de caracteres, s, completamente
arbitraria es escrita a partir de algún lugar de memoria designado. Cada vez
que el algoritmo corre, la cadena escrita puede diferir (Esta cadena puede
ser vista como una adivinación de la solución para el problema, por lo que a
esta fase se le da el nombre de fase de adivinación, pero s también podría ser
ininteligible o sin sentido).
Fase Determinística: Un algoritmo determinístico (es decir ordinario)
siendo ejecutado. Además de la entrada del problema de decisión, el
algoritmo puede leer s, o puede ignorarla. Eventualmente éste para con una
salida de si o no, o puede entrar en un ciclo infinito y nunca parar (véase ésta
como la fase de chequear, el algoritmo determinístico verifica s para ver si
ésta es una solución para la entrada del problema de decisión).
El número de pasos llevados a cabo durante la ejecución de un algoritmo no
determinístico es definido como la suma de los pasos en ambas fases; esto
es, el número de pasos tomados para escribir s (simplemente el número de
caracteres en s) más el número de pasos ejecutados por la segunda fase
determinística.
Normalmente cada vez que se corre un algoritmo con la misma entrada se
obtiene la misma salida. Esto no ocurre con algoritmos no determinísticos;
para una entrada particular x, la salida a partir de una corrida puede diferir
de la salida de otra debido a que ésta depende de s. aunque los algoritmos no
determinísticos no son realistas (algoritmos útiles en la práctica), ellos son
útiles para clasificar problemas.
Se dice que un algoritmo no determinístico es polinomialmente acotado si
hay un polinomio p tal que para cada entrada de tamaño n para la cual la
respuesta es si, hay alguna ejecución del algoritmo que produce una salida si
en cuando mucho p(n) pasos.

De esta forma se puede decir que: NP es la clase de problemas de decisión
para los cuales hay un algoritmo no determinístico acotado
polinomialmente (el nombre de NP viene de no determinístico
polinomialmente acotado).
Un algoritmo ordinario (determinístico) para un problema de decisión es un
caso especial de un algoritmo no determinístico. En otras palabras, si A es
un algoritmo determinístico para un problema de decisión, entonces A es la
segunda fase de un algoritmo no determinístico. A simplemente ignora lo
que fue escrito por la primera fase y procede con su cálculo usual. Un
algoritmo no determinístico puede hacer cero pasos en la primera fase
(escribiendo la cadena nula). Así, si A corre en tiempo polinomial, el
algoritmo no determinístico con A como su segunda fase corre también en
tiempo polinomial. De lo mencionado se deduce que P es un subconjunto
propio de NP.
La gran pregunta es ¿ P = NP o es P un subconjunto propio de NP? Se cree
que NP es un conjunto mucho mayor que P, pero no hay un solo problema
en NP para el cual éste haya sido probado que el problema no está en P. No
hay un algoritmo polinomialmente acotado conocido para muchos
problemas en NP, pero ningún límite inferior mayor que un polinomio ha
sido probado para estos problemas.
NP-completo es el término usado para describir los problemas de decisión
que son los más difíciles en NP en el sentido que, si hubiera un algoritmo
polinomialmente acotado para un problema NP-completo, entonces habría
un algoritmo polinomialmente acotado para cada problema en NP.

Bibliografía
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